吉林大学2005级《离散数学II》期末考试试题(A)
离散数学期末考试试题(有几套带答案)
离散数学试题(A卷及答案）一、证明题（10分）1)(⌝P∧(⌝Q∧R))∨(Q∧R)∨(P∧R)⇔R证明: 左端⇔(⌝P∧⌝Q∧R)∨((Q∨P)∧R)⇔((⌝P∧⌝Q)∧R))∨((Q∨P)∧R) ⇔(⌝(P∨Q)∧R)∨((Q∨P)∧R)⇔(⌝(P∨Q)∨(Q∨P))∧R⇔(⌝(P∨Q)∨(P∨Q))∧R⇔T∧R(置换)⇔R2)∃x(A(x)→B(x))⇔∀xA(x)→∃xB(x)证明：∃x(A(x)→B(x))⇔∃x(⌝A(x)∨B(x))⇔∃x⌝A(x)∨∃xB(x)⇔⌝∀xA(x)∨∃xB(x)⇔∀xA(x)→∃xB(x)二、求命题公式(P∨(Q∧R))→(P∧Q∧R)的主析取范式和主合取范式（10分）证明：(P∨(Q∧R))→(P∧Q∧R)⇔⌝(P∨(Q∧R))∨(P∧Q∧R))⇔（⌝P∧(⌝Q∨⌝R)）∨(P∧Q∧R)⇔(⌝P∧⌝Q)∨(⌝P∧⌝R))∨(P∧Q∧R)⇔(⌝P∧⌝Q∧R)∨(⌝P∧⌝Q∧⌝R)∨(⌝P∧Q∧⌝R))∨(⌝P∧⌝Q∧⌝R))∨(P∧Q∧R)⇔m0∨m1∨m2∨m7⇔M3∨M4∨M5∨M6三、推理证明题（10分）1）C∨D, (C∨D)→⌝E, ⌝E→(A ∧⌝B), (A∧⌝B)→(R∨S)⇒R∨S证明：(1) (C∨D)→⌝E (2) ⌝E→(A∧⌝B)(3) (C∨D)→(A∧⌝B)(4) (A∧⌝B)→(R∨S)(5) (C∨D)→(R∨S)(6) C∨D(7) R∨S2) ∀x(P(x)→Q(y)∧R(x))，∃xP(x)⇒Q(y)∧∃x(P(x)∧R(x)) 证明（1）∃xP(x)(2)P(a)(3)∀x(P(x)→Q(y)∧R(x))(4)P(a)→Q(y)∧R(a) (5)Q(y)∧R(a)(6)Q(y)(7)R(a)(8)P(a)(9)P(a)∧R(a)(10)∃x(P(x)∧R(x))(11)Q(y)∧∃x(P(x)∧R(x))四、设m是一个取定的正整数，证明：在任取m＋1个整数中，至少有两个整数，它们的差是m的整数倍证明设1a，2a，…，1+m a为任取的m＋1个整数，用m去除它们所得余数只能是0，1，…，m－1，由抽屉原理可知，1a，2a，…，1+m a这m＋1个整数中至少存在两个数sa和t a，它们被m除所得余数相同，因此s a和t a的差是m的整数倍。
本部_离散数学II_试卷_a_答案
计算机学院、系2005 /2006 学年（1 ）学期期末考试试卷《离散数学II 》试卷（A 卷）专业年级班级姓名学号题号一二三四五六七八九十总分得分一、单选题(在每小题的四个备选答案中，选出一个最正确的答案，并将答案的序号填在题干的括号内。
每小题2分，共24分)1、由r棵树组成的森林的顶点数n与边数m有下列关系（ B ）。
A．n=m-r B．n=m+r C．n=m-1 D．m+n+r=02、若无向图G中不含孤立点，且存在一条经过所有边的闭路径，则（ B ）。
A．G必为哈密顿图B．G必为欧拉图C．G必为不连通图D．G必为简单图3、下图是（ C ）。
A．强连通B．单侧连通C．弱连通D．不连通4、以下是简单图的度序列的是（ C ）。
A．(5,4,3,2,2,2,1) B．(7,6,5,4,4,3,1) C．(6,43,3,3,2,1) D．(6,6,4,3,2,2,1)5、下列无向图中，不．是哈密顿图的是（ B ）。
6、满足下列条件（ A ）的无向图不一定是树。
A．边数=顶点数-1 B．任意一对结点间有且仅有一条通路C．连通且无回路D．无回路，但添加任何一条边后必产生唯一回路7、设<S,*>为一代数系统，S={e,a,b}。
*运算定义如下。
则（ D ）为其子代数。
*e a be b b ea eb ab b e eA．<{e,a,b},⊙> B．<{a,b},*> C．<{e,a},*> D．<{e,b},*>8、以下代数系统中，群是（ D ）。
*a b c d*a b c da abcd a a b c db b e ac b b b b bc cd b a c c b a dd d ae b d d b c aA B*a b c d*a b c da abcd a b a d cb b a dc b a b c dc cd c a c d c a bd d c b a d c d b aC D9、设<S,*>为一代数系统，a∈S，则（ A ）。
