由柯西收敛原理证确界存在定理说课材料
用确界原理证明柯西收敛准则
用确界原理证明柯西收敛准则柯西收敛准则是数列收敛的一个重要准则，它是由法国数学家柯西所提出的。
它的表述是：如果数列 ${a_n}$ 满足对于任意$varepsilon>0$，存在正整数 $N$，当 $n,m>N$ 时，有 $|a_n-a_m|<varepsilon$，则称数列 ${a_n}$ 是柯西收敛的，或者称其为基本收敛的。
柯西收敛准则是收敛概念的一种等价表述，其证明可以通过极限的定义或确界原理等多种方式进行。
本文将以确界原理为基础，详细阐述柯西收敛准则的证明过程。
二、确界原理在证明柯西收敛准则之前，我们先来介绍一下确界原理。
确界原理是数学分析中的一个基本原理，它是指：非空有上界的实数集合必有上确界，非空有下界的实数集合必有下确界。
具体来说，如果实数集合 $S$ 非空且有上界，则存在一个实数$M$，使得对于所有 $xin S$，都有 $xleq M$；这个实数 $M$ 被称为 $S$ 的上确界。
类似地，如果实数集合 $S$ 非空且有下界，则存在一个实数 $m$，使得对于所有 $xin S$，都有 $xgeq m$；这个实数 $m$ 被称为 $S$ 的下确界。
在数学证明中，确界原理常常被用来证明一些重要定理，例如最大值定理、中值定理等。
三、柯西收敛准则的证明在进行柯西收敛准则的证明之前，我们先来说明一个引理：引理1：若数列 ${a_n}$ 满足对于任意 $nin mathbb{N}$，都有 $a_nleq a_{n+1}$，则 ${a_n}$ 收敛当且仅当 ${a_n}$ 有上界。
证明：设 ${a_n}$ 收敛于 $a$，则对于任意$varepsilon>0$，存在正整数 $N$，当 $n>N$ 时，有 $|a_n-a|<varepsilon$。
因为 $a_nleq a_{n+1}$，所以 $a_Nleqa_{N+1}leq cdots leq a_nleq a$。
由柯西收敛原理证确界存在定理
有限覆盖定理→紧致性定理证明：设数列}{n x 满足 b x a n ≤≤。
先证0x ∃∈[b a ，]， 在0x 的任一邻域 (ε-0x ,ε+0x )中必含有n x 的无限项。
如果不然。
x ∀∈[b a ，]，x δ∃0 ，使(x x δ-,x x δ+)只含}{n x 的有限项。
记E={(x x δ-,x x δ+)|x ∈[b a ，]，x δ由上产生}，是[b a ，]的一个覆盖。
由有限覆盖定理，知∃E 中有限个开区间（11δ-x ,11δ+x ）(22δ-x ,22δ+x )…… (k k x δ-,k k x δ+)覆盖],[b a 。
则一方面：由覆盖的定义，}{n x 中的所有项包含于这有限个开区间内，另一方面，因为{i i x δ-,i i x δ+}（),...2,1k i =均只含}{n x 的有限项，故这有限个开区间只包含}{n x 中的有限项，这将互相矛盾。
故0x ∃∈[b a ，]， 在0x 的任一邻域 (ε-0x ,ε+0x )中必含有n x 的无限项。
特别地，取1=ε，则∃)1,1(001+-∈x x x k ，取2/1=ε，则∃)(),2/1,2/1(12002k k x x x k >+-∈， ……取n /1=ε，则∃)(),/1,/1(100->+-∈n n k k k n x n x x n……则}{n k x 为}{n x 的子数列,满足0<n x x n k /10<-)(,0∞→→n故}{nk x 收敛于0x 。
定理证完柯西收敛定理→确界存在定理以非空有上界数集必有上确界为例来证明证明：设数集A 非空有上界， 设1b 是A 的上界因为A 非空，设A x ∈0，则存在1a <0x ，1a 就不是A 的上界。
