山东省滕州市高三数学12月定时过关检测试题文新人教A版

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山东省枣庄市滕州市第一中学2023-2024学年高一下学期3月单元过关考试(月考)数学试卷

山东省枣庄市滕州市第一中学2023-2024学年高一下学期3月单元过关考试（月考）数学试卷学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．已知()5,4a =r ，()3,2b =r ，则与23a b r r -平行的单位向量为A ．⎝⎭B ．⎝⎭或⎛ ⎝⎭C ．⎝⎭或⎛ ⎝⎭D ．⎛ ⎝⎭2．在平行四边形ABCD 中，AC 为一条对角线，若(2,4)AB =u u u r ，(1,3)AC =u u u r ，则BD =u u u r（）A ．()2,4--B ．()3,5--C ．()3,5D ．()2,43．若1z ，2z 为复数，则“12z z +是实数”是“1z ，2z 互为共轭复数”的（） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件4．如图所示，正方形''''O A B C 的边长为2cm ，它是水平放置的一个平面图形的直观图，则原图形的周长是（）A ．16cmB ．C ．8cmD ．4+5．ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，若)c o s c o s c A a C -=，则c o s A =（）A ．12B C D 6．正方形ABCD 的边长为2，O 是正方形ABCD 的中心，过中心O 的直线l 与边AB 交于点M ，与边CD 交于点N ，P 为平面内一点，且满足()21OP OB OC λλ=+-u u u r u u u r u u u r ，则PM u u u u r ·PNuuur 的最小值为（）A ．14-B ．94-C ．2-D ．74-7．如图，在ABC V 中，点O 是BC 的中点，过点O 的直线分别交直线AB ，AC 于不同的两点M N ，，若AB mAM =u u u r u u u u r ，AC nAN =u u u r u u u r，则m n +=（）A ．1B ．32C ．2D ．38．如图所示，在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，P 是1A B 上一动点，则1AP D P +的最小值为（）A ．2BC ．2D二、多选题9．设1z ，2z ，3z 是复数，则下列说法中正确的是（） A ．若120z z =，则10z =或20z = B ．若1213z z z z =且10z ≠，则23z z =C ．若12=z z ，则1122z z z z ⋅=⋅D ．若12=z z ，则2212z z =10．已知ABC V 的内角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，下列说法正确的是（）A ．若sin :sin :sin 2:3:4ABC =，则ABC V 是钝角三角形 B ．若sin sin A B >，则a b >C ．若0AC AB ⋅>u u u r u u u r，则ABC V 是锐角三角形D ．若45A =o ，2a =，b =ABC V 只有一解 11．在给出的下列命题中，正确的是（）A ．设O ABC 、、、是同一平面上的四个点，若(1)()OA m OB m OC m R =⋅+-⋅∈u u u v u u u v u u u v，则点、、A B C 必共线B ．若向量,a b r r 是平面α上的两个向量，则平面α上的任一向量c r都可以表示为()c a b R λμμλ=+∈v v v、，且表示方法是唯一的C ．已知平面向量OA OB OC u u u r u u u r u u u r 、、满足,||||AB AC OA OB OA OC AO AB AC λ⎛⎫⋅=⋅=+ ⎪⎝⎭u u u r u u u ru u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u ur u u u r 则ABC ∆为等腰三角形D ．已知平面向量OA OB OC u u u r u u u r u u u r 、、满足||||(0)OA OB OC r r ==>u u u r u u u r u u u r |=|，且0O A O B O C ++=u u r u u r u u r r，则ABC ∆是等边三角形三、填空题12．在ABC ∆中，若5,,tan 24b B A π=∠==，则=a ；13．在ABC V中，60,2,BAC AB BC ∠=︒==BAC ∠的角平分线交BC 于D ，则AD =． 14．已知球的两个平行截面的面积分别为19π和36π，球的半径为10，则这两个平行截面之间的距离为.四、解答题15．已知(1,0),(2,1)a b ==r r(1)当k 为何值时，ka b -r r与2a b +r r 共线？(2)若23,AB a b BC a mb =+=+u u u r r r u u u r r r，且A ，B ，C 三点共线，求m 的值．16．已知复数z 为纯虚数，且21iz -+为实数. (1)求复数z ；(2)设m ∈R ，1z m z =+，若复数21z 在复平面内对应的点位于第三象限，求11z 的取值范围.17．在ABC V 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，π3A =． (1)若2c b =，证明：()()sin sin sin sin sin sin AB A B BC +-=； (2)若2a =，求ABC V 周长的最大值．18．经过OAB V的重心G 的直线与OA ，OB 分别交于点P ，Q ，设OP mOA =u u u r u u u r，()0,0OQ nOB m n =>>u u u r u u u r.(1)证明：11m n+为定值； (2)求m ＋n 的最小值.19．在Rt ABC △中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .已知cos cos cos A B Ca b c+=+. (1)求角A ；(2)已知2c b ≠，a =点P ，Q 是边AC 上的两个动点（P ，Q 不重合），记PBQ θ∠=. ①当π6θ=时，设PBQ V 的面积为S ，求S 的最小值： ②记BPQ α∠=，BQP β∠=.问：是否存在实常数θ和k ，对于所有满足题意的α，β，都有sin 2sin 24sin sin k k αβαβ++=成立若存在，求出θ和k 的值；若不存在，说明理由.。

山东省潍坊市2024高三冲刺(高考数学)人教版摸底(培优卷)完整试卷

山东省潍坊市2024高三冲刺（高考数学）人教版摸底(培优卷)完整试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分 (共8题)第(1)题已知函数，那么（）A．7B．6C．5D．4第(2)题有下列四个命题，其中是假命题的是（）A．已知，其在复平面上对应的点落在第四象限B．“全等三角形的面积相等”的否命题C ．在中，“”是“”的必要不充分条件D．命题“，”的否定是“，”第(3)题已知函数的部分图象如图所示，则下列正确个数有（）①关于点对称；②关于直线对称；③在区间上单调递减；④在区间上的值域为．A．1个B．2个C．3个D．4个第(4)题已知全集，，，则（）A．B．C．D．第(5)题已知复数，是方程的两个不同的根，则（）A．B．C．D．1第(6)题已知全集，集合，则（）A．B．C．D．第(7)题已知集合，，则（）A．B．C．D．第(8)题已知集合，则集合（）A．B．C．D．二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分 (共3题)第(1)题已知正方体的棱长为是空间中的一动点，下列结论正确的是（）A．若点在正方形内部，异面直线与所成角为，则的范围为B．平面平面C ．若，则的最小值为D．若，则平面截正方体所得截面面积的最大值为第(2)题下列说法中正确的是（）A．若，则B．若，则C．若定义域为的奇函数在单调递减，且，则满足的的取值范围为D ．若，，则第(3)题若袋子中有2个白球，3个黑球，现从袋子中有放回地随机取球4次，每次取一个球，取到白球记1分，取到黑球记0分，记4次取球的总分数为X，则（）A．B．C．X的期望D．X的方差三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 (共3题)第(1)题若定义在上的非零函数，对任意实数，存在常数，使得恒成立，则称是一个“函数”，试写出一个“函数”：__________．第(2)题若一个圆锥的母线长是底面半径的3倍，则该圆锥的侧面积是底面积的_________倍；第(3)题首项为1，公比为的无穷等比数列的各项和为______．四、解答题：本题共5小题，每小题15分，最后一题17分，共77分 (共5题)第(1)题已知数列满足，．求证：当时，（Ⅰ）；（Ⅱ）当时，有；（Ⅲ）当时，有．第(2)题已知直线l：与点，过直线l上的一动点Q作直线，且点P满足．(1)求点P的轨迹C的方程；(2)过点F作直线与C交于A，B两点，设，直线AM与直线l相交于点N．试问：直线BN是否经过x轴上一定点？若过定点，求出该定点坐标；若不过定点，请说明理由．第(3)题已知函数（，）（1）讨论的单调性；（2）若对任意，恰有一个零点，求的取值范围.第(4)题近年来，随着国家对新能源汽车产业的支持，很多国产新能源汽车迅速崛起，其因颜值高、动力充沛、提速快、空间大、用车成本低等特点得到民众的追捧，但是充电难成为影响新能源汽车销量的主要原因，国家为了加快新能源汽车的普及程度，在全国范围内逐步增建充电桩.某地区年的充电桩数量及新能源汽车的年销量如表所示：年份20192020202120222023充电桩数量/万台13579新能源汽车年销量/万辆2537485872(1)已知可用线性回归模型拟合与的关系，请用相关系数加以说明（结果精确到0.001）；(2)求关于的线性回归方程，预测当该地区充电桩数量为24万台时，新能源汽车的年销量是多少万辆？参考公式：相关系数，回归方程中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为，.参考数据：，，，.第(5)题设点是直线上的一个动点，为坐标原点，过点作轴的垂线．过点作直线的垂线交直线于.(1)求点的轨迹的方程；(2)过曲线上的一点（异于原点）作曲线的切线交椭圆于，两点，求面积的最大值.。

2024年山东省枣庄市高三上学期期末考试数学试题试题及答案

( ) ON ⊥ l 于点 N ，直线 MF 与 ON 交于点 A ，点 B 5, 0 ，则 AB 的取值范围是__________.
四､解答题：本题共 6 小题，共 70 分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.
17.（10 分）
已知数列 an 中， a1 = 1, n2an+1 = (n +1)2 an .
22.（12 分）
已知双曲线 C 的渐近线方程为 3x y = 0 ，过右焦点 F (2, 0) 且斜率为 k 的直线 l 与 C 相交于 A, B 两点.
（1）求 C 的方程；（2）①若 B 点关于 x 轴的对称点为 E ，求证直线 AE 恒过定点 M ，并求出点 M 的坐标； ②若 k…3，求 AEF 面积的最大值.
比（） A.极差变小
B.平均数变大
C.方差变小
D.第 25 百分位数变小
10.设 m = (−1,3), n = (1, 2) ，则（）
A. m − 2n = 10
B. (m − 2n) ⊥ m C.若 (m − 2n) ∥ (km + n) ，则 k = − 1
2 D. n 在 m 上的投影向量为 1 m
A1
−
ABD
外接球的表面积最小值为
100π 3
12.已知定义在 R 上的连续函数
f
( x) ，其导函数为
f ( x) ，且
f
(0) = e,
f
1 2
=
1
பைடு நூலகம்，函数
y
=
f
x
+
1 2
为
奇函数，当 x 1 时 f ( x) f ( x) ，则（）
2