吉林大学2005级《离散数学II》期末考试试题（A）
吉林大学2005级《离散数学II》期末考试试题（A）一、综合题（30分，每题3分）1.求（1 3 5）（2 5 4）（3 4）.2.只有两个生成元的循环群一定是有限循环群吗？并说明理由.3.有限循环群中是否一定存在周期与群的元数相等的元素?4.下面哪个是域GF(16)的真子域.(A). GF(6)；(B). GF(4)；(C). GF(8)；(D). GF(16).5.有限布尔代数的元素个数必定是如下哪个形式？(A). 2n；(B). n2；(C). 2n；(D). 4n.6.下列代数系统(S,*)中，哪个是群？(A). S={0,1,3,5}，*是模7的乘法；(B). S是有理数集合，*运算是普通乘法;(C). S是整数集合，*是普通乘法；(D). S={1,3,4,5,9}，*是模11的乘法。
7.设A={0，1，2，3，4}，运算为模5加法，请给出A的所有子群.8.n元恒等置换是奇置换还是偶置换？对换呢？9.请出给一个有余，但不是分配格的例子.10.设R是模12的整数环，R={0,1,2,…，11}，下面哪一个是极大理想(A). 6R；(B). 2R；(C). 4R；(D). 8R.二、计算题（25分，每题5分）1.计算分圆多项式Ф24(x).2.设（Z，+）为整数加法群，（C*，·）为非零复数的乘法群，令f：n→i n，是Z到C*中的同态映射，请求出f的同态核.3.在R5上求x+2除2x5+ 4x3 + 3x2+ 1所得的商式和余式.4.设G是3次对称群，H是由I和（13）作成的子群，求H的所有右陪集.5.设A={0，1，2，3，4，5}，运算为模6加法，请给出A中所有元素的周期.三、（10分）证明或者反驳：f(x)= 3x5+5x2+1在R0上不可约.四、（10分）设（G, *）是群，（A,*）和（B,*）是它的两个子群，C={a*b|a∈A, b∈B }。
证明：若*满足交换律，则（C,*）也是（G, *）的子群.五、（10分）设Z是整数集合，X={(a, b) a,b∈Z}，定义X上的二元运算⊕和?如下；对任意(a1,b1)，(a2,b2) ∈X，有：(a1,b1) ⊕(a2,b2)=(a1+a2,b1+b2), (a1,b1) ? (a2,b2)=(a1?a2,b1?b2)，其中+，?分别是整数加法与乘法。
离散数学期末考试试题(配答案)
离散数学期末考试试题(配答案)1. 谓词公式)()(x xQ x xP ∃→∀的前束范式是___________。
2. 设全集{}{}{},5,2,3,2,1,5,4,3,2,1===B A E 则A ∩B =____；=A _____；=B A Y __ _____3. 设{}{}b a B c b a A ,,,,==；则=-)()(B A ρρ__ __________；=-)()(A B ρρ_____ ______。
二．选择题（每小题2分；共10分）1. 与命题公式)(R Q P →→等价的公式是（ ）（A ）R Q P →∨)( （B ）R Q P →∧)( （C ）)(R Q P ∧→ （D ）)(R Q P ∨→ 2. 设集合{}c b a A ,,=；A 上的二元关系{}><><=b b a a R ,,,不具备关系( )性质 （A ） (A)传递性 (B)反对称性 (C)对称性 (D)自反性 三．计算题（共43分）1. 求命题公式r q p ∨∧的主合取范式与主析取范式。
（6分）2. 设集合{}d c b a A ,,,=上的二元关系R 的关系矩阵为⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=1000000011010001R M ；求)(),(),(R t R s R r 的关系矩阵；并画出R ；)(),(),(R t R s R r 的关系图。
（10分）5. 试判断),(≤z 是否为格？说明理由。
