2008年上海市初中毕业生统一学业考试语文试卷(试运转)

2008年高考海南数学理科卷解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.（1）已知函数y =2sin )0)((>+ωφωx )在区间［0.2π］的图像如下：那么ω＝ （A ）1（B ）2（C ）21 (D)31 【标准答案】Ｂ【试题解析】由图像可知函数的周期T =π，故22πω==π；选Ｂ (2)已知复数z =1-i,则122--z zz =(A)2i (B)-2i(C)2(D)-2【标准答案】Ｂ【试题解析】将1=-z i 代入得()()221212222111i i z z i z i i i------====------，选Ｂ(3)如果等腰三角形的周长是底边长的5倍，那么它的顶角的余弦值为 （A ）185(B)43 (C)23 (D)87 【标准答案】Ｂ【试题解析】设底边边长为a ，则由题意知等腰三角形的腰为2a,故顶角的余弦值为222447cos 2228a a a a a +-θ==⋅⋅，故选Ｄ；(4)设等比数列（a n ）的公比q =2，前n 项和为S n ,则24a S = (A)2 (B)4 (C)215(D)217【试题解析】：由于()4141122,1512a q S a -=∴==- ∴4121151522S a a a ==；选Ｃ； (5)右面的程序框图，如果输入三个实数a ,b ,c ,要求输出这三个数中最大的数，那么在空白的判断框中，应该填入下面四个选项中的 （A ）c >x （B ）x >c （C ）c >b （D ）b >c 【标准答案】：A 【试题解析】：有流程图可知第一个选择框作用是比较x 与b 的大小，故第二个选择框的作用应该是比较x 与c 的大小，故应选Ａ； （6）已知a 1＞a 2＞a 3＞0,则使得（1- a 1x ）2＜1（i=1,2,3）都成立的x 取值范围是 （A ）（0，11a ） （B ）（0，12a ） （C ）（0，31a ） （D ）（0，32a ） 【标准答案】：Ｂ【试题解析】：由()211i a x -<，得：22121i i a x a x -+<，即()220i i x a x a -<，解之得()200i ix a a <<>，由于1230a a a >>>，故120x a <<；选Ｂ （7）23sin 702cos 10-︒=-︒（A ）12（B）2 （C ）2 （D【标准答案】：Ｃ【试题解析】：()0002023cos 203sin 703cos 2021cos 202cos 103cos 2022--︒-===+-︒--,选Ｃ；（8）平面向量a,b 共线的充要条件是 （A ）a ,b 方向相同（B ）a ,b 两向量中至少有一个为零向量 （C ）∃λ∈R ，b =λa（D ）存在不全为零的实数λ1，λ2，λ1a+λ2b=0【试题解析】：若,a b 均为零向量，则显然符合题意，且存在不全为零的实数12,,λλ使得120a b λ+λ=；若0a ≠，则由两向量共线知，存在0λ≠，使得b a =λ，即0a b λ-=，符合题意，故选Ｄ(9)甲、乙、丙3位志愿者安排在周一至周五的5天中参加某项志愿者活动，要求每人参加一天且每天至多安排一人，并要求甲安排在另外两位前面.不同的安排方法共有（A ）20种 （B ）30种 （C ）40种 （D ）60种 【标准答案】：Ａ 【试题解析】：根据题意，可先确定三天的位置，再将甲安排在第一天，其余两人安排在另外两天，故不同的方法共有325220N C A =⋅=，故选Ａ；.（10）由直线x =12,x =2,曲线1y x=及x 轴所围图形的面积为 （A ）154 （B ）174 （C ）1ln 22（D ）2ln2【标准答案】：Ｄ【试题解析】所围图形的面积为21211ln 2ln 2ln 22S dx x ==-=⎰；故选Ｄ； （11）已知点P 在抛物线24y x =上，那么点P 到点Q （2，-1）的距离与点P 到抛物线焦点距离之和取得最小值时，点P 的坐标为 （A ）（14，-1） （B ）（14，1） （C ）（1，2） （D ）（1，-2） 【标准答案】：Ａ【试题解析】将点Ｐ到抛物线焦点距离转化为点Ｐ到准线距离，容易求得当PQ ∥x 轴时，P 到点Q （2，-1）的距离与点P 到抛物线焦点距离之和取得最小，令1y =-，得14x =，故点Ｐ为（14，-1），选Ａ ； （12的线段，在该几何体的侧视图与俯视图中，这条棱的投影分别是长为a 和b 的线段，则a +b 的最大值为（A ）（B ）（C ）4 （D ）【标准答案】：Ｃ【试题解析】由棱长的两端点和某一端点的射影点可构成一个长方体,则2222a b ++=,即228a b +=,则2a b +≤得4a b +≤. 第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分。

