1.2.1 函数的概念练习
1.2.1函数的概念(1)
系 53.8 52.9 50.1 49.9 49.9 48.6 46.4 44.5 41.9 39.2 17.9 数
(请学生回顾近十年来自己家庭生活的变化): 问题1:在你的记忆中,你家现在的物质生活和以前有 什么不同?主要反映在哪些方面?其中哪些方面的消费 变化大?哪些方面的消费变化小? 问题2:你认为该用什么数据来衡量家庭生活质量的高低? 问题3(P17):阅读图表后仿照[引例1]、[引例2]描述表 中恩格尔系数和时间(年份)的关系。
后摄抑制：可以理解为因为接受了新的内容，而把前 面看过的忘记了
超级记忆法-记忆 规律
TIP1：我们可以选择记忆的黄金时段——睡前和醒后！ TIP2：可以在每天睡觉之前复习今天或之前学过的知识，由于不受后摄抑制的 影 响，更容易储存记忆信息，由短时记忆转变为长时记忆。
如何利用规律实现更好记忆呢？
超级记忆法-记忆 规律
如何利用规律实现更好记忆呢？
超级记忆法-记忆 规律
记忆后
选择巩固记忆的时间 艾宾浩斯遗忘曲线
超级记忆法-记忆 规律
TIP1：我们可以选择巩固记忆的时间！ TIP2：人的记忆周期分为短期记忆和长期记忆两种。 第一个记忆周期是 5分钟 第二个记忆周期是30分钟 第三个记忆周期是12小时 这三个记忆周期属于短期记忆的范畴。
（图片来自网络）
费曼学习法--实操步
1 骤 获取并理解
2 根据参考复述
费
3 仅靠大脑复述
曼
4 循环强化
学
5 反思总结
习
6 实践检验
法
费曼学习法-实操
第一步 获取并理解你要学习的内容
（一） 理 解 并 获 取
1.知识获取并非多多益善，少而精效果反而可能更好，建议入门时选择一个概念或 知识点尝试就好，熟练使用后，再逐渐增加，但也不建议一次性数量过多（根据自 己实际情况，参考学霸的建议进行筛选）； 2.注意用心体会“理解”的含义。很多同学由于学习内容多，时间紧迫，所以更 加急于求成，匆匆扫一眼书本，就以为理解了，结果一合上书就什么都不记得了。 想要理解，建议至少把书翻三遍。
1.2.1函数的概念(2)
x2 1 A、f ( x) 与g ( x) x 1 x 1
B、f ( x) 2 x 3 与g ( x) x 2 x C、f ( x) x与g ( x) ( x ) 2 D、f ( x) x 2 2 x 1与g (t ) t 2 2t 1
练习 、函数f ( x) 1
( x 1) 0 x x
的定义域为 C ) (
x A、 | x 0
B、x | x 1} { D、x | x 0} {
C、x | x 0, 且x 1} {
1 练习2、已知f ( x) , 则函数f f ( x)的定义域为( C ) x 1 A、 | x 1} {x B、 | x -2} {x C、 | x 1, 且x -2} {x D、 | x 1, 或x -2} {x
5 例3、函数 y 2 的值域为( D ) 2x 4x 3 A、 (-∞,5］ B、 (0,+ ∞)
C、［5,+ ∞)
D、(0,5]
练习、函数 y 4 3 2 x x 2 的值域为( C ) A、(-∞,2］ C、［2,4］ B、(-∞ ,4］ D、［2, +∞)
例4、求函数 y x 2x 1 的值域
已知复合函数定义域求原函数定义域 已知f[g(x)]的定义域为D，则f(x)的定义域为 g(x)在D上值域。 例如、若函数y=f(x+1)的定义域为[-2，3]，则 y=f(2x-1)的定义域是（ A ）。
A、[0，5/2]
C、[-5，5]
B、[-1，4]
D、[-3，7]
三、函数的值域
函数值的集合{f(x)| x∈A }叫做函数的值域
2014年新课标人教A版必修1数学1.2.1函数的概念(2)随堂优化训练课件
R ．当 a＞0 ________
a＜0 时，
2 4 ac － b yy≤ 4a ． 值域为________________
练习 4：若函数 f(x)＝2x＋1，x∈{0,1,2,3}，则 f(x)的值域为 {1,3,5,7} ． __________ R ． 练习 5: 若函数 f(x)＝2x＋1(x∈R)，则 f(x)的值域为_____
解：(1)∵ x≥0，∴2 ∴y＝2 x＋3≥3.
x＋3 的值域为[3，＋∞)．
(2)∵y＝－x2－2x＋3＝－(x＋1)2＋4≤4， ∴y＝－x2－2x＋3 的值域为(－∞，4]．
x 1 1 ，且 (3)方法一：∵y＝ ＝1－ ≠0， x＋1 x＋1 x＋1
x ∴y＝ 的值域为{y|y≠1}． x＋1 x y 方法二：∵y＝ ，∴x＝ .∴y≠1. 1＋x 1－y x ∴y＝ 的值域为{y|y≠1}． x＋1
1 则 f(2x＋1)有 1≤2x＋1≤2，解得 0≤x≤2，即 f(2x＋1)的定义
1 域为0，2.
答案：(1)[3,4] (2)[1,2]
1 (3)0，2
对于求抽象的复合函数的定义域，主要有三种 情形：①已知 f(x)的定义域为[a，b]，求 f[u(x)]的定义域，只需 求不等式 a≤u(x)≤b 的解集；②已知 f[u(x)]的定义域为[a，b]， 求 f(x)的定义域，只需求u(x)的值域；③已知 f[u(x)]的定义域为 [a，b]，求 f[g(x)]的定义域，必须先利用②的方法求 f(x)的定义 域，然后利用①的方法求解．
(4)由题意知，函数 y 的定义域为{x|x≥1}．
令 x－1＝t，则 t∈[0，＋∞)，x＝t2＋1.
