初中数学中考几何综合题
初中数学几何最值问题综合题
知识板块几何最值问题专项考点一：几何图形中的最小值问题方法：1.找对称点求线段的最小值；步骤：①找点的对称点,动点在哪条线上动,就是对称轴；②连接对称点与另一个点；③与对称轴的交点即是要找的点；通常用勾股定理求线段长；2.利用三角形三边关系：两边之差小于第三边：3.转化成其他线段,间接求线段的最小值：例如：用点到直线的距离最短,通过作垂线求最值;4.用二次函数中开口向上的函数有最小值：考点二：几何图形中的最大值问题方法：1.当两点位于直线的同侧时,与动点所在的直线的交点,这三点在同一直线时,线段差有最大值:2.当两点位于直线的异侧时,先找对称点,同样三点位于同一直线时,线段差有最大值；3.利用三角形三边关系：两边之和大于第三边；4.用二次函数中开口向下的函数有最大值：例题板块考点一：几何图形中的最小值问题例1.如图1,在正方形ABCD中,E是AB上一点,BE=2, AE=3BE, P是AC上一动点,那么PB+PE的最小值是 .例2.如图2,在锐角二ABC中,AB=4V2» LBAC=45°,匚BAC的平分线交BC于点D, M、N分别是AD 和AB 上的动点,那么BM+MN的最小值是.例3.如图3,点P是RtiZABC斜边AB上的一点,PE二AC于E, PF二BC于F, BC=6, AC=8,那么线段EF 长的最小值为：例4,如图,在Rt/kABC 中,AB=BC=6,点E, F 分别在边AB, BC 上,AE=3, CF=1, P 是斜边AC 上的 一个动点,那么aPEF 周长的最小值为.例5,如图,在平面直角坐标系中,RtA OAB 的顶点A 的坐标为(9, 0),点C 的坐标为(2, 0) , tanZBOA= —,点P 为斜边OB 上的一个动点,那么PA+PC 的最小值为( ) 3C.6D. 3 + V19例6.如图6,等腰RS ABC 中,NACB=90.,AC=BC=4, 0c 的半径为1,点P 在斜边AB 上,PQ 切OO 于点Q,那么切线长PQ 长度的最小值为( )考点二：几何图形中的最大值问题例1,点A (1, 2)、B (4, 4) , P 为x 轴上一动点. (1)假设IPAI+IPBI 有最小值时,求点P 的坐标； (2)假设IPBUPAI 有最大值时,求点P 的坐标.例2 .如图8所示,A (!,yJ, B(2,yJ 为反比例函数y =,图像上的两点,动点P(x,O)在x 正半轴 2 ~ x上运动,当线段AP 与线段BP 之差到达最大时,点P 的坐标是 L A. V67 例7.如图7,矩形ABCD 中,AB=4, BC=8, E 为CD 的中点,点P 、Q 为BC 上两个动点,且PQ=3,当 CQ= 时,四边形APQE 的周长最小.例3,如图,在平面直角坐标系中,0M过原点O,与x轴交于A 〔4, 0〕,与y轴交于B 〔0, 3〕,点C为劣弧AO的中点,连接AC并延长到D,使DC=4CA,连接BD.〔1〕求匚M的半径：〔2〕证实：BD为二M的切线：〔3〕在直线MC上找一点P,使|DP-AP|最大.练习板块1.如图1,正方形ABCD的面积为18, △ ABE是等边三角形,点E在正方形ABCD内,在对角线AC上有一动点P,那么PD+PE的最小值为 .2. 〔2021•徐州一模〕如图2,在矩形ABCD中,AB=2, AD=4. E为CD边的中点,P为BC边上的任一点,那么,AP+EP的最小值为.3. 〔2021•萧山区模拟〕如图3,直角三角形ABC中,ZC=90% AC=h BC=2, P为斜边AB上一动点.PE1BC, PF±CA,那么线段EF长的最小值为.4. 〔2021•武汉〕如图4, NAOB=30.,点M、N 分别在边OA、OB 上,且OM=1, ON=3,点P、Q分别在边OB、OA上,那么MP+PQ+QN的最小值是:5.如下列图1,反比例函数y = ' (x>0)图象上的两点A、B的横坐标分别为1, 3,点P为x轴x正半轴上一点,假设PA-PB的最大值为2及,贝ijk=x图36.如图2,在△ ABC中,ZC=90°> AC=4, BC=2,点A、C分别在x轴、y轴上,当点A在x轴上运动时,点C随之在y轴上运动,在运动过程中,点B到原点的最大距离是( )A.、疗+ 2B. 2屈C. 275D. 272 + 27.如图3,直线1与半径为4的二0相切于点A, P是二0上的一个动点(不与点A重合),过点P 作PB」垂足为B,连接PA.设PA=x, PB=y,那么(x-y)的最大值是.如图,四边形ABCD是正方形,△ ABE是等边三角形,M为对角线BD (不含B点)上任意一点,将BM绕点B逆时针旋转60.得到BN,连接EN、AM、CM.(1)求证：△ AMB^AENB：(2)①当M点在何处时,AM+CM的值最小；②当M点在何处时,AM+BM+CM的值最小,并说明理由：(3)当AM+BM+CM的最小值为6 + 1时,求正方形的边长.8.己知：如图,把矩形OCBA放置于直角坐标系中,0C=3, BC=2,取AB的中点M,连接MC, 把^MBC沿x轴的负方向平移0C的长度后得到△ DAO.〔1〕试直接写出点D的坐标：〔2〕点B与点D在经过原点的抛物线上,点P在第一象限内的该抛物线上移动,过点P作PQ_Lx 轴干点Q,连接0P.①假设△ OQP S^DAO,试求出点P的坐标：②试问在抛物线的对称轴上是否存在一点T,使得ITO-TBI的值最大？作业板块1.如图1,在△ ABC中,AB=1O, AC=8, BC=6,经过点C且与边AB相切的动圆与CB, CA分别相交于点E, F,那么线段EF长度的最小值是.2.如图2,在RtA ABC 中,ZBAC=90% AB=3, AC=4,点P 为BC 边上一动点,PE1AB 于点E,PFLAC于点F,连结EF,点M为EF的中点,那么AM的最小值为A3.如图3,在△ ABC中,ZACB=90°, AC=8, BC=3,点A、C分别在x轴、y轴上,当点A在x 轴上运动时,点C随之在y轴上运动,在运动过程中,点B到原点O的最大距离为.4.如图4,在边长为2的菱形ABCD中,NA=60.,M是AD边的中点,N是AB边上的一动点, 将△ AMN沿MN所在直线翻折得到△ ANIN,连接AC,那么AC长度的最小值是 .5..如图1,抛物线y=ax2+bx+c 〔a对〕的顶点为C 〔1, 4〕,交x轴于A、B两点,交y轴于点D, 其中点B的坐标为〔3, 0〕.〔1〕求抛物线的解析式；〔2〕如图2,过点A的直线与抛物线交于点E,交y轴于点F,其中点E的横坐标为2,假设直线PQ为抛物线的对称轴,点G为直线PQ上的一动点,那么x轴上是否存在一点H,使D、G、H、F四点所围成的四边形周长最小？假设存在,求出这个最小值及点G、H的坐标：假设不存在,请说明理由：。
初中数学中考几何综合题
中考数学复习--几何综合题Ⅰ、综合问题精讲：几何综合题是中考试卷中常见的题型，大致可分为几何计算型综合题与几何论证型综合题，它主要考查学生综合运用几何知识的能力，这类题往往图形较复杂，涉及的知识点较多，题设和结论之间的关系较隐蔽，常常需要添加辅助线来解答．解几何综合题，一要注意图形的直观提示；二要注意分析挖掘题目的隐含条件、发展条件，为解题创造条件打好基础；同时，也要由未知想需要，选择已知条件，转化结论来探求思路，找到解决问题的关键． 解几何综合题，还应注意以下几点：⑴ 注意观察、分析图形，把复杂的图形分解成几个基本图形，通过添加辅助线补全或构造基本图形．⑵ 掌握常规的证题方法和思路．⑶ 运用转化的思想解决几何证明问题，运用方程的思想解决几何计算问题．还要灵活运用数学思想方法伯数形结合、分类讨论等）．Ⅱ、典型例题剖析【例1】（南充，10分）⊿ABC 中，AB ＝AC ，以AC 为直径的⊙O 与AB 相交于点E ，点F 是BE 的中点．（1）求证：DF 是⊙O 的切线．（2）若AE ＝14，BC ＝12，求BF 的长．解：（1）证明：连接OD ，AD ． AC 是直径，∴ AD⊥BC． ⊿ABC 中，AB ＝AC ，∴ ∠B＝∠C，∠BAD＝∠DAC．又∠BED 是圆内接四边形ACDE 的外角，∴∠C ＝∠BED ．故∠B ＝∠BED ，即DE ＝DB ．点F 是BE 的中点，DF ⊥AB 且OA 和OD 是半径，即∠DAC ＝∠BAD ＝∠ODA ．故OD ⊥DF ，DF 是⊙O 的切线．（2）设BF ＝x ，BE ＝2BF ＝2x ．又 BD ＝CD ＝21BC ＝6， 根据BE AB BD BC ⋅=⋅，2(214)612x x ⋅+=⨯．化简，得 27180x x +-=，解得 122,9x x ==-（不合题意，舍去）．则 BF 的长为2．点拨：过半径的外端且垂直于半径的直线才是切线，所以要证明一条直线是否是此圆的切线，应满足这两个条件才行．【例2】（重庆，10分）如图，在△ABC 中，点E 在BC 上，点D在AE 上，已知∠ABD ＝∠ACD,∠BDE ＝∠CDE ．求证：BD ＝CD 。
【初中数学】几何综合题及答案,13道!