山东省2025届高三上学期第一次诊断考试数学含答案

山东省2025届高三第一次诊断考试数学试题（答案在最后）2024.10说明：本试卷满分150分。

试题答案请用2B 铅笔和0.5mm 签字笔填涂到答题卡规定位置上，书写在试题上的答案无效。

考试时间120分钟。

一、单项选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。

1.已知集合{ln(3)},{2}A x y x B x x ==+=∣∣ ,则下列结论正确的是A.A B⊆ B.B A ⊆ C.A B = D.A B ⋂=∅2.在612x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中,常数项为A.152-B.152C.52-D.523.已知()()cos f x x a x =+为奇函数,则曲线()y f x =在点(π,(π))f 处的切线方程为A.ππ0x y +-= B.ππ0x y -+= C.π0x y ++= D.0x y +=4.在ABC 中,“π2C =”是“22sin sin 1A B +=”的A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件5.由0,1,2,,9 这十个数字组成的无重复数字的四位数中,个位数字与百位数字之差的绝对值等于8的有A.98个B.105个C.112个D.210个6.已知函数()f x 在R 上满足()()f x f x =-,且当(,0]x ∈-∞时,()()0f x xf x '+<成立,若()0.60.6221122,ln 2(ln 2),log log 88a f b f c f ⎛⎫=⋅=⋅=⋅ ⎪⎝⎭,则,,a b c 的大小关系是A.a b c >>B.c b a>> C.a c b>> D.c a b>>7.若1cos 3sin αα+=,则cos 2sin αα-=A.-1B.1C.25-D.-1或25-8.已知函数225e 1,0(),()468,0x x f x g x x ax x x x ⎧+<⎪==-+⎨-+≥⎪⎩,若(())y g f x =有6个零点,则a 的取值范围是A.(4,)+∞ B.174,2⎡⎫⎪⎢⎣⎭C.[4,5]D.2017,(4,5]32⎡⎤⋃⎢⎥⎣⎦二、多项选择题:本题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的四个选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得6分,选对但不全的得部分分,有选错的得0分.9.已知0a b >>,下列说法正确的是A.若c d >，则a c b d ->-B.若0c >,则b b c a a c+<+C.2ab a b <+D.11a b b a+>+10.已知,A B 分别为随机事件A ,B 的对立事件,()0,()0P A P B >>,则A.()()1P B A P B A +=∣∣ B.()()()P B A P B A P A +=∣∣C.若A ,B 独立,则()()P A B P A =∣ D.若A ,B 互斥,则()()P A B P B A =∣∣11.已知函数()(1)ln (0)f x x x ax a a =---≠在区间(0,)+∞上有两个不同的零点1x ,2x ,且12x x <,则下列选项正确的是A.a 的取值范围是(0,1) B.121x x =C.()()12114x x ++> D.1214ln 2ln ln 23x a x x a +<<++三、填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分.12.若1~10,5X B ⎛⎫ ⎪⎝⎭,且51Y X =+,则()D Y =___________.13.已知二次函数2()2()f x ax x c x =++∈R 的值域为[1,)+∞,则14a c+的最小值为___________.14.一颗质地均匀的正方体骰子,六个面上分别标有点数1,2,3,4,5,6.现随机地将骰子抛掷三次（各次抛掷结果相互独立），其向上的点数依次为123,,a a a ，则事件“1223316a a a a a a -+-+-=”发生的概率为_____.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