第13题～第21题为必考题，每个试题考生都必须做答。

第22题～第24题为选考题，考生根据要求做答。

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分。

（13）已知向量a =(0, -1,1),b =(4,1,0)，a b λ+=0λ＞，则λ＝ .【标准答案】：3λ=【试题解析】(0,1,1)(4,1,0)(4,1,)a b λλλλ+=-+=-,则由|||(4,1,)|a b λλλ+=-==得3λ=.（14）设双曲线221916x y -=的右顶点为A ，右焦点为F ，过点F 平行双曲线的一条渐近线的直线与双曲线交于点B ，则△AFB 的面积为 . 【标准答案】：3215【试题解析】容易求得：3,4a b ==,则5c =, A(3,0),F(5,0). 双曲线的渐近线方程是43y x =±,则过F(5,0),且与渐近线43y x =平行的直线方程是4(5)3y x =-,解方程组221,9164(5),3x y y x ⎧-=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩得B 1732(,)515-.113232||||2221515AFB BS AB y ∆=⋅=⨯⨯=. （15）一个六棱柱的底面是正六边形，其侧棱垂直底面，已知该六棱柱的顶点都在同一个球面上，且该六棱柱的体积为98，底面周长为3，则这个球的体积为 . 【标准答案】：43V =π 【试题解析】∵正六边形周长为３，得边长为12，故其主对角线为１，从而球的直径22R == ∴1R = ∴球的体积43V =π（16）从甲、乙两品种的棉花中各抽测了25根棉花的纤维长度（单位：mm ），结果如下： 甲品种：271 273 280 285 287 292 294 295 301 303 303 307 308 310 314 319 323 325 328 331 334 337 352乙品种：284 292 295 304 306 307 312 313 315 315 316 318 318320 322 322 324 327 329 331 333 336 337 343 356 由以上数据设计了如下茎叶图根据以上茎叶图，对甲、乙两品种棉花的纤维长度作比较，写出两个统计结论：① ； ② . 【试题解析】：参考答案（１）乙品种棉花的纤维平均长度大于甲品种棉花的纤维平均长度； （２）甲品种棉花的纤维长度较乙品种棉花的纤维长度更分散（或乙品种棉花的纤维长度较甲品种棉花的纤维长度更集中）。

（３）甲品种棉花的纤维长度的中位数为３０７mm ，乙品种棉花的纤维长度的中位数为３１８mm ；（４）乙品种棉花的纤维长度基本上是对称的，而且大多集中在中间（均值附近），甲品种棉花的纤维长度除一个特殊值（３５２）外，也大致对称，其分布较均匀； 三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

