初三九年级数学北师版 第3章 圆3.3 垂径定理【说课稿】
9年级 数学北师大版下 册教案第 3章《垂径定理》
教学设计垂径定理难点：垂径定理及其逆定理的证明，以及应用时如何添加辅助线．教学策略：类比引入，猜想探索，知识应用，归纳小结。
本节课的另一个难点是如何添加辅助线，这在最后的归纳反思中应该要有足够的时间让学生交流讨论，但是限于本节课的时间，这是一个客观限制，不应该勉强在课堂上完成，效果并不理想，应该留作课后作业，让学生能通过更充分的讨论才得出结论，这样才能起到更好地交流和反思的作用。
教学过程教学环节教师活动学生活动设计意图一、类比引入二、猜想探索活动内容：1.等腰三角形是轴对称图形吗？2.如果将一等腰三角形沿底边上的高对折，可以发现什么结论？3.如果以这个等腰三角形的顶角顶点为圆心，腰长为半径画圆，得到的图形是否是轴对称图形呢？1．如图，AB是⊙O的一条弦，作直径CD，使CD⊥AB，垂足为M。
（1）该图是轴对称图形吗？如果是，其对称轴是什么？（2）你能找出图中有哪些等量关系？说一说你的理由．条件：①CD是直径；②CD⊥AB结论（等量关系）：③AM=BM；④⌒AC=⌒BC；⑤⌒AD=⌒BD。
学生思考并回答通过等腰三角形的轴对称性向圆的轴对称性过渡，引导学生思考，培养学生类比分析的能力。
证明：连接OA ,OB ,则OA =OB在Rt △OAM 和Rt △OBM 中,∵OA =OB ，OM =OM ，∴Rt △OAM ≌Rt △OBM . ∴AM =BM .∴点A 和点B 关于CD 对称. ∵⊙O 关于直径CD 对称,∴当圆沿着直径CD 对折时, 点A 与点B 重合,⌒AC 和⌒BC 重合, ⌒AD 和⌒BD 重合. ∴ ⌒AC =⌒BC ，⌒AD =⌒BD .2．辨析：判断下列图形，能否使用垂径定理？注意：定理中的两个条件缺一不可——直径（半径），垂直于弦。
通过以上辨析，让学生对垂径定理的两证明完毕后，让学生自行用文字语言表述这一结论，最后提炼出垂径定理的内容——垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧。
北师大版九年级下册数学3.3垂径定理(教案)
（五）总结回顾（用时5分钟）
今天的学习，我们了解了垂径定理的基本概念、重要性和应用。通过实践活动和小组讨论，我们加深了对垂径定理的理解。我希望大家能够掌握这些知识点，并在解决与圆相关的几何问题时灵活运用。最后，如果有任何疑问或不明白的地方，请随时向我提问。
在小组讨论环节，学生们对于垂径定理在实际生活中的应用提出了很多有趣的见解。这让我感到很高兴，因为他们能够将所学知识应用到实际问题中。但同时，我也发现部分学生在讨论中较为拘谨，不敢大胆地表达自己的观点。为了鼓励学生们更加积极地参与讨论，我将在今后的教学中多给予他们肯定和鼓励，营造一个轻松、自由的学习氛围。
（二）新课讲授（用时10分钟）
1.理论介绍：首先，我们要了解垂径定理的基本概念。垂径定理指的是直径垂直于弦且平分弦的定理。它在解决与圆相关的几何问题中起着关键作用。
2.案例分析：接下来，我们来看一个体的案例。这个案例展示了如何运用垂径定理来求解一个圆的半径，以及它如何帮助我们解决实际问题。
3.重点难点解析：在讲授过程中，我会特别强调垂径定理的证明和运用这两个重点。对于难点部分，如证明过程中辅助线的构造，我会通过举例和步骤分解来帮助大家理解。
-理解垂径定理与圆的其他性质（如圆心角、弧、弦的关系）之间的联系。
举例解释：
-证明过程：解释为何需要通过构造辅助线，如何利用全等三角形或相似三角形的性质来完成证明。
