混合系数线性模型参数的一种新估计及相对效率
混合线性模型
混合线性模型混合线性模型是一种方差分量模型。
在方差分量模型中，把既含有固定效应，又含有随机效应的模型，称为混合线性模型。
混合线性模型是20世纪80年代初针对统计资料的非独立性而发展起来的。
由于该模型的理论起源较多，根据所从事的领域、模型用途，又可称为多水平模型(Multilevel，MLM)、随机系数模型(Random Coefficients，RCM)、等级线性模型(Hierarchical Linear，HLM)等。
甚至和广义估计方程也有很大的交叉。
这种模型充分考虑到数据聚集性的问题，可以在数据存在聚集性的时候对影响因素进行正确的估计和假设检验。
不仅如此，它还可以对变异的影响因素加以分析，即哪些因素导致了数据间聚集性的出现，哪些又会导致个体间变异增大。
由于该模型成功地解决了长期困扰统计学界的数据聚集性问题，20年来已经得到了飞速的发展，也成为SPSS等权威统计软件的标准统计分析方法之一。
在传统的线性模型(y=xb+e)中，除X与Y之间的线性关系外，对反应变量Y还有三个假定：①正态性，即Y来自正态分布总体；②独立性，Y的不同观察值之间的相关系数为零；③方差齐性，各Y 值的方差相等。
但在实际研究中，经常会遇到一些资料，它们并不能完全满足上述三个条件。
例如，当Y为分类反应变量时，如性别分为男、女，婚姻状态为已婚、未婚，学生成绩是及格、不及格等，不能满足条件①。
当Y具有群体特性时，如在抽样调查中，被调查者会来自不同的城市、不同的学校，这就形成一个层次结构，高层为城市、中层为学校、低层为学生。
显然，同一城市或同一学校的学生各方面的特征应当更加相似。
也就是基本的观察单位聚集在更高层次的不同单位中，如同一城市的学生数据具有相关性，不能满足条件②。
当自变量X具有随机误差时，这种误差会传递给Y，使得Y不能满足条件③。
mixed-model analysis
mixed-model analysisMixed-model analysis是一种统计方法，它被广泛应用于农业、生物、医学等领域的数据分析。
这种分析方法能够提供更加精确的结果，并且可以更好地理解数据之间的关系。
本文将介绍mixed-model analysis的基本概念、优点、应用以及如何进行实施。
一、基本概念Mixed-model analysis也被称为随机效应模型，它是一种统计模型，其中模型参数包括随机效应和误差项。
这种分析方法能够考虑到数据之间的相关性，并且可以更好地处理数据中的重复测量和缺失值。
通过使用随机效应模型，可以更好地估计模型的参数，并且可以更准确地检测数据中的趋势和模式。
二、优点1. 精确性：混合模型能够更好地处理数据之间的相关性，因此可以提供更加精确的结果。
2. 灵活性：混合模型可以处理各种类型的数据，包括重复测量数据、缺失值等，具有更高的灵活性。
3. 可扩展性：混合模型可以很容易地扩展到多个变量和多个观察值，因此可以更好地分析大规模数据集。
三、应用领域Mixed-model analysis广泛应用于各种领域，包括农业、生物、医学等。
在农业领域，它可以用于分析不同环境因素对作物产量的影响，检测基因型与环境之间的交互作用。
在生物领域，它可以用于基因组学研究，比较不同个体的基因表达差异。
在医学领域，它可以用于分析临床试验数据，评估药物治疗效果和安全性。