几何综合题复习几何综合题是中考试卷中常见的题型，大致可分为几何计算型与几何论证型综合题，它主要考查考生综合运用几何知识的能力。
一、几何论证型综合题例1、（盐城）如图，已知：⊙O 1与⊙O 2是等圆，它们相交于A 、B 两点，⊙O 2在⊙O 1上，AC 是⊙O 2的直径，直线CB 交⊙O 1于D ，E 为AB 延长线上一点，连接DE 。
(1)请你连结AD ，证明：AD 是⊙O 1的直径；(2)若∠E=60°，求证：DE 是⊙O 1的切线。
分析：解几何综合题，一要注意图形的直观提示，二要注意分析挖掘题目的隐含条件，不断地由已知想可知，发展条件，为解题创条件打好基础。
证明：（1）连接AD ，∵AC 是⊙O 2的直径，AB ⊥DC A∴∠ABD=90°,∴AD 是⊙O 1的直径O 1O 2（2）证法一：∵AD 是⊙O 1的直径，∴O 1为AD 中点CDB 连接O 1O 2，∵点O 2在⊙O 1上，⊙O 1与⊙O 2的半径相等，E∴O 1O 2=AO 1=AO 2∴△AO 1O 2是等边三角形，∴∠AO 1O 2=60°由三角形中位线定理得：O 1O 2∥DC ，∴∠ADB=∠AO 1O 2=60°∵AB ⊥DC ，∠E=60，∴∠BDE=30，∠ADE=∠ADB+∠BDE=60°+30°=90°又AD 是直径，∴DE 是⊙O 1的切线证法二：连接O 1O 2，∵点O 2在⊙O 1上，O 1与O 2的半径相等，∴点O 1在⊙O 2∴O 1O 2=AO 1=AO 2，∴∠O 1AO 2=60°∵AB 是公共弦，∴AB ⊥O 1O 2，∴∠O 1AB=30°∵∠E=60°∴∠ADE=180°-（60°+30°）=90°由（1）知：AD 是的⊙O 1直径，∴DE 是⊙O 1的切线.说明：本题考查了三角形的中位线定理、圆有关概念以及圆的切线的判定定理等。
中考数学模拟题《几何综合》专项测试题(附带参考答案)
中考数学模拟题《几何综合》专项测试题(附带参考答案)学校:___________班级：___________姓名：___________考号：___________考点解读在中考数学中有这么一类题它是以点线几何图形的运动为载体集合多个代数知识几何知识及数学解题思想于一题的综合性试题它就是动态几何问题。
动态几何问题经常在各地以中考试卷解答压轴题出现也常会出现在选择题最后一题的位置考察知识面较广综合性强可以提升学生的空间想象能力和综合分析问题的能力但同时难度也很大令无数初中学子闻风丧胆考场上更是丢盔弃甲解题思路1 熟练掌握平面几何知识﹕要想解决好有关几何综合题首先就是要熟练掌握关于平面几何的所有知识尤其是要重点把握三角形特殊四边形圆及函数三角函数相关知识．几何综合题重点考查的是关于三角形特殊四边形（平行四边形矩形菱形正方形）圆等相关知识2 掌握分析问题的基本方法﹕分析法综合法“两头堵”法﹕1）分析法是我们最常用的解决问题的方法也就是从问题出发执果索因去寻找解决问题所需要的条件依次向前推直至已知条件例如我们要证明某两个三角形全等先看看要证明全等需要哪些条件哪些条件已知了还缺少哪些条件然后再思考要证缺少的条件又需要哪些条件依次向前推直到所有的条件都已知为止即可综合法﹕即从已知条件出发经过推理得出结论适合比较简单的问题3）“两头堵”法﹕当我们用分析法分析到某个地方不知道如何向下分析时可以从已知条件出发看看能得到什么结论把分析法与综合法结合起来运用是我们解决综合题最常用的办策略3 注意运用数学思想方法﹕对于几何综合题的解决我们还要注意运用数学思想方法这样会大大帮助我们解决问题或者简化我们解决问题的过程加快我们解决问题的速度毕竟考场上时间是非常宝贵的．常用数学思想方法﹕转化类比归纳等等模拟预测1 （2024·江西九江·二模）如图 在矩形()ABDC AB AC >的对称轴l 上找点P 使得PAB PCD 、均为直角三角形 则符合条件的点P 的个数是（ ）A ．1B ．3C ．4D ．52 （2024·江西吉安·模拟预测）如图 在平面直角坐标系中 边长为23ABC 的顶点A B ，分别在y 轴的正半轴 x 轴的负半轴上滑动 连接OC 则OC 的最小值为（ ）A ．2B ．3C ．33D ．333 （2024·江西吉安·一模）如图 矩形ABCD 中 4AB = 6AD = 点E 在矩形的边上 则当BEC 的一个内角度数为60︒时 符合条件的点E 的个数共有（ ）A ．4个B ．5个C ．6个D ．7个4 （2023·江西·中考真题）如图 在ABCD 中 602B BC AB ∠=︒=， 将AB 绕点A 逆时针旋转角α（0360α︒<<︒）得到AP 连接PC PD ．当PCD 为直角三角形时 旋转角α的度数为 ．5 （2024·江西吉安·二模）如图 在矩形ABCD 中 6,10,AB AD E ==为CD 的中点 点P 在AE 下方矩形的边上．当APE 为直角三角形 且P 为直角顶点时 BP 的长为 ．6 （2024·江西九江·二模）如图 在平面直角坐标系中 已知矩形OABC 的顶点()20,0A ()0,8C D 为OA 的中点 点P 为矩形OABC 边上任意一点 将ODP 沿DP 折叠得EDP △ 若点E 在矩形OABC 的边上 则点E 的坐标为 ．7 （2024·江西·模拟预测）如图 ABC 中 AB AC = 30A ∠=︒ 射线CP 从射线CA 开始绕点C 逆时针旋转α角()075α︒<<︒ 与射线AB 相交于点D 将ACD 沿射线CP 翻折至A CD '△处 射线CA '与射线AB 相交于点E ．若A DE '是等腰三角形 则α∠的度数为 ．8 （2024·江西赣州·二模）在Rt ABC △中 已知90C ∠=︒ 10AB = 3cos 5B = 点M 在边AB 上 点N 在边BC 上 且AM BN = 连接MN 当BMN 为等腰三角形时 AM = ．9 （2024·江西吉安·模拟预测）如图 在矩形ABCD 中 6,10AB AD == E 为BC 边上一点 3BE = 点P 沿着边按B A D →→的路线运动．在运动过程中 若PAE △中有一个角为45︒ 则PE 的长为 ．10 （2024·江西吉安·三模）如图 在ABC 中 AB AC = 30B ∠=︒ 9BC = D 为AC上一点 2AD DC = P 为边BC 上的动点 当APD △为直角三角形时 BP 的长为 ．11 （2024·江西吉安·一模）如图 矩形ABCD 中 4AB = 6AD = E 为CD 的中点 连接BE 点P 在矩形的边上 且在BE 的上方 则当BEP △是以BE 为斜边的直角三角形时 BP 的长为 ．12 （2024·江西九江·二模）如图 在等腰ABC 中 2AB AC == 30B ∠=︒ D 是线段BC 上一动点 沿直线AD 将ADB 折叠得到ADE 连接EC ．当DEC 是以DE 为直角边的直角三角形时 则BD 的长为 ．13 （2024·江西·模拟预测）如图 在菱形ABCD 中 对角线AC BD 相交于点O 23AB = 60ABC ∠=︒ E 为BC 的中点 F 为线段OD 上一动点 当AEF △为等腰三角形时 DF 的长为 ．14 （2024·江西上饶·一模）如图 在三角形纸片ABC 中 90,60,6C B BC ∠=︒∠=︒= 将三角形纸片折叠 使点B 的对应点B '落在AC 上 折痕与,BC AB 分别相交于点E F 当AFB '为等腰三角形时 BE 的长为 ．15 （2024·江西抚州·一模）课本再现（1）如图1 CD 与BE 相交于点,A ABC 是等腰直角三角形 90C ∠=︒ 若DE BC ∥ 求证：ADE 是等腰直角三角形．类比探究（2）①如图2 AB 是等腰直角ACB △的斜边 G 为边AB 的中点 E 是BA 的延长线上一动点 过点E 分别作AC 与BC 的垂线 垂足分别为,D F 顺次连接,,DG GF FD 得到DGF △ 求证：DGF △是等腰直角三角形．②如图3 当点E 在边AB 上 且①中其他条件不变时 DGF △是等腰直角三角形是否成立？_______（填“是”或“否”）．拓展应用（3）如图4 在四边形ABCD 中 ,90,BC CD BCD BAD AC =∠=∠=︒平分BAD ∠ 当1,22AD AC == 求线段BC 的长．16 （2023·江西·中考真题）课本再现思考我们知道菱形的对角线互相垂直．反过来对角线互相垂直的平行四边形是菱形吗？可以发现并证明菱形的一个判定定理对角线互相垂直的平行四边形是菱形．(1)定理证明：为了证明该定理小明同学画出了图形（如图1）并写出了“已知”和“求证”请你完成证明过程．已知：在ABCD中对角线BD AC⊥垂足为O．求证：ABCD是菱形．(2)知识应用：如图2在ABCD中对角线AC和BD相交于点O586AD AC BD===，，．①求证：ABCD是菱形②延长BC至点E连接OE交CD于点F若12E ACD∠=∠求OFEF的值．17 （2022·江西·中考真题）问题提出：某兴趣小组在一次综合与实践活动中提出这样一个问题：将足够大的直角三角板()90,60PEF P F ∠=︒∠=︒的一个顶点放在正方形中心O 处 并绕点O 逆时针旋转 探究直角三角板PEF 与正方形ABCD 重叠部分的面积变化情况（已知正方形边长为2）．(1)操作发现：如图1 若将三角板的顶点P 放在点O 处 在旋转过程中 当OF 与OB 重合时 重叠部分的面积为__________ 当OF 与BC 垂直时 重叠部分的面积为__________ 一般地 若正方形面积为S 在旋转过程中 重叠部分的面积1S 与S 的关系为__________(2)类比探究：若将三角板的顶点F 放在点O 处 在旋转过程中 ,OE OP 分别与正方形的边相交于点M N ．①如图2 当BM CN =时 试判断重叠部分OMN 的形状 并说明理由②如图3 当CM CN =时 求重叠部分四边形OMCN 的面积（结果保留根号）(3)拓展应用：若将任意一个锐角的顶点放在正方形中心O 处 该锐角记为GOH ∠（设GOH α∠=） 将GOH ∠绕点O 逆时针旋转 在旋转过程中 GOH ∠的两边与正方形ABCD 的边所围成的图形的面积为2S 请直接写出2S 的最小值与最大值（分别用含α的式子表示）（参考数据：6262sin15tan1523-+︒=︒=︒=18 （2024·江西吉安·二模）如图 在ABC 和ADE 中 (),AB AC AD AE AD AB ==< 且BAC DAE ∠=∠．连接CE BD ．(1)求证：BD CE =．(2)在图2中 点B D E 在同一直线上 且点D 在AC 上 若,AB a BC b == 求AD CD的值（用含a b 的代数式表示）．19 （2024·江西九江·二模）初步探究（1）如图1 在四边形ABCD 中 ,AC BD 相交于点O AC BD ⊥ 且ABD CBD S S = 则OA 与OC 的数量关系为 ．