二次根式乘除法(含答案)
(完整版)二次根式乘除法(含答案)
一、知识聚焦：1．积的算术平方根的性质：积的算术平方根，等于积中各因式的算术平方根的积。
2．二次根式的乘法法则：两个因式的算术平方根的积，等于这两个因式积的算术平方根。
3．商的算术平方根的性质：商的算术平方根等于被除式的算术平方根除以除式的算术平方根4．二次根式的除法法则：两个数的算术平方根的商，等于这两个数的商的算术平方根。
5．最简二次根式：符合以下两个条件：（1）被开方数不含分母；（2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式的二次根式，叫做最简二次根式。
6．分母有理化：把分母的根号去掉的过程称作“分母有理化”二、经典例题：例1．化简(0x≥y,0≥例2．计算25⋅315⨯2例3．判断下列各式是否正确，不正确的请予以改正：=例4．化简：,0x)0≥yx≥y(>>b)0(>(≥,0,0a)0（4例5．计算：例6．下列各式中哪些是最简二次根式，哪些不是？为什么？(1)b a 23 (2)23ab(3)22y x + (4))(b a b a >- (5)5 (6)xy 8例7. 把下列各式化为最简二次根式：(1)12 (2)b a 245 (3)xyx 2例8. 把下列各式分母有理化例9. 比较3223和两个实数的大小答案： 例例2. （1（2）303 （3） （4）6例3. (1)不正确． ×3=6(2) 例4.（1）83 （2）a b 38 （3）y x 83 （4）yx 135 例5.（1）2 （2）23 （3）2 （4）22 例6．(3)，(4)，(5)是，其它不是例7．(1)23, (2) b a 53, (3) xy x 例8. (1)21144-(2) b a b a a ++2 例9. 3223>三、基础演练：1. ②×2.化简3.把下列各式化为最简二次根式：(1)3)(8y x + (2)2114 (3)mn 382334. 把下列各式分母有理化 （1）403 （2）xyy 422（x ＞0，y ＞0）5.比较大小(1)76与67 (2)--答案：1.①=82 ②=1215 ③=y a 2.25；32；62； 32ab 3.(1) )(2)(2y x y x ++ (2) 62 (3)m mn n 6 4.(1)2030(2) x xy y5.解：(1) 76<67 (2) --四、能力提升：1，•那么此直角三角形斜边长是（ ）．A ．．3．9cm D ．27cm 2．下列各等式成立的是（ ）．A ．．C ．．×3 ）．A ．27．27C ．74.二次根式：①29x -；②))((b a b a -+；③122+-a a ；④x1；⑤75.0中最简二次根式是（ ） A 、①② B 、③④⑤ C 、②③ D 、只有④5=6．分母有理化=______.答案：1． B 2． D 3． A 4. A 5．6136．=6263=22五、个性天地：（LJJ00002）（1=_________；（2）=___________；=_________；（2=__________．(SHY00002)已知x=3，y=4，z=5_______．答案：（LJJ00002）（1）4；（2）15；(ZZY00002)57；（2）24x (SHY00002)315。
典型二次根式计算及解析
二次根式计算及解析一．解答题（共40小题）1．计算：÷×2÷2． 2．计算：（）﹣||3．计算：×÷． 4．?（÷2）．5．． 6．．7．计算：． 8．÷×3÷6．9．计算：÷×． 10．计算：×（﹣）×．11．计算：= ．12．12．化简：x2?（）（x＞0，y≥0）．13．计算：×（﹣）2×÷．14．计算：×（）﹣1÷．15．计算：÷（x＞0，y＞0）．16．计算：×（）÷．18．（1）计算下列各式：①；②；（2）通过上面的计算，你一定有所体会吧？请计算：．19．计算：． 20．计算：?．21．化简：． 22．．23．（a＞0，b＞0）24．已知x=，y=，求x2y+xy2的值．25．已知x1=，x2=，求下列代数式的值：（1）x12+x1﹣1；（2）x1+x2+x1x2+1．26．已知a=，b=，求a2b+ab2的值．27．求a=2+，b=3时，代数式a2+b2﹣4a+4的值．28．（1）计算﹣（）2+（）0﹣+|| （2）已知a=，求﹣的值．29．计算题（1）（2）．30．计算：×（+）﹣． 31．计算：（）﹣2﹣|2﹣3|+．32．计算：（2﹣）0+|2﹣|+（﹣1）2017﹣×．计算：33．34．先化简，再求值，5x2﹣（3y2+5x2）+（4y2+7xy），其中x=﹣1，y=1﹣．35．计算：．36．计算：37．计算：．计算：（﹣2）2×﹣4（4﹣）+38．39．计算：+（2﹣）0﹣2﹣1+||40．计算：（﹣）﹣1×+（﹣2）2÷（﹣1）﹣3．计算大礼包-学而思期中考试特别订制版参考答案与试题解析一．解答题（共40小题）1．计算：÷×2÷2．【分析】先把除法变成乘法，再根据二次根式的乘法法则进行计算即可．【解答】解：原式=××2×=1．【点评】本题考查了二次根式的乘除法法则，能灵活运用法则进行化简是解此题的关键．2．计算：（）﹣||【分析】直接利用二次根式乘法运算法则化简进而利用绝对值的性质化简，再合并求出答案．【解答】解：原式=3﹣﹣（2﹣）=3﹣﹣2+，=1．【点评】此题主要考查了二次根式的乘法以及绝对值的性质，正确掌握运算法则是解题关键．3．计算：×÷．【分析】先进行二次根式的乘除法运算，再进行二次根式的化简即可．【解答】解：原式=÷=．【点评】本题考查了二次根式的乘除法，解答本题的关键在于熟练掌握该知识点的运算法则和二次根式的化简．4．?（÷2）．【分析】根据二次根式的乘除法，可得答案．【解答】解：原式=?=．【点评】本题考查了二次根式的乘除法，熟记法则并根据法则计算是解题关键．5．．【分析】利用二次根式的乘除法则计算即可得到结果．【解答】解：原式===．【点评】此题考查了二次根式的乘除法，熟练掌握运算法则是解本题的关键．6．．【分析】先把最后一个二次根式根号外的因式移到根号内，转化成乘法，进而把根号外的式子，根号内的式子，分别进行运算即可．【解答】解：原式=×4÷=×4÷=×4×=×4××=1．【点评】考查二次根式的乘除混合运算；注意应先把乘除混合运算统一成乘法运算．7．计算：．【分析】直接利用二次根式乘除运算法则化简求出答案．【解答】解：=3××=10．【点评】此题主要考查了二次根式的乘除，正确化简二次根式是解题关键．8．÷×3÷6．【分析】先把除法变成乘法，再根据二次根式的乘法法则进行计算即可．【解答】解：原式=××3×=×3=．【点评】本题考查了二次根式的乘除法法则的应用，能灵活运用法则进行计算是解此题的关键．9．计算：÷×．【分析】直接利用二次根式的乘除运算法则化简求出即可．