02-Lec03 随机变量及其概率分布
随机变量与概率分布
随机变量与概率分布随机变量是概率论中的重要概念之一，它用来描述随机试验的结果。
而概率分布是用来描述随机变量可能取值的概率的分布情况。
一、随机变量随机变量可以分为离散随机变量和连续随机变量两种。
1. 离散随机变量离散随机变量是只能取有限或可数个数的值的随机变量。
我们可以通过一个概率函数来描述离散随机变量的分布，这个概率函数被称为概率质量函数（Probability Mass Function，简称 PMF）。
例如，掷一枚骰子的结果可以用离散随机变量来表示，它可能取1、2、3、4、5、6六个值之一，每个值出现的概率为1/6。
这个概率分布可以用如下的概率质量函数来表示：P(X=x) = 1/6, (x=1,2,3,4,5,6)2. 连续随机变量连续随机变量是可以取无穷个数的值的随机变量。
我们可以通过一个概率密度函数（Probability Density Function，简称 PDF）来描述连续随机变量的分布。
例如，一个人的身高可以用连续随机变量来表示，它可以是任意的实数值。
而人群中不同身高出现的概率分布可以用一个概率密度函数来描述。
二、概率分布概率分布是用来描述随机变量可能取值的概率的分布情况。
常见的概率分布包括离散型概率分布和连续型概率分布。
1. 离散型概率分布离散型概率分布描述的是离散随机变量的概率分布情况。
常见的离散型概率分布包括伯努利分布、二项分布、泊松分布等。
- 伯努利分布是最简单的离散型概率分布，它描述的是一个试验只有两个可能结果的情况，比如投硬币的结果。
- 二项分布是由多次独立的伯努利试验组成的情况，比如多次投硬币的结果。
- 泊松分布是描述在一定时间或空间范围内事件发生的次数的分布情况，比如在一段时间内接到的电话的次数。
2. 连续型概率分布连续型概率分布描述的是连续随机变量的概率分布情况。
常见的连续型概率分布包括正态分布、指数分布、均匀分布等。
- 正态分布是自然界中普遍存在的一种分布情况，也是最为重要的一种连续型概率分布。
随机变量与概率分布
随机变量与概率分布随机变量与概率分布是概率论中重要的概念。
随机变量是描述随机现象的数值特征的变量，而概率分布则是用于描述随机变量可能取值的概率的分布。
本文将介绍随机变量与概率分布的基本概念和常见类型。
一、随机变量随机变量是概率论中用于将随机现象转化为数值的数学工具。
简而言之，随机变量是对可能不确定结果的一种数学描述。
通常用大写字母X表示随机变量。
随机变量可以分为离散型和连续型两种类型。
1. 离散型随机变量离散型随机变量的取值为有限个或可数个，取值之间相互独立，且每个取值发生的概率是确定的。
例如，投掷一颗骰子，出现的点数就是一个离散型随机变量。
它的取值为1、2、3、4、5、6，每个点数出现的概率为1/6。
2. 连续型随机变量连续型随机变量的取值为一个区间范围内的任意一个实数，取值之间有无限多个可能，且取值的概率是一个连续函数。
例如，一个人的身高就是一个连续型随机变量。
它可以取到任意一个实数值，而不仅仅是特定的几个值。
概率分布是用于描述随机变量可能取值的概率的分布。
它是随机变量在不同取值上的概率函数或密度函数。
常见的概率分布有离散型分布和连续型分布。
1. 离散型分布常见的离散型分布有：1) 伯努利分布伯努利分布是一种简单的离散型分布，它只有两个值，成功和失败。
例如，抛硬币的结果可以看作是伯努利分布。
成功的概率记为p，失败的概率记为1-p。
2) 二项分布二项分布是指重复n次伯努利试验，其中每次试验成功的概率为p。
例如，抛一颗硬币10次，记录正面朝上的次数，这就是一个二项分布。
其中，n表示试验次数，p表示每次试验成功的概率。
3) 泊松分布泊松分布是用于描述单位时间（或单位面积、单位体积等）内随机事件发生次数的分布。
例如，某一地区的平均每天发生的交通事故次数就可以用泊松分布描述。
2. 连续型分布常见的连续型分布有：均匀分布是指随机变量在某一范围内取值的概率是相等的。
例如，掷一枚公正硬币，出现正面和反面的概率相等，就可以用均匀分布来描述。
统计学中的随机变量与概率分布
统计学中的随机变量与概率分布统计学是一门研究如何收集、处理、分析、解释、推断数据的学科，其中随机变量和概率分布是其中非常重要的概念。
一、随机变量随机变量是指一个试验所涉及的结果是随机的，但是这些结果可以用数值来表示。
比如，掷一枚硬币的结果可能是正面或者反面。
这个试验中，随机变量可能表示为X，如果正面朝上，就表示为X=1；如果反面朝上，就表示为X=0。