四、实施步骤1. 数据准备：对数据进行清理和预处理，确保数据的质量和准确性。
2. 模型构建：根据数据特点选择合适的混合模型，并构建模型。
3. 参数估计：使用统计软件对模型进行参数估计。
4. 假设检验：对模型中的随机效应和固定效应进行假设检验，确定效应是否显著。
5. 结果解释：根据检验结果和数据趋势，对数据进行解释和报告。
五、结论混合模型分析是一种非常有用的统计方法，它能够提供更加精确和灵活的数据分析结果。
通过正确地应用混合模型，可以更好地理解数据之间的关系，为科学研究和生产实践提供有力的支持。
回归系数混合估计与最小二乘估计的相对效率
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回归 系数 混 合 估 计 与 最 小 二 乘 估 计 的相 对 效 率 术
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（ 安徽师范大学 数学 与计 算机科学学院 ， 安徽 芜湖 ２ １０ ） ４ ０ ０
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第２ ５卷 第 ６期
Ｖ １ ２ Ｎｏ ６ ｏ．５ ．
重庆 工商 大 学学报 （自然科 学版 ）
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统计学中的混合模型分析
统计学中的混合模型分析混合模型（Mixed Models）是统计学中一种重要的数据分析方法，适用于研究中存在多层次结构、重复测量或者来自不同总体的数据。
混合模型分析可以帮助我们更好地理解数据背后的规律，并做出科学合理的推断与预测。
一、混合模型的定义和基本概念混合模型是一类由固定效应和随机效应构成的统计模型。
其中，固定效应表示总体的一般性规律，随机效应则是用来考虑不同个体之间的差异。
混合模型将这两种效应相结合，能够同时捕捉总体和个体的特征，从而提供更准确的数据分析结果。
在混合模型中，我们通常使用线性混合模型（Linear Mixed Models）进行分析。
线性混合模型的基本形式为：Y = Xβ + Zu + ε其中，Y表示观测变量的取值，X和Z是设计矩阵，β和u分别是固定效应和随机效应的参数，ε是残差项。
通过最大似然估计或贝叶斯方法，可以求解混合模型的参数，并进行统计推断。
二、混合模型的应用领域混合模型具有广泛的应用领域，特别是在以下几个方面表现出色：1. 长期研究中的重复测量数据分析：混合模型可以有效地处理长期研究中的重复测量数据，考虑到个体之间和测量之间的相关性，提高数据的分析效果。
2. 多层次结构数据分析：当数据存在多个层次结构时，传统的统计方法可能无法充分考虑到层次结构的影响。
而混合模型可以同时考虑到个体和群体层次的变异，更好地把握数据特征。
3. 不完全数据的分析：混合模型能够处理部分缺失的数据，通过考虑随机效应来填补缺失值，提高数据分析的准确性。
4. 随机实验和实验设计的分析：混合模型在随机实验和实验设计中也有重要应用。
通过考虑不同实验单位之间的差异，混合模型可以更好地评估实验因素对结果的影响。
三、混合模型分析的步骤混合模型分析的步骤主要包括以下几个方面：1. 数据准备：收集数据并进行预处理，包括数据清洗、变量选择和缺失值处理等。
2. 模型建立：确定混合模型的结构、选择随机效应以及建立固定效应的模型。
混合效应模型的结果评价
