安徽省皖南八校2019届高三第三次联考数学(理科)试题(解析版)
2020届安徽省皖南八校高三第三次联考数学(理)试题(解析版)
y0
，由题意知
ln
x0
a
1 x0 a
e
ex0
b
，从而可得
ea
b
2
，根据
“1”的代换，可求出
1 ea
1 b
1 2
2
b ea
ea b
，由基本不等式可求出取值范围.
【详解】解：
y
ln x a
，
y
1 x
a
，设切点为 x0,
y0
，则
ln
x0
a
1 x0
a
e
ex0
b
，
ea b
2
，
1 ea
因为平面 PAC 平面 PBC ，所以 AO 平面 PBC ，即VP ABC
1 3
S PBC
AO
3， 6
所以 3 R3 3 ， R 1，球的表面积为 4 R2 4 .
6
6
故选:A.
【点睛】本题考查了椎体的体积，考查了面面垂直的性质，考查了球的表面积的求解.求球的体积或表面积
时，关键是求出球的半径，通常设半径，结合勾股定理列方程求解.本题的关键是面面垂直这一条件的应用.
题的关键是由单调性和最值，确定 a, b 的值.
9.若曲线 y ln x a 的一条切线为 y ex b （ e 为自然对数的底数），其中 a, b 为正实数，则 1 1 的
ea b
取值范围是( )
A. 2, e
B. e, 4
C. 2,
D. e,
【答案】C
【解析】
【分析】
设切点为
x0 ,
2017 年获得 E 等级有 0.04a 人，2019 年获得 E 等级有 0.02 2a 0.04a ，人数不变，
安徽省皖南八校2020届高三第三次联考数学(理)试题 含解析
12．已知抛物线 C : y2 = 2 px ( p 0) ，其焦点为 F，准线为 l，过焦点 F 的直线交抛物线 C 于点 A、B（其
中 A 在 x 轴上方），A，B 两点在抛物线的准线上的投影分别为 M，N，若 MF = 2 3 ， NF = 2 ，则 AF = BF
（）
A． 3
B．2
C．3
D．4．
+
y2
= 1相切，则双曲线
C
的离心
率为（ ）
A． 2 3 3
B． 3
C． 2 2
D． 2
7．在 ABC 中，AC = 5AD ，E 是直线 BD 上一点，且 BE = 2BD ，若 AE = m AB + n AC 则 m + n =（ ）
A． 2 5
B． − 2 5
C． 3 5
D． − 3 5
8 ． 若 函 数 f ( x) = 3 sin x + cos x 在 区 间 a,b 上 是 增 函 数 ， 且 f (a) = −2 ， f (b) = 2 ， 则 函 数
A．获得 A 等级的人数不变
B．获得 B 等级的人数增加了 1 倍
1
C．获得 C 等级的人数减少了
D．获得 E 等级的人数不变
( ) 5．函数 y = ex − e−x cos x 的部分图象大致是（ ）
A．
B．
C．
D．
6．已知双曲线 C :
x2 a2
−
y2 b2
= 1(a
0,b
0) 的一条渐近线与圆 ( x − 2)2
f
(x)
=
3 − log2 x, 0 x
1− x, 1 x 1 2
2019皖南八校联考汇总(一、二、三次)
2019皖南八校联考汇总(一、二、三次)篇一：2019皖南八校理数一二三次联考皖南八校2019届高三第一次联考一、选择题：本大题共12小题；每小题5分，共60分．1．在复平面内，复数（4＋5i）i（i为虚数单位）的共轭复数对应的点位于A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限2．已知集合A＝｛x｜2－3x－2x2＞0｝，B＝｛x｜y＝ln（x2一1）｝，则A?B＝A．（一2，一1）B．（一?，一2）U（1，＋?）C．（一1，3．在△ABC中，AB＝1，AC＝3，B＝600，则cosC＝A．一1）D．（一2，一1）U（l，＋?）255 B． CD660.31?1?4．设a?log3,b???,c?log2(log2，则4?3?A．b＜c＜a B．a＜b＜c C．c＜a＜b D．a＜c＜b 5．要得到函数f（x）＝cos(3x? A．向左平移?4的图象，只需将函数g（x1x?sin3x的图象25?5???个单位B．向左平移个单位C．向左平移个单位D．向左平移个单位12361236＊6．已知数列｛an｝满足a1＝1，an－1＝2an（n≥2，n?N），则数列｛an｝的前6项和为63127A、63B．127C．D．64327??，则sin?的值为?cos)?22127B、－C、D、－399 A????????8、已知平行四边形ABCD的对角线分别为AC，BD，且AE?2EC，点F是BD上靠近D的四等分点，则9、下列函数中，在区间（0,1）上单调递增的有A、0个B、1个C、2个D、3个10、下列命题中是真命题的为A．“存在”的否定是‘不存在”。
安徽皖南八校2019年高三第三次联考数学(文)试题
安徽皖南八校2019年高三第三次联考数学（文）试题参 考 答 案 【一】选择题1.选B 。
解析：M 为点集，N 为数集。
2.选C 。
解析： B 为(1,2,3)--，||6AB =。
4.选A 。
解析：2sin22sin cos tan 1cos212cos 1θθθθθθ==++- 5.选D 。
解析：m 可能在平面α内。
9.选D 。
解析：从0到2产生的2000个随机数中，落入椭圆内部或边界的有M 个，那么420004S M =，故4500MS =。
10.选B 。
解析：法一：611511161521,151********,78S a d S a d a d a d =+≥=+≤∴+≥+≤。
又1011119(25)(7)(2)(57)a a d x a d y a d x y a x y d =+=+++=+++，得213,99x y =-=。
1011213(25)(7)99a a d a d ∴=-+++213781099≤-⨯+⨯=。
法二：设1,a x d y ==，25778x y x y +≥⎧⎨+≤⎩，目标函数109a z x y ==+ 交点(1,1)处取到最小值10。
257x y +=78x y +=【二】填空题11.14。
解析：2log 3222(log 3)(log 32)22214f f +=++=+=。
12.169,555,671,,105,071 。
第8行第8列的数为8，往后读每次读三位数， 859,169,555,671,998,105,071,751,在不超过800的前五个数。
【三】解答题17.解：①(),(,0)(0,)xe f x x x =∈-∞⋃+∞2(1)()x e x f x x -'∴=…………………………2分当()0f x '=时，1x =。
故：()f x 的增区间为(1,)+∞，减区间为(,0)-∞和(0,1)。
…………………………6分②由()1,(0,)xy g x x e ax x =-=-+∈+∞ ()x g x e a '=-1〕当1a ≤时()0x g x e a '=->，即()g x 在(0,)+∞上递增，此时()g x 在(0,)+∞上无极值点。
2019届安徽省黄山市高三毕业班第三次质量检测数学（理）试题
2019届安徽省黄山市高三毕业班第三次质量检测数学（理）试题一、单选题1．已知复数是纯虚数，则实数为（）A．-6 B．6 C．D．【答案】B【解析】利用复数的运算法则、纯虚数的定义即可得出．【详解】∵为纯虚数，∴0，0，∴a＝6，故选：B．【点睛】本题考查了复数的运算法则、纯虚数的定义，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．2．集合，，则（）A．B．C．D．【答案】C【解析】通过解不等式分别得到集合，然后再求出即可．【详解】由题意得，，∴．故选C．【点睛】解答本题的关键是正确得到不等式的解集，需要注意的是在解对数不等式时要注意定义域的限制，这是容易出现错误的地方，属于基础题．3．为了判断高中生选修理科是否与性别有关.现随机抽取50名学生，得到如下列联表：根据表中数据，得到的观测值，若已知，，则认为选修理科与性别有关系出错的可能性约为（）A．B．C．D．【答案】B【解析】根据条件中所给的观测值，与所给的临界值进行比较，即可得出正确的判断．【详解】由观测值，对照临界值得4.844＞3.841，由于P（X2≥3.841）≈0.05，∴认为选修理科与性别有关系出错的可能性为5%．故选：B．【点睛】本题考查了独立性检验的应用问题，解题的关键是正确理解观测值对应的概率意义．4．已知双曲线的离心率为，且它的一个焦点到渐近线的距离为，则该双曲线的方程为（）A．B．C．D．【答案】D【解析】利用双曲线的离心率、点到直线的距离公式即可得出．【详解】∵，∴c=,又焦点F（c，0）到渐近线的距离d b．∴，又，则,∴双曲线的方程为故选：D．本题考查了双曲线方程中基本量的关系，考查了离心率及点到直线的距离公式，属于基础题．5．执行如图所示的程序框图，若输出，则判断框内应填入的条件是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】B【解析】阅读程序框图，可知程序执行的是求，利用对数运算法则及换底公式求和，由和等于4算出k 的值，则判断框中的条件可求． 【详解】由程序可知，该程序是计算由S ＝＝4，得k ＝15，则当k ＝15时，k ＝k +1＝15+1＝16不满足条件，所以条件为k ≤15． 故选B ． 【点睛】本题考查了程序框图，是循环结构中的当型循环，即先判断后执行，满足条件执行循环，不满足条件跳出循环，算法结束，理解程序框图的功能是基础题． 6．已知()()511x ax +-的展开式中2x 的系数为58-，则a =（ ） A ．1B ．12C ．13D ．14【解析】由题意可得展开式中x 2的系数为前一项中常数项与后一项x 的二次项乘积，加上第一项x 的系数与第二项x 的系数乘积的和，由此列方程求得a 的值． 【详解】根据题意知，()51ax -的展开式的通项公式为()5rr r C a x -，∴展开式中含x 2项的系数为22155C a C -a ＝58-，即102a ﹣5a ＝58-，解得a ＝14．故选：D ． 【点睛】本题主要考查了二项式定理的应用问题，利用二项式展开式的通项公式是解决此类问题的关键．7．谢尔宾斯基三角形（Sierpinski triangle ）是一种分形，由波兰数学家谢尔宾斯基在1915年提出.在一个正三角形中，挖去一个“中心三角形”（即以原三角形各边的中点为顶点的三角形），然后在剩下的小三角形中又挖去一个“中心三角形”，我们用白色三角形代表挖去的部分，黑色三角形为剩下的部分，我们称此三角形为谢尔宾斯基三角形.