1a 1b ，用1a ，1b 的中点211b a +二等分[1a ，1b ]，如果211b a +是A 的上界，则取[2a ，2b ]=[1a ，211b a +]；如果211b a +不是A 的上界，则取[2a ，2b ]=[211b a +，1b ]；用2a ，2b 的中点222b a +二等分[2a ，2b ]……如此继续下去，得一闭区间列{],[n n b a }，对n ∀，⊃],[n n b a ],[11++n n b a ，∞→n lim （n n a b -）=0数列{ n a }，{n b }满足n ∀， n a 不是A 的上界，n b 是A 的上界。
第十讲 柯西收敛准则
第十讲、柯西收敛准则定理10.1 . （柯西收敛准则）数列{}n x 极限存在的充要条件是:对于0ε∀>存在正数 N , 使当n N >时, 对于一切p +∈ 有||n p n x x ε+−<注记10.1. （I ）柯西准则的意义是：数列{}n x 是否有极限可以根据其一般项的特性得出，而不必事先知晓其极限的具体值(见下面的例子10.2）。
（II ）定理10.1的逆否命题为：（柯西收敛准则）数列{}n x 极限不存在的充要条件是: 00ε∃>，使得对 +N ∀∈ , 均存在n N >时, 存在p +∈ ，使得0||n p n x x ε+−≥例子10.1设sin 2n n x n =，试用柯西收敛准则证明该数列极限存在。
证明：注意到sin 2()sin 2sin 2()sin 2||=112n p n n p n n p n x x n p n n p nn p n n +++−−≤+++≤+≤+于是，对0ε∀>，取正数 2=N ε, 则当n N >时, 对于一切p +∈ 有2||n p n x x n ε+−≤<。
故由定理10.1柯西收敛准则可知sin 2lim n n n →∞存在。
证毕。
例子10.2.设222111123n x n =++++ ，证明数列{}n x 收敛。
证明：注意到222111||=(1)(2)()111(1)(1)(2)(1)()1111111121111n p n x x n n n p n n n n n p n p n n n n n p n p n n p n+−++++++≤+++++++−+ =−+−++− ++++−+=−<+ 于是，对0ε∀>，取正数 1=N ε, 则当n N >时, 对于一切p +∈ 有1||n p n x x nε+−≤<。
故由定理10.1柯西收敛准则可知222111lim 123n n →∞ ++++ 存在。
用柯西收敛准则证明确界原理
用柯西收敛准则证明确界原理确界原理（Bolzano–Weierstrass theorem）是实数完备性的一个重要结果之一，它表明，一个有界数列必然有收敛的子数列。
在证明确界原理时，通常会使用柯西收敛准则（Cauchy convergence criterion）。
柯西收敛准则也被称为柯西准则，是一种用来判断数列是否收敛的方法。
准则的表述如下：对于任意给定的正数ε，存在一个正整数N，对于所有的正整数m、n>N，当满足，m-n，<N时，必有，am-an，<ε。
现在，我们来证明确界原理。
假设我们有一个有界数列{an}，它的上界为M，下界为m。
根据确界的定义，我们可以找到一个M的上界m'，使得m' > m。
我们可以将这个上界作为第一个数列中的一些项，将其他的项作为第二个数列。
前一个数列的上界是m'，下界是m，后一个数列的上界和下界与原有数列的上界和下界相同。
所以，我们可以将问题简化为证明下列命题：如果存在一个有界数列，其上界为M，且存在一个正整数N，使得当n>N时，有，a_N-an，<ε，则可以找到一个收敛的子数列，其极限为a_N。
根据柯西收敛准则，我们可以找到一个正整数N，满足当n,m>N时，有，an-am，<ε/2、（注意：这里的n和m是任意的正整数）注意到数列{an}是有界的，所以它至少有一个收敛子数列，我们将其表示为{an_k}，极限为a。
由于{an_k}是一个收敛数列，根据收敛数列的定义，对于给定的ε/2，我们可以找到一个正整数K，当k>K时，有，an_k-a，<ε/2现在我们来证明{an_k}的极限也是{an}的极限。