迁移探究（2）如图2 在四边形ABCD 中 ,AC BD 相交于点O ABD CBD SS = （1）中OA 与OC 的数量关系还成立吗？如果成立 请说明理由．拓展探究（3）如图3 在四边形ABCD 中 ,AC BD 相交于点O 180,ABD CBD BAD BCD S S ∠∠+=︒=△△ 且 33OB OD == 求AC 的长．20 （2024·江西九江·二模）课本再现如图1 四边形ABCD 是菱形 30ACD ∠=︒ 6BD =．（1）求,AB AC 的长．应用拓展（2）如图2 E 为AB 上一动点 连接DE 将DE 绕点D 逆时针旋转120︒ 得到DF 连接EF ．①直接写出点D 到EF 距离的最小值②如图3 连接,OF CF 若OCF △的面积为6 求BE 的长．21 （2024·江西赣州·三模）某数学小组在一次数学探究活动过程中经历了如下过程：AB=P为对角线AC上的一个动点以P为直角顶问题提出：如图正方形ABCD中8△．点向右作等腰直角DPM(1)操作发现：DM的最小值为_______ 最大值为_______(2)数学思考：求证：点M在射线BC上=时求CM的长．(3)拓展应用：当CP CM22 （2024·江西赣州·二模）【课本再现】 思考我们知道 角的平分线上的点到角的两边的距离相等 反过来 角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上吗？可以发现并证明角的平分线的性质定理的逆定理角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上．【定理证明】（1）为证明此逆定理 某同学画出了图形 并写好“已知”和“求证” 请你完成证明过程．已知：如图1 在ABC ∠的内部 过射线BP 上的点P 作PD BA ⊥ PE BC ⊥ 垂足分别为D E 且PD PE =．求证：BP 平分ABC ∠．【知识应用】（2）如图2 在ABC 中 过内部一点P 作PD BC ⊥ PE AB ⊥ PF AC ⊥ 垂足分别为D E F 且PD PE PF == 120A ∠=︒ 连接PB PC ．①求BPC ∠的度数②若6PB=23PC=求BC的长．23 （2024·江西吉安·模拟预测）一块材料的形状是锐角三角形ABC下面分别对这块材料进行课题探究：课本再现：（1）在图1中若边120mmBC=高80mmAD=把它加工成正方形零件使正方形的一边在BC上其余两个顶点分别在AB AC上这个正方形零件的边长是多少?类比探究（2）如图2 若这块锐角三角形ABC材料可以加工成3个相同大小的正方形零件请你探究高AD与边BC的数量关系并说明理由．拓展延伸（3）①如图3 若这块锐角三角形ABC材料可以加工成图中所示的4个相同大小的正方形零件则ADBC的值为_______（直接写出结果）②如图4 若这块锐角三角形ABC材料可以加工成图中所示的()3n m≥相同大小的正方形零件求ADBC的值．24 （2024·江西吉安·三模）课本再现 矩形的定义 有一个角是直角的平行四边形是矩形．定义应用(1)如图1 已知：在四边形ABCD 中 90A B C ∠=∠=∠=︒用矩形的定义求证：四边形ABCD 是矩形．(2)如图2 在四边形ABCD 中 90A B ∠=∠=︒ E 是AB 的中点 连接DE CE 且DE CE = 求证：四边形ABCD 是矩形．拓展延伸(3)如图3 将矩形ABCD 沿DE 折叠 使点A 落在BC 边上的点F 处 若图中的四个三角形都相似 求AB BC的值．25 （2024·江西吉安·一模）课本再现在学习了平行四边形的概念后进一步得到平行四边形的性质：平行四边形的对角线互相平分．=（1）如图1 在平行四边形ABCD中对角线AC与BD交于点O 求证：OA OC =．OB OD知识应用=延长AC到E 使得（2）在ABC中点P为BC的中点．延长AB到D 使得BD AC∠=︒请你探究线段BE与线段AP之间的BACCE AB=连接DE．如图2 连接BE若60数量关系．写出你的结论并加以证明．26 （2024·江西九江·二模）问题提出在综合与实践课上 某数学研究小组提出了这样一个问题：如图1 在边长为4的正方形ABCD 的中心作直角EOF ∠ EOF ∠的两边分别与正方形ABCD 的边BC CD 交于点E F （点E 与点B C 不重合） 将EOF ∠绕点O 旋转．在旋转过程中 四边形OECF 的面积会发生变化吗？爱思考的浩浩和小航分别探究出了如下两种解题思路．浩浩：如图a 充分利用正方形对角线垂直 相等且互相平分等性质 证明了OEC OFD ≌ 则OEC OFD S S = OEC OCF OFD OCF OCD OECF S S S S S S =+=+=四边形．这样 就实现了四边形OECF 的面积向OCD 面积的转化．小航：如图b 考虑到正方形对角线的特征 过点O 分别作OG BC ⊥于点G OH CD ⊥于点H 证明OGE OHF ≌△△ 从而将四边形OECF 的面积转化成了小正方形OGCH 的面积．（1）通过浩浩和小航的思路点拨﹐我们可以得到OECF S =四边形__________ CE CF +=__________．类比探究（2）①如图⒉ 在矩形ABCD 中 3AB = 6AD = O 是边AD 的中点 90EOF ∠=︒ 点E 在AB 上 点F 在BC 上 则EB BF +=__________．②如图3 将问题中的正方形ABCD 改为菱形ABCD 且45ABC ∠=︒ 当45EOF ∠=︒时 其他条件不变 四边形OECF 的面积还是一个定值吗？若是 请求出四边形OECF 的面积 若不是 请说明理由．拓展延伸（3）如图4 在四边形ABCD 中 7AB = 2DC = 60BAD ∠=︒ 120BCD ∠=︒ CA 是BCD ∠的平分线 求四边形ABCD 的面积．27 （2024·江西九江·模拟预测）【课本再现】（1）如图1 四边形ABCD 是一个正方形 E 是BC 延长线上一点 且AC EC = 则DAE ∠的度数为 ．【变式探究】（2）如图2 将（1）中的ABE 沿AE 折叠 得到AB E ' 延长CD 交B E '于点F 若2AB = 求B F '的长．【延伸拓展】（3）如图3 当（2）中的点E 在射线BC 上运动时 连接B B ' B B '与AE 交于点P ．探究：当EC 的长为多少时 D P 两点间的距离最短？请求出最短距离．28 （2024·江西上饶·一模）课本再现：（1）如图1 ,D E 分别是等边三角形的两边,AB AC 上的点 且AD CE =．求证：CD BE =．下面是小涵同学的证明过程：证明：ABC 是等边三角形,60AC BC A ACB ∴=∠=∠=︒．AD CE =()SAS ADC CEB ∴≌CD BE ∴=．小涵同学认为此题还可以得到另一个结论：BFD ∠的度数是______迁移应用：（2）如图2 将图1中的CD 延长至点G 使FG FB = 连接,AG BG ．利用（1）中的结论完成下面的问题．①求证：AG BE ∥②若25CF BF = 试探究AD 与BD 之间的数量关系．参考答案考点解读在中考数学中有这么一类题它是以点线几何图形的运动为载体集合多个代数知识几何知识及数学解题思想于一题的综合性试题它就是动态几何问题。
2019安徽初中数学中考07 专题七
专题七几何图形综合题类型一与全等三角形有关的探究(2014·安徽)如图1，正六边形ABCDEF的边长为a，P是BC边上一动点，过P点作PM∥AB交AF于点M，作PN∥CD交DE于点N.(1)①∠MPN＝________°；②求证：PM＋PN＝3a；(2)如图2，点O是AD的中点，连接OM，ON.求证：OM＝ON；(3)如图3，点O是AD的中点，OG平分∠MON，判断四边形OMGN是否为特殊四边形？并说明理由．例1题图【分析】(1)①∵正六边形的每个内角均为120°，且PM∥AB，PN∥CD，∴∠BPM＝∠CPN＝60°，问题解决：②作A G⊥MP交MP于点G，作B H⊥MP交MP 于点H，作D K⊥NP交NP于点K，作C L⊥NP交NP于点L，得GH＝AB＝a，KL＝CD＝a，再利用正六边形内角的关系和性质可求出HP＋PL和MG＋KN的值，再根据PM＋PN＝MG＋GH＋HP＋PL＋LK＋KN计算PM＋PN的值即可证明；(2)根据题意，先证明△O A M≌△OEN，即可证得OM＝ON；(3)先证明△GOE≌△NO D得OG＝ON，再证明△GON和△OMG是等边三角形，得到OM＝MG＝GN＝NO，即可得到四边形OMGN是菱形．【自主解答】【方法点拨】本题是压轴题，综合性较强，每个小问都需作出辅助线，然后利用数形结合、转化思想进行求解，如(1)中的②，将证明PM＋PN＝3a转化为AB ＋CD＋GM＋PH＋PL＋NK＝3a，(3)中将问题转化为证明△MGO与△NGO都为等边三角形，对学生的思维能力要求较高．【难点突破】本题的难点是第(3)问，突破口是作辅助线OE，既可利用(2)的结论及已知推出∠MON＝120°，又可以证明△GOE≌△NO D达到证明OG＝ON的目的，从而使问题解决．1．(2018·阜新)如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，AD⊥BC于点D.(1)如图1，点E，F在AB，AC上，且∠E DF＝90°.求证：BE＝AF；(2)点M，N分别在直线AD，AC上，且∠BMN＝90°.①如图2，当点M在AD的延长线上时，求证：AB＋AN＝2AM；②当点M在点A，D之间，且∠AMN＝30°时，已知AB＝2，直接写出线段AM的长．第1题图2．已知△ABC为等边三角形，点D为直线BC上的一动点(点D不与B、C重合)，以AD为边作等边△ADE(顶点A、D、E按逆时针方向排列)，连接CE.(1)如图1，当点D在边BC上时，求证：①BD＝CE；②AC＝CE＋CD；(2)如图2，当点D在边BC的延长线上且其他条件不变时，结论AC＝CE＋CD是否成立？若不成立，请写出AC、CE、CD之间存在的数量关系，并说明理由；(3)如图3，当点D在边BC的反向延长线上且其他条件不变时，补全图形，并直接写出AC、CE、CD之间存在的数量关系．第2题图3．(2018·长春)在正方形ABCD中，E是边CD上一点(点E不与点C、D重合)，连接BE.【感知】如图1，过点A作A F⊥BE交BC于点F，易证△AB F≌△BCE.(不需要证明)【探究】如图2，取BE的中点M，过点M作FG⊥BE交BC于点F，交AD于点G.(1)求证：BE＝FG.(2)连接CM.若CM＝1，则FG的长为______．【应用】如图3，取BE的中点M，连接CM.过点C作C G⊥BE交AD于点G，连接EG、MG.若CM＝3，则四边形GMCE的面积为______．第3题图类型二与相似三角形有关的探究(2012·安徽)如图1，在△ABC中，D、E、F分别为三边的中点，G点在边AB上，△BDG与四边形ACDG的周长相等，设BC＝a、AC＝b、AB＝c.