统计学原理公式及应用
三门问题中的统计学原理
三门问题中的统计学原理
在三门问题中，涉及到了一个统计学原理，即条件概率。
条件概率是指在已知某一事件发生的条件下，另一事件发生的概率。
在三门问题中，主持人打开一扇门后，我们要重新考虑剩下两扇门背后车辆的概率。
假设我们最初选择的是A门，并且主持人打开了C门，我们需要重新计算一下选择A门的背后有车的概率。
按条件概率公式，我们可以计算此条件下选择A门的背后有车的概率为P(车在A门且主持人打开C门)。
同样地，我们也可以计算选择B门的背后有车的概率P(车在B门且主持人打开C门)，以及选择C门的背后有车的概率P(车在C门且主持人打开C门)。
然后，我们还需要考虑主持人打开C门的事件发生的概率。
如果我们最初选择的门背后有车的概率是1/3，那么主持人打开C门后背后有车的概率为1/3。
而如果我们最初选择的是错误的门，即背后没有车的门，主持人必须打开另一扇没有车的门（在这里是B门），那么主持人打开C门后背后有车的概率为2/3。
所以，在重新计算了这些概率之后，我们会发现选择另一扇门（在这里是B门）的获胜概率为2/3，而坚持最初的选择（即A门）的获胜概率只有1/3。
这是因为条件概率告诉我们，在主持人打开一扇门后，改变选择的概率会发生变化，而这一变化正是三门问题的迷惑所在。
不要被直觉所欺骗，统计学原理帮助我们更好地理解这个问题。
统计学原理公式
统计学原理公式第二章数据描述1、组距=上限―下限2、简单平均数： x=Σx/n3、加权平均数：x=Σxf/Σf4、全距： R=xmax-xmin5、方差和标准差：方差是将各个变量值和其均值离差平方的平均数。
其计算公式：22未分组的计算公式：σ=Σ（x-x）/n22分组的计算公式：σ=Σ（x-x）f/Σf 样本标准差则是方差的平方根：21/2未分组的计算公式：s=[Σ（x-x）/（n-1）]2 1/2分组的计算公式：s=[Σ（x-x）f/(Σf-1)]1/2σ=[Σ（x-x）/n] 6、离散系数：总体数据的离散系数：Vσ=σ/x 样本数据的离散系数：Vs=s/x 10、标准分数：标准分数也称标准化值或Z分数，它是变量值与其平均数的离差除以标准差后的值，用以测定某一个数据在该组数据的相对位置。
其计算公式为：Zi=（xi-x）/s标准分数的最大的用途是可以把两组数组中的两个不同均值、不同标准差的数据进行对比，以判断它们在各组中的位置。
第三章参数估计1、统计量的标准误差：（样本误差）（1）在重复抽样时；样本标准误差：σx=σ/n 或σx=s/n 样本的比例误差可表示为：1/21/2σp=[π(1-π)/n] 或σp=[p（1-p）/n] （2）不重复抽样时： 22σx=σ/n×(N-n/N-1) 2σp=p（1-p）/n×(N-n/N-1)2、估计总体均值时样本量的确定，在重复抽样的条件下：222n= Zσ/E3、估计总体比例时样本量的确定，在重复抽样的条件下：22n=Z×p（1-p）/E 4、（1）在大样本情况下，样本均值的抽样分布服从正态分布，因此采用正态分布的检验统计量，当总体方差已知时，总体均值检验统计量为：Z=(x-μ)/( σ/n)（2）当总体方差未知时，可以用样本方差来代替，此时总体均值检验的统计量为：Z=(x-μ)/( s/n) 5、小样本的检验：在小样本（n＜30）情况下，检验时，首先假定总体均值服从正态分布。
统计学原理公式 平均公式
平均公式第五章（平均指标）简单调和平均数加权调和平均数（求平均计划完成度产量是M，计划完成度X）简单几何平均数加权几何平均数众数(M0，△1众数组次数与前一组次数之差，△2众数组次数与后一组次数之差，d为众数组组距) 中位数（Me中位数，L\U 下上限，Sm-1中位数组前个组的次数之和，Sm-2，中位数组后各组的次数之和，fm中位数组的次数，d中位数组组距） 1平均数、中位数、众数关系第五章（标志变异指标） 1、级差（全距） 2、平均差（n变量值项数，f各组次数） 3、标准差（均方差）（简单式）（加权式，已分组资料，数）4、离散系数（变异系数） 2 f各组次5、交替标志 Q=1-P(如，P是合格率，Q是不合格率) 