-灵活运用：通过设置不同难度的练习题，引导学生掌握垂径定理在不同情境下的应用，如非直径垂直弦、圆内接四边形等。
-性质联系：强调垂径定理与圆的其他基本性质（如圆心角定理、弧弦定理等）之间的关系，通过对比和联系加深理解。
北师大版九年级下册3.3垂径定理优秀教学案例
同时，我还注重培养学生的逻辑思维能力，引导学生从特殊到一般，从具体到抽象的思考问题，让学生在理解垂径定理的同时，能够灵活运用该定理解决实际问题。
（三）学生小组讨论
1.设计具有挑战性和综合性的小组合作任务，让学生在合作中思考、交流、探究，提高学生的学习效果。
2.组织学生进行小组讨论，鼓励学生提出问题、分享思路、互相启发、互相学习，培养学生的批判性思维和问题解决能力。
3.教师在小组讨论过程中给予及时的反馈和指导，帮助学生更好地理解和掌握垂径定理。
（四）反思与评价
1.引导学生对学习过程进行反思，培养学生自我评价和自我调整的能力。
2.设计具有针对性和全面性的评价指标体系，对学生的知识与技能、过程与方法、情感态度与价值观进行全面评价。
3.利用自评、互评、师评等多种评价方式，给予学生客观、公正的评价，提高学生的自信心和积极性。
4.根据评价结果，调整教学策略和教学方法，为下一阶段的教学提供有益的参考。
北师大版九年级下册3.3垂径定理优秀教学案例
一、案例背景
北师大版九年级下册3.3垂径定理是圆的知识点中的一个重要定理，它揭示了圆中关于垂直于弦的直径的一系列性质。在本节课中，学生需要理解和掌握垂径定理的内容，并能够运用该定理解决相关问题。
在进行本节课的教学设计时，我充分考虑了学生的年龄特点和学习需求，以提高学生的几何思维能力和解决问题的能力为目标，力求通过丰富的教学活动和合理的教学设计，帮助学生理解和掌握垂径定理。
2.要求学生对自己的作业进行自我评价，培养学生的自我反思和自我调整能力。
北师大版九年级下册3.3垂径定理教学设计
2.证明过程：引导学生通过几何画板或实际操作，观察并思考如何证明垂径定理。在此基础上，给出严格的证明过程，强调证明方法与逻辑推理。
3.推论介绍：介绍垂径定理的两个重要推论，即弦的一半、弦心距和圆半径构成直角三角形，以及圆的弦垂直平分线相交于圆心。
4.通过对垂径定理及其推论的学习，使学生体会几何知识之间的联系，培养他们运用几何知识解决实际问题的能力。
（三）情感态度与价值观
1.激发学生对几何学的兴趣，培养他们主动探究、积极思考的学习态度。
2.通过对垂径定理的学习，使学生体会数学的简洁美和逻辑美，提高他们对数学的审美能力。
3.培养学生的团队合作精神，使他们学会在合作中交流、分享和互助，共同解决问题。
3.情感态度培养：鼓励学生勇于提出问题、发表见解，培养他们的自信心和批判性思维。
4.课后作业布置：布置适量的课后作业，让学生巩固所学知识，为下一节课的学习打下基础。
五、作业布置
为了巩固学生对垂径定理的理解和应用，以及培养学生的独立思考能力，特布置以下作业：
1.基础巩固题：请同学们完成课本第63页的练习题1、2、3，这些题目主要考察对垂径定理基本概念的理解和简单应用。
5.请同学们按时提交作业，教师将及时批改、反馈，帮助大家查漏补缺，提高学习效果。
2.教学难点：垂径定理的证明过程，以及在实际问题中的应用。
-证明过程涉及严密的逻辑推理，对于部分学生来说可能存在理解上的困难。
-在实际应用中，学生需要能够灵活运用定理，结合其他几何知识，解决更为复杂的问题。
（二）教学设想
1.采定理及其推论。
-教师应以鼓励和表扬为主，营造积极向上的课堂氛围，让学生在轻松的环境中学习。