例2题图(1)求线段BG的长；(2)求证：DG平分∠E DF；(3)连接CG，如图2，若△BDG与△DFG相似，求证：B G⊥CG.【分析】 (1)根据△BDG与四边形ACDG的周长相等和D是BC的中点，可知BG ＝AC＋AG.根据等量代换即可求得BG的长．(2)由题可知DF、BF的长，根据等边对等角的性质，可知∠F DG＝∠FG D，由三角形中位线定理可知D E∥AB，根据角的基本运算和角平分线的定义即可得证．(3)根据相似三角形对应角相等的性质和等量代换，可知∠FG D＝∠B，根据等角对等边的性质的等量代换，可知DG＝BD＝CD，根据圆内接三角形的性质，可得B、G、C三点在以BC为直径的圆上，根据直径所对的圆周角是直角的性质即可证得B G⊥CG.【自主解答】【方法点拨】本题中涉及线段长度的求解有两个思路：一是直接求；二是通过等量代换来求．而证明角平分线常用到角平分线定义或判定定理，证明两直线垂直常用到勾股定理或圆中直径所对的圆周角是直角的性质．【难点突破】结合图形可以发现如果B G⊥CG，则B、G、C三点共圆，故只需证明DG＝BD＝CD即可突破难点．1．(2018·芜湖繁昌县一模)如图1，点D为正△ABC的BC边上一点(D不与点B，C重合)．点E、F分别在边AB、AC上，且∠E DF＝∠B.(1)求证：△BD E∽△CFD；(2)设BD＝a，CD＝b，△BDE的面积为S1，△CDF的面积为S2，求S1·S2(用含a，b的式子表示)；(3)如图2，若点D为BC边的中点，求证：DF2＝EF·F C.2．(2018·安庆二模)在△ABC中．∠ACB＝90°，∠BAC＝30°，点C为等边△DEF 的边DE 的中点．(1)如图1，当DE 与BC 在一条直线上时，已知CF AF ＝12，求EDDB的值；(2)如图2.当DE 与AC 在同一条直线上时，分别连接AF ，BD ，试判断BD 和AF 的位置关系并说明理由；(3)如图3，当DE 与△ABC 的边均不在一条直线上时，分别连接AF ，BD.求证：∠F AC ＝∠CBD.第2题图3．(2018·枣庄)如图，将矩形ABCD 沿AF 折叠，使点D 落在BC 边上的点E 处，过点E作EG∥CD交AF于点G，连接DG.(1)求证：四边形EFDG是菱形；(2)探究线段EG、GF、AF之间的数量关系，并说明理由；(3)若AG＝6，EG＝25，求BE的长．第3题图4．(2018·咸宁)定义：我们知道，四边形的一条对角线把这个四边形分成了两个三角形，如果这两个三角形相似(不全等．．．)，我们就把这条对角线叫做这个四边形的“相似对角线”．第4题图理解：(1)如图1，已知Rt△ABC，在正方形网格中，请你只用无刻度的直尺．．．．．．在网格中找到一点D，使四边形ABCD是以AC为“相似对角线”的四边形(保留画图痕迹，找出3个即可)；(2)如图2，在四边形ABCD中，∠ABC＝80°，∠ADC＝140°，对角线BD平分∠ABC.求证：BD是四边形ABCD的“相似对角线”；运用：(3)如图3，已知FH是四边形EFGH的“相似对角线”，∠EFH＝∠HFG＝30°，连接EG，若△EFG的面积为23，求FH的长．类型三与全等和相似三角形有关的探究(2017·安徽)已知正方形ABCD，点M为边AB的中点．(1)如图1，点G为线段CM上的一点，且∠AGB＝90°，延长AG，BG分别与边BC，CD交于点E，F.①求证：BE＝CF；②求证：BE2＝BC·CE.例3题图【分析】(1)①由互余及等量代换可证∠BAE＝∠CBF，再证明△AB E≌△BCF即可得出结论，②由已知先证∠G AM＝∠AGM，再证△C GE∽△CBG，可推CG2＝BC·CE，结合①下面只需证明CF＝CG，BE＝CG.【自主解答】(2)如图2，在边BC上取一点E，满足BE2＝BC·CE，连接AE交CM于点G，连接BG并延长交CD于点F，求tan∠CBF的值．【分析】 (2)两个思路：一是延长AE，DC交于点N，先证△C EN∽△BEA，可得B E·CN ＝AB ·CE ，再证FC ＝CN ＝BE ，令BE ＝x ，BC ＝1，根据BE 2＝BC ·CE 求出x ，而tan ∠CBF ＝CF BC ＝BEBC ＝BE 即可求；二是作GN∥BC ，令BE ＝x ，BC ＝1，根据BE 2＝BC ·CE 求出x ，再令MN ＝y ，易得GN ＝2y ，由GN BE ＝AN AB 可求y ，从而GM ＝12＝MA ＝MB ，说明G 点在以AB 为直径的圆上，∴∠AGB ＝90°，由(1)知BE ＝CF ，∴tan ∠CBF ＝CF BC ＝BEBC ＝BE 即可求．【自主解答】【方法指导】本题以正方形为载体，往往要用到正方形的直角及边的平行且相等，从而可以应用三角形全等及三角形相似的判定与性质．注意，在这样的压轴题中往往需要作辅助线才可以用上全等或相似．【难点突破】证明BE ＝CF 是本题的关键，第(2)问的突破口是作辅助线并利用相似三角形的性质和M是AB的中点．1．(2018·安徽)如图1，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点D为边AC上一点，D E⊥AB于点E，点M为BD中点，CM的延长线交AB于点F.(1)求证：CM＝EM；(2)若∠BAC＝50°，求∠EMF的大小；(3)如图2，若△DA E≌△CEM，点N为CM的中点，求证：A N∥EM.2．(2018·庐阳区一模)已知四边形ABCD中，AB＝AD，对角线AC平分∠DAB，过点C作C E⊥AB于点E，点F为AB上一点，且EF＝EB，连接DF.(1)求证：CD＝CF；(2)连接DF，交AC于点G，求证：△DGC∽△ADC；(3)若点H 为线段DG 上一点，连接AH ，若∠ADC ＝2∠H AG ，AD ＝3，DC ＝2，求FGGH 的值．第2题图3．(2018·海南)已知，如图1，在▱ABCD 中，点 E 是AB 中点，连接DE 并延长，交CB 的延长线于点 F. (1)求证：△AD E≌△BFE ；(2)如图2，点G 是边BC 上任意一点(点G 不与点B 、C 重合)，连接AG 交DF 于点H ，连接HC ，过点A 作A K∥H C ，交DF 于点K.①求证：HC＝2AK；②当点G是边BC中点时，恰有 HD＝n·HK(n为正整数)，求n的值．第3题图4．(2018·禹会区二模)如图1，在矩形ABCD中，BC＞AB，∠BAD的平分线AF 与BD、BC分别交于点E、F，点O是BD的中点，直线OK∥AF，交AD于点K，交BC于点G.(1)求证：△D OK≌△BOG；(2)求证：AB＋AK＝BG；(3)如图2，若KD＝KG＝2，点P是线段KD上的动点(不与点D、K重合)，PM∥DG交KG于点M，PN∥KG交DG于点N，设PD＝x，S△PMN＝y，求出y与x的函数关系式．第4题图5．(2018·瑶海区三模)如图1，点O为正方形ABCD的中心，E为AB边上一点，F为BC边上一点，△E BF的周长等于BC的长．(1)求∠EOF的度数；(2)连接OA、OC(如图2)．求证：△A OE∽△CFO；(3)若OE＝52OF，求AECF的值．第5题图6．(2018·资阳)已知：如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点M是斜边AB的中点，MD∥BC，且MD＝CM，D E⊥AB于点E，连接AD、CD.(1)求证：△ME D∽△BCA；(2)求证：△AMD≌△CMD；(3)设△M DE的面积为S1，四边形BCMD的面积为S2，当S2＝175S1时，求cos∠ABC的值．第6题图参考答案类型一【例1】 (1)①解：60；②证明：如解图1，作AG⊥MP 交MP 于点G ，作BH⊥MP 交MP 于点H ，作DK⊥NP 交NP 于点K ，作CL⊥NP 交NP 于点L ，PM ＋PN ＝MG ＋GH ＋HP ＋PL ＋LK ＋KN ， ∵正六边形各个角都等于120°，且PM∥AB，PN∥CD， ∴GH＝AB ＝a ，KL ＝CD ＝a ，且∠BPM＝∠CPN＝60°， ∴HP＝BP·cos 60°＝12BP ，PL ＝PC·cos 60°＝12PC ，∴HP＋PL ＝12(BP ＋PC)＝a2，∵六边形ABCDEF 是正六边形，且PM∥AB，PN∥CD，∴四边形ABPM 和四边形CDNP 均为等腰梯形，根据等腰梯形的性质MG ＝HP ，KN ＝LP ，∴MG＋KN ＝HP ＋LP ＝a2，∴PM＋PN ＝MG ＋GH ＋HP ＋PL ＋LK ＋KN ＝a ＋a ＋a 2＋a2＝3a.例1题解图(2)证明：如解图2，连接OE ，∵六边形ABCDEF 是正六边形，且PM∥AB，PN∥CD，则可得四边形ABPM 和四边形CDNP 为等腰梯形，则AM ＝BP ，CP ＝ND ， 又∵BC＝ED ，则AM ＝BP ＝EN ， ∵点O 是AD 的中点，∴OA＝OE ，∠OAM＝∠OEN＝60°， 在△OAM 和△OEN 中，⎩⎪⎨⎪⎧AM ＝EN ，∠OAM＝∠OEN，OA ＝OE ，∴△OAM≌△OEN(SAS )．∴OM＝ON ； (3)解：四边形OMGN 是菱形， 理由如下：如解图3，连接OE ，由(2)得△OAM≌△OEN，∴∠AOM＝∠EON， ∵EF∥AD，AF∥OE，∴四边形AOEF 是平行四边形， ∵∠F＝120°，∴∠AOE＝120°，∠DOE＝60°，∵∠AOM＝∠EON，∴∠MON＝120°， ∵OG 平分∠MON，∴∠GON＝∠MOG＝60°， ∵∠GOE＝∠GON－∠EON＝60°－∠EON， ∠NOD＝∠DOE－∠EON＝60°－∠EON， ∴∠GOE＝∠NOD，在△GOE 和△NOD 中， ⎩⎪⎨⎪⎧∠GOE＝∠NOD OE ＝OD∠OEG＝∠ODN， ∴△GOE≌△NOD(ASA )，∴OG＝ON ，∵∠GON＝60°，∴△GON 是等边三角形，∴GN ＝ON ， ∵OM＝ON ，∴OM＝OG ，∵∠MOG＝60°，∴△OMG 是等边三角形， ∴OM＝MG ＝GN ＝NO ， ∴四边形OMGN 是菱形． 针对训练1．证明：(1)∵∠BAC＝90°，AB ＝AC ，∴∠B＝∠C＝45°， ∵AD⊥BC，∴BD＝CD ，∠BAD＝∠CAD＝45°， ∴∠CAD＝∠B，AD ＝BD ， ∵∠EDF＝∠BDA＝90°，∴∠BDE＝∠ADF，∴△BDE≌△ADF(ASA )， ∴BE＝AF ；第1题解图(2)①证明：如解图，过点M 作MP⊥AM，交AB 的延长线于点P ， ∴∠AMP＝90°，∵∠PAM＝45°， ∴∠P＝∠PAM＝45°， ∴AM＝PM ，∵∠BMN＝∠AMP＝90°， ∴∠BMP＝∠AMN，∵∠DAC＝∠P＝45°，∴△AMN≌△PMB(ASA )， ∴AN＝PB ，∴AP＝AB ＋BP ＝AB ＋AN ， 在Rt △AMP 中，∠AMP＝90°，AM ＝MP ， ∴AP＝2AM ，∴AB＋AN ＝2AM ； ②解：AM ＝2－63.2．