3.1.1方程的根与函数的零点(一)
2018-2019学年人教A版高中数学必修1课件：3.1.1函数的应用
(6)在(k1，k2)内有且仅有一个实根的充要条件是
Δ＝0， f(k1)f(k2)<0，或k1<－2ba<k2.
例3 方程x2－2ax＋4＝0的两根均大于1，求实数a的取值范 围.
【解析】 方法一：设f(x)＝x2－2ax＋4，由于方程x2－2ax
由于相邻两个零点之间的所有函数值保持同号，函数的图 像如图所示.
(2)不等式xf(x)<0同解于
x>0， f（x）<0
或xf（<0x，）>0，
结合函数图
像得不等式的解集为(0，2)∪(－2，0).
探究 根据函数的零点定义与性质，可以用来帮助画函数
的图像，结合函数图像不仅可以直观的研究函数的性质，而且
∴函数y＝－x2－2x＋3的零点为－3，1. y＝－x2－2x＋3＝－(x＋1)2＋4. 画出这个函数的简图(如右图)，从图像 上可以看出，当－3<x<1时，y>0.
当x<－3或x>1时，y<0. ∴函数y＝－x2－2x＋3的零点是－3，1. y>0时，x的取值范围是(－3，1)； y<0时，x的取值范围是(－∞，－3)∪(1，＋∞). 探究2 由于一元二次不等式在前面没有讲过，因此对本题 的解法要正确作出函数的简图，从而解决问题.
课时学案
题型一 求函数的零点 例1 求函数f(x)＝(x2＋x－2)(x2－2x－8)的零点，并指出使 y<0成立的x的取值范围.
【解析】 y＝(x2＋x－2)(x2－2x－8)＝(x＋2)(x－1)(x＋2)(x －4)＝(x＋2)2(x－1)(x－4)，
3.1.1方程的根与函数的零点
3.1.1方程的根与函数的零点兖州一中 薛德华 课型:新授课【学习目标】知识与技能:结合二次函数的图象,判断一元二次方程根的存在性及根的个数,从而了解函数与方程根的联系.过程与方法:掌握判断方程根的个数的一般方法,从中体会函数与方程及数形结合的数学思想方法.情感、态度与价值观：学习本节有利于活跃我们的思维，养成多方面联系思考的习惯．【学习重点、难点】学习重点：函数的零点与方程根之间的联系，函数零点存在性的判定．学习难点：探究发现函数存在零点的判定方法．【学法指导】独立思考与合作交流相结合【学习过程】1．提出问题、分析问题请观察下图，这是兖州气象局测得兖州特殊一天的一张气温变化模拟函数图（即一个连续不间断的函数图象），由于图象中有一段被墨水污染了，现在我想了解一下当天7时到11时之间有无可能出现温度是0摄氏度，你能帮助他吗？分析:上述实际问题的解决依赖于函数图象与x 轴是否有交点的问题，即若知道函数解析式),(x f 令,0)(=x f 转化为解方程的问题.回顾所学知识,即一元二次方程与二次函数的问题,回答: 问题1:一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax 的根的存在性是如何判断的?请同学们作出函数32)(2--=x x x f 的图象．我们把使函数32)(2--=x x x f 的值等于零的实数 叫做函数32)(2--=x x x f 的零点. 问题2：函数122+-=x x y 的零点是什么？函数322+-=x x y 的零点又是什么？)引导探究：推广一般的一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠与相应的二次函数 )0(2≠++=a c bx ax y 的关系？2．初步探究、形成概念函数零点的概念：对于函数()()y f x x D =∈，把使()0f x =成立的实数x 叫做函数()()y f x x D =∈的零点．问题3：方程()0f x =的根与函数()()y f x x D =∈的零点有何关系？3．简单应用、探索新知根据函数零点的概念回答：①利用二次函数53)(2++-=x x x f 的图象，函数532++-=x x x f ）（有零点吗？有几个？②观察右面函数)(x f y =的图象，该函数有零点吗？有几个？问题4：函数零点所对应的函数值为零，那零点附近的函数值呢？由以上探索，我们可以得出以下结论：函数零点的判定定理:如果函数()y f x =在区间a [，]b 上的图像是连续不断的一条曲线，并且满足 ，那么函数)(x f y =在区间(a ，)b 内有零点，即存在(c a ∈，)b ，使得()0f c =，这个c 也就是方程()0f x =的根．延伸：这样得到方程0)(=x f 在区间),(b a 内必有根，由此只能判断根的存在，但不能判定有多少个实数根，也不能得出根的值．问题5：函数)(x f y =在区间),(b a 内有零点⇔)(a f ·)(b f 0< 对吗？（函数在区间[1,6]上的零点至少有 个4．合作探究，典例训练（B 级）例题:已知函数62ln )(-+=x x x f(1) 函数)(x f y =是否存在零点?若有零点则有几个？(2)指出函数零点所在的大致区间。
2019A新高中数学必修第一册：3.1.1 方程的根与函数的零点
本章内容
3.1 函数与方程 3.2 函数模型及其应用
第三章 小结
3.1.1 方程的根与函数的零点 3.1.2 用二分法求方程的近似解 复习与提高
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1. 方程 f(x)=0 的根与函数 y=f(x) 的图象上 的点有什么关系?