对于给定的ε，选择N=max(N,K)，则当n>N时，有：an-a，≤ ，an - an_k， + ，an_k - a，< ε/2 + ε/2 = ε这证明了{an_k}的极限也是{an}的极限。
用柯西收敛准则证明确界原理
用柯西收敛准则证明确界原理用柯西收敛准则证明确界原理什么是确界原理•确界原理是数学中的一个基本原理，也被称为上确界原理或最大元原理。
在实际问题中，确界原理常常用于证明数列或函数的存在性及性质。
什么是柯西收敛准则•柯西收敛准则是数学分析中用于判断数列的收敛性的一种方法。
根据柯西收敛准则，如果对于任意给定的正数ε，序列的后续项差的绝对值小于ε时，我们可以说这个序列是收敛的。
如何用柯西收敛准则证明确界原理1.首先，让我们考虑一个数列{a_n}，假设它是一个有上界的数列。
2.我们借助确界原理来证明这个数列必然存在一个上确界。
3.根据确界原理，我们需要证明数列的上确界是存在的、唯一的。
4.为了证明数列的上确界存在，我们需要使用柯西收敛准则。
5.根据柯西收敛准则，我们需要证明对于任意给定的正数ε，数列的后续项差的绝对值小于ε。
6.我们可以假设存在一个正数ε，使得数列的后续项差的绝对值大于等于ε，即|a_m - a_n| >= ε，其中m、n为自然数且m > n。
7.由于数列有上界，所以存在一个上确界M，使得M >= a_n对于所有的n。
8.考虑数列的后续项差a_m - a_n，由于数列有上确界，所以存在一个N，使得a_N >= M - ε。
9.由于a_N >= M - ε，所以a_m >= a_N，即a_m >= M - ε。
10.综合前两步得到的不等式，我们可以得到a_m - a_n >= (M - ε)- a_n。
11.由于|a_m - a_n| >= ε，所以(M - ε) - a_n >= ε，即M -2ε >= a_n。
12.这与M >= a_n矛盾，因此假设不成立。
13.因此，对于任意给定的正数ε，数列的后续项差的绝对值小于ε，即数列满足柯西收敛准则。
14.根据柯西收敛准则，数列是收敛的。
15.则存在一个上确界M，即数列的确界是存在的。
学年论文-数学分析七大定理的相互证明
云南大学课题名称：数学分析七大定理的相互证明学院：数学与统计专信息与计算科学业：指导教师：何清海学生姓名：段飞龙学生学号20101910050目录摘要关键词 .、八、-前U言,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,, 结论十口V U j j j j j j j j j j j j j j j j j j j j j j j j j j j j j j j j j参考文献,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,摘要：数学分析中的单调有界性定理、闭区间套定理、确界存在性定理、有限覆盖定理、Weierstrass聚点定理、致密性定理以及柯西收敛准则，虽然他们的数学形式不同，但他们都描述了实数集的连续性，在数学分析中有着举足轻重的作用。
关键词：单调有界性定理闭区间套定理确界存在性定理有限覆盖定理Weierstrass聚点定理致密性定理柯西收敛准则前言：一、七大定理定理1单调有界性定理(1 )、上确界上确界的定义“上确界”的概念是数学分析中最基本的概念。
考虑一个实数集合M.如果有一个实数S,使得M中任何数都不超过S,那么就称S是M的一个上界。
在所有那些上界中如果有一个最小的上界，就称为M的上确界。
一个有界数集有无数个上界和下界，但是上确界却只有一个。
上确界的数学定义有界集合S,如果B满足以下条件①对一切x • S，有X —，即［是S的上界；②对任意存在x • S，使得x • ：•，即一：又是S的最小上界，则称1为集合S的上确界，记作一：二supS (同理可知下确界的定义)在实数理论中最基本的一条公理就是所谓的确界原理：“任何有上界(下界)的非空数集必存在上确界(下确界)”。