【解答】解：÷×==．【点评】此题主要考查了二次根式的乘除运算，正确掌握运算法则是解题关键．10．计算：×（﹣）×．【分析】根据二次根式的乘法法则进行运算即可．【解答】解：原式=﹣=﹣4．【点评】本题考查了二次根式的乘法运算，属于基础题，注意掌握?=．11．计算：= ．【分析】根据二次根式的乘法法则=，求解即可．【解答】解：原式==．故答案为：．【点评】本题考查了二次根式的乘除法，解答本题的关键是掌握二次根式的乘法法则=．12．化简：x2?（）（x＞0，y≥0）．【分析】根据二次根式的乘法及二次根式的化简，进行运算即可．【解答】解：原式=x=2xy2．【点评】本题考查了二次根式的乘法运算，属于基础题，解答本题的关键是掌握二次根式的乘法法则．13．计算：×（﹣）2×÷．【分析】先开方及乘方，再从左向右运算即可．【解答】解：×（﹣）2×÷=（﹣1）×3×÷，=（9﹣3），=9﹣3．【点评】本题主要考查了二次根式的乘除法，解题的关键是熟记二次根式的乘除法的法则．14．计算：×（）﹣1÷．【分析】先算负指数幂，再从左向右的顺序运算即可．【解答】解：×（）﹣1÷=×÷，=3÷，=3．【点评】本题主要考查了二次根式的乘除法，解题的关键是熟记二次根式的乘除法的法则．15．计算：÷（x＞0，y＞0）．【分析】根据二次根式的除法：=，可得答案．【解答】解：原式==．【点评】本题考查了二次根式的乘除法，利用了二次根式的除法，注意要化简二次根式．16．计算：×（）÷．【分析】根据二次根式乘除法及分母有理化的知识解答即可．【解答】解：原式=b2×（﹣a）÷3=2b×（﹣a）×=﹣a2b．【点评】此题考查了二次根式的乘除法，熟悉二次根式乘除法的法则是解题的关键．17．【分析】运用平方差公式将二次根式展开即可．【解答】解：原式=（+）（﹣）=﹣=3﹣5=﹣2．【点评】此题比较简单，只要熟知平方差公式便可直接解答．18．（1）计算下列各式：①；②；（2）通过上面的计算，你一定有所体会吧？请计算：．【分析】（1）先将各二次根式化为最简二次根式，然后再进行计算；（2）可逆用二次根式的乘法法则：?=，再将所求的二次根式进行化简即可．【解答】解：（1）①原式=2×3=6，（2分）②原式=×4=；（2分）（2）原式===．（2分）【点评】此题主要考查了二次根式的乘法运算，有时先将二次根式化简比较简单（如（1）题），有时运用乘法法则进行计算比较简便（如（2）题），要针对不同题型灵活对待．19．计算：．【分析】先将二次根式化为最简，然后从左至右依次运算即可．【解答】解：原式=4×÷=3÷=．【点评】本题考查了二次根式的乘除法，解答本题的关键是掌握二次根式的乘除运算法则．20．计算：?．【分析】从左至右依次进行运算即可得出答案．【解答】解：原式=÷==．【点评】本题考查了二次根式的乘除运算，属于基础题，掌握二次根式的乘除法则是解答本题的关键．21．化简：．【分析】先进行二次根式的乘法运算，然后将二次根式化为最简，最后合并即可．【解答】解：原式=﹣5=6﹣5=1．【点评】本题考查了二次根式的乘法运算，属于基础题，掌握二次根式的乘法法则及二次根式的化简是关键．22．．【分析】根据二次根式的乘除法则，从左至右依次进行运算即可．【解答】解：原式=6÷15=×=×5=2．【点评】本题考查了二次根式的乘除法则，属于基础题，解答本题的关键是掌握二次根式的乘除法则．23．（a＞0，b＞0）【分析】先将二次根式化为最简二次根式，然后再进行乘除法的运算．【解答】解：原式=2b?（﹣a）÷3，=﹣3a2b2÷3，=﹣a2b．【点评】本题考查二次根式的乘除法运算，难度不大，注意先将二次根式化为最简再计算．24．已知x=，y=，求x2y+xy2的值．【分析】首先将原式提取公因式xy，进而分解因式求出答案．【解答】解：∵x═2﹣，y=，∴x2y+xy2=xy（x+y）=[（2﹣）+（2+）]×1=4．【点评】此题主要考查了二次根式的化简求值，正确掌握乘法公式是解题关键．25．已知x1=，x2=，求下列代数式的值：（1）x12+x1﹣1；（2）x1+x2+x1x2+1．【分析】（1）把x1的值代入，先利用完全平方公式求解，然后进行加减计算即可；（2）把x1和x2的值代入求解即可．【解答】解：（1））x12+x1﹣1=（）2+﹣1=+﹣1=+﹣1=0；（2）原式=++×+1=﹣1++1=﹣1．【点评】本题考查了二次根式的化简求值，正确理解完全平方公式和平方差公式的结构是关键．26．已知a=，b=，求a2b+ab2的值．【分析】先化简a、b的值，然后代入所求的式子中，即可解答本题．【解答】解：∵a=，b=，∴a=，b=，∴a2b+ab2=ab（a+b）===．【点评】本题考查二次根式的化简求值的方法，解题的关键是明确二次根式化简求值的方法．27．求a=2+，b=3时，代数式a2+b2﹣4a+4的值．【分析】可用完全平方公式对代数式进行整理即：a2+b2﹣4a+4=（a﹣2）2+b2，然后再代入求值．【解答】解：a2+b2﹣4a+4=（a﹣2）2+b2，当a=2+，b=3时，得原式=（2+﹣2）2+（3）2=29．【点评】本题考查了二次根式的化简求值，在计算时，巧用公式能化繁为简，起到简化计算得作用．28．（1）计算﹣（）2+（）0﹣+||（2）已知a=，求﹣的值．【分析】（1）利用二次根式的化简，零指数幂，绝对值的性质，算术平方根的性质运算即可；（2）首先将原式化简，在将a的值分母有理化，代入可得结果．【解答】解：（1）﹣（）2+（）0﹣+||=+1+2=﹣3；（2）﹣=﹣=（a﹣1）﹣，∵a==2﹣，∴a﹣1=2﹣﹣1=1﹣＜0，∴原式=（a﹣1）﹣=a﹣1，把a=2﹣代入上式得，a﹣1=1﹣=3．【点评】本题主要考查了二次根式的化简求值，零指数幂的运算等，先化简再代入求值是解答此题的关键．29．计算题（1）（2）．【分析】（1）先把各个二次根式进行化简，再合并同类二次根式即可；（2）根据二次根式的乘除混合运算法则计算．【解答】解：（1）=3﹣2+﹣3=﹣；（2）=4××=．【点评】本题考查的是二次根式的混合运算，掌握二次根式乘法、除法及加减法运算法则是解题的关键．30．计算：×（+）﹣．【分析】先把括号内的各二次根式化为最简二次根式，然后合并后进行二次根式的乘除法运算．【解答】解：原式=（+）﹣=?﹣=3﹣1=2．【点评】本题考查了二次根式的混合运算：先把各二次根式化为最简二次根式，再进行二次根式的乘除运算，然后合并同类二次根式．31．计算：（）﹣2﹣|2﹣3|+．【分析】根据负整数指数幂的意义和分母有理化得到原式=4+2﹣3+，然后合并同类二次根式即可．【解答】解：原式=4+2﹣3+=1+．【点评】本题考查了二次根式的混合运算：先把各二次根式化为最简二次根式，在进行二次根式的乘除运算，然后合并同类二次根式．也考查了负整数指数幂．32．计算：（2﹣）0+|2﹣|+（﹣1）2017﹣×．