解：(1)∵△ABC 和△ADE 都是等边三角形， ∴AB＝AC ＝BC ，AD ＝AE ，∠BAC＝∠DAE＝60°. ∴∠BAC－∠CAD＝∠DAE－∠CAD， 即∠BAD＝∠CAE.在△ABD 和△ACE 中，⎩⎪⎨⎪⎧AB ＝AC ∠BAD＝∠CAE AD ＝AE ，∴△ABD≌△ACE(SAS )，∴BD＝CE. ∵BC＝BD ＋CD ，AC ＝BC ，∴AC＝CE ＋CD ；(2)AC ＝CE ＋CD 不成立，AC 、CE 、CD 之间存在的数量关系是：AC ＝CE －CD. 理由：∵△ABC 和△ADE 都是等边三角形，∴AB＝AC ＝BC ，AD ＝AE ，∠BAC＝∠DAE＝60°. ∴∠BAC ＋∠CAD＝∠DAE＋∠CAD， ∴∠BAD＝∠CAE，在△ABD 和△ACE 中，⎩⎪⎨⎪⎧AB ＝AC ∠BAD＝∠CAE AD ＝AE ，∴△ABD≌△ACE(SAS )，∴BD＝CE ， ∴C E －CD ＝BD －CD ＝BC ＝AC ， ∴AC＝CE －CD ； (3)补全图形(如解图)，第3题解图AC 、CE 、CD 之间存在的数量关系是：AC ＝CD －CE. 理由：∵△ABC 和△ADE 都是等边三角形， ∴AB＝AC ＝BC ，AD ＝AE ，∠BAC＝∠DAE＝60°. ∴∠BAC－∠BAE＝∠DAE－∠BAE， ∴∠BAD＝∠CAE，在△ABD 和△ACE 中，⎩⎪⎨⎪⎧AB ＝AC ，∠BAD＝∠CAE，AD ＝AE ，∴△ABD≌△ACE(SAS )，∴BD＝CE. ∵BC＝CD －BD ， ∴AC＝CD －CE.3．【探究】(1)证明：如解图，过点A 作AH∥GF，交BC 于点H ，则AH ＝FG ，第3题解图∵FG⊥BE，∴AH⊥BE， ∴∠ABE＋∠BAH＝90°. ∵四边形ABCD 是正方形， ∴∠ABC＝∠BCE＝90°，AB ＝BC ， ∴∠ABE＋∠EBC＝90°， ∴∠BAH＝∠EBC. 在△ABH 和△BCE 中，∵∠BAH＝∠EBC，AB ＝BC ，∠ABC＝∠BCE， ∴△ABH≌△BCE(ASA )，∴AH＝BE. 又∵AH＝FG ，∴BE＝FG ； (2)解：FG ＝2. 【应用】S 四边形CEGM ＝9. 类型二【例2】 (1)∵△BDG 与四边形ACDG 的周长相等， ∴BD＋BG ＋DG ＝AC ＋CD ＋DG ＋AG.∵D 是BC 的中点，∴BD＝CD ，则BG ＝AC ＋AG ， ∵BG＋AG ＝AB ，∴BG＝AC ＋AB －BG ， 即BG ＝12(AB ＋AC)＝12(b ＋c)；(2)∵点D 、F 分别是BC 、AB 的中点， ∴DF＝12AC ＝12b ，BF ＝12AB ＝12c.∵FG＝BG －BF ＝12(b ＋c)－12c ＝12b ，∴DF＝FG ，则∠FDG＝∠FGD， ∵点D 、E 分别是BC 、AC 的中点， ∴DE∥AB，故∠EDG＝∠FGD， ∴∠FDG＝∠EDG，即DG 平分∠EDF； (3)当△BDG∽△DFG 时，则∠B＝∠FDG， 由FD ＝FG ＝12b 可得∠FDG＝∠FGD，∴∠FGD＝∠B，故DG ＝BD. ∵BD＝CD ，BD ＝GD ，∴DG＝BD ＝CD ，则B 、G 、C 三点在以D 为圆心、BC 为直径的圆上，故∠BGC＝90°，即BG⊥CG. 针对训练1．(1)证明：在△BDE 中，∠BDE＋∠DEB＋∠B＝180°， 又∵∠BDE＋∠EDF＋∠FDC＝180°，∴∠BDE＋∠DEB＋∠B＝∠BDE＋∠EDF＋∠FDC ， ∵∠EDF＝∠B，∴∠DEB＝∠FDC， 又∵∠B＝∠C，∴△BDE∽△CFD；第1题解图(2)解：分别过E ，F 作EG⊥BC 于点G ，FH⊥BC 于点H ，如解图， S 1＝12BD·EG＝12a·BE·sin 60°＝34a·BE，S 2＝12CD·FH＝34b·CF，∴S 1·S 2＝316ab·BE·CF，由(1)得△BDE∽△CFD，∴BD BE ＝FCCD ，即BE·FC＝BD·CD＝ab ，∴S 1·S 2＝316a 2b 2；(3)证明：由(1)得△BDE∽△CFD，∴BD DE ＝FCDF ，又∵BD＝CD ，∴CD DE ＝FCDF，又∵∠EDF＝∠C＝60°，∴△DFE∽△CFD， ∴EF DF ＝DFFC ，即DF 2＝EF·FC. 2．(1)解：易得DF∥AB， ∵CF AF ＝12，∴CD DB ＝12， ∵ED＝2CD ，∴EDDB的值为1；(2)解：如解图1，连接CF ，延长BD 交AF 于点G ，则BD⊥AF 于G.第2题解图1理由：∵tan 60°＝CF CD ＝ACCB ＝3，∠ACF＝∠BCD＝90°， ∴AC CF ＝CB CD， ∴△ACF∽△BCD，∴∠FAC＝∠CBD，∵∠BDC＋∠DBC＝90°，∴∠ADG＋∠DAG＝90°， 即BD⊥AF 于G ；(3)证明：连接CF ，如解图2，易得∠FCD＝90°，第2题解图2∵∠FCA＋∠ACD＝∠BCD＋∠ACD＝90°， ∴∠FCA＝∠BCD，∵tan 60°＝CF CD ＝ACCB ＝3，∴△ACF∽△BCD，∴∠FAC＝∠CBD.3．(1)证明：∵GE∥DF，∴∠EGF＝∠DFG.由翻折的性质可知GD ＝GE ，DF ＝EF ，∠DGF＝∠EGF， ∴∠DGF＝∠DFG.∴GD＝DF.∴DG＝GE ＝DF ＝EF.∴四边形EFDG 为菱形； (2)解：EG 2＝12GF·AF.理由：如解图1所示，连接DE ，交AF 于点O.第3题解图1∵四边形EFDG 为菱形， ∴GF⊥DE，OG ＝OF ＝12GF ，∵∠DOF＝∠ADF＝90°，∠OFD＝∠DFA， ∴△DOF∽△ADF.∴DF AF ＝FODF，即DF 2＝FO·AF. ∵FO＝12GF ，DF ＝EG ，∴EG 2＝12GF·AF；(3)解：如解图2：过点G 作GH⊥DC，垂足为H.第3题解图2∵EG 2＝12GF·AF.AG＝6，EG ＝25，∴20＝12FG·(FG＋6)，整理得：FG 2＋6FG －40＝0. 解得FG ＝4，FG ＝－10(舍去)． ∵DF＝GE ＝25，AF ＝10， ∴AD＝AF 2－DF 2＝45， ∵GH⊥DC，AD⊥DC，∴GH∥AD. ∴△FGH∽△FAD.∴GH AD ＝FGAF，即GH 45＝410.∴GH＝855.∴BE＝AD －GH ＝45－855＝1255.4．解：(1)如解图1所示(找出D 1，D 2，D 3，D 4中任意3个即可)；第4题解图(2)证明：∵∠ABC＝80°，BD 平分∠ABC， ∴∠ABD＝∠DBC＝40°，∴∠A＋∠ADB＝140°. ∵∠ADC＝140°，∴∠BDC＋∠ADB＝140°. ∴∠A＝∠BDC.∴△ABD∽△DBC. ∴BD 是四边形ABCD 的“相似对角线”； (3)解：∵FH 是四边形EFGH 的“相似对角线”， ∴△EFH 与△HFG 相似．又∠EFH＝∠HFG， ∴△FEH∽△FHG，∴FE FH ＝FHFG .即FH 2＝FE·FG.过点E 作EQ⊥FG，垂足为Q.如解图2， 则EQ ＝FE·sin 60°＝32FE. ∵12FG·EQ＝23，∴12FG·32FE ＝23， ∴FG·FE＝8，∴FH 2＝FE·FG＝8，∴FH＝2 2. 类型三【例3】 (1)证明：①∵四边形ABCD为正方形，∴AB＝BC，∠ABC＝∠BCF＝90°，又∵∠AGB＝90°，∴∠BAE＋∠ABG＝90°，又∵∠ABG＋∠CBF＝90°，∴∠BAE＝∠CBF.∴△ABE≌△BCF(ASA)，∴BE＝CF；②∵∠AGB＝90°，点M为AB的中点，∴MG＝MA＝MB，∴∠GAM＝∠AGM.又∵∠CGE＝∠AGM，从而∠CGE＝∠CBG，又∵∠ECG＝∠GCB，∴△CGE∽△CBG.∴CECG＝CGCB，即CG2＝BC·CE，∵四边形ABCD是正方形，∴AB∥CD，∴∠CFG＝∠GBM＝∠BGM＝∠CGF，得CF＝CG. 由①知，BE＝CF，∴BE＝CG，∴BE2＝BC·CE；(2)解：(方法一)延长AE，DC交于点N(如解图1)，例3题解图1 ∵四边形ABCD是正方形，所以AB∥CD.∴∠N＝∠EAB，又∠CEN＝∠BEA，∴△CEN∽△BEA.∴CE BE ＝CN BA ，即BE·CN＝AB·CE，∵AB＝BC ，BE 2＝BC·CE，∴CN＝BE ，由AB∥DN，知CN AM ＝CG GM ＝CF MB .又∵AM＝MB ，∴FC＝CN ＝BE ，不妨假设正方形边长为1.设BE ＝x ，则由BE 2＝BC·CE，得x 2＝1·(1－x)．解得x 1＝5－12，x 2＝－5－12(舍去)，∴BE BC ＝5－12.∴tan ∠CBF＝FC BC ＝BE BC ＝5－12；(方法二)不妨假设正方形边长为1，设BE ＝x ，则由BE 2＝BC·CE，得x 2＝1·(1－x)．解得x 1＝5－12，x 2＝－5－12(舍去)，即BE ＝5－12.作GN∥BC 交AB 于点N(如解图2)，则△MNG∽△MBC，例3题解图2∴MN NG ＝MBBC ＝12.∵GN BE ＝AN AB ，即2y 5－12＝y ＋121， 解得y ＝510，∴GM＝12， 从而GM ＝MA ＝MB ，此时点G 在以AB 为直径的圆上．∴△AGB 是直角三角形，且∠AGB＝90°.由(1)知BE ＝CF ，∴tan ∠CBF＝FC BC ＝BE BC ＝5－12. 针对训练1．(1)证明：∵∠ACB＝90°，点M 为BD 的中点，∴CM＝12BD ，同理EM ＝12BD ， ∴CM＝EM ；(2)解：方法一：∵∠ACB＝90°，∠BAC＝50°，∴∠ABC＝40°，由(1)得CM ＝DM ＝BM ＝EM ，∴点B ，C ，D ，E 在以点M 为圆心，BD 为直径的⊙M 上，∴∠CME＝2∠ABC＝80°，∴∠EMF＝180°－80°＝100°；方法二：∵∠ACB＝90°，∠BAC＝50°，∴∠ABC＝40°，∵DE⊥AB，∴∠CDE＝∠A＋∠DEA＝140°，由(1)得CM ＝DM ＝EM ，∴∠MCD＝∠MDC，∠MED＝∠MDE，∴∠DCM＋∠DEM＝∠MDC＋∠MDE＝140°，∴∠CME＝360°－140°－140°＝80°，∴∠EMF＝180°－80°＝100°.(3)证明：方法一：∵△DAE≌△CEM，∴∠CME＝∠DEA＝90°，DE ＝CM ，AE ＝EM ，又∵CM＝DM ＝EM ，∴DM＝DE ＝EM ，∴△DEM 是等边三角形，∴在Rt △EMF 中，∠EMF＝90°，∠MEF＝∠DEF－∠DEM ＝30°，∴MF EF ＝12，又∵NM＝12CM ＝12EM ＝12AE ，∴FN＝FM ＋NM ＝12EF ＋12AE ＝12(AE ＋EF)＝12AF.∴MF EF ＝NF AF ＝12.∵∠AFN＝∠EFM，∴△AFN∽△EFM，∴∠NAF＝∠MEF，故AN∥EM.