第六章（时间数列分析）一、平均发展水平 1、由时期数列计算 2、（1）由时点数列计算（2）间断时点数列计算★间隔相等时，采用首末折半法计算★间隔不相等时，采用时间间隔长度加权平均 33、增长量 3、平均增减量（最终产量-最初产量/n） (n开始那年不算进去)4、发展速度和增长速度5、增长速度=发展速度-100%6、平均发展速度(an/a0定基发展速度，就是总发展速度即增长量+100%)7、长期趋势的测定与分析 4（1）时距扩大法（2）移动平均法（3）最小平方法第七章（统计指数） 1、拉式指数（同度量因素固定在基期（基期加权综合指数）） 2、拉式指数（同度量因素固定在报告期（报告期加权综合指数）） 53、数量指标指数（1）以基期价格为同度量因素（拉氏公式）（2）以报告期价格为同度量因素（派氏公式）★一般原则：以基期的质量指标为同度量因素4、质量指标指数（1）以报告期销售量q1为同度量因素（2）以基期销售量q0为同度量因素★一般原则：以报告期的数量指标作为同度量因素 65、固定权数指数（K为个体物价指数，W为固定权数，W=/）6、平均指标的两因素分析（固定构成指数固定报告期数量，结构构成指数固定基期价格，平均=固定×结构）第八章（抽样判断） 1、样本指标 7样本方差S2 ＝∑(x－)2／n -1 2、抽样平均数的标准差 3、抽样平均误差的计算（1）当抽样方式为重复抽样时（2）当抽样方式为不重复抽样时 4、样本成数的平均误差的计算公式（1）在重复抽样下：（2）在不重复抽样下： 8平均公式。
数理统计定理及公式
数理统计定理及公式数理统计是应用数学的一个分支，研究收集、整理、分析和解释数据的方法和技术。
在数理统计中，有一些重要的定理和公式，用于描述和计算概率、分布、样本统计量和假设检验。
1. 大数定理（Law of Large Numbers）：在重复多次独立实验的情况下，随着实验次数的增多，样本均值会趋近于总体均值。
大数定理是数理统计的基础之一，它是对样本均值的收敛性质的描述。
数学表达式为：其中，X1、X2、..、Xn是来自总体的独立同分布的随机变量，μ是总体的均值，n是样本大小。
2. 中心极限定理（Central Limit Theorem）：在若干相互独立的随机变量的和的情况下，随着随机变量数量的增大，和的分布趋向于服从正态分布。
中心极限定理是数理统计中非常重要的一个定理，它不仅在理论上解释了为什么正态分布在自然界中具有如此重要的地位，而且提供了许多统计学中方法的理论基础。
数学表达式为：其中，X1、X2、..、Xn是独立同分布的随机变量，μ是总体的均值，σ是总体的标准差，n是样本大小。
3. 伯努利分布（Bernoulli Distribution）：又称为两点分布，是最简单的概率分布之一、伯努利分布描述了只有两个可能结果的离散随机试验，如抛硬币的结果。
数学表达式为：其中，p表示事件出现的概率，1-p表示事件不出现的概率，X为随机变量。
4. 正态分布（Normal Distribution）：也称为高斯分布，是统计学中最常见的连续型概率分布之一、正态分布具有钟形曲线，均值和标准差决定了曲线的位置和形状。
它在自然界中广泛存在，并且许多现实世界中的随机变量都可以近似地服从正态分布。
数学表达式为：其中，μ是均值，σ是标准差，x是随机变量。
5. t分布（Student's t-distribution）：t分布是用于小样本情况下对总体均值进行假设检验的重要工具。
它形状类似于正态分布，但是更扁平，并且具有更重的尾部，以补偿小样本情况下对总体均值的估计不准确性。
统计学原理重要公式
一．加权算术平均数和加权调和平均数的计算加权算术平均数： ∑∑=fxf x 或 ∑∑=ffxx加权调和平均数： ∑∑∑∑==fxf x m m x频数也称次数。
在一组依大小顺序排列的测量值中，当按一定的组距将其分组时出现在各组内的测量值的数目，即落在各类别（分组）中的数据个数。
再如在3.14159265358979324中，…9‟出现的频数是3，出现的频率是3/18=16.7% 一般我们称落在不同小组中的数据个数为该组的频数，频数与总数的比为频率。