上确界的证明(1)每一个x • X满足不等式x空m ;⑵对于任何的；-0,存在有x X ,使x' M -；则数M =sup、x f称为集合X的上确界。
(2)下确界下确界的定义“下确界”的概念是数学分析中最基本的概念。
柯西收敛准则证明确界原理
柯西收敛准则证明确界原理哎呀，今天咱们来聊聊一个挺有意思的数学话题——柯西收敛准则和极界原理。
这两个概念就像两个老朋友，虽然各自有各自的性格，但结合起来，能让我们更好地理解数学的奥秘。
想象一下，你在街边的小摊上，瞧见一群人围着，那个摊主可是个高手，能把简单的食材做出让人惊艳的美味。
这就是数学，简单而又复杂。
柯西收敛准则，听起来有点拗口，但别担心。
简单来说，它的意思就是：如果一个数列的后面项之间越来越接近，也就是说，它们的差别越来越小，那这个数列就可以认为是收敛的。
就像你和朋友一起聚会，大家聊得越来越投机，最后干脆约定下一次再聚。
这里面其实就有个趋势，数列也一样，慢慢趋近于某个值，像是个“聚会点”。
有个小故事，说是有个学生在学习这个准则的时候，总是觉得无从下手。
一天，他突然灵光一现，决定用实际生活中的例子来理解这个概念。
他发现每次和朋友们聚餐，大家点的菜越来越少，最后都是分享一盘小菜。
他们之间的距离越来越近，哈哈，这不是正好是柯西收敛准则的真实写照吗？所以说，数学就藏在我们的日常生活里，别小看这些简单的例子。
再聊聊极界原理。
这玩意儿也很有意思。
极界原理其实是说，一个有界的序列，如果它的所有子列都有极限，那这个序列的极限也存在。
这就像你们有个小圈子，虽然每次聚会的主题不一样，但大家都是在某个界限内活动。
想象一下，你们每次聚会都约在同一个咖啡馆，虽然聊的话题千变万化，但最终的感觉都是温馨的。
这个温暖就是极限，而大家的共同点就是那个界限。
柯西和极界这两者之间有啥关系呢？嘿，答案就是：一个是趋势，一个是界限。
它们像一对好搭档，互相补充。
你要是想知道一个序列的收敛性，柯西准则告诉你看“朋友们之间的距离”，而极界原理则提醒你关注“圈子里的活动范围”。
这两者结合，就像一把钥匙，能打开更深的数学大门。
话说回来，学习这些理论时，可能一开始会有点晕头转向，但别忘了，慢慢来，不急。
你可以把它们看作拼图，拼的过程虽然有点折磨，但完成后的那一瞬间，绝对会让你心满意足。
第十讲柯西收敛准则
第十讲柯西收敛准则柯西收敛准则是数学分析中一个重要的收敛判定准则，通过它我们可以判断一个数列是否收敛。
在数学分析中，数列是由一系列有序的数按照一定规律排列而成的，我们通常关心的是这个数列是否有一个极限值。
柯西收敛准则是通过数列中各项之间的距离来判断数列的收敛性。
柯西收敛准则的原理是：对于一个数列{an}，如果对于任意给定的正数ε，总存在一个正整数N，使得当n>N时，所有后续项an与前项之间的差值小于ε，那么数列{an}就是收敛的。
具体来说，柯西收敛准则可以形式化为以下定义：对于一个数列{an}，如果对于任意给定的正数ε，都存在一个正整数N，使得当n，m>N时，有，an - am，<ε，那么数列{an}就是收敛的。
其中，ε表示误差范围，N表示柯西收敛序列中的一些位置。
柯西收敛准则的直观解释是：当数列中的元素逐渐靠近一些极限值时，元素之间的距离也会逐渐变小，直到无限接近于零。
也就是说，如果数列是收敛的，那么无论选择多小的误差范围ε，我们总可以找到一个足够大的位置N，使得大于该位置的所有后续项都在ε的误差范围之内。
柯西收敛准则可以应用于各种不同类型的数列，比如数列中的元素可以是实数，复数，还可以是无限级数或者函数序列等等。
它在数学分析中的应用非常广泛，特别是在序列极限的证明中，经常可以用到柯西收敛准则进行推导和判断。
柯西收敛准则的证明可以通过数列的有界性以及数学分析中的等式推导和不等式性质来进行。
首先，根据柯西收敛准则的定义，我们可以推导出数列是有界的，即存在一个常数M，使得对于所有的n，有，an，<= M。