北师大版数学九年级下册3.3《垂径定理》说课稿
北师大版数学九年级下册3.3《垂径定理》说课稿一. 教材分析北师大版数学九年级下册3.3《垂径定理》是本节课的主要内容。
这一节内容是在学生已经学习了直线、圆的基本概念和性质的基础上进行教学的。
教材通过引入垂径定理的概念，让学生了解并掌握圆中的一些重要性质，为学生后续学习圆的其它性质和解决与圆相关的问题打下基础。
二. 学情分析九年级的学生已经具备了一定的几何知识基础，对直线、圆的基本概念和性质有一定的了解。
但是，对于垂径定理的理解和运用还需要通过本节课的学习来提高。
此外，学生的空间想象能力和逻辑思维能力还需要进一步培养。
三. 说教学目标1.知识与技能：让学生理解和掌握垂径定理，并能够运用垂径定理解决一些与圆相关的问题。
2.过程与方法：通过观察、分析、推理等方法，培养学生的空间想象能力和逻辑思维能力。
3.情感态度与价值观：激发学生对数学的兴趣，培养学生的团队合作意识和自主学习能力。
四. 说教学重难点1.教学重点：理解和掌握垂径定理。
2.教学难点：如何引导学生运用垂径定理解决实际问题。
五. 说教学方法与手段在本节课的教学中，我将采用问题驱动法、合作交流法和直观演示法等教学方法。
问题驱动法能够激发学生的思考，培养学生的逻辑思维能力；合作交流法能够培养学生的团队合作意识；直观演示法能够帮助学生更好地理解垂径定理。
六. 说教学过程1.导入：通过一个实际问题，引导学生思考圆中的一些性质，激发学生的学习兴趣。
2.新课导入：介绍垂径定理的定义和性质，让学生通过观察和分析来理解垂径定理。
3.案例分析：通过一些具体的例子，让学生学会如何运用垂径定理解决实际问题。
4.巩固练习：设计一些练习题，让学生进一步巩固对垂径定理的理解和运用。
5.课堂小结：引导学生总结本节课的学习内容，加深对垂径定理的理解。
6.课后作业：布置一些相关的作业，让学生在课后继续巩固和提高。
七. 说板书设计板书设计主要包括垂径定理的定义、性质和运用。
通过板书，让学生一目了然地了解垂径定理的主要内容。
3.3垂径定理教学设计2023--2024学年北师大版九年级数学下册
课题：
科目：
班级：
课时：计划1课时
教师：
单位：
一、教学内容分析
1. 本节课的主要教学内容为“垂径定理”。教学内容选自2023--2024学年北师大版九年级数学下册第3章第3节，主要包括垂径定理的定义、性质及其应用。
2. 教学内容与学生已有知识的联系：学生在八年级已经学习了圆的性质、圆的方程以及圆的切线，对圆的基本概念有了较为深入的理解。在此基础上，本节课将引导学生探索垂径定理，使学生进一步掌握圆的性质，并为后续学习圆的弦、弧等相关知识奠定基础。通过本节课的学习，学生将能更好地理解圆的相关性质，提高解决问题的能力。
3. 学生在学习垂径定理过程中可能遇到的困难和挑战有：理解并掌握垂径定理的证明过程，将定理应用于解决具体问题，特别是在涉及多步骤、综合性的几何问题时，可能会感到困惑。此外，对定理的灵活运用和拓展也可能会给学生带来挑战。
四、教学方法与手段
教学方法：
1. 讲授法：通过讲解垂径定理的定义、性质和证明过程，帮助学生建立清晰的知识体系。
2. 讨论法：组织学生分组讨论垂径定理的应用实例，培养学生的合作意识和解决问题的能力。
3. 实验法：引导学生通过画图、实际测量等实验方式，直观感受垂径定理的成立和运用。
教学手段：
1. 多媒体设备：运用PPT、动画等展示垂径定理的证明过程和应用实例，提高学生的学习兴趣。
2. 教学软件：利用几何画板等教学软件，让学生动手操作，加深对垂径定理的理解。
