【全程复习方略】2013-2014版高中数学 第一章 1.3.1 二项式定理课件 新人教A版选修2-3
【高中数学2-3教案】1.3.1二项式定理
1．3．1二项式定理教学目标：知识与技能：进一步掌握二项式定理和二项展开式的通项公式 过程与方法：能解决二项展开式有关的简单问题情感、态度与价值观：教学过程中，要让学生充分体验到归纳推理不仅可以猜想到一般性的结果，而且可以启发我们发现一般性问题的解决方法。
教学重点：二项式定理及通项公式的掌握及运用 教学难点：二项式定理及通项公式的掌握及运用 授课类型：新授课 课时安排：3课时教 具：多媒体、实物投影仪 内容分析：二项式定理是初中乘法公式的推广，是排列组合知识的具体运用，是学习概率的重要基础．这部分知识具有较高应用价值和思维训练价值．中学教材中的二项式定理主要包括：定理本身，通项公式，杨辉三角，二项式系数的性质等．通过二项式定理的学习应该让学生掌握有关知识，同时在求展开式、其通项、证恒等式、近似计算等方面形成技能或技巧；进一步体会过程分析与特殊化方法等等的运用；重视学生正确情感、态度和世界观的培养和形成．二项式定理本身是教学重点，因为它是后面一切结果的基础．通项公式，杨辉三角，特殊化方法等意义重大而深远，所以也应该是重点．二项式定理的证明是一个教学难点．这是因为，证明中符号比较抽象、需要恰当地运用组合数的性质2、需要用到不太熟悉的数学归纳法．在教学中，努力把表现的机会让给学生，以发挥他们的自主精神；尽量创造让学生活动的机会，以让学生在直接体验中建构自己的知识体系；尽量引导学生的发展和创造意识，以使他们能在再创造的氛围中学习． 教学过程：一、复习引入：⑴22202122222()2a b a ab b C a C ab C b +=++=++；⑵3322303122233333()33a b a a b ab b C a C a b C ab C b +=+++=+++⑶4()()()()()a b a b a b a b a b +=++++的各项都是4次式， 即展开式应有下面形式的各项：4a ，3a b ，22a b ，3ab ，4b ，展开式各项的系数：上面4个括号中，每个都不取b 的情况有1种，即04C 种，4a 的系数是04C ；恰有1个取b 的情况有14C 种，3a b 的系数是14C ，恰有2个取b 的情况有24C 种，22a b 的系数是24C ，恰有3个取b 的情况有34C 种，3ab 的系数是34C ，有4都取b 的情况有44C 种，4b 的系数是44C ，∴40413222334444444()a b C a C a b C a b C a b C b +=++++． 二、讲解新课：二项式定理：01()()n n n r n r r n n n n n n a b C a C a b C a b C b n N -*+=+++++∈L L⑴()na b +的展开式的各项都是n 次式，即展开式应有下面形式的各项：n a ，n a b ，…，n r r a b -，…，n b ，⑵展开式各项的系数：每个都不取b 的情况有1种，即0n C 种，n a 的系数是0n C ； 恰有1个取b 的情况有1n C 种，n a b 的系数是1n C ，……， 恰有r 个取b 的情况有r n C 种，n rr ab -的系数是r n C ，……，有n 都取b 的情况有n n C 种，nb 的系数是nn C ，∴01()()n n n r n r r n n n n n n a b C a C a b C a b C b n N -*+=+++++∈L L ，这个公式所表示的定理叫二项式定理，右边的多项式叫()na b +的二项展开式，⑶它有1n +项，各项的系数(0,1,)rnC r n =L 叫二项式系数， ⑷r n rr n C ab -叫二项展开式的通项，用1r T +表示，即通项1r n r rr nT C a b -+=． ⑸二项式定理中，设1,a b x ==，则1(1)1n r r nn n x C x C x x +=+++++L L三、讲解范例：例1．展开41(1)x+．解一： 411233444411111(1)1()()()()C C C x x x x x +=++++23446411x x x x =++++． 解二：4444413123444111(1)()(1)()1x x C x C x C x x x x⎡⎤+=+=++++⎣⎦ 23446411x x x x=++++．例2．展开6．解：6631(21)x x =-61524332216666631[(2)(2)(2)(2)(2)(2)1]x C x C x C x C x C x x=-+-+-+ 32236012164192240160x x x x x x =-+-+-+．例3．求12()x a +的展开式中的倒数第4项解：12()x a +的展开式中共13项，它的倒数第4项是第10项，9129933939911212220T C x a C x a x a -+===．例4．求（1）6(23)a b +，（2）6(32)b a +的展开式中的第3项．