（5分）（注：什么是格？Z 是整数；格：任两个元素；有最小上界和最大下界的偏序）四．证明题（共37分）1. 用推理规则证明D D A C C B B A ⌝⇒∧⌝⌝⌝∧∨⌝→)(,)(,。
（10分）2. 设R 是实数集；b a b a f R R R f +=→⨯),(,:；ab b a g R R R g =→⨯),(,:。
求证：g f 和都是满射；但不是单射。
（10分）一；1； _ ∃x ∃y¬P(x)∨Q(y)2； {2} {4；5} {1；3；4；5}3； {{c}；{a ；c}；{b ；c}；{a ；b ；c}} Φ_ 二；B D三；解：主合取方式：p ∧q ∨r ⇔(p ∨q ∨r)∧(p ∨¬q ∨r)∧(¬p ∨q ∨r)= ∏0.2.4主析取范式：p ∧q ∨r ⇔(p ∧q ∧r) ∨(p ∧q ∧¬r) ∨(¬p ∧q ∧r) ∨(¬p ∧¬q ∧r) ∨(p ∧¬q ∧r)= ∑1.3.5.6.7 四；1；证明：编号 公式 依据 （1） （¬B∨C ）∧¬C 前提 （2） ¬B∨C ；¬C （1） （3） ¬B （2） （4） A →B （3） （5） ¬A （3）（4） （6） ¬（¬A∧D ） 前提 （7） A ∨¬D （6） （8）¬D （5）（6）2；证明：要证f 是满射；即∀y ∈R ；都存在（x1；x2）∈R ×R ；使f （x1；x2）=y ；而f （x1；x2）=x1+x2；可取x1=0；x2=y ；即证得；再证g 是满射；即∀y ∈R ；；都存在（x1；x2）∈R ×R ；使g （x1；x2）=y ；而g （x1；x2）=x1x2；可取x1=1；x2=y ；即证得；最后证f 不是单射；f （x1；x2）=f （x2；x1）取x1≠x2；即证得；同理：g （x1；x2）=g （x2；x1）；取x1≠x2；即证得。
离散期末考试题及答案
离散期末考试题及答案离散数学期末考试题及答案一、选择题（每题2分，共20分）1. 在集合论中，以下哪个符号表示属于关系？A. ∈B. ∉C. ⊆D. ⊂答案：A2. 有限集合A和B的并集，其元素个数最多是A和B元素个数之和，这个性质称为：A. 德摩根定律B. 幂集C. 并集原理D. 子集原理答案：C3. 命题逻辑中，以下哪个命题是真命题？A. (p ∧ ¬p) ∨ qB. (p ∨ ¬p) ∧ qC. (p ∨ q) ∧ ¬pD. (p ∧ q) ∨ ¬p答案：B4. 在图论中，一个无向图的边数至少是顶点数的多少倍才能保证图中至少存在一个环？A. 1B. 2C. 3D. 4答案：B5. 以下哪个算法用于生成一个集合的所有子集？A. 欧拉回路B. 哈密顿回路C. 深度优先搜索D. 子集生成算法答案：D6. 在关系数据库中，以下哪个操作用于删除表中的行？A. SELECTB. INSERTC. UPDATED. DELETE答案：D7. 以下哪个是有限自动机的状态？A. 初始状态B. 终止状态C. 转移状态D. 所有选项答案：D8. 以下哪个是图论中的一个基本定理？A. 欧拉定理B. 哈密顿定理C. 狄拉克定理D. 所有选项答案：D9. 在命题逻辑中，以下哪个是德摩根定律的逆命题？A. ¬(p ∨ q) ≡ ¬p ∧ ¬qB. ¬(p ∧ q) ≡ ¬p ∨ ¬qC. ¬(p ∨ q) ≡ ¬p ∨ ¬qD. ¬(p ∧ q) ≡ ¬p ∧ ¬q答案：B10. 在集合论中，以下哪个操作表示集合的差集？A. ∩B. ∪C. -D. ×答案：C二、填空题（每空3分，共30分）11. 集合{1, 2, 3}的幂集包含________个元素。
吉大离散数学试题及答案
吉大离散数学试题及答案一、选择题1. 以下哪个选项不是离散数学中的基本概念？A. 集合B. 函数C. 微积分D. 关系答案：C2. 在集合论中，以下哪个操作不是基本的集合运算？A. 并集B. 交集C. 差集D. 微分答案：D3. 逻辑运算中的“与”操作，其结果为真当且仅当两个操作数都为真。
这个操作的符号是：A. ∧B. ∨C. ¬D. →答案：A二、填空题1. 一个集合的幂集包含该集合的所有_________。
答案：子集2. 如果函数f: A → B 是单射的，那么对于 A 中的任意两个不同的元素 a1 和 a2，f(a1) 和 f(a2) 在 B 中是_________的。
