安徽省皖南八校2015届高三第一次联考数学(理)试题 扫描版含答案
安徽省示范高中2015届高三第一次联考(数学文)(扫描版)
文科数学参考答案12na a a<<<所以是递增数列; 12332321,5,7a a a a a a a===-≠-不是等差数列3212aaa a≠也不是等比数列. 故选A.8.C【解析】当1a>时为①；当01a<<时为④.故选C.9.A【解析】因直线过均值点所以7,422x y==，得54m=.故选A.10.C【解析】令()ln xf xx=，()22122g x x ex ee=-++.故选C.()21ln xf xx-'=当()()()0,,0,x e f x f x'∈>单调递增；()()(),,0,x e f x f x'∈+∞<单调递减当x e=时()f x取最大值()1f ee=，二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分，把答案填在题中横线上。
11.23【解析】几何体高为1，底面为等腰直角三角形。
112221323V=⨯⨯⨯⨯=.12. 0【解析】圆心到直线距离20d k⇒=.13.2【解析】()2ln2f=，()()ln22(ln2)2f f f e===.()()4422221cos sin cos sin cos sin cos23a bααααααα=-=-+==21cos22cos10cos tan32παααααα=-=<<∴==⇒=15.①④⑤【解析】112122x x y y OP OP+=⇒=在两个元素12,P P，使得12OP OP⊥，则集合M第一节任意两点与原点连线夹角小于090个元素12,P P，使得12OP OP⊥，则集合第二节如图，函数lny x=的图象上存在两点是“好集合”第三节过原点的切线方程为y x=±,两个元素12,P P，使得12OP OP⊥第四节切线方程为y=，夹角为060“好集合”；第五节双曲线2221x y-=的渐近线方程为y=素12,P P，使得12OP OP⊥，则集合M三、解答题：本大题共6小题，共75分.16.解:(1)极差为15，所以403015x x+-=⇒=２２１俯视图左视图 主视图X =30+32+32+34+34+35+36+36+37+37+40+41+42+44+4515=37-----4分(2)基本事件为:总数为6个 - --------------7分2名男教师分在同一所学校所包含的基本事件的个数为2个 ----------------9分 2名男教师分在同一所学校的概率2163p == ----------------12分第六节 解:(1) 2a cos A=b cos C +c cos Bsi n2=si n(+)A B C B C A +=20 A B C 180++=因为得060A = ----------------6分(2) 222022cos 60312a b c bc c c c =+-⇒=+-⇒= ----------------12分 第七节证明:,,DE AC AB DE ABC DE AC⊥（1）因为是边中点，即是中位线，所以DE AD DE DCDE ADCAD DC D ⊥⎫⎪⊥⇒⊥⎬⎪⋂=⎭面DE ∥BC ADC ADC ABC ∴⊥⇒⊥BC 面面面 ----------------6分(2)过点A 作AM CD AM CBED ⊥∴⊥面,M 为DC 的中点1131324342AM V ⎛⎫+ ⎪=∴=⨯⨯=⎪ ⎪ ⎪⎝⎭----------------12分B19.解:()()()21xea x f x x --'=----------------1分当a e >时，列表----------------5分当1a e<<时，列表----------------11分当a e=时()()()21xe e xf xx--'=≥,()y f x=在()0,+∞单调递增------------13分20.解:(1)()()22131111122nna a a a a⎛⎫-=+⇒=⇒= ⎪⎝⎭----------------2分()()1223881,882216282ndT bd b nT b d dλλλλλ=+⎧=⎧⎪⇒⇒==⇒=⎨⎨=+=+⎩⎪⎩----------------5分（2）令121111111111114223141nnCT T T n n⎛⎫⎛⎫=+++=-+-++=-⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭----------9分1184nC∴≤<--------10分M 到直线DE的距离d 分2MDES p ∆=- 所以2QAB MDE S S ∆∆=---------13分。
安徽省皖南八校2015届高三第一次联考数学(文)试题 Word版含答案
安徽省皖南八校2015届高三（上）第一次联考数学试卷（文科）一.选择题（每小题5分，共50分）1．设全集U={﹣2，﹣1，0，1，2}，集合A={﹣1，1，2}，B={﹣1，1}，则A∩（∁U B）为（）A．{1，2} B．{1} C．{2} D． {﹣1，1}2．函数y=的定义域为（）A．（﹣∞，]B．（﹣∞，）C．（0，] D．（﹣∞，0）∪（0，]3．已知复数，则在复平面内对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限4．若a=20.3，b=sin1，c=log30.2，则（）A．b＞c＞a B．b＞a＞c C．c＞a＞b D．a＞b＞c5．已知f（x）=那么f（（1））的值是（）A．0 B．﹣2 C．1D．﹣1 6．等于（）A．sin2+cos2 B．c os2﹣sin2 C．﹣sin2﹣cos2D．sin2﹣cos27．已知△ABC中，a=，b=，B=60°，那么角A等于（）A．45°B．60°C．120°或60°D．135°或45°8．已知向量，满足||=||≠0，且关于x的函数f（x）=x3+||x2+•x+2014在R 上有极值，则与的夹角θ的取值范围为（）A．（0，]B．（，π]C．（，π] D．（，）9．把曲线ysinx﹣2y+3=0先沿x轴向左平移个单位长度，再沿y轴向下平移1个单位长度，得到曲线方程是（）A．（1﹣y）cosx+2y﹣3=0 B．（1+y）sinx﹣2y+1=0C．（1+y）cosx﹣2y+1=0 D．﹣（1+y）cosx+2y+1=010．已知函数f（x）=ax3﹣3x2+1，若f（x）存在唯一的零点x0，且x0＞0，则a的取值范围是（）A．（2，+∞）B．（1，+∞）C．（﹣∞，﹣2）D．（﹣∞，﹣1）二.填空题（每小题5分，共25分）11．已知sinα﹣cosα=，则sinαcosα=_________．12．已知向量=（1，﹣2），=（﹣3，2），则=_________．13．设直线y=x+b是曲线y=lnx（x＞0）的一条切线，则实数b的值为_________．14．已知函数y=sin（ωx+φ）（ω＞0，0＜φ≤）的部分图象如示，则φ的值为_________．15．已知函数y=f（x）对任意x∈R有f（x+1）=﹣，且当x∈[﹣1，1]时，f（x）=x2+1，则以下命题正确的是：①函数y=f（x）是周期为2的偶函数；②函数y=f（x）在[2，3]单调递增；③函数y=f（x）+的最大值是4；④若关于x的方程[f（x）]2﹣f（x）﹣m=0有实根，则实数m的范围是[0，2]；⑤当x1，x2∈[1，3]时，f（）≥．