有两种类型的随机变量：离散随机犹豫和连续随机变量。
离散随机变量是指可能的结果是一个有限或者无限的集合，比如抛硬币的结果只能是正反两面。
概率分布列可以用来描述离散随机变量的概率分布。
连续随机变量是指可能的结果是一个无限但是连续的集合，比如一个人的体重或者收入。
概率密度函数可以用来描述连续随机变量的概率分布。
二、概率分布概率分布是随机变量的所有可能结果的概率分布，它们的总和为1。
概率分布的形式取决于随机变量的类型。
1. 离散随机变量的概率分布离散随机变量的概率分布可以用概率分布列来描述，即用一个数组来表示不同结果的概率。
例如，在抛掷一枚硬币的情况下，概率分布列可以表示如下：X 0 1P(X) 0.5 0.5其中，X是随机变量，0和1是离散随机变量的结果。
概率分布列表示X=0的概率为0.5，X=1的概率为0.5。
2. 连续随机变量的概率分布连续随机变量的概率分布不能用概率分布列来描述，因为连续随机变量的结果无限多，概率为0。
因此，使用概率密度函数。
概率密度函数描述了一个连续随机变量在某一点的概率密度，即该点附近可能出现的概率大小。
因此，概率密度函数只能表达相对概率，不能直接得到概率。
对于一个连续随机变量X，概率密度函数为f(x)，则概率计算可以使用积分来计算，如下所示：P(a <= X <= b) = ∫[a, b]f(x)dx其中，a和b是X的两个不同值，∫[a, b]表示从a到b的积分。
统计学中常用的连续随机变量概率分布包括正态分布、t分布和F分布等。
随机变量及其概率分布
率分布表；（2）该运动员射击3次之内
命中目标的概率。
2019/8/10
第5章 随机变量及其概率分布
周忠荣 编
27
工程 数学
5.3 （续十一）
解 （1）{X＝1}表示第1次命中目标；{X＝2} 表示第1次没有命中目标，第2次命中目标； 一般地，{X＝n}表示前n－1次没有命中目标， 第n次命中目标。 所以，P{X＝1}＝0.8，P{X ＝2}＝(1－0.8)×0.8＝0.16，。因此概率分布 表如下表所示。
同等级，写出X的概率分布表。
2019/8/10
第5章 随机变量及其概率分布
周忠荣 编
25
工程 数学
5.3 （续九）
解 {X＝20}表示销售一件一等品赢利20 元；{X＝15}表示销售一件二等品赢利 15元；{X＝－30}表示销售一件次品亏 损30元。所以，P{X＝20}＝0.75，P{X
＝15}＝0.2，P{X＝－30}＝0.05。所以，
为随机变量X的分布函数。
还可得
P{a X b} P{{X b} {X a}}
P{X b} P{X a}
F(b) F(a)
(5-2)
P{X a} 1 P{X a} 1 F(a)
(5-3)
2019/8/10
第5章 随机变量及其概率分布
概率分布表
X a1 a2 … P p1 p2 …
其中0≤pk≤1,(k=1,2, … ) 且
ak …
pk …
pk 1。
k 1
2019/8/10
第5章 随机变量及其概率分布
周忠荣 编
21
工程 数学
5.3 （续五）
随机变量与概率分布
随机变量与概率分布随机变量是统计学中最基本的概念之一。
在数据分析、机器学习、金融领域等许多领域中都扮演着重要角色。
随机变量的概念很简单，而它的概率分布则涉及到了数学统计中的一些重要知识。
在本文中，我们将介绍随机变量和概率分布的概念、特性、分类以及应用。
随机变量的概念随机变量通常是通过样本实验获得的数据，根据样本所表现出来的不确定性，其取值是不确定的。
我们用X来表示一个随机变量，例如：X可以表示拔出的一张扑克牌的点数，它可能是1、2、3……直到13中任意一个值。
随机变量可以是连续的或离散的。
连续的随机变量是一个可以取到一定范围内的任意值的变量，常用f(x)表示概率密度函数。
离散变量的值只能取一些特定的值，例如骰子、扑克牌等等，常用f(x)表示概率质量函数。
概率分布的概念所谓概率分布，就是指随机变量X的取值的各种可能性（X的取值范围）及其相应的概率的分布情况。
概率分布可以分为离散概率分布和连续概率分布。
离散概率分布是指由离散型随机变量取值的概率密度函数表示的随机变量的概率分布。
而连续概率分布则是指连续型随机变量取值的概率密度函数表示的随机变量的概率分布。
概率密度函数与概率质量函数概率密度函数是连续概率分布的函数。
对于概率密度函数f(x)，有以下性质：1. 对于所有的x，f(x) >=0。
2. 整个区间的概率等于1，即∫f(x)dx = 1。
3. 在函数曲线下的任何点，面积都代表该点处的概率。