1.2.1函数的概念
引例一 一枚炮弹发射后，经过40s落到地面击中目标。炮弹的射高 为400m，且炮弹距地面的高度h（单位：m）随时间（单 位：s）变化的规律是
h=40t-t2
思考以下问题: (1) 此变化过程中共出现几个变量?是不是函数？ (2) 你能指出变量t和h的取值范围吗?分别用集合A和集合B 表示出来。
引例二 如图,为某市一天24小时内的气候变化图.
2
(2) f ( x )
变式
（1）已知 f ( x ) x 2 x ，求 f ( x)
2 f ( x 1 ) x 2 x ，求 f ( x) （2）已知
例4、 已知 y f ( x) 的定义域为[1,6] 求: (1) f ( x 1)的定义域；
记作 y = f(x)，x
A
其中x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数y=f(x)的 定义域，与x的值相对应的y的值叫做函数值，函数值的 集合C叫做函数的值域。
思考： 1、设A={1,2,3}，B={1,4,9}，对应关系是f : 平方。问对应关系f :A B是否为从A到 B的一个函数？ 2、设A={1,2,3}，B={1,4,8,9}，对应关系是f : 平方。问对应关系f :A B是否为从A到 B的一个函数？ 3、设A={1,2,4}，B={1,4,8,9}，对应关系是f : 平方。问对应关系f :A B是否为从A到 B的一个函数？
年份
家庭 恩格 尔系 数%
1991 1992 1993 1994 1995 1996 1997 1998 1999 2000 2001
53.8
52.9
50.1
49.9
49.9
48.6
46.4
44.5
41.9
39.2
【金版新学案】高一数学人教A版必修一练习：1.2.1函数的概念(含答案解析)
(本栏目内容，在学生用书中以独立形式分册装订！ )一、选择题 (每题 5 分，共 20 分 ) 1．以下各组函数中，表示同一函数的是( )x 2－ 9A ． y ＝ x － 3 与 y ＝ x ＋ 3B ． y ＝ x 2－ 1 与 y ＝ x － 1C ． y ＝ x 0(x ≠ 0)与 y ＝ 1(x ≠ 0)D ． y ＝ 2x ＋1， x ∈ Z 与 y ＝ 2x －1， x ∈ Z分析： A 项中两函数的定义域不一样； B 项， D 项中两函数的对应关系不一样．应选 C.答案：C2．以下会合 A 到会合 B 的对应 f 是函数的是 () A ． A ＝ { － 1,0,1} ， B ＝ {0,1} ， f ： A 中的数平方 B ． A ＝ {0,1} ， B ＝ { － 1,0,1} ， f ： A 中的数开方 C ． A ＝ Z ， B ＝ Q ， f ： A 中的数取倒数D ． A ＝R ， B ＝ { 正实数 } ， f ： A 中的数取绝对值分析：依据函数定义，选项B 中，会合 A 中的元素1 对应会合 B 中的元素 ±1，不符合函数定义中一个自变量的值对应独一的函数值的条件；选项 C 中，会合 A 中的元素 0 取倒数没存心义， 也不切合函数定义中会合A 中随意元素都对应着独一函数值的要求；选项 D中，会合 A 中的元素 0 在会合 B 中没有元素与其对应，也不切合函数定义．只有选项 A 符合函数定义．答案：Ax 2－ 1＝ ( )，则 f13．设 f(x)＝ x 2＋ 1f2A ． 1B ．－ 133C.5D ．－ 522－ 1 3分析：f＝22＋ 1 ＝5＝3×－5＝－ 1.1 1 2－1 3 53f 22 －41 2＋ 152 4答案：B4．若函数 y＝ f(x)的定义域M ＝{ x|－ 2≤x≤ 2}，值域为 N＝ { y|0 ≤y≤ 2}，则函数 y＝ f(x)的图象可能是 ()分析： A 中定义域是 { x|－ 2≤x≤0}，不是 M＝ { x|－ 2≤x≤2}， C 中图象不表示函数关系，D中值域不是 N＝ { y|0 ≤y≤2}．答案： B二、填空题 (每题 5 分，共 15 分 )5．已知 f( x)由下表表示x123f(x)211则函数 f(x)的定义域是 ________，值域是 ________．分析：察看表格可知函数f(x)的定义域是 {1,2,3} ，值域是 {1,2} ．答案：{1,2,3}{1,2}6．若 [ a,3a－ 1]为一确立区间，则 a 的取值范围是 ________．分析：由题意知1 3a－ 1>a，则 a> .2答案：1，＋∞21，则 f(f(a))＝ ________.7．设 f(x)＝1－x 分析：f( f(a))＝1＝1＝a－ 11 a.1－ a－11－1－ a1－ a 答案：a－ 1a ( a≠0，且 a≠ 1)三、解答题 (每题 10 分，共 20 分 ) 8．求以下函数的定义域．(1)y＝2x＋ 1＋3－ 4x；1 (2)y ＝|x ＋ 2|－1.12x ＋1≥0? x ≥－ 2，分析：(1)由已知得33－ 4x ≥0? x ≤ ，413∴函数的定义域为 － ，.(2)由已知得：∵ |x ＋ 2|－ 1≠0，∴ |x ＋ 2| ≠1，得 x ≠－ 3， x ≠－ 1.∴函数的定义域为 (－ ∞，－ 3)∪ (－ 3，－ 1)∪ (－ 1，＋ ∞)．69．已知函数 f(x)＝ － x ＋ 4，(1)求函数 f(x)的定义域；(2)求 f(－1), f(12)的值．分析：(1)依据题意知 x － 1≠0且 x ＋4≥0，∴ x ≥－ 4 且 x ≠1，即函数 f(x)的定义域为 [－ 4,1)∪ (1，＋ ∞)．6－ 1＋ 4＝－ 3－ 3.(2)f(－ 1)＝－ 2－6－ 12＋4＝ 6 －4＝－38f(12)＝ 12－ 11111.。
【优化课堂】高一数学人教A版必修1 学案：第一章 1.2.1 函数的概念 Word版含答案[ 高考]