混合效应模型的结果评价
混合效应模型是一种常用的统计建模方法，它可以处理数据具有不同层次结构的问题，如家庭、学校、地区等。
然而，如何评价混合效应模型的结果是一个重要的问题，因为不同的评价指标可以为我们提供不同的信息。
以下是几种常见的混合效应模型结果评价方法： 1. 固定效应系数：固定效应系数是指在混合效应模型中，与自变量相关的变量的系数。
这些系数可以用来评估不同自变量对因变量的影响，并且它们的显著性可以用来评估模型的拟合程度。
2. 随机效应方差：随机效应方差是指混合效应模型中随机因素对因变量的贡献。
它可以用来评估不同层次的变量对因变量的贡献程度，以及这些变量之间的相关性。
通常，如果随机效应方差很小，说明固定效应已经解释了大部分数据的变异性。
3. 模型拟合度：模型拟合度是指混合效应模型能够解释数据变异性的程度。
我们可以使用似然比检验或贝叶斯信息准则等方法来评估模型的拟合程度。
通常，如果模型的拟合度较高，则可以认为该模型较为可靠。
4. 预测能力：预测能力是指混合效应模型的能力，能够用已有的数据来预测未知数据的能力。
我们可以使用交叉验证等方法来评估模型的预测能力。
通常，如果模型的预测能力较高，则可以认为该模型具有较好的泛化能力。
综上所述，评价混合效应模型的结果应该考虑多个指标，以便更全面地评估模型的性能。
不同的指标可以为我们提供不同的信息，帮
助我们了解数据的不同方面。
《计量经济学》思考与练习参考答案 孙敬水主编
2
第4章
一、单项选择题
1.C 2.D 3.A 4.B 5.B 6.D 7.C
异方差性
8.C 9.A
二、多项选择题
1.ABCD 2.AB 3.AB 4.BCDE 5.ABCDE 6.ABCD 7.BDE
三、简答题、分析与计算题
1．什么是异方差性？试举例说明经济现象中的异方差性。 参考答案：如果线性回归模型中随机误差项的方差不是常数，即满足 var(u t ) = σ t2 ≠ 常 数(t=1，2，…n)，则称随机项 ut 具有异方差性。 例如，用截面数据研究某一时点上不同地区的某类企业的生产函数，其模型为:
β ut Yt = ALα t Kt e
它包含了除资本 K 和劳动力 L 以外的其他因素对产出 Y 的影响， 比如不 u 为随机误差项， 同企业在设计上、生产工艺上的区别，技术熟练程度或管理上的差别以及其他因素，这些因 素在小企业之间差别不大，而在大企业之间则相差很远，随机误差项随 L、K 增大而增大。由 并 于不同的地区这些因素不同造成了对产出的影响出现差异， 使得模型中的 u 具有异方差性， 且这种异方差性的表现是随资本和劳动力的增加而有规律变化的。 3．样本分段法检验（即戈德菲尔德——匡特检验）异方差性的基本步骤及其适用条件。 参考答案：检验的基本思想是将样本分为容量相等的两部分，然后分别对样本 I 和样本 Ⅱ进行回归，并计算两个子样的残差平方和，如果随机误差项是同方差的，则这两个子样的 残差平方和应该大致相等。如果是异方差的，则两者差别较大。以此来判断是否存在异方差。 基本步骤如下： 第一， 将观察值按解释变量的大小顺序排列， 被解释变量与解释变量保持原来对应关系。 第二，将排列在中间的约 1／4 的观察值删除掉，除去的观察值个数记为 c，则余下的观 察值分为两个部分，每部分的观察值个数为(n-c)/2。 第三，提出检验假设。 H 0 : u t 为同方差性； H 1 : ut 为异方差性。 第四，分别对两部分观察值求回归方程，并计算两部分的残差平方和 RSS1 与 RSS 2 ，它 们的自由度均为