新教材人教A版高中数学选择性必修第一册全册课后练习及章末检测含解析

选择性必修第一册全册课后练习及章末测验第一章空间向量与立体几何................................................................................................ - 2 -1.1.1空间向量及其线性运算......................................................................................... - 2 -1.1.2空间向量的数量积运算......................................................................................... - 8 -1.2空间向量基本定理.................................................................................................. - 15 -1.3.1空间直角坐标系 .................................................................................................. - 22 -1.3.2空间运算的坐标表示........................................................................................... - 28 -1.4.1第1课时空间向量与平行关系........................................................................... - 34 -1.4.1第2课时空间向量与垂直关系........................................................................... - 42 -1.4.2用空量研究距离夹角问题................................................................................... - 50 -第一章章末测验............................................................................................................ - 63 - 第二章直线和圆的方程...................................................................................................... - 78 -2.1.1倾斜角与斜率 ...................................................................................................... - 78 -2.1.2两条直线平行和垂直的判定............................................................................... - 82 -2.2.1直线的点斜式方程............................................................................................... - 86 -2.2.2直线的两点式方程............................................................................................... - 91 -2.2.3直线的一般式方程............................................................................................... - 96 -2.3.1 2.3.2两条直线的交点坐标两点间的距离公式............................................. - 101 -2.3.3 2.3.4点到直线的距离公式两条平行直线间的距离..................................... - 106 -2.4.1圆的标准方程 .................................................................................................... - 112 -2.4.2圆的一般方程 .................................................................................................... - 116 -2.5.1直线与圆的位置关系......................................................................................... - 121 -2.5.2圆与圆的位置关系............................................................................................. - 127 - 第三章圆锥曲线的方程.................................................................................................... - 143 -3.1.1椭圆及其标准方程............................................................................................. - 143 -3.1.2第1课时椭圆的简单几何性质......................................................................... - 148 -3.1.2第2课时椭圆的标准方程及性质的应用......................................................... - 154 -3.2.1双曲线及其标准方程......................................................................................... - 162 -3.2.2双曲线的简单几何性质..................................................................................... - 168 -3.3.1抛物线及其标准方程......................................................................................... - 176 -3.3.2抛物线的简单几何性质..................................................................................... - 182 -第三章章末测验.......................................................................................................... - 189 -第一章空间向量与立体几何 1.1.1空间向量及其线性运算一、选择题1．空间任意四个点A ，B ，C ，D ，则DA →＋CD →－CB →等于( ) A ．DB → B ．AC → C ．AB → D ．BA → D [DA →＋CD →－CB →＝DA →＋BD →＝BA →.]2．设有四边形ABCD ，O 为空间任意一点，且AO →＋OB →＝DO →＋OC →，则四边形ABCD 是( )A ．平行四边形B ．空间四边形C ．等腰梯形D ．矩形A [∵AO →＋OB →＝DO →＋OC →，∴AB →＝DC →. ∴AB →∥DC →且|AB →|＝|DC →|. ∴四边形ABCD 为平行四边形．]3．已知A ，B ，C 三点不共线，对平面ABC 外的任一点O ，下列条件中能确定点M 与点A ，B ，C 一定共面的是( )A ．OM →＝OA →＋OB →＋OC → B ．OM →＝2OA →－OB →－OC → C ．OM →＝OA →＋12OB →＋13OC →D ．OM →＝13OA →＋13OB →＋13OC → D [由OM →＝13OA →＋13OB →＋13OC →，可得3OM →＝OA →＋OB →＋OC →⇒OM →－OA →＋OM →－OB →＋OM →－OC →＝0，即AM →＝－BM →－CM →.所以AM →与BM →，CM →在一个平面上，即点M 与点A ，B ，C 一定共面．] 4．若空间中任意四点O ，A ，B ，P 满足OP →＝mOA →＋nOB →，其中m ＋n ＝1，则( )A ．P ∈AB B ．P ∉ABC ．点P 可能在直线AB 上D ．以上都不对A [因为m ＋n ＝1，所以m ＝1－n ，所以OP →＝(1－n )OA →＋nOB →，即OP →－OA →＝n (OB →－OA →)，即AP →＝nAB →，所以AP →与AB →共线．又AP →，AB →有公共起点A ，所以P ，A ，B 三点在同一直线上，即P ∈AB .]5．已知在长方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，点E 是A 1C 1的中点，点F 是AE 的三等分点，且AF ＝12EF ，则AF →＝( )A ．AA 1→＋12AB →＋12AD → B ．12AA 1→＋12AB →＋12AD →C ．12AA 1→＋16AB →＋16AD → D ．13AA 1→＋16AB →＋16AD →D [如图所示，AF →＝13AE →，AE →＝AA 1→＋A 1E →，A 1E →＝12A 1C 1→，A 1C 1→＝A 1B 1→＋A 1D 1→，A 1B 1→＝AB →，A 1D 1→＝AD →，所以AF →＝13⎝ ⎛⎭⎪⎫AA 1→＋12A 1C 1→＝13AA 1→＋16AB →＋16AD →，故选D.]二、填空题6．已知A ，B ，C 三点不共线，O 为平面ABC 外一点，若由OM →＝－2OA →＋OB →＋λOC →确定的点M 与A ，B ，C 共面，则λ＝________.2 [由M 、A 、B 、C 四点共面知：－2＋1＋λ＝1，即λ＝2.]7．在平行六面体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，M 为AC 与BD 的交点，若A 1B 1→＝a ，A 1D 1→＝b ，A 1A →＝c ，用a ，b ，c 表示D 1M →，则D 1M →＝________.12a －12b ＋c [D 1M →＝D 1D →＋DM → ＝A 1A →＋12(DA →＋DC →) ＝c ＋12(－A 1D 1→＋A 1B 1→) ＝12a －12b ＋c .]8．在空间四边形ABCD 中，E ，F 分别是AB ，CD 的中点，则EF →和AD →＋BC →的关系是________．(填“平行”，“相等”或“相反”)平行 [设G 是AC 的中点，则EF →＝EG →＋GF →＝12BC →＋12AD →＝12(AD →＋BC →) 所以2EF →＝AD →＋BC →，从而EF →∥(AD →＋BC →)．] 三、解答题9.如图，在空间四边形ABCD 中，G 为△BCD 的重心，E ，F 分别为边CD 和AD 的中点，试化简AG →＋13BE →－12AC →，并在图中标出化简结果的向量．[解] ∵G 是△BCD 的重心，BE 是CD 边上的中线，∴GE →＝13BE →.又12AC →＝12(DC →－DA →)＝12DC →－12DA →＝DE →－DF →＝FE →， ∴AG →＋13BE →－12AC →＝AG →＋GE →－FE →＝AF →(如图所示)．10．在长方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，M 为DD 1的中点，点N 在AC 上，且AN ∶NC ＝2∶1，求证：A 1N →与A 1B →，A 1M →共面．[证明] ∵A 1B →＝AB →－AA 1→， A 1M →＝A 1D 1→＋D 1M →＝AD →－12AA 1→， AN →＝23AC →＝23(AB →＋AD →)， ∴A 1N →＝AN →－AA 1→ ＝23(AB →＋AD →)－AA 1→＝23(AB →－AA 1→)＋23(AD →－12AA 1→) ＝23A 1B →＋23A 1M →， ∴A 1N →与A 1B →，A 1M →共面．11．(多选题)若A ，B ，C ，D 为空间不同的四点，则下列各式为零向量的是( ) A ．AB →＋2BC →＋2CD →＋DC → B ．2AB →＋2BC →＋3CD →＋3DA →＋AC →C.AB →＋CA →＋BD →D.AB →－CB →＋CD →－AD →BD [A 中，AB →＋2BC →＋2CD →＋DC →＝AB →＋2BD →＋DC →＝AB →＋BD →＋BD →＋DC →＝AD →＋BC →；B 中，2AB →＋2BC →＋3CD →＋3DA →＋AC →＝2AC →＋3CA →＋AC →＝0；C 中，AB →＋CA →＋BD →＝AD →＋CA →；D 中，AB →－CB →＋CD →－AD →＝AB →＋BC →＋CD →＋DA →表示A →B →C →D →A 恰好形成一个回路，结果必为0.]12．(多选题)有下列命题，其中真命题的有( ) A ．若AB →∥CD →，则A ，B ，C ，D 四点共线 B ．若AB →∥AC →，则A ，B ，C 三点共线C ．若e 1，e 2为不共线的非零向量，a ＝4e 1－25e 2，b ＝－e 1＋110e 2，则a ∥b D ．若向量e 1，e 2，e 3是三个不共面的向量，且满足等式k 1e 1＋k 2e 2＋k 3e 3＝0，则k 1＝k 2＝k 3＝0BCD [根据共线向量的定义，若AB →∥CD →，则AB ∥CD 或A ，B ，C ，D 四点共线，故A 错；因为AB →∥AC →且AB →，AC →有公共点A ，所以B 正确；由于a ＝4e 1－25e 2＝－4－e 1＋110e 2＝－4b ，所以a ∥b ，故C 正确；易知D 也正确．]13．(一题两空)已知A ，B ，C 三点共线，则对空间任一点O ，若OA →＝2OB →＋μOC →，则μ＝________；存在三个不为0的实数λ，m ，n ，使λOA →＋mOB →＋nOC →＝0，那么λ＋m ＋n 的值为________．－1 0 [由A 、B 、C 三点共线，∴2＋μ＝1，∴μ＝－1，又由λOA →＋mOB →＋nOC →＝0得OA →＝－m λOB →－n λOC →由A ，B ，C 三点共线知－m λ－nλ＝1，则λ＋m ＋n ＝0.]14．设e 1，e 2是平面上不共线的向量，已知AB →＝2e 1＋k e 2，CB →＝e 1＋3e 2，CD →＝2e 1－e 2，若A ，B ，D 三点共线，则实数k 为________．