(完整word版)2019年高考数学试卷全国卷1文科真题附答案解析

2019年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标Ⅰ）

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．（5分）设312i

z i

-=+，则||(z = ) A ．2

B ．3

C ．2

D ．1

2．（5分）已知集合{1U =，2，3，4，5，6，7}，{2A =，3，4，5}，{2B =，3，6，7}，则(U B A =I e ) A ．{1，6}

B ．{1，7}

C ．{6，7}

D ．{1，6，7}

3．（5分）已知2log 0.2a =，0.22b =，0.30.2c =，则( ) A ．a b c <<

B ．a c b <<

C ．c a b <<

D ．b c a <<

4．（5分）古希腊时期，人们认为最美人体的头顶至肚脐的长度与肚脐至足底的长度之比是5151

(0.61822

--≈，称为黄金分割比例）

，著名的“断臂维纳斯”便是如此．此外，最美人体的头顶至咽喉的长度与咽喉至肚脐的长度之比也是

51

2

-．若某人满足上述两个黄金分割比例，且腿长为105cm ，头顶至脖子下端的长度为26cm ，则其身高可能是( )

A ．165cm

B ．175cm

C ．185cm

D ．190cm

5．（5分）函数2

sin ()cos x x

f x x x

+=

+的图象在[π-，]π的大致为( ) A ．

B ．

C ．

D ．

6．（5分）某学校为了解1000名新生的身体素质，将这些学生编号1，2，?，1000，从这些新生中用系统抽样方法等距抽取100名学生进行体质测验．若46号学生被抽到，则下面4名学生中被抽到的是( ) A ．8号学生

B ．200号学生

C ．616号学生

D ．815号学生

7．（5分）tan 255(?= ) A ．23-B ．23-+C ．23D ．23+

8．（5分）已知非零向量a r ，b r 满足||2||a b =r r ，且()a b b -⊥r r r ，则a r 与b r 的夹角为( ) A ．

6

π

B ．3

π C ．

23

π D ．

56

π 9．（5分）如图是求112122

+

+

的程序框图，图中空白框中应填入( )

A ．1

2A A

=

+ B ．12A A

=+

C ．1

12A A

=

+ D ．112A A

=+

10．（5分）双曲线22

22:1(0,0)x y C a b a b

-=>>的一条渐近线的倾斜角为130?，则C 的离心率

为( ) A ．2sin40?

B ．2cos40?

C ．

1

sin50?

D ．

1

cos50?

11．（5分）ABC ?的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知sin sin 4sin a A b B c C -=，1cos 4A =-，则(b

c

= )

A ．6

B ．5

C ．4

D ．3

12．（5分）已知椭圆C 的焦点为1(1,0)F -，2(1,0)F ，过2F 的直线与C 交于A ，B 两点．若22||2||AF F B =，1||||AB BF =，则C 的方程为( )

A ．2

212x y +=

B ．22

132x y +=

C ．22

143x y +=

D ．22

154

x y +=

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13．（5分）曲线23()x y x x e =+在点(0,0)处的切线方程为 ． 14．（5分）记n S 为等比数列{}n a 的前n 项和，若11a =，33

4

S =，则4S = ． 15．（5分）函数3()sin(2)3cos 2

f x x x π

=+

-的最小值为 ． 16．（5分）已知90ACB ∠=?，P 为平面ABC 外一点，2PC =，点P 到ACB ∠两边AC ，BC 3P 到平面ABC 的距离为 ．

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。（一）必考题：共60分。

17．（12分）某商场为提高服务质量，随机调查了50名男顾客和50名女顾客，每位顾客对该商场的服务给出满意或不满意的评价，得到下面列联表：

（1）分别估计男、女顾客对该商场服务满意的概率；

（2）能否有95%的把握认为男、女顾客对该商场服务的评价有差异？ 附：22

()()()()()

n ad bc K a b c d a c b d -=++++．

18．（12分）记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，已知95S a =-． （1）若34a =，求{}n a 的通项公式；

（2）若10a >，求使得n n S a …的n 的取值范围．

19．（12分）如图，直四棱柱1111ABCD A B C D -的底面是菱形，14AA =，2AB =，

60BAD ∠=?，E ，M ，N 分别是BC ，1BB ，1A D 的中点．

（1）证明：//MN 平面1C DE ； （2）求点C 到平面1C DE 的距离．

20．（12分）已知函数()2sin cos f x x x x x =--，()f x '为()f x 的导数． （1）证明：()f x '在区间(0,)π存在唯一零点； （2）若[0x ∈，]π时，()f x ax …，求a 的取值范围．

