CH5-4动量矩 动量矩守恒(第四次课)
大学物理Ⅰ动量矩和动量矩守恒定律
第五章 刚体的定轴转
力的时间累积效应 冲量、动动量、动量定理.
力矩的时间累积效应
冲量矩、角动量、
角动量定理.
一 质点的动量矩定理和动量矩守恒定律
质点运动状态的描述
p
刚体定轴转动运动状态的描述
0, p 0
LmvJ0E,kpEkm0vJ222
2
pi
p j
5 – 4 动量矩和动量矩守恒
第五章 刚体的定轴转
3.光滑水平面有一静止的细杆,在其动两端施加一对大
小相等,方向相反的力,细杆运动中其动量是否守恒?
对中心的角动量是否守恒?动能是否守恒?
F
动量守恒,角动量
F
O
不守恒,动能不守
恒.
4.均匀细杆可绕杆的一端其垂直于杆的水平轴无摩擦转动.若
细杆竖直悬挂,现有一弹性小球水平飞来与细杆发生完全非弹
mgS 0 1 mv 2 S v2
2
2g
S 3M 2l
2(3m M )2
解:弹性碰撞E守恒,且L守恒
mvo
l 2
mv
l 2
J
1 J Ml 2
12
1 2
mv
2 o
1 2
mv 2
1 2
J 2
v (3m M )vo (3m m)
m,vo l
12mvo (3m M ) g
5 – 4 动量矩和动量矩守恒
第五章 刚体的定轴转
例3.长为l质量为M的均匀直杆一端动悬挂并可绕其
顶端长棒的下端,穿出后速度损失3/4,求子弹穿出后棒的角速度
。已知棒长为l,质量为M.
解:以f代表棒对子弹的阻力,对子弹
有: fdt
动量矩定理
动量矩定理蜻蜓、飞机和直升机儿时的我很爱雨后捉蜻蜓。
夏天一场大雨过后，街道上和低洼处到处是水坑。
许多蜻蜓在水面上下飞舞，并不时用尾巴尖端表演“蜻蜓点水”的特技。
我们就用长竿端部的网兜捕捉蜻蜓，捉到后用细线拴住它的腰部，看它在我的掌握之中乱飞，快乐异常。
长大后对蜻蜓的兴趣转为对飞机的热爱，考大学选了飞机设计专业。
飞机（为了与直升机区别，可称其为“平飞飞机”，这里是按它们的飞行状态来区分的）的机翼与蜻蜓的翅膀极为相似，可是它在天空只能不停地往前飞行，不能停止。
蜻蜓就有这个本事。
直升机克服了平飞飞机（下文中仍简称为飞机）不能在空中悬停的缺点，它依靠旋转的翅膀（正确术语为旋翼）能在空中悬停，并可将重物吊起或降下，所以它在反潜、救灾、反恐、反海盗任务中有独特的优势。
直升机的先祖，至少可追朔到中国明代就出现的竹蜻蜓，直到如今仍是许多孩童的好玩具。
现代人又把它叫做“飞螺旋”和“中国陀螺”。
它用旋转叶片产生升力，使竹蜻蜓飞起来。
直升机和飞机的主要区别在于它们产生升力的机理不同。
飞机靠机身两侧的形似蜻蜓翅膀（见图1）的平直机翼提供升力，前进的动力是由机头的螺旋桨或尾部喷管（即尾喷管）的喷气来提供；而直升机则是借助旋转的机翼（旋翼）产生升力。
直升机的旋翼和飞机的螺旋桨都是用旋转的叶片推动空气产生作用力的。
飞机的螺旋桨基本不提供升力，只起克服空气阻力使飞机前进的作用；而直升机的旋翼，主要提供升力；在需要前进时，倾斜旋转轴，从而造成水平分力，使直升机前进。
一般而言，直升机旋翼叶片的尺寸（长宽和面积）要比飞机螺旋桨叶片大得多。
直升机旋翼的种类为了讨论直升机的动力学问题，先对直升机的类别进行简介。
按照旋翼的数目与配置以及叶片数目来区分，直升机有如下几种：01单旋翼直升机顾名思义，单旋翼直升机就是它只有一个旋翼。
一般它必须带一个尾桨负责抵消旋翼产生的反转矩。
例如，欧洲直升机公司制造的EC-135直升机。
图2就是一个带尾桨的单旋翼直升机图片。
【大学物理】第四章 动量 动量守恒定律PPT课件
F x N si M n M a ( 1 )
F x m sg i n m m x a m a a M co s (3 ) F y N m cg o m s m y a m M sa in(4 )
由(1)、(3)、(4) 解得：
y
N m
a
am
mg
aM
x
N
Mmg cos M m sin
牛顿F 第 二d 定p 律的特一例般形F 式 m a vc
d t
4
二. 质点系
1. 质点系的动量