－8 [因为BD →＝CD →－CB →＝e 1－4e 2，AB →＝2e 1＋k e 2，又A ，B ，D 三点共线，由共线向量定理得12＝－4k ，所以k ＝－8.]15.如图所示，已知四边形ABCD 是平行四边形，点P 是ABCD 所在平面外的一点，连接P A ，PB ，PC ，PD .设点E ，F ，G ，H 分别为△P AB ，△PBC ，△PCD ，△PDA 的重心．(1)试用向量方法证明E ，F ，G ，H 四点共面；(2)试判断平面EFGH 与平面ABCD 的位置关系，并用向量方法证明你的判断． [证明] (1)分别连接PE ，PF ，PG ，PH 并延长，交对边于点M ，N ，Q ，R ，连接MN ，NQ ，QR ，RM ，∵E ，F ，G ，H 分别是所在三角形的重心，∴M ，N ，Q ，R 是所在边的中点，且PE →＝23PM →，PF →＝23PN →，PG →＝23PQ →，PH →＝23PR →.由题意知四边形MNQR 是平行四边形，∴MQ →＝MN →＋MR →＝(PN →－PM →)＋(PR →－PM →)＝32(PF →－PE →)＋32(PH →－PE →)＝32(EF →＋EH →)．又MQ →＝PQ →－PM →＝32PG →－32PE →＝32EG →.∴EG →＝EF →＋EH →，由共面向量定理知，E ，F ，G ，H 四点共面．(2)平行．证明如下：由(1)得MQ →＝32EG →，∴MQ →∥EG →， ∴EG →∥平面ABCD .又MN →＝PN →－PM →＝32PF →－32PE → ＝32EF →，∴MN →∥EF →. 即EF ∥平面ABCD . 又∵EG ∩EF ＝E ，∴平面EFGH 与平面ABCD 平行1.1.2空间向量的数量积运算一、选择题1．已知a ⊥b ，|a |＝2，|b |＝3，且(3a ＋2b )⊥(λa －b )，则λ等于( ) A ．32 B ．－32 C ．±32 D ．1A [∵a ⊥b ，∴a ·b ＝0，∵3a ＋2b ⊥λa －b ，∴(3a ＋2b )·(λa －b )＝0，即3λa 2＋(2λ－3)a ·b －2b 2＝0，∴12λ－18＝0，解得λ＝32.]2．已知空间四边形ABCD 的每条边和对角线的长都等于a ，点E ，F 分别是BC ，AD 的中点，则AE →·AF →的值为( )A ．a 2B ．12a 2C ．14a 2D ．34a 2C [AE →·AF →＝12(AB →＋AC →)·12AD →＝14(AB →·AD →＋AC →·AD →)＝14⎝ ⎛⎭⎪⎫a ×a ×12＋a ×a ×12＝14a 2.]3．已知长方体ABCD -A 1B 1C 1D 1，则下列向量的数量积一定不为0的是( ) A ．AD 1→·B 1C →B ．BD 1→·AC →C ．AB →·AD 1→ D ．BD 1→·BC →D [对于选项A ，当四边形ADD 1A 1为正方形时，可得AD 1⊥A 1D ，而A 1D ∥B 1C ，可得AD 1⊥B 1C ，此时有AD 1→·B 1C →＝0；对于选项B ，当四边形ABCD 为正方形时，AC ⊥BD ，易得AC ⊥平面BB 1D 1D ，故有AC ⊥BD 1，此时有BD 1→·AC →＝0；对于选项C ，由长方体的性质，可得AB ⊥平面ADD 1A 1，可得AB ⊥AD 1，此时必有AB →·AD 1→＝0；对于选项D ，由长方体的性质，可得BC ⊥平面CDD 1C 1，可得BC ⊥CD 1，△BCD 1为直角三角形，∠BCD 1为直角，故BC 与BD 1不可能垂直，即BD 1→·BC →≠0.故选D.]4．在棱长为a 的正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，向量BA 1→与向量AC →所成的角为( )A ．60°B ．150°C ．90°D ．120°D [BA 1→＝BA →＋AA 1→，|BA 1→|＝2a ，AC →＝A B →＋AD →，|AC →|＝2a .∴BA 1→·AC →＝BA →·AB →＋BA →·AD →＋AA 1→·AB →＋AA 1→·AD →＝－a 2. ∴cos 〈BA 1→，AC →〉＝－a 22a ·2a ＝－12.∴〈BA 1→，AC →〉＝120°.]5.如图所示，在平行六面体ABCD -A ′B ′C ′D ′中，AB ＝1，AD ＝2，AA ′＝3，∠BAD ＝90°，∠BAA ′＝∠DAA ′＝60°，则AC ′的长为( )A ．13B ．23C ．33D ．43B [∵AC ′→＝AB →＋BC →＋CC ′→，∴AC ′→2＝(AB →＋BC →＋CC ′→)2＝AB →2＋BC →2＋CC ′→2＋2(AB →·BC →＋AB →·CC ′→＋BC →·CC ′→) ＝12＋22＋32＋2(0＋1×3cos 60°＋2×3cos 60°) ＝14＋2×92＝23，∴|AC ′→|＝23，即AC ′的长为23.] 二、填空题6．已知a ，b 是空间两个向量，若|a |＝2，|b |＝2，|a －b |＝7，则cos 〈a ，b 〉＝________.18[将|a －b |＝7两边平方，得(a －b )2＝7. 因为|a |＝2，|b |＝2，所以a ·b ＝12.又a ·b ＝|a ||b |cos 〈a ，b 〉，故cos 〈a ，b 〉＝18.]7．已知a ，b 是异面直线，A ，B ∈a ，C ，D ∈b ，AC ⊥b ，BD ⊥b ，且AB ＝2，CD ＝1，则a ，b 所成的角是________．60° [AB →＝AC →＋CD →＋DB →，∴CD →·AB →＝CD →·(AC →＋CD →＋DB →)＝|CD →|2＝1， ∴cos 〈CD →，AB →〉＝CD →·AB →|CD →||AB →|＝12，∴异面直线a ，b 所成角是60°.]8．已知|a |＝2，|b |＝1，〈a ，b 〉＝60°，则使向量a ＋λb 与λa －2b 的夹角为钝角的实数λ的取值范围是________．(－1－3，－1＋3) [由题意知 ⎩⎨⎧(a ＋λb )·(λa －2b )<0，cos 〈a ＋λb ，λa －2b 〉≠－1. 即⎩⎨⎧(a ＋λb )·(λa －2b )<0，(a ＋λb )·(λa －2b )≠－|a ＋λb ||λa －2b |，得λ2＋2λ－2<0.∴－1－3<λ<－1＋ 3.] 三、解答题9.如图，在四棱锥P -ABCD 中，底面ABCD 是边长为1的正方形，侧棱P A 的长为2，且P A 与AB 、AD 的夹角都等于60°，M 是PC 的中点，设AB →＝a ，AD →＝b ，AP →＝c .(1)试用a ，b ，c 表示出向量BM →； (2)求BM 的长．[解] (1)∵M 是PC 的中点，∴BM →＝12(BC →＋BP →)＝12[AD →＋(AP →－AB →)] ＝12[b ＋(c －a )]＝－12a ＋12b ＋12c .(2)由于AB ＝AD ＝1，P A ＝2，∴|a |＝|b |＝1，|c |＝2，由于AB ⊥AD ，∠P AB ＝∠P AD ＝60°，∴a·b ＝0，a·c ＝b·c ＝2·1·cos 60°＝1，由于BM →＝12(－a ＋b ＋c )，|BM →|2＝14(－a ＋b ＋c )2＝14[a 2＋b 2＋c 2＋2(－a·b －a·c ＋b·c )]＝14[12＋12＋22＋2(0－1＋1)]＝32.∴|BM →|＝62，∴BM 的长为62.10.如图，已知直三棱柱ABC -A ′B ′C ′中，AC ＝BC ＝AA ′，∠ACB ＝90°，D ，E 分别为AB ，BB ′的中点．(1)求证：CE ⊥A ′D ；(2)求异面直线CE 与AC ′所成角的余弦值． [解] (1)证明：设CA →＝a ，CB →＝b ，CC ′→＝c ，根据题意得|a |＝|b |＝|c |，且a·b ＝b·c ＝c·a ＝0. ∴CE →＝b ＋12c ，A ′D →＝－c ＋12b －12a .∴CE →·A ′D →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫b ＋12c ·⎝ ⎛⎭⎪⎫－c ＋12b －12a ＝－12c 2＋12b 2＝0， ∴CE →⊥A ′D →，即CE ⊥A ′D .(2)∵AC ′→＝－a ＋c ，∴|AC ′→|＝2|a |，|CE →|＝52|a |， ∵AC ′→·CE →＝(－a ＋c )·⎝ ⎛⎭⎪⎫b ＋12c ＝12c 2＝12|a |2， ∴cos 〈AC ′→，CE →〉＝12|a |22×52|a |2＝1010.∴异面直线CE 与AC ′所成角的余弦值为1010.11．(多选题)在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，下列命题正确的有( ) A ．(AA 1→＋AD →＋AB →)2＝3AB →2 B ．A 1C →·(A 1B 1→－A 1A →)＝0 C ．AD 1→与A 1B →的夹角为60° D ．正方体的体积为|AB →·AA 1→·AD →|AB [如图，(AA 1→＋AD →＋AB →)2＝(AA 1→＋A 1D 1→＋D 1C 1→)2＝AC 1→2＝3AB →2；A 1C →·(A 1B 1→－A 1A →)＝A 1C →·AB 1→＝0；AD 1→与A 1B →的夹角是D 1C →与D 1A →夹角的补角，而D 1C →与D 1A →的夹角为60°，故AD 1→与A 1B →的夹角为120°；正方体的体积为|AB →||AA 1→||AD →|.故选AB.]12．已知正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1的棱长为1，若E 是底面正方形A 1B 1C 1D 1的中心，则AC 1→与CE →( )A ．重合B ．平行但不重合C ．垂直D ．无法确定C [AC 1→＝AB →＋AD →＋AA 1→，CE →＝CC 1→＋C 1E →＝AA 1→－12(AB →＋AD →)，于是AC 1→·CE →＝(AB →＋AD →＋AA 1→)·⎣⎢⎡⎦⎥⎤AA 1－12(AB →＋AD →)＝AB →·AA 1→－12AB →2－12AB →·AD →＋AD →·AA 1→－12AD →·AB →－12AD →2＋AA 1→2－12AA 1→·AB →－12AA 1→·AD →＝0－12－0＋0－0－12＋1－0－0＝0，故AC 1→⊥CE →.]13．(一题两空)如图，在长方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，设AD ＝AA 1＝1，AB ＝2，P 是C 1D 1的中点，则B 1C →·A 1P →＝________，B 1C →与A 1P →所成角的大小为________．1 60° [法一：连接A 1D ，则∠P A 1D 就是B 1C →与A 1P →所成角．连接PD ，在△P A 1D 中，易得P A 1＝DA 1＝PD ＝2，即△P A 1D 为等边三角形，从而∠P A 1D ＝60°，即B 1C →与A 1P →所成角的大小为60°.因此B 1C →·A 1P →＝2×2×cos 60°＝1.法二：根据向量的线性运算可得B 1C →·A 1P →＝(A 1A →＋AD →)·⎝⎛⎭⎪⎫AD →＋12AB →＝AD →2＝1. 由题意可得P A 1＝B 1C ＝2，则2×2×cos 〈B 1C →，A 1P →〉＝1，从而〈B 1C →，A 1P →〉＝60°.]14．已知在正四面体D -ABC 中，所有棱长都为1，△ABC 的重心为G ，则DG 的长为________．63 [如图，连接AG 并延长交BC 于点M ，连接DM ，∵G 是△ABC 的重心，∴AG ＝23AM ，∴AG →＝23AM →，DG →＝DA →＋AG →＝DA →＋23AM →＝DA →＋23(DM →－DA →)＝DA →＋23⎣⎢⎡⎦⎥⎤12(DB →＋DC →)－DA →＝13(DA →＋DB →＋DC →)，而(DA →＋DB →＋DC →)2＝DA →2＋DB →2＋DC →2＋2DA →·DB →＋2DB →·DC →＋2DC →·DA →＝1＋1＋1＋2(cos 60°＋cos 60°＋cos 60°)＝6，∴|DG →|＝63.]15.如图，正四面体V -ABC 的高VD 的中点为O ，VC 的中点为M .(1)求证：AO ，BO ，CO 两两垂直；(2)求〈DM →，AO →〉．[解] (1)证明：设VA →＝a ，VB →＝b ，VC →＝c ，正四面体的棱长为1，则VD →＝13(a ＋b ＋c )，AO →＝16(b ＋c －5a )， BO →＝16(a ＋c －5b )，CO →＝16(a ＋b －5c )，所以AO →·BO →＝136(b ＋c －5a )·(a ＋c －5b )＝136(18a ·b －9|a |2)＝136(18×1×1×cos 60°－9)＝0，所以AO →⊥BO →，即AO ⊥BO .同理，AO ⊥CO ，BO ⊥CO . 所以AO ，BO ，CO 两两垂直．(2)DM →＝DV →＋VM →＝－13(a ＋b ＋c )＋12c ＝16(－2a －2b ＋c )，所以|DM →|＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤16(－2a －2b ＋c )2＝12. 又|AO →|＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤16(b ＋c －5a )2＝22，DM →·AO →＝16(－2a －2b ＋c )·16(b ＋c －5a )＝14，所以cos 〈DM →，AO →〉＝1412×22＝22. 又〈DM →，AO →〉∈[0，π]，所以〈DM →，AO →〉＝π4.1.2空间向量基本定理一、选择题1．若向量{a ，b ，c }是空间的一个基底，则一定可以与向量p ＝2a ＋b ，q ＝2a－b 构成空间的另一个基底的向量是( )A ．aB ．bC ．cD ．a ＋bC [由p ＝2a ＋b ，q ＝2a －b 得a ＝14p ＋14q ，所以a 、p 、q 共面，故a 、p 、q 不能构成空间的一个基底，排除A ；因为b ＝12p －12q ，所以b 、p 、q 共面，故b 、p 、q 不能构成空间的一个基底，排除B ；因为a ＋b ＝34p －14q ，所以a ＋b 、p 、q 共面，故a ＋b 、p 、q 不能构成空间的一个基底，排除D.]2．在平行六面体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，M 是上底面对角线AC 与BD 的交点，若A 1B 1→＝a ，A 1D 1→＝b ，A 1A →＝c ，则B 1M →可表示为( )A ．12a ＋12b ＋cB ．12a －12b ＋cC ．－12a －12b ＋cD ．－12a ＋12b ＋cD [由于B 1M →＝B 1B →＋BM →＝B 1B →＋12(BA →＋BC →) ＝－12a ＋12b ＋c ，故选D.]3．若向量MA →，MB →，MC →的起点M 与终点A ，B ，C 互不重合，且点M ，A ，B ，C 中无三点共线，满足下列关系(O 是空间任一点)，则能使向量MA →，MB →，MC →成为空间一个基底的关系是( )A ．OM →＝13OA →＋13OB →＋13OC → B ．MA →≠MB →＋MC → C ．OM →＝OA →＋OB →＋OC →D ．MA →＝2MB →－MC →C [若MA →，MB →，MC →为空间一组基向量，则M ，A ，B ，C 四点不共面．