若在图（3）内随机取一点，则此点取自谢尔宾斯基三角形的概率是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】C【解析】先观察图象，再结合几何概型中的面积型可得． 【详解】由图可知：图（2）挖去的白色三角形的面积为图（1）整个黑色三角形面积的， 在图（2）中的每个小黑色三角形中再挖去的每一个白色三角形的面积仍为图（2）中每一个黑色三角形面积的，即为图（1）大黑色三角形面积的， ∴图（3）中白色三角形的面积共占图（1）黑色三角形面积的，∴谢尔宾斯基三角形的面积为，故该点取自谢尔宾斯基三角形的概率为，故选C.【点睛】本题考查了数学文化及几何概型中的面积型题型，属于简单题．8．将函数的图像向右平移个单位长度，再把横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变）得到函数的图像，则下列说法正确的是（）A．函数的最小正周期为B．函数在区间上单调递增C．函数在区间上的最小值为D．是函数的一条对称轴【答案】C【解析】由三角函数图象的伸缩变换及平移变换得f（x）函数解析式，再由三角函数图象及性质依次判断选项即可．【详解】=2cos（x+），将其向右平移个单位长度得函数解析式为h（x）＝2cos（x），再把得到的图象再把横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变），得到函数y＝f（x）的图象，得f（x）＝2cos（2x），则函数y＝f（x）的最小正周期为π，对称轴方程为x（k∈z），故A，D选项不正确，又当时，2x，函数不单调，故B错误，当时，2x，函数在x=时取得最小值为C正确，故选：C．【点睛】本题考查了三角函数图象的伸缩变换及平移变换，三角函数图象的性质，属于中档题. 9．若某几何体的三视图（单位：）如图所示，则此几何体的表面积等于（）A．B．C．D．【答案】B【解析】先判断几何体的形状，再利用三视图的数据求解几何体的表面积即可．【详解】由几何体的三视图可知，该几何体是由直三棱柱截去一个三棱锥得到的，如图：ABC-DEF,其中底面是直角边分别为3，4的直角三角形，原三棱柱的高为5，图中AD=2，所以BC=EF=DE==5，DF==，∴的底边DF上的高为，∴，又梯形ADEB的面积为，梯形ADFC的面积为，的的面积为，矩形BCFE的面积为=25，所以此几何体的表面积S+＝．故选：B．【点睛】本题考查三视图求解几何体的表面积，判断几何体的形状是解题的关键．10．设的内角所对边的长分别是，且，，，则的值为（ ） A ．B ．4C ．D ．【答案】C【解析】利用正弦定理，二倍角公式结合已知可得，整理得a ＝6cos B ，由余弦定理可解得a 的值. 【详解】在△ABC 中，∵A ＝2B ，，b ＝3，c ＝1，可得，整理得a ＝6cos B ，∴由余弦定理可得：a ＝6，∴a ＝2，故选C. 【点睛】本题主要考查了正弦定理，余弦定理及二倍角正弦公式的应用，考查了计算能力，属于中档题．11．已知等边ABC ∆的边长为2，点,E F 分别在边AB 、AC 上，且AE AB =λ，AF AC μ=，若23EB FC ⋅=，1EC FB ⋅=-，则λμ+=（ ） A ．12B ．23C ．56D ．712【答案】C【解析】用三角形各边向量表示出EB ，FC ，EC ，FB ，代入计算即可． 【详解】∵等边△ABC 的边长为2，∴2AB AC BA BC CA CB ⋅=⋅⋅==， 又AE AB =λ, AF AC μ=，∴(1)EC EB BC BC AB λ=+=+-，()1FB FC CB AC BC μ=+=--， ∴()()()()2(1)11(1)2113EB FC AB AC AB AC λμμλμλ⋅=-⋅-=--⋅=--=， (()()()()()[1)1421121211EC FB BC AB AC BC λμμλλμ⎤⎡⎤⋅=+-⋅--=-+--+-+-=-⎦⎣⎦，∴()()272121333λμ-+-=-=，∴λ+μ56 =，故选C．【点睛】本题考查了平面向量基本定理的应用，考查了平面向量数量积的运算，属于中档题．12．已知函数有两个零点，则实数的取值范围是（）A．B．C．D．【答案】A【解析】令f（x）＝0，可得＝，可得a在x≠0有且只有2个不等实根，等价为函数g（x）的图象和直线y＝a有且只有两个交点．求出g（x）的导数和单调区间，利用数形结合即可得到a的范围．【详解】f（x），令f（x）＝0，可得＝，当x＝0时，上式显然不成立；可得a在x≠0有且只有2个不等实根，等价为函数g（x）的图象和直线y＝a有且只有两个交点．由g′（x）<0恒成立，可得x＞0时，g（x）递减；当x＜0时，g（x）递减．且g（x）在x>0或x<-1时恒成立，作出函数g（x）的图象，如图：由图象可得a>0时，直线y＝a和y＝g（x）的图象有两个交点．故选：A．【点睛】本题考查函数的零点个数问题解法，注意运用函数方程的转化思想和数形结合思想方法，考查运用导数研究函数的单调性问题，考查运算能力，属于中档题．二、填空题13．若满足约束条件，则的最大值为__________．【答案】8【解析】根据约束条件作出可行域,化目标函数为,由此可得当直线在轴截距最大时, 取最大值，结合图像即可得出结果.【详解】由约束条件作出可行域如下：又目标函数可化为，因此，当直线在轴截距最大时, 取最大值，由图像可得，当直线过点A时，截距最大，由易得，此时.故答案为8【点睛】本题主要考查简单的线性规划问题，通常需要由约束条件作出可行域，分析目标函数的几何意义，结合图像即可求解，属于常考题型.14．平均数为1010的一组数构成等差数列，其末项为2019，则该数列的首项为__________．【答案】1.【解析】由题意可得关于首项的方程，解方程可得．【详解】设该等差数列的首项为a，由题意和等差数列的性质可得2019+a＝1010×2解得a＝1故答案为：1【点睛】本题考查等差数列的基本性质，涉及中位数，属于基础题．15．抛物线有如下光学性质：由其焦点射出的光线经抛物线反射后，沿平行于抛物线对称轴的方向射出.现有抛物线，如图一平行于轴的光线射向抛物线，经两次反射后沿平行轴方向射出，若两平行光线间的最小距离为4，则该抛物线的方程为__________．【答案】【解析】先由题意得到必过抛物线的焦点，设出直线的方程，联立直线与抛物线方程，表示出弦长，再根据两平行线间的最小距离时，最短，进而可得出结果.【详解】由抛物线的光学性质可得：必过抛物线的焦点，当直线斜率存在时，设的方程为，，由得：，整理得，所以，，所以；当直线斜率不存在时，易得；综上，当直线与轴垂直时，弦长最短，又因为两平行光线间的最小距离为4，最小时，两平行线间的距离最小；因此，所求方程为.故答案为【点睛】本题主要考查直线与抛物线位置关系，通常需要联立直线与抛物线方程，结合韦达定理、弦长公式等求解，属于常考题型.16．连接正方体每个面的中心构成一个正八面体，则该八面体的外接球与内切球体积之比为______．【答案】.【解析】正八面体中ABCD四点或AFCE四点所组成的截面在外接球的一个大圆面上，可得其对角线的长度即为外接球的直径，又正方体中心设为O，取AB中点M，则在直角△OME中，斜边ME上的高即为内切球的半径，由此能求出结果．【详解】若正八面体的外接球的各个顶点都在同一个球面上，则其中ABCD四点或AFCE四点所组成的截面在球的一个大圆面上，可得，此四点组成的正方形是球的大圆的一个内接正方形，其对角线的长度即为球的直径，设正八面体边长为2，且每个侧面三角形均为等边三角形，故FE=AC=2，则外接球的半径是，又正方体中心设为O，取AB中点M，则在直角△OME中，斜边ME==，斜边ME上的高即为内切球的半径，大小为=，∴外接球与内切球半径之比为，∴外接球与内切球体积之比为故答案为．【点睛】本题考查球的体积的求法，考查正八面体与球的内切外接问题，考查空间想象能力，是中档题．三、解答题17．已知等差数列满足，其前5项和为25，等比数列的前项和.（1）求数列、的通项公式；（2）求数列的前项和.【答案】（1）,；（2）.【解析】（1）利用已知建立与d的方程组，求得与d，即可求解，再由的前n 项和分n=1与求得通项公式．（2）由错位相减法求出数列的和．【详解】（1）设等差数列的公差为，由已知得,．对于数列，，当时，，当时，，综上，（）．（2）由（1）得，，①，②①-②得：，．【点睛】本题考查了数列的通项公式的求法，乘公比错位相减法在数列求和中的应用，属于基础题．18．如图，在以,,,,,A B C D E F 为顶点的五面体中，面ABEF 为正方形，23AF FD =，90AFD ︒∠=，且二面角E AF D --与二面角C BE F --都是30.（1）证明：⊥AF 平面EFDC ；（2）求直线BF 与平面BCE 所成角的正弦值. 【答案】（1）证明见解析； （2）42. 【解析】（1）推导出AF ⊥DF ，AF ⊥FE ，由线面垂直的判定定理即可证明AF ⊥平面EFDC ．（2）过D 作DG ⊥EF ，由DG ⊥平面ABEF ，以G 为坐标原点，GF 的方向为x 轴正方向，|GD |为单位长度，建立空间直角坐标系G ﹣xyz ，利用向量法求出平面BCE 的法向量，则可求得直线BF 与平面BCE 所成角的正弦值． 【详解】 （1）面ABEF 为正方形∴ΑF FE ⊥又90AFD ∠=∴ΑF DF ⊥，而DF FE F ⋂=,DF ⊂面EFDC ,⊂EF 面EFDC∴ΑF ⊥面EFDC（2）⊂AF ABEF ，则由（1）知面EFDC ⊥平面ΑΒΕF ，过D 作DG ΕF ⊥，垂足为G ，∴DG ⊥平面ΑΒΕF ．以G 为坐标原点，GF 的方向为x 轴正方向，GD 为单位长度，建立如图所示的空间直角坐标系G xyz -．由（1）知DFE ∠为二面角E AF D --的平面角，故DFE 30∠=，又23AF FD =，则2DF =，3GF =，43AF =∴()33,43,0B -，()33,0,0E -，()3,0,0F．由已知，//AB EF ，∴//AB 平面EFDC ．又平面ABCD平面EFDC DC =，故//AB CD ，//CD EF ．由//BE AF ，可得BE ⊥平面EFDC ，∴C F ∠E 为二面角C BE F --的平面角，30C ΕF ∠=．∴()23,0,1C -． ∴()3,0,1ΕC =，()0,43,0ΕΒ=，()43,43,0BF =-．