河北省衡水市冀州中学2015届高三上学期第三次月考文科数学试题

冀州中学2015届高三上学期第三次月考数学试题（文）一、选择题（每题5分，共60分）1．已知集合{}220M x x x =+-<，12,2x N x ⎧⎫=<⎨⎬⎩⎭则MN =A ．(1,1)-B ．(2,1)-C ．(2,1)--D ．(1,2)2. 在复平面内，复数21ii-对应的点的坐标为 ( ) A ．（-1，1） B.（1，1） C.（1，-1） D.（-1，-1）3．若sin601233,log cos 60,log tan 30a b c ===，则（ ）A ．a b c >>B ．b c a >>C ．c b a >>D ．b a c >>4．关于函数x x x f ln 2)(+-= ，下列说法正确的是（ ） A. 无零点 B. 有且仅有一个零点 C. 有两个零点21,x x ，且0)1)(1(21>--x x D. 有两个零点21,x x ，且0)1)(1(21<--x x5．已知,,l m n 是三条不同的直线，,αβ是两个不同的平面，下列命题为真命题的是A ．若l m ⊥，l n ⊥，m α⊂，n α⊂，则l α⊥B ．若l α⊥，α∥β，m β⊂，则l m ⊥C ．若l ∥m ，m α⊂，则l ∥αD ．若l α⊥，αβ⊥，m β⊂，则l ∥m6．已知数列{}n a 满足,2,011n a a a n n +==+那么2009a 的值是（ ） A ．20092 B ．2008×2007 C ．2009×2010D ．2008×20097. 以双曲线221916x y -=的右焦点为圆心，且与其渐近线相切的圆的方程是（ ）A ．221090x y x +-+=B ．2210160x y x +-+=C ．2210160x y x +++=D ．221090x y x +++= 8．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（ ）（A ）180 （B ）200 （C ）220 （D ）2409．如图所示，在边长为2的菱形ABCD 中，60ABC ∠=，对角线相交于点,O P 是线段BD 的一个三等分点，则 AP AC ⋅u u u v u u u v等于( )A ． 1B ．2C ． 3D ． 410.若关于x 的不等式m m x x 29222+<++有实数解，则实数m 的取值范围是( )A.),2()4,(+∞⋃--∞B.(][)+∞⋃-∞-,24,C.)2,4(-D.(][)+∞⋃-∞-,42, 11. 已知{}n a 为等差数列，若15141a a <-，且它的前n 项和n S 有最小值，那么当n S 取到最小正值时，n =（ ）A.14B.27C.28D.2912．椭圆22221(0)x y a b a b +=>>上一点A 关于原点的对称点为B ，F 为其左焦点，若AF BF ⊥,设6ABF π∠=，则该椭圆的离心率为 （ ）A B 1 C D ．1-二、填空题（每题5分，共20分）13．若甲、乙、丙三人随机地站成一排，则甲、乙两人相邻而站的概率为 ．14. 阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，若输入n 的值为 9，则输出S 的值为________．15.设正实数x,y,z 满足x 2-3xy+4y 2-z=0,则当zxy 取得最小值时,x+2y-z 的最大值为__________16. 已知()2x f x =()x R ∈可以表示为一个奇函数()g x 与一个偶函数()h x 之和，若不等式()()20a g x h x ⋅+≥对于[,]12x ∈恒成立，则实数a 的取值范围是________三、解答题（共70分） 17．（本小题满分12分）（1）求函数()f x 的最小正周期和单调递减区间；（2）设△ABC 的内角A B C ，，的对边分别为a b c ，，且()0f C =，若sin 2sin B A =，求a b ，的值．18. (本小题满分12分)如图, 四棱柱ABCD -A 1B 1C 1D 1的底面ABCD 是正方形, O 为底面中心, A 1O ⊥平面ABCD , AB=2,AA 1=2. （1）证明：AA 1⊥BD(2) 证明: 平面A 1BD // 平面CD 1B 1; (3) 求三棱柱ABD -A 1B 1D 1的体积. 19．（本小题12分）已知袋子中放有大小和形状相同的小球若干，其中标号为0的小球1个，标号为1的小球1个，标号为2的小球n 个。