2. 什么是函数的零点? 函数的零点与函数 的图象、对应方程的解有什么关系?
(C) (2, 3)
(D) (3, +∞)
解: 设 f(x)=lgx+x-3,
f(x) 在(0, +∞)上是增函数,
f(1)= -2, <0,
f(2)=lg2-1<0,
f(3)=lg3 >0,
f(2)·f(3)<0,
∴方程的解在2与3之间.
2. 已知方程 x2+bx=1. 若方程有一根在1与2之间, 求 b 的取值范围;
【课时小结】
2. 求函数的零点所在区间 (1) 如果函数 y=f(x) 在区间 [a, b] 上的图象
连续不断, 且 f(a)·f(b)<0, 那么, 函数 y=f(x) 在区间 (a, b) 内有零点.
(2) 如果函数 y=f(x) 在区间 [a, b] 上是连续 的单调函数, 且 f(a)·f(b)<0, 那么, 函数 y=f(x) 在区间 (a, b) 内有且只有一个零点.
方程的根与函数的零点(精选7篇)
方程的根与函数的零点（精选7篇）方程的根与函数的零点篇1第一课时： 3.1.1教学要求：结合二次函数的图象，推断一元二次方程根的存在性及根的个数，从而了解函数的零点与方程根的联系；把握零点存在的判定条件.教学重点：体会函数的零点与方程根之间的联系，把握零点存在的判定条件.教学难点：恰当的使用信息工具，探讨函数零点个数.教学过程：一、复习预备：思索：一元二次方程 +bx+c=o(a 0)的根与二次函数y=ax +bx+c的图象之间有什么关系？.二、讲授新课：1、探讨函数零点与方程的根的关系：① 探讨：方程x -2x-3=o 的根是什么？函数y= x -2x-3的图象与x轴的交点?方程x -2x+1=0的根是什么？函数y= x -2x+1的图象与x轴的交点？方程x -2x+3=0的根是什么？函数y= x -2x+3的图象与x轴有几个交点？② 依据以上探讨，让同学自己归纳并发觉得出结论：→推广到y=f(x)呢？一元二次方程 +bx+c=o(a 0)的根就是相应二次函数y=ax +bx+c的图象与x轴交点横坐标.③ 定义零点：对于函数y=f(x),我们把使f(x)=0的实数x叫做函数y=f(x)的零点.④ 争论：y=f(x)的零点、方程f(x)=0的实数根、函数y=f(x) 的图象与x 轴交点的横坐标的关系？结论：方程f(x)=0有实数根函数y=f(x) 的图象与x轴有交点函数y=f(x)有零点⑤ 练习：求下列函数的零点；→ 小结：二次函数零点状况2、教学零点存在性定理及应用：① 探究：作出的图象，让同学们求出f(2),f(1)和f(0)的值, 观看f(2)和f(0)的符号②观看下面函数的图象，在区间上______(有/无)零点； _____0（＜或＞）. 在区间上______(有/无)零点； _____0（＜或＞）. 在区间上______(有/无)零点； _____0（＜或＞).③定理：假如函数y=f(x)在区间[a,b]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有f(a).f(b)0,那么，函数y=f(x)在区间（a,b）内有零点，即存在c (a,b),使得f(c)=0，这个c也就是方程f(x)=0的根.④ 应用：求函数f(x)=lnx+2x-6的零点的个数. （试争论一些函数值→分别用代数法、几何法）⑤小结：函数零点的求法代数法：求方程的实数根；几何法：对于不能用求根公式的方程，可以将它与函数的图象联系起来，并利用函数的性质找出零点.⑥ 练习：求函数的零点所在区间.3、小结：零点概念；零点、与x轴交点、方程的根的关系；零点存在性定理三、巩固练习：1. p97, 1,题 2,题（老师计算机演示，同学回答）2. 求函数的零点所在区间，并画出它的大致图象.3. 求下列函数的零点：；；；.4.已知：（1）为何值时，函数的图象与轴有两个零点；（2）假如函数至少有一个零点在原点右侧，求的值.5. 作业：p102, 2题；p125 1题其次课时： 3.1.2用二分法求方程的近似解教学要求：依据详细函数图象，能够借助计算器用二分法求相应方程的近似解. 通过用二分法求方程的近似解，使同学体会函数零点与方程根之间的联系，初步形成用函数观点处理问题的意识.教学重点：用二分法求方程的近似解.教学重点：恰当的使用信息工具.教学过程：一、复习预备：1. 提问：什么叫零点？零点的等价性？零点存在性定理？零点概念：对于函数y=f(x),我们把使f(x)=0的实数x叫做函数y=f(x)的零点.方程f(x)=0有实数根函数y=f(x) 的图象与x轴有交点函数y=f(x)有零点假如函数y=f(x)在区间[a,b]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有f(a).f(b)0,那么，函数y=f(x)在区间（a,b）内有零点，即存在c (a,b),使得f(c)=0，这个c也就是方程f(x)=0的根.2. 