设(),,n x y z =是平面ΒC Ε的法向量，则C 00n n ⎧⋅E =⎨⋅EB =⎩，即30430x z y ⎧+=⎪⎨=⎪⎩，∴可取()1,0,3n =- .则432sin cos ,4462BF n BF n BF nθ⋅=<>===⨯． ∴直线BF 与平面BCE 所成角的正弦值为42 .【点睛】本题考查线面垂直的判定定理，考查了利用空间向量法求解线面角的问题，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题． 19．全民健身倡导全民做到每天参加一次以上的体育健身活动，旨在全面提高国民体质和健康水平.某部门在该市2013-2018年发布的全民健身指数中，对其中的“运动参与评分值y ”（满分100分）进行了统计，制成如图所示的散点图.（1）根据散点图，建立y 关于t 的回归方程ˆˆˆybt a =+； （2）从该市的市民中随机抽取了容量为150的样本，其中经常参加体育锻炼的人数为50，以频率为概率，若从这150名市民中随机抽取4人，记其中“经常参加体育锻炼”的人数为X ，求X 的分布列和数学期望.附：对于一组数据()()()1122,,,,,,n n t y t y t y ⋯，其回归直线ˆˆˆybt a =+的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为()()()121ˆni i i n i i t t y y b t t ==--=-∑∑，ˆˆa y bt =-. 【答案】（1） 3.662.4y t ∧=+； （2）X 的分布列如下：()43E X =. 【解析】（1）求得样本中心点（t ，y ），利用最小二乘法即可求得线性回归方程； （2）由X 的可能取值为0，1，2，3，4，分别求得其概率，即可求得分布列及数学期望． 【详解】 （1）由题意得:1234566571737780843.5,7566t y ++++++++++====，()()()()()()()()11 3.565752 3.571753 3.57375i i i nt t y y =∑--=--+--+--+()()4 3.57775--+()()5 3.58075--+()()6 3.5847563--=.()()()()()()() 122222221 3.52 3.53 3.54 3.55 3.56 3.517.5 iint t=∑-=-+-+-+-+-+-=则633.6,75 3.6 3.562.417.5b a∧∧===-⨯=.∴所求回归方程为 3.662.4y t∧=+.（2）以频率为概率，从这150名市民中随机抽取1人，经常参加体育锻炼的概率为5011503=，由题知，X的可能取值为0，1，2，3，4.则0441216(0),3381P X C⎛⎫⎛⎫===⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭13141232(1),3381P X C⎛⎫⎛⎫===⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭22241224(2),3381P X C⎛⎫⎛⎫===⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭3134128(3),3381P X C⎛⎫⎛⎫===⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭4034121(4)3381P X C⎛⎫⎛⎫===⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.X的分布列如下：∴1632248140123481818181813EX=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=或14433EX=⨯=【点睛】本题考查独立检验的应用，考查离散型随机变量的分布列、数学期望的求法，二项分布等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查函数与方程思想，属于中档题．20．已知点为圆上任意一点，点，线段的中垂线交于点.（1）求动点的轨迹方程；（2）若动直线与圆相切，且与动点的轨迹交于点、，求面积的最大值（为坐标原点）.【答案】（1）；（2）.【解析】（1）由题意可得则由椭圆的定义可得轨迹方程.（2）先考虑动直线斜率存在时，设为y=kx+m与椭圆方程联立，由直线l与圆O相切，利用根的判别式求出k与m的关系，由弦长公式、三角形面积公式，结合换元法利用二次函数求最值的方法能求出△OEF面积的最大值，再考虑斜率不存在时，可直接求得点的坐标，求得面积，比较后得到结论．【详解】（1）由题知，的轨迹是以、为焦点的椭圆，其方程为.（2）①当的斜率存在时.设的方程为由得:可得与圆相切，从而，令，得.当且仅当即时取等号..②当的斜率不存在时.易得的方程为或.此时.由①②可得:的最大值为.【点睛】本题考查椭圆方程的求法，考查三角形面积公式及最值的求法，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想，函数与方程思想，是中档题．21．已知函数.（1）讨论函数的单调性；（2）若，在上恒成立，求的取值范围.【答案】（1）见解析；（2）.【解析】（1）先求导数，对a分类讨论后分别解出f′（x）＞0与f′（x）<0的解集，从而得出函数f（x）的单调性．（2）构造函数g（x）＝（k-1）lnx+x，x＞1，求导后令导函数的分子为h(x)，研究h（x）的正负得到g(x)的单调性与极值、最值，可得满足条件的k的取值范围；【详解】（1）由题可知①当时，此时恒成立，在递增.②当时，令解得;令解得.在递减，在递增.（2）原不等式等价变形为恒成立.令则令①当时，此时的对称轴：在递增.又在恒成立.在恒成立，即在递增..符合要求.②当时，此时在有一根，设为当时，即.在上递减..这与恒成立矛盾.综合①②可得:.【点睛】本题考查了利用导数研究其单调性极值与最值，考查了不等式的恒成立问题，考查了分类讨论方法，考查了分析问题与解决问题的能力、推理能力与计算能力，属于难题．22．在直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为.（1）求曲线的普通方程以及曲线的直角坐标方程；（2）若动直线分别与，交于点、，求的取值范围.【答案】（1）；（2）【解析】（1）根据曲线的参数方程消去参数，即可得到曲线的普通方程；由极坐标与直角坐标的互化公式，可直接得出曲线的直角坐标方程；（2）先设（1）中圆的圆心为，得到，设，由两点间距离公式，先求出点到圆心的距离，进而可得出结果.【详解】解：（1）曲线的直角坐标方程为，曲线的直角坐标方程为.（2）设（1）中圆的圆心为，则.设，，从而得.【点睛】本题主要考查参数方程与普通方程的互化、极坐标方程与直角坐标方程的互化、以及参数方程求两点间距离问题，熟记公式即可，属于常考题型.23．选修4-5：不等式选讲已知函数.（1）求不等式的解集；（2）若不等式的解集不是空集，求的取值范围.【答案】（1）（2）【解析】（1）用分类讨论的思想，分别讨论，以及三种情况，即可得出结果；（2）先由不等式的解集不是空集，得到，再由函数解析式，求出，进而可得出结果.【详解】解：（1）①当时不等式化为，解得.②当时不等式化为，解得.③当时不等式化为，解得.综上，不等式的解集为；（2）由题可得，易求得，因此，解得.【点睛】本题主要考查含绝对值不等式，灵活运用分类讨论的思想即可，属于常考题型.。
安徽省皖南八校2021届高三第三次联考数学(理)试题Word版含解析
安徽省皖南八校2021届高三第三次联考数学（理）试题一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.若复数的实部与虚部相等，则实数的值为（）A. B. C. 5 D. 2【答案】B【解析】【分析】直接由复数代数形式的乘法运算化简复数z，结合已知条件即可求出a的值．【详解】∵复数的实部与虚部相等，∴，∴.故选B.【点睛】本题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了复数的基本概念，是基础题．2.已知集合，，则（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】解不等式得集合A、B，根据交集的定义写出A∩B．【详解】或，，则.故选A.【点睛】本题考查了交集的概念及运算，属于基础题．3.从某地区年龄在25～55岁的人员中，随机抽出100人，了解他们对今年两会的热点问题的看法，绘制出频率分布直方图如图所示，则下列说法正确的是（）A. 抽出的100人中，年龄在40～45岁的人数大约为20B. 抽出的100人中，年龄在35～45岁的人数大约为30C. 抽出的100人中，年龄在40～50岁的人数大约为40D. 抽出的100人中，年龄在35～50岁的人数大约为50【答案】A【解析】【分析】根据频率分布直方图的性质，求得，再逐项求解选项，即可得到答案。
【详解】根据频率分布直方图的性质得，解得所以抽出的100人中，年龄在40～45岁的人数大约为人，所以A正确；年龄在35～45岁的人数大约为人，所以B不正确；年龄在40～50岁的人数大约为人，所以C不正确；年龄在35～50岁的人数大约为，所以D不正确；故选A。
【点睛】本题主要考查了频率分布直方图的应用，其中解答中熟记频率分布直方图的性质，以及利用矩形的面积表示频率，合理计算是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题。