其中真命题的序号是_________．三.解答题（共6小题，共75分）16．（12分）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知cosA=．（1）求sin（B+C）的值；（2）若a=2，S△ABC=，求b，c的值．17．（12分）已知命题p：≤0，命题q：（x﹣m）（x﹣m+2）≤0．m∈R，若p是q的充分不必要条件，求实数m的取值范围．18．（12分）函数f（x）对任意x，y∈（0，+∞）满足f（xy）=f（x）+f（y）且当x＞1时，f（x）＜0．（1）判断函数f（x）的单调性并证明相关结论；（2）若f（2）=1，试求解关于x的不等式f（x）+f（x﹣3）≥2．19．（13分）已知向量=（mcosθ，﹣），=（1，n+sinθ）且⊥（1）若m=，n=1，求sin（θ﹣）的值；（2）m=且θ∈（0，），求实数n的取值范围．20．（13分）设函数f（x）=x2+bx+c（b，c∈R），已知不论α，β为何实数，恒有f（cosα）≥0，f（2+sinβ）≤0．（1）求证：b+c=﹣1；（2）求实数c的取值范围．21．（13分）设函数f（x）=x3+ax2﹣a2x+m（a＞0）（1）若a=1时函数f（x）有三个互不相同的零点，求实数m的取值范围；（2）若对任意的a∈[3，6]，x∈[﹣2，2]，不等式f（x）≤1恒成立，求实数m的取值范围．皖南八校2015届第一次联考数学（文科）参考答案一．选择题二．填空题11.1225 12.(2,2)- 13.ln 21- 14.3π15.①②④ 三．解答题16.(满分12分)解析：31cos )1(=A 分2322sin =∴AA CB -=+π又分6322sin )sin()sin( ==-=+∴A A C B π2sin 212)2(==∆A bc S ABC 得由分83 =∴bcA bc c b a cos 2222-+=又分10622 =+∴c b由上解得分123 ==c b17.(满分12分)解析:对于命题1:0x p x -≤，得(1)00x x x -≤⎧⎨≠⎩，∴ 01x <≤………3分 对于命题:()(2)0q x m x m --+≤得2m x m -≤≤………………6分又因为p 是q 的充分不必要条件∴p q ⇒∴201m m -≤⎧⎨≥⎩∴12m ≤≤………………………………………………………………12分 18.(满分12分)解析：()f x 在(0,)+∞上单调递减 …………3分分单调递减在即分分则且任取12),0()()()(0)()(90)(0)()()(6)()()()(),0(,,21121221121212112122121 +∞∴><-∴<∴<<=-∴+=⋅=+∞∈<x f x f x f x f x f x x f x x x x f x f x f x xf x f x x x f x f x x x x注：第2小题由于校稿失误，故不评分，提供答案，仅供参考题：若(2)1f =-，试求解关于x 的不等式()(3)2f x f x +-≥-.答案：{}43434)3(0300)()4())3((2)2()2()4(≤<∴≤<⎪⎩⎪⎨⎧≤->->∴∞+≥-∴-=+=x x x x x x x x f f x x f f f f 原不等式解集为解得）上单调递增，在（又原不等式可化为a b ⊥,0a b ∴=cos 2(sin )02m n θθ∴+=即cos 0m n θθ-=………………2分 ⑴2,1m n ==10θθ-=1θθ=1sin()42πθ∴-=-………………6分⑵2m = 0n θθ-=sin )2cos(),(0,)42n ππθθθθ∴=-=+∈………………9分(0,)2πθ∈ 3444πππθ∴<+<cos()242πθ∴-<+<n <13分20.(满分13分)解析:⑴令30,2παβ==得3cos 01,2sin 12π=+= (10(10f f ∴≥≤），） (1=0f ∴）1+0b c ∴+= 即1b c +=-………………6分⑵1b c +=- 1b c ∴=--2()(1)(1)()f x x c x c x x c ∴=-++=--1sin 1β-≤≤ 12sin 3β∴≤+≤又(2sin )0f β+≤ (3)0f ∴≤3c ∴≥………………13分（1）当1a =时32()f x x x x m =+-+，因为()f x 有三个互不相同的零点，所以32()f x x x x m =+-+，即32m x x x =--+有三个互不相同的实数根。
安徽省皖南八校2015届高三上学期第一次联考数学(文)试题 Word版含解析
安徽省皖南八校2015届高三上学期第一次联考数学（文）试题（解析版）【试卷综析】试卷注重对基础知识和基本方法全面考查的同时,又突出了对数学思想、数学核心能力的综合考查, 试卷以考查考生对“双基”的掌握情况为原则,重视基础,紧扣教材,回归课本,整套试卷中有不少题目可以在教材上找到原型.对中学数学教学和复习回归课本,重视对基础知识的掌握起到好的导向作用.一、选择题：本大题共10小题,每小题5分,共50分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.【题文】1．设全集{2,1,1,2,3}U =--,集合A={-1，1，2},B={-1,1},则()U A C B =I A.{1} B.{2} C.{1，2} D.{-1，1} 【知识点】集合运算. A1【答案解析】B 解析：因为全集{2,1,1,2,3}U =-- ，B={-1,1}，所以{2,2,3}U C B =- 所以()U A C B =I {2}，故选B.【思路点拨】根据补集、交集的定义求解.【题文】2A. B. C. D. 【知识点】函数的定义域. B1【答案解析】D故选D.【思路点拨】根据函数解析式写出函数有意义的条件，进而求得函数的定义域.【题文】3 A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 【知识点】复数的基本概念与运算. L4【答案解析】C 对应的点位于第三象限，故选C.【思路点拨】根据复数除法及共轭复数的定义求得结论.【题文】4．若0.332,sin1,log 0,2a b c ===，则 A.b>c>a B.b>a>c C.c>a>b D.a>b>c 【知识点】数值大小的比较. E1【答案解析】D 解析：0.3321,sin1(0,1),log 0.20,>∈<Q a b c ∴>>，故选D. 【思路点拨】分析各值所在的范围，这些范围两两的交集是空集，从而得a,b,c 的大小关系. 【题文】5．已知()1,13,1x x f x x x +≤⎧=⎨-+>⎩那么((1))f f 的值是A.0B.-2C.1D.-1 【知识点】函数值的意义. B1 【答案解析】C 解析：因为()1,13,1x x f x x x +≤⎧=⎨-+>⎩，所以()12f =，所以((1))f f =()2f =1，故选C. 【思路点拨】根据函数值的意义求解.【题文】A.sin2+cos2B.cos2-sin2C.-sin2-cos2D.sin2-cos2 【知识点】三角函数的求值化简. C7【答案解析】D因为2 D.【思路点拨】根据诱导公式、二倍角公式、同角三角函数关系化简已知的式子得2的终边位置去掉绝对值.【题文】7.已知ABC 中，A 等于（ ）A ．