创新大课堂2018届高三数学理一轮复习课件：第三章 三角函数、解三角形 第5节 精品

[要点梳理]
1．两角和与差的余弦、正弦、正切公式
cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β(C(α－β)) cos(α＋β)＝__c_o_s_α_c_o_s_β_－__s_in_α_s_i_n_β______ (Cα＋β) sin(α－β)＝___si_n_α_c_o_s_β_－__c_o_s_α_s_in_β______ (Sα－β) sin(α＋β)＝__s_i_n_α_c_o_sβ_＋__c_o_s_α_s_i_n_β______(Sα＋β)
2．设 sin(π4＋θ)＝13，则 sin 2θ＝( )
A．－79
B．－19
1 C.9 [解析]
7 D.9 sin 2θ＝－cos(π2＋2θ)
＝2sin2(π4＋θ)－1＝2×(13)2－1＝－79.
[答案] A
3．(2016·武汉校级模拟)△ABC 的三个内角为 A，B，C，
若sin cos
[发散 3] 若本例条件变为：已知 cos(α－β2)＝－19，sin(α2－ β)＝23，且π2＜α＜π，0＜β＜π2，求 cos(α＋β)的值．
2 2.
(1)求 A 的值；
(2)若 f(θ)－f(－θ)＝ 3，θ∈(0，π2)，求 f(π6－θ)．
[解] (1)∵f(x)＝Asin(x＋π3)，且 f(51π2)＝322， ∴Asin(51π2＋π3)＝3 2 2⇒Asin34π＝3 2 2⇒A＝3.
(2)由(1)知 f(x)＝3sin(x＋π3)，
αα
α
＝(cosα2－ sin2α)·(1＋csoins
α sin2 α· α
sin2 cos2
cos 2
＝cos2α2α－siαn2α2·cosαcosα2＋sinααsinα2
sin2cos2
cos αcos2
α ＝2scinosαα· cos2 α
cos αcos2 ＝sin2 α.
考点二 三角函数式的求值(高频型考点——全面发掘) [考情聚焦]
20°－sin
20°
＝ c3ocso2s200°°＝ 3. [答案] C
2．若 0<α<π2，－π2<β<0，cos(π4＋α)＝13，cos(π4－β2)＝ 33，
则 cos(α＋β2)等于( )
A．－
3 3
3 B. 3
C．－5 9 3
D.5 9 3
[解析] cos(α＋β2)＝cos[(π4＋α)－(π4－β2)]
∴tan(2α－β)＝1t＋ant2anα－2αttaannββ＝1－34＋34×17 17＝1. ∵tan β＝－17<0，∴π2<β<π，－π<2α－β<0， ∴2α－β＝－34π. [答案] －34π
[通关锦囊] 三角函数求值有三类 (1)“给值求值”：给出某些角的三角函数式的值，求另外 一些角的三角函数值，解题关键在于“变角”，使其角相同或 具有某种关系． (2)“给角求值”：一般所给出的角都是非特殊角，从表面 上来看是很难的，但仔细观察非特殊角与特殊角总有一定关系， 解题时，要利用观察得到的关系，结合公式转化为特殊角并且 消除非特殊角的三角函数而得解．
角度二 给角求值
2．(2016·衡水中学二调)cos 130°－sin 1170°＝( )
A．4
B．2
C．－2
D．－4
[解析] cos 130°－sin 1170°＝cos130°－sin110°
＝
3sin sin
1100°°c－osco1s0°10°＝2sin110°－30°＝－12sin20°＝－4.
A＋π3＝56π，所以
A
＝π2，所以 sin(B＋C)＝sin A＝1，故选 B.
[答案] B
4 ． 函 数 f(x) ＝ 2sin x(sin x ＋ cos x) 的 单 调 增 区 间 为 ____________．
[解析] f(x)＝2sin2x＋2sin xcos x ＝2×1－c2os 2x＋sin 2x ＝sin 2x－cos 2x＋1 ＝ 2sin(2x－π4)＋1，由－π2＋2kπ≤2x－π4≤π2＋2kπ，k∈Z， 得－π8＋kπ≤x≤38π＋kπ，k∈Z. 所以所求区间为[－π8＋kπ，38π＋kπ](k∈Z)． [答案] [π8＋kπ，38π＋kπ](k∈Z)
3．已知 sinα＋π6＝－13，则 sin2α－π6的值为(
)
7 A.9
B．－79
C．±2 3 2
D．－23
[解析] 设 α＋π6＝t，则 α＝t－π6，且 sin t＝－13. ∴sin2α－π6＝sin2t－π6－π6 ＝sin2t－π2＝－cos 2t＝2sin2t－1＝2×－132－1 ＝－79，选 B. [答案] B
研究三角函数式的求值，解题的关键都是找出条件中的角 与结论中的角的联系，依据函数名称的变换特点，选择合适的 公式求解．
归纳起来常见的命题角度有： (1)给值求值； (2)给角求值； (3)给值求角．
角度一 给值求值
1．(2014·广东高考)已知函数 f(x)＝Asin(x＋π3) ，x∈R，且
f(51π2)＝3
(3)三看“结构特征”，分析结构特征，可以帮助我们找到 变形的方向，如“遇到分式要通分”等．
[题组集训] 1．化简：sins2inα－α－2cπ4os2α＝________. [解析] 原式＝2si2n2αscinosαα－－c2ocsoαs2α＝2 2cos α. [答案] 2 2cos α
2．化简：22tacnosπ44x－－x2scions22xπ4＋－12x.