N个质量分别为 m1,m2,,mN，动量分别为
p 1,p 2, ,p N
的质点组成质点系，其总动量：
p
p
1
m1v1
p2
m
2
v2
p
N
m N vN
mivi
i
N
如何简化？
质点
F
d t
p pi M vc
dp
i
dt F外
v c F ma
F外 M ac
基本方法：用质心作为物体（质点系）的代表， 描述质点系整体的平动。
刚体或柔体
12
§4.2 习题课 —— 运动定律的应用
一. 惯性系和非惯性系
惯性系：惯性定律在其中成立的参考系，即其中不受外 力作用的物体（自由粒子）永远保持静止或匀速直线运 动的状态。 如何判断一个参考系是否惯性系？
即：
权重
r cm 1r m 11 m m 2r 2 2 m m N Nr N
质心位矢是各质点 位矢的加权平均
z
m
1
r1
O
m2
r2
C
rc
rN
54动量矩和动量矩守恒定律
M z mgr cos
Jz
(1 12
ml2
mr 2 )
Mz
d(J z)
dt
mgr cos 2mr dr
dt
v dr g cos t dt 2
l
O4
7lg 24v0
cos(12 7l
v0t)
昆虫的爬行，会改变系统的 转动惯量和外力矩
四、 进动*
Ω
高速自转的陀螺在重力矩作用下发生进动
Lo
解 昆虫落到杆上为完全非弹性碰撞，对于昆虫和杆构成的系统，昆虫重
力忽略，系统动量矩守恒
mv 0
l 4
[1 12
ml2
m(
l )2 4
]
12 v0
7l
定轴转动刚体的动量矩定理
Mz
d(J z)
dt
l
O4
v0
昆虫的爬行，会改变系统的 转动惯量和受到的外力矩
定轴转动刚体的动量矩定理
恒定
Mz
dJ z dt
dt
三、 刚体定轴转动的动量矩守恒定律
当 M z 0 时， 刚体动量矩 Lz J 守恒
说明 当变形体所受合外力矩为零时，变形体的动量矩也守恒
Jt ω 常量
Jt ω
Jt ω
例 一均质棒，长度为 L，质量为M，现
有一子弹在距轴为 y 处水平射入细
Nx
棒。
y
求 子弹细棒共同的角速度 。
解 子弹、细棒系统的动量矩守恒
mv0 y J
v0
m
其中
J
J棒
J子
1 3
ML2
my2
说明
mv0 y 1 ML2 my2
3
系统水平方向动量是否守恒取决于转轴对棒作用力在水平
5.4 动量矩和动量矩守恒定律
m
r0
v
ROMLeabharlann v01 GMm 1 2 GMm 2 mv0 = mv 2 r0 2 R
mv0r0sinθ = mvR
1 3GM sinθ = 1+ 2Rv 2 4 0
1/ 2
v0r0sinθ v= = 4v0sinθ R 1/ 2 3GM v =v01+ 2Rv 2 0
二. 刚体定轴转动的动量矩定理和动量矩守恒定律
5.4
动量矩和动量矩守恒定律
角动量)定理和动量矩守恒定律 一. 质点动量矩 (角动量 定理和动量矩守恒定律 角动量 r 1. 质点的动量矩 对O点) 质点的动量矩(对 点 LO
其大小
S
r P
r r
O
惯性参照系 特例：质点作圆周运动 特例： 说明 (1) 质点的动量矩与质点的动量及位矢(取决于固定点的选 质点的动量矩与质点的动量及位矢 位矢( 择)有关
3. 质点动量矩守恒定律
r r 质点动量矩守恒定律 若M = 0，则 L = 常矢量 ──质点动量矩守恒定律
讨论 (1) 动量矩守恒定律是物理学的基本定律之一，它不仅适用于 动量矩守恒定律是物理学的基本定律之一， 宏观体系，也适用于微观体系， 宏观体系，也适用于微观体系，且在高速低速范围均适用
r 通常对有心力： (2) 通常对有心力： 过O点,M=0,动量矩守恒 点 动量矩守恒 F
r P
r LO'
r r
A d1
r LO O′
O m r v
d3 C
求 此时刻质点对三个参考点的动量矩 解 B
d2
2. 质点的动量矩定理
r r r r ×F = M
r r v × mv = 0
长安大学大学物理课5-4角动量 角动量守恒定律
(2)动量矩守恒定律不仅适用于刚体，对非刚体同样适用
如果J不变，刚体作匀速转动；
