【真卷】2017年北京市海淀区高考数学二模试卷(文科)

2017年北京市海淀区高考数学二模试卷（文科）一、选择题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．（5分）若集合A={﹣2，0，1}，B={x|x＜﹣1或x＞0}，则A∩B=（）A．{﹣2}B．{1}C．{﹣2，1}D．{﹣2，0，1}2．（5分）在复平面内，复数对应的点的坐标为（）A．（1，﹣1）B．（1，1） C．（﹣1，1）D．（﹣1，﹣1）3．（5分）已知向量=（x，1），=（3，﹣2），若∥，则x=（）A．﹣3 B．C．D．4．（5分）执行如图所示的程序框图，若输入a=﹣7，d=3，则输出的S为（）A．S=﹣12 B．S=﹣11 C．S=﹣10 D．S=﹣65．（5分）已知数列{a n}是等比数列，则“a2＞a1”是“数列{a n}为递增数列”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件6．（5分）北京市2016年12个月的PM2.5平均浓度指数如图所示．由图判断，四个季度中PM2.5的平均浓度指数方差最小的是（）A．第一季度B．第二季度C．第三季度D．第四季度7．（5分）函数y=f（x）的图象如图所示，则f（x）的解析式可以为（）A． B． C． D．8．（5分）一位手机用户前四次输入四位数字手机密码均不正确，第五次输入密码正确，手机解锁．事后发现前四次输入的密码中，每次都有两个数字正确，但它们各自的位置均不正确．已知前四次输入密码分别为3406，1630，7364，6173，则正确的密码中一定含有数字（）A．4，6 B．3，6 C．3，7 D．1，7二、填空题共6小题，每小题5分，共30分．9．（5分）双曲线的实轴长为．10．（5分）在log23，2﹣3，cosπ这三个数中最大的数是．11．（5分）在△ABC中，a=2，b=3，c=4，则其最大内角的余弦值为．12．（5分）设D为不等式（x﹣1）2+y2≤1表示的平面区域，直线x+y+b=0与区域D有公共点，则b的取值范围是．13．（5分）已知O为原点，点P为直线2x+y﹣2=0上的任意一点．非零向量=（m，n）．若•恒为定值，则=．14．（5分）如图，在棱长为1的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，点P是线段BD1上的动点．当△PAC在平面DC1，BC1，AC上的正投影都为三角形时，将它们的面积分别记为S1，S2，S3．（i）当BP=时，S1S2（填“＞”或“=”或“＜”）；（ii）S1+S2+S3的最大值为．三、解答题共6小题，共80分．解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程．15．（13分）已知函数f（x）=sin2xcos．（Ⅰ）求函数f（x）的最小正周期和对称轴的方程；（Ⅱ）求函数f（x）在区间上的最大值．16．（13分）已知{a n}是各项为正数的等差数列，S n为其前n项和，且4S n=（a n+1）2．（Ⅰ）求a1，a2的值及{a n}的通项公式；（Ⅱ）求数列的最小值．17．（13分）为了响应教育部颁布的《关于推进中小学生研学旅行的意见》，某校计划开设八门研学旅行课程，并对全校学生的选课意向进行调查（调查要求全员参与，每个学生必须从八门课程中选出唯一一门课程）．本次调查结果如下．图中，课程A，B，C，D，E为人文类课程，课程F，G，H为自然科学类课程．为进一步研究学生选课意向，结合上面图表，采取分层抽样方法从全校抽取1%的学生作为研究样本组（以下简称“组M”）．（Ⅰ）在“组M”中，选择人文类课程和自然科学类课程的人数各有多少？