混合效应模型估计理论及方法论文
摘要摘要本文主要研究一般线性混合模型和带随机效应生长曲线模型的参数估计问题．首先对带一个随机效应的混合模型，我们利用约简模型思想为感兴趣部分固定效应提出了新的简单估计，此估计的优点之一就是便于构造精确的检验统计量和置信区间，并且我们也证明它在一定条件下可达到最优；对方差分量，我们研究了新近提出的谱分解估计与方差分析估计的关系，给出了两者相等的充要条件；我们进一步考虑了模型中固定效应的最小二乘估计和方差分量的方差分析估计同时最优性问题，找到了设计阵的一组简单条件，在这些条件下，证明了固定效应的最小二乘估计和方差分量的方差分析估计同时是最小方差无偏估计，并给出了固定效应的精确置信区间和随机效应的方差分量的一致最优无偏检验，以及方差分量的方差分析估计取负值的概率精确表达式．对一般平衡线性混合模型，我们对其协方差阵提出了新的谱分解方法，与现有的两种方法相比较，该方法的突出优点是能够明确显示协方差阵的不同特征值的个数，以及谱分解中不同特征值所对应的投影阵的显式表示．基于新的谱分解的这些特点，我们进一步研究参数谱分解估计，方差分析估计，以及极大似然估计的构造和性质．我们更清晰显示了谱分解估计的构造原理，并找到了谱分解估计与方差分析估计相等的充要条件；严格证明了平衡随机模型的方差分析估计为最小方差无偏估计，并首次证明了在一定条件下，一般平衡线性混合模型的方差分析估计也具有最小方差无偏性；简化了一般混合模型的极大似然方程显示解存在的判定定理，并给出了解（显示解或迭代解）的一般形式．我们亦考虑了带随机效应的（多变量）一般生长曲线模型中感兴趣参数的估计问题．给出了感兴趣参数的一种简单估计并得到该估计的协方差阵的一个独立估计，从而可以构造感兴趣参数的精确检验，并证实了在一定条件下，此简单北京工业大学理学博士学位论文估计比相应的最ＩＩ、Ｚ．乘估计和改进的两步估计具有较高的估计效率．进一步，我们给出了简单估计达到最优充要条件，证实了即使在整个回归参数的极大似然估计的显示形式不存在时，它的部分回归参数的极大似然估计的显示形式且有可能存在，且等于相应的最ｔｌ、－＂乘估计，这为模拟中常常出现的部分回归参数的最小二乘估计具有高的效率的现象给了一种解释．我们还研究了一般线性模型误差方差的估计问题．在均方误差意义下，比较了最小范数无偏估计和简单估计，结果显示两者中，任一个估计都不可能一致地比另一估计好，给出了选择较优估计的充分条件，并进一步给出了两估计之间的一些关系．关键词：混合效应模型；谱分解；方差分量；极大似然估计；生长曲线模型ＡｂｓｔｒａｃｔＡｂｓｔｒａｃｔＴｈｅｔｈｅｓｉｓｉＳｃｏｎｃｅｒｎｅｄｗｉｔｈｔｈｅｐａｒａｍｅｔｅｒｅｓｔｉｍａｔｉｏｎｉｎｌｉｎｅａｒｍｉｘｅｄｍｏｄｅｌｓａｎｄｇｒｏｗｔｈｃｕｒｖｅｄｍｏｄｅｌｓｗｉｔｈｒａｎｄｏｍｅｆｆｅｃｔｓ．Ｆｉｒｓｔｌｙ，ｌｉｎｅａｒｍｉｘｅｄｍｏｄｅｌｓｗｉｔｈｏｎｌｙｏｎｅｒａｎｄｏｍｅｆｆｅｃｔｉｓｃｏｎｓｉｄｅｒｅｄ．