【分析】根据零指数幂的意义和绝对值的意义进行计算．【解答】解：原式=1+﹣2﹣1﹣=﹣2．【点评】本题考查了二次根式的混合运算：先把各二次根式化简为最简二次根式，然后进行二次根式的乘除运算，再合并即可．33．计算：【分析】根据实数的运算法则依次进行计算即可．【解答】解：原式=﹣4×2+9﹣12﹣+1=﹣8+9﹣11﹣=﹣11．【点评】熟练化简二次根式后，在加减的过程中，有同类二次根式的要合并，相乘的时候，被开方数简单的直接让被开方数相乘，再化简，较大的也可先化简，再相乘，灵活对待．34．先化简，再求值，5x2﹣（3y2+5x2）+（4y2+7xy），其中x=﹣1，y=1﹣．【分析】去括号，合并同类项，化为最简式，再代入数据计算求值．【解答】解：5x2﹣（3y2+5x2）+（4y2+7xy），=5x2﹣3y2﹣5x2+4y2+7xy，=y2+7xy，当x=﹣1，y=1﹣时原式=（1﹣）2+7×（﹣1）×（1﹣）=1﹣2+2﹣7+7=﹣4+5．【点评】本题考查了去括号法则，熟练掌握法则是解本题的关键．35．计算：．【分析】先化简二次根式，能合并的合并，再做乘法．【解答】解：====．【点评】此题考查二次根式的运算，注意运算顺序．36．计算：【分析】先把根式化为最简二次根式，再根据实数的运算法则进行计算．【解答】解：原式=（3+1﹣2）+=4﹣2+4+2=8．【点评】二次根式的混合运算，一般应先化简成最简二次根式，再进行计算，比较简单．37．计算：．【分析】先做乘法、分母有理化，再合并同类二次根式．【解答】解：原式=3++2﹣=5．【点评】此题考查二次根式的运算，注意正确确定有理化因式．38．计算：（﹣2）2×﹣4（4﹣）+【分析】先将各式化为最简二次根式，分母中含有根式的要分母有理化，然后再进行计算．【解答】解：原式=4×2﹣16+12+16+8=28．【点评】本题考查的是二次根式的混合运算，在进行此类运算时一般先把二次根式化为最简二次根式的形式后再运算．39．计算：+（2﹣）0﹣2﹣1+||【分析】零指数幂、负整数指数幂以及分母有理化得到原式=﹣﹣1+1﹣+﹣，然后合并同类二次根式．【解答】解：原式=﹣﹣1+1﹣+﹣=﹣．【点评】本题考查了二次根式的混合运算：先把各二次根式化为最简二次根式，再进行二次根式的乘除运算，然后合并同类二次根式．也考查了零指数幂和负整数指数幂．40．计算：（﹣）﹣1×+（﹣2）2÷（﹣1）﹣3．【分析】先根据负整数指数幂的意义得到原式=×+4÷（﹣1），再分母有理化得到原式=（+）×﹣4，然后进行二次根式的乘法后合并即可．【解答】解：原式=×+4÷（﹣1）=（+）×﹣4=3+﹣4=﹣1．【点评】本题考查了二次根式的混合运算：先把各二次根式化为最简二次根式，再进行二次根式的乘除运算，然后合并同类二次根式．也考查了负整数指数幂．。
北师大版八年级数学上册--第二单元 二次根式的乘除运算 练习题(含答案)
冀教版初中数学八年级上册第十五章二次根式15.2《二次根式的乘除》教学设计说明在设计本课时教案时，引导学生通过计算发现规律，从而由特殊到一般地给出二次根式的乘法法则、除法法则．注意引导学生类比积的算术平方根的性质，让学生把握两者的关系．通过例题的讲解，及时对解题方法和规律进行概括，有利于发展学生的思维能力．重视课本例题，适当地对立体进行引申，引发学生自主探寻与思考，突出例题在巩固强化中的作用，有利于学生对知识的串联、积累、加工，从而起到举一反三的效果．在学习过程中，采用小组学习方式，组间竞争，按各组表现评出最优小组，激发学生学习积极性和兴趣．（1）教材分析《二次根式的乘除》是是初中数学的重要内容之一，是《课程标准》“数与代数”的重要内容，是对“实数”、“代数式”等内容的延伸和补充．（2）学情分析本节课的内容是在理解二次根式的定义及相关概念的基础上，进一步研究二次根式的运算，是对二次根式的简便运算．二次根式的乘除这一节的知识构造较为简单，并且是在学生学习了平方根，立方根等内容的基础上进行的．由于学生对算术平方根等概念已经有了初步认识，这为学生学习打下了基础，在和学生一起学习的过程中，我们要创造条件和机会，让学生发表自己的见解，发挥学生学习的主动性和积极性．一、教学目标（1a≥0，b≥0）（a≥0，b≥0），并利用它们进行计算和化简．（2）理解ab=ab（a≥0，b>0），ab=ab（a≥0，b>0）及利用它们进行计算和化简．（3a b ab a≥0，b≥0）ababa≥0，b>0）并运用它们进行计算；•利用逆向思维，ab a b a≥0，b≥0），a baba≥0，b>0）并运用它们进行解题和化简．（4）培养学生对于事物规律的观察，发现能力，激发学生的学习激情．二、教学重点、难点a b ab a≥0，b≥0）ab a b a≥0，b≥0）abab（a≥0，b>0）ababa≥0，b>0）及运用，最简二次根式的概念．难点：二次根式的乘除法法则的逆用ab=a·b（a≥0，b≥0），a bab(0,0)a b≥>．课时设计两课时教学策略由于性质、法则和关系式较集中，在二次根式的计算、化简和应用中又相互交错，综合运用，因此，要使学生在认识过程中脉络清楚，条理分明，在教学时就一定要注意逐步有序的展开，在讲解二次根式的乘除时可以结合积的算术平方根的性质，让学生把握两者的关系．积的算术平方根的性质及比较大小等内容都可以通过从特殊到一般的归纳方法，让学生通过计算具体的例子，引导他们做出一般的结论．由于归纳法是通过一些个别的，特殊的例子的研究，从表象到本质，进而猜想出一般的结论．因此，本文采用从特殊到一般总结归纳的方法，类比的方法，讲授与练习相结合的方法．这种思维过程，对于初中生认识，研究和发现事物的规律有着重要作用，对于培养思维品质也有重要意义．三、教学过程情境导入，这个长方形的面积是多少？2．【问题探究】这个结果能否化简？如何化简？【设计意图】由实际问题入手，设置情境问题，激发学生的兴趣，体会数学来源于生活，又应用于生活，让学生初步感受二次根式的乘除．探索新知探究一1．填空=______；（1（2（3．（4，2．利用计算器计算填空，（2（1（32．（1）=，（2）=，（3）=，（4）=．师：提出问题：观察上面的结果，你发现他们有什么特点吗？小组讨论、抢答．生：（1）被开方数都是正数；（2）两个二次根式相乘等于一个二次根式，•并且把这两个二次根式中的数相乘，作为等号另一边二次根式中的被开方数．【归纳总结】反过来【设计意图】由特殊例子出发，由特殊到一般给出二次根式的乘法法则．例1．计算；（2（3（4．（1解析：（1（2=（3（4a≥0，b≥0）计算即可．点评：例2．化简（2（3；（1（4（5×4=12；解析：（1（2（3（4=3xy；（5．（a ≥0，b ≥0）直接化简即可．例3．计算解析：⨯⨯==点评：在（1）中要注意，在被开方数相乘的时候可以考虑因数分解或因式分解，在（2）中0,0)a b =≥≥，即根号外的系数与系数相乘，积为结果的系数；在（3）中要注意x ，y 的符号．