解：（1）24242216(2)(3)2160T C a b a b +==， （2）24242216(3)(2)4860T C b a b a +==．点评：6(23)a b +，6(32)b a +的展开后结果相同，但展开式中的第r 项不相同例5．（1）求9(3x+的展开式常数项；（2）求9(3x +的展开式的中间两项 解：∵399292199()33r r r r r r r x T C C x ---+==⋅， ∴（1）当390,62r r -==时展开式是常数项，即常数项为637932268T C =⋅=； （2）9(3x +的展开式共10项，它的中间两项分别是第5项、第6项，489912593423T C xx--=⋅=，15951092693T C x --=⋅= 例6．（1）求7(12)x +的展开式的第4项的系数； （2）求91()x x-的展开式中3x 的系数及二项式系数解：7(12)x +的展开式的第四项是333317(2)280T C x x +==，∴7(12)x +的展开式的第四项的系数是280． （2）∵91()x x-的展开式的通项是9921991()(1)r rr r r r r T C xC x x--+=-=-， ∴923r -=，3r =，∴3x 的系数339(1)84C -=-，3x 的二项式系数3984C =．例7．求42)43(-+x x 的展开式中x 的系数分析：要把上式展开，必须先把三项中的某两项结合起来，看成一项，才可以用二项式定理展开，然后再用一次二项式定理，，也可以先把三项式分解成两个二项式的积，再用二项式定理展开解：（法一）42)43(-+x x 42]4)3[(-+=x x02412344(3)(3)4C x x C x x =+-+⋅22224(3)4C x x ++⋅3234444(3)44C x x C -+⋅+⋅，显然，上式中只有第四项中含x 的项，∴展开式中含x 的项的系数是76843334-=⋅⋅-C（法二）：42)43(-+x x 4)]4)(1[(+-=x x 44)4()1(+-=x x)(4434224314404C x C x C x C x C +-+-=0413222334444444(4444)C x C x C x C x C +⋅+⋅+⋅+⋅∴展开式中含x 的项的系数是34C -334444C +768-=．例8．已知()()nm x x x f 4121)(+++= *(,)m n N ∈的展开式中含x 项的系数为36，求展开式中含2x 项的系数最小值分析：展开式中含2x 项的系数是关于n m ,的关系式，由展开式中含x 项的系数为36，可得3642=+n m ，从而转化为关于m 或n 的二次函数求解解：()()1214m nx x +++展开式中含x 的项为1124m n C x C x ⋅+⋅=11(24)m n C C x + ∴11(24)36m n C C +=，即218m n +=，()()1214mnx x +++展开式中含2x 的项的系数为t =222224mn C C +222288m m n n =-+-， ∵218m n +=， ∴182m n =-，∴222(182)2(182)88t n n n n =---+-216148612n n =-+23715316()44n n =-+，∴当378n =时，t 取最小值，但*n N ∈， ∴ 5n =时，t 即2x 项的系数最小，最小值为272，此时5,8n m ==．例9．已知n 的展开式中，前三项系数的绝对值依次成等差数列，（1）证明展开式中没有常数项；（2）求展开式中所有的有理项 解：由题意：1221121()22n n C C ⋅=+⋅，即0892=+-n n ，∴8(1n n ==舍去）∴818(rrrr T C-+=⋅82481()2r r r r C x x --=-⋅⋅()1638412r rr r C x -=-⋅08r r Z ≤≤⎛⎫⎪∈⎝⎭①若1+r T 是常数项，则04316=-r，即0316=-r ， ∵r Z ∈，这不可能，∴展开式中没有常数项； ②若1+r T 是有理项，当且仅当4316r-为整数， ∴08,r r Z ≤≤∈，∴ 0,4,8r =，即 展开式中有三项有理项，分别是：41x T =，x T 8355=，292561-=x T 例10．求60.998的近似值，使误差小于0.001．解：66011666660.998(10.002)(0.002)(0.002)C C C =-=+-++-L ，展开式中第三项为2260.0020.00006C =，小于0.001，以后各项的绝对值更小，可忽略不计，∴66011660.998(10.002)(0.002)0.998C C =-≈+-=，一般地当a 较小时(1)1na na +≈+四、课堂练习：1.求()623a b +的展开式的第3项. 2.求()632b a +的展开式的第3项.3.写出n 33)x21x (-的展开式的第r+1项.4.求()732x x+的展开式的第4项的二项式系数，并求第4项的系数.5.