21．（12分）已知点A ，B 关于坐标原点O 对称，||4AB =，M e 过点A ，B 且与直线20x +=相切．

（1）若A 在直线0x y +=上，求M e 的半径；

（2）是否存在定点P ，使得当A 运动时，||||MA MP -为定值？并说明理由．

（二）选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。[选修4-4：坐标系与参数方程]（10分）

22．（10分）在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为2

221,1(41t x t t t y t ?-=??+??=?+?为参数）

．以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为2cos 3sin 110ρθρθ++=．

（1）求C 和l 的直角坐标方程； （2）求C 上的点到l 距离的最小值． [选修4-5：不等式选讲]（10分）

23．已知a ，b ，c 为正数，且满足1abc =．证明： （1）

2

22111a b c a b c

++++?； （2）333()()()24a b b c c a +++++…．

2019年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标Ⅰ）

参考答案与试题解析

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

【解答】解：由312i

z i -=+，得3|3||||

|12|12|i i z i i --====++． 故选：C ．

【解答】解：{1U =Q ，2，3，4，5，6，7}，{2A =，3，4，5}，{2B =，3，6，7}， {1U C A ∴=，6，7}，

则{6U B A =I e，7} 故选：C ．

【解答】解：22log 0.2log 10a =<=， 0.20221b =>=， 0.3000.20.21<<=Q ，

0.30.2(0,1)c ∴=∈， a c b ∴<<，

故选：B ．

【解答】解：头顶至脖子下端的长度为26cm ， 说明头顶到咽喉的长度小于26cm ，

0.618≈， 可得咽喉至肚脐的长度小于

26

420.618

cm ≈，

， 可得肚脐至足底的长度小于

4226

1100.618

+=， 即有该人的身高小于11068178cm +=， 又肚脐至足底的长度大于105cm ，

可得头顶至肚脐的长度大于1050.61865cm ?≈， 即该人的身高大于65105170cm +=，

故选：B ．

【解答】解：2

sin ()cos x x

f x x x +=

+Q ，[x π∈-，]π，

22

sin sin ()()cos()cos x x x x

f x f x x x x x --+∴-==-=--++，

()f x ∴为[π-，]π上的奇函数，因此排除A ；

又22

sin ()0cos 1f πππ

ππππ

+=

=>++，因此排除B ，C ； 故选：D ．

【解答】解：：Q 从1000名学生从中抽取一个容量为100的样本，

∴系统抽样的分段间隔为

1000

10100

=， 46Q 号学生被抽到，

则根据系统抽样的性质可知，第一组随机抽取一个号码为6，以后每个号码都比前一个号码增加10，所有号码数是以6为首项，以10为公差的等差数列， 设其数列为{}n a ，则610(1)104n a n n =+-=-， 当62n =时，62616a =，即在第62组抽到616． 故选：C ．

【解答】解：tan 255tan(18075)tan75tan(4530)?=?+?=?=?+?

1tan 45tan 3021tan 45tan 30+

?+?======+-??

故选：D ．

【解答】解：()a b b -⊥r

r r Q ， ∴2

()a b b a b b -=-r r r r r r g

g 2||||cos ,0a b a b b =<>-=u u u r u u r r

r r ，

∴2

||cos ,||||

b a b a b <>=u u r r r

u u u r u u r 22||122||

b b ==u u r u u r ，

Q ,[0,]a b π<>∈r

r ，

∴,3

a b π

<>=

r

r ．

故选：B ．

【解答】解：模拟程序的运行，可得： 1

2

A =

，1k =； 满足条件2k ?，执行循环体，1122

A =

+

，2k =；

满足条件2k ?，执行循环体，112122

A =

+

+

，3k =；

此时，不满足条件2k ?，退出循环，输出A 的值为

112122

+

+

，

观察A 的取值规律可知图中空白框中应填入1

2A A

=+． 故选：A ．

【解答】解：双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b -=>>的渐近线方程为b

y x a

=±，

由双曲线的一条渐近线的倾斜角为130?，得tan130tan50b

a

-=?=-?，

则

sin50tan50cos50b a ?

=?=

?

， ∴2222222222501115050b c a c sin a a a cos cos -?==-==-??

， 得221

50e cos =?

，

1

cos50e ∴=

?

．

故选：D ．

【解答】解：ABC ?Q 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ， sin sin 4sin a A b B c C -=，1

cos 4A =-，

∴22222241cos 24a b c b c a A bc ?-=??+-=

=-??