（17）（本小题满分12分）已知｛a n ｝是一个等差数列，且a 2=1,a 5=-5. （Ⅰ）求｛a n ｝的通项a n ;（Ⅱ）求｛a n ｝前n 项和S n 的最大值.【试题解析】：:（1）设 1(1)n a a n d =+-，则211511,3,45, 2.a a d a a a d d =+==⎧⎧⇒⎨⎨=+=-=-⎩⎩ 3(1)(2)n a n =+-⋅-，∴52n a n =-.(2) 520n a n =-≥,52n ≤.2n ≤.要使n S 最大,只有使n a 的各项非负.所以,当2n =时,max 212()314n S S a a ==+=+=.（18）（本小题满分12分）如图，已知点P 在正方体ABCD -A B C D ''''的对角线BD '上，60PDA ∠=︒. （Ⅰ）求DP 与CC '所成角的大小；（Ⅱ）求DP 与平面AA D D ''所成角的大小.【试题解析】：:如图,以D 为原点,DA 为单位长建立空间直角坐标系D-xyz.则'(1,0,0),(0,0,1)DA CC ==.连结'',BD B D .在平面''BB DD 中,延长DP 交''B D 于H. 设(,,1)(0)DH m m m =>,由已知,60DH DA <>=,由||||cos ,DHDA DH DA DH DA ⋅=<>可得2m =解得2m =.所以2(,22DH =. (I)因为'20011,2cos DH CC ⨯++⨯<>==,所以',45DH CC <>=.即DP 与'CC 所成的角为45.(II)平面''AA D D 的一个法向量是(0,1,0)DC=.因为01101,2cos DH DC ⨯++⨯<>==, 所以,60DH DC <>=.可得DP 与平面''AA D D 所成的角为30.（19）（本小题满分12分）A ， BX和X .根据市场分析，X ,X 的分布列分别为(Ⅰ)在A 、B 两个项目上各投资100万元，Y 1和Y 2分别表示投资项目A 和B 所获得的利润，求方差DY 1，DY 2；（Ⅱ）将x (0≤x ≤100)万元投资A 项目，100-x 万元投资B 项目，f (x )表示投资A 项目所得利润的方差与投资B 项目所得到利润的方差的和.求f (x )的最小值，并指出x 为何值时，f (x )取到最小值.（注：D (Ax +＝b )=a 2Dx ） 【试题解析】： (I)由题设可知, Y 1和Y 2的分布列分别为E Y 1=5×0.8+10×0.2=6,D Y 1=(5-6)2×0.8+(10-6)2×0.2=4, EY 2=2×0.2+8×0.5+12×0.3=8,D Y 2=(2-8)2×0.2+(8-8)2×0.5+(12-8)2×0.3=12. (II)12100()()()100100x xf x D Y D Y -=+2212100()()()()100100x x D Y D Y -=+2224[3(100)]100x x =+- 2224(46003100)100x x =-+⨯ 当6007524x ==⨯时，()3f x =为最小值.(20)（本小题满分12分）在直角坐标系xOy 中，椭圆C 1：2222by a x +=1（a ＞b ＞0）的左、右焦点分别为F 1、F 2、F 3也是抛物线C 2:y 2=4x 的焦点，点M 为C 1与C 2在第一象限的交点，且｜MF 2｜=35. (Ⅰ)求C 1的方程；（Ⅱ）平面上的点N 满足21MF +=，直线l ∥MN ，且与C 1交于A 、B 两点，若⋅=0，求直线l 的方程.【试题解析】：: (I)由C 2： 24y x =知F 2 (1,0).设M 11(,)x y 点M 在C 2上,因为25||3MF =,所以1513x +=,得112,33x y ==.M 在C 1上,且椭圆C 1的半焦距1c =,于是2222481,1a bb a ⎧+=⎪⎨⎪=-⎩,消去2b 并整理得4293740a a -+=,解得12(3aa ==不合题意,舍去) 故椭圆C 1的方程是22143x y +=.(II)由12MNMF MF =+知四边形12MF NF 是平行四边形,其中心为原点O,因为l ∥MN,所以l 与OM 的斜率相同,故l的斜率323k ==.故直线l的方程为)y x m =-.由223412,),x y y x m ⎧+=⎪⎨=-⎪⎩消去y 并化简得22916840x mx m -+-=, 设1122(,),(,)A x y B x y ,∴212121684,99m m x x x x -+==. 因为OA ⊥OB ,所以12120x x y y +=,121212126()()x x y y x x x m x m +=+++2121276()6x x m x x m =-++22284161766(1428)0999m m m m m -=⋅-⋅+=-=.所以m =.此时,22(16)49(84)0m m ∆=-⨯->,故所求直线l的方程为y =-或y =+（21）（本小题满分12分）设函数f (x )=ax+1x b+(a ,b ∈Z )，曲线y =f (x )在点（2，f (2)）处的切线方程为y =3. （Ⅰ）求f (x )的解析式：（Ⅱ）证明：函数y =f (x )的图像是一个中心对称图形，并求其对称中心；（Ⅲ）证明：曲线y=f (x )上任一点的切线与直线x =1和直线y =x 所围三角形的面积为定值，并求出此定值.【试题解析】：:（Ⅰ）21()()f x a x b '=-+，于是2123,210.()a b a x b ⎧+=⎪+⎪⎨⎪-=+⎪⎩解得1,1,a b =⎧⎨=-⎩或9,48.3a b ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩因,a b Z ∈，故1()1f x x x =+-． (II)证明：已知函数121,y x y x==都是奇函数，所以函数1()g x x x =+也是奇函数，其图像是以原点为中心的中心对称图形。