5．设 α 为锐角，若 cos(α＋π6)＝45，则 sin(2α＋1π2)的值为 ________．
[解析] ∵α 为锐角且 cos (α＋π6)＝45， ∴sin(α＋π6)＝35. ∴sin(2α＋1π2)＝sin[2(α＋π6)－π4] ＝sin 2(α＋π6)cosπ4－cos 2(α＋π6)sinπ4
2sin 20°
2sin20°
[答案] D
3．化简：sin 50°(1＋ 3tan 10°)＝________.
[解析]
sin 50°(1＋
3tan 10°)＝sin 50°(1＋
3sin10° 3·cos 10°)
＝sin
50°×cos
10°＋ cos
3sin 10°
10°
＝sin
1 50°×22cos
[解]
原式＝2s－in2π4s－in2xxccooss22xπ4＋－12x
cosπ4－x
＝2sin12π41－－xscino2s2x4π－x＝si12ncπ2o－s222xx＝12cos2x.
3．化简：( 1α－tanα2)·(1＋tan α·tanα2)． tan2
[解] ( 1α－tanα2)·(1＋tan α·tanα2) tan2
tan(α－β)＝1t＋antαan－αttaannββ (Tα－β) tan(α＋β)＝1t－antαan＋αttaannββ (Tα＋β)
2．二倍角公式 sin 2α＝ 2sin αcos α ； cos 2α＝ cos2α－sin2α ＝ 2cos2α－1 ＝ 1－2sin2α ； tan 2α＝1－2tatnanα2α.
[小题查验] 1．(2015·高考新课标卷Ⅰ)sin 20°cos 10 °－cos160°sin 10° ＝( )
A．－
3 2
C．－12
3 B. 2
1 D.2
[解析] sin 20°·cos 10°－cos 160°·sin 10°＝sin 20°·cos 10°
＋cos 20°·sin 10°＝sin 30°＝12，故选 D. [答案] D
第三章 三角函数、解三角形
第5节 两角和与差的正弦、余弦 和正切公式
◆考纲·了然于胸◆ 1．会用向量的数量积推导出两角差的余弦公式． 2．能利用两角差的余弦公式推导出两角差的正弦、正切 公式． 3．能利用两角差的余弦公式推导出两角和的正弦、余 弦、正切公式，推导出二倍角的正弦、余弦、正切公式，了解 它们的内在联系．
[题点发散 2] 若本例中“sin α＝35”变为“tan α＝35，”其 他条件不变，求 tan(2α－β)的值．
[解] ∵tan α＝35，tan(α－β)＝－13， ∴tan(2α－β)＝tan[α＋(α－β)] ＝1t－antαan＋αttaannαα－－ββ＝1＋35－35×13 13＝29.
A＋ A－
3cos 3sin
AA＝tan
56π，则 sin(B＋C)＝(
)
A.
3 2
B．1
1
2
C.2
D. 2
[解析]
△ ABC
中
，
sin cos
A＋ A－
3cos 3sin
A A
＝
tan 1－
A＋ 3tan
3 A
＝
tan A＋tan 1－tan Atan
π 3π＝tan(A＋π3)＝tan56π，由此可得 3
∴sin(α－β)＝－
10 10 .
(2)由(1)可得，cos(α－β)＝3
10 10 .
∵α 为锐角，且 sin α＝35，∴cos α＝45. ∴cos β＝cos[α－(α－β)]
＝cos αcos(α－β)＋sin αsin(α－β)
＝45×31010＋35×(－ 1100)＝95010.
(3)“给值求角”：实质是转化为“给值求值”，先求角的 某一函数值，再求角的范围，确定角．
[题组集训]
2cos 1.
10°－sin sin 70°
20°的值是(
)
A.12
B.
3 2
C. 3
D. 2