（Ⅱ）某地举办自然科学营活动，学校要求：参加活动的学生只能是“组M”中选择F课程或G课程的同学，并且这些同学以自愿报名缴费的方式参加活动．选择F课程的学生中有x人参加科学营活动，每人需缴纳2000元，选择G课程的学生中有y人参加该活动，每人需缴纳1000元．记选择F课程和G课程的学生自愿报名人数的情况为（x，y），参加活动的学生缴纳费用总和为S元．（ⅰ）当S=4000时，写出（x，y）的所有可能取值；（ⅱ）若选择G课程的同学都参加科学营活动，求S＞4500元的概率．18．（14分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为菱形，PC⊥平面ABCD，点E在棱PA上．（Ⅰ）求证：直线BD⊥平面PAC；（Ⅱ）若PC∥平面BDE，求证：AE=EP；（Ⅲ）是否存在点E，使得四面体A﹣BDE的体积等于四面体P﹣BDC的体积的？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．19．（13分）已知函数f（x）=﹣2x+1．（Ⅰ）求函数f（x）的单调区间；（Ⅱ）当0＜a≤时，求函数f（x）在区间[﹣a，a]上的最大值．20．（14分）已知F1（﹣1，0），F2（1，0）分别是椭圆C：=1（a＞0）的左、右焦点．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）若A，B分别在直线x=﹣2和x=2上，且AF1⊥BF1．（ⅰ）当△ABF1为等腰三角形时，求△ABF1的面积；（ⅱ）求点F1，F2到直线AB距离之和的最小值．2017年北京市海淀区高考数学二模试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．（5分）若集合A={﹣2，0，1}，B={x|x＜﹣1或x＞0}，则A∩B=（）A．{﹣2}B．{1}C．{﹣2，1}D．{﹣2，0，1}【解答】解：∵集合A={﹣2，0，1}，B={x|x＜﹣1或x＞0}，∴A∩B={﹣2，1}．故选：C．2．（5分）在复平面内，复数对应的点的坐标为（）A．（1，﹣1）B．（1，1） C．（﹣1，1）D．（﹣1，﹣1）【解答】解：复数==i﹣1对应的点的坐标为（﹣1，1）．故选：C．3．（5分）已知向量=（x，1），=（3，﹣2），若∥，则x=（）A．﹣3 B．C．D．【解答】解：向量=（x，1），=（3，﹣2），∥，则﹣2x=1×3，解得x=﹣，故选：B．4．（5分）执行如图所示的程序框图，若输入a=﹣7，d=3，则输出的S为（）A．S=﹣12 B．S=﹣11 C．S=﹣10 D．S=﹣6【解答】解：输入a=﹣7，d=3，s=0，s=﹣7，a+d=﹣4≤0，a=﹣4，s=﹣7﹣4=﹣11，a+d=﹣1≤0，a=﹣1，s=﹣11﹣1=﹣12，a+d=2＞0，输出s=﹣12，故选：A．5．（5分）已知数列{a n}是等比数列，则“a2＞a1”是“数列{a n}为递增数列”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【解答】解：设等比数列{a n}的公比为q，则“a2＞a1”⇔a1（q﹣1）＞0，⇔，或．由数列{a n}为递增数列，可得，或．∴“a2＞a1”是“数列{a n}为递增数列”的必要不充分条件．故选：B．6．（5分）北京市2016年12个月的PM2.5平均浓度指数如图所示．由图判断，四个季度中PM2.5的平均浓度指数方差最小的是（）A．第一季度B．第二季度C．第三季度D．第四季度【解答】解：根据图中数据知，第一季度的数据是72.25，43.96，93.13；第二季度的数据是66.5，55.25，58.67；第三季度的数据是59.36，38.67，51.6；第四季度的数据是82.09，104.6，168.05；观察得出第二季度的数据波动性最小，所以第二季度的PM2.5平均浓度指数方差最小．