用二项式定理展开：（1）5(a +；（2）5(2. 6.化简：（1）55)x 1()x 1(-++；（2）4212142121)x3x 2()x3x 2(----+7．()5lg xx x +展开式中的第3项为610，求x ．8．求nx x 21⎪⎭⎫ ⎝⎛-展开式的中间项答案：1. 262242216(2)(3)2160T C a b a b -+==2. 262224216(3)(2)4860T C b a a b -+==3.2311(2rn rr n r rr r n n T C C x--+⎛⎫==- ⎪⎝⎭4.展开式的第4项的二项式系数3735C =，第4项的系数3372280C = 5. （1）552(510105a a a a a b =++； （2）515328x =+-. 6. （1）552(1(122010x x +=++；（2）1111442222432(23)(23)192x x x x x x--+--=+7. ()5lg xx x +展开式中的第3项为232lg 632lg 551010xx C xx ++=⇒=22lg 3lg 50x x ⇒+-=5lg 1,lg 2x x ⇒==-10,x x ⇒==8. nx x 21⎪⎭⎫ ⎝⎛-展开式的中间项为2(1)n nn C -五、小结 ：二项式定理的探索思路:观察——归纳——猜想——证明；二项式定理及通项公式的特点六、课后作业： P36 习题1.3A 组1. 2. 3.4 七、板书设计（略）八、教学反思：(a+b) ｎ=这个公式表示的定理叫做二项式定理，公式右边的多项式叫做 (a+b)ｎ的 ，其中rn C （r=0,1,2,……,n ）叫做 ， 叫做二项展开式的通项，它是展开式的第 项，展开式共有 个项.掌握二项式定理和二项展开式的通项公式，并能用它们解决与二项展开式有关的简单问题。
高中数学 第一章1.3 二项式定理 1.3.2“杨辉三角”与二项式系数的性质学案 新人教A版选修2-3
亲爱的同学：这份试卷将再次记录你的自信、沉着、智慧和收获，我们一直投给你信任的目光……学 习 资 料 专 题1.3.2 “杨辉三角”与二项式系数的性质学习目标：1.了解杨辉三角各行数字的特点及其与组合数性质、二项展开式系数性质间的关系，培养学生的观察力和归纳推理能力．(重点)2.理解和掌握二项式系数的性质，并会简单应用．(难点)3.理解和初步掌握赋值法及其应用．(重点)[自 主 预 习·探 新 知]1．杨辉三角的特点(1)在同一行中，每行两端都是1，与这两个1等距离的项的系数相等．(2)在相邻的两行中，除1以外的每一个数都等于它“肩上”两个数的和，即C r n ＋1＝C r －1n＋C rn .2．二项式系数的性质(1)对称性：在(a ＋b )n的展开式中，与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等，即C 0n ＝C n n ，C 1n ＝C n －1n ，…，C r n ＝C n －rn .(2)增减性与最大值：当k ＜n ＋12时，二项式系数是逐渐增大的．由对称性知它的后半部分是逐渐减小的，且在中间取得最大值．当n 是偶数时，中间一项的二项式系数C n 2n 取得最大值；当n 是奇数时，中间两项的二项式系数C n －12n与C n ＋12n相等，且同时取得最大值．3．各二项式系数的和 (1)C 0n ＋C 1n ＋C 2n ＋…＋C n n ＝2n； (2)C 0n ＋C 2n ＋C 4n ＋…＝C 1n ＋C 3n ＋C 5n ＋…＝2n －1.[基础自测]1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)杨辉三角的每一斜行数字的差成一个等差数列． ( ) (2)二项展开式的二项式系数和为C 1n ＋C 2n ＋…＋C nn . ( ) (3)二项展开式中系数最大项与二项式系数最大项相同．( )[解析] (1)√ 由杨辉三角可知每一斜行数字的差成一个等差数列，故正确． (2)× 二项展开式的二项式系数的和应为C 0n ＋C 1n ＋C 2n ＋…＋C n n ＝2n.(3)× 二项式系数最大项不一定是二项式系数最大的项，只有当二项式系数与各项系数相等时，二者才一致．[答案](1)√(2)×(3)×2．(1－2x)15的展开式中的各项系数和是( )【导学号：95032084】A．1 B．－1C．215D．315B[令x＝1即得各项系数和，∴和为－1.]3．在(a＋b)10二项展开式中与第3项二项式系数相同的项是( )A．第8项B．第7项C．第9项D．第10项C[由二项式展开式的性质与首末等距离的两项的二项式系数相等．]4．(1－x)4的展开式中各项的二项式系数分别是( )【导学号：95032085】A．1,4,6,4,1B．1，－4,6，－4,1C．(－1)r C r4(r＝0,1,2,3)D．(－1)r C r4(r＝0,1,2,3,4)A[杨辉三角第4行的数字即为二项式系数．][合作探究·攻重难]个锯齿形数列：1,2,3,3,6,4,10,5，….