45︒ B. 60︒ C. 60120︒︒或 D. 45135︒︒或 【知识点】解三角形.C8【答案解析】A 解析：由正弦定理可得2a b <∴∠【思路点拨】根据正弦定理即可求出角的大小 .【题文】8.已知向量,a b ，满0a b =≠，且关于x 的函数22014a x a bx +⋅+在R 上有极值，则a 与b 的夹角θ的取值范围为（ ）A. B. C. D. 【知识点】导数；向量的运算 B11 F2 2a x ab +⋅，函数在实数上有极值，220,0cos a a b a b -⋅>=≠∴【思路点拨】求出导数，再利用函数性质列出条件求解.【题文】9.把曲线sin 230y x y -+=先沿x y 轴向下平移1个单位长度，得到曲线方程是（ ）A ()1cos 230y x y -+-= B. ()1sin 210y x y +-+= C. ()1cos 210y x y +-+= D. ()1cos 210y x y -+++= 【知识点】函数的平移变换 B8【答案解析】C 解析：把曲线ysinx-2y+3=0先沿xy 轴向下平移1个单位长度，即曲线（1+y ）cosx-2y+1=0， 故选：C ．【思路点拨】根据题意对函数进行平移变换即可.【题文】10.已知函数()3231f x ax x =-+，若()f x 存在唯一的零点0x ，且00x >，则a的取值范围是（ ）A. ()2,+∞B. (),2-∞-C. ()1,+∞D. (),1-∞-【知识点】利用导数研究函数的极值；函数零点的判定定理．B9,B11 【答案解析】B 解析：当a=0时，f （x ）=﹣3x 2+1=0，解得x=，函数f （x ）有两个零点，不符合题意，应舍去；﹣）x=＞0，列表如下： ，） （，+∞）f （x ）=0，不符合条件：f （x ）存在唯一的零点x 0，且x 0＞0，应舍去．﹣）x=＜0，列表如下： （﹣∞，）（，0f （x 0）=0， ∵f（x ）存在唯一的零点x 0，且x 0＞0，∴极小值f （）=a （）3﹣3（）2+1＞0， 化为a 2＞4，∵a＜0，∴a＜﹣2．综上可知：a 的取值范围是（﹣∞，﹣2）． 故答案为：（﹣∞，﹣2）． 【思路点拨】分类讨论：当a≥0时，容易判断出不符合题意；当a ＜0时，求出函数的导数，利用导数和极值之间的关系转化为求极小值f （）＞0，解出即可．5小题,每小题5分,共25分,请将答案填在题后横线上.11.，则sin cos αα=【思路点拨】根据同角三角函数的基本关系式可直接求解. 【题文】12.已知向量()()1,2,3,2OA OB =-=-，则1AB = 【知识点】向量的加减及坐标运算.F1【答案解析】()2,2- 解析：由题可知()(14,42,AB OB OA AB =-=-∴=-. 【题文】13.是曲线()ln 0y x x =>的一条切线，则实数b= 【知识点】导数的几何意义及其运算.B11【答案解析】ln 21- 解析：设切点坐标为()00,x y ，得：02x =，代入曲线方程()ln 0y x x =>可得：0ln 2y =，又因为()00,x y 在直线上，故ln 21b =-，故答案为：ln 21-。
2025届安徽省”皖南八校“联盟高三第一次调研测试数学试卷含解析
2025届安徽省”皖南八校“联盟高三第一次调研测试数学试卷注意事项1．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回．2．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用0．5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置． 3．请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符．4．作答选择题，必须用2B 铅笔将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑；如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．作答非选择题，必须用05毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效． 5．如需作图，须用2B 铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗．一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．如图所示，网络纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某四棱锥的三视图，则该几何体的体积为（ ）A ．2B ．83C ．6D ．82．已知集合{}10,1,0,12x A x B x -⎧⎫=<=-⎨⎬+⎩⎭，则A B 等于（ ）A ．{}11x x -<<B ．{}1,0,1-C ．{}1,0-D ．{}0,13．已知双曲线的两条渐近线与抛物线22,(0)y px p =>的准线分别交于点、，O 为坐标原点．若双曲线的离心率为2，三角形AOB 3p=（ ）． A ．1B ．32C ．2D ．34．已知双曲线2222:1x y a bΓ-=(0,0)a b >>的一条渐近线为l ，圆22:()4C x c y -+=与l 相切于点A ，若12AF F ∆的面积为23Γ的离心率为（ ） A ．2B 23C ．73D 21 5．如图，网格纸是由边长为1的小正方形构成，若粗实线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的表面积为（ ）A ．920π+B ．926π+C ．520π+D ．526π+6．函数的图象可能是下列哪一个？（ ）A ．B ．C ．D ．7．已知(2sin,cos),(3cos,2cos)2222xxxxa b ωωωω==，函数()f x a b =·在区间4[0,]3π上恰有3个极值点，则正实数ω的取值范围为（ ） A ．85[,)52B ．75[,)42C ．57[,)34D ．7(,2]48．两圆()224x a y ++=和()221x y b +-=相外切，且0ab ≠，则2222a b a b+的最大值为（ ） A ．94B ．9C ．13D ．19．已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的焦点分别为1F ，2F ，其中焦点2F 与抛物线22y px =的焦点重合，且椭圆与抛物线的两个交点连线正好过点2F ，则椭圆的离心率为（ ） A ．22B ．21-C ．322-D ．31-10．已知数列满足：.若正整数使得成立，则( ) A ．16B ．17C ．18D ．1911．已知函数()x af x x e-=+，()()ln 24a xg x x e-=+-，其中e 为自然对数的底数，若存在实数0x ，使()()003f x g x -=成立，则实数a 的值为（ ）A ．ln 21--B ．1ln 2-+C ．ln 2-D ．ln 212．已知三棱锥A BCD -的所有顶点都在球O 的球面上，AD ⊥平面,120ABC BAC ︒∠=，2AD =，若球O 的表面积为20π，则三棱锥A BCD -的体积的最大值为（ ） A 3B 23C 3D ．23二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