4.若，，则（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】将两等式两边分别平方相加，结合同角的平方关系和两角差的正弦公式，化简整理，即可得到所求值．【详解】，①，②①2+②2，可得（sin2α+cos2α）+（sin2β+cos2β）-2（sinαcosβ-cosαsinβ），即为2-2sin（α-β），即有sin（α-β），故选：D．【点睛】本题考查三角函数的求值，注意运用平方法和三角函数的恒等变换公式，考查了化简整理的运算能力，属于基础题．5.函数的大数图象为（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】由函数是奇函数，图象关于原点对称，排除C、D项；再由当时，函数的值小于0，排除B，即可得到答案.【详解】由题知，函数满足，所以函数是奇函数，图象关于原点对称，排除C、D项；又由当时，函数的值小于0，排除B，故选A.【点睛】本题主要考查了函数图象的识别，其中解答中熟练应用函数的奇偶性和函数的取值范围，利用排除法求解是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题.6.七巧板是古代中国劳动人民发明的一种中国传统智力玩具，它由五块等腰直角三角形，一块正方形和一块平行四边形共七块板组成.清陆以湉《冷庐杂识》卷一中写道：近又有七巧图，其式五，其数七，其变化之式多至千余.体物肖形，随手变幻，盖游戏之具，足以排闷破寂，故世俗皆喜为之.如图是一个用七巧板拼成的正方形，若在此正方形中任取一点，则此点取自阴影部分的概率为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】求出阴影部分的面积，根据面积比的几何概型，即可求解其相应的概率，得到答案.【详解】设正方形的边长为4，则正方形的面积为，此时阴影部分所对应的直角梯形的上底边长为，下底边长为，高为，所以阴影部分的面积为，根据几何概型，可得概率为，故选A.【点睛】本题主要考查了几何概型的概率的计算问题，解决此类问题的步骤：求出满足条件A的基本事件对应的“几何度量”，再求出总的基本事件对应的“几何度量”，然后根据求解，着重考查了分析问题和解答问题的能力.7.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A. B.C.D.【答案】D 【解析】 【分析】根据三视图得到该几何体是圆柱中挖去了一个圆锥，其中圆柱的底面圆的半径为，母线长为，圆锥的底面圆的半径为，高为，再由体积公式求解，即可得到答案.【详解】由三视图知，此几何体是圆柱中挖去了一个圆锥，其中圆柱的底面圆的半径为，母线长为，圆锥的底面圆的半径为，高为， 所以几何体的体积为：，故选D.【点睛】本题考查了几何体的三视图及体积的计算，在由三视图还原为空间几何体的实际形状时，要根据三视图的规则，空间几何体的可见轮廓线在三视图中为实线，不可见轮廓线在三视图中为虚线，求解以三视图为载体的空间几何体的表面积与体积的关键是由三视图确定直观图的形状以及直观图中线面的位置关系和数量关系，利用相应公式求解.8.已知，满足约束条件，若目标函数的最小值为-5，则的最大值为（ ）A. 2B. 3C. 4D. 5【答案】D 【解析】 【分析】由目标函数z ＝3x +y 的最小值为`-5，可以画出满足条件的可行域，结合目标函数的解析式形式，分析取得最优解的点的坐标，得到参数的取值，然后求出目标函数的最大值即可． 【详解】画出x ，y 满足的可行域如下图：z＝3x+y变形为y=-3x+z，其中z表示直线的截距，可得在直线与直线＝0的交点A处，使目标函数z＝3x+y取得最小值-5，当过点B时，目标函数z＝3x+y取得最大值，故由，解得x＝-2，y＝1，代入＝0得a=1，由⇒B（3，-4）当过点B（3，-4）时，目标函数z＝3x+y取得最大值，最大值为5．故选：D．【点睛】本题考查了含参数的线性规划问题，当约束条件中含有参数时，可以先大致画出几个不等式对应的平面区域，分析取得最优解是哪两条直线的交点，再代入求解，本题属于中档题．9.已知是椭圆：的右焦点，为椭圆上一点，，则的最大值为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】设椭圆的左焦点为F′，则有|PF|+|PF′|＝，而所求|PA|+|PF|＝+|PA|﹣|PF′|，作出图形，根据图形即可看出||PA|﹣|PF′||≤|AF′|，从而求出|PA|+|PF|的最大值．【详解】如图，设椭圆的左焦点为F′，则|PF|+|PF′|＝；又F′（﹣1，0），|AF′|，∴|PA|+|PF|＝+|PA|﹣|PF′|，根据图形可以看出||PA|﹣|PF′||≤|AF′|，∴当P在线段AF′的延长线上时，|PA|﹣|PF′|最大，为|AF′|，∴|PA|+|PF|的最大值为，故选：D．【点睛】本题考查椭圆的标准方程以及椭圆的定义的应用，涉及三角形两边之差小于第三边的几何知识，考查了数形结合思想，属于中档题．10.三棱锥的四个顶点都在球的球面上，是边长为3的正三角形.若球的表面积为，则三棱锥体积的最大值为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根据是正三角形，可得面积及外接圆的半径，利用垂径定理可得，可求得三棱锥高的最大值，进而求得体积的最大值.【详解】由题意得的面积为，又设的外心为，则，由，得，∵面∴.∴球心O在棱锥内部时，棱锥的体积最大．此时三棱锥高的最大值为，∴三棱锥体积最大值为. 故选A.【点睛】本题考查了有关球的组合体问题，考查了垂径定理的应用，考查了空间想象能力，属于中档题.11.已知函数，若对任意的，关于的方程总有两个不同的实数根，则的取值范围为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】令，且，解得，根据且，结合图象，即可求解。
安徽省皖南八校2019届高三第三次联考数学(文科)试题 Word版含解析
“皖南八校”2019届高三第三次联考数学（文科）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{|10}A x x =+>，{1,0,1}B =-，则A B =（ ）A. {1}B. {}1-C. {0,1}D. {1,0}-【答案】C 【解析】 【分析】求得集合{|10}{|1}A x x x x =+>=>-，根据集合的交集运算，即可求解. 【详解】由题意，集合{|10}{|1}A x x x x =+>=>-，又由{1,0,1}B =-， 所以{0,1}AB =，故选C .【点睛】本题主要考查了集合的交集运算，其中解答中正确求解集合A ，再利用集合的交集运算求解是解答的关键，着重考查了运算与求解能力. 2.已知复数11iz i+=-，则i z +=（ ）A. 0B. 1D. 2【答案】D 【解析】 【分析】根据复数的运算法则，求得221ii z i++=-，再根据复数模的计算公式，即可求解．【详解】由题意复数11i z i +=-，则212211i i i ii z i i ++-++==--，所以2i z +==，故选D ．【点睛】本题主要考查了复数的运算，以及复数模的计算，其中解答中熟记复数的运算法则，合理准确运算是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题．3.从某地区年龄在25～55岁的人员中，随机抽出100人，了解他们对今年两会的热点问题的看法，绘制出频率分布直方图如图所示，则下列说法正确的是（ ）A. 抽出的100人中，年龄在40～45岁的人数大约为20B. 抽出的100人中，年龄在35～45岁的人数大约为30C. 抽出的100人中，年龄在40～50岁的人数大约为40D. 抽出的100人中，年龄在35～50岁的人数大约为50 【答案】A 【解析】 【分析】根据频率分布直方图的性质，求得0.04a =，再逐项求解选项，即可得到答案．【详解】根据频率分布直方图的性质得(0.010.050.060.020.02)51a +++++⨯=，解得0.04a =所以抽出的100人中，年龄在40～45岁的人数大约为0.04510020⨯⨯=人，所以A 正确； 年龄在35～45岁的人数大约为(0.060.04)510050+⨯⨯=人，所以B 不正确； 年龄在40～50岁的人数大约为(0.040.02)510030+⨯⨯=人，所以C 不正确； 年龄在35～50岁的人数大约为(0.060.040.02)510060++⨯⨯=，所以D 不正确； 故选A ．【点睛】本题主要考查了频率分布直方图的应用，其中解答中熟记频率分布直方图的性质，以及利用矩形的面积表示频率，合理计算是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题．4.若x ，y 满足约束条件24010220x y x y x y -+≥⎧⎪++≥⎨⎪+-≤⎩，则3z x y =+的最大值为（ ）A. 2B. 3C. 4D. 5【答案】D 【解析】 【分析】作出约束条件所表示的平面区域，结合图象得到目标函数的最优解，即可求解目标函数的最大值，得到答案.【详解】由题意，作出约束条件所表示的平面区域，如图所示，目标函数3z x y =+，可化为直线3y x z =-+，当3y x z =-+经过点A 时，直线在y 轴上的截距最大，此时目标函数取得最大值，又由10220x y x y ++=⎧⎨+-=⎩，解得3,4x y ==-，即(3,4)A -，所以目标函数的的最大值为3345z =⨯-=，故选D .【点睛】本题主要考查简单线性规划求解目标函数的最值问题．其中解答中正确画出不等式组表示的可行域，利用“一画、二移、三求”，确定目标函数的最优解是解答的关键，着重考查了数形结合思想，及推理与计算能力，属于基础题． 5.已知tan 74πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则tan2α=（ ） A.724B.247C. 724-D. 247-【答案】B 【解析】 【分析】根据两角和的正切公式，求得3tan 4α=，再由正切的倍角公式，即可求解，得到答案. 【详解】由题意，根据两角和的正切公式，得tan 1tan()741tan πααα++==-，解得3tan 4α=，又由正切的倍角公式，得22322tan 244tan 231tan 71()4ααα⨯===--，故选B . 【点睛】本题主要考查了三角函数的化简求值问题，其中解答中熟练应用两角和的正切和正切的倍角公式，合理化简、运算是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题.6.函数f （x ）=3344x x -的大数图象为（ ）A. B.C.D.【答案】A 【解析】 【分析】由函数()f x 是奇函数，图象关于原点对称，排除C 、D 项；再由当()0,1x ∈时，函数()f x 值小于0，排除B ，即可得到答案.【详解】由题知，函数()f x 满足()333()3()4444xx x x f x f x ---==-=---，所以函数()f x是奇函数，图象关于原点对称，排除C 、D 项；又由当()0,1x ∈时，函数()f x 的值小于0，排除B ，故选A.