记其前n项和为S n，求S19的值．图131[思路探究]由图知，数列中的首项是C22，第2项是C12，第3项是C23，第4项是C13，…，第17项是C210，第18项是C110，第19项是C211.[解]S19＝(C22＋C12)＋(C23＋C13)＋(C24＋C14)＋…＋(C210＋C110)＋C211＝(C12＋C13＋C14＋…＋C110)＋(C22＋C23＋…＋C210＋C211)＝(2＋3＋4＋…＋10)＋C312＝＋2＋220＝274.1．将全体正整数排成一个三角形数阵：1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15……按照以上排列的规律，第n 行(n ≥3)从左向右的第3个数为________．n 2－n ＋62[前n －1行共有正整数[1＋2＋…＋(n －1)]个，即n 2－n2个，因此第n 行第3个数是全体正整数中第⎝ ⎛⎭⎪⎫n 2－n 2＋3个，即为n 2－n ＋62.]012 2 018(1)求a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 2 018的值； (2)求a 1＋a 3＋a 5＋…＋a 2 017的值； (3)求|a 0|＋|a 1|＋|a 2|＋…＋|a 2 018|的值.【导学号：95032086】[思路探究] 先观察所求式子与展开式各项的特点，利用赋值法求解． [解] (1)令x ＝1，得a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 2 018＝(－1)2 018＝1.①(2)令x ＝－1，得a 0－a 1＋a 2－…－a 2 017＋a 2 018＝32 018. ②①－②得2(a 1＋a 3＋…＋a 2 017)＝1－32 018， ∴a 1＋a 3＋a 5＋…＋a 2 017＝1－32 0182.(3)∵T r ＋1＝C r2 018(－2x )r＝(－1)r·C r2 018·(2x )r， ∴a 2k －1＜0(k ∈N *)，a 2k ＞0(k ∈N )． ∴|a 0|＋|a 1|＋|a 2|＋|a 3|＋…＋|a 2 017| ＝a 0－a 1＋a 2－a 3＋…－a 2 017＋a 2018＝32 018.，(ax 2＋bx ＋c )m (a ，b ，c ∈R ，m ，n ∈N *)的式子求其展开式的各项系数之和，常用赋值法，只需令x ＝1即可；对(ax ＋by )n (a ，b ∈R ，n x ＝y ＝1即可．＋－2，－－2.2．已知(2x －3)4＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋a 3x 3＋a 4x 4，求： (1)a 0＋a 1＋a 2＋a 3＋a 4； (2)(a 0＋a 2＋a 4)2－(a 1＋a 3)2.[解] (1)由(2x －3)4＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋a 3x 3＋a 4x 4， 令x ＝1得(2－3)4＝a 0＋a 1＋a 2＋a 3＋a 4， 所以a 0＋a 1＋a 2＋a 3＋a 4＝1.(2)在(2x －3)4＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋a 3x 3＋a 4x 4中， 令x ＝1得(2－3)4＝a 0＋a 1＋a 2＋a 3＋a 4， ① 令x ＝－1得(－2－3)4＝a 0－a 1＋a 2－a 3＋a 4. ②所以(a 0＋a 2＋a 4)2－(a 1＋a 3)2＝(a 0－a 1＋a 2－a 3＋a 4)(a 0＋a 1＋a 2＋a 3＋a 4) ＝(－2－3)4(2－3)4＝(2＋3)4(2－3)4＝625.1．根据杨辉三角的特点，在杨辉三角同一行中与两个1等距离的项的系数相等，你可以得到二项式系数的什么性质？[提示] 对称性，因为C mn ＝C n －mn ，也可以从f (r )＝C rn 的图象中得到． 2．计算C knC k －1n ，并说明你得到的结论．[提示] C k n C k －1n ＝n －k ＋1k.当k <n ＋12时，C knC k －1n >1，说明二项式系数逐渐增大；同理，当k >n ＋12时，二项式系数逐渐减小．3．二项式系数何时取得最大值？[提示] 当n 是偶数时，中间的一项取得最大值；当n 是奇数时，中间的两项C n －12n，C n ＋12n相等，且同时取得最大值．已知f (x )＝(3x 2＋3x 2)n展开式中各项的系数和比各项的二项式系数和大992. (1)求展开式中二项式系数最大的项； (2)求展开式中系数最大的项.【导学号：95032087】[思路探究] 求二项式系数最大的项，利用性质知展开式中中间项(或中间两项)是二项式系数最大的项；求展开式中系数最大的项，必须将x ，y 的系数均考虑进去，包括“＋”“－”号．[解] 令x ＝1，则二项式各项系数的和为f (1)＝(1＋3)n ＝4n，又展开式中各项的二项式系数之和为2n .