若从袋子中随机抽取1个小球，取到标号为2的小球的概率为12。

（1）求n 的值；（2）从袋子中不放回．．．地随机抽取2个小球，记第一次取出的小球的标号为a ，第二次取出的小球的标号为b 。

记“2a b +=”为事件A ，求事件A 的概率. 20．（本小题满分12分）已知圆C ：(x －1)2＋(y －1)2＝2经过椭圆Γ∶x 2a 2＋y 2b2＝1(a>b>0)的右焦点F 和上顶点B.(1)求椭圆Γ的方程；(2)如图，过原点O 的射线l 与椭圆Γ在第一象限的交点为Q ，与圆C 的交点为P ，M 为OP 的中点， 求OM→·OQ →的最大值．21．(本小题满分12分)已知函数321()3f x x x ax =++. （1）若()f x 在区间[1,)+∞单调递增，求a 的最小值； （2）若()x x g x e =，对1211[,2],[,2]22x x ∀∈∃∈，使12()()f x g x '≤成立，求a 的范围.请考生在第22、23、24三题中任选一题作答,如果多做,则按所做第一题计分. 22．(本小题满分10分)选修4－1：几何证明选讲 如图，⊙O 过平行四边形ABCT 的三个顶点B ，C ，T ，且与AT 相切，交AB 的延长线于点D . (1)求证：AT 2＝BT ·AD ；(2)E 、F 是BC 的三等分点，且DE ＝DF ，求∠A .ABC D A 1B 1C 1D 1O23.(本小题满分10分)选修4－4：坐标系与参数方程在直角坐标系中，以原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，一曲线C ：2sin 2cos a ρθθ=(a ＞0)，过点P (－2，－4)的直线l的参数方程为24x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩(t 为参数)，l 与C 分别交于M ，N .(1)写出C 的平面直角坐标系方程和l 的普通方程； (2)若|PM |，|MN |，|PN |成等比数列，求a 的值.24. (本小题满分10分)选修4－5：不等式选讲设函数()f x .（1）当5a =时，求函数()f x 的定义域；（2）若函数()f x 的定义域为R ，试求a 的取值范围。

冀州中学2015届高三上学期第三次月考数学试题（文）答案CAADB DADBA CB13． 2314. 1067 15. 2 16. 176a ≥-17．（Ⅰ）1()2cos 21sin(2)126f x x x x π=--=-- （3分） ∴函数f (x )的最小正周期22T ππ== 令3222,()262k x k k Z πππππ+≤-≤+∈，解得5.36k x k ππππ+≤≤+ ∴函数f (x )的单调递减区间是5[,],36k k k Z ππππ++∈ （6分）（Ⅱ）由f (C ) = 0，得sin(2)1,6c π-=，在△ABC 中，0C π<< 1122666C ππππ∴-<-<+262C ππ∴-=，解得.3C π=又b a sin 2sin 2B A ==得.（12分）18. （1）证明：∵底面ABCD 是正方形∴BD ⊥AC又∵A 1O ⊥平面ABCD BD ⊂面ABCD ∴A 1O ⊥BD又∵A 1O∩AC=O A 1O ⊂面A 1AC ，AC ⊂面A 1AC ∴BD ⊥面A 1AC AA 1⊂面A 1AC∴AA 1⊥BD ……………………………………………………………………4分 (2)∵A 1B 1∥AB AB ∥CD ∴A 1B 1∥CD 又A 1B 1=CD ∴四边形A 1B 1CD 是平行四边形∴A 1D ∥B 1C 同理A 1B ∥CD 1∵A 1B ⊂平面A 1BD, A 1D ⊂平面A 1BD, CD 1⊂平面CD 1B 1, B 1C ⊂平面CD 1B且A 1B ∩ A 1D=A 1 CD 1∩B 1C=C∴平面A 1BD // 平面CD 1B 1……………………………………………………8分 (3) ∵A 1O ⊥面ABCD ∴A 1O 是三棱柱A 1B 1D 1-ABD 的高.在正方形AB CD 中,AO = 1 . 在RT △A 1OA 中，AA 1=2，AO = 1 ∴A 1O= 3 ∴V 三棱柱=ABD S ∆·A 1O=12·(2)2· 3 = 3所以, 三棱柱ABD -A 1B 1D 1的体积为 3 . ………………………………12分 19．解：（1）由题意，1112n n =++，2n ∴=（2）将标号为2的小球记为1a ,2a ,两次不放回的取小球的所有基本事件为: （0,1）,（0, 1a ）,（0, 2a ）,（1,0）,（1, 1a ）,（1, 2a ）,（1a ,0）,（ 1a ,1）,（ 1a ,2a ）,（2a ,0）,（ 2a ,1），（2a ,1a ）,共12个基本事件。