探究：一元二次方程求根公式？三次方程？四次方程？材料：高次多项式方程公式解的探究史料：在十六世纪，已找到了三次和四次函数的求根公式，但对于高于4次的函数，类似的努力却始终没有胜利，到了十九世纪，依据阿贝尔（abel）和伽罗瓦（galois）的讨论，人们熟悉到高于4次的代数方程不存在求根公式，亦即，不存在用四则运算及根号表示的一般的公式解.同时，即使对于3次和4次的代数方程，其公式解的表示也相当简单，一般来讲并不相宜作详细计算.因此对于高次多项式函数及其它的一些函数，有必要寻求其零点的近似解的方法，这是一个在计算数学中非常重要的课题二、讲授新课：1. 教学二分法的思想及步骤：① 出示例：有12个小球，质量匀称，只有一个是比别的球重的，你用天平称几次可以找出这个球的，要求次数越少越好. （让同学们自由发言，找出最好的方法）解：第一次，两端各放六个球，低的那一端肯定有重球其次次，两端各放三个球，低的那一端肯定有重球第三次，两端各放一个球，假如平衡，剩下的就是重球，否则，低的就是重球.其实这就是一种二分法的思想，那什么叫二分法呢？② 探究：的零点所在区间？如何找出这个零点？→ 师生用二分法探究③ 定义二分法的概念：对于在区间[a,b]上连续不断且f(a).f(b)0的函数y=f(x)，通过不断的把函数的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步靠近零点，进而得到零点近似值的方法叫二分法(bisection)④ 探究：给定精度ε，用二分法求函数的零点近似值的步骤如下：a.确定区间，验证，给定精度ε；b. 求区间的中点；c. 计算：若，则就是函数的零点；若，则令（此时零点）；若，则令（此时零点）；d. 推断是否达到精度ε；即若，则得到零点零点值a（或b）；否则重复步骤2~4.2. 教学例题：① 出示例：借助计算器或计算机用二分法求方程2 +3x=7的近似解. （师生共练）② 练习：求函数的一个正数零点（精确到）3. 小结：二分法的概念, 二分法的步骤；注意二分法思想三、巩固练习：1. p100, 1,题 2,题； 2. 求方程的解的个数及其大致所在区间.3. 用二分法求的近似值；4. 求方程的实数解个数：；5. 作业：p102 3，4题，阅读p105框图方程的根与函数的零点篇2一、教学内容解析本节课的主要内容有函数零点的的概念、函数零点存在性判定定理。
必修一高中数学人教版A版必修一第三单元3.1.1方程的根与函数的零点
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§3.1 函数与方程
3.1.1 方程的根与函数的零点
学习目标 1.理解函数零点的定义，会求某些函数的零点(重 点).2.掌握函数零点的判定方法(重、难点).3.了解函数的零点与 方程的根的联系(重点)．
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预习教材 P86－P88，完成下面问题： 知识点 1 函数的零点
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课堂小结
1．在函数零点存在性定理中，要注意三点：(1)函数是连续 的；(2)定理不可逆；(3)至少存在一个零点．
2．方程f(x)＝g(x)的根是函数f(x)与g(x)的图象交点的横坐标， 也是函数y＝f(x)－g(x)的图象与x轴交点的横坐标．
3．函数与方程有着密切的联系，有些方程问题可以转化为函 数问题求解，同样，函数问题有时可以转化为方程问题， 这正是函数与方程思想的基础．
答案 C
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题型三 判断函数零点所在的区间
【例3】 (1)二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c的部分对应值如下表：
x －3 －2 －1 0 1 2 3 4 y 6 m －4 －6 －6 －4 n 6
不求a，b，c的值，判断方程ax2＋bx＋c＝0的两根所在区间
是( )
A．(－3，－1)和(2,4) B．(－3，－1)和(－1,1)
是 0，－12. 答案 0，－12
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题型二 确定函数零点的个数
【例 2】 判断下列函数零点的个数． (1)f(x)＝x2－34x＋58； (2)f(x)＝ln x＋x2－3. 解 (1)由 f(x)＝0，即 x2－34x＋58＝0，得 Δ＝－342－4×58＝ －3116<0， 所以方程 x2－34x＋58＝0 没有实数根，即 f(x)零点的个数为 0.