由题意知，4n －2n＝992.∴(2n )2－2n－992＝0， ∴(2n ＋31)(2n－32)＝0，∴2n ＝－31(舍去)或2n＝32，∴n ＝5.(1)由于n ＝5为奇数，∴展开式中二项式系数最大的项为中间两项，它们分别是 T 3＝C 25(x 23)3(3x 2)2＝90x 6，T 4＝C 35(x 23)2(3x 2)3＝270x 223.(2)展开式的通项公式为T r ＋1＝C r 53r·x 23(5＋2r )． 假设T r ＋1项系数最大， 则有{ C r 53r≥C r －15·3r －1，r 53r ≥C r ＋15·3r ＋1，∴⎩⎪⎨⎪⎧5！－r ！r ！×3≥5！－r ！r －！，5！－r ！r ！≥5！－r ！r ＋！×3，∴⎩⎪⎨⎪⎧3r ≥16－r ，15－r ≥3r ＋1.∴72≤r ≤92，∵r ∈N ，∴r ＝4. ∴展开式中系数最大的项为T 5＝C 45x 23(3x 2)4＝405x 263.3．(1＋2x )n的展开式中第6项和第7项的系数相等，求展开式中二项式系数最大的项和系数最大的项．[解] T 6＝C 5n (2x )5，T 7＝C 6n (2x )6， 依题意有C 5n 25＝C 6n ·26⇒n ＝8，∴(1＋2x )8的展开式中，二项式系数最大的项为T 5＝C 48·(2x )4＝1 120x 4.设第r ＋1项系数最大，则有∵r ∈{0,1,2，…，8}，∴r＝5或r＝6.∴系数最大的项为T6＝1 792x5，T7＝1 792x6.[当堂达标·固双基]1．已知(a＋b)n展开式中只有第5项的二项式系数最大，则n等于( )A．11 B．10C．9 D．8D[第5项的二项式系数最大，故展开式为9项，∴n＝8.]2．在(x＋y)n展开式中第4项与第8项的系数相等，则展开式中系数最大的项是( )【导学号：95032088】A．第6项B．第5项C．第5、6项D．第6、7项A[因为C3n＝C7n，所以n＝10，系数最大的项即为二项式系数最大的项．]3．若(x＋3y)n的展开式中各项系数的和等于(7a＋b)10的展开式中二项式系数的和，则n的值为________．5[(7a＋b)10的展开式中二项式系数的和为C010＋C110＋…＋C1010＝210，令(x＋3y)n中x＝y ＝1，则由题设知，4n＝210，即22n＝210，解得n＝5.]4．(2x－1)6展开式中各项系数的和为________；各项的二项式系数和为________.【导学号：95032089】1 64[在二项式中，令x＝1，得各项系数和为1；各项的二项式系数之和为26＝64.]5．已知(a－x)5＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a5x5，若a2＝80，求a0＋a1＋a2＋…＋a5的值．[解](a－x)5展开式的通项为T k＋1＝(－1)k C k5a5－k x k，令k＝2，得a2＝(－1)2C25a3＝80，解得a＝2，即(2－x)5＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a5x5，令x＝1，得a0＋a1＋a2＋…＋a5＝1.所以a0＋a1＋a2＋…＋a5＝1.。
【全程复习方略】2013版高中数学 (主干知识+典例精析)2.4一次函数和二次函数课件 理 新人教B版
一次函数、减函数及图象与直线y=x+1的交点在x轴上时，求m的
值.在解题方法上可从相关的定义出发，确定m的值.
1 3m 0 【规范解答】(1)由题意，得 ， 2m 1 0
1 m 1 3 ， m . 3 m 1 2
(2)函数为一次函数，只需且必须2m-1≠0,
第四节 一次函数和二次函数
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三年4考
高考指数:★★
1.会用基本初等函数的图象理解、分析、研究函数的性质； 2.会用一次函数、二次函数模型解决实际问题.
1.二次函数图象的应用及求最值是高考的热点. 2.常将二次函数及相应的一元二次不等式、一元二次方程交汇 在一起命题,重点考查三者之间的综合应用. 3.题型以选择题、填空题为主,若与导数、解析几何知识交汇， 则以解答题的形式出现.
实数a的取值范围．
【解题指南】解答本题(1)需将f(x)化为分段函数,从而转化为
画二次函数图象的问题,但要注意函数的定义域；
(2)分a=0,a≠0两种情况讨论, 而a≠0,又需按对称轴与区间[1,2]的关系,再次分类讨论. (3)可由h′(x)≥0在[1,2］上恒成立求解.
【规范解答】(1)当a=1时，
2=k+b k=1 则有 ， ， y x 1. 5=4k+b b=1
(4)设y=a(x+1)2-3,又过点(0,-4), ≨-4＝a(0+1)2-3,解得a=-1,
≨y=-(x+1)2-3=-x2-2x-4.
答案：(1)①是 ②是 ③否
(2)①否
(3)y=x+1
②是
b . k
截距为实数，可以是正数、负数或零，它不是直线与坐标轴 交点到原点O的距离.