Ｂａｓｅｄｏｎｔｈｅｉｄｅａｏｆｒｅｄｕｃｅｄｍｏｄｅｌ，ａｎｅｗｓｉｍｐｌｅｅｓｔｉｍａｔｅｏｆｔｈｅｐａｒｔｉａｌｐａ－ｒａｍｅｔｅｒｓｔｈａｔｉｓｏｆｉｎｔｅｒｅｓｔｉｎｐｒａｃｔｉｃａｌａｐｐｌｉｃａｔｉｏｎｓｉｓｐｒｅｓｅｎｔｅｄ，ｗｈｉｃｈｉｓｃｏｎｖｅ—ｎｉｅｎｔｔｏｃｏｎｓｔｒｕｃｔｔｈｅｅｘａｃｔｔｅｓｔｓａｎｄｃｏｎｆｉｄｅｎｃｅｉｎｔｅｒｖａｌｆｏｒｐａｒｔｉａｌｐａｒａｍｅｔｅｒｓ，ａｎｄｉｔｉｓｐｒｏｖｅｄｔｈａｔｔｈｅｎｅｗｓｉｍｐｌｅｅｓｔｉｍａｔｅｃａｎｂｅｔｈｅｂｅｓｔｌｉｎｅａｒｕｎｂｉａｓｅｄｅｓｔｉｍａｔｅ（ＢＬＵＥ）ｕｎｄｅｒｓｏｍｅｃｏｎｄｉｔｉｏｎｓ．Ｔｈｅｒｅｌａｔｉｏｎｓｈｉｐｂｅｔｗｅｅｎｔｈｅｓｐｅｃｔｒａｌｄｅｃｏｍｐｏｓｉｔｉｏｎｅｓｔｉｍａｔｅ（ＳＤＥ）ｓｕｇｇｅｓｔｅｄｒｅｃｅｎｔｌｙａｎｄａｎａｌｙｓｉｓｏｆｖａｒｉａｎｃｅｅｓｔｉ－ｍａｔｅ（ＡＮＯＶＡＥ）ｉｓｓｔｕｄｉｅｄ，ａｎｄｔｈｅｎｅｃｅｓｓａｒｙａｎｄｓｕｆｆｉｃｉｅｎｔｃｏｎｄｉｔｉｏｎｆｏｒｔｈｅｉｒｅｑｕｉｖａｌｅｎｃｅｉｓｄｅｒｉｖｅｄ．Ｆｕｒｔｈｅｒｍｏｒｅ，ｔｈｅｓｉｍｕｌｔａｎｅｏｕｓｏｐｔｉｍａｌｐｒｏｐｅｒｔｙｆｏｒｌｅａｓｔｓｑｕａｒｅｅｓｔｉｍａｔｅ（ＬＳＥ）ｏｆｆＬｘｅｄｅｆｆｅｃｔａｎｄｔｈｅＡＮＯＶＡＥｏｆｖａｒｉａｎｃｅｃｏｍｐｏｎｅｎｔｓａｒｅｓｔｕｄｉｅｄ，ａｎｄｔｈｅｓｉｍｐｌｅｃｏｎｄｉｔｉｏｎｓａｒｅｇｉｖｅｉｌ，ｕｎｄｅｒｗｈｉｃｈｔｈｅＬＳＥａｎｄｔｈｅＡＮＯＶＡＥａｒｅｓｉｍｕｌｔａｎｅｏｕｓｔｈｅｍｉｎｉｍｕｍｖａｒｉａｎｃｅｕｎｂｉａｓｅｄｅｓｔｉｍａｔｅｓ．Ⅵｋａｌｓｏｐｒｅｓｅｎｔｔｈｅｏｐｔｉｍａｌｃｏｎｆｉｄｅｎｔｉａｌｒｅｇｉｏｎｏｆｔｈｅｆｉｘｅｄｅｆｆｅｃｔｓ，ｕｎｉｆｏｒｍｌｙｏｐｔｉｍａｌｕｎｂｉａｓｅｄｔｅｓｔｓｏｎｖａｒｉａｎｃｅｃｏｍｐｏｎｅｎｔｓ，ａｎｄｔｈｅｅｘａｃｔｐｒｏｂａｂｉｌｉｔｙｅｘｐｒｅｓｓｉｏｎｆｏｒｔｈｅＡＮＯＶＡＥｏｆｖａｒｉａｎｃｅｃｏｍｐｏｎｅｎｔｓｔａｋｉｎｇｎｅｇａｔｉｖｅｖａｌｕｅ．Ｓｅｃｏｎｄｌｙ，ｆｏｒｔｈｅｇｅｎｅｒａｌｌｉｎｅａｒｍｉｘｅｄｍｏｄｅｌ，ｏｕｒｍａｉｎｃｏｎｔｒｉｂｕｔｉｏｎｉｓｔｏｐｒｏｖｉｄｅａｎｅｗｓｐｅｃｔｒａｌｄｅｃｏｍｐｏｓｉｔｉｏｎｆｏｒｔｈｅｃｏｖａｒｉａｎｃｅｍａｔｒｉｘｕｎｄｅｒｂａｌａｎｃｅｄａｔａｃａｓｅ，ｄｉｆｆｅｒｅｎｃｅｗｉｔｈｔｈｅｔｗｏｍｅｔｈｏｄｓｉｎｌｉｔｅｒａｔｕｒｅａｒｅｔｈａｔｔｈｅｎｅｗｓｐｅｃ—ｔｒａｌｄｅｃｏｍｐｏｓｉｔｉｏｎｃａｎｇｉｖｅｔｈｅｎｕｍｂｅｒｏｆｄｉｆｆｅｒｅｎｔｅｉｇｅｎｖａｌｕｅｓｏｆｃｏｖａｒｉａｎｃｅｍａｔｒｉｘａｎｄｃｌｏｓｅｄｆｏｒｍｏｆｔｈｅｐｒｏｊｅｃｔｉｖｅｍａｔｒｉｃｅｓｃｏｒｒｅｓｐｏｎｄｉｎｇｔｏｉｔｓｅｉｇｅｎ—ｖａｌｕｅｓ，ｗｈｉｃｈｍａｋｅｓｅａｓｙｔｏｐｒｏｖｅｓｏｍｅｐｒｏｐｅｒｔｉｅｓｏｎｓｐｅｃｔｒａｌｄｅｃｏｍｐｏｓｉｔｉｏｎｅｓｔｉｍａｔｅ（ＳＤＥ），ａｎａｌｙｓｉｓｏｆｖａｒｉａｎｃｅｅｓｔｉｍａｔｅ（ＡＮＯＶＡＥ），ａｎｄＭＬＥ．Ｂａｓｅｄｏｎ北京工业大学理学博士学位论文ｔｈｅｓｐｅｃｔｒａｌｄｅｃｏｍｐｏｓｉｔｉｏｎｏｆｃｏｖａｒｉａｎｃｅｍａｔｒｉｘ．ｗｅｃａｎｇｉｖｅｔｈｅｃｌｅａｒｅｘｐｒｅｓｓｉｏｎｆｏｒＳＤＥ，ａｎｄｏｂｔａｉｎｔｈｅｎｅｃｅｓｓａｒｙａｎｄｓｕｆｆｉｃｉｅｎｔｃｏｎｄｉｔｉｏｎｆｏｒｔｈｅｅｑｕｉｖａｌｅｎｃｅｏｆＳＤＥａｎｄＡＮＯＶＡＥ．