选项A 中，因为13＋13＋13＝1，所以点M ，A ，B ，C 共面；选项B 中，MA →≠MB →＋MC →，但可能存在实数λ，μ使得MA →＝λMB →＋μMC →，所以点M ，A ，B ，C 可能共面；选项D 中，四点M ，A ，B ，C 显然共面．故选C.]4．空间四边形OABC 中，OA →＝a ，OB →＝b ，OC →＝c ，点M 在OA 上，且OM →＝2MA →，N 为BC 中点，则MN →为( )A ．12a －23b ＋12cB ．－23a ＋12b ＋12cC ．12a ＋12b －23cD ．23a ＋23b －12cB [MN →＝MA →＋AB →＋BN →＝13OA →＋OB →－OA →＋12(OC →－OB →)＝－23OA →＋12OB →＋12OC →＝－23a ＋12b ＋12c .]5．平行六面体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，向量AB →，AD →，AA 1→两两的夹角均为60°且|AB →|＝1，|AD →|＝2，|AA 1→|＝3，则|AC 1→|等于( )A ．5B ．6C ．4D ．8A [在平行六面体ABCD -A 1B 1C 1D 1中有，AC 1→＝AB →＋AD →＋CC 1→＝AB →＋AD →＋AA 1→所以有|AC 1→|＝|AB →＋AD →＋AA 1→|，于是有|AC 1→|2＝|AB →＋AD →＋AA 1→|2＝|AB →|2＋|AD →|2＋|AA 1→|2＋2|AB →|·|AD →|·cos 60°＋2|AB →|·|AA 1→|·cos 60°＋2|AD →||AA 1→|·cos 60°＝25，所以|AC 1→|＝5.]二、填空题6．在四面体OABC 中，OA →＝a ，OB →＝b ，OC →＝c ，D 为BC 的中点，E 为AD 的中点，则OE →＝________.(用a ，b ，c 表示)12a ＋14b ＋14c [因为在四面体OABC 中，OA →＝a ，OB →＝b ，OC →＝c ，D 为BC 的中点，E 为AD 的中点，所以OE →＝12(OA →＋OD →)＝12OA →＋12OD →＝12a ＋12×12(OB →＋OC →)＝12a ＋14(b ＋c )＝12a ＋14b ＋14c .]7．已知{a ，b ，c }是空间的一个单位正交基底，{a ＋b ，a －b ，c }是空间的另一个基底，若向量m 在基底{a ，b ，c }下表示为m ＝3a ＋5b ＋9c ，则m 在基底{a ＋b ，a －b,3c }下可表示为________．4(a ＋b )－(a －b )＋3(3c ) [由题意知，m ＝3a ＋5b ＋9c ，设m ＝x (a ＋b )＋y (a －b )＋z (3c )则有⎩⎨⎧ x ＋y ＝3x －y ＝53z ＝9，解得⎩⎨⎧x ＝4y ＝－1z ＝3.则m 在基底{a ＋b ，a －b,3c }可表示为m ＝4(a ＋b )－(a －b )＋3(3c )．] 8．在四棱锥P -ABCD 中，ABCD 为平行四边形，AC 与BD 交于O ，G 为BD 上一点，BG ＝2GD ，P A →＝a ，PB →＝b ，PC →＝c ，试用基底{a ，b ，c }表示向量PG →＝________.23a －13b ＋23c [因为BG ＝2GD ，所以BG →＝23BD →. 又BD →＝BA →＋BC →＝P A →－PB →＋PC →－PB →＝a ＋c －2b ，所以PG →＝PB →＋BG →＝b ＋23(a ＋c －2b ) ＝23a －13b ＋23c .] 三、解答题9.如图所示，正方体OABC -O ′A ′B ′C ′，且OA →＝a ，OC →＝b ，OO ′→＝c .(1)用a ，b ，c 表示向量OB ′→，AC ′→；(2)设G ，H 分别是侧面BB ′C ′C 和O ′A ′B ′C ′的中心，用a ，b ，c 表示GH →.[解] (1)OB ′→＝OB →＋BB ′→＝OA →＋OC →＋OO ′→＝a ＋b ＋c . AC ′→＝AC →＋CC ′→＝AB →＋AO →＋AA ′→＝OC →＋OO ′→－OA →＝b ＋c －a . (2)法一：连接OG ，OH (图略)，则GH →＝GO →＋OH →＝－OG →＋OH → ＝－12(OB ′→＋OC →)＋12(OB ′→＋OO ′→) ＝－12(a ＋b ＋c ＋b )＋12(a ＋b ＋c ＋c ) ＝12(c －b )．法二：连接O ′C (图略)，则GH →＝12CO ′→＝12(OO ′→－OC →) ＝12(c －b )．10.如图，在平行六面体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，MA →＝－13AC →，ND →＝13A 1D →，设AB →＝a ，AD →＝b ，AA 1→＝c ，试用a ，b ，c 表示MN →.[解] 连接AN ，则MN →＝MA →＋AN →.由已知可得四边形ABCD 是平行四边形，从而可得 AC →＝AB →＋AD →＝a ＋b ， MA →＝－13AC →＝－13(a ＋b )，又A 1D →＝AD →－AA 1→＝b －c ，故AN →＝AD →＋DN →＝AD →－ND →＝AD →－13A 1D →＝b －13(b －c )，所以MN →＝MA →＋AN → ＝－13(a ＋b )＋b －13(b －c ) ＝13(－a ＋b ＋c )．11．(多选题)已知a ，b ，c 是不共面的三个向量，则下列向量组中，不能构成一个基底的一组向量是( )A ．2a ，a －b ，a ＋2bB ．2b ，b －a ，b ＋2aC ．a,2b ，b －cD ．c ，a ＋c ，a －cABD [对于A ，因为2a ＝43(a －b )＋23(a ＋2b )，得2a 、a －b 、a ＋2b 三个向量共面，故它们不能构成一个基底；对于B ，因为2b ＝43(b －a )＋23(b ＋2a )，得2b 、b －a 、b ＋2a 三个向量共面，故它们不能构成一个基底；对于C ，因为找不到实数λ、μ，使a ＝λ·2b ＋μ(b －c )成立，故a 、2b 、b －c 三个向量不共面，它们能构成一个基底；对于D ，因为c ＝12(a ＋c )－12(a －c )，得c 、a ＋c 、a －c 三个向量共面，故它们不能构成一个基底，故选ABD.]12．(多选题)给出下列命题，正确命题的有( )A ．若{a ，b ，c }可以作为空间的一个基底，d 与c 共线，d ≠0，则{a ，b ，d }也可以作为空间的一个基底B ．已知向量a ∥b ，则a ，b 与任何向量都不能构成空间的一个基底C ．A ，B ，M ，N 是空间四点，若BA →，BM →，BN →不能构成空间的一个基底，则A ，B ，M ，N 四点共面D ．已知{a ，b ，c }是空间的一个基底，若m ＝a ＋c ，则{a ，b ，m }也是空间的一个基底ABCD [根据基底的概念，知空间中任何三个不共面的向量都可作为空间的一个基底．显然B 正确．C 中由BA →，BM →，BN →不能构成空间的一个基底，知BA →，BM →，BN →共面．又BA →，BM →，BN →过相同点B ，知A ，B ，M ，N 四点共面．所以C 正确．下面证明AD 正确：A 假设d 与a ，b 共面，则存在实数λ，μ，使得d ＝λa ＋μb ，∵d 与c 共线，c ≠0，∴存在实数k ，使得d ＝k c .∵d ≠0，∴k ≠0，从而c ＝λk a ＋μk b ，∴c 与a ，b 共面，与条件矛盾，∴d 与a ，b 不共面．同理可证D 也是正确的．于是ABCD 四个命题都正确，故选ABCD.]13．(一题两空)已知空间的一个基底{a ，b ，c }，m ＝a －b ＋c ，n ＝x a ＋y b ＋c ，若m 与n 共线，则x ＝________，y ＝________.1 －1 [因为m 与n 共线，所以存在实数λ，使m ＝λn ，即a －b ＋c ＝λx a ＋λy b ＋λc ，于是有⎩⎨⎧1＝λx ，－1＝λy ，1＝λ，解得⎩⎨⎧x ＝1，y ＝－1.]14．(一题多空)已知e 1，e 2是空间单位向量，e 1·e 2＝12.若空间向量b 满足b ·e 1＝2，b ·e 2＝52，且对于任意x ，y ∈R ，|b －(x e 1＋y e 2)|≥|b －(x 0e 1＋y 0e 2)|＝1(x 0，y 0∈R )，则x 0＝________，y 0＝________，|b |＝________.1 2 22 [由题意可令b ＝x 0e 1＋y 0e 2＋e 3，其中|e 3|＝1，e 3⊥e i ，i ＝1,2.由b ·e 1＝2得x 0＋y 02＝2，由b ·e 2＝52得x 02＋y 0＝52，解得x 0＝1，y 0＝2，∴|b |＝(e 1＋2e 2＋e 3)2＝2 2.]15．在平行六面体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，设AB →＝a ，AD →＝b ，AA 1→＝c ，E ，F 分别是AD 1，BD 的中点．(1)用向量a ，b ，c 表示D 1B →，EF →；(2)若D 1F →＝x a ＋y b ＋z c ，求实数x ，y ，z 的值． [解] (1)如图，D 1B →＝D 1D →＋DB →＝－AA 1→＋AB →－AD →＝a －b －c ，EF →＝EA →＋AF →＝12D 1A →＋12AC →＝－12(AA 1→＋AD →)＋12(AB →＋AD →)＝12(a －c )． (2)D 1F →＝12(D 1D →＋D 1B →)＝12(－AA 1→＋AB →－AD 1→) ＝12(－AA 1→＋AB →－AD →－DD 1→) ＝12(a －c －b －c )＝12a －12b －c ， ∴x ＝12，y ＝－12，z ＝－1.1.3.1空间直角坐标系一、选择题1．空间两点A ，B 的坐标分别为(x ，－y ，z )，(－x ，－y ，－z )，则A ，B 两点的位置关系是( )A ．关于x 轴对称B ．关于y 轴对称C ．关于z 轴对称D ．关于原点对称B [纵坐标相同，横坐标和竖坐标互为相反数，故两点关于y 轴对称．] 2．已知A (1,2，－1)，B (5,6,7)，则直线AB 与平面xOz 交点的坐标是( ) A ．(0,1,1) B ．(0,1，－3)C ．(－1,0,3)D ．(－1,0，－5)D [设直线AB 与平面xoz 交点坐标是M (x ，y ，z )，则AM →＝(x －1，－2，z ＋1)，AB →＝(4,4,8)，又AM →与AB →共线，∴AM →＝λAB →，即⎩⎨⎧x －1＝4λ，－2＝4λ，z ＋1＝8λ，解得x ＝－1，z ＝－5，∴点M (－1,0，－5)．故选D.]3．设A (3,3,1)，B (1,0,5)，C (0,1,0)，则AB 的中点M 到点C 的距离|CM |＝( ) A ．534 B ．532 C ．532D ．132 C [M ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，32，3 ，|CM |＝4＋⎝ ⎛⎭⎪⎫32－12＋9＝532.] 4.如图，在空间直角坐标系中，正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1的棱长为1，B 1E ＝14A 1B 1，则BE →等于( )A ．⎝ ⎛⎭⎪⎫0，14，－1B ．⎝ ⎛⎭⎪⎫－14，0，1C ．⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－14，1D ．⎝ ⎛⎭⎪⎫14，0，－1C [{DA →，DC →，DD 1→}为单位正交向量，BE →＝BB 1→＋B 1E →＝－14DC →＋DD 1→，∴BE →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－14，1.] 5．设{i ，j ，k }是单位正交基底，已知向量p 在基底{a ，b ，c }下的坐标为(8,6,4)，其中a ＝i ＋j ，b ＝j ＋k ，c ＝k ＋i ，则向量p 在基底{i ，j ，k }下的坐标是( )A ．(12,14,10)B ．(10,12,14)C ．(14,12,10)D ．(4,3,2)A [依题意，知p ＝8a ＋6b ＋4c ＝8(i ＋j )＋6(j ＋k )＋4(k ＋i )＝12i ＋14j ＋10k ，故向量p 在基底{i ，j ，k }下的坐标是(12,14,10)．]二、填空题6．在空间直角坐标系中，已知点P (1，2，3)，过点P 作平面yOz 的垂线PQ ，则垂足Q 的坐标为________．(0，2，3) [过P 的垂线PQ ⊥面yOz ，则Q 点横坐标为0，其余不变，故Q (0，2，3)．]7．设{e 1，e 2，e 3}是空间向量的一个单位正交基底，a ＝4e 1－8e 2＋3e 3，b ＝－2e 1－3e 2＋7e 3，则a ，b 的坐标分别为________．(4，－8,3)，(－2，－3,7) [由题意可知a ＝(4，－8,3)，b ＝(－2，－3,7)．] 8.如图所示，以长方体ABCD -A 1B 1C 1D 1的顶点D 为坐标原点，过D 的三条棱所在的直线为坐标轴，建立空间直角坐标系，若DB 1→的坐标为(4,3,2)，则AC 1→的坐标为________．(－4,3,2) [由DB 1→＝DA →＋DC →＋DD 1→，且DB 1→＝(4,3,2)，∴|DA →|＝4，|DC →|＝3，|DD 1→|＝2，又AC 1→＝－DA →＋DC →＋DD 1→，∴AC 1→＝(－4,3,2)．]三、解答题9．已知三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，侧棱AA 1⊥底面ABC ，所有的棱长都是1，建立适当的坐标系，并写出各点的坐标．[解] 如图所示，取AC 的中点O 和A 1C 1的中点O 1，可得BO ⊥AC ，OO 1⊥AC ，分别以OB ，OC ，OO 1所在直线为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系．∵三棱柱各棱长均为1，∴OA ＝OC ＝O 1C 1＝O 1A 1＝12，OB ＝32.∵A ，B ，C 均在坐标轴上，∴A ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－12，0，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫32，0，0，C ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12，0.∵点A 1与C 1在yOz 平面内， ∴A 1⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－12，1，C 1⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12，1.∵点B 1在xOy 平面内的射影为B ，且BB 1＝1，∴B 1⎝ ⎛⎭⎪⎫32，0，1，即各点的坐标为A ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－12，0，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫32，0，0，C ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12，0，A 1⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－12，1，B 1⎝ ⎛⎭⎪⎫32，0，1，C 1⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12，1. 