【全程复习方略】-高中数学 第1部分 第一章 1.1 1.1.2 第二课时 算法的基本逻辑结构(
转化．
[例1] 设计求1×2×3×4×…×2 010×2 011×2 012. [思路点拨] 确定计数变量、累计变量和循环体后利用循
环结构画出框图
[精解详析]
算法如下：
第一步，设M的值为1；
第二步，设i的值为2； 第三步，如果i≤2 012，则执行第四步，否则执行第六步； 第四步，计算M乘i并将结果赋给M； 第五步，计算i加1并将结果赋给i，返回执行第三步；
首先进行第一轮投票，如果有一个城市得票超过总票数的
一半，那么该城市就获得主办权；如果所有申办城市得票 数都不超过总票数的一半，则将得票最少的城市淘汰，然 后重复上述过程，直到选出一个申办城市为止．
问题1：上述投票选举城市申办奥运会是算法吗？
提示：是
问题2：该投票过程即算法问题里与前面学过的 又有何不同点？ 提示：不同点是当申办城市得票数都不超过总票 数一半时，要多次重复投票操作
问题3：该算法若用框图表示，只有顺序结构与
条件结构可以吗？ 提示：不可以
问题4：在该算法中，要多次重复操作，那么
控制重复操作的条件及重复的内容是什么？ 提示：控制重复操作的条件是有城市得票超过 总票数的一半，重复的内容是淘汰得票最少的城市 问题5：该算法能用程序框图表示吗？
提示：能
1．循环结构的概念及相关内容 (1)循环结构：从某处开始按照一定的条件 反复执行 某
(2)建立数学模型；
(3)用自然语言表述算法步骤；
(4)确定每一个算法步骤所包含的逻辑结构，对于要重 复执行的步骤，通常用循环结构来设计，并用相应的程序框 图表示，得到表示该步骤的程序框图； (5)将所有步骤的程序框图用流程线连接起来，并加上
些步骤的情况．
(2)循环体： 反复执行 的步骤．
【全程复习方略】(陕西专用)高考数学 11.3 二项式定理课时提能演练 理 北师大版
【全程复习方略】（陕西专用）2013版高考数学 11.3 二项式定理课时提能演练理 北师大版(45分钟 70分)一、选择题(每小题5分，共30分)1.(2x-1)6=a 6x 6+a 5x 5+a 4x 4+a 3x 3+a 2x 2+a 1x+a 0，则a 2=( )(A)60 (B)-60 (C)160 (D)15 2.(2012·西安模拟)二项式(x 2－13x)8的展开式中常数项是( ) (A)－28 (B)－7 (C)7 (D)283.(x ＋1)2＋(x ＋1)11＝a 0＋a 1(x ＋2)＋a 2(x ＋2)2＋…＋a 10(x ＋2)10＋a 11(x ＋2)11，则a 1＝( )(A)9 (B)-10 (C)11 (D)-124.(预测题)若n的展开式中含有非零常数项，则这样的正整数n 的最小值是( ) (A)3 (B)4(C)10 (D)125.(2012·亳州模拟)设(n 5x 的展开式的各项系数之和为M ，二项式系数之和为N ，若M-N=240，则展开式中x 3的系数为( )(A)-150(B)150 (C)-500 (D)500 6.若(1-2x)2 013=a 0+a 1x+…+a 2 013x 2 013(x ∈R),则 2 0131222013a a a 222++⋯+的值为 ( ) (A)2 (B)0 (C)-1(D)-2 二、填空题(每小题5分，共15分)7.(易错题)(1+x+x 2)(x-1x)6的展开式中的常数项为______. 8.(2011·安徽高考)设(x-1)21=a 0+a 1x+a 2x 2+…+a 21x 21，则a 10+a 11=_______. 9.若多项式x 2+x 10=a 0+a 1(x+1)+…+a 9(x+1)9+a 10(x+1)10,则a 9=______.三、解答题(第10题12分，第11题13分，共25分)10.已知(1+x)+(1+x)2+(1+x)3+…+(1+x)8=a 0+a 1x+a 2x 2+a 3x 3+…+a 8x 8(1)求a 0和a 2的值;(2)计算a 1+a 2+a 3+…+a 8.11.(2012·九江模拟)已知n的展开式前三项的系数成等差数列.(1)求展开式里所有的有理项； (2)求展开式里二项式系数最大的项.【选做•探究题】若某一等差数列的首项为112n 2n 25n 113n C A ,----公差为m 52x （展开式中的常数项,其中m 是7777-15除以19的余数，则此数列前多少项的和最大？并求出这个最大值.答案解析1.【解析】选A.由题可知(2x-1)6=(1-2x)6∴T 3=()226226C 12x 60x --=,因此a 2=60.2.【解析】选C.由T r ＋1＝r 8C (x 2)8－r (－x 13-)r ＝r 8C ·(12)8－r ·(－1)r ·x 244r 3-，令24－4r ＝0，得r ＝6，∴T 7＝68C ·(12)2·(－1)6＝7. 【变式备选】在(x 2－13x)n 的展开式中，只有第5项的二项式系数最大，则展开式中的常数项是( ) (A)－7 (B)7 (C)－28 (D)28[【解析】选B.由已知得n ＝8，T k ＋1＝C k 8(x 2)8－k (－13x)k ＝(－1)k C k 8(12)8－k x 4k 8-3，令8－4k 3＝0得k ＝6，故展开式中的常数项为(－1)6C 68(12)2＝7. 3.【解析】选A.(x ＋1)2＋(x ＋1)11＝(x ＋2－1)2＋(x ＋2－1)11，所以a 1＝－2＋1011C ＝－2＋11＝9.4.【解析】选B.T r ＋1＝)r n r n r rr r r r n r 3n n 3C (C (1)x x 2-－－－＝－（）＝4n r n r rr 3n C (x －－，令n －43r ＝0，得n ＝43r. ∴n 的最小值为4.5.【解析】选B.令x=1得M=4n，又N=2n ，∴4n -2n -240=0 ∴2n =16,∴n=4. ()()()()rrr4r 44r r r r rr4r r4r 222r 1444T C 5x 1x C 51x C 51x .-+----+=-=-=-令4-12r=3,∴r=2,∴x 3的系数为24C ×52×(-1)2=6×25×1=150. 6.【解题指南】结合二项展开式及所求式子的特点，灵活对x 赋值再计算。
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(3)二项式系数 Ck n 与展开式中项对应的系数不一定相等， 二项式系数一定为正，而项的系数有时可以为负 . (4)每一项的次数是一样的，即为n次，展开式依a的降幂、 b的升幂排列展开.