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1．2函数及其表示1．2.1函数的概念[学习目标] 1.进一步体会函数是描述变量之间的依赖关系的重要数学模型．能用集合与对应的语言刻画出函数，体会对应关系在刻画数学概念中的作用．(重点、难点)2.了解构成函数的要素，会求一些简单函数的定义域和值域(重点).3.能够正确使用区间表示数集．(易混点)一、函数的有关概念f，使对于集合A中的任意的一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应结论称f：A―→B为从集合A到集合B的一个函数，记作：y＝f(x)，x∈A 相关概念定义域x的取值范围A值域函数值的集合{}f（x）|x∈A二、两个函数相等的条件1．定义域相同；2．对应关系完全一致．三、区间的概念及表示1．一般区间的表示设a，b∈R，且a＜b，规定如下：2.特殊区间的表示1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)函数的定义域和值域一定是无限集合．( )(2)根据函数有定义，定义域中的一个x 可以对应着不同的y .( ) (3)f (a )表示当x ＝a 时函数f (x )的值，是一个常量．( ) 【答案】 (1)× (2)× (3)√ 2．已知f (x )＝x ＋1，则f (3)＝( )A ．2B ．4C ．±6D ．10 【解析】 ∵f (x )＝x ＋1，∴f (3)＝3＋1＝2.【答案】 A 3．函数f (x )＝11－2x有定义域是________(用区间表示)． 【解析】 由题意，需1－2x ＞0，解得x ＜12.故f (x )的定义域为⎝⎛⎭⎫－∞，12. 【答案】 ⎝⎛⎭⎫－∞，12 4．集合{}x |1＜x ≤10用区间表示为________． 【解析】 集合{}x |1＜x ≤10用区间表示为(1，10]． 【答案】 (1，10]预习完成后，请把你认为难以解决的问题记录在下面的表格中(1)(2014·长沙高一检测)设M ＝x －2≤x ≤2，N ＝}y 0≤y ≤2，函数y ＝f (x )的定义域为M ，值域为N ，对于下列四个图象，可作为函数y ＝f (x )的图象为( )(2)下列函数中，f (x )与g (x )相等的是( ) A ．f (x )＝x ，g (x )＝(x )2 B ．f (x )＝x ，g (x )＝x 2 C ．f (x )＝x ＋2，g (x )＝x 2－4x －2D ．f (x )＝x ，g (x )＝3x 3 (3)判断下列对应是否为函数． ①A ＝R ，B ＝R ，f ：x →y ＝1x 2；②A ＝N ，B ＝R ，f ：x →y ＝±x ； ③A ＝N ，B ＝N *，f ：x →y ＝|x －2|；④A ＝{1，2，3}，B ＝R ，f (1)＝f (2)＝3，f (3)＝4.【解析】 (1)由函数定义可知任意作一条直线x ＝a 与函数图象至多有一个交点，故选项C 错误．由题设定义域中有元素－2，2知选项A 错误．由值域为{}y |0≤y ≤2知选项B 错误． (2)对于A ，f (x )＝x 的定义域为R ，g (x )＝(x )2的定义域为{}x |x ≥0，两函数的定义域不相同，所以不是相等函数；对于B ，g (x )＝x 2＝|x |，与f (x )＝x 的对应关系不相同，所以不是相等函数；对于C ，g (x )＝x 2－4x －2＝x ＋2(x ≠2)，与f (x )＝x ＋2的定义域不同，所以不是相等函数；对于D ，g(x)＝3x3＝x，与f(x)＝x的对应关系和定义域都相同，所以是相等函数，故选D.【答案】(1)D(2)D(3)①因为A＝R，B＝R，对于A中的元素x＝0，在对应关系f：x→y＝1x2之下，在B 中没有元素与之对应，因而不能构成函数．②对于A中的元素，如x＝9，y的值为y＝±9＝±3，即在对应关系f之下，B中有两个元素与之对应，不符合函数定义，故不能构成函数．③对于A中的元素x＝2，在对应关系f的作用下，|2－2|＝0∉B，从而不能构成函数．④依题意，f(1)＝f(2)＝3，f(3)＝4，即A中的每一个元素在对应关系f之下，在B中都有唯一的元素与之对应，虽然B中有很多元素在A中无元素与之对应，但依函数的定义，仍能构成函数．1．判断一个对应关系是否为函数的步骤：(1)判断A，B是否是非空数集；(2)判断A中任一元素在B中是否有元素与之对应；(3)判断A是任一元素在B中是否有唯一确定的元素与之对应．2．判断函数是否相同的步骤：(1)看定义域是否相同；(2)看对应关系是否相同；(3)下结论．(1)f(x)＝1x－2；(2)f(x)＝3x＋2；(3)f(x)＝x＋1＋12－x.【思路探究】解答本题可根据函数解析式的结构特点，构造使解析式有意义的不等式(组)，进而解不等式求解．【解】 (1)∵x ≠2时，分式1x －2有意义，∴这个函数的定义域是{}x |x ≠2. (2)∵3x ＋2≥0，即x ≥－23时，根式3x ＋2才有意义，∴这个函数的定义域是⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x ≥－23. (3)∵要使函数有意义，必须⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1≥02－x ≠0⇒⎩⎪⎨⎪⎧x ≥－1，x ≠2.∴这个函数的定义域是{}x |x ≥－1且x ≠2.1．求解析式给出的函数的定义域就是求使函数表达式有意义的自变量的取值集合．已知函数y ＝f (x )：(1)若f (x )为整式，则定义域为R ；(2)若f (x )为分式，则定义域是使分母不为零的实数的集合；(3)若f (x )是偶次根式，那么函数的定义域是根号内的式子不小于零的实数的集合； (4)若f (x )是由几个部分的数字式子构成的，那么函数的定义域是使各部分式子都有意义的实数的集合；5．若f (x )是由实际问题列出的，那么函数的定义域是使解析式本身有意义且符合实际意义的实数的集合．(2014·济宁高一检测)函数y ＝1－x2x 2－3x －2定义域为( )A ．(－∞，1]B ．(－∞，2]C.⎝⎛⎭⎫－∞，12∪⎝⎛⎭⎫－12，1 D.⎝⎛⎫－∞，－12∪⎝⎛⎦⎤－12，1 【解析】 要使函数y ＝1－x 2x 2－3x －2有意义，则⎩⎪⎨⎪⎧1－x ≥0，2x 2－3x －2≠0，即⎩⎪⎨⎪⎧x ≤1，x ≠－12且x ≠2，所以x ≤1且x ≠－12，故选D.