而概率质量函数是指离散型随机变量X的概率分布，对于概率质量函数p(x)，有以下性质：1. 对于所有的x，p(x)>=0。
2. 整个区间的概率等于1，即Σp(x)=1。
3. p(x)表示的是X=x的概率。
常见的连续概率分布1. 正态分布：正态分布也被称为高斯分布，它是连续概率分布中最为常见的一种。
正态分布是一种对称的，钟形曲线状的概率密度函数。
它具有无限可导性质，受中心极限定理的影响而广泛应用于各领域。
随机变量与概率分布随机变量与概率分布问题的解题技巧
随机变量与概率分布随机变量与概率分布问题的解题技巧随机变量与概率分布问题的解题技巧随机变量和概率分布是概率论和数理统计中的重要概念。
解决随机变量与概率分布问题需要运用一定的计算技巧与方法。
本文将介绍一些常见的解题技巧，并通过实例进行说明。
一、随机变量随机变量是概率论中的一个基本概念，它描述了一个随机试验的结果。
随机变量可分为离散型随机变量和连续型随机变量。
离散型随机变量是指在一定区间内取值有限或可数的随机变量，通常用概率分布列来描述其概率分布。
例如，掷硬币的结果可以表示为随机变量X，X=0表示正面朝上，X=1表示反面朝上。
连续型随机变量是指在一定区间内取值为无限个的随机变量，通常用概率密度函数来描述其概率分布。
例如，人的身高可以表示为随机变量X，X的取值范围是[0, +∞)，其概率密度函数为f(x)，表示人的身高在某个区间内出现的概率。
二、概率分布概率分布是随机变量所有可能取值及其相应概率的分布情况。
常见的概率分布包括离散型概率分布和连续型概率分布。
1. 离散型概率分布离散型概率分布可以用概率分布列来描述。
概率分布列是一个表格，其中包含了随机变量的所有可能取值及其对应的概率。
例如，对于一个掷硬币的随机变量X，其概率分布列为：```X | 0 | 1--------------P(X) | 0.5 | 0.5```2. 连续型概率分布连续型概率分布可以用概率密度函数来描述。
概率密度函数是一个函数，描述了随机变量在某个取值范围内的概率分布情况。
例如，人的身高随机变量X的概率密度函数为f(x)，则可以表示为：```f(x) = 0, x < 0k * exp(-λx), x >= 0```其中，k为归一化常数，保证概率密度函数的积分等于1。
三、解题技巧1. 对于离散型随机变量，可以利用概率分布列计算某个事件的概率。
例如，对于一个掷硬币的随机变量X，我们可以利用概率分布列计算正面朝上的概率，即P(X=0)。
随机变量与概率分布
随机变量是概率论中的重要概念，它描述了一个随机实验中的不确定性。
通过建立随机变量和概率分布的关系，我们可以更好地理解和分析随机事件的发生概率，进而进行相应的决策。
首先，让我们来了解一下随机变量的概念。
随机变量是一个函数，它将每个可能的结果映射到一个实数上。
随机变量可以是离散的，比如掷骰子的点数；也可以是连续的，比如测量一个人的身高。
无论是离散的还是连续的随机变量，都可以用概率分布来描述。
概率分布是随机变量取各种可能值的概率的分布情况。
对于离散型随机变量，概率分布可以用概率质量函数（PMF）来表示，它给出了每个可能取值的概率。
比如，掷一个均匀的六面骰子，每个面的点数的概率都是1/6。
对于连续型随机变量，概率分布可以用概率密度函数（PDF）来表示，它给出了一个取值范围内的概率密度。
比如，人的身高符合一个正态分布，我们可以用概率密度函数来描述。
在实际应用中，根据具体问题的需求，选择适当的概率分布是非常重要的。
常见的概率分布包括均匀分布、正态分布、指数分布等。
均匀分布是最简单的概率分布，每个可能值的概率都相等。
正态分布是自然界中出现最为频繁的分布，它以其钟形曲线而著名，许多自然现象都可以用正态分布进行建模。
指数分布则常用于描述时间的流逝或间隔事件的发生概率。
除了这些常见的概率分布之外，我们还可以通过对已知概率分布的组合或变换，得到新的概率分布。
比如，两个独立的随机变量的和、差或积，称为它们的组合。
组合的结果往往可以用新的概率分布来描述。
此外，根据中心极限定理，在大样本下，随机变量的平均值在某种情况下将服从正态分布。
这个定理在统计学和抽样理论中有着广泛的应用。
概率分布的另一个重要概念是期望值和方差。
期望值是随机变量在某一个分布下的平均值，方差则是随机变量在分布下的变化程度。
通过期望值和方差，我们可以对随机变量的分布进行更准确的描述，并进一步研究和分析相关问题。
最后，随机变量与概率分布为我们提供了分析和预测不确定性的工具。
随机变量与概率分布