2.对通项公式的理解
k n－k k a b 是第k+1项，而不是第k项. (1)Tk1 Cn
(2)通项公式 Tk1 Cna
k n－k
bk 主要用于求二项式的指数n、求满
足条件的项或系数，根据不同问题选择不同的解法 .
类型一
二项式定理的应用
【典型例题】 1.设S＝(x-1)4＋4(x-1)3＋6(x-1)2＋4(x-1)＋1，它等 于( ) B.(x-1)4 D.(x＋1)4
1 4 ). x
A.(x-2)4 C.x4 2.用二项式定理展开 (2 x
k n k k a b ，合并通项公式中同一字母的 2.利用通项公式 Tk1 Cn
指数，求出二项式的通项的最简形式，然后根据条件中的特 定项确定k的值，再将k代入求解.
2 k 2 5 k 【解析】1.选C.设展开式的通项为 Tk1 C ( 3 ) x x
k 5
k 105k 2 C5 x ， k
(2 x 方法二：
1 4 2x 1 4 1 ) ＝( ) ＝ 2 (2x 1) 4 x x x
1 4 0 3 1 2 2 1 3 1 2 3 ＝ 2 ［C0 2x 1 ＋ C 2x 1 ＋ C 2x 1 ＋ C 2x 1 4 4 4 4 x 1 0 4 4 ＋C4 2x 1 ］＝ 2 (16x 4＋32x 3＋24x 2＋8x＋ 1) x 8 1 ＝ 16x 2＋32x＋24＋ ＋ 2 . x x
1 2 2 3 3 n n C0 n 1 C n 1 8 C n 1 8 C n 1 8 C n 1 8 1 n 1 Cn 8n 9 n 1 8
2 3 3 n n n 1 1 (n 1) 8 C2 8 C 8 C 8 8 8n 9 n1 n1 n1 2 3 3 n n n 1 C2 8 C 8 C 8 8 n1 n1 n1 3 n n 2 n 1 82 (C2 C 8 C 8 8 ). n1 n1 n1
【拓展提升】
1.求二项展开式特定项的步骤
2.求二项展开式的特定项常见题型及处理措施
k1 n－k1 k 1 b . (1)求第k项.Tk＝Cn a
(2)求常数项.对于常数项，隐含条件是字母的指数为 0(即0次 项). (3)求有理项.对于有理项，一般是根据通项公式所得到的 项，其所有的字母的指数恰好都是整数的项．解这类问题必 须合并通项公式中同一字母的指数，根据具体要求，令其属 于整数，再根据数的整除性来求解.
提示：(1)错误.从整体看，(a＋b)n与(b＋a)n相同，但具体
k n－k k a b， 到某一项是不同的，如(a＋b)n的第k＋1项 Tk＋1＝Cn k n－k k b a . 解题时，题中给出的二项 (b＋a)n的第k＋1项 Tk＋1＝Cn
式的两项是不能随意变换的.
n－k k n a b (2)错误. Ck 是 (a+b) 展开式中的第k+1项，而不是第k n
【解题探究】
1.逆用二项式定理进行化简应注意哪些事项？
2.二项式定理是什么？运用二项式定理展开二项式的关键是
什么？
探究提示: 1.逆用二项式定理可将多项式化简，求解时，要熟悉公式的 特点、项数、各项幂指数的规律以及各项的系数 .判断是否符 合二项式定理．
0 n 0 1 n 1 k n k k 2.二项式定理是 a b Cn a b Cn a b Cn a b n
(4)求整式项.求二项展开式中的整式项，其通项公式中同一 字母的指数应是非负整数，求解方式与求有理项一致． 【提醒】在实际求解时，若通项中含有根式，宜把根式化为 分数指数幂，以减少计算中的错误.
【变式训练】1.(2013·济南高二检测) (3x
1 中含 3 项的系数是( x
1
3
x2
)7 的展开式
n－k k a b 1 Ck n k
n
n
n－k k Ck b na
判断：(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)在公式中，交换a，b的顺序对各项没有影响.( (2) Cn a
k n－k
)
bk 是(a+b)n展开式中的第k项.(
) )
(3)(a－b)n与(a+b)n的二项式展开式的二项式系数相同.(
2.利用二项式证明多项式的整除问题的策略 关键是将被除式变形为二项式的形式，使其展开后每一项均 含有除式的因式．若f(x)，g(x)，h(x)，r(x)均为多项式， 则 (1)f(x)＝g(x)·h(x)⇔f(x)被g(x)整除． (2)f(x)＝g(x)·h(x)＋r(x)⇒r(x)为g(x)除f(x)后得的余 式．
(n+1) 项. 开式中一共有______
k C n (k 0,1,2,,n) 3.二项式系数：各项的系数_______________.