【点睛】本题主要考查了函数图象的识别，其中解答中熟练应用函数的奇偶性和函数的取值范围，利用排除法求解是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题. 7.七巧板是古代中国劳动人民发明的一种中国传统智力玩具，它由五块等腰直角三角形，一块正方形和一块平行四边形共七块板组成.清陆以湉《冷庐杂识》卷一中写道：近又有七巧图，其式五，其数七，其变化之式多至千余.体物肖形，随手变幻，盖游戏之具，足以排闷破寂，故世俗皆喜为之.如图是一个用七巧板拼成的正方形，若在此正方形中任取一点，则此点取自阴影部分的概率为（ ）A.516B.1132C. 38D.1332【答案】A 【解析】 【分析】求出阴影部分的面积，根据面积比的几何概型，即可求解其相应的概率，得到答案. 【详解】设正方形的边长为4，则正方形的面积为4416S =⨯=，此时阴影部分所对应的直角梯形的上底边长为，所以阴影部分的面积为1152S =⨯=， 根据几何概型，可得概率为1516S P S ==，故选A .【点睛】本题主要考查了几何概型的概率的计算问题，解决此类问题的步骤：求出满足条件A 的基本事件对应的“几何度量()N A ”，再求出总的基本事件对应的“几何度量N ”，然后根据()N A P N=求解，着重考查了分析问题和解答问题的能力. 8.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）A. 4643π-B. 6412π-C. 12πD.443π 【答案】D 【解析】 【分析】根据三视图得到该几何体是圆柱中挖去了一个圆锥，其中圆柱的底面圆的半径为2R =，母线长为4l =，圆锥的底面圆的半径为1r =，高为4h =，再由体积公式求解，即可得到答案. 【详解】由三视图知，此几何体是圆柱中挖去了一个圆锥，其中圆柱的底面圆的半径为2R =，母线长为4l =，圆锥的底面圆的半径为1r =，高为4h =， 所以几何体的体积为：2213V R l r h ππ=-=22144241433πππ⨯⨯-⨯⨯=，故选D. 【点睛】本题考查了几何体的三视图及体积的计算，在由三视图还原为空间几何体的实际形状时，要根据三视图的规则，空间几何体的可见轮廓线在三视图中为实线，不可见轮廓线在三视图中为虚线，求解以三视图为载体的空间几何体的表面积与体积的关键是由三视图确定直观图的形状以及直观图中线面的位置关系和数量关系，利用相应公式求解.9.在正方体1111ABCD A B C D -中，若点M 为正方形ABCD 的中心，则异面直线1AB 与1D M 所成角的余弦值为（ ）A.6B.3C.6D.3【答案】C 【解析】【分析】建立空间直角坐标系，利用空间向量的夹角公式，即可求解. 【详解】建立如图所示的空间直角坐标系，不妨设2AB =，则11(2,0,0),(2,2,2),(0,0,2),(1,1,0)A B D M ， 则向量11(0,2,2),(1,1,2)AB D M ==-， 则向量1AB 与1D M的夹角为1111cos 62AB D MAB D M θ⋅===⋅, 即异面直线1AB 与1D M C .【点睛】本题主要考查了利用空间向量求解异面直线所成的角，其中解答中建立适当的空间直角坐标系，合理利用向量的夹角公式求解是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题.10.已知1F ，2F 是椭圆C ：22221(0)x y a ba b +=>>的两个焦点，以12F F为直径的圆与直线22x a b+=相切，则椭圆C 的离心率为（） A.3B.3C.2D.2【答案】D 【解析】 【分析】由圆222x y c +=与直线22x a +=相切，利用圆心到直线的距离等于半径和离心率的定义，即222b a c =-，整理422320e e --=，即可求解.【详解】由题意，以12,F F 为直径的圆的方程为222x y c +=，其中圆心(0,0)O ，半径为r c =，又由圆222x y c +=与直线22x a b+=相切，则圆心(0,0)O 到直线220bx ab +-=的距离为d c ==，又由222b a c =-，整理得42242320c a c a --=，即422()3()20cc a a--=， 即422320e e --=，解的212e =，又由01e <<，所以2e =，故选D . 【点睛】本题考查了椭圆的几何性质——离心率的求解，其中根据条件转化为圆锥曲线的离心率的方程是解答的关键．求双曲线的离心率(或离心率的取值范围)，常见有两种方法：①求出,a c ，代入公式ce a=；②只需要根据一个条件得到关于,,a b c 的齐次式，转化为,a c 的齐次式，然后转化为关于e 的方程(不等式)，解方程(不等式)，即可得e (e 的取值范围)． 11.已知函数2log (1),1()1,1x x f x x +≥⎧=⎨<⎩，则满足(21)(32)f x f x +<-的实数x 的取值范围是（ ） A. (,0]-∞ B. (3,)+∞C. [1,3)D. (0,1)【答案】B 【解析】 【分析】根据函数的解析式，得出函数的单调性，把不等式(21)(32)f x f x +<-，转化为相应的不等式组，即可求解.【详解】由题意，函数2log (1),1()1,1x x f x x +≥⎧=⎨<⎩，可得当1x <时，()1f x =，当1x ≥时，函数()f x 在[1,)+∞单调递增，且()21log 21f ==，要使得(21)(32)f x f x +<-，则2132321x x x +<-⎧⎨->⎩，解得3x >， 即不等式(21)(32)f x f x +<-的解集为(3,)+∞，故选B .【点睛】本题主要考查了函数的单调性的应用，其中根据函数的解析式，得出函数单调性，合理利用函数的单调性，得出不等式组是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于中档试题.12.已知函数()2sin(2)6f x x π=+，若对任意的(1,2)a ∈，关于x 的方程()0(0)f x a x m -=≤<总有两个不同的实数根，则m 的取值范围为（ ）A. 2,23ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦B. ,32ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦C. 2,23ππ⎛⎤ ⎥⎝⎦D.,63ππ⎛⎤⎥⎝⎦【答案】B 【解析】 【分析】令()1f x =，且0x ≥，解得20,,,,323x πππ=，根据12a <<且()2f x ≤，结合图象，即可求解．【详解】由题意，函数()2sin 26f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭，令()1f x =，且0x ≥， 即2sin 26x π⎛⎫+= ⎪⎝⎭±1，解得20,,,,323x πππ=，又因为12a <<，且()2f x ≤，所以要使得()0f x a -=总有两个不同实数根时，即函数()y f x =与12()y a a =<<的图象由两个不同的交点， 结合图象，可得32m ππ≤≤，所以实数m 的取值范围是,32m ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦.【点睛】本题主要考查了三角函数的图象与性质的综合应用，其中解答中熟练应用三角函数的性质，结合图象求解是解答的关键，着重考查了数形结合思想，以及分析问题和解答问题的能力，属于中档试题 ．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.若平面向量(1,2)a =，(,3)b x =，且a b ⊥，则()a a b ⋅-=__________． 【答案】5 【解析】 【分析】由a b ⊥，则0a b ⋅=，可得所以22()a a b a a b a ⋅-=-⋅=，即可求解. 【详解】由题意，平面向量(1,2)a =，(,3)b x =，且a b ⊥，则0a b ⋅=， 所以2222()(15a a b a a b a⋅-=-⋅===.【点睛】本题主要考查了向量的数量积的运算，其中解答中熟记平面向量的数量积的运算公式，合理准确运算是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题.14.已知1x =是函数2()()x f x x ax e =+的一个极值点，则曲线()y f x =在点(0,(0))f 处的切线斜率为__________． 【答案】32- 【解析】 【分析】由1x =是函数2()()xf x x ax e =+的一个极值点，求得32a =-，进而求得3'(0)2f =-，根据导数的几何意义，即可得到答案.【详解】由题意，函数2()()x f x x ax e =+，则2'()(2)xf x x ax x a e =+++， 又由1x =是函数2()()xf x x ax e =+的一个极值点，所以'(1)(32)0f a e =+=，解得32a =-，即213'()()22x f x x x e =+-， 所以3'(0)2f =-，所以函数()f x 在点(0,(0))f 处切线的斜率为32-.【点睛】本题主要考查了利用函数的极值点求参数，以及导数的几何意义的应用，其中解答中熟记函数的极值点的定义，合理利用导数导数的几何意义求解是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题.15.已知P 是双曲线2221(0)y x b b-=>上一点，1F 、2F 是左、右焦点，12PF F ∆的三边长成等差数列，且1290F PF ∠=︒，则双曲线的渐近线方程为__________．【答案】y =± 【解析】 【分析】设12,PF m PF n ==，不妨设点P 位于第一象限，则由已知条件和双曲线的定义，列出发方程组，求得5c =，进而求得b =. 【详解】由题意，设12,PF m PF n ==，不妨设点P 位于第一象限，则由已知条件和双曲线的定义，可得2m n -=且()2222m n c +=且22n c m +=， 整理得2650c c -+=，解得5c =，又由22224b c a =-=，即b =所以双曲线的渐近线的方程为by x a=±=±. 【点睛】本题主要考查了双曲线的几何性质的应用，其中解答中熟练应用双曲线的定义和几何性质，列出方程组求得c 的值是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题. 16.