如果J发生改变，则物体的角速度随转动惯量也发生变化，但二
者的乘积不变。当转动惯量变大时，角速度变小；当转动惯量
变小时，角速度变大。
•花样滑冰运动员的旋转表演
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例 工程上，两飞轮常用摩擦离合器使它们以相同的转速一起转动，A和
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例 长为 ，质量为 的匀质细杆，一端悬挂，可绕通过 点垂直于 纸面的轴转动。今杆由水平位置静止下落，在铅直位置处与质量为 的 物体 做完全非弹性碰撞，若碰撞后物体沿摩擦系数为 的水平面滑动， 则物体能滑出多远距离。
解：分三个阶段分析。
(1)杆自水平位置落到铅直位置，与A碰前
杆对轴O的转动惯量
•动量矩是物理学的基本概念之一。 •动量矩与质点的运动和参考点有关。
•质点作匀速直线运动，
质点的动量矩 保持不变，
其大小
。
•质点作圆周运动 对圆心O的动量矩
方向：平行于Oz轴
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页
Mdt 叫作冲量矩
(质点动量矩定理的微分形式) (质点动量矩定理的积分形式)
5.4 动量矩和动量矩守恒定律
5.4.1 质点动量矩 (角动量)定理和动量矩守恒定律
1. 质点的动量矩(对O点)
定义质点 相对原点的角动量 定义为
大小：L＝rmvsin
方向：右手螺旋定则判定
右手拇指伸直，其余四指由 矢径 通过小于 的角弯 向 ，拇指所指方向就是 的方向。
单位：kgm2/s
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说明
(2)杆和物体系统为研究对象。碰撞过程中，系统相对于轴O受到 合外力矩为零，角动量守恒，设碰后杆的角速度
3、动量矩定理及其守恒定律
3、动量矩定理及其守恒定律描写质点组运动规律的三个基本定理，我们已经讲了其中的一个基本定理，也就是质点组的动量定理，我们还由质点组动量定理导出了质点组的动量守恒规律和质心运动定理。
下面准备要讲的是关于质点组整体运动规律的另外二个基本定理，即动量矩定理与动能定理。
现在先讲质点组的动量矩定理与动量矩守恒规律。
动量矩的概念我们在质点力学部分已经有过接触。
在讨论质点的动量矩定理时，我曾经强调过一提到取矩，不管是计算动量矩也好，还是计算力矩也好，首先必需要明确指出以那一点为取矩的中心，或者对那一轴取矩。
对质点如此，那么对质点组也得如此，讨论质点组的动量矩也同样要首先指出以那点为取矩中心，现在我们就先以任一固定点为取矩中心，推出： 一、质点组对固定点o 的动量矩定理：1、 质点组动量矩的定义：假设由n 个质点组成的质点组，其中第i 个质点对固定点0的矢径i r，定义质点组的总动量矩等于组内所有质点对固定点0的动量矩的矢量和，即：)(1in i i r m r J ∑=⨯=。
这就是质点组动量矩的定义式。
与质点组动量定理的推导相类似，质点组的动量矩定理也可以由牛顿第二定理直接导出：根据牛顿第二定律得质点组中第i 个质点的动力学方程为：()()e i i i i i f f r m '+= ,用i r 乘等式的两边：()e i i i i i i i i f r f r r m r ⨯+⨯=⨯）（并对n 个这样类似的方程求和，则有：()e i i ii i i ii i i if r f r r m r ⨯+⨯=⨯∑∑∑）（ (1)此等式的右边的第一项是质点组内所有内力对固定点的力矩的矢量和。
可以证明这项矢量和必定等于零。
为了推算简单起见。
先证明i,j 两个质点所受的一对内力对固定点O 的力矩的矢量和等于零。
证明：如图所示，质点组内i,j 两个质点的相互作用的内力为：j 对i 的作用力为ji f，它的反作用力作用在j 上，用ij f表示。
动量矩定理与动量矩守恒律.ppt
微商等于诸外力对同一点的力矩的矢量和.