Ｕｎｄｅｒｔｈｅｎｏｒｍａｌａｓｓｕｍｐｔｉｏｎ，ｗｅｓｈｏｗｔｈａｔｉｎｂａｌａｎｃｅｄｒａｎｄｏｍｅｆｆｅｃｔｓｍｏｄｅｌｓｔｈｅＡＮＯＶＡＥｉ８ｔｈｅｍｉｎｉｍｕｍｖａｒｉａｎｃｅｕｎｂｉａｓｅｄｅｓｔｉ—ｍａｔｅ（ＭＶＵＥ），ａｎｄｉｎｂａｌａｎｃｅｄｌｉｎｅａｒｍｉｘｅｄｍｏｄｅｌｓｔｈｅＡＮＯＶＡＥａｒｅａｌｓｏｔｈｅＭＶＵＥｕｎｄｅｒｓｏｍｅｃｏｎｄｉｔｉｏｎｓ．Ｆｕｒｔｈｅｒｍｏｒｅ，ｗｅｓｉｍｐｌｉｆｙｔｈｅｅｘｉｓｔｅｎｃｅｔｈｅｏｒｅｍｏｎｅｘｐｌｉｃｉｔＭＬＥ，ａｎｄｏｂｔａｉｎｔｈｅｇｅｎｅｒａｌｅｘｐｒｅｓｓｉｏｎｏｆ（ｅｘｐｌｉｃｉｔｏｒｉｔｅｒａｔｉｖｅ）ｓｏｌｕｔｉｏｎｏｆＭＬｅｑｕａｔｉｏｎｓ．Ｔｈｉｒｄｌｙ，ｔｈｅｅｓｔｉｍａｔｉｏｎｐｒｏｂｌｅｍｆｏｒｐａｒｔｉａｌｐａｒａｍｅｔｅｒｓｔｈａｔａｒｅｏｆｐｒｉｍａｒｙｉｎｔｅｒｅｓｔｉｎｇｒｏｗｔｈｃｕｒｖｅｄｍｏｄｅｌｓｗｉｔｈｒａｎｄｏｍｅｆｆｅｃｔｓｉｓｃｏｎｓｉｄｅｒｅｄ．Ｗｅｐｒｅｓｅｎｔａｎｅｗｓｉｍｐｌｅｅｓｔｉｍａｔｅａｎｄａｎｉｎｄｅｐｅｎｄｅｎｔｅｓｔｉｍａｔｅｏｆｉｔｓｃｏｖａｒｉａｎｃｅｍａｔｒｉｘ，ｗｈｉｃｈｍａｋｅｉｔｅａｓｙｔｏｃｏｎｓｔｒｕｃｔｅｘａｃｔｔｅｓｔｓｏｎｐａｒｔｉａｌｐａｒａｍｅｔｅｒｓ．ＣｏｍｐａｒｉｎｇｗｉｔｈｔｈｅｃｏｒｒｅｓｐｏｎｄｉｎｇＬＳＥａｎｄｔｈｅｔｗｏ－ｓｔａｇｅｅｓｔｉｍａｔｅｔｈｅｎｅｗｅｓｔｉｍａｔｅｈａｓｃｏｎｄｉｔｉｏｎｓ．Ｆｕｒｔｈｅｒｍｏｒｅ．ｔｈｅｓｉｍｐｌｅｅｓｔｉｍａｔｅｈａｓｈｉｇｈｅｒｅｆｆｉｃｉｅｎｃｙｕｎｄｅｒｓｏｍｅｔｈｅｍｉｎｉｍｕｍｖａｒｉａｎｃｅｉｎｔｈｅｆａｍｉｌｙｏｆｔｈｅｌｉｎｅａｒｕｎｂｉａｓｅｄｅｓｔｉｍａｔｅｓ，ｔｈｅｎｅｃｅｓ—ｓａｒｙａｎｄｓｕｆｆｉｃｉｅｎｔｃｏｎｄｉｔｉｏｎｉｓｇｉｖｅｎ，ｗｈｉｃｈ（ｐａｒｔｌｙ）ｅｘｐｌａｉｎｓｔｗｏｐｈｅｎｏｍｅｎａ：ｐａｒｔｉａｌｐａｒａｍｅｔｅｒｓｍａｙｈａｖｅｔｈｅｅｘｐｌｉｃｉｔｍａｘｉｍｕｍｌｉｋｅｌｉｈｏｏｄｅｓｔｉｍａｔｅ，ｗｈｉｃｈｉｓｅｑｕａｌｔｏｔｈｅｃｏｒｒｅｓｐｏｎｄｉｎｇＬＳＥ；ｔｈｅＬＳＥｏｆｐａｒｔｉａｌｐａｒａｍｅｔｅｒｓｈａｓｈｉｇｈｅｆｆｉｃｉｅｎｃｙｕｎｄｅｒｓｏｍｅｓｉｍｕｌａｔｉｏｎｓ．Ｔｈｅｔｈｅｓｉｓｅｎｄｓｗｉｔｈｔｈｅｅｓｔｉｍａｔｉｏｎｏｆｅｒｒｏｒｖａｒｉａｎｃｅｉｎｇｅｎｅｒａｌｌｉｎｅａｒｍｏｄｅｌｓ，ｂｙｃｏｍｐａｒｉｓｏｎｏｆｔｈｅｍｉｎｉｍｕｍｎｏｒｍｑｕａｄｒａｔｉｃｕｎｂｉａｓｅｄｅｓｔｉｍａｔｅ（ＭＩＮＱＵＥ）ａｎｄｓｉｍｐｌｅｅｓｔｉｍａｔｅｏｆｔｈｅｅｒｒｏｒｖａｒｉａｎｃｅｕｎｄｅｒｍｅａＤ＿ｓｑｕａｒｅｅｒ—ｒｏｒｓｃｒｉｔｅｒｉｏｎ，Ｏｕｒｒｅｓｕｌｔｓｓｈｏｗｔｈａｔａｎｙｅｓｔｉｍａｔｅｃａｎｎｏｔｂｅａｌｗａｙｓｓｕｐｅｒｉｏｒｔｏａｎｏｔｈｅｒ．Ｓｏｍｅｓｕｆｆｉｃｉｅｎｔｃｏｎｄｉｔｉｏｎｓｆｏｒａｎｙｏｎｅｔｏｂｅｂｅｔｔｅｒｔｈａｎｏｔｈｅｒａｒｅｅｓｔａｂｌｉｓｈｅｄ．Ｓｏｍｅｉｎｔｅｒｅｓｔｉｎｇｒｅｌａｔｉｏｎｓｂｅｔｗｅｅｎｔｈｅｓｅｔｗｏｅｓｔｉｍａｔｅｓａｒｅａｌｓｏｇｉｖｅｎ．ＡｂｓｔｒａｃｔＫｅｙｗｏｒｄｓ：ｌｉｎｅａｒｍｉｘｅｄｍｏｄｅｌ；ｓｐｅｃｔｒａｌｄｅｃｏｍｐｏｓｉｏｎｅｓｔｉｍａｔｅ；ａｎａｌｙｓｉｓｏｆｖａｒｉａｎｃｅｅｓｔｉｍａｔｅ；ｍａｘｉｍｕｍｌｉｋｅｌｉｈｏｏｄｅｓｔｉｍａｔｅ；ｇｒｏｗｔｈｃｕｒｖｅｄｍｏｄｅｌ独创性声明本人声明所呈交的论文是我个人在导师指导下进行的研究工作及取得的研究成果。