【答案】 Df (2x ＋1)的定义域；(2)已知函数f (2x ＋1)的定义域为[1，3]，求函数f (x )的定义域．【思路探究】 (1)函数f (2x ＋1)的自变量是x ，而非2x ＋1，解不等式1≤2x ＋1≤3即可．(2)函数f (2x ＋1)的自变量是x ，本题实质是知1≤x ≤3，求2x ＋1的取值范围． 【解】 (1)∵函数f (x )的定义域为[1，3]，即x ∈[1，3]，函数f (2x ＋1)中2x ＋1的范围与函数f (x )中x 的范围相同，∴2x ＋1∈[1，3]，∴x ∈[0，1]， 即函数f (2x ＋1)的定义域是[0，1]． (2)∵x ∈[1，3]，∴2x ＋1∈[3，7]， 即函数 f (x )的定义域是[3，7]．若已知f (x )的定义域为[a ，b ]，则f (g (x ))的定义域可由a ≤g (x )≤b 求出；若已知f (g (x ))的定义域为[a ，b ]，则f (x )的定义域为g (x )在x ∈[a ，b ]时的值域．已知函数f (x )的定义域为(0，1)，则f (2x )的定义域为__________．【解析】 因为f (x )的定义域为(0，1)，所以要使f (2x )有意义，须使0＜2x ＜1，即0＜x ＜12，所以函数f (2x )的定义域为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪0＜x ＜12.【答案】 ⎝⎛⎭⎫0，12已知f (x )＝11＋x (x ∈R ，且x ≠－1)，g (x )＝x 2＋2(x ∈R)．(1)求f (2)，g (2)的值； (2)求f [g (3)]的值．【思路探究】 (1)令x ＝2代入f （x ），g （x ）→得出f （2），g （2） (2)求g （3）→求f [g （3）] 【解】 (1)∵f (x )＝11＋x ，∴f (2)＝11＋2＝13， 又∵g (x )＝x 2＋2，∴g (2)＝22＋2＝6.(2)g (3)＝32＋2＝11，∴f [g (3)]＝f (11)＝11＋11＝112.1．f (x )表示自变量为x 的函数，如f (x )＝2x ，而f (a )表示的是当x ＝a 时的函数值，如f (x )＝2x 中f (3)＝2×3＝6.2．求f {f [f (x )]}时，一般要遵循由里到外的原则．在题设条件不变的情况下，求g [f (3)]的值． 【解】 ∵f (3)＝11＋3＝14， ∴g [f (3)]＝g ⎝⎛⎭⎫14＝⎝⎛⎭⎫142＋2＝3316.1．函数的本质：两个非空数集间的一种确定的对应关系．由于函数的定义域和对应关系一经确定，值域随之确定，所以判断两个函数是否相等，只须两个函数的定义域和对应关系一致即可．2．f(x)是函数符号，f表示对应关系，“y＝f(x)”为“y是x的函数”这句话的数学表示，它仅仅是函数符号，并不表示“y等于f 与x的乘积”．3．对于用关系式表示的函数．如果没有给出定义域，那么就认为函数的定义域是指使函数表达式有意义的自变量取值的集合，这是求某函数定义域的依据．相等函数判断中的误区下列各组函数相等函数的是()A．y＝x＋1与y＝x2－1 x－1B．y＝|x|＋1和y＝(x－1)2＋1 C．y＝2x和y＝2x(x≤0) D．y＝x2＋1和y＝t2＋1【易错分析】 易失分点一：忽视函数定义域，误认为y ＝x 2－1x －1＝x ＋1，而误选A.易失分点二：忽视对应关系，误认为定义域和值域相同就是相等函数，而误选B. 【防范措施】 1.判断函数相等时，对较为复杂的函数解析式的化简要慎重，注意其等价性，本例对选项A 中第二个函数解析式的化简易把定义域扩大，由解析式相同而误认为是相等函数．2．定义域相同，并且对应关系完全一致的两个函数才相等．【解析】 A 错误，由于函数y ＝x 2－1x －1中要求x －1≠0，即x ≠1，故两个函数的定义域不同，故不表示相等函数．B 错误，虽然定义域和值域相同，但对应关系不相同，因而不是相等函数．C 错误，显然定义域不同，因此不是相等函数．D 正确，虽然表示自变量的字母不同，但它们定义域和对应关系相同，因此是相等函数． 【答案】 D——[类题尝试]————————————————— 下列各组中的两个函数为相等函数的是( ) A ．f (x )＝x ＋1·x －1，g (x )＝（x ＋1）（x －1） B ．f (x )＝(2x －5)2，g (x )＝2x －5 C ．f (x )＝1－x x 2＋1与g (x )＝1＋x x 2＋1D ．f (x )＝（x ）4x 与g (t )＝⎝⎛⎭⎫t t 2 【解析】 A 中，f (x )＝x ＋1·x －1的定义域为{x |x ≥1}，g (x )＝（x ＋1）（x －1）的定义域为{x |x ≥1或x ≤－1}，它们的定义域不相同；B 中，f (x )＝(2x －5)2的定义域为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x ≥52，g (x )＝2x －5的定义域为R ，定义域不同，不是相等函数．C 中，f (x )＝1－xx 2＋1与g (x )＝1＋xx 2＋1的对应关系不同，不相等．D 中，f (x )＝（x ）4x ＝x (x＞0)与g (x )＝⎝⎛⎭⎫t t 2＝t (t ＞0)的定义域与对应关系都相同，它们相等．【答案】 D。
1.2.1函数的概念