分量式：
d
dt
n
mi ( yi zi
i 1
n
zi yi )
(
yi
F (e) iz
i 1
zi
F (e iy
)
)
d
dt
n
mi (zi xi
i 1
n
xi zi )
(
zi
F (e) ix
i 1
xi
F (e) iz
)
d
dt
n
mi (xi yi
i 1
n
i 1
i 1
i 1
n i 1
(ri mi
dri) dt
n i 1
(ri
Fi
(e)
)
质点组对质心的动量矩定理
dJ
M
dt
意义：质点组对质心c的动量矩对时间的微商等
于所有外力对质心的力矩之后.
注意：（1）形式与固定点动量矩定理相同.
惯性力力矩为0的物理意义？
（2）质心c是动点，对任一动点不成立.
三、对质心的动量矩定理
在 cxyz 动系中：
mi
d2 dt
左矢乘
ri
2
Fi
ri
(i)
F (e)
i
(mirc
并对i求和：
)
n
(ri miri) (i
)
)
n
(ri
Fi
(
e)
)
n
ri(mirc )
i 1
i 1
i 1
i 1
其中：
n ri(mirc ) n rc miri rc n miri 0
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M Z mgrcos
代入得
dr mgr cos 2mr dt
dr g cos g 7 lg 12 v cos t cos( v 0t ) dt 2 2 24v 0 7l
2016/3/5 14
四. 进动
高速自转的陀螺在陀螺重力矩作用下自转轴绕竖直轴的转动 ————进动 陀螺的动量矩近似为
§5.4 动量矩和动量矩守恒定律
一. 动量矩 (角动量)
1. 质点的动量矩(对O点)
LO
z
LO r P r mv
LO rpsin mrvsin
特例：质点作二维运动
r
S
O
P
LO Lz mrvsin
质点作圆周运动
Lz rp mrv mr
2
2016/3/5 1
LO 'Z Lz
例 一质点m，速度为v， 如图所示，A、B、C 分别为三个参考点,此 时m 相对三个点的距 离分别为d1 、d2 、 d3 求 此时刻质点对三个参考点的动量矩
LO'
S
P
A
r r
d1
LO O
O
m v
d3 C
2
d2 解 LA d1mv
8
2. 质点系动量矩守恒定律 L 0 L 常矢量 对质点系 M 外 0
Mz 0
LZ 常量
3. 刚体定轴转动的动量矩守恒定律 对定轴转动刚体
L 0
Mz 0
J z ω 常量
J t
当变形体的动量矩守恒
J t ω(t ) 常量
ω
J t
ω
(所有质元的动量矩之和)
vi O ri mi
3
二. 动量矩 (角动量)定理
1. 质点的动量矩定理
d( mv ) dr dLO d mv r mv r dt dt dt dt dLO MO M Odt dLO (质点动量矩定理的微分形式) dt
dr g cos g 7 lg 12 v cos t cos( v 0t ) dt 2 2 24v 0 7l
2016/3/5 13
转动定律
d( J z ) Mz dt
使杆以匀角速度转动
dJ z Mz dt
1 2 J z ( ml mr 2 ) 12
其中
LB d1mv
LC 0
B
2016/3/5
2. 质点系的动量矩
LO Li ri Pi
i i
P2 r2 o
P 1
r1
Z
3. 刚体定轴转动的动量矩
LZ miv i ri mi ri 2 J Z
i
i
LZ J Z