频数也称“次数”，对总数据按某种标准进行分组，统计出各个组内含个体的个数。
而频率则每个小组的频数与数据总数的比值。
在变量分配数列中，频数（频率）表明对应组标志值的作用程度。
频数（频率）数值越大表明该组标志值对于总体水平所起的作用也越大，反之，频数（频率）数值越小，表明该组标志值对于总体水平所起的作用越小。
掷硬币实验：在10次掷硬币中，有4次正面朝上，我们说这10次试验中…正面朝上‟的频数是4例题：我们经常掷硬币，在掷了一百次后，硬币有40次正面朝上，那么，硬币反面朝上的频数为____.解答，掷了硬币100次，40次朝上，则有100-40=60（次）反面朝上，所以硬币反面朝上的频数为60.一．加权算术平均数和加权调和平均数的计算加权算术平均数： ∑∑=fxf x 或 ∑∑=ffxxx 代表算术平均数；∑是总和符合；f 为标志值出现的次数。
加权算术平均数是具有不同比重的数据（或平均数）的算术平均数。
比重也称为权重，数据的权重反映了该变量在总体中的相对重要性，每种变量的权重的确定与一定的理论经验或变量在总体中的比重有关。
依据各个数据的重要性系数(即权重)进行相乘后再相加求和，就是加权和。
加权和与所有权重之和的比等于加权算术平均数。
加权平均数 = 各组（变量值 × 次数）之和 / 各组次数之和 = ∑xf / ∑f加权调和平均数： ∑∑∑∑==fxf xm m x加权算术平均数以各组单位数f 为权数，加权调和平均数以各组标志总量m 为权数但计算内容和结果都是相同的。
统计学原理知识点公式整理
数。
）如：产量指数、销售量指数、生产指数、人数指数、运输量指数。
说明复杂现象总体的质量指标变动程度的相对数。
（说明总体内涵数量变动情况的相对数。
）例：价格指数、成本指数、工资水平指数、股票价格指数。
:平均数指数总体：即统计总体，是指客观存在的、在同一性质基础上结合起来的许多个别事物的整体。
总体单位：即构成统计总体的个别单位。
标志：即指表明总体单位特征的名称。
可分为品质标志和数量标志。
品质标志：说明总体单位质的特征，用属性表示(如：性别、民族、籍贯、工种) 数量标志：说明总体单位量的特征，用数值表示。
（如：年龄、工资额）数量标志的具体表现，统计上称为标志值（或变量值）指标(亦称统计指标)：说明总体的综合数量特征。
包括指标名称和指标数值。
数量指标如：人口数、工业增加值、货运量等。
用绝对数表示。
质量指标如：人口的性别比例、单位产品成本、劳动生产率等。
用相对数或平均数表示。
：标志是说明总体单位特征的；指标是说明总体特征的。
标志中的品质标志不能用数量表示；而所有的指标都能用数量表示。
标志(指数量标志)不一定经过汇总，可直接取得；而指标(指数量指标)一定要经过汇总才能取得。
∑∑=pqpqK q1∑∑=111qpqpKpqkk kV qqσ=pkk kV ppσ=标志一般不具备时间、地点等条件；但完整的统计指标一定要讲明时间、地点、范围。
变异：标志在各总体单位具体表现的差异 —— 一般意义上的变异。
严格地说，变异仅指品质标志的不同具体表现。
如：性别为男或女。
变量：指可变的数量标志。
变量的具体数值表现即变量值。
按取值是否连续分—— 只能取整数的变量。
（如：人数，企业数，机器台数）—— 在整数之间可插入小数的变量。
（如：身高、体重、总产值、资金、利润等）例如：搜集国有及国有控股企业生产情况的资料时，每一个国有及国有控股企业是调查单位，也是填报单位；当搜集国有及国有控股企业中高精尖设备的使用情况的资料时，国有及国有控股企业中每一台高精尖设备是调查单位，而填报单位是每一个国有及国有控股企业。
统计学原理常用公式
统计学原理常用公式1.样本均值公式:样本均值是用来估计总体均值的一种方法，公式为：\bar{x} = \frac{{\sum_{i=1}^n x_i}}{n}\]其中，\(\bar{x}\) 是样本均值，\(x_i\) 是第 \(i\) 个观察值，\(n\) 是样本容量。
2.样本方差公式:样本方差是用来估计总体方差的一种方法，公式为：s^2 = \frac{{\sum_{i=1}^n (x_i - \bar{x})^2}}{n-1}\]其中，\(s^2\) 是样本方差，\(x_i\) 是第 \(i\) 个观察值，\(\bar{x}\) 是样本均值，\(n\) 是样本容量。