混合型变系数回归
混合型变系数回归
混合型变系数回归模型（Mixed-Effects Regression Model with Time-varying Coefficients）是一种用于处理具有固定效应和随机效应的回归模型，同时考虑了变系数的影响。
在混合型变系数回归模型中，一些解释变量对响应变量的影响随时间变化，而其他解释变量对响应变量的影响是固定的。
混合型变系数回归模型通常用于分析具有重复测量或时间序列数据的情况，其中解释变量可能会随时间变化。
这种模型可以更好地解释响应变量和解释变量之间的复杂关系，同时考虑到个体之间的差异和随时间变化的效应。
在混合型变系数回归模型中，固定效应用于解释响应变量中与所有个体都相关的效应，而随机效应用于解释与特定个体相关的效应。
通过将解释变量分解为固定效应和随机效应，可以更全面地理解响应变量与解释变量之间的关系。
混合型变系数回归模型的参数估计通常使用最大似然估计法或广义最小二乘法等方法进行估计。
在实现混合型变系数回归模型时，需要选择合适的统计软件或编程语言，如Python、R等，以进行模型拟合和参数估计。
总之，混合型变系数回归模型是一种灵活的回归分析方法，适用于处理具有时间变化特性的数据，可以更好地探索响应变量与解释变量之间的关系，并为数据分析提供更准确的预测和推断。
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ｉ ｉｄ 、 ．． ｉｄ
（） １
这里 和 分别是每个样品的随机系数和每次测量的随机误差且 一（ ， ， ～（ ， ｂ ∑） ０ 相互 独立 。 ～（ ， ∑ ０ ＋ ） （） ２
Ｚ ＝ （ ｌ， ２， ， ） ， Ｚ Ｚ … Ｚ ｅ＝ （１，２， ， ） ， ｅ ｅ … ｅ Ｃ ＝ （ １， ２， ， ） ， ＝ｄａ （ ， ２ … ， ） Ｃ Ｃ … Ｃ Ｄ ｉｇ Ｄ１Ｄ ， Ｄ
其中 Ｄ ∑ ＋ ＝
Ｖ０ ． ７ ＮＯ． Ｉ１ ４
第１ ７卷第 ４期
混合系数线性模型参数的一种新估计及相对效率
许 莹
（ 安徽师范大学 数学计算机科学学院， 安徽 芜湖 ２ １０ ） ４ ０ ０
摘
要：在连续测量数据 的情况下 ， 出了固定系数 ４ 给 和随机系数 ｂ 的一种 新估 计 ， 并引入 了一般 广义岭估计 的概
其中 （）＝（ 。ｔ ， ｔ ， （） Ｙ ｔ ｔ （） （） …， ｔ ），（）＝（ｌｔ ， （） …， （） Ｙ （）Ｙ ｔ ， Ｙ ｔ ） 都是 ｔ ２ 的已知函数 ， 是Ｐ×１ 的固定系数 ， ｇ 的随机系数 向量 ， Ｅ ／ 卢是 ×１ 且 （ ）＝ｂｃｖｔ ３ ， （ ）＝ ∑。 ｏ ￣ 现对 ｍ个样品分别在时间 ｔ ＜ｔ ＜… ＜ｔ ｉ ，， ｍ， ， ＝Ｉ２ …， 测得数据 ：
若记
Ｚ ： （ Ｚ ， ， ） ， ￡ （ ， ， ， 。 Ｚｌ … Ｚ 占 ＝ １ｓ … ） ，
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。
ｆ－ Ｙ ） Ｙ ） ，（ Ｙ ） ２ … ｑ ］ （ （
置 ＝ … ｌ … … … ｌ ＝ｌ … ， … … … Ｉ （ （ ） … （ｉｌ ｌ （ ） Ｙ ｔ） … Ｙ（ ） ） ｆ ） ／ ｙ ｔ ２ ｉ （ ｑ ｊ ｔ