【设计意图】通过例题的讲解，让学生体会二次根式的乘法法则．探究二（学生活动）请同学们完成下列各题：1．写出二次根式的乘法规定及逆向等式．2．填空；（2=________．（13．利用计算器计算填空:（1答案：1．反过来2．3344(1),;(2),;==.规律：，44663．(1)=(2)=.；【归纳总结】【设计意图】由特殊例子出发，由特殊到一般给出二次根式的乘法法则．例4．计算：（1（2（3（4）．解析：（1=2 ；（2==（3==2；（4．点评：上面4a≥0，b>0）便可直接得出答案．例5．化简：（1（2（3（4解析：（1=；（283ba =；（38y =；（413y ．a ≥0，b >0）就可以达到化简之目的． 【设计意图】通过例题的讲解，让学生体会二次根式的除法法则．例6．计算：（1；（2；（3． 解析：（15；（2=3；（3=a ． 观察上面例6的最后结果，可以发现这些式子中的二次根式有如下两个特点：（1）被开方数不含分母；（2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式．我们把满足上述两个条件的二次根式，叫做最简二次根式．现在我们来看本章引言中的问题：如果两个电视塔的高分别是12km,km h h ，那么它们的传播半径的比是_________．．那么上题中的比是否是最简二次根式呢？如果不是，把它们化成最简二次根式．（学生分组讨论，到黑板上板书）．2==．【设计意图】巩固二次根式的除法法则，通过观察总结归纳出最简二次根式的特点．例7．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=2.5cm，BC=6cm，求AB的长．AC解：因为222AB AC BC=+所以AB=132====6.5（cm），因此AB的长为6.5cm．点评：学生掌握最简二次根式概念之后，通过两个例题让学生先尝试的去应用所学的知识，初步体验成功，树立学习的自信心．【设计意图】学生掌握最简二次根式概念之后，通过实际问题的例题讲解，激发学生的兴趣，引导学生体会数学来源于生活，又应用于生活．巩固练习教材对应习题．【设计意图】为学生提供演练机会，加强对二次根式加减运算的理解及掌握．应用拓展1．判断下列各式是否正确，不正确的请予以改正：（1=（2=4解：（1）不正确．×3=6；（2）不正确．4．a、b的取值范围分别是a≥0，b>0．带分数作为被开放数化简时必须先把带分数化成假分数再化简．2=，且x为偶数，求(1+)x解析：由题意得9060xx-≥⎧⎨->⎩，即96xx≤⎧⎨>⎩．∴6<x≤9．∵x为偶数，∴x=8．∴原式=(1+)x(1+)x=(1+)x 4(1)x x -+=(1)(4)x x +-． ∴当x =8时，原式的值=49⨯=6．点评：式子a b =a b，只有a ≥0，b >0时才能成立． 因此得到9-x ≥0且x -6>0，即6<x ≤9，又因为x 为偶数，所以x =8．3．观察下列各式，通过分母有理数，把不是最简二次根式的化成最简二次根式： 121+=1(21)2121(21)(21)⨯--=-+-=2-1，132+=1(32)3232(32)(32)⨯--=-+-=3-2， 同理可得：143+=4-3，……从计算结果中找出规律，并利用这一规律计算（121++132++143++……120122013+）（）的值．解析：原式=（2-1+3-2+4-3+…+2013-2012）×（20131+） =（20131+）（）=2013-1=2012．点评：由题意可知，本题所给的是一组分母有理化的式子，因此，分母有理化后就可以达到化简的目的．四、课堂小结（学生小组总结展示，师补充）1a≥0，b≥0）a≥0，b≥0）及其运用．2．二次根式的除法法则a≥0，b>0（a≥0，b>0）及其运用．3．最简二次根式的概念及其运用．【设计意图】梳理本节课的主要知识点，让学生明确重难点．课后作业一、选择题1（y>0）是二次根式，那么它化为最简二次根式是（）A（y>0） By>0） C（y>0） D．以上都不对2．把（a-1a-1）移入根号内得（）A．．3．在下列各式中，化简正确的是（）A=±12C 2D ．4的结果是（ ）A ．-3 B ．．-3 D ．5．阅读下列运算过程：3==5==数学上将这种把分母的根号去掉的过程称作“分母有理化”） A ．2 B ．6 C ．13 D二、填空题6．（x ≥0）7．_________． 三、综合提高题8，•现用直径为的一种圆木做原料加工这种房梁，那么加工后的房梁的最大截面积是多少？9．已知a为实数，-阅读下面的解答过程，请判断是否正确？若不正确，•请写出正确的解答过程：-a·1a=（a-110．若x、y为实数，且y答案:一、1．C 2．D 3．C 4．C 5．C二、6．7．三、8．设：矩形房梁的宽为x（cm）cm，依题意，得：2222);)x x cm x cm+==⋅=．9．不正确，正确解答：因为301aa⎧->⎪⎨->⎪⎩，所以a<0，aa=(1-a10．∵224040xx⎧-≥⎪⎨-≥⎪⎩∴x-4=0，∴x=±2，但∵x+2≠0，∴x=2，y=14∴4====．教学反思本节内容是在前一节二次根式的学习基础上，要求学生能熟练运用乘法法则和除法法则进行化简和计算．在教学过程中，通过一些特殊的例子让学生归纳出乘法法则和除法法则，学生比较容易接受．但是在具体进行化简和计算的过程中，学生对二次根式乘法法则和除法法则理解上问题不大，但常常忘记计算结果需要化简，此外被开方数是多项式的乘除法运算上容易出现错误，对分母有理化还不够熟练．因此还要加强训练，否则，在下一节二次根式的加减和混合运算时出现的错误会更多．总之，二次根式的乘除运算法则的学习和应用的过程中，渗透分析、概括、类比等数学思想方法，提高学生的思维品质和学习兴趣，鼓励学生大胆猜想，积极探索，运用类比、归纳和从特殊到一般的思考方法激发学生创造性的思维．。
二次根式的乘除法专题练习
二次根式的乘除法专题练习二次根式的乘除法专题练一．选择题（共7小题）1.化简 $\sqrt{12}$，得到的结果是（）。
A。
$2\sqrt{3}$ B。
$3\sqrt{2}$ C。
$4\sqrt{3}$ D。
$6\sqrt{2}$2.计算 $\sqrt{75}\div\sqrt{3}$，得到的结果是（）。
A。
$5\sqrt{3}$ B。
$3\sqrt{5}$ C。
$5\sqrt{6}$ D。
$3\sqrt{25}$3.矩形的面积为18，一边长为6，则周长为（）。
A。
12 B。
18 C。
24 D。
364.化简 $\frac{\sqrt{27}}{\sqrt{3}}$，得到的结果为（）。
A。
$\sqrt{3}$ B。
$3$ C。
$9\sqrt{3}$ D。