方程的根与函数的零点
一、教材结构与内容简析 二、教学目标 三、教学重点、难点 四、教法分析 五、教学过程 六、教学反思
一、教材结构与内容简析
方程的根与函数的零点是全日制普通高中《数学》 （必修1）第一册（人民教育出版社），第三章第一 节第一课时的内容。
本节是在学习了前两章函数的性质的基础上，结合 函数的图象和性质来判断方程的根的存在性及根的个 数，从而了解函数的零点与方程的根的关系以及掌握 函数在某个区间上存在零点的判定方法；为下节“二 分法求方程的近似解”和后续学习的算法提供了基 础．
判别式△ = b2－4ac
△＞0
方程ax2 +bx+c=0 两个不相等
(a≠0)的根
的实数根x1 、x2
y
函数y= ax2 +bx +c(a≠0)的图象
x1 0
x x2
△=0 有两个相等的 实数根x1 = x2
y
x 0 x1
△＜0 没有实数根
y
0
x
函数的图象 与 x 轴的交点
(x1,0) , (x2,0)
(x1,0)
没有交点
结论 1.方程根的个数就是函数图象与x轴交点的个数.。
2.方程的实数根就是函数图象与x轴交点的横坐标。
（二）启发引导，形成概念
1．函数零点的概念：
对于函数 y f (x),(xD，) 把使 f (x) 0 成立的实数 x 叫做函
数 的零点。
2．等价关系：方程 有实数根 交点 函数 有零点． 注：零点不是点。
函数 的图象与 轴有
故求一个函数的零点的方法有两种： 1.求与之对应的的方程的实根； 2.作函数图像，看函数与x轴的交点。
（三）初步运用，示例练习
人教A版数学必修1课件：3.1.1方程的根和函数的零点(1、2)
例1 求函数f(x)=lnx+2x－ 6的零点的个数.