思考：二项式系数与项的系数有什么区别？ 提示：二项式系数与项的系数是完全不同的两个概念．二项
，Cn，它只与各项的项数有关，而与a， 式系数是指 Cn，Cn，
【拓展提升】运用二项式定理的解题策略
(1)正用：运用二项式定理展开二项式，要记准展开式，注意
二项式定理的结构特征，准确理解二项式的特点是展开二项
式的前提条件.对于较复杂的二项式，有时先化简再展开更简
捷.如求(1－x)5(1+x+x2)5的展开式，可根据anbn=(ab)n将原
式变形为(1－x3)5，然后展开比较方便. (2)逆用：逆用二项式定理可将多项式化简，对于这类问题的 求解，要熟悉公式的特点、项数、各项幂指数的规律以及各 项的系数.
项.
1 2 k n ，Cn ， ，Cn . (3)正确.二项式系数依次为 C0 n，Cn，Cn，
答案：(1)〓
(2)〓
(3)√
【知识点拨】 1.二项展开式的结构特征 (1)项数：共有n＋1项.
1 2 k n ， C ， C ， ， C ， ， C (2)二项式系数：依 k 3
A.7
B.-7
D.21
【解析】选D.因为展开式的通项为Tk+1=
C 3x
k 7 7 k
(
1
3
x2
) 1 3
k k
7 k
Cx
k 7
, 令 7 5 k 3, 3
得k=6，所以系数为21.
2.(2013·天津高考) (x－ 为________.
【典型例题】 1.(2013·哈尔滨高二检测)已知2×1010+a(0≤a＜11)能被 11整除，则实数a的值为______.
2.求证：32n+2-8n-9(n∈N*)能被64整除.
【解题探究】 1.利用二项式定理解决整除问题的关键是什么？ 2.利用二项式定理证明多项式的整除问题的关键是什么？ 探究提示： 1.用二项式定理解决整除时，关键将幂底数写成除数 m的整数 倍加上或减去r(0≤r<m)的形式. 2.关键是将被除式变形为二项式的形式，使其展开后每一项 均含有除式的因式.
所以当10-5k=0,即k=2时，Tk+1为常数.
2 即 Tk1 2 C5 40. 2
1 4 k 8 k a k 8－k k k 8－k k k k 2.因为 Tk1 C8 x ( 3 ) C8 x x 3 a C8 x 3 a ， x 4 8 k 4， 令 则k=3， 3 1 3 3 a . 所以 C8a 7, 解得 2 1 答案： 2
又 Cn1 Cn1 8 Cn1 8
2 3 n
n2
8n1 是整数，
所以32n+2-8n-9能被64整除.
【拓展提升】 1.整除性问题或求余数问题的处理方法 (1)解决这类问题，必须构造一个与题目条件有关的二项式． (2)用二项式定理处理这类问题，通常把被除数的底数写成除 数(或与除数密切关联的数)与某数的和或差的形式，再用二 项式定理展开，只考虑后面(或者是前面)的几项就可以了． (3)要注意余数的范围，a=cx+b式子中b为余数，b∈［0，r)， r是除数，利用二项式定理展开式变形后，若剩余部分是负数 要注意转换．
类型二
利用通项公式求某些特定项或其系数
【典型例题】
2 1.(2013·江西高考) (x
2 5 ) 展开式中的常数项为( 3 x
)
A.80
B.-80
C.40
D.-40
2.(2013·安徽高考)若 (x 则实数a=________.
a 8 ) 的展开式中x4的系数为7， 3 x
【解题探究】
1.常数项隐含的条件是什么？ 2.如何求某一特定项的系数？ 探究提示： 1.对于常数项，隐含条件是字母的指数为 0(即0次项).
1.3 二项式定理
1.3.1 二项式定理
一、二项式定理及相关概念
0 n 1 n 1 k n k k n n C a C a b C a b C n n n nb 1.二项式定理：(a+b) =_______________________________.
n
二项展开式 ，展 2.展开式：等号右边的多项式叫做(a+b)n的___________
0 1 n
b的值无关；而项的系数是指该项中除变量外的部分，它不仅 与各项的二项式系数有关，而且也与a，b的值有关．
二、二项展开式的通项 1.(a+b) 的通项：(a+b) 展开式中第k+1项Tk+1= ___________ (k=0，1，2,„，n) 称为二项展开式的通项公式. __________________ 2.(a－b)n的通项：将-b看成b代入二项式定理中，得到(a－ b)n,展开式中第k+1项Tk+1=____________.