则 可得
Ｌｄ ｉｉ ｄ ．．
Ｚ ｉ＝Ｘ ＋１ ＋ ， ， ￡
ｉ＝１ ２ … ， 卢 ， ， ｍ， ～（ ， ， ｉ～（ ，ｒ ） ６ ∑） 占 ０ｏ
式 中ｐ≥Ｏ ｇ ， ≥０ 当ｐ＝０ ， ， 时 模型化为完全随机的形式见文献［ ］文献 ［ ］ １， ２ 等对其参数及大样本 性质作 了一些研究 。 ｇ＝０时模型化为一般线性模型。 当 这里要求
０ 引 言
在许多实际问题 中经常会出现一种混合系数的线性模型【 ， ３ 即线性模型的参数一部分是 固定 的， Ｊ 而另一部分是随机的， 这种模型在经济分析、 可靠性退化分析及生物学等领域均有十分广泛的应用。 一
般地 ， 混合 系数 的线性 模型 有 以下 形式 ： ｚ（）＝ ［ ｚ ］ ＋［ （） ｔ （） Ｙ ］
念且证 明了其优 良性。 提出了关于这种新估计的三种相对效率 ， 并给 出了它们的上界或下界 。 关键词 ：一般广义岭估计 ； 固定 系数 ； 随机系数 ； 相对效率 中图分 类号 ：Ｏ １ ． ２２１ 文献标识码 ：Ａ 文章编号 ：１０ ４ ６ （ ０ １ ０ ０ ７— ２ ０ ２ １ ）４—０３ Ｏ ０ ０一 ５
第４ 期
许莹 ： 合系数线性模型参数 的一种新估计及相对效率 混
。， ３ １・
设Ｃ ＝ （ ｉ ） ｄ ＝ （ ｂ）， ＝Ｙ（ ）＋ ， （ ）式变 为 Ｘ， ， ａ ， ｅ ，／ －ｂ 则 １ ３
ｔｄ
Ｚ ＝ Ｃｄ＋ｅ， ｉ
进一 步记
ｉ＝ １２ … ， ， ， ｍ，
（ ，
∑
＋ ） 对于方差 ∑分三种情况讨论 ： ，
（ ） 已知时， １∑ 此时 ｅｖ Ｚ ） ｏ （ 中仅含参数 ；
（ ） 未知时， ２∑ 可用 Ｌ来近似代替 ∑［ ； ４ （ ） 未知时， ∑ 的无偏估计 ∑来近似代替 ∑ 。 ３∑ 用 】 但无论哪种情况， 都不加区别的记作
ｃｙ Ｚ） ＝ Ｍｉ ｏ（ （） ４
对于上述三种形式都有 Ｍ ＞０ 且 已知 。 ｉ ， 由于
Ｄ ＝ ｄａ （ ｌＤ ， ， ｄａ （ ， ， ， ）＝ Ｍ ｉｇ Ｄ ，２… Ｄ ）＝ ｉｇＭｌ … 故 Ｍ ＞０且 已知 。
ｒ（ ｋ 置） ＝Ｐ ｒ（ ）＝ｇ ｒ（ ｉ ） ＝Ｐ＋ｑ＝ｇ ，ｋ ， Ｘ， ｋ
收稿 日期 ：２ １ Ｏ ０ ｌ— ５—１ ６
基 金项 目：安徽省高校 自 然科学研究重点项 目（ Ｊ０ ７ ０ ２ 资助。 Ｋ２０Ａ １） 作者简介 ：许莹 ， ， 宿州人 ， 女 安徽 安徽师范大学数学计算机科学学院概率论与数理统计专业硕士研究生 ， 究方 向 ： 研 多元统计 。
２１ ． １年 １ 月 ０ １
安庆师范学院学报（ 然科学版） 自
Ｊ ｕ ａ ｏ Ａ ｑ ｇＴ ａ ｈ ｒ Ｃ ｌ ｇ （ ａ ｒ ｃ ｎ ｅＥ ｉ ｎ ｏ ｒ ｌ ｆ ｎ ｉ ｅ ｃ ｅｓ ｏ ｅ ｅ Ｎ ｔ ａ Ｓ ｉ ｃ ｄ ｉ ） ｎ ｎ ｌ ｕ ｌ ｅ ｔ ｏ
ＮＯ ２ ｌ Ｖ． ０ ｌ
， （） 则 ２ 式化为
Ｄ ＝Ｃ ｄ＋ｅ ｅ一 （ Ｄ） ， ０， （） ３
由文献［ ］ ｄ ３ 知 的 估计 ｄ＝（ ） Ｉ ， ＣＣ 一 Ｚ 文献 ［ ］ ｃ ４ 给出了相对于 估计的广义岭估计 ， 现在给 出 ｄ的广义 估计 ， 证明它的优 良性 ， 并且给出相对广义 估计的广义岭估计 ， 讨论它的性质 ， 最后讨 论几种相对效率及其上下界。 １ 参数向量 ｄ的估计 在模型（ ）中，ｏ（ ∑ ２ ｅｖＺ ）＝ ＋ ＝ （