其次，通过等式推导和不等式性质，我们可以得到：，an - am， <= ，an - an+1， + ，an+1 - an+2， + ... + ，am-1 - am。
由于an满足柯西收敛准则，所以取n > N时，保证，an - am，小于给定误差ε。
于是，通过上述等式和不等式，我们可以得到从n > N开始，数列中的任意两项an和am之间的差值都小于ε，即数列满足柯西收敛准则。
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由柯西收敛原理证确界存在定理
有限覆盖定理→紧致性定理
证明：设数列}{n x 满足 b x a n
≤≤。
先证0x ∃∈[b a ，]， 在0x 的任一邻域 (ε-0x ,ε+0x )中必含有n x 的无限项。
如果不然。
x ∀∈[b a ，]，x δ∃0φ，使(x x δ-,x x δ+)只含}{n x 的有限项。
记E={(x x δ-,x x δ+)|x ∈[b a ，]，x δ由上产生}，是[b a ，]的一个覆盖。
由有限覆盖定理，知∃E 中有限个开区间（11δ-x ,11δ+x ）(22δ-x ,22δ+x )…… (k k x δ-,k k x δ+)覆盖],[b a 。
则
一方面：由覆盖的定义，}{n x 中的所有项包含于这有限个开区间内，另一方面，因为{i i x δ-,i i x δ+}（),...2,1k i =均只含}{n x 的有限项，故这有限个开区间只包含}{n x 中的有限项，这将互相矛盾。
故0x ∃∈[b a ，]， 在0x 的任一邻域 (ε-0x ,ε+0x )中必含有n x 的无
限项。
特别地，取1=ε，则∃)1,1(001+-∈x x x k ，
取2/1=ε，则∃)(),2/1,2/1(12002k k x x x k >+-∈， ……
取n /1=ε，则∃)(),/1,/1(100->+-∈n n k k k n x n x x n ……
则}{n k x 为}{n x 的子数列,满足0<n x x n k /10<-)(,0∞→→n 故}{n k x 收敛于0x 。
定理证完
柯西收敛定理→确界存在定理
以非空有上界数集必有上确界为例来证明 证明：设数集A 非空有上界，
设1b 是A 的上界
因为A 非空，设A x ∈0，则存在1a <0x ，
1a 就不是
A 的上界。
π1a 1b ，用1a ，1b 的中点2
11b a +二等分[1a ，1b ]，如果2
11b a +是A 的上界，
则取
[2a ，2b ]=[1a ，2
11b a +]；如果2
11b a +不是A 的上界，则取[2a ，
2b ]=[2
1
1b a +，1b ]；用2a ，2b 的中点2
22b a +二等分[2a ，2b ]……如此继续下
去，得一闭区间列{],[n n b a }，对n ∀，⊃],[n n b a ],[11++n n b a ，∞
→n lim （n n a b -）=0
数列{ n a }，{n b }满足n ∀， n a 不是A 的上界，n b 是A 的上界。
下证{ n a }，{n b }是收敛数列。
Θ∞
→n lim （n n a b -）=0，即0φε∀，N ∃，当N n φ
，有|n n a b -|επ。
又对+∈∀Z p ，n a ≤p n a +≤p n b +≤n b ，故|-+p n a n a |≤（n n a b -）επ，故{ n a }是收敛的，设∞
→n lim n a =r 。
又因∞
→n lim （n n a b -）=0，故∞
→n lim n b =r
最后证r=supA 。
因为n b 是A 的上界，故对n b x A x ≤∈∀,，由极限的保序性，r x ≤ 即r 是A 的上界，
设任一r r <'，我们来说明r '不是A 的上界
由∞
→n lim n a =r r '>，则N ∃，当N n φ，有r a n '>。
而对n ∀， n a 不是A 的上
界，故r '就不能是A 的上界
故r=supA 。
定理证完。