随机变量是概率论与数理统计中的重要概念，它描述了随机试验的各种可能结果。
概率分布则描述了随机变量在各个取值上的概率。
首先，我们来理解随机变量。
随机变量是一种数值化随机现象的方法，它将随机现象的不确定性量化为数值。
例如，抛一枚硬币可能得到正面或反面，我们可以定义一个随机变量X，如果硬币正面朝上，X取值为1，如果反面朝上，X取值为0。
随机变量可以是离散的，如抛硬币的结果，也可以是连续的，如测量一个人的身高。
在数理统计中，我们通常将随机变量分为离散型随机变量和连续型随机变量。
接下来，我们进一步讨论随机变量的概率分布。
概率分布是描述随机变量取各个值的概率的函数。
对于离散型随机变量，我们可以使用概率质量函数（probability mass function，简称PMF）来描述概率分布。
概率质量函数给出了随机变量取各个值的概率。
例如，在掷一个骰子的情况下，随机变量X取值为1、2、3、4、5、6的概率分别为1/6。
对于连续型随机变量，则使用概率密度函数（probability density function，简称PDF）来描述概率分布。
概率密度函数定义了随机变量在某个取值上的概率密度，具体来说，概率密度函数在某个取值处的函数值与在无限小区间内随机变量取值的概率之比趋近于0。
例如，某个人的身高服从正态分布，其概率密度函数呈钟形曲线。
除了概率质量函数和概率密度函数，我们还可以使用累积分布函数（cumulative distribution function，简称CDF）来描述概率分布。
累积分布函数给出了随机变量小于等于某个值的概率。
对于离散型随机变量，累积分布函数是概率质量函数的累加；对于连续型随机变量，累积分布函数是概率密度函数的积分。
在实际应用中，我们经常通过样本来估计未知的概率分布。
样本是我们从总体中抽取的一部分数据，通过分析样本数据，我们可以推断总体的特征。
例如，我们可以抛100次硬币，记录下正反面的结果，然后计算正面朝上的次数占总次数的比例，这个比例就可以作为估计的概率。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
第三讲 随机变量及其概率分布（一）一．随机变量的定义函数的概念可以推广到自变量不是实数的情形。
如：两点间的距离可作为以一对点为自变量的函数的函数值；三角形的周长为定义在三角形集合上的函数。
定义在样本空间上的函数，就称为随机变量。
常用大写字母等表示随机变ΩZ Y X ,,量，其取值用小写字母z y x ,,等表示。
()ωX x =，Ω∈ω； R X →Ω:。
随机变量()ωX 一般简记为X 。
例1. 扔硬币，正面记H，背面记为T1）扔一次 {}T H ,=Ω， ()()4,0==T X H X()40ωωX T H 2）仍三次()7654321ωωX TTT TTH THT THH HTT HTH HHT HHH 对于每个基本结果ω，变量X 都对应一个确定的实数值。
样本的定量表达 例2. 电子元件（比如日光灯管）的寿命()ωX ： 连续函数。
例3. 用随机变量表示事件 （示性函数）设(是概率空间，)P F ,,ΩF A ∈,定义 ，称()⎩⎨⎧∉∈=AAI A ωωω01()ωA I 为事件A 的示性函数。
注记：上例表明随机事件是随机变量一个特例。
随机变量是随机事件的推广，它拓展了概率论的研究范围与手段。
今后我们的研究对象主要集中在随机变量及它们的分布。
二．随机变量的分布函数设是一个随机变量，对任意实数，定义X x ()()x X P x F ≤=为随机变量的分布X 函数，且称服从，记为X ()x F ()x F X ~，有时也记作()x F X 。
例4. 向半径为r 的圆内随机抛一点，求此点到圆心距离的分布函数。
X ()xF()()⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥<≤⎟⎠⎞⎜⎝⎛<=≤=rx r x r x x x X P x F 10002定理1. 任一分布函数都具有如下三条基本性质()x F （1） 单调性 ()x F 是上单调非减函数，即(+∞∞−,)()()2121,x F x F x x ≤<∀； （2） 有界性 R x ∈∀，有()10≤≤x F ，且()()0lim ==∞−−∞→x F F x ， ()()1lim ==∞∞→x F F x ；（3） 右连续性 是关于的右连续函数，即()x F X x R x ∈∀0，有 ()()00lim x F x F x x =+→， ()()000x F x F =+()()()a F b F b X a P −=≤<, ()()()0−−=≤≤a F b F b X a P ()(01−−)=≥b F b X P , ()()()0−−==a F a F a X P三．离散分布，离散型随机变量如果随机变量X 所有可能的取值是有限或可列多个，则其分布可表示为 ()()()L LL L n n 21x p x p x p Px x x X 21⎝⎛L L L L n nx p x p x p x x x 2121或 ⎜⎜ ()()()⎟⎟⎠⎞这种表示称为分布列。