2016/3/5
Ω
d Lsin
dL
M
所以
dL
dL L sin d
L
d L sin L sin Ω dt dt
M 1
O
Ω L sin Jsin
2016/3/5
M
Ω
以上只是近似讨论，只适用高速自转，即
当外力矩<<内力矩且作用时间极短时,动量矩近似守恒
2016/3/5 9
如：花样滑冰
跳水 芭蕾舞等
2016/3/5
10
例 一长为 l 的匀质细杆，可绕通过中心的固定水平轴在铅垂 面内自由转动，开始时杆静止于水平位置。一质量与杆相 同的昆虫以速度 v0 垂直落到距点 O l/4 处的杆上，昆虫落 下后立即向杆的端点爬行，如图所示。若要使杆以匀角速 度转动，（昆虫落到杆上的过程为完全非弹性碰撞 ） 求 昆虫沿杆爬行的速度。 解 对于昆虫和杆构成的系统，动量矩 近似守恒
1 GMm 1 GMm 2 2 mv 0 mv 2 r0 2 R
mv 0 r0 sin mvR
1 3GM sin 1 2 4 2 Rv 0
1/ 2
2016/3/5
v 0 r0sin v 4v 0sin R 1/ 2 3GM v v0 1 2 Rv 2 0
转动定律
t2
Hale Waihona Puke M z dt dJ z
d M z JZ dt
动量矩定理 微分形式
t1
M z d t dJ z J z 2 J z1
1
2
（动量矩定理积分形式）
定轴转动刚体所受合外力矩的冲量矩等于其动量矩的增量
2016/3/5
6
三. 动量矩 (角动量)守恒定理
l 4
O
2016/3/5
l 1 2 l 2 mv 0 ( ml m( ) ) 4 12 4 12 v 0 7 l
12
d( J z ) Mz dt
dJ z Mz dt
O
l 4
M Z mgrcos
代入得
1 2 J z ( ml mr 2 ) 12
dr mgr cos 2mr dt
r F MO
v mv 0
t2
t1
M O d t L2 L1
(质点动量矩定理的积分形式)
冲量矩
2016/3/5
质点所受合力矩的冲量矩等于质点的动量矩的增量
4
2. 质点系的动量矩定理
Mi
d Li dt
M i内＋ M i外 M 外
r
dr
m
7
例 发射一宇宙飞船去考察一 质量为 M 、半径为 R 的行星， 当飞船静止于空间距行星中心 4 R 时，以速度v 0发射一 质量为 m 的仪器。要使该仪器恰好掠过行星表面 求 θ角及着陆滑行的初速度多大？ 解 引力场（有心力） 系统的机械能守恒 质点的动量矩守恒
m
r0
v0
v
R
OM
M 外dt dL
微分形式 积分形式
t
t2
1
L2 M 外 d t dL L2 L1 L L1
质点系所受合外力矩的冲量矩等于质点系动量矩的增量 质点系的内力矩不能改变质点系的动量矩
2016/3/5 5
3. 刚体定轴转动的动量矩定理
dLZ d( J Z ) Mz dt dt
L J
Ω
L
动量矩定理
2016/3/5
dL M dL Mdt dt dL // M 当 M L 时 O 则 L 只改变方向，不改变大小(进动)
dL M mg
15
进动角速度Ω 动量矩定理 而且
dL M dt
1. 质点动量矩守恒定律
若 M 0 ，则 L 常矢量 通常对有心力：F 过O点, M=0,动量矩守恒
例如： 推导行星运动的开普勒第二定律 行星对太阳的位矢在相等的时间内扫过相等的面积
L mvrsin m
dr dt
rsin
dS
2016/3/5
1 dr rsin dS 2 2m 2m dt dt
Ω
16