10．棱长为1的正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，E ，F ，G 分别为棱DD 1，D 1C 1，BC 的中点，以{AB →，AD →，AA 1→}为正交基底，求下列向量的坐标：(1)AE →，AF →，AG →； (2)EF →，EG →，DG →.[解] 在正交基底{AB →，AD →，AA 1→}下，(1)AF →＝12AB →＋AD →＋AA 1→， AE →＝AD →＋12AA 1→， AG →＝AB →＋12AD →，∴AE →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1，12，AF →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1，1，AG →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1，12，0. (2)EF →＝AF →－AE →＝12AB →＋12AA 1→，∴EF →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0，12；EG →＝AG →－AE →＝AB →－12AD →－12AA 1→，∴EG →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1，－12，－12；DG →＝AG →－AD →＝AB→－12AD →，∴DG →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1，－12，0.11．(多选题)下列各命题正确的是( ) A ．点(1，－2,3)关于平面xOz 的对称点为(1,2,3) B ．点⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1，－3关于y 轴的对称点为⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，1，3C ．点(2，－1,3)到平面yOz 的距离为1D ．设{i ，j ，k }是空间向量的单位正交基底，若m ＝3i －2j ＋4k ，则m ＝(3，－2,4)．ABD [“关于谁对称谁不变”，∴A 正确，B 正确，C 中(2，－1,3)到面yOz 的距离为2，∴C 错误．根据空间向量的坐标定义，D 正确．]12．在棱长为1的正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，P 为正方体内一动点(包括表面)，若AP →＝xAB →＋yAD →＋zAA 1→，且0≤x ≤y ≤z ≤1.则点P 所有可能的位置所构成的几何体的体积是( )A ．1B ．12C ．13D ．16D [根据向量加法的几何意义和空间向量基本定理，满足0≤x ≤y ≤1的点P 在三棱柱ACD -A 1C 1D 1内；满足0≤y ≤z ≤1的点P 在三棱柱AA 1D 1-BB 1C 1内，故同时满足0≤x ≤y ≤1,0≤y ≤z ≤1的点P 在这两个三棱柱的公共部分(如图)，即三棱锥A -A 1C 1D 1，其体积是13×12×1×1×1＝16.]13．三棱锥P -ABC 中，∠ABC 为直角，PB ⊥平面ABC ，AB ＝BC ＝PB ＝1，M 为PC 的中点，N 为AC 的中点，以{BA →，BC →，BP →}为基底，则MN →的坐标为________．⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0，－12 [MN →＝BN →－BM → ＝12(BA →＋BC →)－12(BP →＋BC →) ＝12BA →－12BP →，故MN →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0，－12.]14．已知O 是坐标原点，点A (2,0，－2)，B (3,1,2)，C (2，－1，7)． (1)若点P 满足OP →＝OA →＋OB →＋OC →，则点P 的坐标为________； (2)若点P 满足AP →＝2AB →－AC →，则点P 的坐标为________．(1)(7,0,7) (2)(4,3，－3) [(1)中OP →＝OA →＋OB →＋OC →＝(2i －2k )＋(3i ＋j ＋2k )＋(2i －j ＋7k )＝7i ＋0j ＋7k ，∴P (7,0,7)．(2)中，AP →＝2AB →－AC →得OP →－OA →＝2OB →－2OA →－OC →＋OA →，∴OP →＝2OB →－OC →＝2(3i ＋j ＋2k )－(2i －j ＋7k ) ＝4i ＋3j －3k ，∴P (4,3，－3)．]15.如图，在正四棱锥P -ABCD 中，底面ABCD 是边长为1的正方形，O 是AC 与BD 的交点，PO ＝1，M 是PC 的中点．设AB →＝a ，AD →＝b ，AP →＝c .(1)用向量a ，b ，c 表示BM →.(2)在如图的空间直角坐标系中，求BM →的坐标．[解] (1)∵BM →＝BC →＋CM →，BC →＝AD →，CM →＝12CP →，CP →＝AP →－AC →，AC →＝AB →＋AD →， ∴BM →＝AD →＋12(AP →－AC →)＝AD →＋12AP →－12(AB →＋AD →)＝－12AB →＋12AD →＋12AP →＝－12a ＋12b ＋12c .(2)a ＝AB →＝(1,0,0)，b ＝AD →＝(0,1,0)．∵A (0,0,0)，O ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，12，0，P ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，12，1，∴c ＝AP →＝OP →－OA →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12，12，1，∴BM →＝－12a ＋12b ＋12c ＝－12(1,0,0)＋12(0,1,0)＋12⎝ ⎛⎭⎪⎫12，12，1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－14，34，12.1.3.2空间运算的坐标表示一、选择题1．已知三点A (1,5，－2)，B (2,4,1)，C (a,3，b ＋2)在同一条直线上，那么( ) A ．a ＝3，b ＝－3 B ．a ＝6，b ＝－1 C ．a ＝3，b ＝2D ．a ＝－2，b ＝1C [根据题意AB →＝(1，－1,3)，AC →＝(a －1，－2，b ＋4)， ∵AB →与AC →共线，∴AC →＝λAB →， ∴(a －1，－2，b ＋4)＝(λ，－λ，3λ)，∴⎩⎨⎧a －1＝λ，－2＝－λ，b ＋4＝3λ，解得⎩⎨⎧a ＝3，b ＝2，λ＝2.故选C.]2．已知a ＝(2,3，－4)，b ＝(－4，－3，－2)，b ＝12x －2a ，则x 等于( ) A ．(0,3，－6) B ．(0,6，－20) C ．(0,6，－6)D ．(6,6，－6)B [由题a ＝(2,3，－4)，b ＝(－4，－3，－2)，设x ＝(w ，y ，z )则由b ＝12x －2a ，可得(－4，－3，－2)＝12(w ，y ，z )－2(2,3，－4)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12w ，12y ，12z －(4,6，－8)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12w －4，12y －6，12z ＋8，解得w ＝0，y ＝6，z ＝－20，即x ＝(0,6，－20)．]3．已知向量a ＝(1,0，－1)，则下列向量中与a 成60°夹角的是( ) A ．(－1,1,0) B ．(1，－1,0) C ．(0，－1,1)D ．(－1,0,1)B [不妨设向量为b ＝(x ，y ，z )，A ．若b ＝(－1,1,0)，则cos θ＝a ·b |a |·|b |＝－12×2＝－12≠12，不满足条件． B ．若b ＝(1，－1,0)，则cos θ＝a ·b|a |·|b |＝12×2＝12，满足条件． C ．若b ＝(0，－1,1)，则cos θ＝a ·b |a |·|b |＝－12×2＝－12≠12，不满足条件． D ．若b ＝(－1,0,1)，则cos θ＝a ·b |a |·|b |＝－22×2＝－1≠12，不满足条件．故选B.]4．已知向量a ＝(－2，x,2)，b ＝(2,1,2)，c ＝(4，－2,1)，若a ⊥(b －c )，则x 的值为( )A ．－2B ．2C ．3D ．－3A [∵b －c ＝(－2,3,1)，a ·(b －c )＝4＋3x ＋2＝0，∴x ＝－2.]5．已知A 、B 、C 三点的坐标分别为A (4，1，3)，B (2，－5，1)，C (3，7，λ)，若AB →⊥AC →，则λ等于( )A ．28B ．－28C ．14D ．－14D [AB →＝(－2，－6，－2)，AC →＝(－1，6，λ－3)，∵AB →⊥AC →，∴AB →·AC →＝－2×(－1)－6×6－2(λ－3)＝0，解得λ＝－14.] 二、填空题6．已知a ＝(1,1,0)，b ＝(0,1,1)，c ＝(1,0,1)，p ＝a －b ，q ＝a ＋2b －c ，则p ·q ＝________.－1 [∵p ＝a －b ＝(1,0，－1)，q ＝a ＋2b －c ＝(0,3,1)， ∴p ·q ＝1×0＋0×3＋(－1)×1＝－1.]7．已知空间三点A (1,1,1)，B (－1,0,4)，C (2，－2,3)，则AB →与CA →的夹角θ的大小是________．120° [AB →＝(－2，－1,3)，CA →＝(－1,3，－2)，cos 〈AB →，CA →〉＝(－2)×(－1)＋(－1)×3＋3×(－2)14·14＝－12，∴θ＝〈AB →，CA →〉＝120°.]8.如图，正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1的棱长为1，E 、F 分别是棱BC 、DD 1上的点，如果B 1E ⊥平面ABF ，则CE 与DF 的和的值为________．1 [以D 1A 1、D 1C 1、D 1D 分别为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系(图略)，设CE ＝x ，DF ＝y ，则易知E (x,1,1)，B 1(1,1,0)，∴B 1E →＝(x －1,0,1)，又F (0,0,1－y )，B (1,1,1)，∴FB →＝(1,1，y )，由于AB ⊥B 1E ，若B 1E ⊥平面ABF ，只需FB →·B 1E →＝(1,1，y )·(x －1,0,1)＝0⇒x ＋y ＝1.] 三、解答题9．已知空间中三点A (－2,0,2)，B (－1,1,2)，C (－3,0,4)，设a ＝AB →，b ＝AC →. (1)求向量a 与向量b 的夹角的余弦值；(2)若k a ＋b 与k a －2b 互相垂直，求实数k 的值．[解] (1)∵a ＝(1,1,0)，b ＝(－1,0,2)，∴a·b ＝(1,1,0)·(－1,0,2)＝－1，又|a |＝12＋12＋02＝2，|b |＝(－1)2＋02＋22＝5，∴cos 〈a ，b 〉＝a ·b |a ||b |＝－110＝－1010，即向量a 与向量b 的夹角的余弦值为－1010. (2)法一：∵k a ＋b ＝(k －1，k,2)，k a －2b ＝(k ＋2，k ，－4)，且k a ＋b 与k a －2b 互相垂直，∴(k －1，k,2)·(k ＋2，k ，－4)＝(k －1)(k ＋2)＋k 2－8＝0，∴k ＝2或k ＝－52， ∴当k a ＋b 与k a －2b 互相垂直时，实数k 的值为2或－52.法二：由(1)知|a |＝2，|b |＝5，a·b ＝－1，∴(k a ＋b )·(k a －2b )＝k 2a 2－k a ·b －2b 2＝2k 2＋k －10＝0，得k ＝2或k ＝－52. 10.已知正三棱柱ABC -A 1B 1C 1，底面边长AB ＝2，AB 1⊥BC 1，点O ，O 1分别是边AC ，A 1C 1的中点，建立如图所示的空间直角坐标系．(1)求正三棱柱的侧棱长；(2)求异面直线AB 1与BC 所成角的余弦值． [解] (1)设正三棱柱的侧棱长为h ，由题意得A (0，－1,0)，B (3，0,0)，C (0,1,0)，B 1(3，0，h )，C 1(0,1，h )，则AB 1→＝(3，1，h )，BC 1→＝(－3，1，h )，因为AB 1⊥BC 1，所以AB 1→·BC 1→＝－3＋1＋h 2＝0，所以h ＝ 2.(2)由(1)可知AB 1→＝(3，1，2)，BC →＝(－3，1,0)，所以AB 1→·BC →＝－3＋1＝－2.因为|AB 1→|＝6，|BC →|＝2，所以cos 〈AB 1→，BC →〉＝－226＝－66.所以异面直线AB 1与BC 所成角的余弦值为66.11．(多选题)若向量a ＝(1,2,0)，b ＝(－2,0,1)，则下列结论正确的是( ) A ．cos 〈a ，b 〉＝－25 B ．a ⊥b C ．a ∥bD ．|a |＝|b |AD [∵向量a ＝(1,2,0)，b ＝(－2,0,1)， ∴|a |＝5，|b |＝5，a ·b ＝1×(－2)＋2×0＋0×1＝－2，cos 〈a ，b 〉＝a ·b |a |·|b |＝－25＝－25.由上知A 正确，B 不正确，D 正确．C 显然也不正确．]12．直三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，∠BCA ＝90°，M ，N 分别是A 1B 1，A 1C 1的中点，BC ＝CA ＝CC 1，则BM 与AN 所成角的余弦值为( )A ．110B ．25C ．D ．22C [建立如图所示的空间直角坐标系C -xyz ，设BC ＝2，则B (0,2,0)，A (2,0,0)，M (1,1,2)，N (1,0,2)，所以BM →＝(1，－1,2)，AN →＝(－1,0,2)，故BM 与AN 所成角θ的余弦值cos θ＝BM →·AN →|BM →|·|AN →|＝36×5＝3010.] 13．已知a ＝(x,2，－4)，b ＝(－1，y,3)，c ＝(1，－2，z )，且a ，b ，c 两两垂直，则(x ，y ，z )＝________.(－64，－26，－17) [∵a ，b ，c 两两垂直． ∴a ·b ＝0，a ·c ＝0，b ·c ＝0，∴⎩⎨⎧－x ＋2y －12＝0x －4－4z ＝0－1－2y ＋3z ＝0，解得：x ＝－64，y ＝－26，z ＝－17. 故(x ，y ，z )＝(－64，－26，－17)．]14．(一题两空)已知A (1,2,0)，B (0,1，－1)，P 是x 轴上的动点，当|P A →|＝|PB →|时，点P 的坐标为________；当AP →·BP →＝0取最小值时，点P 的坐标为________．⎝ ⎛⎭⎪⎫32，0，0 ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0，0 [因为P 在x 轴上，设P (x,0,0)，由|P A →|＝|PB →|，则( x －1)2＋4＋0＝x 2＋1＋1解得x ＝32.∴点P 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫32，0，0，又AP →＝(x －1，－2,0)，BP →＝(x ，－1,1)．。