故选：B．7．（5分）函数y=f（x）的图象如图所示，则f（x）的解析式可以为（）A． B． C． D．【解答】解：对于A，当x→﹣∞时，f（x）→﹣∞，不符合题意；对于B，令f（x）=0得x4=1，∴x=±1，即f（x）有两个零点，不符合题意；对于D，f（x）的定义域为（0，+∞），不符合题意；故选：C．8．（5分）一位手机用户前四次输入四位数字手机密码均不正确，第五次输入密码正确，手机解锁．事后发现前四次输入的密码中，每次都有两个数字正确，但它们各自的位置均不正确．已知前四次输入密码分别为3406，1630，7364，6173，则正确的密码中一定含有数字（）A．4，6 B．3，6 C．3，7 D．1，7【解答】解：若正确的密码中一定含有数字3，6，而3，6在第1，2，3，4的位置都有，与它们各自的位置均不正确矛盾．同理正确的密码中一定含有数字4，6，或3，7不正确．若正确的密码中一定含有数字1，7，而3，6在第1，2，3，4的位置都有，根据它们各自的位置均不正确，可得1在第三位置，7在第四位置．故选：D．二、填空题共6小题，每小题5分，共30分．9．（5分）双曲线的实轴长为2．【解答】解：双曲线的方程为，其中a=1，则其实轴长2a=2；故答案为：2．10．（5分）在log23，2﹣3，cosπ这三个数中最大的数是log23．【解答】解：log23＞1，2﹣3∈（0，1），cosπ=﹣1这三个数中最大的数是log23．故答案为：log23．11．（5分）在△ABC中，a=2，b=3，c=4，则其最大内角的余弦值为﹣．【解答】解：∵在△ABC中，a=2，b=3，c=4，∴C为最大内角，则cosC===﹣，故答案为：﹣．12．（5分）设D为不等式（x﹣1）2+y2≤1表示的平面区域，直线x+y+b=0与区域D有公共点，则b的取值范围是﹣3≤b≤1．【解答】解：由题意，圆心（1，0）到直线的距离d=≤1，∴﹣3≤b≤1，故答案为﹣3≤b≤1．13．（5分）已知O为原点，点P为直线2x+y﹣2=0上的任意一点．非零向量=（m，n）．若•恒为定值，则=2．【解答】解：设点P（x，y），∵点P为直线2x+y﹣2=0上的任意一点，∴y=2﹣2x，∴=（x，2﹣2x）；又非零向量=（m，n），∴•=mx+n（2﹣2x）=（m﹣2n）x+2n恒为定值，∴m﹣2n=0，∴=2．故答案为：2．14．（5分）如图，在棱长为1的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，点P是线段BD1上的动点．当△PAC在平面DC1，BC1，AC上的正投影都为三角形时，将它们的面积分别记为S1，S2，S3．（i）当BP=时，S1=S2（填“＞”或“=”或“＜”）；（ii）S1+S2+S3的最大值为．【解答】解：（i）设P在平面DC1和平面BC1上的投影分别为P1，P2，则P1、P2到平面ABCD的距离相等，即h1=h2，∵S1=h1，S2=，∴S1=S2．（ii）设P在底面的投影为M，则M在BD上，设=λ（0＜λ≤1且），则=，∴PM=λ，BM=λ，∴S1=S2==，S3=|﹣|=|﹣λ|，∴S1+S2+S3=λ+|﹣λ|，∴当λ=1时，S1+S2+S3取得最大值．故答案为：（i）=，（ii）．三、解答题共6小题，共80分．解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程．15．（13分）已知函数f（x）=sin2xcos．（Ⅰ）求函数f（x）的最小正周期和对称轴的方程；（Ⅱ）求函数f（x）在区间上的最大值．【解答】解：（Ⅰ），所以f（x）的最小正周期．因为y=sinx的对称轴方程为令，得．f（x）的对称轴方程为．或者：和，即和．