1.2.1函数的概念1、下列（1）、（20、（3）是否满足函数定义(1) 若物体以速度v 作匀速直线运动，则物体通过的距离S 与经过的时间t 的关系是S = vt .(2) 某水库的存水量Q 与水深（3） 设时间为t ，气温为T (0点到半夜24点的温度曲线如下图.2、 函数y = f (x )表示（ ）A ．y 等于f 与x D ．对于不同的x ，y 值也不同3、 下列四种说法中，不正确的是（ ）A ．函数值域中每一个数都有定义域中的一个数与之对应B ．函数的定义域和值域一定是无限集合C ．定义域和对应关系确定后，函数的值域也就确定了D ．若函数的定义域只含有一个元素，则值域也只含有一个元素4、 已知f (x ) = x 2 + 4x + 5，则f (2) = ，f (–1) = .5、 向高为H 的水瓶中注水，注满为止，如果注水量V 与水深h 的函数关系如右图示，那么水瓶的形状是下图中的（ ）20151050 6 12 18 24℃1.2.1函数的概念（第二课时函数的三要素）1、求下列函数的定义域.（1）1()2f x x =-；（2）()f x =；（3）1()2f x x=-.2、（1）已知f (x ) = 2x + 3，求f (1)，f (a )，f (m + n )，f [f (x )].（2）①已知f (x ) = x 2 + 1，则f (3x + 2) = ；②已知f (x ) = 2x 3 – 1，则f (–x ) = .（3）已知函数f (x ) =1,(0),(0)0,(0)x x x x π+>⎧⎪=⎨⎪<⎩，则f {f [f (–1)]} = .（4）在函数f (x ) =22,(1),(12)2,(2)x x x x x x +≤-⎧⎪-<<⎨⎪≥⎩中，若f (x ) = 3，则x 的值是（ ）A ．1B ．1或32 C．±3、 求下列函数的定义域（1）2112y x =-+； （2）224x y x -=-； （3）1||y x x =+；（4）2y ； （5）1||3y x -； （6）y =(a 为常数).4、（1）已知函数f (x )的定义域为(0, 1)，求f (x 2)的定义域.（2）已知函数f (2x + 1)的定义域为(0, 1)，求f (x )的定义域.（3）已知函数f (x + 1)的定义域为[–2, 3]，求f (2x 2 – 2)的定义域.。
高中函数典型例题
§1.2.1函数的概念¤知识要点：1. 设A 、B 是非空的数集，如果按某个确定的对应关系f ，使对于集合A 中的任意一个数x ，在集合B 中都有唯一确定的数y 和它对应，那么就称f ：A →B 为从集合A 到集合B 的一个函数，记作y =()f x ，x A ∈．其中，x 叫自变量，x 的取值范围A 叫作定义域，与x 的值对应的y 值叫函数值，函数值的集合{()|}f x x A ∈叫值域.2. 设a 、b 是两个实数，且a <b ，则：{x |a ≤x ≤b }＝[a ,b ] 叫闭区间； {x |a <x <b }＝(a ,b ) 叫开区间；{x |a ≤x <b }＝[,)a b ， {x |a <x ≤b }＝(,]a b ，都叫半开半闭区间.符号：“∞”读“无穷大”；“－∞”读“负无穷大”；“+∞”读“正无穷大”. 则{|}(,)x x a a >=+∞，{|}[,)x x a a ≥=+∞，{|}(,)x x b b <=-∞，{|}(,]x x b b ≤=-∞，(,)R =-∞+∞.3. 决定函数的三个要素是定义域、值域和对应法则. 当且仅当函数定义域、对应法则分别相同时，函数才是同一函数.¤例题精讲：【例1】求下列函数的定义域：（1）121y x =+-；（2）y =. 解：（1）由210x +-≠，解得1x ≠-且3x ≠-，所以原函数定义域为(,3)(3,1)(1,)-∞----+∞.（2）由3020x -≥⎧⎪≠，解得3x ≥且9x ≠， 所以原函数定义域为[3,9)(9,)+∞. 【例2】已知函数1()1x f x x -=+. 求：（1）(2)f 的值；（2）()f x 的表达式解：（1）由121x x -=+，解得13x =-，所以1(2)3f =-. （2）设11x t x -=+，解得11t x t -=+，所以1()1t f t t -=+，即1()1xf x x -=+. 点评：此题解法中突出了换元法的思想. 这类问题的函数式没有直接给出，称为抽象函数的研究，常常需要结合换元法、特值代入、方程思想等.【例3】已知函数22(),1x f x x R x =∈+.（1）求1()()f x f x +的值；（2）计算：111(1)(2)(3)(4)()()()234f f f f f f f ++++++.解：（1）由2222222221111()()1111111x x x x f x f x x x x x x ++=+=+==+++++. （2）原式11117(1)((2)())((3)())((4)())323422f f f f f f f =++++++=+=点评：对规律的发现，能使我们实施巧算. 正确探索出前一问的结论，是解答后一问的关键.§1.2.2函数的表示法¤知识要点：1. 函数有三种表示方法：解析法（用数学表达式表示两个变量之间的对应关系，优点：简明，给自变量可求函数值）；图象法（用图象表示两个变量的对应关系，优点：直观形象，反应变化趋势）；列表法（列出表格表示两个变量之间的对应关系，优点：不需计算就可看出函数值）.2. 分段函数的表示法与意义（一个函数，不同范围的x ，对应法则不同）.3. 一般地，设A 、B 是两个非空的集合，如果按某一个确定的对应法则f ，使对于集合A 中的任意一个元素x ，在集合B 中都有唯一确定的元素y 与之对应，那么就称对应:f A B →为从集合A 到集合B 的一个映射（mapping ）．记作“:f A B →”.判别一个对应是否映射的关键：A 中任意，B 中唯一；对应法则f . ¤例题精讲： 【例1】如图，有一块边长为a 的正方形铁皮，将其四个角各截去一个边长为x 的小正方形，然后折成一个无盖的盒子，写出体积V 以x 为自变量的函数式是_____，这个函数的定义域为_______．解：盒子的高为x ，长、宽为2a x －，所以体积为V ＝2(2)x a x －.又由20a x >－，解得2a x <.所以，体积V 以x 为自变量的函数式是2(2)V x a x =－，定义域为{|0}2a x x <<. 【例2】已知f (x )=333322x x x x -⎧++⎪⎨+⎪⎩(,1)(1,)x x ∈-∞∈+∞，求f [f (0)]的值.解：∵0(,1)∈-∞，∴f (0)=32.又∵32>1， ∴f (32)=(32)3+(32)-3=2+12=52，即f [f (0)]=52.