答案：不同的三、简答题1. 简述什么是图论中的“图”？答案：图是由顶点（或称为节点）和连接这些顶点的边组成的数学结构。
图可以是有向的或无向的，边可以是有权重的或无权重的。
2. 什么是逻辑中的“真值表”？答案：真值表是一种列出逻辑表达式中所有可能的真值组合及其结果的表格。
它用于展示逻辑表达式在不同输入值下的结果。
四、计算题1. 给定集合 A = {1, 2, 3} 和 B = {2, 3, 4}，请找出 A 和 B 的交集。
答案：A ∩ B = {2, 3}2. 假设有一个函数 f(x) = x^2，计算 f(-3) 和 f(3) 的值。
答案：f(-3) = 9，f(3) = 9五、论述题1. 论述离散数学在计算机科学中的应用。
答案：离散数学是计算机科学的基础，它提供了处理计算机科学问题所需的数学工具和理论。
例如，集合论是数据库理论的基础；图论在网络和算法设计中有着广泛应用；逻辑和布尔代数是计算机硬件设计和编程语言的基础。
2. 讨论命题逻辑和谓词逻辑的区别。
答案：命题逻辑关注简单命题及其逻辑关系，而谓词逻辑则引入了量词和变量，允许表达更复杂的逻辑关系。
命题逻辑使用逻辑连接词（如与、或、非等）来构建表达式，而谓词逻辑则使用量词（如全称量词∀和存在量词∃）来描述涉及个体的命题。
离散数学期末考试试题
离散数学期末考试试题离散数学期末考试试题离散数学作为一门重要的数学基础课程，对于计算机科学、信息科学等学科具有重要的意义。
期末考试是对学生在这门课程中的学习成果进行综合评价的重要环节。
本文将通过讨论离散数学期末考试试题，探讨离散数学的基本概念和应用。
第一部分：命题逻辑命题逻辑是离散数学的基础，它研究的是命题之间的逻辑关系。
考试中的命题逻辑部分通常包括命题的合取、析取、否定等逻辑运算，以及命题的真值表和逻辑等价的判断。
第一题是关于命题的合取和析取的运算。
考生需要根据给定的命题，使用逻辑运算符将其进行合取或析取运算，并给出结果。
这个题目考察了考生对于逻辑运算的理解和操作能力。
第二题是关于命题的真值表。
考生需要根据给定的命题和逻辑运算符，填写真值表，并根据真值表判断命题之间的逻辑关系。
这个题目考察了考生对于真值表的理解和应用能力。
第二部分：集合论集合论是离散数学的另一个重要分支，它研究的是集合之间的关系和运算。
考试中的集合论部分通常包括集合的基本运算、集合的关系和集合的证明等内容。
第三题是关于集合的基本运算。
考生需要根据给定的集合和集合运算符，求解集合的并、交、差等运算，并给出结果。
这个题目考察了考生对于集合运算的理解和操作能力。
第四题是关于集合的关系。
考生需要根据给定的集合和集合关系，判断两个集合之间的包含关系、相等关系等，并给出证明。
这个题目考察了考生对于集合关系的理解和应用能力。
第三部分：图论图论是离散数学的重要分支之一，它研究的是图的性质和图的应用。
考试中的图论部分通常包括图的表示、图的遍历和图的连通性等内容。
第五题是关于图的表示。
考生需要根据给定的图，使用邻接矩阵或邻接表的方式表示图，并给出图的基本信息。
这个题目考察了考生对于图的表示方法的理解和应用能力。
第六题是关于图的遍历。
考生需要根据给定的图和遍历算法，求解图的深度优先遍历或广度优先遍历，并给出遍历结果。
这个题目考察了考生对于图的遍历算法的理解和操作能力。
离散数学期末考试题及答案
离散数学期末考试题及答案一、选择题（每题2分，共20分）1. 以下哪个选项是图的边数与顶点数的关系？A. 边数小于顶点数B. 边数等于顶点数C. 边数大于顶点数D. 边数与顶点数无固定关系答案：D2. 有限自动机的英文缩写是什么？A. FAB. PDAC. TMAD. NFA答案：A3. 布尔代数中，德摩根定律是指什么？A. ¬(A ∧ B) 等于¬ A ∨ ¬ BB. ¬(A ∨ B) 等于¬ A ∧ ¬ BC. A ∧ B 等于¬(A ∨ B)D. A ∨ B 等于¬(¬ A ∧ ¬B)答案：B4. 在命题逻辑中，以下哪个符号表示蕴含？A. ∧B. ∨C. →D. ↔答案：C5. 集合A = {1, 2, 3}，B = {2, 3, 4}，则A ∪ B等于：A. {1, 2, 3, 4}B. {1, 2, 3}C. {2, 3, 4}D. {1, 3, 4}答案：A6. 