在ABC ∆中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若cos cos 2cos b C c B a B +=，且2a =，3b =，则ABC ∆的面积是__________．【解析】 【分析】由正弦定理化简得()sin 2sin cos B C A B +=，进而得到1cos 2B =，再由余弦定理得到关于c 的方程，求得c 的值，进而利用面积公式，即可求解． 【详解】由题意，可知cos cos 2cos bC c B a B +=，由正弦定理得sin cos sin cos 2sin cos B C C B A B +=，即()sin 2sin cos B C A B +=， 又由在ABC ∆中，()A B C π=-+,则sin sin[()]sin()A B C B C π=-+=+， 即sin 2sin cos A A B =，又由(0,)A π∈，则sin 0A >，所以1cos 2B =， 由余弦定理得2222cos b a c ac B =+-，即2942c c =+-，整理得2250c c --=，解得1c =所以ABC ∆的面积为11sin 2(12222S ac B ==⨯⨯⨯=. 【点睛】本题主要考查了正弦定理，三角函数恒等变换的应用，同角三角函数基本关系式，余弦定理在解三角形中的综合应用，其中解答中熟记三角恒等变换的公式，以及合理应用正弦定理、余弦定理求解是解答的关键，着重考查了转化思想与运算、求解能力，属于基础题．三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答. （一）必考题：共60分.17.各项均为整数的等差数列{}n a ，其前n 项和为n S ，已知11a =，且2a ，5a ，52S +成等比数列.（1）求{}n a 的通项公式；（2）已知数列{}n b 满足2n an b =，求数列{}n b 的前n 项和n T .【答案】（1）21n a n =-；（2）2(41)3nn T =-. 【解析】【分析】（1）设{}n a 的公差为d ，利用等差数列的通项公式，求得2d =，即可得出数列的通项公式； （2）由（1）得2112242na n nn b -===⋅，再利用等比数列的求和公式，即可求解． 【详解】（1）设{}n a 的公差为d ，由题意知()25522a S a =+. ∵11a =，∴()()()2141710d d d +=++，解得2d =或12d =-. 又{}n a 各项为整数，∴2d =. 所以数列的通项公式21n a n =-. （2）由题意，2112242na n nn b -===⋅，故{}n b 为等比数列，首项为2，公比为4， 则其前n 项和()()()112142411143nnnn b q T q--===---.【点睛】在解决等差、等比数列的运算问题时，有两个处理思路,一是利用基本量,根据通项公式和求和公式，列出方程组,虽有一定量的运算,但思路简洁,目标明确；二是利用等差、等比数列的性质是两种数列基本规律的深刻体现，应有意识地去应用.但在应用性质时要注意性质的前提条件，有时需要进行适当变形. 在解决等差、等比数列的运算问题时，经常采用“巧用性质、整体考虑、减少运算量”的方法.18.如图，在四棱锥P ABCD -中，PC ⊥平面ABCD ，点M 为PB 中点，底面ABCD 为梯形，//AB CD ，AD CD ⊥，12AD CD PC AB ===.（1）证明：//CM 平面PAD ；（2）若四棱锥P ABCD -的体积为4，求点M 到平面PAD 的距离. 【答案】（1）详见解析；（2. 【解析】 【分析】（1）取PA 中点E ，连接DE ，ME ，根据平行四边形的性质，证得//DE CM ，再利用线面平行的判定定理，即可证得//CM 平面PAD .（2）设AD x =，利用四棱锥P ABCD -的体积，求得2x =，又由//CM 平面PAD 知，点M 到平面PAD 的距离等于点C 到平面PAD 的距离,过C 作CF PD ⊥，证得CF ⊥平面PAD ，即可求得答案．【详解】（1）如图所示，取PA 中点E ，连接DE ，ME ， ∵M 是PB 中点，∴//ME AB ，12ME AB =， 又//AB CD ，12CD AB =，∴//ME CD ，ME CD =， ∴四边形CDEM 为平行四边形，∴//DE CM .∵DE ⊂平面PAD ，CM ⊄平面PAD ，∴//CM 平面PAD . （2）设AD x =，则CD PC x ==，2AB x =， 由ABCD 是直角梯形，PC ⊥平面ABCD 知， 则四棱锥P ABCD -的体积为()2112432x x x ⨯+=，解得2x =， 由//CM 平面PAD 知，点M 到平面PAD 的距离等于点C 到平面PAD 的距离, 过C 作CF PD ⊥，垂足为F ， 由PC ⊥平面ABCD ，得PC AD ⊥， 又AD CD ⊥，∴AD ⊥平面PCD ，∵CF ⊂平面PCD ，∴AD CF ⊥，∴CF ⊥平面PAD .由2PC CD ==，PC CD ⊥知CF =∴M 到平面PAD【点睛】本题主要考查了线面平行的判定与证明，以及点到平面的距离公式的求解，其中解答中熟记线面平行与垂直的判定与证明，以及合理转化点到平面的距离是解答的关键，着重考查了推理与论证能力，以及运算与求解能力，属于基础题．19.党的十九大明确把精准脱贫作为决胜全面建成小康社会必须打好的三大攻坚战之一.为坚决打赢脱贫攻坚战，某帮扶单位为帮助定点扶贫村脱贫，坚持扶贫同扶智相结合，此帮扶单位考察了甲、乙两种不同的农产品加工生产方式，现对两种生产方式的产品质量进行对比，其质量按测试指标可划分为：指标在区间[80,100]的为优等品；指标在区间[60,80)的为合格品，现分别从甲、乙两种不同加工方式生产的农产品中，各自随机抽取100件作为样本进行检测，测试指标结果的频数分布表如下：甲种生产方式：乙种生产方式：（1）在用甲种方式生产的产品中，按合格品与优等品用分层抽样方式，随机抽出5件产品，①求这5件产品中，优等品和合格品各多少件；②再从这5件产品中，随机抽出2件，求这2件中恰有1件是优等品的概率；（2）所加工生产的农产品，若是优等品每件可售55元，若是合格品每件可售25元.甲种生产方式每生产一件产品的成本为15元，乙种生产方式每生产一件产品的成本为20元.用样本估计总体比较在甲、乙两种不同生产方式下，该扶贫单位要选择哪种生产方式来帮助该扶贫村来脱贫？【答案】（1）①优等品3件，合格品2件；②35；（2）选择乙生产方式.【解析】【分析】（1）①根据频数分布表知：甲的优等品率为0.6，合格品率为0.4，即可得到抽去的件数；②记3件优等品为A，B，C，2件合格品分别为a，b，从中随机抽2件，列举出基本事件的总数，利用古典概型及其概率的计算公式，即可求解；（2）分别计算出甲、乙种生产方式每生产100件所获得的利润为1T 元2T 元，比较即可得到结论．【详解】（1）①由频数分布表知：甲的优等品率为0.6，合格品率为0.4，所以抽出的5件产品中，优等品3件，合格品2件.②记3件优等品为A ，B ，C ，2件合格品分别为a ，b ，从中随机抽2件，抽取方式有AB ，AC ，Aa ，Ab ，BC ，Ba ，Bb ，Ca ，Cb ，ab 共10种，设“这2件中恰有1件是优等品的事件”为M ，则事件M 发生的情况有6种， 所以()63105P M ==. （2）根据样本知甲种生产方式生产100件农产品有60件优等品，40件合格品；乙种生产方式生产100件农产品有80件优等品，20件合格品. 设甲种生产方式每生产100件所获得的利润为1T 元， 乙种生产方式每生产100件所获得的利润为2T 元， 可得()()16055154025152800T =-+-=（元），()()28055202025202900T =-+-=（元），由于12T T <，所以用样本估计总体知乙种生产方式生产的农产品所获得的利润较高，该扶贫单位要选择乙生产方式来帮助该扶贫村来脱贫较好.【点睛】本题主要考查了频率分布直方表与频率分布直方图的应用，其中解答中熟记在频率分布直方图中，各小长方形的面积表示相应各组的频率，且所有小长方形的面积的和等于1，合理利用古典概型及其概率的计算公式求解概率是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题．20.在平面直角坐标系xOy 中，已知抛物线C ：22(0)x py p =>，过抛物线焦点F 且与y 轴垂直的直线与抛物线相交于A 、B 两点，且OAB ∆的周长为2. （1）求抛物线C 的方程；（2）若过焦点F 且斜率为1的直线l 与抛物线C 相交于M 、N 两点，过点M 、N 分别作抛物线C 的切线1l 、2l ，切线1l 与2l 相交于点P ，求：2PF MF NF -⋅的值.【答案】（1）22x y =；（2）0.【解析】 【分析】 （1）将2p y =代入抛物线C 的方程可得点A 、B 的坐标分别为,2p p ⎛⎫- ⎪⎝⎭、,2p p ⎛⎫ ⎪⎝⎭，进而利用三角形的周长为2，列出方程，求得1p =，即可得到抛物线的方程； （2）将直线l 方程为12y x =+与抛物线的方程联立，利用根与系数的关系，得到直线12,l l 的方程，进而得到点P 的坐标为11,2⎛⎫-⎪⎝⎭，再利用抛物线的几何性质，即可作出证明． 【详解】（1）由题意知，焦点F 的坐标为0,2p ⎛⎫ ⎪⎝⎭， 将2p y =代入抛物线C 的方程可求得22x p =，解得x p =±， 即点A 、B 的坐标分别为,2p p ⎛⎫- ⎪⎝⎭、,2p p ⎛⎫ ⎪⎝⎭， 又由2AB p =，2OA OB p ===，可得OAB ∆的周长为2p +，即22p +=1p =， 故抛物线C 的方程为22x y =. （2）由（1）得10,2F ⎛⎫ ⎪⎝⎭，直线l 方程为12y x =+， 联立方程21212y x y x ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩消去y 整理为：2210x x --=，则12122,1x x x x +==-，所以121213y y x x +=++=，2212121144y y x x ==. 又因为212y x =，则21112y x =， ∴可得直线1l 的方程为()211112y x x x x -=-，整理为21112y x x x =-.