$27$5.计算并化简 $\sqrt{48}\div\sqrt{12}$，得到的结果为（）。
A。
$2$ B。
$2\sqrt{2}$ C。
$3$ D。
$3\sqrt{2}$6.$(\sqrt{2}+\sqrt{3})^2$的值为（）。
A。
$5+2\sqrt{6}$ B。
$5+2\sqrt{3}$ C。
$5+6\sqrt{2}$ D。
$5+2\sqrt{2}$7.计算$\sqrt{2}-\sqrt{8}+\sqrt{18}$，得到的结果是（）。
A。
$-\sqrt{2}$ B。
$-\sqrt{2}+\sqrt{6}$ C。
$-\sqrt{2}+2\sqrt{3}$ D。
$-\sqrt{2}+3\sqrt{2}$二．填空题（共7小题）8.计算：$\sqrt{75}$ =$\underline{\hspace{2cm}}\sqrt{\underline{\hspace{2cm}}}$9.计算：$\sqrt{27}\times\sqrt{12}$ =$\underline{\hspace{2cm}}\sqrt{\underline{\hspace{2cm}}}$10.化简：$\sqrt{48}$ =$\underline{\hspace{2cm}}\sqrt{\underline{\hspace{2cm}}}$11.计算 $\frac{\sqrt{3}}{2}\times\frac{2}{\sqrt{3}}$ = $\underline{\hspace{2cm}}$，$\frac{\sqrt{3}}{2}\div\frac{3}{\sqrt{2}}$ =$\underline{\hspace{2cm}}$12.运用平方差公式计算：$(\sqrt{5}+\sqrt{3})(\sqrt{5}-\sqrt{3})$ = $\underline{\hspace{2cm}}$13.计算：$\sqrt{2}+\sqrt{8}-\sqrt{18}$ =$\underline{\hspace{2cm}}$14.计算：$\frac{\sqrt{2}\times\sqrt{3}}{\sqrt{6}}$ = $\underline{\hspace{2cm}}$三．解答题（共6小题）16.化简：$\frac{1}{\sqrt{3}}+\frac{\sqrt{3}}{3}$ =$\underline{\hspace{2cm}}$17.计算：（1）$(\sqrt{2}+\sqrt{3})^2$ =$\underline{\hspace{2cm}}$；（2）$\sqrt{3+\sqrt{2}}$ =$\underline{\hspace{2cm}}$18.已知：$\sqrt{x}+\sqrt{y}=3$，$\sqrt{x}-\sqrt{y}=1$，求$x$和$y$的值。
二次根式的乘除法
二次根式的乘除法二. 重点、难点：1. 重点：（1）掌握二次根式乘、除法法则，并会运用法则进行计算；（2）能够利用二次根式乘、除法法则对根式进行化简；（3）能够将二次根式化简成“最简二次根式”。
2. 难点：（1）理解最简二次根式的概念；（2）能够运用积的算术平方根的性质、二次根式的除法法则将二次根式化简成“最简二次根式”。
三. 知识梳理：1. 二次根式的乘法两个二次根式相乘，把被开方数相乘，根指数不变，即（≥0，≥0）。
说明：（1）法则中、可以是单项式，也可以是多项式，要注意它们的取值范围，、都是非负数；（2）（≥0，≥0）可以推广为（≥0，≥0）；（≥0，≥0，≥0，≥0）。
（3）等式（≥0，≥0）也可以倒过来使用，即（≥0，≥0）。
也称“积的算术平方根”。
它与二次根式的乘法结合，可以对一些二次根式进行化简。
2. 二次根式的除法两个二次根式相除，把被开方数相除，根指数不变，即（≥0，＞0）。
说明：（1）法则中、可以是单项式，也可以是多项式，要注意它们的取值范围，≥0，在分母中，因此＞0；（2）（≥0，＞0）可以推广为（≥0，＞0，≠0）；（3）等式（≥0，＞0）也可以倒过来使用，即（≥0，＞0）。
也称“商的算术平方根”。
它与二根式的除法结合，可以对一些二次根式进行化简。
3. 最简二次根式一个二次根式如果满足下列两个条件：（1）被开方数中不含能开方开得尽的因数或因式；（2）被开方数中不含分母。
这样的二次根式叫做最简二次根式。
说明：（1）这两个条件必须同时满足，才是最简二次根式；（2）被开方数若是多项式，需利用因式分解法把它们化成乘积式，再进行化简；（3）二次根式化简到最后，二次根式不能出现在分母中，即分母中要不含二次根式。
【典型例题】例1. 求下列式子中有意义的x的取值范围。
（1）（2）分析：此题涉及二次根式的乘法、除法公式的正确应用，特别注意公式应用的范围。
（a≥0，b≥0）；==（a≥0，b＞0）。
二次根式乘除法计算题
二次根式乘除法计算题
正文:
二次根式乘除法是数学中的一个重要概念。
在解题过程中，我们需要将二次根式进行乘法或除法运算，以求得最简形式的结果。
在进行乘法运算时，我们需要使用乘法公式。
具体来说，如果有两个二次根式a√b和c√d相乘，那么它们的乘积可以表示为(ac)√(bd)。
需要注意的是，乘法公式只适用于根号下的数相同的情况。
如果根号下的数不同，则无法进行简化。
举个例子，我们来计算(3√5)(2√5)的乘积。
根据乘法公式，我们可以将这两个二次根式相乘，得到(3*2)√(5*5)，即6√25。
最后，我们可以进一步简化这个结果，得到6*5=30。
因此，(3√5)(2√5)=30。
在进行除法运算时，我们需要将被除数和除数分别进行有理化。
具体来说，如果有两个二次根式a√b和c√d相除，我们可以将它们分别乘以分式c√d/c√d，然后进行简化。
这样，我们可以消去根号下的分母，得到最简形式的结果。
举个例子，我们来计算(4√3)/(2√2)的结果。
首先，我们将被除数和除数分别乘以分式2√2/2√2，得到(4√3*2√2)/(2√2*2√2)。
通过简化，我们可以得到(8√(3*2))/(2*2√(2*2))=(8√6)/(4√4)。
继续简化，我们可以得到(8√6)/(4*2)=(8√6)/8=√6。
因此，(4√3)/(2√2)=√6。
通过以上的例子，我们可以看到，在二次根式乘除法计算题中，我们需要运用乘法公式和有理化的方法，以求得最简形式的结果。
这些方法是解决二次根式乘除法问题的关键，希望对大家的学习有所帮助。
二次根式的乘除专项练习60题(有答案过程)ok
1． （ 2． 3． （2 +4 ）× +3） （3﹣ ） ．
4． 5． ．
6． 7． 8． ．
9． （1）
； （2）
10．
11． （1）x（2x﹣1）﹣x （2﹣x） ； 2 3 2 3 （2） （2ab ﹣b ） ÷2b ； （3） （4） （5） （6） ； ； ； ．
（2）
．