，

解得21

32

c bc =，

∴

6b

c

=． 故选：A ．

【解答】解：22||2||AF BF =Q ，2||3||AB BF ∴=， 又1||||AB BF =，12||3||BF BF ∴=， 又12||||2BF BF a +=，2||2

a BF ∴=， 2||AF a ∴=，13||2

BF a =，

在Rt △2AF O 中，21cos AF O a

∠=

， 在△12BF F 中，由余弦定理可得22

2134()()22cos 222

a a BF F a +-∠=??

，

根据221cos cos 0AF O BF F ∠+∠=，可得2

14202a a a

-+=，解得23a =

，a ∴

222312b a c =-=-=．

所以椭圆C 的方程为：22

132

x y +=．

故选：B ．

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。 【解答】解：23()x y x x e =+Q ，

23(31)x y e x x '∴=++，

∴当0x =时，3y '=，

23()x y x x e ∴=+在点(0,0)处的切线斜率3k =，

∴切线方程为：3y x =．

故答案为：3y x =．

【解答】解：Q 等比数列{}n a 的前n 项和，11a =，334

S =， 1q ∴≠，

313

14

q q -=-， 整理可得，21

04

q q ++=， 解可得，1

2

q =-，

则4

41

11516118

12

q S q -

-=

==-+． 故答案为：5

8

【解答】解：3()sin(2)3cos 2

f x x x π

=+

-Q ， 2cos23cos 2cos 3cos 1x x x x =--=--+，

令cos t x =，则11t -剟，

2()231f t t t =--+Q 的开口向上，对称轴3

4

t =-，在[1-，1]上先增后减，

故当1t =即cos 1x =时，函数有最小值4-． 故答案为：4-

【解答】解：90ACB ∠=?，P 为平面ABC 外一点，2PC =，点P 到ACB ∠两边AC ，BC

过点P 作PD AC ⊥，交AC 于D ，作PE BC ⊥，交BC 于E ，过P 作PO ⊥平面ABC ，交平面ABC 于O ，

连结OD ，OC

，则PD PE =，

1CD CE OD OE ∴====，

PO ∴==

P ∴到平面ABC

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。（一）必考题：共60分。

【解答】解：（1）由题中数据可知，男顾客对该商场服务满意的概率404

505

P ==， 女顾客对该商场服务满意的概率303505

P =

=； （2）由题意可知，22

100(40203010)100

4.762 3.8417030505021

K ?-?==≈>???，

故有95%的把握认为男、女顾客对该商场服务的评价有差异． 【解答】解：（1）根据题意，等差数列{}n a 中，设其公差为d ， 若95S a =-，则19955()9

92

a a S a a +?===-，变形可得50a =，即140a d +=， 若34a =，则53

22

a a d -=

=-， 则3(3)210n a a n d n =+-=-+， （2）若n n S a …，则11(1)

(1)2

n n na d a n d -+

+-…， 当1n =时，不等式成立，

当2n …

时，有12

nd

d a -…，变形可得1(2)n d a --…， 又由95S a =-，即19955()9

92

a a S a a +?===-，则有50a =，即140a d +=，则有1

1(2)

4

a n a ---…， 又由10a >，则有10n ?，

则有210n 剟，

综合可得：110n 剟．n N ∈．

【解答】证明：（1）Q 直四棱柱1111ABCD A B C D -的底面是菱形，

14AA =，2AB =，60BAD ∠=?，E ，M ，N 分别是BC ，1BB ，1A D 的中点． 1DD ∴⊥平面ABCD ，DE AD ⊥，

以D 为原点，DA 为x 轴，DE 为y 轴，1DD 为z 轴，建立空间直角坐标系， (1M

2)，(1N ，0，2)，(0D ，0，0)，(0E

0)，1(1C -

4)， (0MN =u u u u r

，0)

，1(DC =-u u u u r

，DE =u u u r

，

设平面1C DE 的法向量(n x =r

，y ，)z ，

则140

n DC x z n DE ?=-++=??==??u u u u r r g u u u r r g ， 取1z =，得(4n =r

，0，1)， Q 0MN n =u u u u r r

g ，MN ?/平面1C DE ，

//MN ∴平面1C DE ．

解：（2）(1C -

0)，(1DC =-u u u r

0)，

平面1C DE 的法向量(4n =r

，0，1)，

∴点C 到平面1C DE 的距离：

||||DC n d n ===u u u r r g r

．

【解答】解：（1）证明：()2sin cos f x x x x x =--Q ， ()2cos cos sin 1f x x x x x ∴'=-+- cos sin 1x x x =+-，