（Ⅱ）∵，∴2x∈[0，π]，∴，∴当，即时，函数f（x）取得最大值．∴f（x）在区间上的最大值为1．16．（13分）已知{a n}是各项为正数的等差数列，S n为其前n项和，且4S n=（a n+1）2．（Ⅰ）求a1，a2的值及{a n}的通项公式；（Ⅱ）求数列的最小值．【解答】（本小题满分13分）解：（Ⅰ）因为，所以，当n=1时，，解得a1=1，当n=2时，，解得a2=﹣1或a2=3，因为{a n}是各项为正数的等差数列，所以a2=3，所以{a n}的公差d=a2﹣a1=2，所以{a n}的通项公式a n=a1+（n﹣1）d=2n﹣1．（Ⅱ）因为，所以，所以==，所以，当n=3或n=4时，取得最小值．17．（13分）为了响应教育部颁布的《关于推进中小学生研学旅行的意见》，某校计划开设八门研学旅行课程，并对全校学生的选课意向进行调查（调查要求全员参与，每个学生必须从八门课程中选出唯一一门课程）．本次调查结果如下．图中，课程A，B，C，D，E为人文类课程，课程F，G，H为自然科学类课程．为进一步研究学生选课意向，结合上面图表，采取分层抽样方法从全校抽取1%的学生作为研究样本组（以下简称“组M”）．（Ⅰ）在“组M”中，选择人文类课程和自然科学类课程的人数各有多少？（Ⅱ）某地举办自然科学营活动，学校要求：参加活动的学生只能是“组M”中选择F课程或G课程的同学，并且这些同学以自愿报名缴费的方式参加活动．选择F课程的学生中有x人参加科学营活动，每人需缴纳2000元，选择G课程的学生中有y人参加该活动，每人需缴纳1000元．记选择F课程和G课程的学生自愿报名人数的情况为（x，y），参加活动的学生缴纳费用总和为S元．（ⅰ）当S=4000时，写出（x，y）的所有可能取值；（ⅱ）若选择G课程的同学都参加科学营活动，求S＞4500元的概率．【解答】（本小题满分13分）解：（Ⅰ）选择人文类课程的人数为（100+200+400+200+300）×1%=12（人），选择自然科学类课程的人数为（300+200+300）×1%=8（人）．（Ⅱ）（ⅰ）当缴纳费用S=4000时，（x，y）只有两种取值情况：（2，0），（1，2）；（ⅱ）设事件A：若选择G课程的同学都参加科学营活动，缴纳费用总和S超过4500元．在“组M”中，选择F课程和G课程的人数分别为3人和2人．由于选择G课程的两名同学都参加，下面考虑选择F课程的3位同学参加活动的情况．设每名同学报名参加活动用a表示，不参加活动用b表示，则3名同学报名参加活动的情况共有以下8种情况：aaa，aab，aba，baa，bba，bab，abb，bbb．当缴纳费用总和S超过4500元时，选择F课程的同学至少要有2名同学参加，有如下4种：aaa，aab，aba，baa．所以，S＞4500元的概率．18．（14分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为菱形，PC⊥平面ABCD，点E在棱PA上．（Ⅰ）求证：直线BD⊥平面PAC；（Ⅱ）若PC∥平面BDE，求证：AE=EP；（Ⅲ）是否存在点E，使得四面体A﹣BDE的体积等于四面体P﹣BDC的体积的？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．【解答】（本小题满分14分）证明：（Ⅰ）因为PC⊥平面ABCD，所以PC⊥BD，因为底面ABCD是菱形，所以BD⊥AC，因为PC∩AC=C，所以BD⊥平面PAC．（Ⅱ）设AC与BD交点为O，连接OE，因为平面PAC∩平面BDE=OE，PC∥平面BDE，所以PC∥OE，又由ABCD是菱形可知O为AC中点，所以，在△PAC中，，所以AE=EP．解：（Ⅲ）在△PAC中过点E作EF∥PC，交AC于点F，因为PC⊥平面ABCD，所以EF⊥平面ABCD．