解法1 用计算器或计算机列出x、f(x)的对应值表： x f ( x) 1 2 3 4 5 6 7
y
8
9
-4 -1.3 1.1
3.4 5.6 7.8 10.0 12.1 14.2
10 f(x8)=lnx+2x－ 6 6 4 2
x
由表可知f(2)<0，f(3)>0，从而f(2)· f(3)<0，
解法2： 数形结合
lnx+2x－6=0的根
y 6
lnx=-2x+6的根 可看成y=lnx与y=-2x+6 图像交点的横坐标
y=Байду номын сангаасlnx
O 1234 x
作业展示
又如：自主学习册P91 T2 T3
y=－2x +6
3. 零点存在性定理的应用
题型3：如何求函数零点所在的区间
如：自主学习册P92 T2 P94 T1
y y 1 函数是连续的。
y
a
2 定理不可逆。
O
O a b x O x b b 3 至少存在一个零点，不排除更多。
a
x
3. 零点存在性定理的应用
题型1：如何求函数零点
2 (1)f(x)=-x +3x+5 |x| (2)f(x)=2 -8
(3)f(x)=log2x
3. 零点存在性定理的应用
题型2：如何求函数零点的个数
归纳整理，整体认识 一个关系：函数零点与方程根的关系:
函数 方程
数 值 零点 存在性 根
个 数
两种思想：函数方程思想；数形结合思想． 三种题型：求函数零点、确定零点个数、 求零点所在区间．
新人教A版必修1 3.1.1 方程的根与函数的零点
)
解析：易知 f(x)在其定义域上为增函数． 3 ∵f(6)＝lg 6－ <0， 2 9 f(7)＝lg 7－ <0， 7 9 f(8)＝lg 8－ <0， 8 f(9)＝lg 9－1<0， 9 f(10)＝lg 10－ >0， 10 ∴f(9)· f(10)<0，∴零点在区间(9,10)内．
答案：D
＋1＝0 －2x＋1
Δ＝ 0
(1,0)
x2＝1
方程
对应 判别 方程 函数 式 的根
函数的图象
图象与x轴 交点坐标 无交点
x2－ f(x)＝
2x＋
x2－
Δ＝ 无实
3＝0 2x＋3 2x－4 f(x)＝
－8
数根
x＝ 2
(2,0)
＝0
2x－4
问题2：方程的根与对应函数的图象有何关系？ 提示：方程的根是使函数值等于零的自变量值， 也就是函数图象与x轴交点的横坐标．
函数零点的存在性定理
如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是 连续不断 的 f(b)<0 ，那么，函数y＝f(x)在区间 一条曲线，并且有 f(a)·
(a，b)内有零点，即存在c∈(a，b)，使得 f(c)＝0 ，这个c 也就是方程f(x)＝0的根．
1．函数的零点是一个实数，当自变量取该值 时，其函数值等于零． 2．根据函数零点的定义可知，函数f(x)的零
[精解详析]
(1)∵f(x)＝－x2－2x＋3
＝－(x＋3)(x－1)，
∴方程－x2－2x＋3＝0的两根分别是－3和1. 故函数的零点是－3,1. (2)∵f(x)＝x4－1＝(x2＋1)(x＋1)(x－1)， ∴方程x4－1＝0的实数根是－1或1.
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－1
y
2
.
－1 －2
.y
2
. . . 1 .
2
y
.
1
0
1
2
.
.
x
－1
3
x
－1
1
引导探究二
• 从“数”和“形”上理解函 数有零点的意义.
• “数”：函数y=f(x)有零点， 即方程y=f(x)有实根. • “形”：即图像与x轴有交 点.
总结：
等价关系
方程f(x)=0有实数根
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
函数y=f(x)有零点
零点是一个点吗？
例1：求下列函数的零点.
1 (1) y 3 ; (2) y log 2 x; (3) y ; x ( x 4)( x 1), 4, (4) y ( x 4)( x 6), x 4.
课题导入
判断下列方程是否有实根，有几个实根？ (1) x 2 x 3 0;(2) ln x 2 x 6 0.
2
3.1.1 方程的根与函数的零点（一）
授课教师：孙涛涛
目标引领
• 1、函数零点的定义； • 2、方程的根与函数零点之间 的等价关系.
独立自学（请在5分钟的时间里完成问题）
A（3，0）,（2，0）； B
x=2 ；
C x=3 ； D 2 和3 ． 2、函数f ( x) log 5 ( x 1)零点是
3、若函数f ( x) ax b只有一个零点2， 则g ( x) bx 2 ax的零点是 4、若函数f ( x) x 2 2 x a没有零点， 则实数a的取值范围是
－3 －4
0
3 2 1
.
5 4
.
1
.
2
.
. (1,0)
0
3
x
函数图像与 x轴的交点
(－1,0)、(3,0)
无交点
引导探究一
一元二次方程ax 2 bx c 0的实数根 与相应的二次函数y=ax 2 bx c的图像 有什么关系？
方程的实数根应该是函数图
像与x轴交点的横坐标.
函数零点的定义：对于函数y=f(x),我们把 是f(x)=0的实数x叫做函数y=f(x)的零点.
强化补清
• 结合课本思考如何解决导入中 的第（2）问.
x
（1）无零点；（2）x=1; (3) 无零点； （4）x=-1,x=4,x=6 注意：零点指的是一个数，也就是函
数图像与x轴交点的横坐标.
目标升华
• 1、了解函数零点的定义及理 解方程的根与函数零点的等价 关系； • 2、受到化归思想的启发应用 数形结合进行求解.
当堂诊学
1、函数y=x2-5x+6的零点是（ ）