【例3】画出下列函数的图象：（1）|2|y x =-；（教材P 26练习题3）（2）|1||24|y x x =-++.解：（1）由绝对值的概念，有2,2|2|2,2x x y x x x -≥⎧=-=⎨-<⎩.所以，函数|2|y x =-的图象如右图所示.（2）33,1|1||24|5,2133,2x x y x x x x x x +>⎧⎪=-++=+-≤≤⎨⎪--<-⎩，所以，函数|1||24|y x x =-++的图象如右图所示.点评：含有绝对值的函数式，可以采用分零点讨论去绝对值的方法，将函数式化为分段函数，然后根据定义域的分段情况，选择相应的解析式作出函数图象.【例4】函数()[]f x x =的函数值表示不超过x 的最大整数，例如[ 3.5]4-=-，[2.1]2=，当( 2.5,3]x ∈-时，写出()f x 的解析式，并作出函数的图象.解：3, 2.522,211,10()0,011,122,233,3x x x f x x x x x --<<-⎧⎪--≤<-⎪--≤<⎪=≤<⎨⎪≤<⎪≤<⎪=⎩. 函数图象如右： 点评：解题关键是理解符号[]m 的概念，抓住分段函数的对应函数式.§1.3.1函数的单调性 ¤知识要点： 1. 增函数：设函数y =f (x )的定义域为I ，如果对于定义域I 内的某个区间D 内的任意两个自变量x 1，x 2，当x 1<x 2时，都有f (x 1)<f (x 2)，那么就说f (x )在区间D 上是增函数（increasing function ）. 仿照增函数的定义可定义减函数.2. 如果函数f (x )在某个区间D 上是增函数或减函数，就说f (x )在这一区间上具有（严格的）单调性，区间D 叫f(x )的单调区间. 在单调区间上，增函数的图象是从左向右是上升的（如右图1），减函数的图象从左向右是下降的（如右图2）. 由此，可以直观观察函数图象上升与下降的变化趋势，得到函数的单调区间及单调性.3. 判断单调性的步骤：设x 1、x 2∈给定区间，且x 1<x 2；→计算f (x 1)－f (x 2) →判断符号→下结论.¤例题精讲： 【例1】试用函数单调性的定义判断函数2()1x f x x =-在区间（0，1）上的单调性.解：任取12,x x ∈(0,1)，且12x x <. 则1221121212222()()()11(1)(1)x x x x f x f x x x x x --=-=----.由于1201x x <<<，110x -<，210x -<，210x x ->，故12()()0f x f x ->，即12()()f x f x >.所以，函数2()1x f x x =-在（0，1）上是减函数.【例2】求下列函数的单调区间：（1）|1||24|y x x =-++；（2）22||3y x x =-++.解：（1）33,1|1||24|5,2133,2x x y x x x x x x +>⎧⎪=-++=+-≤≤⎨⎪--<-⎩，其图象如右. 由图可知，函数在[2,)-+∞上是增函数，在(,2]-∞-上是减函数.（2）22223,02||323,0x x x y x x x x x ⎧-++≥⎪=-++=⎨--+<⎪⎩，其图象如右.由图可知，函数在(,1]-∞-、[0,1]上是增函数，在[1,0]-、[1,)+∞上是减函数.点评：函数式中含有绝对值，可以采用分零点讨论去绝对值的方法，将函数式化为分段函数. 第2小题也可以由偶函数的对称性，先作y 轴右侧的图象，并把y 轴右侧的图象对折到左侧，得到(||)f x 的图象. 由图象研究单调性，关键在于正确作出函数图象.【例3】已知31()2x f x x +=+，指出()f x 的单调区间.解：∵3(2)55()322x f x x x +--==+++，∴把5()g x x -=的图象沿x 轴方向向左平移2个单位，再沿y 轴向上平移3个单位，得到()f x 的图象，如图所示.由图象得()f x 在(,2)-∞-单调递增，在(2,)-+∞上单调递增.点评：变形后结合平移知识，由平移变换得到一类分式函数的图象. 需知()f x a b ++平移变换规律.§1.3.1函数最大（小）值¤知识要点：1. 定义最大值：设函数()y f x =的定义域为I ，如果存在实数M 满足：对于任意的x ∈I ，都有()f x ≤M ；存在x 0∈I ，使得0()f x = M . 那么，称M 是函数()y f x =的最大值（Maximum Value ）. 仿照最大值定义，可以给出最小值（Minimum Value ）的定义.2. 配方法：研究二次函数2(0)y ax bx c a =++≠的最大（小）值，先配方成224()24b ac b y a x a a -=++后，当0a >时，函数取最小值为244ac b a -；当0a <时，函数取最大值244ac b a -.3. 单调法：一些函数的单调性，比较容易观察出来，或者可以先证明出函数的单调性，再利用函数的单调性求函数的最大值或最小值.4. 图象法：先作出其函数图象后，然后观察图象得到函数的最大值或最小值.¤例题精讲：【例1】求函数261y x x =++的最大值.解：配方为2613()24y x =++，由2133()244x ++≥，得260813()24x <≤++.所以函数的最大值为8.【例3】求函数21y x x =+-的最小值.解：此函数的定义域为[)1,+∞，且函数在定义域上是增函数，所以当1x =时，min 2112y =+-=，函数的最小值为2.点评：形如y ax b cx d =+±+的函数最大值或最小值，可以用单调性法研究，也可以用换元法研究.【另解】令1x t -=，则0t ≥，21x t =+，所以22115222()48y t t t =++=++，在0t ≥时是增函数，当0t =时，min 2y =，故函数的最小值为2.【例4】求下列函数的最大值和最小值：（1）25332,[,]22y x x x =--∈-；（2）|1||2|y x x =+--.解：（1）二次函数232y x x =--的对称轴为2bx a =-，即1x =-.画出函数的图象，由图可知，当1x =-时，max 4y =；当32x =时，min 94y =-. 所以函数25332,[,]22y x x x =--∈-的最大值为4,最小值为94-. （2） 3 (2)|1||2|2 1 (12)3 (1)x y x x x x x ≥⎧⎪=+--=--<<⎨⎪-≤-⎩.作出函数的图象，由图可知，[3,3]y ∈-. 所以函数的最大值为3, 最小值为-3.点评：二次函数在闭区间上的最大值或最小值，常根据闭区间与对称轴的关系，结合图象进行分析. 含绝对值的函数，常分零点讨论去绝对值，转化为分段函数进行研究。