由ABCD是菱形可知S=S△BDC，△ABD假设存在点E满足，即，则，所以在△PAC中，，所以．19．（13分）已知函数f（x）=﹣2x+1．（Ⅰ）求函数f（x）的单调区间；（Ⅱ）当0＜a ≤时，求函数f（x）在区间[﹣a，a]上的最大值．【解答】（本小题满分13分）解：（Ⅰ）由得f'（x）=x2+x﹣2=（x+1）（x﹣2），令f'（x）=0，得x1=﹣2，x2=1，f（x），f'（x）的情况如下表：所以函数f（x）的单调增区间为（﹣∞，﹣2），（1，+∞），单调减区间为（﹣2，1）．（Ⅱ）由可得．当﹣a＜﹣2即时，由（Ⅰ）可得f（x）在[﹣a，﹣2）和（1，a]上单调递增，在（﹣2，1）上单调递减，所以，函数f（x）在区间[﹣a，a]上的最大值为max{f（﹣2），f（a）}，又由（Ⅰ）可知，所以；当﹣a≥﹣2，a≤1，即0＜a≤1时，由（Ⅰ）可得f（x）在[﹣a，a]上单调递减，f（x）在[﹣a，a]上的最大值为．当﹣2≤﹣a，a＞1，即1＜a≤2时，由（Ⅰ）可得f（x）在[﹣a，1）上单调递减，在（1，a]上单调递增，所以，函数f（x）在区间[﹣a，a]上的最大值为max{f（﹣a），f（a）}，法1：因为，所以．法2：因为﹣2≤﹣a＜﹣1，1＜a≤2所以由（Ⅰ）可知，，所以f（﹣a）＞f（a），所以．法3：设，则g'（x）=﹣2x2+4，g（x），g'（x）的在[1，2]上的情况如下表：所以，当0＜x＜2时，g（x）＞g（0）=0，所以g（a）=f（﹣a）﹣f（a）＞0，即f（﹣a）＞f（a）所以max{f（﹣a），f（a）}=f（﹣a）=．综上讨论，可知：当时，函数f（x）在区间[﹣a，a]上的最大值为；当0＜a＜2时，函数f（x）在区间[﹣a，a]上的最大值为．20．（14分）已知F1（﹣1，0），F2（1，0）分别是椭圆C：=1（a＞0）的左、右焦点．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）若A，B分别在直线x=﹣2和x=2上，且AF1⊥BF1．（ⅰ）当△ABF1为等腰三角形时，求△ABF1的面积；（ⅱ）求点F1，F2到直线AB距离之和的最小值．【解答】解：（Ⅰ）由题意可得，c=1，则a2﹣b2=c2，即a2﹣3=1，则a2=4，∴椭圆C的方程为．（Ⅱ）（ⅰ）由题意可设A（﹣2，m），B（2，n），由AF1⊥BF1，则，即（1，﹣m）（﹣3，﹣n）=0，则mn=3，①由AF1⊥BF1，则当△ABF1为等腰三角形时，只能是|AF1|=|BF1|，即，化简得m2﹣n2=8，②由①②可得或，∴．（ⅱ）直线，化简得（n﹣m）x﹣4y+2（m+n）=0，由点到直线的距离公式可得点F1，F2到直线AB距离之和为∵点F1，F2在直线AB的同一侧，∴由mn=3，则m2+n2≥2mn=6，∴当或时，点F1，F2到直线AB距离之和取得最小值．∴点F1，F2到直线AB距离之和取得最小值．赠送初中数学几何模型【模型三】双垂型：图形特征：60°运用举例：1.在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，以斜边AB为底边向外作等腰三角形PAB，连接PC. （1）如图，当∠APB＝90°时，若AC=5，PC＝62，求BC的长；（2）当∠APB＝90°时，若AB=45APBC的面积是36，求△ACB的周长.P2.已知：如图，B、C、E三点在一条直线上，AB＝AD，BC＝CD.（1）若∠B＝90°，AB＝6，BC＝23，求∠A的值；（2）若∠BAD＋∠BCD＝180°，cos∠DCE＝35，求ABBC的值.3.如图，在四边形ABCD中，AB=AD，∠DAB=∠BCD=90°，（1）若AB=3，BC+CD=5，求四边形ABCD的面积（2）若p= BC+CD，四边形ABCD的面积为S，试探究S与p之间的关系。