同理直线2l 的方程为22212y x x x =-.联立方程2112221212y x x x y x x x ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，解得121222x x x x x y +⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，则点P 的坐标为11,2⎛⎫- ⎪⎝⎭.由抛物线的几何性质知112MF y =+，112NF y =+，PF ==有()12121211112224MF NF y y y y y y ⎛⎫⎛⎫=++=+++ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭ 1312424=++=. ∴20PF MF NF -⋅=.【点睛】本题主要考查抛物线的标准方程的求解、及直线与圆锥曲线的位置关系的应用问题,解答此类题目，通常联立直线方程与抛物线（圆锥曲线）方程的方程组，应用一元二次方程根与系数的关系进行求解，此类问题易错点是复杂式子的变形能力不足，导致错解，能较好的考查考生的逻辑思维能力、运算求解能力、分析问题解决问题的能力等． 21.已知函数221()ln (1)()2f x a x a x ax a R =-++∈. （1）讨论()f x 的单调性；（2）若()0f x x +>对1x >恒成立，求a 的取值范围.【答案】（1）详见解析；（2）1(0,]2. 【解析】 【分析】（1）求得函数的导函数()()()1'(0)ax x a f x x x--=>，分类讨论即可求解函数的单调性，得到答案；（2）由题意()0f x x +>，即221ln 02a x a x ax -+>，当0a >时，转化为ln 1 2x a x x <+，令()ln 12x g x x x =+，1x ≥，利用导数求得函数()g x 的单调性与最值，即可得到结论． 【详解】（1）由题意，函数()()221ln 12f x a x a x ax =-++，可得()()()21'1(0)ax x a a f x a ax x x x--=--+=>，当0a ≤时，()'0f x <，()f x 单调减区间为()0,+∞，没有增区间. 当01a <<时，当1a x a <<，()'0f x <；当0x a <<或1x a>，()'0f x >. ∴()f x 单调增区间为()0,a 与1,a ⎛⎫+∞⎪⎝⎭，单调减区间1,a a ⎛⎫⎪⎝⎭. 当1a =时，()'0f x ≥对0x >成立，()f x 单调增区间()0,+∞，没有减区间.当1a >时，当1x a a <<，()'0f x <；当10x a<<或x a >时，()'0f x >. ∴()f x 的单调增区间为10,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭与(),a +∞，单调减区间为1,a a ⎛⎫⎪⎝⎭.（2）由()0f x x +>，即221ln 02a x a x ax -+>， 当0a >时，21ln 02x ax x -+>，ln 12x a x x <+， 令()ln 12x g x x x =+，1x ≥，则()2221ln 122ln '22x x x g x x x--+=+=， 令()222ln h x x x =-+，则()2'2h x x x=-， 当1x ≥时，()'0h x ≥，()h x 是增函数，()()130h x h ≥=>，∴()'0g x >. ∴1x ≥时，()g x 是增函数，()g x 最小值为()112g =，∴102a <≤. 当0a =时，显然()0f x x +>不成立， 当0a <时，由()g x 最小值为12知，()a g x >不成立， 综上a 的取值范围是10,2⎛⎤ ⎥⎝⎦.【点睛】本题主要考查导数在函数中的综合应用，以及恒成立问题的求解，着重考查了转化与化归思想、逻辑推理能力与计算能力，对于恒成立问题，通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，进而得出相应的含参不等式，从而求出参数的取值范围；也可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题．（二）选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分.22.在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为2cos sin x y αα=⎧⎨=⎩（α为参数）.以直角坐标系的原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知直线l 的极坐标方程为(cos 2sin )2ρθθ+=.（1）求曲线C 的普通方程；（2）若l 与曲线C 交于A ，B 两点，求以AB 为直径的圆的极坐标方程.【答案】（1）2214x y +=；（2）2cos sin ρθθ=+. 【解析】 【分析】（1）利用同角三角函数的基本关系，消去参数，即可得到曲线C 的普通方程；（2）将直线的极坐标方程化为22x y +=，联立方程组，求得()2,0A ，()0,1B ，得到AB 为直径的圆的直角坐标方程，进而可得圆的极坐标方程．【详解】（1）由2x cos y sin αα=⎧⎨=⎩（α为参数），得2xcos y sin αα⎧=⎪⎨⎪=⎩（α为参数）， 故曲线C的普通方程为2214x y +=.（2）由()cos 2sin 2ρθθ+=，得22x y +=，联立221422x y x y ⎧+=⎪⎨⎪+=⎩，得()2,0A ，()0,1B ，可得AB 中点坐标为11,2⎛⎫ ⎪⎝⎭，且AB =，故以AB 为直径的圆的直角坐标方程为()2215124x y ⎛⎫-+-= ⎪⎝⎭. 即2220x y x y +--=，将cos x ρθ=，sin y ρθ=代入得2cos sin ρθθ=+.【点睛】本题主要考查了参数方程与普通方程，以及极坐标方程与直角坐标方程的互化，其中熟记参数方程与普通方程，以及极坐标方程与直角坐标方程的互化公式，以及确定以AB 为直径的圆的方程是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题．23.已知函数()3223f x x x =---.（1）求不等式()f x x >的解集；（2）若关于x 的不等式2()2f x a a <+恰有3个整数解，求实数a 的取值范围. 【答案】（1）15(,)(,)24-∞-+∞；（2）11[1,)(0,]22--. 【解析】【分析】 （1）由题意，分类讨论，即求解不等式()f x x >的解集.（2）由（1）结合函数的单调性，以及()2f -，()1f -，()0f ，()1f ，()2f 的值，得到不等式，即可求解. 【详解】（1）由题意，函数()3223f x x x =---，可得()21,32355,3231,2x x f x x x x x ⎧--≤⎪⎪⎪=-<<⎨⎪⎪+≥⎪⎩， 因为()f x x >，所以当23x ≤时，1x x -->，12x <-， 当2332x <<时，55x x ->，5342x <<， 当32x ≥时，1x x +>，32x ≥， 所以不等式()f x x >的解集为15,,24⎛⎫⎛⎫-∞-⋃+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. （2）由（1）知()f x 的单调减区间为2,3⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭，单调增区间为2,3⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭， 又()21f -=，()10f -=，()01f =-，()10f =，()23f =，所以2021a a <+≤，所以112a -≤<-或102a <≤， 故a 的取值范围为111,0,22⎡⎫⎛⎤--⋃⎪ ⎢⎥⎣⎭⎝⎦. 【点睛】本题主要考查了含绝对值不等式的求解及应用，其中解答中熟记含绝对值不等式的解法，以及合理利用绝对值不等式的性质是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于中档试题.。
安徽省皖南八校2019届高三下学期第三次联考数学（文）试题+含答案
“皖南八校"2019届高三第三次联考数 学（文科）2019.4考生注意：1. 本试卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分。
满分150分，考试时间120分钟。
2. 考生作答时，请将答案答在答题卡上。
第I 卷每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；第II 卷请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上 各题的答题区域内作答，超申管舞匹尊节写的答案无规.在试题眷、.草稠纸 上作答矛效。