3. 垂径定理的性质：
a. 圆的直径平分弦，并且垂直于弦。
b. 圆的直径平分弦所对的两条弧。
c. 圆的半径垂直于弦，并且平分弦所对的弧。
垂径定理说课稿
垂径定理说课稿银川唐徕回民中学西校区夏宇敏各位评委，各位老师：下午好，今天我说课的题目是，北师大版九年级下第三章第三节，垂径定理，我将从背景分析、教学目标分析、课堂结构设计、教学媒体设计、教学过程设计、教学评价设计，六个方面进行阐述。
一、背景分析：1.学习任务分析：圆是在学习了直线图形的有关性质的基础上，来研究的一种特殊的曲线图形，圆是常见的几何图形之一，也是平面几何中最基本的图形之一，在日常生活中，许多物体是圆形的，在工农业生产、交通运输、土木建筑等方面都可以看到圆，它不仅在几何中有重要地位，而且是进一步学习数学以及其他学科的基础。
本节课是学生在探究了圆的对称性的基础上学习垂径定理及其推论，作为圆的重要性质垂径定理及推论是圆的轴对称性质的具体化，也是今后证明圆中线段相等、角相等、弧相等、垂直关系的重要依据，同时为后面圆的计算和作图提供了方法和依据，所以它在初中教材中处于重要的地位。
教学中设置问题串，采用启发引导的方法，引导学生发现结论，通过比较、分析、应用达到理解并掌握的目的。
教材中直观操作是主要的活动方式，但要逐步综合运用以前所学过的，研究图形的多种方法，加强逻辑推理的力度，为后面证明更为复杂的数学问题奠定基础。
依据《新课程标准》，结合学生的实际，所以我制定的教学重点是：○1探索并证明垂径定理的过程；○2能用垂径定理解决相关一些实际问题。
2.学生情况分析：小学阶段及七年级时，学生已经对圆的有关知识有所了解，通过七、八年级的学习和本章前两节的学习，这些都为学习做好了知识准备。
九年级的学生具有一定的逻辑思维能力，他们乐于交流与合作，具有分析、归纳、总结的能力。
垂径定理及其推论的条件和结论比较复杂，容易混淆，并且对于垂径定理的应用，学生可能会产生一定的困难，而且将圆的问题转化为三角形问题的思想，也有待提高。
依据《新课程标准》，结合学生的实际，所以我制定的教学难点是：○1○2运用垂径定理解决一些实际问题。
新北师大版九年级数学下册《三章 圆 .3 垂径定理》教案_15
授课教师课型新课授课时间课题 3.3垂径定理教学目标知识与技能：1．利用圆的轴对称性研究垂径定理及其逆定理；2．运用垂径定理及其逆定理解决问题．过程与方法：经历运用圆的轴对称性探索圆的相关性质的过程，进一步体会和理解研究几何图形的各种方法．情感态度与价值观：1. 培养学生类比分析，猜想探索的能力．2. 通过学习垂径定理及其逆定理的证明，使学生领会数学的严谨性和探索精神，培养学生学习实事求是的科学态度和积极参与的主动精神．教学重点难点重点利用圆的轴对称性研究垂径定理及其逆定理．难点垂径定理及其逆定理的证明，以及应用时如何添加辅助线．教学方法引导探索、讲授法学法指导合作学习与自主探究课前准备多媒体、圆规、铅笔教学过程:一、课前预习，情景导入1、等腰三角形是轴对称图形吗？2、如果将一等腰三角形沿底边上的高对折，可以发现什么结论？3、如果以这个等腰三角形的顶角顶点为圆心，腰长为半径画圆，得到的图形是否是轴对称图形呢？二、合作探究，获取新知1、如图，AB是⊙O的一条弦，作直径CD，使CD⊥AB，垂足为M．求证：AM=BM；»»AC BC=；»»AD BD=.垂径定理：几何语言：∵∴注意：定理中的两个条件缺一不可——直径（半径），垂直于弦．练一练：下列图形，符合垂径定理的条件吗？2、垂径定理逆定理垂径定理逆定理： .几何语言：∵∴注意：平分的弦不是直径．