安徽省宣城市八校2015届高三上学期联考数学试卷(理科)
安徽省宣城市八校2015届高三上学期联考数学试卷（理科）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）设i是虚数单位，复数（）A．3﹣2i B．3+2i C．2﹣3i D．2+3i2．（5分）若集合A={x|}，B={x|x≥﹣2}且A⊆B．则实数a的取值范围是（）A．（﹣∞，﹣2]B．C．5．（5分）若非直角△ABC的内角A、B、C成等差数列，则tanA+tanC﹣tanAtanBtanC=（）A．﹣B．﹣C．D．6．（5分）已知f（x）是定义在R上的奇函数，且当x＞0时f（x）=，则f（f（﹣24））=（）A．﹣4 B．﹣2 C．2D．47．（5分）设S n是等差数列{a n}的前n项和，且a2+2a4+5a6=48，则S9=（）A．36 B．45 C．54 D．638．（5分）已知向量=（0，sin），=（1，2cos），函数f（x）=•，g（x）=2+2﹣，则f（x）的图象可由g（x）的图象经过怎样的变换得到（）A．向左平移个单位长度B．向右平移个单位长度C．向左平移个单位长度D．向右平移个单位长度9．（5分）已知a、b为正实数，直线y=x﹣a与曲线y=ln（x+b）相切，则的取值范围是（）A．（0，）B．（0，1）C．（0，+∞）D．一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）设i是虚数单位，复数（）A．3﹣2i B．3+2i C．2﹣3i D．2+3i考点：复数代数形式的乘除运算．专题：数系的扩充和复数．分析：利用复数的运算法则即可得出．解答：解：复数===3﹣2i，故选：A．点评：本题考查了复数的运算法则，属于基础题．2．（5分）若集合A={x|}，B={x|x≥﹣2}且A⊆B．则实数a的取值范围是（）A．（﹣∞，﹣2] B．C．，满足条件，若a=2，A=∅，满足条件，若a＜2，A=考点：函数的图象．专题：函数的性质及应用．分析：用特值法，先取a=2，再分别令x=2、x=﹣2代入函数的解析式，得到函数的函数值y，由于图中出现直线y=±1，把函数值y与±1比较即可得到答案．解答：解：令a=2，函数y=可看成函数y=，当x=2时，y==＜1，而选项B、C中的图象都在直线y=1的上方，矛盾，排除B、C，当x=﹣2时，y==﹣＜﹣1，A不适合，而D适合，故选：D．点评：本题考查函数的图象与性质，属基础题，本题的关键是取特殊值验证取得答案，对于选择题，特值法是常用的方法．5．（5分）若非直角△ABC的内角A、B、C成等差数列，则tanA+tanC﹣tanAtanBtanC=（）A．﹣B．﹣C．D．考点：两角和与差的正切函数．专题：三角函数的求值．分析：利用等差数列求出B，推出A+B的值，利用两角和的正切函数，化简求解即可得到结果．解答：解：非直角△ABC的内角A、B、C成等差数列，∴B=60°，A+C=120°，∴tanA+tanC=tan（A+C）（1﹣tanAtanC）=﹣tanAtanC，tanA+tanC﹣tanAtanBtanC=tanA+tanC﹣tanAtanC=﹣．故选A．点评：本题考查两角和的正切函数的应用，等差数列的应用，是中档题．6．（5分）已知f（x）是定义在R上的奇函数，且当x＞0时f（x）=，则f（f（﹣24））=（）A．﹣4 B．﹣2 C．2D．4考点：函数奇偶性的性质；函数的值．专题：计算题；函数的性质及应用．分析：由函数的奇偶性化到已知区间，再由分段函数代入求值及可．解答：解：由题意，f（﹣24）=﹣f（24）=﹣f（16）=﹣log216=﹣4；则f（f（﹣24））=f（﹣4）=﹣f（4）=﹣log24=﹣2．故选B．点评：本题考查了函数的性质与分段函数的应用，属于基础题．7．（5分）设S n是等差数列{a n}的前n项和，且a2+2a4+5a6=48，则S9=（）A．36 B．45 C．54 D．63考点：等差数列的前n项和．专题：等差数列与等比数列．分析：由题意和等差数列的性质可得a5=6，再由等差数列的性质和求和公式可得S9=9a5，代值计算可得．解答：解：∵48=a2+2a4+5a6=a2+a6+2a4+4a6=2a4+2a4+4a6=4a4+4a6=4（a4+a6）=8a5，∴a5=6∴S9===9a5=54．故选：C点评：本题考查等差数列的求和公式和性质，属基础题．8．（5分）已知向量=（0，sin），=（1，2cos），函数f（x）=•，g（x）=2+2﹣，则f（x）的图象可由g（x）的图象经过怎样的变换得到（）A．向左平移个单位长度B．向右平移个单位长度C．向左平移个单位长度D．向右平移个单位长度考点：函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．专题：三角函数的图像与性质．分析：由条件利用两个向量的数量积公式、函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，可得结论．解答：解：f（x）=•=×2sin cos=sinx，g（x）=2+2﹣=sin2+1+4cos2﹣=3cos2﹣=3×﹣=cosx=sin（+x），故把g（x）的图象向右平移个单位长度可得f（x）=sinx的图象，故选：D．点评：本题主要考查两个向量的数量积公式，函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，属于基础题．9．（5分）已知a、b为正实数，直线y=x﹣a与曲线y=ln（x+b）相切，则的取值范围是（）A．（0，）B．（0，1）C．（0，+∞）D．点评：本题主要考查积分的应用，作出对应的图象，求出积分上限和下限，是解决本题的关键．13．（5分）设集合A n={x|2n＜x＜2n+l，且x=5m+3，m、n∈N*），则A5中各元素之和为336．考点：等差数列的前n项和．专题：等差数列与等比数列．分析：易得A5中的各元素构成以33为首项，以5为公差的等差数列，共有7项，由等差数列的求和公式可得．解答：解：由题意A5中的各元素构成以33为首项，以5为公差的等差数列，共有7项，∴A5中各元素之和为7×33+×5=336故答案为：336点评：本题考查等差数列的求和公式，属基础题．14．（5分）已知数列{a n}的各项都是正数，其前n项和S n满足2S n=a n+，n∈N*，则数列{a n}的通项公式为．考点：数列递推式．专题：点列、递归数列与数学归纳法．分析：根据数列的递推关系进行化简即可．解答：解：当n=1时，2S1=a1+=2a1，a1=1，当n≥2时，2S n=S n﹣S n﹣1+，即S n+S n﹣1=，，又，∴数列{S n2}是公差d=1首项为1的等差数列，则S n2=1+n﹣1=n，即S n=，则a n=．故答案为：点评：本题主要考查数列通项公式的求解，根据数列通项公式和前n项和之间的关系是解决本题的关键．15．（5分）设非直角△ABC的内角A、B、C所对边的长分别为a、b、c，则下列结论正确的是①②⑤（写出所有正确结论的编号）．①“sinA＞sinB”是“a＞b”的充分必要条件；②“cosA＜cosB”是“a＞b”的充分必要条件；③“tanA＞tanB是“a＞b”的充分必要条件；④“sin2A＞sin2B”是“a＞b”的充分必要条件；⑤“cos2A＜cos2B”是“a＞b”的充分必要条件．