. ...................................................3. 做选做题时，考生须按照题目要求作答，并用2B 铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑.4. 本卷命题范围：高考范围.第I 卷（选择题共60分）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.己知集合A = (x|x + l>0), B = {-1,0,1},则A B=()A. { 1}B. {-1}C. (0,1}D. {0,-1}2.已知复数z=虫，贝>J|z + z|=()1-iA. 0B. 1C. V2D. 23.从某地区年龄在25-55岁的人员中，随机抽出10人，了解他们对&生两仝的执占间独的看法，绘制出频率分布直方图如图所示，则下列说法正确的是A. 抽出的100人中,年龄在40 ~ 45岁的人数大约为20.B. 抽出的100人中，年龄在35-45岁的人数大约为30.C. 抽出的100人中,年龄在40 ~ 50岁的人数大约为40.D. 抽出的100人中，年龄在35-50岁的人数大约为50.x-2y+4>04.若x, y 满足约束条件< x+y + l>0 ,则z = 3x+y 的最大值为() 2x + y -2 <0第3题图A. 2B. 3C. 4D.5JI 5.己知 tan(a + —) = 7,则 tan 2q =(4)724724A.—— B.—— C.—— D.----2472473x 26.函数 /(x)=T —的大致图象为 411 — 47.8.七巧板是古代中国劳动人民发明的一种中国传统智力玩具，它由五块等腰直角三角形、一块正方形和一块平行四边形共七块板组成，清陆以滋《冷庐杂识》卷一中写道:近又有七巧图，其式五,其数七，其变化之式多至千余，体物肖形，随手变幻，蓝游戏之具，足以排破寂，故世俗皆喜为之,如图是一个用七巧板拼成的正方形，若在此正方形中任取一点，则此点取自阴影部分的概率为（）5 11 3A. — B. — C.—16 32 8某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（『 4 『A. 64---B. 64 —12〃C. 12〃3在正方体ABCD —ABGDi 中,若点M 为正方形ABCQ 的中心，32)44 D.——TI 39.则异面直线A 片与D X M 所成角的余弦值为（）（第8题图）A.还610.已知鸟，互是椭圆C ： 土 + 土 = 1 （a>b> 0）的两个焦点，以强为直径的圆与直线a b41y o-------= z a b 相切,则椭圆。
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“皖南八校”2019届高三第三次联考 数学（理科） 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1.若复数的实部与虚部相等，则实数的值为（ ）
A. B. C. 5 D. 2
【答案】B 【解析】 【分析】 直接由复数代数形式的乘法运算化简复数z，结合已知条件即可求出a的值． 【详解】∵复数的实部与虚部相等， ∴，∴. 故选B. 【点睛】本题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了复数的基本概念，是基础题．
2.已知集合，，则（ ）
A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】 解不等式得集合A、B，根据交集的定义写出A∩B． 【详解】或，，则. 故选A. 【点睛】本题考查了交集的概念及运算，属于基础题．
3.从某地区年龄在25～55岁的人员中，随机抽出100人，了解他们对今年两会的热点问题的看法，绘制出频率分布直方图如图所示，则下列说法正确的是（ ） A. 抽出的100人中，年龄在40～45岁的人数大约为20
B. 抽出的100人中，年龄在35～45岁的人数大约为30
C. 抽出的100人中，年龄在40～50岁的人数大约为40
D. 抽出的100人中，年龄在35～50岁的人数大约为50
【答案】A 【解析】 【分析】 根据频率分布直方图的性质，求得，再逐项求解选项，即可得到答案。 【详解】根据频率分布直方图的性质得，解得 所以抽出的100人中，年龄在40～45岁的人数大约为人，所以A正确； 年龄在35～45岁的人数大约为人，所以B不正确； 年龄在40～50岁的人数大约为人，所以C不正确； 年龄在35～50岁的人数大约为，所以D不正确； 故选A。 【点睛】本题主要考查了频率分布直方图的应用，其中解答中熟记频率分布直方图的性质，以及利用矩形的面积表示频率，合理计算是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题。
4.若，，则（ ）
A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】 将两等式两边分别平方相加，结合同角的平方关系和两角差的正弦公式，化简整理，即可得到所求值． 【详解】，① ，② ①2+②2，可得（sin2α+cos2α）+（sin2β+cos2β）-2（sinαcosβ-cosαsinβ），
即为2-2sin（α-β），即有sin（α-β）， 故选：D． 【点睛】本题考查三角函数的求值，注意运用平方法和三角函数的恒等变换公式，考查了化简整理的运算能力，属于基础题．
5.函数的大数图象为（ ）
A. B.
C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】 由函数是奇函数，图象关于原点对称，排除C、D项；再由当时，函数的值小于0，排除B，即可得到答案.
【详解】由题知，函数满足，所以函数是奇函数，图象关于原点对称，排除C、D项； 又由当时，函数的值小于0，排除B，故选A. 【点睛】本题主要考查了函数图象的识别，其中解答中熟练应用函数的奇偶性和函数的取值范围，利用排除法求解是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题. 6.七巧板是古代中国劳动人民发明的一种中国传统智力玩具，它由五块等腰直角三角形，一块正方形和一块
平行四边形共七块板组成.清陆以湉《冷庐杂识》卷一中写道：近又有七巧图，其式五，其数七，其变化之式多至千余.体物肖形，随手变幻，盖游戏之具，足以排闷破寂，故世俗皆喜为之.如图是一个用七巧板拼成的正方形，若在此正方形中任取一点，则此点取自阴影部分的概率为（ ）
A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】 求出阴影部分的面积，根据面积比的几何概型，即可求解其相应的概率，得到答案. 【详解】设正方形的边长为4，则正方形的面积为， 此时阴影部分所对应的直角梯形的上底边长为，下底边长为，高为， 所以阴影部分的面积为， 根据几何概型，可得概率为，故选A. 【点睛】本题主要考查了几何概型的概率的计算问题，解决此类问题的步骤：求出满足条件A的基本事件对应的“几何度量”，再求出总的基本事件对应的“几何度量”，然后根据求解，着重考查了分析问题和解答问题的能力.
7.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】 根据三视图得到该几何体是圆柱中挖去了一个圆锥，其中圆柱的底面圆的半径为，母线长为，圆锥的底面圆的半径为，高为，再由体积公式求解，即可得到答案. 【详解】由三视图知，此几何体是圆柱中挖去了一个圆锥，其中圆柱的底面圆的半径为，母线长为，圆锥的底面圆的半径为，高为， 所以几何体的体积为： ，故选D. 【点睛】本题考查了几何体的三视图及体积的计算，在由三视图还原为空间几何体的实际形状时，要根据三视图的规则，空间几何体的可见轮廓线在三视图中为实线，不可见轮廓线在三视图中为虚线，求解以三视图为载体的空间几何体的表面积与体积的关键是由三视图确定直观图的形状以及直观图中线面的位置关系和数量关系，利用相应公式求解.
8.已知，满足约束条件，若目标函数的最小值为-5，则的最大值为（ ）
A. 2 B. 3
C. 4 D. 5
【答案】D 【解析】 【分析】 由目标函数z＝3x+y的最小值为`-5，可以画出满足条件的可行域，结合目标函数的解析式形式，分析取得最优解的点的坐标，得到参数的取值，然后求出目标函数的最大值即可． 【详解】画出x，y满足的可行域如下图：
z＝3x+y变形为y=-3x+z，其中z表示直线的截距，
可得在直线与直线＝0的交点A处，使目标函数z＝3x+y取得最小值-5，当过点B时，目标函数z＝3x+y取得最大值， 故由 ， 解得 x＝-2，y＝1， 代入＝0得a=1， 由⇒B（3，-4） 当过点B（3，-4）时，目标函数z＝3x+y取得最大值，最大值为5． 故选：D． 【点睛】本题考查了含参数的线性规划问题，当约束条件中含有参数时，可以先大致画出几个不等式对应的平面区域，分析取得最优解是哪两条直线的交点，再代入求解，本题属于中档题．
9.已知是椭圆：的右焦点，为椭圆上一点，，则的最大值为（ ）
A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】 设椭圆的左焦点为F′，则有|PF|+|PF′|＝，而所求|PA|+|PF|＝+|PA|﹣|PF′|，作出图形，根据图形即可看出||PA|﹣|PF′||≤|AF′|，从而求出|PA|+|PF|的最大值． 【详解】如图，设椭圆的左焦点为F′，则|PF|+|PF′|＝； 又F′（﹣1，0），|AF′|， ∴|PA|+|PF|＝+|PA|﹣|PF′|，根据图形可以看出||PA|﹣|PF′||≤|AF′|， ∴当P在线段AF′的延长线上时，|PA|﹣|PF′|最大，为|AF′|， ∴|PA|+|PF|的最大值为， 故选：D．
【点睛】本题考查椭圆的标准方程以及椭圆的定义的应用，涉及三角形两边之差小于第三边的几何知识，考查了数形结合思想，属于中档题．
10.三棱锥的四个顶点都在球的球面上，是边长为3的正三角形.若球的表面积为，则三
棱锥体积的最大值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】 根据是正三角形，可得面积及外接圆的半径，利用垂径定理可得，可求得三棱锥高的最大值，进而求得体积的最大值. 【详解】由题意得的面积为， 又设的外心为， 则，由，得， ∵面∴. ∴球心O在棱锥内部时，棱锥的体积最大． 此时三棱锥高的最大值为， ∴三棱锥体积最大值为. 故选A.
【点睛】本题考查了有关球的组合体问题，考查了垂径定理的应用，考查了空间想象能力，属于中档题. 11.已知函数，若对任意的，关于的方程总有两个不同
的实数根，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】 令，且，解得，根据且，结合图象，即可求解。 【详解】由题意，函数，令，且， 即 ，解得， 又因为，且， 所以要使得总有两个不同实数根时， 即函数与的图象由两个不同的交点， 结合图象，可得， 所以实数m的取值范围是.
【点睛】本题主要考查了三角函数的图象与性质的综合应用，其中解答中熟练应用三角函数的性质，结合图象求解是解答的关键，着重考查了数形结合思想，以及分析问题和解答问题的能力，属于中档试题 。
12.已知函数，当时，的取值范围为，则实数
的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】 求导分析函数在时的单调性、极值，可得时，满足题意，再在时，求解的x的范围，综合可得结果. 【详解】当时，， 令，则；，则， ∴函数在单调递增，在单调递减. ∴函数在处取得极大值为， ∴时，的取值范围为， ∴ 又当时，令，则，即，