三、例题讲解如图,一条公路的转弯处是一段圆弧(即图中»CD,点O 是»CD 所在圆的圆心),其中CD=600m,E 是»CD 上一点,且OE ⊥CD,垂足为F,EF=90m,求这段弯路的半径.四、当堂练习1、如图，在⊙O 中，已知半径为5，弦AB 的长为8，那么圆心O 到AB 的距离为 ．2、如图，⊙O 的直径CD 垂直弦AB 于点E ，且CE=2，DE=8，则AB 的长为（ ）A. 2B. 4C. 6D.83、如图，⊙O 的直径为10，圆心O 到弦AB 的距离OM 的长为3，那么弦AB 的长是（ ）A ．4B ．6C ．7D ．84、如图，⊙O 的半径为5，弦AB 的长为8，M 是弦AB 上的一个动点，则线段OM 长的最小值为（ ）A ．2B ．3C ．4D ．55、如图，O ⊙的直径AB 垂直弦CD 于P ，且P 是半径OB 的中点，6cm CD ，则直径AB 的长是（ ）A ．23cmB ．32cmC ．42cmD ．43cm6、已知：如图，在以O 为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB 交小圆于C ，D 两点。
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垂径定理
一．教学背景分析
1、学习任务分析
“垂径定理”是义务教育课程标准实验教科书《数学》（北师版）九年级下册第三章《圆》第3节的内容，第一课时学习了圆的相关概念，本课是学习圆的轴对称——垂径定理及其推论，在学习过程中让学生经历欣赏、动手实践、思考、归纳等数学探究活动，最终领悟圆的轴对称美。
“垂径定理”是圆的轴对称性的重要体现，同时也蕴含了线段、弧、等腰三角形等图形的轴对称性，是初中阶段轴对称中集大成者。
“垂径定理”也是我们计算和证明圆的相关问题的重要基石，并且通过探究“垂径定理及其推论”十分有益于培养学生实践创新能力和数学审美能力。
2、学生情况分析
学生已经学习了线段、等腰三角形等图形的轴对称性。
对轴对称性方面的数学直感已初步形成，同时也初步具备探究某些特殊图形的轴对称性的能力。
但学生仍然难以将数学直感提升到公理化定理化层面，仍然难以完美使用“折叠法”完成定理的证明。
3、重点难点的定位
教学垂点：垂径定理及其推论。
教学难点：（1）用“折叠法”证明垂径定理，
（2）领悟垂径定理中的对称美。
二．教学目标设计:
1.知识与技能目标：
使学生理解圆的轴对称性；掌握垂径定理；学会运用垂径定理解决有关的证明、计算和作图问题。
培养学生观察能力、分析能力及联想能力。
2.过程与方法目标：
教师播放动画、创设情境，激发学生的求知欲望；学生在老师的引导下进行自主探索、合作交流，收获新知；通过分组训练、深化新知，共同感受收获的喜悦。
3.情感、态度与价值观：
对圆的轴对称美的始于欣赏，进而分析提升，直至最终领悟数学美。
从而陶冶学生情操，发展学生心灵美，提高数学审美力。
三．课堂结构设计：
《数学课程标准》强调，要创造性地使用教材，要求教师以发展的眼光来对待它。
因此，我在尊重教材的前提下，结合学情，对教材例题、习题作适当
的处理,将本节课的课堂结构设计为以下四个环节：
1、欣赏美——营造问题情境
2、探究美——揭秘核心问题
3、徜徉美——问题变式发散
4、品味美——重建知识体系
课堂教学应以学生为主体，教师为主导。
在本节课的教学过程中我充分尊重学生已有的知识和方法，以培养能力为目的，让学生在“赏美”中进入，在“探美“中发展，在”品美“中提高。