考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断．专题：简易逻辑．分析：①根据正弦定理判断，②利用函数y=cosx在（0，π）上单调递减得A＞B，结合三角形的边角关系判断即可．③特殊值判断：如A为锐角，B为钝角，④如A=45°，B=60°时不符合，⑤利用二倍角公式得sin2A＞sin2B，再结合正弦定理判断即可．解答：解：由①sinA＞sinB，利用正弦定理得a=2rsinA，b=2rsinB，故sinA＞sinB，等价于a＞b，①正确；由②cosA＜cosB，利用函数y=cosx在（0，π）上单调递减得A＞B，等价于a＞b，②正确；由③tanA＞tanB，不能推出a＞b，如A为锐角，B为钝角，虽然有tanA＞tanB，但由大角对大边得a＜b，③错误；由④sin2A＞sin2B，不能推出a＞b，如A=45°，B=60°时，虽然有sin2A＞sin2B，但由大角对大边得a＜b，④错误；由⑤cos2A＜cos2B，利用二倍角公式得sin2A＞sin2B，∴sinA＞sinB，故等价于a＞b，⑤正确．故答案为：①②⑤点评：本题考查了解三角形及有关的定理，充分必要条件的定义，属于中档题．三、解答题：本大题共6小题，共75余．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．16．（12分）设函数f（x）=sinxcos（x+）+，x∈R．（Ⅰ）求f（x）的最大值及最小正周期；（Ⅱ）若斜率为的直线与f（x）相切，求其切点坐标．考点：三角函数中的恒等变换应用；三角函数的周期性及其求法．专题：三角函数的图像与性质．分析：（Ⅰ）利用两角和与差的三角函数公式化简f（x）为最简形式，然后求最值；（Ⅱ）利用导数的几何意义对f（x）求导，导数值为，得到自变量x，然后求函数值．解答：解：（Ⅰ）由已知，f（x）=sinx（cosx﹣sinx）+=sin2x﹣•+=sin（2x+），∴f（x）的最大值为，最小正周期为π．（6分）（Ⅱ）f′（x）=cos（2x+），令cos（2x+）=，则2x+=2kπ±（k∈Z），即x=kπ或x=kπ﹣（k∈Z），故其切点坐标为（kπ，）或（kπ﹣，﹣）（k∈Z）．（12分）点评：本题考查了三角函数的化简、性质以及与导数的几何意义相结合的问题，属于常考查的题目．17．（12分）已知a＞0，a≠1，设命题p：函数y=log a x在（0，+∞）上单凋递增；命题q：函数y=|x+2a|﹣|x|对任意x∈R满足﹣1＜y＜l．若“p∨q”为真命题，“p∧q”为假命题，求a的取值范围．考点：复合命题的真假．专题：函数的性质及应用；简易逻辑．分析：先根据对数函数的单调性，讨论x的取值从而去绝对值，并根据函数y的值域从而求得命题p，q下a的取值范围，而由“p∨q”为真命题，“p∧q”为假命题得到p真q假，和p 假q真两种情况，分别求出这两种情况下a的取值范围再求并集即可．解答：解：若p为真命题，则a＞1；若q为真命题，由得，﹣2a≤|x+2a|﹣|x|≤2a；∴2a＜1，0＜a＜；又“p⋁q”为真，“p⋀q”为假，则p、q中一真一假；当p真q假时，，∴a＞1；当p假q真时，，∴0＜a＜；故a的取值范围是（0，）∪（1，+∞）．点评：考查对数函数的单调性，处理含绝对值函数的方法：去绝对值，根据一次函数的单调性求函数的范围，以及p∨q，p∧q真假和p，q真假的关系．18．（12分）设△ABC的内角A、B、C所对边的长分别为a、b、c，且cos2B+cosB+cos（A ﹣C）=1．（Ⅰ）证明：a、b、c成等比数列；（Ⅱ）若a+c=b，cosB=，求△ABC的面积．考点：余弦定理；等比关系的确定．专题：解三角形．分析：（Ⅰ）已知等式左边利用二倍角的余弦函数公式化简，再利用和差化积公式变形，根据正弦定理化简得到关系式，即可得证；（Ⅱ）利用余弦定理列出关系式，把cosB的值代入并利用完全平方公式化简，整理求出ac 的值，由cosB的值求出sinB的值，利用三角形面积公式计算即可得到结果．解答：解：（Ⅰ）由已知得1﹣2sin2B+cosB+cos（A﹣C）=1，cos（A﹣C）﹣cos（A+C）=2sin2B，即2sinAsinC=2sin2B，由正弦定理知b2=ac，∴a、b、c成等比数列；（Ⅱ）由余弦定理知===，即ac=8，∵sinB==，∴S△ABC=acsinB=×8×=．点评：此题考查了正弦、余弦定理，以及三角形面积公式，熟练掌握定理是解本题的关键．19．（13分）已知数列{a n}满足a l=2，a n+l=2a n2，n∈N*．（Ⅰ）证明：数列{1+log2a n}为等比数列；（Ⅱ）证明：++…+＜2．考点：数列与不等式的综合；等比关系的确定．专题：等差数列与等比数列．分析：（Ⅰ）两边取以2为底的对数，得log2a n+1=1+2log2a n，由此能证明{1+log2a n}为等比数列．（Ⅱ）=，设M=++…+=++…+，利用错位相减法能证明++…+＜2．解答：证明：（Ⅰ）∵a n+l=2a n2，n∈N*，∴两边取以2为底的对数，得log2a n+1=1+2log2a n，则log2a n+1+1=2（log2a n+1），∴{1+log2a n}为等比数列．（6分）（Ⅱ）∵log2a n+1=（log2a1+1）×2n﹣1=2n，∴=，设M=：++…+=++…+，则M=++…+，两式相减得M=++…+﹣=1﹣﹣＜1，则M＜2，∴++…+＜2．（13分）点评：本题考查等比数列的证明，考查不等式的证明，解题时要认真审题，注意错位相减法的合理运用．20．（13分）设函数f（x）=ax﹣e x，a∈R，e为自然对数的底数．（1）若函数f（x）存在两个零点，求a的取值范围；（2）若对任意x∈R，a＞0．f（x）≤a2﹣ka恒成立，求实数k的取值范围．考点：利用导数研究函数的单调性；函数零点的判定定理．专题：计算题；导数的综合应用．分析：（1）求导f′（x）=a﹣e x，分a＞0与a＜0讨论，从而可得当a＞0时，f（x）在x=lna 处取得最大值f（lna）=alna﹣a，从而可得f（lna）=alna﹣a＞0，从而解a；（2）由题意，对任意x∈R，a＞0．f（x）≤a2﹣ka恒成立可化为k≤a+1﹣lna恒成立，令g （a）=a+1﹣lna，从而化为最值问题．解答：解：（1）f′（x）=a﹣e x．当a≤0时，f′（x）＜0，f（x）在R上单调递减，最多存在一个零点，不满足条件；当a＞0时，由f′（x）=0解得x=lna，当x＞lna时，f′（x）＜0，当x＜lna时，f′（x）＞0．故f（x）在x=lna处取得最大值f（lna）=alna﹣a，∵f（x）存在两个零点，∴f（lna）=alna﹣a＞0，∴a＞e，即a的取值范围是（e，+∞）；（2）由（Ⅰ）知f（x）≤alna﹣a，故只需alna﹣a≤a2﹣ka，即k≤a+1﹣lna．令g（a）=a+1﹣lna，g′（a）=1﹣，当a＞1时，g′（a）＞0；当a＜1时，g′（a）＜0．故g（a）在a=1处取得最小值2，则k≤2，即k的取值范围是（﹣∞，2]．点评：本题考查了导数的综合应用及函数的零点及恒成立问题，属于中档题．21．（13分）如图中的杨辉三角最早出现于我国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》．它有很多奇妙的性质，如每个数等于它肩上两数之和．