山东省滕州实验中学2024年高三第二学期第二次综合练习数学试题理试卷

山东省滕州实验中学2024年高三第二学期第二次综合练习数学试题理试卷注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。

回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。

3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知在ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，若函数()3222111()324f x x bx a c ac x =+++-存在极值，则角B 的取值范围是（） A ．0,3π⎛⎫⎪⎝⎭B ．,63ππ⎛⎫⎪⎝⎭ C ．,3π⎛⎫π⎪⎝⎭D ．,6π⎛⎫π⎪⎝⎭2．双曲线2214x y -=的渐近线方程是（）A ．2y x =±B ．3y x =±C ．2x y =±D ．2y x =±3．已知函数32,0()ln ,0x x x f x x x ⎧-≤=⎨>⎩，则1(())f f e =（）A ．32B ．1C ．-1D ．04．已知复数(1)(3)(z i i i =+-为虚数单位），则z 的虚部为（） A ．2B ．2iC ．4D ．4i5．若函数()()2(2 2.71828 (x)f x x mx e e =-+=为自然对数的底数)在区间[]1,2上不是单调函数，则实数m 的取值范围是( ) A ．510,23⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．510,23⎛⎫⎪⎝⎭C ．102,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．102,3⎛⎫⎪⎝⎭6．设a 、b R +∈，数列{}n a 满足12a =，21n n a a a b +=⋅+，n *∈N ，则（）A ．对于任意a ，都存在实数M ，使得n a M <恒成立B ．对于任意b ，都存在实数M ，使得n a M <恒成立C ．对于任意()24,b a ∈-+∞，都存在实数M ，使得n a M <恒成立D ．对于任意()0,24b a ∈-，都存在实数M ，使得n a M <恒成立 7．已知复数z 满足121iz i i+⋅=--（其中z 为z 的共轭复数），则z 的值为( )A ．1B ．2CD8．设一个正三棱柱ABC DEF -，每条棱长都相等，一只蚂蚁从上底面ABC 的某顶点出发，每次只沿着棱爬行并爬到另一个顶点，算一次爬行，若它选择三个方向爬行的概率相等，若蚂蚁爬行10次，仍然在上底面的概率为10P ，则10P 为（）A ．10111432⎛⎫⋅+ ⎪⎝⎭B ．111132⎛⎫+ ⎪⎝⎭ C ．111132⎛⎫- ⎪⎝⎭D ．10111232⎛⎫⋅+ ⎪⎝⎭9．复数2(1)41i z i -+=+的虚部为（）A ．—1B ．—3C ．1D ．210．已知复数z 满足i •z ＝2+i ，则z 的共轭复数是（） A ．﹣1﹣2iB ．﹣1+2iC ．1﹣2iD ．1+2i11．在ABC 中，12BD DC =，则AD =（） A ．1344+AB AC B ．21+33AB ACC ．12+33AB ACD ．1233AB AC -12．已知函数21()log 1||f x x ⎛⎫=+⎪⎝⎭(lg )3f x >的解集为（）A ．1,1010⎛⎫⎪⎝⎭B ．1,(10,)10⎛⎫-∞⋃+∞ ⎪⎝⎭C ．(1,10)D ．1,1(1,10)10⎛⎫⋃⎪⎝⎭二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

新人教A版高中数学选择性必修一测试卷

○…………………装…………○…………:___________姓名：___________班级：__________√3 B. 32 C. 1 D. √32A. √3(2−√3)3B. √3(3−2√2)3C. 2√2−√33D. 3√3−2√23√2√2 A. √132B. 3√32√3 √3A. 83第2页第Ⅱ卷三、解答题（共5题；共52分）17.（2020·新高考Ⅰ）如图，四棱锥P-ABCD的底面为正方形，PD⊥底面ABCD．设平面PAD与平面PBC的交线为l．（1）证明：l⊥平面PDC；（2）已知PD=AD=1，Q为l上的点，求PB与平面QCD所成角的正弦值的最大值．18.（2020·济宁模拟）如图，四棱锥P−ABCD的底面为直角梯形，BC∥AD，∠BAD=90°，AD=PD=2AB=2BC=2，M为PA的中点．（Ⅰ）求证：BM∥平面PCD（Ⅱ）若平面ABCD⊥平面PAD，异面直线BC与PD所成角为60°，且△PAD是钝角三角形，求二面角B−PC−D的正弦值19.（2020高一下·大庆期末）已知ΔABC中，A(1,1)、B(2,−3)、C(3,5)，写出满足下列条件的直线方程（要求最终结果都用直线的一般式方程表示）.（1）BC边上的高线的方程；（2）BC边的垂直平分线的方程.第4页………○…………线…………○…答※※题※※………○…………线…………○…答案解析部分一、单选题 1.【答案】 C【考点】球的体积和表面积，点、线、面间的距离计算【解析】【解答】设球O 的半径为R ，则 4πR 2=16π ，解得： R =2 . 设 △ABC 外接圆半径为 r ，边长为 a ， ∵△ABC 是面积为 9√34的等边三角形，∴12a 2×√32=9√34，解得： a =3 ， ∴r =23×√a 2−a 24=23×√9−94=√3 ，∴ 球心 O 到平面 ABC 的距离 d =√R 2−r 2=√4−3=1 . 故答案为：C.【分析】根据球O 的表面积和 △ABC 的面积可求得球O 的半径R 和 △ABC 外接圆半径r ，由球的性质可知所求距离 d =√R 2−r 2 . 2.【答案】 A【考点】棱锥的结构特征【解析】【解答】因为根据题意可知，半径为R 的圆面剪切去如图中的阴影部分，沿图所画的线折成一个正三棱锥，结合图像可知侧棱长为，而底面的边长为，则根据正三棱锥的侧面与底面所成的二面角的余弦值是即为底面的高斜高的比值即为：O’D:VD 即为，故选A.【分析】解决该试题的关键是分析折叠图前后的不变量，以及得到的正三棱锥的底面的变长和侧棱长问题。

山东省滕州市第一中学2024-2025学年高一上学期10月月考数学试卷

山东省滕州市第一中学2024-2025学年高一上学期10月月考数学试卷一、单选题1．设集合{}0123,,,A =，{},,101,23,B =-，则R ()A B =I ð（） A ．∅B ． {}1,2C ．{}1-D ．{}1,2,32．设集合{}260M x x x =+-=，{}N 16N x x =∈<<，则M N =I （）A ．{}12x x <<B ．{}3C ．{}36x x -<<D ．{}23．“1a a<”是“1a <-”的（） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件4．若正数x ，y 满足44x y +=，则11x y+的最小值为（）A ．2B ．94C ．3D ．835．下列四组函数中，不是同一个函数的一组是（）A ．()f x x =与()g x =B ．()21f x x =+与()21g t t =+C ．()xf x x =与()1,01,0x g x x >⎧=⎨-<⎩D ．()2f x =与()g x =6．已知函数()f x 的定义域为[)0,+∞，则函数()25f x y x -=-的定义域为（）A ．()()2,55,-+∞UB ．[)()2,55,-+∞UC ．()()2,55,⋃+∞D ．[)()2,55,+∞U7．下列命题中真命题的个数是（）①函数()1f x =和()0g x x =是同一个函数；②“()2210a b +-=”是“()10a b -=”的必要条件；③集合{|A y y ==，{|B x y ==表示同一集合.A ．0B ．1C ．2D ．38．若a b >，且2ab =，则22(1)(1)a b a b-++-的最小值为（）A ．2B ．4C ．4D ．2二、多选题9．下列四个结论中正确的是（） A ．22,,4250x y x y x y ∃∈+-++=RB ．命题“2,3210x x x ∀∈--<R ”的否定是“2000,3210x x x ∃∈-->R ” C ．21,4x x x ∀∈+>R D ．“a b >”是“1a b >+”的必要不充分条件10．已知非零实数,a b >，下列结论中错误的结论有（）A ．11a b< B ．22a b > C ．22ab a b > D ．2211ab a b> 11．已知关于x 一元二次不等式220ax ax b -+>的解集为{}A x m x n =<<（其中m n <），关于x 一元二次不等式222ax ax b -+>-的解集为{}B x p x q =<<，则（）A ．AB B =I B ．()A B B ⋃⊆C ．m n p q +=+D ．当2b <-时，2q p q+的最小值为3三、填空题12．已知集合{}221,,0A a a =-，{}1,5,9B a a =--，若满足{}9A B ⋂=，则实数a 的值为．13．已知关于x 的不等式210mx mx -+≤，若此不等式的解集为∅，则实数m 的取值范围是 14．已知关于x 的不等式组()224502525x x x x x k ⎧-++<⎪⎨+<-+⎪⎩的解集中存在整数解且只有一个整数解，则k 的取值范围为.四、解答题15．设集合{}{}|121,|25A x a x a B x x =+<<-=-<<. (1)若3a =，求()R A B ⋃ð；(2)是否存在实数a ，使得A B A =U ，若存在，求实数a 的取值范围，否则说明理由. 16．设m ∈R ，已知集合3211x A xx +⎧⎫=<⎨⎬-⎩⎭，(){}2220B x x m x m =+--<. (1)当1m =时，求A B U ；(2)若“x B ∈”是“x A ∈”的必要不充分条件，求m 的取值范围.17．中国建设新的芯片工厂的速度处于世界前列，这是朝着提高半导体自给率目标迈出的重要一步.根据国际半导体产业协会(SEMI)的数据，在截至2024年的4年里，中国计划建设31家大型半导体工厂.某公司打算在2023年度建设某型芯片的生产线，建设该生产线的成本为300万元，若该型芯片生产线在2024年产出x 万枚芯片，还需要投入物料及人工等成本()V x （单位：万元），已知当05x <≤时，()125V x =；当520x <≤时，()240100V x x x =+-；当20x >时，()160081600V x x x=+-，已知生产的该型芯片都能以每枚80元的价格售出. (1)已知2024年该型芯片生产线的利润为()P x （单位：万元），试求出()P x 的函数解析式. (2)请你为该型芯片的生产线的产量做一个计划，使得2024年该型芯片的生产线所获利润最大，并预测最大利润.18．已知函数()f x 对任意x 满足：()()324f x f x x --=，二次函数()g x 满足：()()24g x g x x +-=且()14g =-.(1)求()f x ，()g x 的解析式；(2)若R a ∈，解关于x 的不等式()()()()2143a x a x g x f x +-+->-.19．对于函数()f x ，若()f x x =，则称实数x 为()f x 的“不动点”，若()()f f x x =，则称实数x 为()f x 的“稳定点”，函数()f x 的“不动点”和“稳定点”组成的集合分别记为A 和B ，即(){}A x f x x ==，()(){}B x f f x x ==.(1)对于函数()21f x x =-，分别求出集合A 和B ； (2)对于所有的函数()f x ，证明：A B ⊆；(3)设()2f x x ax b =++，若{}1,3A =-，求集合B .。