58．计算：2
×
．
59．
．
60．
．
二次根式的乘除法---
4
参考答案：
1． （ +3） （3﹣ ）=3 ﹣（ ） =9﹣6=3． 2 2 2. 原式=（3 ） ﹣（4 ） =54﹣32=22． 3．原式= 4．原式=（ 5．原式= 6. 原式=（2 7．原式= ） ﹣3 =20﹣9=11． =2﹣9+2 = ．
2
=﹣ =﹣
=﹣ ×10=﹣
．
÷ × × × ×4×
43．原式=﹣（9÷3× ） 44． 45． 46．原式=（2 47．原式=3 48．原式=27 49．原式=4 50．原式= 51．原式= ÷ ×3 = ） +2×2 ÷12= ÷ ×3 ． × × =27
2
×3
×
×
=45
﹣2=24﹣2=22． = × ×3 = ×2a= ． =9 ． ）] =[（ ） ﹣（ ） ] =（5﹣3） =4 +3）=（8﹣2 ） （8+2 ）=64﹣60=4．
=2 ． ×4
÷6
=
÷
2 2
= ÷3
×4 =
×
= ×4× × ．
=1
）=a b
专题21.2 二次根式的乘除【九大题型】(举一反三)(华东师大版)(解析版)
专题21.2二次根式的乘除【九大题型】【华东师大版】【题型1求字母的取值范围】 (1)【题型2二次根式乘除的运算】 (2)【题型3二次根式的符号化简】 (3)【题型4最简二次根式的判断】 (5)【题型5化为最简二次根式】 (6)【题型6已知最简二次根式求参数】 (7)【题型7分母有理化】 (8)【题型8比较二次根式的大小】 (9)【题型9分母有理化的应用】 (10)【例1】（2022=x的取值范围是x＞8．【分析】直接利用二次根式的性质进而得出关于x的不等式组求出答案．=∴≥0−8＞0，则x的取值范围是：x＞8．故答案为：x＞8．【变式1-1】（2022秋•犍为县校级月考）已知(−3)⋅(−−2)=3−⋅+2，使等式成立的x的取值范围是﹣2≤x≤3．【分析】根据二次根式的性质得出关于x的不等式组，进而求出答案．【解答】解：∵(−3)⋅(−−2)=3−⋅+2，∴3−≥0+2≥0，解得：﹣2≤x≤3．故答案为：﹣2≤x≤3．【变式1-2】（2022=x的取值范围是（）A．x＞0B．x≥0C．x＞2D．x≥2【分析】根据二次根式和分式有意义的条件进行解答即可．【解答】解：由题意得：−2≥0＞0，解得：x≥2，故选：D．【变式1-3】（2022•宝山区校级月考）已知实数x满足22−3=x•2−，则x的取值范围是0≤x≤2．【分析】依据二次根式被开方数大于等于0和2=a（a≥0）列不等式组求解即可．【解答】解：∵原式=(2−p2=x•2−，∴x≥0且2﹣x≥0．解得：0≤x≤2．故答案为：0≤x≤2．【题型2二次根式乘除的运算】【例2】（2022•长宁区期中）计算：（1）354；（2）12．【分析】（1）利用二次根式的乘法法则计算即可．（2）根据二次根式的混合运算法则计算即可．【解答】解：（1）原式＝5×8×36=（2）原式＝2×15×=【变式2-1】（2022•长宁区期中）计算：83．【分析】直接利用二次根式的乘除运算法则化简求出答案．【解答】解：原式＝2×＝9＝82．【变式2-2】（2022÷(⋅(−（x＞0）．【分析】根据二次根式的乘除法运算法则进行计算．【解答】解：∵x＞0，xy3≥0，∴y≥0，∴原式=−=−46=−94xy•（−56x B）=1582B．【变式2-3】（2022−÷b＜0）．【分析】直接利用二次根式的性质化简进而得出答案．【解答】解：∵由二次根式的性质可得a＜0，b＜0，∴原式=2•（﹣b）B•（32a B）÷＝﹣3a2b÷＝﹣3a2b×（−＝a2b2×＝ab B．【题型3二次根式的符号化简】【例3】（2022•安达市校级月考）已知xy＞0，将式子x移到根号内的正确结果为（）A．B．−C．−D．−−【分析】根据被开方数大于等于0求出y＜0，再根据同号得正判断出x＜0，【解答】解：∵−2＞0，∴y＜0，∵xy＞0，∴x＜0，∴=−=−−．故选：D．【变式3-1】（2022•自贡期中）把二次根式）A B C．−D．−【分析】根据二次根式的性质先判断a的符号，然后再进行计算．【解答】解：由题意可知−13＞0，∴a＜0，∴=a=−故选：D．【变式3-2】（2022•张家港市校级期末）将（2﹣x（）A．−2B．2−C．﹣22−D．−−2【分析】根据二次根式的性质得出x﹣2的符号，进而化简二次根式得出即可．【解答】解：由题意可得：x﹣2＞0，则原式=−−2．故选：D．【变式3-3】（2022春•龙口市期中）把（a﹣b根号外的因式移到根号内结果为【分析】先根据二次根式成立的条件得到−1K＞0，则a﹣b＜0，所以原式变形为﹣（b﹣a−(−p2•法得到−⋅【解答】解：∵−1K＞0，∵a﹣b＜0，∴原式＝﹣（b﹣a=−(−p2•=−=−−．故答案为−−．【知识点2最简二次根式】我们把满足①被开方数不含分母；②被开方数中不含能开得尽方的因数或因式．这两个条件的二次根式，叫做最简二次根式．【例4】（2022、18、2−1、0.6中，最简二次根【分析】判定一个二次根式是不是最简二次根式的方法，就是逐个检查最简二次根式的两个条件是否同时满足，同时满足的就是最简二次根式，否则就不是．、2−1是最简二次根式，、2−1．【变式4-1】（2022春•曲靖期末）下列二次根式中属于最简二次根式的是（）A．48B．14C D．4+4【分析】根据最简二次根式的定义：被开方数中不含能开得尽方的因数或因式，被开方数中不含分母，即可解答．【解答】解：A、48=43，故A不符合题意；B、14是最简二次根式，故B符合题意；C=C不符合题意；D、4+4=2+1，故D不符合题意；故选：B．【变式4-2】（2022②2+1③④0.1是最简二次根式的是②③（填序号）．【分析】根据最简二次根式的被开方数不含分母；被开方数不含能开得尽方的因数或因式，可得答案．【解答】解：②2+1③是最简二次根式，故答案为：②③．【变式4-3】（2022、12、30、+2，402，2+2中，是最简二次根式的共有3个．【分析】结合选项根据最简二次根式的概念求解即可．2、12、30、+2，402，2+2中，是最简二次根式的是30、+2，2+2，故答案为：3【例5】（2022春•安阳期末）下列二次根式化成最简二次根式后，被开方数与另外三个不同的是（）A．2B．58C．28D【分析】先把B、C、D化成最简二次根式，再找被开方数不同的项．【解答】解：∵2是最简二次根式，58=102，28=27，=∴化成最简二次根式后，被开方数相同的是A、B、D．故选：C．【变式5-1】（2022春•番禺区期末）把下列二次根式化成最简二次根式（1100（2）32（3【分析】（1）直接利用二次根式的除法运算法则性质化简得出答案；（2）直接利用二次根式的性质化简得出答案；（3）直接利用二次根式的除法运算法则性质化简得出答案．