记图中从上到下第i行从左到右第j个数为（i，j）．数列{a n}的前n项和S n=（n+2，3），n∈N*．（I）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）设b n=，数列{b n}的前n项和为T n证明：1≤T n＜2．考点：数列与不等式的综合；数列的概念及简单表示法；数列的求和．专题：等差数列与等比数列．分析：（Ⅰ）观察知数列{（n+1，2）}是首项为1公差为1的等差数列．S n=S n﹣1+n，由此能求出a n=n，n∈N*．（Ⅱ），==2（），由此利用裂项求和法能证明1≤T n＜2．解答：解：（Ⅰ）观察知数列{（n+1，2）}是首项为1公差为1的等差数列．而n≤2时，S n=（n+2，3）=（n+1，2）+（n+1，3）=S n﹣1+n，∴a n=S n﹣S n﹣1=n．又n=1时，S1=（3，3）=1也适合上式．a n=n，n∈N*．（6分）（Ⅱ）由（Ⅰ）知，∴==2（）．（9分）∴T n=2（1﹣+）=2（1﹣），∵T n+1﹣T n=2（1﹣）﹣2（1﹣）﹣2（1﹣）=2（）=＞0，∴{T n}是递增数列，又T1=1，∴1≤T n＜2．（13分）点评：本题考查数列{a n}的通项公式的求法，考查不等式1≤T n＜2的证明，解题时要注意裂项求和法的合理运用．。
安徽省宣城市八校2015届高三上学期联考数学(理)试题及答案
安徽省宣城市八校2015届高三上学期联考数学（理）试题（word 版）本试卷分第I 卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。
全卷满分150分，考试时间120分钟。
考试范围：集合与常用逻辑用语、函数与导数、三角函数与解三角形、平面向量与复数、数列。
考生注意事项：1．答题前，务必在试题卷、答题卡规定的地方填写自己的姓名、座位号，并认真核对答题卡上所粘贴的条形码中姓名、座位号与本人姓名、座位号是否一致。
务必在答题卡背面规定的地方填写姓名和座位号后两位。
2．答第I 卷时，每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦十净后，冉选涂其他答案标号。
3．答第Ⅱ卷时，必须使用0．5毫米的黑色墨水签字笔在答题卡上书写，要求字体T整、笔迹清晰。
作图题可先用铅笔在答题卡规定的位置绘出，确认后冉用0．5毫米的黑色墨水签字笔描清楚。
必须在题号所指示的答题区域作答，超出答题区域书．．．．．．．写的答案无效，在试题卷、草稿纸上答题无效．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．。
4．考试结束，务必将试题卷和答题卡一并上交。
第I 卷（选择题 共50分）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． （1）设i 是虚数单位，复数7412ii++ （A ） 3－2i （B ） 3+2i（C ）2—3i（D ） 2+3i（2）若集合A={}|0,|22x a x B x x x -⎧⎫≤=≥-⎨⎬-⎩⎭，且A ⊆B ．则实数a 的取值范围是 （A ）（-∞,-2] （B ）[－2,2] （C ）[－2,+∞） （D ）[2, +∞）（3）设S n 是等比数列{a n }的前n 项和，若a 3=7，S 3=21，则数列{a n }的公比是 （A ）12-（B ）1 （C ）12或1 （D ）－12或1 （4）设a>1, 则函数11xy a =-的图像大致为（5）若非直角△ABC 的内角A 、B 、C 成等差数列，则tanA+tanC －tanAtanBtanC=（A ）（B ）3-（C ）3（D （6）已知f （x ）是定义在R 上的奇函数，且当x>0时f （x ）=21,016(8),16og x x f x x <≤⎧⎨->⎩，则f(f （－24）)=（A ）－4 （B ）－2 （C ）2 （D ）4 （7）设S n 是等差数列{a n }的前n 项和，且a 2+2a 4+5a 6=48，则S 9= （A ）36 （B ）45 （C ）54 （D ）63 （8）已知向量a=（0，sin2x ），b=（1,2cos 2x ），函数f （x ）=32a·b ，g （x ）=a 2+b 2－72，则f （x ）的图像可由g （x ）的图像经过怎样的变换得到 （A ）向左平移4π个单位长度 （B ）向右平移4π个单位长度（C ）向左平移2π个单位长度（D ）向右平移2π个单位长度（9）已知a 、b 为正实数，直线y=x －a 与曲线y=ln （x+b ）相切，则22a b+的取值范围是（A ）（0，12） （B ）（0，1）（C ）（0，+∞）（D ）[)1,+∞（10）在△ABC 中，若（4AB AC - ）⊥CB，则sinA 的最大值为（A ）12（B ）35（C ）45（D 第Ⅱ卷（非选择题 共100分）考生注意事项：请用0．5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上作答，在试题卷上答题无效．．．．．．．．．．．．．．．．．。
安徽省2015届高三第一次模拟考试数学(文)试题(扫描版)(附答案) (2)
参考答案（1）B 解析：若A ∩B ≠Φ，则A ∩B ＝[a 2，－a ]，a 2≤－a ，－1≤a ≤0．（2）B 解析：3i (3i)(1-i)==12i 12i.1i 2z z -=-∴=++-， （3）D 解析：a －b ＝(m ，－m)，则12m －m 2＝0，m=0或12． （4）C 解析：a 2a 5a 8＝a 35＝8a 5＝2，2232723725log log log (a a )log a 2.a a +=⋅==（5）A 解析：S=4，i=1;S=-1,i=2;S=32,i=3;S=23,i=4;S=4,i=5;S 的值具有周期性，其周期为4,所以输出结果为-1.（6）A 解析：注意到4－x 2≥0，－2≤x ≤2，当a ＞2时，f (x )＝－4－x 2x 是奇函数；而函数f (x )为奇函数，只需a ≥2，故选A ．（7）D 解析：由题意得：()*112,6k k πϕπ=-∈N 故ϕ的最小正值为11.6π （8）A 解析：令g (x )＝ex －e x ，g ′(x )＝e －e x ，由g ′(x )>0得x<1，由g ′(x )<0得x>1,g(x)在x ＝1处取得最大值0，故y ＝1ex －e x＜0，且在()1，∞-上单调递减，在()∞+，1上单调递增，故选A ．（9）D 解析：该几何体是一个底面是正三角形的三棱柱挖去一个底面边长是其12的小三棱柱而得到，S 底＝2(34×42－34×22)＝63，S 侧＝2×42＋2×4×2＋2×4×1＝56，故选D ． （10）C 解析：圆心到直线的距离d ＝|m |2，设∠AOB ＝2θ，则cos θ＝|m |2，cos ∠AOB ＝cos2θ＝2cos 2θ－1＝m 2－1，所以→OA ·→OB ＝1×1×cos2θ＝m 2－1＝－m 2，则m ＝±22．（11）9 解析：设公比是q ，则20(1＋q ＋q 2)＝95，解得q ＝32，则中层有30人，一般职工45人，设从一般职工中抽取y 人，则306＝45y，y ＝9，应从一般职工中抽取9人． （12）1811 解析：()2442222sin cos sin cos 2sin cos θθθθθθ+=+-⋅ ()2211111sin 211cos 2.2218θθ=-=--= （13）(2，0) 解析：设P (x 0，x 0＋2)，则(x 0＋2)2＝2px 0，20x ＋(4－2p )x 0＋4＝0，△＝0，解得p ＝4，其焦点坐标为(2，0)．