以下哪个选项是正确的递归定义？A. 一个数是偶数当且仅当它是2的倍数B. 一个数是偶数当且仅当它不是2的倍数C. 一个数是偶数当且仅当它是另一个偶数加1D. 以上都是正确的递归定义答案：A7. 有向图和无向图的主要区别是什么？A. 有向图的边有方向，无向图的边没有方向B. 有向图的顶点有方向，无向图的顶点没有方向C. 有向图的边可以相交，无向图的边不可以相交D. 有向图可以有环，无向图不可以有环答案：A8. 在命题逻辑中，以下哪个公式是矛盾的？A. A ∧ ¬ AB. A ∨ ¬ AC. A → BD. A ∧ B ∧ ¬ A答案：A9. 以下哪个是图的同义术语？A. 网络B. 矩阵C. 树D. 以上全部答案：A10. 以下哪个命题逻辑公式是有效的？A. (A → B) ∧ (B → A)B. (A ∧ B) → AC. (A ∨ B) → AD. (A ∧ B) → B答案：B二、填空题（每题2分，共20分）11. 在命题逻辑中，_________ 表示一个命题是真的，而 _________ 表示一个命题是假的。
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一、综合题（30分，每题3分）
1.求（1 3 5）（2 5 4）（3 4）.
2.只有两个生成元的循环群一定是有限循环群吗？并说明理由.
3.有限循环群中是否一定存在周期与群的元数相等的元素?
4.下面哪个是域GF(16)的真子域.
(A). GF(6)；(B). GF(4)；(C). GF(8)；(D). GF(16).
5.有限布尔代数的元素个数必定是如下哪个形式？
(A). 2n；(B). n2；(C). 2n；(D). 4n.
6.下列代数系统(S,*)中，哪个是群？
(A). S={0,1,3,5}，*是模7的乘法；(B). S是有理数集合，*运算是普通乘法;
(C). S是整数集合，*是普通乘法；(D). S={1,3,4,5,9}，*是模11的乘法。
7.设A={0，1，2，3，4}，运算为模5加法，请给出A的所有子群.
8.n元恒等置换是奇置换还是偶置换？对换呢？
9.请出给一个有余，但不是分配格的例子.
10.设R是模12的整数环，R={0,1,2,…，11}，下面哪一个是极大理想
(A). 6R；(B). 2R；(C). 4R；(D). 8R.
二、计算题（25分，每题5分）
1.计算分圆多项式Ф24(x).
2.设（Z，+）为整数加法群，（C*，·）为非零复数的乘法群，令
f：n→i n，是Z到C*中的同态映射，请求出f的同态核.
3.在R5上求x+2除2x5+ 4x3 + 3x2+ 1所得的商式和余式.
4.设G是3次对称群，H是由I和（13）作成的子群，求H的所有右陪集.
5.设A={0，1，2，3，4，5}，运算为模6加法，请给出A中所有元素的周期.
三、（10分）证明或者反驳：f(x)= 3x5+5x2+1在R0上不可约.
四、（10分）设（G, *）是群，（A,*）和（B,*）是它的两个子群，C={a*b|a∈A, b∈B }。
证明：若*满足交换律，则（C,*）也是（G, *）的子群.
五、（10分）设Z是整数集合，X={(a, b) a,b∈Z}，定义X上的二元运算⊕和⊗如下；
对任意(a1,b1)，(a2,b2) ∈X，有：
(a1,b1) ⊕(a2,b2)=(a1+a2,b1+b2), (a1,b1) ⊗ (a2,b2)=(a1⨯a2,b1⨯b2)，
其中+，⨯分别是整数加法与乘法。
证明：(X，⊕，⊗)是环，如果此环有零因子请给出它们.
六、（10分）设(L,×,+)是一个格，其等价的半序格为(L,≤)，S是L的非空子集，如
果（1）∀a,b∈S，有a+b∈S;（2）∀a∈S，∀x∈L，若x≤a，则x∈S;
则称(S,×,+) 是(L,×,+)的理想。
求格（{1,2,3,6},D）的所有子格和所有理想，其
中D为整除关系.
七、（5分）设(G,*)是n元有限群，e为单位元，a1,a2,…,a n是G的任意n个元素，
不一定两两不同。
试证：存在正整数p和q，1≤p≤q≤n，使得a p*a p+1*…*a q=e.。