计算样本方差时使用的是无偏估计公式。
3.标准差公式:标准差是样本方差的平方根，公式为：s = \sqrt{s^2}\]其中，\(s\)是样本标准差。
4.离差平方和公式:离差平方和是指每个观察值与均值之差的平方的总和，公式为：\sum_{i=1}^n (x_i - \bar{x})^2\]5.切比雪夫不等式：切比雪夫不等式给出了随机变量与其均值之间的关系，公式为：P(，X-\mu，\geq k\sigma) \leq \frac{1}{k^2}\]其中，\(X\) 是随机变量，\(\mu\) 是均值，\(\sigma\) 是标准差，\(k\) 是大于零的常数。
6.二项分布的期望值和方差公式:二项分布用于描述在\(n\)次独立重复试验中成功的次数的概率分布。
其期望值和方差分别为：E(X) = np\]Var(X) = np(1-p)\]其中，\(X\)是二项分布随机变量，\(n\)是试验次数，\(p\)是单次试验成功的概率。
7.正态分布的概率密度函数和累积分布函数公式:正态分布描述了大部分自然现象中的连续性随机变量的分布。
f(x) = \frac{1}{{\sqrt{2\pi}\sigma}}e^{-\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2}}\]F(x) = \frac{1}{2}\left[1 + \text{erf}\left(\frac{x -\mu}{\sqrt{2}\sigma}\right)\right]\]其中，\(x\) 是正态分布的随机变量，\(\mu\) 是均值，\(\sigma\) 是标准差，\(\text{erf}\) 是误差函数。
统计学公式大全
连续型
对于二维随机向量 ，如果存在非负函数 ，使对任意一个其邻边分别平行于坐标轴的矩形区域D，即D={(X,Y)|a<x<b,c<y<d}有
则称 为连续型随机向量；并称f(x,y)为 =（X，Y）的分布密度或称为X和Y的联合分布密度。
分布密度f(x,y)具有下面两个性质：
（1）f(x,y)≥0;
。其中L为几何度量（长度、面积、体积）。
（10）加法公式
P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB)
当P(AB)＝0时，P(A+B)=P(A)+P(B)
（11）减法公式
P(A-B)=P(A)-P(AB)
当B A时，P(A-B)=P(A)-P(B)
当A=Ω时，P( )=1- P(B)
（12）条件概率
定义设A、B是两个事件，且P(A)>0，则称 为事件A发生条件下，事件B发生的条件概率，记为 。
在已知X=xi的条件下，Y取值的条件分布为
在已知Y=yj的条件下，X取值的条件分布为
连续型
在已知Y=y的条件下，X的条件分布密度为
；
在已知X=x的条件下，Y的条件分布密度为
（7）独立性
一般型
F(X,Y)=FX(x)FY(y)
离散型
有零不独立
连续型
f(x,y)=fX(x)fY(y)
直接判断，充要条件：
，（ ， ，…， ），通常叫先验概率。 ，（ ， ，…， ），通常称为后验概率。贝叶斯公式反映了“因果”的概率规律，并作出了“由果朔因”的推断。
（17）伯努利概型
我们作了 次试验，且满足
每次试验只有两种可能结果， 发生或 不发生；
次试验是重复进行的，即 发生的概率每次均一样；
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《统计学原理》常用公式汇总及计算题目分析
第一部分常用公式
第三章统计整理
a)组距＝上限－下限
b)组中值＝（上限+下限）÷2
c)缺下限开口组组中值＝上限－1/2邻组组距
d)缺上限开口组组中值＝下限+1/2邻组组距
第四章综合指标
i.相对指标
1.结构相对指标＝各组（或部分）总量/总体总量
2.比例相对指标＝总体中某一部分数值/总体中另一部分数值
3.比较相对指标＝甲单位某指标值/乙单位同类指标值