（14）2 解析：作出不等式组所表示的平面区域，令3,z y x =-则目标函数z 取最小值的最优解为()2,1,min 321,z ∴=-=32y x -的最小值为2.（15）①②④⑤ 解析：对于①，由图可得,//,//1111C D B A C B D A ∴平面A 1BD ∥平面CB 1D 1，①正确；对于②， A 1－ABD 为正四面体，故AA 1⊥BD ，则②正确；对于③,A 1－BDD 1B 1是正四棱锥，所有棱长均相等，A 到平面BDD 1B 1的距离等于A 1到平面BDD 1B 1的距离，等于A 1到BDD 1B 1中心的距离为a 22，故③错误；对于④，三棱锥BD A C 11-为正三棱锥，对棱互相垂直，则A 1在平面BDC 1上的射影为∆BDC 1的垂心，故④正确；对于⑤，A 1－ABD 占整体的16，BDC －B 1D 1C 1占12，A 1－BDD 1B 1占13，故⑤正确． （16）解析：（Ⅰ）由已知2×sin C sin A ＝sin B sin A ＋cos B cos A， 2sin C sin A ＝sin B cos A ＋sin A cos B sin A cos A ＝sin(A ＋B )sin A cos A ＝2sin C 2sin A cos A ，cos A ＝12，A ＝60°．（6分） （Ⅱ）a 2＝10＝b 2＋c 2－2bc cos A ＝(b ＋c )2－3bc ＝52－3bc ，bc ＝5，∴S △ABC ＝12bc sin A ＝534．（12分） （17）解析：（Ⅰ）由已知可得x ＋y ＝6，且6×(26-24)＋6×(25-24)＋8×(24-24)＋4×(23-24)＋(22-24)x ＋(21-24)y ＝0,即2x ＋3y ＝14，解得x ＝4，y ＝2．（3分）s 2＝130[6(26－24)2＋6(25－24)2＋8(24－24)2＋4(23－24)2＋4(22－24)2＋2(21－24)2] ＝1534.(6分) （Ⅱ）设强度是22的4根分别是a 、b 、c 、d ，强度是21的2根分别是A 、B ，任取两根所有可能的情况为(a ，b )，(a ，c )，(a ，d )，(a ，A )，(a ，B )，(b ，c )，(b ，d )，(b ，A )，(b ，B )，(c ，d )，(c ，A )，(c ，B )，(d ，A )，(d ，B )，(A ，B )共15种情形，至少有一根强度是21的共9种情形，故概率为915＝53．（12分） （18）解析：（Ⅰ）由已知AC 2＝AD 2＋DC 2，AC ＝2．BC ＝AD 2＋(AB －DC )2＝2， AB ＝2，则AB 2＝AC 2＋BC 2，则AC ⊥BC ，又∵PC ⊥底面ABCD ，∴PC ⊥AC ，D E C BAP∴AC ⊥平面PBC ，平面EAC ⊥平面PBC ．（6分）（Ⅱ）∵PC ＝2，则E 到平面ABC 的距离为22，P A ＝PB=AB=2． S △P AB ＝34×22＝3，S △ABC ＝12×2×2＝1， 设点C 到平面ABE 的距离h,由V P －ABC ＝V C －P AB 得13S △ABC ·PC ＝13S △P AB h ,解得h ＝63.（12分） （19）解析：（Ⅰ）由已知得()10,f =∴0,a b += 又()()22ln 1,11,ax x b f x f x+--''==∴2,a b -= ∴1,1a b ==-.（5分）（Ⅱ）令()()2ln ln ln ,ax x b g x f x x x xλλ-+=-=- ∴()()22ln 01,x x x g x x xλ-+'=<≤ 令()2ln ,h x x x x λ=-+则()()1201,h x x x xλ'=-+<≤∵12x xλ+≥≤ ∴()0,h x '≥即()h x 在(]0,1上是增函数，∴()()11,h x h λ≤=-又1λ≤≤∴()0,g x '≤∴()()10,g x g ≥=即当01x <≤时，恒有()ln .f x x λ≥(13分)（20）解析：（Ⅰ）由题意：设{}n a 的公差为,d当1n =时，()123121231546,S a S a a a a a a d ++=++++=+= 当2n =时，()234123123417922,S a S a a a a a a a a d ++=++++++=+= 解得124a d =-⎧⎨=⎩，24n =4 6.n a n ∴=-+-（-1）（5分） （Ⅱ）由题意得：11111111221222212212221,n n n n n n n n n n b a a a a a a a a --------+++-++-=+++⋅⋅⋅+=+++⋅⋅⋅+ 111(426)(422)(422)[4214][4210]n n n n n ---=⋅-+⋅-+⋅++⋅⋅⋅+⋅-+⋅-11426421032=442,22n n n n n --⋅-+⋅-=⋅⋅-⋅ 3424,2nn n b ∴+⋅=⋅2321334(14)4442 2.2214n n n n T +-=+++⋅⋅⋅+=⨯=--（4）（13分） （21）解析：（Ⅰ）由已知c a ＝32，则b a ＝12，a ＝2b ． 将P (2，1)代入得4a 2＋1b2＝1，解得,8,222==a b ∴椭圆方程为x 28＋y 22＝1．（4分） （Ⅱ）当斜率k ＝0时，S ＝12×42×1＝22， 当斜率不存在时，S ＝12×22×2＝22．（6分） 当斜率存在且不为0时，设直线l ：y ＝kx ，代入x 2＋4y 2＝8中解得x ＝±221＋4k 2， |AB |＝1＋k 2|x 1－x 2|＝1＋k 2×421＋4k 2， 点P (2，1)到直线y ＝kx 的距离为d ＝|2k －1|1＋k 2， S △P AB ＝12|AB |d ＝22×|2k －1|1＋4k 2＝22×1＋4k 2－4k 1＋4k 2＝22×1－4k 1＋4k 2，显然当k ＜0时有最大值，S △P AB ＝22×1＋4 －1k －4k ≤22×1＋424＝4，当且仅当－1k ＝－4k ，即k ＝－12取等号，故PAB ∆面积的最大值为4．（13分）。
三角恒等变换
三角恒等变换---完整版三角函数 —— 三角恒等变换公式:1 -cos1 cos ：sin - _, cos —=.2； 2 2，2tan [cos ：」一cos— sin：2 X cos 二sin 二 1 cos 一：＞升幂公式两角和与差的三角函数关系!i倍角公式 sin( x 二 I '1 )=sin 二 cos L ；二 cos 、；sin ”i sin2d =2sin d cos.zi 2 2cos2 用=cos 用-sin 二jcos(:; 二 L ： )=cos 二匸 cos" " sin J.sin 1'' :2 2=2cos a -1=1-2sin a性tana ±tan P tan=1 +ta n a ta n P丄小2ta na tan2 =21 - ta n a半角公式平方关系 2 a1+coS'f=2C0S —2 :1=sin 2 -：： + cos 2 -■ 降幂公式.2一 1 -cos2： sin21 .sin 二 cos _：i = —sin2工 2 2 a1-cos 、；=2sin — 2 a asin ： =2 sin — cos—2 2a a1 ± sin t =( sin —匸COS —)2 2 co 『—1 cos2sin 2 二 cos 2 二 =1考点分析：（1）基本识别公式，能结合诱导公式中两个常用的小结论快速进行逻辑判断。