令()cos sin 1g x x x x =+-， 则()sin sin cos g x x x x x '=-++

cos x x =，

当(0,)2x π

∈时，cos 0x x >，

当(,)2

x π

π∈时，cos 0x x <，

∴当2x π

=

时，极大值为()1022

g ππ

=-<， 又(0)0g =，()2g π=-， ()g x ∴在(0,)π上有唯一零点，

即()f x '在(0,)π上有唯一零点；

（2）由（1）知，()f x '在(0,)π上有唯一零点0x ， 使得0()0f x '=， 且()f x '在0(0,)x 为正， 在0(x ，)π为负，

()f x ∴在[0，0]x 递增，在0[x ，]π递减，

结合(0)0f =，()0f π=， 可知()f x 在[0，]π上非负， 令()h x ax =， 作出图示， ()()f x h x Q …，

0a ∴?．

【解答】解：M Q e 故点A ，B 且A 在直线0x y +=上，

∴点M 在线段AB 的中垂线0x y -=上，

设M e 的方程为：222()()(0)x a y a R R -+-=>，则 圆心(,)M a a 到直线0x y +=的距离2

d =

又||4AB =，∴在Rt OMB ?中， 2221

(||)2d AB R +=，

即22(42

R +=①

又M Q e 与2x =-相切，|2|a R ∴+=② 由①②解得02a R =??=?或46a R =??=?

，

M ∴e 的半径为2或6；

（2）Q 线段为M e 的一条弦，∴圆心M 在线段AB 的中垂线上， 设点M 的坐标为(,)x y ，则222||||||OM OA MA +=， M Q e 与直线20x +=相切，|||2|MA x ∴

=+，

22222|2|||||4x OM OA x y ∴+=+=++， 24y x ∴=，

M ∴的轨迹是以(1,0)F 为焦点1x =-为准线的抛物线，

|||||2|||MA MP x MP ∴-=+- |1|||1||||1x MP MF MP =+-+=-+，

∴当||||MA MP -为定值时，则点P 与点F 重合，即P 的坐标为(1,0)， ∴存在定点(1,0)P 使得当A 运动时，||||MA MP -为定值．

（二）选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。[选修4-4：坐标系与参数方程]（10分）

【解答】解：（1）由2

221,1(41t x t t t y t ?-=??+??=?+?为参数）

，得222

11221t x t y t t ?-=??+??=?+?， 两式平方相加，得2

2

1(1)4

y x x +=≠-，

C ∴的直角坐标方程为22

1(1)4

y x x +=≠-，

由2cos sin 110ρθθ++=

，得2110x ++=． 即直线l

的直角坐标方程为得2110x +=；

（2

）设与直线2110x +=

平行的直线方程为20x m ++=，

联立22

20440x m x y ?+=??+-=??

，得22

164120x mx m ++-=． 由△221664(12)0m m =--=，得4m =±．

∴当4m =时，

直线240x ++=与曲线C

的切点到直线2110x +=的距离最小，

为

=．

[选修4-5：不等式选讲]（10分）

【解答】证明：（1）分析法：已知a ，b ，c 为正数，且满足1abc =． 要证（1）2

22111a b c a b c

++++?；因为1abc =． 就要证：

2

22abc abc abc a b c a b c

++++?；

即证：222bc ac ab a b c ++++?； 即：222222222bc ac ab a b c ++++?； 2222222220a b c bc ac ab ++---…

222()()()0a b a c b c -+-+-…；

a Q ，

b ，

c 为正数，且满足1abc =．

2()0a b ∴-…；2()0a c -…；2()0b c -…恒成立；当且仅当：1a b c ===时取等号． 即222()()()0a b a c b c -+-+-…得证． 故

2

22111a b c a b c

++++?得证． （2）证333()()()24a b b c c a +++++…

成立； 即：已知a ，b ，c 为正数，且满足1abc =． ()a b +为正数；()b c +为正数；()c a +为正数；

333()()()3()()()a b b c c a a b b c c a ++++++++g g …；

当且仅当()()()a b b c c a +=+=+时取等号；即：1a b c ===时取等号；

a Q ，

b ，

c 为正数，且满足1abc =．

()a b +…()b c +…()c a +…

当且仅当a b =，b c =；c a =时取等号；即：1a b c ===时取等号；

333()()()3()()()32424a b b c c a a b b c c a abc ∴++++++++?==g g 厖；

当且仅当1a b c ===时取等号；

故333()()()24a b b c c a +++++…．得证． 故得证．