4.强度相对指标＝某种现象总量指标/另一个有联系而性质不同的现象
总量指标
5.计划完成程度相对指标＝实际数/计划数
＝实际完成程度（%）/计划规定的完成程度（%）ii.平均指标
1.简单算术平均数：
2.加权算术平均数或
iii.变异指标
1.全距＝最大标志值－最小标志值
2.标准差: 简单σ= ；加权σ=
3.标准差系数:
第五章抽样估计
1.平均误差：
重复抽样：
不重复抽样：
2.抽样极限误差
3.重复抽样条件下：
平均数抽样时必要的样本数目成数抽样时必要的样本数目
4.不重复抽样条件下：
平均数抽样时必要的样本数目
第七章相关分析
1.相关系数
2.配合回归方程ｙ＝ａ＋ｂｘ
3.估计标准误：
第八章指数分数
一、综合指数的计算与分析
(1)数量指标指数
此公式的计算结果说明复杂现象总体数量指标综合变动的方向和程度。
(-)
此差额说明由于数量指标的变动对价值量指标影响的绝对额。
(2)质量指标指数
此公式的计算结果说明复杂现象总体质量指标综合变动的方向和程度。
（-）
此差额说明由于质量指标的变动对价值量指标影响的绝对额。
加权算术平均数指数=
加权调和平均数指数=
(3)复杂现象总体总量指标变动的因素分析
相对数变动分析：
= ×
绝对值变动分析：
-= (-)×（-）第九章动态数列分析
一、平均发展水平的计算方法：
(1)由总量指标动态数列计算序时平均数
①由时期数列计算
②由时点数列计算
在间断时点数列的条件下计算：
a.若间断的间隔相等，则采用“首末折半法”计算。
公式为：
b.若间断的间隔不等，则应以间隔数为权数进行加权平均计算。
公式为：
(2)由相对指标或平均指标动态数列计算序时平均数
基本公式为：
式中：代表相对指标或平均指标动态数列的序时平均数；
代表分子数列的序时平均数；
代表分母数列的序时平均数；
逐期增长量之和累积增长量
二. 平均增长量＝─────────＝─────────
逐期增长量的个数逐期增长量的个数
(1)计算平均发展速度的公式为：
(2)平均增长速度的计算
平均增长速度＝平均发展速度-１（100%）
第二部分计算题分析
要求写出公式和计算过程，结果保留两位小数。
计算参考作业及期末复习指导。
1、根据所给资料分组并计算出各组的频数和频率，编制次数分布表；根据整理表计算、算术平均数．
例：某单位40名职工业务考核成绩分别为:
68 89 88 84 86 87 75 73 72 68
75 82 97 58 81 54 79 76 95 76
71 60 90 65 76 72 76 85 89 92
64 57 83 81 78 77 72 61 70 81
单位规定：60分以下为不及格,60─70分为及格,70─80分为中,80─90
分为良,90─100分为优。
要求：
1.将参加考试的职工按考核成绩分组并编制一张考核成绩次数分配表；
2.指出分组标志及类型及采用的分组方法；
3.根据整理表计算职工业务考核平均成绩；
4.分析本单位职工业务考核情况。
解：（1）
（2） 分组标志为"
成绩",其类型为"数量标志"；分
组方法为：变量分组
中的开放组距式分组,组限表示方法是重叠组限；
(3)平均成绩：
（分）
2、根据资料计算算术平均数指标、计算变异指标比较平均指标的代表性。
成 绩 职工人数 频率(%) 60分以下
60-70
70-80 80-90 90-100 3
6
15 12 4 7.5
15
37.5
30
10 合 计
40
100
例：某车间有甲、乙两个生产组，甲组平均每个工人的日产量为36件，标准差为9.6件；乙组工人日产量资料如下：
日产量（件）工人数（人）
15 25 35 45 15 38 34
13
要求：⑴计算乙组平均每个工人的日产量和标准差；
⑵比较甲、乙两生产小组哪个组的日产量更有代表性？
解：（1）
（件）
（件）
（2）利用标准差系数进行判断：
因为0.305 >0.267
故甲组工人的平均日产量更有代表性
3、采用简单重复抽样的方法计算平均数（成数）的抽样平均误差；根据要求进行平均数（成数）的区间估计。
例：采用简单随机重复抽样的方法，在2000件产品中抽查200件，其中合格品190件.