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滕州一中2012年12月份单元过关检测数学（文）试卷本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，共150分。

考试时间120分钟。

注意事项：1．考生务必将姓名、准考证号、考试科目、试卷类型填涂在答题卡、纸规定的位置上。

2．第Ⅰ卷每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。

答案不能答在试卷上。

3．第Ⅱ卷答案必须写在答题纸各题目指定区域内相应的位置，不能写在试卷上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案。

不按以上要求作答的答案无效。

第Ⅰ卷(选择题共60分)一、选择题:本题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中只有一个选项是符合题目要求的．1、设全集为R ，集合{}{}11,1A x x B x x =-<<=≥，则R C ()AB 等于（）A 、{|001}x ≤<B 、{|1}x x ≥C 、{|1}x x ≤-D 、{|1}x x >- 2、已知向量，2=2=，且()⊥-，则向量a 与b 的夹角是 A ．4π B ．2πC ．34πD ．π3、“2a =”是直线20ax y +=平行于直线1x y +=的（）A 、充分而不必要条件B 、必要而不充分条件C 、充分必要条件D 、既不充分也不必要条件4、已知变量x 、y 满足约束条件1110x y x y x +≤⎧⎪-≤⎨⎪+≥⎩,则2z x y =+的最小值为（）A ．3B ．1C ．5-D ．6-5、已知圆04222=-+-+my x y x 上两点,M N 关于直线20x y +=对称，则圆的半径为（）A ． 9B ．3C ．23D ．2 6、两圆229x y +=和228690x y x y +-++=的位置关系是（） A 相离 B 相交 C 内切 D 外切7、直线l 与圆22240(3)x y x y a a ++-+=<相交于A 、B 两点，若弦AB 的中点为（－2，3），则直线l 的方程为（）A 、50x y -+=B 、10x y +-=C 、50x y --=D 、30x y +-= 8、在ABC ∆中，角A B C 、、所对的边分别为,,a b c ，则直线0sin =++c ay A x 与直线0sin sin =+-C B y bx 的位置关系是（）A.平行B.垂直C.重合D.相交但不垂直 9、 “0m n >>”是“方程221mx ny +=”表示焦点在y 轴上的椭圆”的（）A 、充分而不必要条件B 、必要而不充分条件C 、充要条件D 、既不充分也不必要条件10、设P 为双曲线22112y x -=上的一点，12F F ，是该双曲线的两个焦点，若12||:||3:2PF PF =，则12PF F △的面积为（）A ．B ．12C ．．24 11、若关于x 的方程1log 21-=m mx 在区间(0,1)上有解，则实数m 的取值范围是 A ．(0,1) B ．(1,2) C ．(－∞，0)∪(1，＋∞) D ．(－∞，1)∪(2，＋∞) 12、已知函数3211()2(,,)32f x x ax bx c a b c R =+++∈，且函数()f x 在区间（0，1）内取得极大值，在区间（1，2）内取得极小值，则22(3)z a b =++的取值范围（）A 、(2B 、1(,4)2C 、（1，2） D 、（1，4）第Ⅱ卷（非选择题共90分）二、填空题：本大题共4小题，每题4分，共16分，把答案写在答题纸上。

13、已知关于x 的不等式0)1)(1(<+-x ax 的解集是),1()1,(+∞--∞ a，则实数a 的取值范围是 .14．已知函数)2,0,0,)(sin()(πϕωϕω<>>∈+=A R x x A x f 的部分图象如图所示，则=-)1(f .15．函数1(01)xy aa a -=>≠，的图象恒过定点A ，若点A 在直线10(0)mx ny mn +-=>上，则11m n+的最小值为 . 16．如图，将全体正整数排成一个三角形数阵：根据以上排列规律，数阵中第)3(≥n n 行的从左至右的第3个数是三、解答题：本题共6个小题，共74分，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤，将解答过程写在答题纸对应题的题框内。

17．(本小题满分12分)设函数()f x a b =⋅，其中向量(2cos ,1)a x =，(cos 2),b x x x R =∈ （1）若函数]3,3[,31)(ππ-∈-=x x f 且，求x ；（2）求函数)(x f y =的单调增区间； 18．(本小题满分12分)在数列}{n a 中，11=a ，并且对于任意n ∈N *，都有121+=+n nn a a a ．（1）证明数列}1{na 为等差数列，并求}{n a 的通项公式；（2）设数列}{1+n n a a 的前n 项和为n T ，求使得20111000>n T 的最小正整数n .19．(本小题满分12分)已知圆满足：①截y 轴所得弦长为2；②被x 轴分成两段圆弧，其弧长的比为3∶1；③圆心到直线:20l x y -=的距离为55，求该圆的方程. 20(本小题满分12分)在一个月内分批购入每张价值为20元的书桌共36台，每批都购入x 台（x 是正整数），且每批均需付运费4元，储存购入的书桌一个月所付的保管费与每批购入书桌的总价值（不含运费）成正比，若每批购入4台，则该月需用去运费和保管费共52元，现在全月只有48元资金可以用于支付运费和保管费.（1）求该月需用去的运费和保管费的总费用();f x（2）能否恰当地安排每批进货的数量，使资金够用？写出你的结论，并说明理由. 21. (本小题满分12分)已知椭圆2222:1(0)x y G a b a b +=>>），斜率为1的直线l 与椭圆G 交与A 、B 两点，以AB 为底边作等腰三角形，顶点为()23，-P . （I ）求椭圆G 的方程；（II ）求PAB ∆的面积.22．(本小题满分12分) 已知函数()ln ()ln ,x f x x x h x x =-=．（1）求()h x 的最大值；（2）若关于x 的不等式2()212xf x x ax ≥-+-对一切()0,x ∈+∞恒成立，求实数a 的取值范围；（3）若关于x 的方程()3220f x x ex bx -+-=恰有一解，其中e 为自然对数的底数，求实数b 的值．滕州一中2012年12月份单元过关检测数学（文）试卷答案一、选择题：C A C C B B A B C B C B二、填空题：本大题共4小题，每题4分，共16分，把答案写在答题纸上。

13．01<≤-a ； 14．1-； 15．4 16． 262n n -+；三、解答题：17．(本题满分12分)解：（1）依题设得x x x f 2sin 3cos 2)(2+=1)62sin(22sin 32cos 1++=++=πx x x…………2分由311)62sin(2-=++πx 得23)62sin(-=+πx65622,33πππππ≤+≤-∴≤≤-x x 362ππ-=+∴x ，即4π-=x …6分（2）222()262k x k k Z πππππ-+≤+≤+∈即)(63Z k k x k ∈+≤≤+-ππππ得函数单调区间为)](6,3[Z k k k ∈++-ππππ …………12分18．解：(1)111=a ，因为121+=+n n n a a a ，所以2111=-+nn a a ，∴数列}1{na 是首项为1，公差为2的等差数列， ∴121-=n a n，从而121n a n =-. ……6分 (2)因为⎪⎭⎫⎝⎛+--=+-=+12112121)12)(12(11n n n n a a n n …… 8分所以13221++++=n n n a a a a a a T⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛+--+⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛-=121121513131121n n 12+=n n ……10分由2011100012>+=n n T n ，得111000>n ，最小正整数n 为91. ……12分19．(本题满分12分)解：设所求圆的圆心为(,)P a b ，半径为r ，则P 到x 轴、y 轴的距离分别为||,||b a 由题设圆P 截x 轴所得劣弧所对圆心角为90︒，圆P 截x ，故222r b =，又圆P 截y 轴所得弦长为2，所以有221r a =+，又点(,)P a b 到直线20x y -=距离为5d ==，解得⎩⎨⎧-=-=11b a 或⎩⎨⎧==11b a 2222r b ==所求圆的方程为22(1)(1)2x y +++=或22(1)(1)2x y -+-= 20．(本题满分12分)21．解：（Ⅰ）由已知得c c a ==解得a =，又2224.b a c =-=所以椭圆G 的方程为221.124x y += …… 4分（Ⅱ）设直线l 的方程为.m x y +=由⎪⎩⎪⎨⎧=++=141222y x m x y 得.01236422=-++m mx x ……… 6分设A 、B 的坐标分别为),)(,(),,(212211x x y x y x <AB 中点为E ),(00y x ，则,432210m x x x -=+=400mm x y =+=；……………… 8分因为AB 是等腰△PAB 的底边，所以PE ⊥AB.所以PE 的斜率.143342-=+--=m mk 解得m=2。

此时方程①为.01242=+x x 解得.0,321=-=x x 所以.2,121=-=y y 所以|AB|=23. …………… 10分此时，点P （—3，2）到直线AB ：02=+-y x 的距离,2232|223|=+--=d 所以△PAB 的面积S=.29||21=⋅d AB … 12分22．(本题满分14分) 解析：（1）因为()()ln ,0xh x x x=>，所以()21ln xh x x -'=，…………………………………2分由()0h x '>，且0>x ，得0x e <<，由()0h x '<，且0>x ，x e >，…………………4分所以函数()h x 的单调增区间是(0,]e ，单调减区间是[,)e +∞，所以当x e =时，()h x 取得最大值1e；…………5分（2）因为2()212xf x x ax -+-≥对一切),0(+∞∈x 恒成立，即22ln 212x x x x ax --+-≥对一切),0(+∞∈x 恒成立，亦即12ln a x x x++≤对一切),0(+∞∈x 恒成立，…………7分设x x x x 12ln )(++=ϕ，因为222)4)(3(12)(x x x x x x x +-=-+='ϕ，故)(x ϕ在]3,0(上递减，在),3[+∞上递增， 3ln 7)3()(min +==ϕϕx ，所以7ln 3a +≤． …………………………………9分（3）因为方程02)(23=-+-bx ex x x f 恰有一解，即02ln 23=-+--bx ex x x x 恰有一解，即12ln 2++-=b ex x xx恰有一解，由（1）知，)(x h 在e x =时，ex h 1)(max =， ……………11分而函数()122++-=b ex x x k 在],0(e 上单调递减，在),[+∞e 上单调递增，故e x =时，()2min 1e b x k -+=，……………………13分故方程12ln 2++-=b ex x x x 恰有一解当且仅当e e b 112=-+，即112-+=ee b ． …………………14分。