【解答】解：（1=（2）32=42；（3==【变式5-2】（2022秋•合浦县月考）把下列各式化成最简二次根式：（1（2）−【分析】本题需先将二次根式分母有理化，分子的被开方数中，能开方的也要移到根号外．【解答】解：（1）原式==275×53×33；（2）当b，c同为正数时，原式=−B2×2×=−当b，c同为负数时，原式=−B2×（−2）×=−当c＝0时，原式＝0．【变式5-3】（2022化成最简二次根式是±or1)．【分析】对被开方数的分母进行因式分解，然后约分；最后将二次根式的被开方数的分母有理化，化简求解．【解答】解：原式==①当y＞0时，上式=②当y＜0时，上式=−【题型6已知最简二次根式求参数】【例6】（2022春•浉河区校级期末）若二次根式5+3是最简二次根式，则最小的正整数a为2．【分析】判定一个二次根式是不是最简二次根式的方法，就是逐个检查最简二次根式的两个条件是否同时满足，同时满足的就是最简二次根式，否则就不是．【解答】解：若二次根式5+3是最简二次根式，则最小的正整数a为2，故答案为：2．【变式6-1】（2022春•武江区校级期末）若是最简二次根式，则a的值可能是（）A．﹣4B．32C．2D．8【分析】根据二次根式有意义的条件判断A选项；根据最简二次根式的概念：（1）被开方数不含分母；（2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式判断B，C，D选项．【解答】解：A选项，二次根式的被开方数不能是负数，故该选项不符合题意；B2=C选项，2是最简二次根式，故该选项符合题意；D选项，8=22，故该选项不符合题意；故选：C．【变式6-2】（2022秋•崇川区校级期末）若2rK2和33K2r2都是最简二次根式，则m ＝1，n＝2．【分析】利用最简二次根式定义列出方程组，求出方程组的解即可得到m与n的值．【解答】解：∵若2rK2和33K2r2都是最简二次根式，∴+−2=13−2+2=1，解得：m＝1，n＝2，故答案为：1；2．【变式6-3】（2022春•宁都县期中）已知：最简二次根式4+与K23的被开方数相同，则a+b＝8．【分析】已知两个最简二次根式的被开方数相同，因此它们是同类二次根式，即：它们的根指数和被开方数相同，列出方程组求解即可．【解答】解：由题意，得：−=24+=23解得：=5=3，∴a+b＝8．【知识点3分母有理化】①分母有理化是指把分母中的根号化去：分母有理化常常是乘二次根式本身（分母只有一项）或与原分母组成平方差公式；②两个含二次根式的代数式相乘时，它们的积不含二次根式，这样的两个代数式成互为有理化因式．一个二次根式的有理化因式不止一个．【题型7分母有理化】【例7】（2022）A．4b B．2CD【解答】解：∵a＞0，ab＞0，即a＞0，b＞0；===【变式7-1】（2022•沂源县校级开学）分母有理化：=2；（2=3；（3=2．（1=【解答】解：（1==（2（3=【变式7-2】（2022春•海淀区校级期末）下列各式互为有理化因式的是（）A．+和−B．−和C．5−2和−5+2D．+和+【分析】根据有理化因式定义：如果两个含有二次根式的非零代数式相乘，它们的积不含有二次根式，就说这两个非零代数式互为有理化因式，结合各个选项中两个代数式特征作出判断即可．【解答】解：A.+•−=(+p(−p，因此+和−不是有理化因式，故选项A不符合题意；B．−•=−a，所以−和是有理化因式，因此选项B符合题意；C．（5−2）（−5+2）＝﹣（5−2）2，所以5−2和−5+2）不是有理化因式，因此选项C不符合题意；D．（x+y）•（x+y）＝（x+y）2，因此x+y和x+y不是有理化因式，所以选项D不符合题意；故选：B．【变式7-3】（2022【分析】根据二次根式的性质以及运算法则即可求出答案．【解答】解：原式======【题型8比较二次根式的大小】【例8】（2022春•海淀区校级期末）设a=22−3，b=1，则a、b大小关系是（）A．a＝b B．a＞b C．a＜b D．a＞﹣b【分析】本题考查二次根式，先求出b的值，再与a比较得出结果．【解答】解：∵a＝22−3==−（22+3）∴b=1故选：B．【变式8-1】（2022春•金乡县期中）已知a=b＝2+5，则a，b的关系是（）A．相等B．互为相反数C．互为倒数D．互为有理化因式【分析】求出a与b的值即可求出答案．=5+2，b＝2+5，【解答】解：∵a=故选：A．）【变式8-2】（2022B C DA【解答】解：将三个二次根式化成同分母分数比较：==故选：C．【变式8-3】（2022秋•雨城区校级期中）利用作商法比较大小【分析】根据作商比较法，看最后的比值与1的大小关系，从而可以解答本题．=1，【题型9分母有理化的应用】【例9】（2022春•大连月考）阅读材料：黑白双雄、纵横江湖；双剑合璧、天下无敌．这是武侠小说中的常见描述，其意是指两个人合在一起，取长补短，威力无比．在二次根式中也有这种相辅相成的“对子”．如：（2+3）（2−3）＝1，（5+2）（5−2）＝3，它们的积不含根号，我们说这两个二次根式互为有理化因式，其中一个是另一个的有理化因式．于是，二次根式除法====7+43．像这样，通过分子、（1）4+7的有理化因式可以是4−分母有理化得2．（2）计算：+②已知：x =y =x 2+y 2的值．【分析】（1）找出各式的分母有理化因式即可；（2）①原式各项分母有理化，合并即可得到结果；②将x 与y 分母有理化后代入原式计算即可得到结果．【解答】解：（1）4+7的有理化因式可以是4−7，故答案为：4−7；（2）①原式=2−1+3−2+⋯+2000−1999=2000−1＝205−1；②∵x ==2−3，y ==2+3，∴x 2+y 2＝7﹣43+7+43=14．【变式9-1】（2022=3)=7+43；除此之外，还可以用先平方再开方的方法化简一些有特点的无理数，如要化简4+7−4−7，可以先设x =4+7−4−7，再两边平方得x 2＝（4+7−4−7）2＝4+7+4−7−2(4+7)(4−7)=2，又因为4+7＞4−7，故x ＞0，解得x =2，4+7−4−7=2，根据以上方法，+8+43−8−43的结果是（）A ．3﹣22B ．C ．42D ．3【分析】直接利用有理化因式以及二次根式的性质、完全平方公式分别化简得出答案．【解答】解：设x =8+43−8−43，两边平方得x 2=(8+43−8−43)2=8+43+8−43−2(8+43)(8−43)=8，∵8+43＞8−43，∴x ＞0，∴x ＝22，原式=22=6−22=+22＝3﹣22+22＝3．故选：D．【变式9-2】（2022•普定县模拟）阅读以下材料：将分母中的根号化去，叫做分母有理化．分母有理化的方法，一般是把分子分母都乘以同一个适当的代数式，使分母不含根号．例==−1；（1（2）关于x的方程3x−12=++⋯+的解是11．