方法二：如解图，连接AM ，则∠EAM＝∠EMA＝12∠MEF＝15°，第1题解图∴∠AMC＝∠EMC－∠EMA＝75°，①又∠CMD＝∠EMC－∠EMD＝30°，且MC ＝MD ，∴∠ACM＝12(180°－30°)＝75°.② 由①②可知AC ＝AM ，又N 为CM 的中点，∴AN⊥CM，而EM⊥CM，∴AN∥EM.2．(1)证明：AC 平分∠DAB，∴∠DAC＝∠BAC，在△ADC 和△ABC 中，⎩⎪⎨⎪⎧AC ＝AC ∠DAC＝∠BAC AD ＝AB，∴△ADC≌△ABC(SAS )，∴CD＝CB ，∵CE⊥AB，EF ＝EB ，∴CF＝CB ，∴CD＝CF ；(2)证明：∵△ADC≌△ABC，∴∠ADC＝∠B，∵CF＝CB ，∴∠CFB＝∠B，∴∠ADC＝∠CFB，∴∠ADC＋∠AFC＝180°，∵四边形AFCD 的内角和等于360°，∴∠DCF＋∠DAF ＝180°，∵CD＝CF. ∴∠CDG＝∠CFD，∵∠DCF＋∠CDF＋∠CFD＝180°，∴∠DAF＝∠CDF＋∠CFD＝2∠CDG，∵∠DAB＝2∠DAC，∴∠CDG＝∠DAC，∵∠DCG＝∠ACD，∴△DGC∽△ADC；(3)解：∵△DGC∽△ADC，∴∠DGC＝∠ADC，∠CDG＝∠DAC ，CG CD ＝DG AD， ∵∠ADC＝2∠HAG，AD ＝3，DC ＝2，∴∠HAG＝12∠DGC，CG 2＝DG 3， ∴∠HAG＝∠AHG，CG DG ＝23，∴HG＝AG ， ∵∠GDC＝∠DAC＝∠FAG，∠DGC＝∠AGF，∴△DGC∽△AGF，∴GF AG ＝CG DG ＝23，∴FG GH ＝23. 3．(1)证明：在▱ABCD 中，AD∥BC，∴∠ADE＝∠F，∵E 是AB 的中点，∴AE＝BE ，又∵∠AED＝∠BEF(对顶角相等)，∴△ADE≌△BFE(AAS )；(2)①证明：如解图1，第3题解图1在▱ABCD 中，AB∥CD，AB ＝CD ，∴∠AEK＝∠CDH，∵AK∥HC，∴△AEK∽△CDH.∴AE CD ＝AK CH， 又∵E 是边AB 的中点，∴2AE＝AB ＝CD ，∴HC＝2AK ；②解：当点G 是BC 的中点时，如解图2，第3题解图2在▱ABCD 中，AD∥BC，AD ＝BC ，∴△AHD∽△GHF，∴AD GF ＝HD HF， 由(1)得，△ADE≌△BFE，∴AD＝BF ，又∵G 是BC 的中点，∴2BG＝AD ＝BF ，∴AD GF ＝23，∴HD＝23HF ， 如解图3，第3题解图3∵AD∥FC，∴∠ADK＝∠F，∵AK∥HC，∴∠AKH＝∠CHK，∴∠AKD＝∠CHF(等角的补角相等)，∴AD CF ＝KD HF ＝12，∴KD＝12HF ，∴HK＝HD －KD ＝16HF ，∴HD HK ＝23HF16HF＝4，∴HD＝4HK ，∴n＝4.4．(1)证明：∵在矩形ABCD 中，AD∥BC，∴∠KDO＝∠GBO，∠DKO＝∠BGO，∵点O 是BD 的中点，∴DO＝BO ，∴在△DOK 和△BOG 中，⎩⎪⎨⎪⎧∠KDO＝∠GBO，∠D KO ＝∠BGO，DO ＝BO ，∴△DOK≌△BOG(AAS )；(2)证明：∵四边形ABCD 是矩形，∴∠BAD＝∠ABC＝90°，AD∥BC，又∵AF 平分∠BAD，∴∠BAF＝∠DAF＝45°，∴∠BAF＝∠BFA，∴AB＝BF ，∵OK∥AF，AK∥FG，∴四边形AFGK 是平行四边形，∴AK＝FG ，(3)解：如解图，过点G 作GI⊥KD 于点I ，由(2)知，四边形AFGK 是平行四边形，△ABF 为等腰直角三角形．第4题解图∴AF＝KG ＝2，AB ＝22AF ＝2， ∵四边形ABCD 是矩形，∴GI＝AB ＝2，S △KDG ＝12KD·GI＝12×2×2＝ 2. ∵PD＝x ，∴PK＝2－x ，∵PM∥DG，PN∥KG，∴四边形PMGN 是平行四边形，△DKG∽△PKM∽△DPN ，∴S △DPN S △DGK ＝(x 2)2＝x 24，即S △DPN ＝x 24S △DKG ＝24x 2. 同理，S △KPM ＝2（2－x ）24， S ▱PMGN ＝S △DKG －S △DPN －S △KPM ＝2－24x 2－2（2－x ）24. 则S △PMN ＝12S ▱PMGN ＝－24x 2＋22x.(0<x<2) 5．(1)解：如解图，在BC 上取一点G ，使得CG ＝BE ，连接OB 、OC 、OG. ∵点O 为正方形ABCD 的中心，第5题解图∴OB＝OC ，∠BOC＝90°，∠OBE＝∠OCG＝45°. ∴△OBE≌△OCG(SAS )．∴∠BOE＝∠COG，∠BEO＝∠CGO，OE ＝OG.∴∠EOG＝90°，∵△BEF 的周长等于BC 的长，∴EF＝GF.∴△EOF≌△GOF(SSS )．∴∠EOF＝∠GOF＝45°.(2)证明：如解图，∵点O 为正方形ABCD 的中心， ∴∠OAE＝∠FCO＝45°.∵∠BOE＝∠COG，∠AEO＝∠BOE＋∠OBE＝∠BOE＋45°，∠COF＝∠COG＋∠GOF＝∠COG＋45°.∴∠AEO＝∠COF，且∠OAE＝∠FCO.∴△AOE∽△CFO.(3)解：∵△AOE∽△CFO，∴AO CF ＝OE FO ＝AE CO. 即AE ＝OE FO ·CO，CF ＝AO÷OE FO. ∵OE＝52OF ，∴OE FO ＝52. ∴AE＝52CO ，CF ＝25AO. AE 56．(1)证明：∵MD∥BC，∴∠DME＝∠CBA， ∵∠ACB ＝∠MED＝90°，∴△MED∽△BCA；(2)证明：∵∠ACB＝90°，点M 是斜边AB 的中点， ∴MB＝MC ＝AM ，∴∠MCB＝∠MBC，∵∠DMB＝∠MBC，∴∠MCB＝∠DMB＝∠MBC， ∵∠AMD＝180°－∠DMB，∠CMD＝180°－∠MCB－∠MBC＋∠DMB＝180°－∠MBC， ∴∠AMD＝∠CMD，在△AMD 与△CMD 中，⎩⎪⎨⎪⎧MD ＝MD ，∠AMD ＝∠CMD，AM ＝CM ，∴△AMD≌△CMD(SAS )；(3)解：∵MD＝CM ，∴AM＝MC ＝MD ＝MB ，∴MD＝12AB.由(1)可知：△MED∽△BCA，∴S 1S △ACB＝(MD AB )2＝14，∴S △ACB ＝4S 1，∵CM 是△ACB 斜边AB 上的中线，∴S △MCB ＝12S △ACB ＝2S 1，∴S △EBD ＝S 2－S △MCB －S 1＝25S 1，∵S 1S △EBD ＝ME EB ，∴S 125S 1＝ME EB ， ∴ME EB ＝52， 设ME ＝5x ，EB ＝2x ， ∴MB＝7x ，∴AB＝2MB ＝14x ， ∵MD AB ＝ME BC ＝12，7x 14x ＝5x BC ， ∴BC＝10x ，∴cos ∠ABC＝BC AB ＝10x 14x ＝57.。
初中数学几何综合题及答案
最新初中数学几何综合题及答案1、已知：如图，四边形ABCD为平行四边形，以CD为直径作⊙O，⊙O与边BC相交于点F，⊙O的切线DE与边AB相交于点E，且AE=3EB．（1）求证：△ADE∽△CDF；（2）当CF：FB=1：2时，求⊙O与▱ABCD的面积之比．解:（1）证明：∵CD是⊙O的直径，∴∠DFC=90°，∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠A=∠C，AD∥BC，∴∠ADF=∠DFC=90°，∵DE为⊙O的切线，∴DE⊥DC，∴∠EDC=90°，∴∠ADF=∠EDC=90°，∴∠ADE=∠CDF，∵∠A=∠C，∴△ADE∽△CDE；（2）解：∵CF：FB=1：2，∴设CF=x，FB=2x，则BC=3x，∵AE=3EB，∴设EB=y，则AE=3y，AB=4y，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD=BC=3x，AB=DC=4y，∵△ADE∽△CDF，∴=，∴=，∵x、y均为正数，∴x=2y，∴BC=6y，CF=2y，在Rt△DFC中，∠DFC=90°，由勾股定理得：DF===2y，∴⊙O的面积为π•（DC）2=π•DC2=π（4y）2=4πy2，四边形ABCD的面积为BC•DF=6y•2y=12y2，∴⊙O与四边形ABCD的面积之比为4πy2：12y2=π：3．2、半径为2cm的⊙O与边长为2cm的正方形ABCD在水平直线L的同侧，⊙O与L相切于点F，DC在L上.（1）过点B作⊙O的一条切线BE，E为切点.①填空：如图1，当点A在⊙O上时，∠EBA的度数是；②如图2，当E，A，D三点在同一直线上时，求线段OA的长；（2）以正方形ABCD的边AD与OF重合的位置为初始位置．．．．，向左移动正方形（图3），至边BC与OF重合时结束移动，M，N分别是边BC，AD与⊙O的公共点，求扇形MON的面积的范围.解：（1）①∵半径为2cm的与⊙O边长为2cm的正方形ABCD在水平直线l的同侧，当点A在⊙O上时，过点B作的一条切线BE，E为切点，∴OB=4，EO=2，∠OEB=90°，∴∠EBA的度数是：30°；②如图2，∵直线l与⊙O相切于点F，∴∠OFD=90°，∵正方形ADCB中，∠ADC=90°，∴OF∥AD，∵OF=AD=2，∴四边形OFDA为平行四边形，∵∠OFD=90°，∴平行四边形OFDA为矩形，∴DA⊥AO，∵正方形ABCD中，DA⊥AB，∴O，A，B三点在同一条直线上；∴EA⊥OB，∵∠OEB=∠AOE，∴△EOA∽△BOE，∴=，∴OE2=OA•OB，∴OA（2+OA）=4，解得：OA=﹣1±，∵OA＞0，∴OA=﹣1；方法二：在Rt△OAE中，cos∠EOA==，在Rt△EOB中，cos∠EOB==，∴=，解得：OA=﹣1±，∵OA＞0，∴OA=﹣1；方法三：∵OE⊥EB，EA⊥OB，∴由射影定理，得OE2=OA•OB，∴OA（2+OA）=4，解得：OA=﹣1±，∵OA＞0，∴OA=﹣1；（2）如图3，设∠MON=n°，S扇形MON=×22=n（cm2），S随n的增大而增大，∠MON取最大值时，S扇形MON最大，当∠MON取最小值时，S扇形MON最小，过O点作OK⊥MN于K，∴∠MON=2∠NOK，MN=2NK，在Rt△ONK中，sin∠NOK==，∴∠NOK随NK的增大而增大，∴∠MON随MN的增大而增大，∴当MN最大时∠MON最大，当MN最小时∠MON最小，①当N，M，A分别与D，B，O重合时，MN最大，MN=BD，∠MON=∠BOD=90°，S扇形MON最大=π（cm2），②当MN=DC=2时，MN最小，∴ON=MN=OM，∴∠NOM=60°，S扇形MON最小=π（cm2），∴π≤S扇形MON≤π．故答案为：30°．3、如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=90°．点E为底AD上一点，将△ABE沿直线BE折叠，点A落在梯形对角线BD上的G 处，EG的延长线交直线BC于点F．