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3．函数的三要素： 定义域A 人 教 Ａ 版 必 修 一 · · 新 课 标 数 学 A到C的对应关系f .
、 值域C
、
4．区间：设a，b是两个实数，且a<b. 为 (1)满足不等式a≤x≤b的实数x的集合叫做闭区间，表示 [a，b] ． (2)满足不等式a<x<b的实数x的集合叫做开区间，表示 (a，b) ．
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1．2.1 函数的概念
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目标要求 1.理解函数的概念，明确定 义域、值域、对应关系是函 数的三要素，能判断两个函 数是否为同一函数． 2．掌握区间和无穷大这两 个基本概念，能正确使用区 间符号表示实数集的子集． 3．会求一些简单函数的定 义域和值域.
的对应关系f，使对于集合A中的任意一个实数x ，在集 合B中都有 唯一确定的数f(x) 和它对应，那么就称f：A→B
为从集合A到集合B的一个函数，记作y＝f(x)，x∈A
.
2．对于函数y＝f(x)，x∈A，其中，x叫做自变量，x的 取值范围A叫做 函数的定义域 ；与x的值相对应的y值叫 做 函数值 ，函数值的集合{f(x)|x∈A}叫做函数的 值域 ．
(3)定义域相同，都是R，但是它们的解析式不同，也
就是对应关系不同，故不相同．
(4)定义域相同，都是R，解析式化简后都是y＝|x|，也 人 教 Ａ 版 必 修 一 · · 新 课 标 数 学
就是对应关系相同．定义域和对应关系相同，那么值域必
相同，这两个函数的三要素完全相同，故两函数相同．
温馨提示：讨论函数问题时，要保持定义域优先的原 人 教 Ａ 版 必 修 一 · · 新 课 标 数 学
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解 函的义是使数示有义即 ： 数定域指函表式意，解 析中运都算自量值集． 式各算能的变取的合 )( 因x－2＝0， x＝2时分 1 即 ，式 1 没意． 有义而 x－2 是 3x＋
x≠2时分有义所这函的义 ，式意，以个数定域 {x|x≠2}． )( 因 3x＋2 时根 2 为 < ，式 0 3x＋2没意． 有义而 2 2≥0， x≥－ 时根 即 ，式 3x＋2才意，以这 有义所，个 3 2 函的义是 数定域 [－ ， ∞)． ＋ 3
为
(3)满足不等式a≤x<b或a<x≤b的实数x的集合叫做半开 半闭区间，分别表示为 [a，b)，(a，b] ，其中实数a与b都
叫做相应区间的端点．
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1．知数 已函 A．3 C．1
x＋1 f(x)＝ ，则f( 等于 ) 2 x－1 B．2 D．0
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类型一 函的念题 数概问 【例1】 判下对是为数 断列应否函： 2 )( x→ ，x≠0，x∈R. 1 x )( x→y，这里y2＝x，x∈N，y∈R. 2
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解：( 对任一非实 ) 1 于意个零数
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解：( g(x)＝6 x3＝6x，它与f(x)＝6x定义域相 ) 1 同对关也同所是同数 ，应系相，以相函． x2－9 )( f(x)＝ 2 ＝x＋3(x≠3)，它与g(x)＝x＋3的定义 x－3 域同故是同数 不，不相函． )( 虽自量不的母示但 3 然变用同字表，两 个数定 函的义 域对关都同故相函． 和应系相，是同数
解式 析有
x2 y＝ 化为 简 x
y＝x，
如下图所示，可表示函数y＝f(x)的图象只能是 人 教 Ａ 版 必 修 一 · · 新 课 标 数 学
(
)
解析：判断一个图象是否是某一个函数的图象，应看 人 教 Ａ 版 必 修 一 · · 新 课 标 数 学
它是否符合函数的概念，即对定义域内的任意数x，按照某
种确定的对应关系，都有唯一确定的数y与它对应．对于A、 C中令x＝0，有两个y与之对应．而B中，当x取大于0的任意 值时，也都有两个y值与之对应． 答案：D
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下列组两函是表相函？ 各中个数否示同数 3 3 )( f(x)＝6x，g(x)＝6 x ； 1 x2－9 )( f(x)＝ 2 ，g(x)＝x＋3； x－3 )( f(x)＝x2－2x－1，g(t)＝t2－2t－1. 3
2 x， 被x唯确， 一定所 x 2 f(x)＝ x ∴x→y(y2＝x)
2 以当x≠0时，x→ 是数这函也以示 函，个数可表为 x (x≠0)． )( 取x＝4，则y＝± 2 2，y的并唯． 值不一 不函． 是数
温馨提示：判断由一个式子是否能确定y是x的函数的 人 教 Ａ 版 必 修 一 · · 新 课 标 数 学
热点提示
1.函数的概念比较抽象 ，应结合初中所学习过 的具体函数联系实际问 题加以理解，对函数的 符号表示的理解要通过 分析实际问题和动手操 作逐渐明白其内涵． 2．求函数的定义域要由 特例总结归纳一般解题 规律.