要求：（1）计算合格品率及其抽样平均误差
（2）以95.45%的概率保证程度（t=2）对合格品率和合格品数量进行区间估计。
（3）如果极限误差为2.31%，则其概率保证程度是多少？
解：(1)样本合格率
p = n1／n = 190／200 = 95%
抽样平均误差：
= 1.54%
(2)抽样极限误差Δp= t·μp = 2×1.54% = 3.08%
下限: △p=95%-3.08% = 91.92%
上限: △p=95%+3.08% = 98.08%
则：总体合格品率区间：（91.92% 98.08%）
总体合格品数量区间
件98.08%×2000=1962
件）
(3)当极限误差为
2.31%时，则概率保证程度为
86.64% (t=Δ／μ)
4、计算相关系数；建立直
线回归方程并指出回归系数
的含义；利用建立的方程预测
因变量的估计值。
例：
从某行业随机抽取６家企业进行调查，所得有关数据如上：
要求：（１）拟合销售利润（ｙ）对产品销售额
（ｘ）的回归直线，并
说明回归系数的实际意义。
（２）当销售额为１００万元
时，销售利润为多少？
解：（１）配合回归方程
ｙ＝ａ＋ｂｘ
=
=
回归方程为：ｙ＝－４.１３４３＋０.３９５０ｘ
回归系数ｂ＝0.3950，表示产品销售额每增加１万元，销售利润平均增加0.3950万元。
（２）当销售额为１００万元时，即ｘ＝１００，代入回归方程： ｙ＝－４.１３４３＋０.３９５０×１００＝３５.３７（万元）
5、计算总指数、数量指数及质量指数并同时指出变动绝对值、计算平均数指数。
1 2 3 4
5 6
50 15 25 37 48 65 12 4
6
8
15
25
例：某商店两种商品的销售资料如下：
商品单位
销售量单价（元）
基期计算期基期计算期
甲乙件
公斤
50
150
60
160
8
12
10
14
要求：（1）计算两种商品销售额指数及销售额变动的绝对额；
（2）计算两种商品销售量总指数及由于销售量变动影响销售额的绝对额；
（3）计算两种商品销售价格总指数及由于价格变动影响销售额的绝对额。
解：（1）商品销售额指数=
销售额变动的绝对额：元
（2）两种商品销售量总指数=
销售量变动影响销售额的绝对额
元
（3）商品销售价格总指数=
价格变动影响销售额的绝对额：元
6、根据资料计算各种发展速度（环比、定基）及平均增长量指标；根据资料利用平均发展速度指标公式计算期末水平。
例：有某地区粮食产量如下：
年份2000 2001 2002 2003 2004 2005
粮食产量(万吨200 220 251 291 305．5 283．6
要求:(1)计算2001年-2005年该地区粮食产量的环比发展速度、年平均增长量和年平均发展速度；
(2)如果从2005年以后该地区的粮食产量按8%的增长速度发展，2010年该地区的粮食产量将达到什么水平？
解：（1）
时间2000 2001 2002 2003 2004 2005
粮食产量（万吨）
逐期增长量（万吨）
环比发展速度（%）200
-
-
220
20
110
251
31
114.0
291
40
115.9
305.5
14．55
104．98
283.6
-21.9
92．83
年平均增长量==16.73(万吨) （或年平均增长量）
年平均发展速度=
（2）=431.44（万斤）。