以发展学生的思维为中心，以问题为载体，使学生在自主探究和合作交流的过程中真正理解和掌握垂径定理，并将知识转化为能力。
四．教学资源运用
心理学研究表明，在学生接受知识方面，视听结合能记住86。
3％，效果最佳。
因此，根据初中学生的心理特征和认知规律，我对教学媒体的利用进行了如下设计：
1、利用多媒体辅助教学
在欣赏美的环节中，我利用多媒体让学生观察圆的实物图片，充分让学生获得感性认识；在探究美时，我利用多媒体在动漫中演示图形的折叠过程；在徜徉美中，帮助学生利用感官理解图形及其变式的联系，在激发学生思维的同时，获得美的享受。
品味美时，我让学生上网查阅相关资料，利用网络平台加强学生对所学知识的理解, 拓宽学生视野，培养学生的创新能力。
2、常规媒体仍起主导作用
垂径定理及其问题的解答过程都在黑板上板书，充分展现数学知识的精彩发生、发展过程，充分地暴露学生认识中存在的问题和独特优胜之处。
因为数学是思维的体操，数学课是丰富多彩的动态生成而非僵硬不变的简单预设。
3、充分利用学生身旁现有的教学资源：
如组织学生玩找对称点游戏；看谁折得好；寻找身旁的轴对称图形等。
这些贴近学生认知领域而又充满情趣的活动，很好地活跃了学习气氛，使学生真正地融入到数学学习中来。
板书设计:
为使本课更具逻辑性和直观性，力争达到“简约而不简单“的境界，我将板书设计作了如下侧向处理：
活
动
板
演
区
五、教学过程设计
定理
推论
课
题
应
用
.
. O
A
B
D
C
究 美 揭 秘 核 心 问 题
1、教者提出核心问题
（1）圆真是一个轴对称图形吗？ （2）若是，它的对称点与对称轴又有怎样的特殊性呢？
（学生跃跃欲试） 2、折叠实验，解决问题（1）
教者给学生分发小圆形彩纸，在民主自由的气氛中人人动手。
最后集中反馈，得出公理：
圆是轴对称图形，每一条直径所在的直线都是它的对称轴。
3、分组研究解决问题（2）
教者提供样本图鼓励学生先小组合作研究，再集中交流结果，形成丰富多彩的过渡性结论。
4、证明定理
教者从上面各小组提出的过渡性结论中，选择或综合成定理，然后运用媒体演示，用折叠法进行证明，最终正名为垂径定理，并补写好本课主标题。
唯有问题，才能真正有的放矢地推进数学的研究，而每一个数学研究大都始于猜想
成于实验，终于证明。
正是通过中心问题的驱动，学生先猜后验再证，完整有序而又生动
的重走了当年数学家们走过的路，一步步地撩起了对称美包裹之下的垂径定理的神秘
面纱。
（ 样
本图）
（三）徜 师生活动 设计意图
六．教学创意之处：
1、以美为旗帜，营造富有诗意美的课堂。
学生带着欣赏的愉悦心态，不知不觉步入了科学探究的殿堂，为探究美中蕴藏的数学奥秘，学生经历了从实验到抽象再到证明的波澜起伏、生动优美的科学探究过程，最终“蓦然回首，那人却在灯火阑珊处“；“变式问题”擦亮学生思维的火花，使他们欲罢不能，徜徉其中，好似“小舟误入莲花深处”，“沉醉不知归处”；最后通过“品味美”，将知识纳入“轴对称美”的体系中，学生站得更高，看得更远，如临泰山之巅，“一览众山小”，至美矣！
2、突出“问题教学”，激活学生思维。
“问题是数学的心脏”，本课先以“情境问题”切入课题，诱发学生自己研究，继以“核心问题”搭台交流，再以“变式问题”激励深探，层层推进，学生的思维先是被点燃，而后燃烧着，最终迸射出亮眼的光芒，数学课堂活了！
总之，本课成功地将问题、思维、美三者融合在一起，以问题为载体，以思维为目标，美驾驭着鞭策着它们一起奔跑，从而让学生在不断解决问题中学习，知识得到掌握，能力得到训练，情感得到体验，心灵得到陶冶，不同层次的学生都得到了不同程度的全面和谐的发展。