（1）点E可以是AD的中点吗？为什么？（2）求证：△ABG∽△BFE；（3）设AD=a，AB=b，BC=c①当四边形EFCD为平行四边形时，求a，b，c应满足的关系；②在①的条件下，当b=2时，a的值是唯一的，求∠C的度数．解：（1）不是．据题意得：AE=GE，∠EGB=∠EAB=90°，∴Rt△EGD中，GE＜ED，∴AE＜ED，故，点E不可以是AD的中点；（注：大致说出意思即可；反证法叙述也可）（2）方法一：证明：∵AD∥BC，∴∠AEB=∠EBF，∵△EAB≌△EGB，∴∠AEB=∠BEG，∴∠EBF=∠BEF，∴FE=FB，∴△FEB为等腰三角形．∵∠ABG+∠GBF=90°，∠GBF+∠EFB=90°，∴∠ABG=∠EFB，在等腰△ABG和△FEB中，∠BAG=（180°﹣∠ABG）÷2，∠FBE=（180°﹣∠EFB）÷2，∴∠BAG=∠FBE，…5分∴△ABG∽△BFE，方法二：∠ABG=∠EFB（见方法一），证得两边对应成比例：，由此可得出结论．（3）①方法一：∵四边形EFCD为平行四边形，∴EF∥DC，证明两个角相等，得△ABD∽△DCB，∴，即，∴a2+b2=ac；…8分方法二：如图，过点D作DH⊥BC，∵四边形EFCD为平行四边形∴EF∥DC，∴∠C=∠EFB，∵△ABG∽△BFE，∴∠EFB=∠GBA，∴∠C=∠ABG，∵∠DAB=∠DHC=90°，∴△ABD∽△HCD，∴，∴，∴a2+b2=ac；方法三：证明△ABD∽△GFB，则有，∴，则有BF=，∵四边形EFCD为平行四边形，∴FC=ED=c﹣，∵ED∥BC，∴△EDG∽△FBG，∴，∴，∴a2+b2=ac；…8分方法一②：解关于a的一元二次方程a2﹣ac+22=0，得：a1=，a2=由题意，△=0，即c2﹣16=0，∵c＞0，∴c=4，∴a=2…10分∴H为BC的中点，且ABHD为正方形，DH=HC，∠C=45°；方法二：设关于a的一元二次方程a2﹣ac+22=0两根为a1，a2，a1+a2=c＞0，a1•a2=4＞0，∴a1＞0，a2＞0，…9分由题意，△=0，即c2﹣16=0，∵c＞0，∴c=4，∴a=2，…10分∴H为BC的中点，且ABHD为正方形，DH=HC，∠C=45°．4、如图1，Rt△ABC两直角边的边长为AC＝1，BC＝2．图1Z O YXC BAP 1（1）如图2，⊙O 与Rt △ABC 的边AB 相切于点X ，与边CB 相切于点Y ．请你在图2中作出并标明⊙O 的圆心O ；（用尺规作图，保留作图痕迹，不写作法和证明）（2）P 是这个Rt △ABC 上和其内部的动点,以P 为圆心的⊙P 与Rt △ABC 的两条边相切．设⊙的面积为s ，你认为能否确定s 的最大值？若能，请你求出s 的最大值;若不能,请你说明不能确定s 的最大值的理由．解：(1看见垂足为Y （X ）的一 条 垂 线 (或 者∠ABC 的平分线)即评1分，(2)①当⊙P 与Rt △ABC 的边 AB 和BC 相切时，由角平分线的性质，动点P 是∠ABC 的平分线BM 上的点.如图1，在∠ABC 的平分线BM 上任意确定点P 1 (不为∠ABC 的顶点)，∵ OX ＝BOsin ∠ABM, P 1Z ＝BP 1sin ∠ABM ．当 BP 1＞BO 时 ，P 1Z ＞OX,即P 与B 的距离越大，⊙P 的面积越大． 这时，BM 与AC 的交点P 是符合题意的、BP 长度最大的点. 如图2，∵∠BPA ＞90°，过点P 作PE ⊥AB ，垂足为E ，则E 在边AB 上.∴以P 为圆心、PC 为半径作圆，则⊙P 与边CB 相切于C ，与边第23题图2图1YXC BC AA图2E图3DA AB 相切于E ，即这时的⊙P 是符合题意的圆. 这时⊙P 的面积就是S 的最大值.∵∠A ＝∠A ，∠BCA ＝∠AEP ＝90°,∴ Rt △ABC ∽Rt △APE ， ∴BCPEAB PA =. ∵AC ＝1，BC ＝2，∴AB ＝5.设PC ＝x ，则PA ＝AC －PC ＝1－x, PC ＝PE ，∴251x x =-， ∴x ＝522+ ． ②如图3，同理可得：当⊙P 与Rt △ABC 的边AB 和AC 相切时，设PC ＝y ，则152y y =-， ∴y=512+. （7分）21世纪教育网③如图4，同理可得：当⊙P 与Rt △ABC 的边BC 和AC 相切时，设PF ＝z ，则122z z =-， ∴z=32. （8分） 由①，②，③可知：∵ 5 ＞2，∴ 5＋2＞5＋1＞3，∵当分子、分母都为正数时，若分子相同，则分母越小，这个分数越大， (或者:∵x=522+=25-4, y=512+ =215- 5,∴y-x=24549->0, ∴y>x. ∵z-y=645721532-=-->0)∴52251232+>+>2， （9分，没有过程直接得出酌情扣1分）∴ z ＞y ＞x. ∴⊙P 的面积S 的最大值为π94.5、如图①，P 是△ABC 边AC 上的动点，以P 为顶点作矩形PDEF ，顶点D,E 在边BC 上，顶点F 在边AB 上；△ABC 的底边BC 及BC 上的高的长分别为a , h,且是关于x 的一元二次方程20mx nx k ++=的两个实数根，设过D,E,F 三点的⊙O 的面积为O S ๏,矩形PDEF 的面积为PDEF S 矩形。
初中数学几何综合试题1及答案
初中数学几何综合试题班级____ 学号____ 姓名____ 得分____一、 单选题(每道小题 3分 共 9分 )1. 下列各式中正确的是[ ]A.sin12=30 B.tg1=45C.tg30=3D.cos60=122. 如图,已知AB 和CD 是⊙O 中两条相交的直径,连AD 、CB 那么α和β的关系是 [ ]A B C D ....αββαβαβα=><=121223. 在一个四边形中，如果两个内角是直角，那么另外两个内角可以 [ ] A ．都是钝角 B ．都是锐角C ．一个是锐角一个是直角D ．都是直角或一个锐角一个钝角二、 填空题(第1小题 1分, 2-7每题 2分, 8-9每题 3分, 10-14每题 4分, 共 39分)1. 人们从实践经验中总结出来的图形的基本性质,我们把它叫做_______．2. 小于直角的角叫做______;大于直角而小于平角的角叫做________．3. 已知正六边形外接圆的半径为R , 则这个正六边形的周长为_______．4. 在中若则Rt ABC ,C =90,cosB =23,sinA =∆∠ .5. 如果圆的半径R 增加10% , 则圆的面积增加_____________．6. cos sin cos sin .45306030-+=7. 已知∠a=60°,∠AOB=3∠a,OC 是∠AOB 的平分线,则∠a=___∠AOC ．8. 等腰Rt △ABC, 斜边AB 与斜边上的高的和是12厘米, 则斜边AB= 厘米．9. 已知：如图△ABC 中AB=AC, 且EB=BD=DC=CF, ∠A=40°, 则∠EDF 的度数为________．10. 在同一个圆中, 当圆心角不超过180°时, 圆心角越大, 所对的弧______;所对的弦_______, 所对弦的弦心距_______．11. 如图，在直角三角形ABC 中，∠C=90°，D 、E 分别是AB 、AC 中点， AC=7，BC=4，若以C 为圆心，BC 为半径做圆，则ED 与⊙o 的位置关 系是：D 在______, E 在_____．12. 在△ABC 中,∠C=90°若a=5,则S △ABC =12.5,则c=_________,∠A=_________13. 如图：CB ⊥AB,CE 平分∠BCD,DE 平分∠CDA,∠1+∠2=90° 求证：DA ⊥AB证明：∵∠1+∠2=90°(已知)∠2=∠4,∠1=∠3(角平分线定义) ∴∠3+∠4=90°(等量代换)∴∠ADC+∠BCD=180°(等量代换) AD ∥BC( )∵BC ⊥AB(已知)∴AD ⊥AB( )14. 圆外切四边形ABCD 中，如果AB=2，BC=3，CD=8，那么 AD= ．三、 计算题(第1小题 4分, 2-3每题 6分, 共 16分)1. 求值：cos 245°+tg30°sin60°2. 已知正方形ABCD ，E 是BC 延长线上一点，AE 交CD 于F ，如果AC=CE ， 求∠AFC 的度数．3. 如图：AB 是半圆的直径，O 为圆心，C 是AB 延长线上的一点，CD 切半圆于，于，已知：，，求之长．D DE AB E EB AB CD BC ⊥==152四、 解答题(1-2每题 4分, 第3小题 6分, 第4小题 7分, 共 21分)1. 在△Rt △ABC 中,∠C=90°,AB+AC=a,∠B=a,求AC.2. 如图：铁路的路基的横截面是等腰梯形斜坡的坡度为为米基面宽米求路基的高，基底的宽及坡角的度数答案可带根号,AB 13,33,AD 2,AE BEC B .():BE3. 如图,某厂车间的人字屋架为等腰三角形,跨度AB=12米,∠A=30°,求中柱CD 和上弦AC 的长(答案可带根号)4. 如图：已知AB∥CD , ∠BAE=40°, ∠ECD=62°, EF平分∠AEC , 则∠AEF是多少度?五、证明题(第1小题 4分, 2-4每题 7分, 共 25分)1. 已知：如图 , AB=AC , ∠B=∠C．BE、DC交于O点．求证：BD=CE2. 已知：如图，PA=PB，PA切⊙O于A，BCD交⊙O于C、D，PC延长交⊙O于E，连结BE交⊙O于F．求证：DF∥PB．3. 如图：EG∥AD , ∠BFG=∠E.求证：AD平分∠BAC.4. 已知：如图 , 在∠AOB的两边OA , OB上分别截取OQ=OP , OT=OS , PT 和QS相交于点C．求证：OC平分∠AOB六、画图题(第1小题 2分, 2-3每题 4分, 共 10分)1. 已知：如图, ∠AOB求作：射线OC, 使∠AOC=∠BOC．(不写作法)2. 已知：两角和其中一个角的对边 ,求作：三角形ABC(写出已知 , 求作 , 画图,写作法)3. 如图, 要在河边修建一个水泵站, 分别向张村, 李村送水．修在河边什么地方, 可使所用的水管最短?(写出已知, 求作, 并画图)初中数学模拟考试题答案一、单选题1. D2. D3. D二、填空题1. 公理2. 锐角,钝角3. 6R4. 2 35. 0.21πR26. 21 27. 2 38. 89. 70°10. 越长, 越长, 越短11. 在圆外，在圆内12. 5245,13. 同旁内角互补,两直线平行；一条直线和两条平行线中的一条垂直,也和另一条垂直14. 7三、计算题1. 解：原式=+⨯=+=()2233321212122. 解：∵AC=CE 则∠1=∠2 又∵∠ACE=135°∴∠1=(180°-135°)÷2=22.5°故∠AFC=180°-(45°+22.5°)=112.5°3. 