等，余弦互为相反数。
互余两角的正余弦相等。
”（2） 二倍角公式的灵活应用，特别是降幕、 “互补两角正弦相 和升幕公式的 应用。
（3）结合同角三角函数，化为二次函数求最值 一求二 （7）辅助角公式逆向应用 （4）角的整体代换 （5 ）弦切互化 （6 ）知 sin :-------- =ta n工 cos： 2 2sin a + cos a =1,商数关糸126、 A.（补全公式） 1 B. 1 488. A. 9、 C . 2（2013六校联考回归课本题） 11 C. — D.— 常见变式：计算1632cos20 （构造两角和差因子 +两式平方后相加）若sin )A<（诱导公式） -cos40 ° • cos60 ° • cos80° =( sin 10 sin 30 sin 50 sin 70 a — sin 3=( cos(X — COS 的=13=-，贝U cos( a- B )的值为B<23C.^ D . 1【2015广东东莞高一期末】sin 163sin 223 + sin 253sin 313 等于 BB. D.（构造两角和差因子 10、（逆向套用公式） +两边平方）【2015高考四川，理12】 tan23 丰 tan 37 丰 J3tan 23 tan 37 的值是sin 15 sin 75 = （1）熟悉公式特征：能结合诱导公式中两个常用的小结论“互补两角正弦相等，余弦互为相反数。
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皖南八校2015届第一次联考数学（理科）
参考答案
一.选择题：
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 B D A C B C D A C A
二.填空题：
11.存在0xR，使得200310xx成立。 12.2,8 13.12 14：11(,6)3 15. ①
③⑤
三.解答题：
16.解：（Ⅰ）1122MNMAAAAN,1122MNMBBBBN两式相加，
并注意到点,MN分别是线段11AB、22AB的中点，得12121()2MNAABB.………6
分
（Ⅱ）由已知可得向量12AA与12BB的模分别为1与2，夹角为3，
所以12121AABB,由12121()2MNAABB得
22
2
121212121212
11
()242MNAABBAABBAABB
=72……………12分
17.解：（Ⅰ）3()()7abcabcbc可得222223()27abcabcbcbc
所以222117abcbc，所以22211cos214bcaAbc，……………3分
所以25sin1cos314AA
所以
1115331
coscos()(coscossinsin)()1421427CABABAB
……6分
（Ⅱ）由（1）可得734cos1sin2CC
在△ABC中，由正弦定理 AaBbCcsinsinsin
∴8sinsinACac , 5sinaAbb ……………9分
∴310238521sin21SBac. ……………12分
18.解: (Ⅰ)'2()fxaxxa，由于函数()fx在2x时取得极值，所以 '(2)0f。
即 420,aa解得25a，此时'()fx在2x两边异号，()fx在2x处取得极
值。……6分
(Ⅱ) 方法一：由题设知：22axxaxxa 对任意(0,)a都成立
即22(2)20axxx对任意(0,)a都成立……………9分
设 22()(2)2()gaaxxxaR, 则对任意xR，()ga为单调递增函数
()aR
所以对任意(0,)a，()0ga恒成立的充分必要条件是(0)0g
即 220xx，20x∴， 于是x的取值范围是|20xx……………12
分
方法二： 由题设知：22axxaxxa，对任意(0,)a都成立
即22(2)20axxx对任意(0,)a都成立
于是2222xxax对任意(0,)a都成立，即22202xxx……………9分
20x∴
， 于是x的取值范围是|20xx……………12分
19.解：（Ⅰ）()sin()3cos()fxxx
13
2sin()cos()22xx
2sin3x
．……………3分
因为()fx为奇函数，所以(0)2sin()03f，又0||2，可得3
所以()2sinfxx，由题意得2ππ22，所以2．
故()2sin2fxx．因此ππ2sin363f． ……………6分
（Ⅱ）将()fx的图象向右平移π6个单位后，得到π6fx的图象，
所以πππ()2sin22sin2663gxfxxx． ……………9分
当π222322kxk（kZ），
即π5πππ1212kxk≤≤（kZ）时，()gx单调递增，
因此()gx的单调递增区间为π5πππ1212kk，（kZ）． ……………12分
20.解：（Ⅰ）()fx的定义域是(0,)，求导得2'121()2(0)axxfxaxxxx
依题意'()0fx在0x时恒成立，即2210axx在0x恒成立. …………3分
这个不等式提供2种解法，供参考
解法一：因为0a，所以二次函数开口向下，对称轴10xa，问题转化为
2
240a
所以1a，所以a的取值范围是(,1] ……………6分
解法二，分离变量，得22121(1)1xaxx在0x恒成立，即
min
2
)1)11((xa
)0(x
当1x时，21(1)1x取最小值1，∴a的取值范围是(,1] ……………6分
（Ⅱ）由题意2112ln42xxxxb，即213ln042xxxb，
设213()ln(0).42gxxxxbx则(2)(1)().2xxgxx列表：
x
(0,1) 1 (1,2)
2
(2,4)
()gx
0 0
()gx
极大值 极小值
∴5()(1)4gxgb极大值，()(2)ln22gxgb极小值，又
(4)2gb
………10分
方程()0gx在[1，4]上恰有两个不相等的实数根.
则(1)0(2)0(4)0ggg， 得 5ln224b （注意512ln224） ……………13
分
21.解：（Ⅰ）()ln,fxxxmx所以'()1lnfxxm
由题意'(1)1ln12fm,得1m……3分
(Ⅱ)()ln()(0,1)11fxxxxgxxxxx，所以,21ln().(1)xxgxx
设,1()1ln,()1.hxxxhxx
当1x时，,1()10hxx，()hx是增函数，()(1)0hxh，
所以'21ln()0(1)xxgxx，故()gx在1,上为增函数； ……………6分
当01x时，,1()10hxx，()hx是减函数，()(1)0hxh，
所以,21ln()0(1)xxgxx，故()gx在0,1上为增函数；
所以()gx在区间(0,1)和(1,)都是单调递增的。 ……………8分
(Ⅲ)由已知可知要证mnnnmm，即证lnlnlnln,nmnmmn ……………10分
即证11lnlnnmmnnm，即证lnln11mmnnmn，即证()()gmgn， ……………12分
又
*
1(,)mnmnN
，由（2）知()()gmgn成立，所以mnnnmm。……………14分