【分析】（1）根据材料进行分母有理化即可；（2）先分母有理化，再根据式子的规律即可求解．==2−1【解答】解：（1（2）3x−13x−12=3x−12=(3+1)(+(5+3)(5−3)+(7+7−5)+⋯+(3x−12=12（3−1+5−3+7−5+⋯+99−97），6x﹣1＝﹣1+99，6x＝311，x=【变式9-3】．（2022春•九龙坡区校级月考）材料一：有这样一类题目：将±2化简，如果你能找到两个数m、n，使m2+n2＝a且mm=，则将a±2将变成m2+n2±2n，即变成（m±n）2开方，从而使得±2化简．例如，5±26=3+2±26=（3）2+（2）2±22×3=（3±2）2，所以5±26= (3±2)2=3±2；=======3（三）．以上这种化简的步骤叫做分母有理化．====3−1（四）；请根据材料解答下列问题：（1）3−22−1；4+23+1．+⋯+（2【分析】（1）根据材料一和完全平方公式即可得出答案；（2）根据材料二将每一个式子分母有理化，并合并同类二次根式可得出答案．【解答】解：（1）∵3﹣22=2+1﹣22=（2−1）2，∴3−22=(2−1)2=2−1，∵4+23=3+1+23=（3+1）2，∴4+23=(3+1)2=3+1，故答案为：2−1，3+1；（2=(3+1)(3−1)+(5+3)(5−3)+•••2r1+2K1)(2r1−=3−1+5−3+7−5+•••+2+1−2−1＝﹣1+2+1．。
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一、知识聚焦：
1．积的算术平方根的性质：积的算术平方根，等于积中各因式的算术平方根的积。
ab =a ·b （a ≥0，b ≥0）
2．二次根式的乘法法则：两个因式的算术平方根的积，等于这两个因式积的算术平方根。
a ·
b ＝
ab ．（a ≥0，b ≥0）
3．商的算术平方根的性质：商的算术平方根等于被除式的算术平方根除以除式的算术平方根
a b
=
a b
（a ≥0，b>0）
4．二次根式的除法法则：两个数的算术平方根的商，等于这两个数的商的算术平方根。
a b =
a b
（a ≥0，b>0）
5．最简二次根式：
符合以下两个条件：（1）被开方数不含分母；
（2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式的二次根式，叫做最简二次根式。
6．分母有理化：把分母的根号去掉的过程称作“分母有理化”二、经典例题：例1．化简(1)
916 (2)
1681 (3)
81100 (4)
22
9x y (0,0y x
) (5)54
例2．计算 (1)
5×7 (2)3
1525 (3)
9×
27 (4)
12
×6
3
2例3．判断下列各式是否正确，不正确的请予以改正： (1)(4)(9)
4
9 (2)
124
25
×25=4×1225
×
25=4
1225
×25=412=83
例4．化简： (1)
364
(2)
2
2649b a
)0,0(b
a (3)
2
964x y
)0,0(y
x (4)
2
5169x y
)
0,0(y x 例5．计算：(1)
123
(2)
312
8
(3)
114
16
（4）
648
例6．下列各式中哪些是最简二次根式，哪些不是？为什么？
(1)
b a 2
3 (2)
2
3ab (3)
2
2
y x
(4)
)(b a
b a (5)5 (6)
xy
8例7. 把下列各式化为最简二次根式： (1)
12 (2)
b a 2
45 (3)
x
y x
2
例8. 把下列各式分母有理化(1)
4237
- (2)
2a
a b
+例9. 比较3223和两个实数的大小
答案：例1. (1)12 (2)36 (3)90 (4)3xy (5)36
例2. （1）35（2）303
（3）93
（4）6
例3. (1)不正确．改正：(4)(9)=49＝4×9=2×3=6
(2)
不正确．改正：
124
25
×25=
11225
×25=
1122525
=112=167＝47
例4.（1）
8
3（2）
a b 38（3）
y x 83（4）
y
x
135例5.（1）2 （2）23（3）2 （4）22
例6．(3)，(4)，(5)是，其它不是例7．(1)23, (2) b a 53, (3)
xy
x 例8. (1)
21
144 (2)
b
a
b
a a 2例9. 3
22
3三、基础演练：1.计算①
16×8
②36×210③5a ·
15
ay
2.化简: 20; 18; 24;
22
12a b (a>0,b>0)
3.把下列各式化为最简二次根式：(1)
3
)(8y x
(2)
2
11
4 (3)
m
n 38233
4. 把下列各式分母有理化（1）
40
3（2）
xy
y
422
（x ＞0，y ＞0）
5.比较大小
(1)76与67 (2)
23-与32
-答案：1.①=82②=1215③=y a 2.2
5；32；62；3
2ab 3.(1)
)(2)(2y x
y x
(2)
62 (3) m
mn n 6 4.(1)20
30 (2)
x
xy y 5.解：(1) 76<67 (2) 23->32
-四、能力提升：
1．若直角三角形两条直角边的边长分别为15cm 和12cm ，?那么此直角三角形斜边长是（）．
A
．32cm B ．33cm C ．9cm D ．27cm
2．下列各等式成立的是（
）．
A ．45×25=8
5 B ．53×42=205
C ．43×32=75 D
．53×42=206
3．计算
11212133
5
的结果是（
）．
A ．
27
5 B ．
27
C ．2
D ．
27
4.二次根式：①
2
9x ；②))((b a b a
；③122
a a
；④
x
1；⑤75.0中最简二次根式是（）
A 、①②
B 、③④⑤
C 、②③ D
、只有④
5．1014=
6．分母有理化:(1)
1
32
=_________; (2)
1
12
=________ (3)
10
25
=______.
答案：
1． B 2． D 3． A 4. A 5．6
13
6．(1) 1
32=
6
2
;(2) 1
12
=
6
3
(3)
10
25
=
2
2
五、个性天地：
（LJJ00002）（1）80
5
=_________；（2）3590710___________；
(ZZY00002)(10
3211
12
73103
_________；（2）
76
23
48
3
x y
x y
__________．
(SHY00002)已知x=3，y=4，z=5，那么yz xy的最后结果是_______．答案：（LJJ00002）（1）4；（2）15；
(ZZY00002)5
7
；（2）2
4x y xy
(SHY00002)
3
15。