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思路分析：只需把自变量的值代入对应关系式即可， 人 教 Ａ 版 必 修 一 · · 新 课 标 数 学
但要同时注意f[g(x)]中，g(x)整体充当了自变量．
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1 1 解：( f( ＝ ) ) 1 2 ＝ ，g( ＝2＋22＝6. ) 2 1＋2 3 1 )( f[g( ＝f( ＝ ； 2 ]) 2 ) 6 7 1 1 2 )( f[g(x)]＝f(x ＋2)＝ 3 ＝ . 1＋(x2＋2) x2＋3
思路分析：由题目可获取以下主要信息： 人 教 Ａ 版 必 修 一 · · 新 课 标 数 学
①已知函数的解析式；
②由解析式可确定函数定义域． 解答本题结合相同函数的定义判断函数三要素是否一 致即可． 解：(1)f(x)的定义域是{x|x≠1}，g(x)的定义域是R，它
们的定义域不同，故不相同．
(2)定义域相同，都是R，但是g(x)＝|x|，即它们的解析 式不同，也就是对应关系不同，故不相同．
温馨提示：求函数值主要利用代入法，多步代入时要 人 教 Ａ 版 必 修 一 · · 新 课 标 数 学
注意式子的化简和符号的变化．
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类四 型 函的义问 数定域题 【 4】 求列数定域 例 下函的义： 1 )( f(x)＝ 1 ；( f(x)＝ 3x＋2； ) 2 x－2 1 )( f(x)＝ x＋1＋ 3 . 2－x
3
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1 )( 设 f(x)＝|x－1|＋|x|，则 f[f( )]＝ 1 2 1 A．－ B．0 2 1(x)＝2x2＋1，g(x)＝3－x，求f[g(－1)]，g[f(1)]， 人 教 Ａ 版 必 修 一 · · 新 课 标 数 学
温提： 馨示 求数定域是使数 函的义就求函 意的变的值合如函的析是几 义自量取集．果数解式由个 部组，么的义就使部有义自 分成那它定域是各分意的变 量取集的集 的值合交． 定域表方与合表方相． 义的示法集的示法同 求数义的个本则解式化． 函定域一基原是析不简例 x2 如求数 ，函 y＝ 的义时不将 定域，能 x 而得义为 求定域 R的误论 错结． 在中函的义是个合必用合示 高，数定域一集，须集表出 来 ．
f[g(x)]．
解：∵g(－1)＝4，∴f[g(－1)]＝f(4)＝2×42＋1＝33； ∵f(1)＝2×12＋1＝3，∴g[f(1)]＝g(3)＝3－3＝0； ∵f(x)＝2x2＋1，g(x)＝3－x， ∴f[g(x)]＝2(3－x)2＋1＝2x2－12x＋19.
若函数f(x)的定义域为[－2,1]，求g(x)＝f(x)＋f(－x) 人 教 Ａ 版 必 修 一 · · 新 课 标 数 学
则．判断两个函数是否相同，要先求定义域，若定义域不
同，则不相同；若定义域相同，再化简函数的解析式，若 解析式相同，则相同，否则不相同．
类三 型
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函值题 数问
1 【 3】 已知f(x)＝ 例 (x∈R且x≠－1)，g(x)＝x2 1＋x ＋2(x∈R)． )( 求f( ，g( 的； 1 ) 2 ) 2 值 )( 求f[g( 的； 2 ]) 2 值 )( 求f[g(x)]的． 3 值
的定义域．
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1．对函数的概念的理解 (1)y＝f(x)表示y是x的函数，是一个整体符号，不是f与 x的乘积． (2)在y＝f(x)中，x是自变量，f代表对应关系． 关于自变量，同学们刚接触的时候，会因为函数的定
程序是：对于由式子有意义所确定的x的取值集合中任一个
x的值，由式子是否可确定唯一的一个y的值与之对应，也 可以看由式子解出x的解析式是否唯一．也就是“取元的任 意性，取值的唯一性”．即自变量在定义域内任取一个值， 其函数值必须对应着唯一的值．
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类二 型 相函的断 同数判 【 2】 判下各中 例 断列组的 函 f(x)与g(x)是相 数 否 同并明由 ，说理． )( f(x)＝(x－1)0，g(x)＝1； 1 (2)f(x)＝x，g(x)＝ x2； (3)f(x)＝x2，g(x)＝(x＋1)2； (4)f(x)＝|x|，g(x)＝ x2.
(
)
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2．数 y＝ 1－x＋ x的义为 函 定域 ( A．{x|x≤1 } B．{x|x≥0} C．{x|x≥1或x≤0 } D．{x|0≤x≤1}