解：如图，连结、，为直径∴又∵，∽∴·同理·而，∴··∴：：∵切半圆于，∽，：：：AD DB ABADBDE AB ADE ABDADABAEADAD AE ABBD BE AB BE ABADBDAE ABBE ABC CAD BDCD D CDB A ADC DBC DC BC AD BD CDBC∠=⊥======∠=∠=∠=∠====︒9015412121212222∆∆∆∆四、解答题1. 解：在中则即即Rt ABC CACABAC ABACaACACa∆∠==+=+=+=+∴90111sinsinsinsinsinsinsinααααααα2. 解：米米AEAEBCB3313326330===+∠=∴()()()3. CDAC为米为米2343解：过E作EG∥AB∵∠BAE=40°∴∠AEG=40°同理∠CEG=62°∴∠AEC=102°又∵EF平分∠AEC ∴∠AEF=51°五、证明题4.1. 证：∵∠A=∠A , AB=AC , ∠B=∠C．∴△ADC≌△AEB(ASA)∴AD=AE∵AB=AC,∴BD=CE．2. 证明：如图，切⊙于，交⊙于、，又的公用∽又∥PA O A BCD O C DAP PC PEPA PB PB PC PEPBPCPEPBBPC PBC PEBEE BDF BDF DF PB∴=⋅=∴=⋅∴=∠∴∴∠=∠∴∠=∠∴∠=∠∴2211∆∆证明：∵∠BFG=∠E=∠EFAEG∥AD∴∠E=∠DAC ∠BFG=∠BAD∴AD平分∠BAC4. 证：作射线OC , 连结TS．在△SOP和△TOQ中 ,OS=OT , OQ=OP , ∠AOB=∠BOA．∴△SOP≌△TOQ(SAS) ∴∠1=∠2．∵OT=OS , ∴∠OST=∠OTS3.∴∠3=∠4 ∴CT=CS∵OC=OC , OS=OT , CT=CS∴△OCS≌△OCT (SSS)∴∠5=∠6∴OC平分∠AOB六、画图题1. 射线OC为所求．2. 已知：∠a、∠b、线段a求作：△ABC使∠A=∠a , ∠B=∠b, BC=a作法：1.作线段BC=a2.在BC的同侧作∠DBC=∠b,∠ECB=180-∠a-∠b,BD和CE交于A, 则△ABC为所求的三角形．3. 已知：直线a和a的同侧两点A、B．求作：点C, 使C在直线a上, 并且AC+BC最小．作法：1.作点A关于直线a的对称点A'．2.连结A'B交a于点C．则点C就是所求的点．证明：在直线a上另取一点C', 连结AC,AC', A'C', C'B．∵直线a是点A, A'的对称轴, 点C, C'在对称轴上∴AC=A'C, AC'=A'C'∴AC+CB=A'C+CB=A'B在△A'C'B中,∵A'B＜A'C'+C'B∴AC+CB＜AC'+C'B即AC+CB最小．。
初中数学四边形、三角形几何综合题目汇总(动点、旋转)大全
初中数学几何四边形、三角形综合题大全（含动点、旋转等类型）如图，在平行四边形ABCD中，∠BAD的平分线交BC于点E，交DC的延长线于点F．(1)若AB＝4，BC＝6，求EC的长；(2)若∠F＝55°，求∠BAE和∠D的度数．如图，在△ABC中，AD是边BC上的中线，过点A作AE∥BC，过点D作DE∥AB，DE与AC、AE分别交于点O、E，连接EC．(1)求证：AD＝EC．(2)当∠BAC＝90°时，证明四边形ADCE是菱形．如图．在△ABC中，D是AB的中点．E是CD的中点，过点C作CF∥AB 交AE的延长线于点F，连接BF．（1）求证：DB=CF；（2）如果AC=BC．试判断四边形BDCF的形状．并证明你的结论．已知四边形ABCD是正方形，M、N分别是边BC、CD上的动点，正方形ABCD的边长为4cm．（1）如图①，O是正方形ABCD对角线的交点，若OM⊥ON，求四边形MONC的面积；（2）连接线段MN,探究当MN取到最小值时,判断MN与对角线BD 的数量关系和位置关系，并说明你的理由．已知四边形ABCD 是边长为2的菱形，∠BAD =60°，对角线AC 与BD 交于点O ，过点O 的直线EF 交AD 于点E ，交BC 于点F ．（1）求证：△AOE ≌△COF ；（2）若∠EOD =30°，求CF 的长．已知，如图，在Rt △ABC 中，CD 是斜边上的中线，DE ⊥AB 交BC 于点F ，交AC 的延长线于点E ．(1)△ADE ∽△FDB 吗?为什么?(2)你能推出结论CD 2=DE ·DF 吗?请试一试．如图，在四边形ABCD 中，AC 、BC 相交于点O ，∠ABD=∠ACD ，试找出图中的相似三角形，并加以证明．如图，E 、F 是□ABCD 的对角线AC 上的两点，且AE =CF ．请你以点F 为一个端点与图中已标明字母的某一点连成一条线段，猜想并说明它与图中已有的某一条线段相等（只需说明一组线段相等即可）．（1）连结；（2）猜想：=；（3）证明：如图，将?ABCD 的边DC 延长到点E ，使CE=DC ，连接AE ，交BC 于点F ．（1）求证：△ABF ≌△ECF ；（2）若∠AFC=2∠D ，连接AC 、BE ，求证：四边形ABEC 是矩形．ODCBABCDE FA在平行四边形ABCD中，过点D作DE⊥AB于点E，点F 在边CD上，DF=BE，连接AF，BF．（1）求证：四边形BFDE是矩形；（2）若CF=3，BF=4，DF=5，求证：AF平分∠DAB如图，在四边形ABCD中，∠ABC=90°，AC=AD，M，N分别为AC，AD的中点，连接BM，MN，BN．(1)求证：BM=MN；(2) ∠BAD=60°，AC平分∠BAD ，AC=2，求BN的长。
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中考数学复习--几何综合题
Ⅰ、综合问题精讲：
几何综合题是中考试卷中常见的题型，大致可分为几何计算型综合题与几何论证型综合题，它主要考查学生综合运用几何知识的能力，这类题往往图形较复杂，涉及的知识点较多，题设和结论之间的关系较隐蔽，常常需要添加辅助线来解答．解几何综合题，一要注意图形的直观提示；二要注意分析挖掘题目的隐含条件、发展条件，为解题创造条件打好基础；同时，也要由未知想需要，选择已知条件，转化结论来探求思路，找到解决问题的关键． 解几何综合题，还应注意以下几点：
⑴ 注意观察、分析图形，把复杂的图形分解成几个基本图形，通过添加辅助线补全或构造基
本图形．
⑵ 掌握常规的证题方法和思路．
⑶ 运用转化的思想解决几何证明问题，运用方程的思想解决几何计算问题．还要灵活运用数
学思想方法伯数形结合、分类讨论等）．
Ⅱ、典型例题剖析
【例1】（南充，10分）⊿ABC 中，AB ＝AC ，以AC 为直径的⊙O 与AB 相交于点E ，点F 是
BE 的中点．
（1）求证：DF 是⊙O 的切线．（2）若AE ＝14，BC ＝12，求BF 的长．
解：（1）证明：连接OD ，AD ． AC 是直径，
∴ AD⊥BC． ⊿ABC 中，AB ＝AC ，
∴ ∠B＝∠C，∠BAD＝∠DAC．
又∠BED 是圆内接四边形ACDE 的外角，
∴∠C ＝∠BED ．
故∠B ＝∠BED ，即DE ＝DB ．
点F 是BE 的中点，DF ⊥AB 且OA 和OD 是半径，
即∠DAC ＝∠BAD ＝∠ODA ．
故OD ⊥DF ，DF 是⊙O 的切线．
（2）设BF ＝x ，BE ＝2BF ＝2x ．
又 BD ＝CD ＝21BC ＝6， 根据BE AB BD BC ⋅=⋅，2(214)612x x ⋅+=⨯．
化简，得 27180x x +-=，解得 122,9x x ==-（不合题意，舍去）．
则 BF 的长为2．
点拨：过半径的外端且垂直于半径的直线才是切线，所以要证明一条直线是否是此圆的切线，应满足这两个条件才行．
【例2】（重庆，10分）如图，在△ABC 中，点E 在BC 上，点D
在AE 上，已知∠ABD ＝∠ACD,∠BDE ＝∠CDE ．求证：BD ＝CD 。
证明：因为∠ABD＝∠ACD，∠BDE＝∠CDE 而∠BDE＝∠ABD＋∠BAD，∠CDE＝∠ACD＋∠CAD
所以 ∠BAD＝∠CAD，而∠ADB＝180°－∠BDE
∠ADC＝180°－∠CDE，所以∠ADB ＝∠ADC
在△ADB 和△ADC 中，
∠BAD＝∠CAD
AD ＝AD
∠ADB ＝∠ADC
所以 △ADB≌△ADC 所以 BD ＝CD 。
（注：用“AAS”证三角形全等，同样给分）
点拨：要想证明BD=CD ，应首先观察它们所在的图形之间有什么联系，经观察可得它们所在的三角形有可能全等．所以应从证明两个三角形全等的角度得出，当然此题还可以采用“AAS ”来证明．
【例3】（内江，10分）如图⊙O 半径为2，弦BD ＝32，A 为弧BD
的中点，E 为弦AC 的中点，且在BD 上。
求：四边形ABCD 的面积。
解:连结OA 、OB ，OA 交BD 于F 。
⎭
⎬⎫===⊥⇒2 3,BD A OB FD BF BD OF 的中点为弧 1AF 1OF =⇒=⇒ ABD 1S BD AF 32
∆⇒=⋅=ADE CDE ABE CBE AE CE S S ,S S ∆∆∆∆=⇒==322S S ABD ABCD ==⇒∆四边形
【例4】（博兴模拟，10分）国家电力总公司为了改善农村用电电费过高的现状，目前正在
全国各地农村进行电网改造．莲花村六组有四个村庄A 、B 、CD 正好位于一个正方形的四个顶点．现计划在四个村庄联合架一条线路，他们设计了四种架设方案，如图2－4－4中的实线部分．请你帮助计算一下，哪种架设方案最省电线．
A
B C D
E
解：不妨设正方形的边长为1，显然图2－4－4⑴、⑵中的线路总长相等都是3．图2－4－4⑶中，利用勾股定理可求得线路总长为2 2 ≈2．828．
图2－4－4（4）中，延长EF交BC于H，由∠FBH＝30°，BH=1
2
，
利用勾股定理，可求得333
121 FH EF FH
∴=-=
所以⑷中线路总长为：4EF+EF=433
(113 2.732.
-=+≈
显然图2－4－4⑷线路最短，这种方案最省电线．
点拨：解答本题的思路是：最省电线就是线路长最短，通过利用勾股未理讲行计算线路长，然后通过比较，得出结论．
【例5】（绍兴）如图矩形ABCD中，过A，B两点的⊙O切CD于E，交BC于F，AH⊥BE于H，连结EF。
⑴求证：∠CEF＝∠BAH,⑵若BC＝2CE＝6，求BF的长。
⑴证明：∵CE切⊙O于E，
∴∠CEF=∠EBC，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ABC=90°
∴∠ABE+∠EBC=90°，
∵AH丄BE，∴∠ABE+∠BAH=90°
∴∠BAH=∠EBC，∴∠CEF＝∠BAH
⑵解：∵CE切⊙O于E
∴CE2=CF·BC，BC=2CE=6
∴CE2=CF·6，所以CF= 3
2∴BF=BC-CF=6－
3
2
=
9
2
点拨：熟练掌握切线的性质及切线长定理是解决此题的关键．。