A 包含的基本事件为: （0, 1a ）,（0, 2a ）,（1a ,0）, （2a ,0）.4()12P A ∴=13= 20．【解析】(1)在C ：(x －1)2＋(y －1)2＝2中，令y ＝0得F(2，0)，即c ＝2，令x ＝0，得B(0，2)，b ＝2，由a 2＝b 2＋c 2＝8，∴椭圆Γ：x 28＋y 24＝1. (4分)(2)法一：依题意射线l 的斜率存在，设l ：y ＝kx(x>0，k>0)，设P(x 1，kx 1)，Q(x 2，kx 2) 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx x 28＋y 24＝1得：(1＋2k 2)x 2＝8，∴x 2＝221＋2k 2. (6分) ABC DA 1B 11D 1 O由⎩⎨⎧y ＝kx （x －1）2＋（y －1）2＝2得：(1＋k 2)x 2－(2＋2k)x ＝0，∴x 1＝2＋2k 1＋k 2， ∴OM →·OQ →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x 12，kx 12·(x 2，kx 2)＝12(x 1x 2＋k 2x 1x 2)＝221＋k 1＋2k 2(k>0). (9分) ＝22（1＋k ）21＋2k 2＝22k 2＋2k ＋11＋2k 2.设φ(k)＝k 2＋2k ＋11＋2k 2，φ′(k)＝－4k 2－2k ＋2（1＋2k 2）2，令φ′(k)＝－4k 2－2k ＋2（1＋2k 2）2>0，得－1<k<12. 又k>0，∴φ(k)在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12上单调递增，在⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞上单调递减．∴当k ＝12时，φ(k)max ＝φ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝32，即OM→·OQ →的最大值为2 3. (12分)法二：依题意射线l 的斜率存在，设l ：y ＝kx(x>0，k>0)，设P(x 1，kx 1)， Q(x 2，kx 2) 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx x 28＋y 24＝1得：(1＋2k 2)x 2＝8，∴x 2＝221＋2k 2. (6分) OM →·OQ →＝(OC →＋CM →)·OQ→＝OC →·OQ → ＝(1，1)·(x 2，kx 2)＝(1＋k)x 2＝221＋k 1＋2k 2(k>0)＝22（1＋k ）21＋2k 2. (9分)设t ＝1＋k(t>1)，则（1＋k ）21＋2k 2＝t 22t 2－4t ＋3＝12－4⎝ ⎛⎭⎪⎫1t ＋3⎝ ⎛⎭⎪⎫1t 2＝13⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝⎛⎭⎪⎫1t －232＋23≤32.当且仅当1t ＝23时，(OM →·OQ →)max＝2 3. (12分)21．解：（1）由2()20f x x x a '=++≥在[1,)+∞恒成立得：2(1)1a x ≥-++ 而2(1)1y x =-++在[1,)+∞单调递减，从而max 3y =-， ∴3a ≥- ∴min 3a =- ……………………6分（2）对1211[,2],[,2]22x x ∀∈∃∈，使12()()f x g x '≤∴max max [()][()]f x g x '≤2()(1)1f x x a '=++-在1[,2]2单调递增∴/max ()(2)8f x f a '==+…………………………8分又21()x x x x e xe xg x e e--'==∴()g x 在(,1)-∞单调递增，在(1,)+∞单调递减∴在1[,2]2上，max 1()(1)g x g e ==∴18a e +≤则18a e ≤-…………12分22解：（Ⅰ）证明：因为∠A ＝∠TCB ，∠ATB ＝∠TCB ， 所以∠A ＝∠ATB ，所以AB ＝BT . 又AT 2＝AB ⋅AD ，所以AT 2＝BT ⋅AD ． …4分（Ⅱ）取BC 中点M ，连接DM ，TM ． 由（Ⅰ）知TC ＝TB ，所以TM ⊥BC ．因为DE ＝DF ，M 为EF 的中点，所以DM ⊥BC ． 所以O ，D ，T 三点共线，DT 为⊙O 的直径． 所以∠ABT ＝∠DBT ＝90︒. 所以∠A ＝∠ATB ＝45︒.…10分23.解：（Ⅰ）曲线C 的直角坐标方程为y 2＝2ax （a ＞0）； 直线l 的普通方程为x －y －2＝0．…4分（Ⅱ）将直线l 的参数方程与C 的直角坐标方程联立，得 t 2－2(4＋a )2t ＋8(4＋a )＝0 （*） △＝8a (4＋a )＞0． 设点M ，N 分别对应参数t 1，t 2，恰为上述方程的根． 则|PM |＝|t 1|，|PN |＝|t 2|，|MN |＝|t 1－t 2|． 由题设得(t 1－t 2)2＝|t 1t 2|，即(t 1＋t 2)2－4t 1t 2＝|t 1t 2|． 由（*）得t 1＋t 2＝2(4＋a )2，t 1t 2＝8(4＋a )＞0，则有 (4＋a )2－5(4＋a )＝0，得a ＝1，或a ＝－4． 因为a ＞0，所以a ＝1．…10分24.解：（1）当5a =时，()f x ， 由1250x x +++-≥得1220x x ≥-⎧⎨-≥⎩或2120x -≤<-⎧⎨-≥⎩或2820x x <-⎧⎨--≥⎩，解得1x ≥或4x ≤-即函数()f x 的定义域为{}14x x x ≥≤-或。