其中()()0≥==i i x X P x p ()L L ,,2,1n i =，，。
分布函数图形为阶梯函数。
()11=∑∞=i i x p ()()∑≤=xx ii x p x F 例5. 两点分布（Bernoulli 分布），最常用的是0-1分布（1,010==a a 的情形）⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛q p a a 10， 其中 ， ,1=+q p 0,≥q p ()⎪⎩⎪⎨⎧≥<≤<=110010ax a x a p a x x F四．连续分布，连续型随机变量设随机变量X 的分布函数为()x F ，如果存在非负可积函数()x p ，使得，有，则称为连续型随机变量，称为的概率密度函数，简称密度函数（probability density function, 常缩写为pdf）。
(R x ∈)R x ∈∀()()∫∞−=xdt t p x F X ()x p X ()1=∫+∞∞−dx x p 。
例6. 均匀分布 +∞<<<∞−b a()[]⎪⎩⎪⎨⎧∈−=其他,1b a X ab x p ，()⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥<≤−−<=bx b x a a b a x a x x F 1例7. 指数分布 0>λ()⎩⎨⎧>≤=−0,0,0x ex x p x λλ()⎩⎨⎧>−≤=−0100x e x x F xλ指数分布实例：假设一种电子元件的寿命随机变量，对已使用了X t 小时的元件，在以后小时内失效的概率为t Δ()t o t Δ+Δλ，其中λ为不依赖的常数，称为失效率，求该元件寿命的分布函数。
t由题设有 ()()t o t t X t t X P Δ+Δ=>Δ+≤λ|， 记()()t X P t f >=()()()()()()()()t X t t X P t X P t X t t X P t X P t X t t X P t t X P t t f >Δ+≤−>=>Δ+>>=>Δ+>=Δ+>=Δ+|1 |,()()()[]()()()()()()t f dtt df o t f t t f t t f t o t t f t t f λλλ−=⇒+−=Δ−Δ+⇒Δ+Δ−=Δ+⇒11考虑，有，()10=f ()t e t f λ−=()()()x e x X P x X P x F λ−−=≥−=≤=11。
五．既非离散型也非连续型的随机变量例8. ()⎪⎩⎪⎨⎧≥<≤+<=11102100x x x x x F X ()⎩⎨⎧≥<=01001x x x F ， ，()⎪⎩⎪⎨⎧≥<≤<=111002x x x x x F ()()()()x F x F x F X 2121+=, ()x F X 在0=x 间断，在连续递增。
0>x 六．几个常用的分布（二项分布，泊松分布，正态分布，几何与负二项分布）伯努利(Bernoulli)试验：一随机试验有两个基本结果，记为事件A 和A ，，()p A P =()q A P =，。
1=+q p 1. 二项分布将伯努利试验独立地重复次，比如连续投掷次硬币、连续n 次射击等，基本结果（过程）有种，为n n n 2X A 出现的次数，则X 的分布为:⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛n kp p p p p n k L LL L 21210， 其中 , kn k k q p k n p −⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛=n k ,,1,0=。
此分布即称为二项分布，记为。
为(的二项展开系数。
(p n b X ,~)))k p nq p +(p n b ,等价于个独立同分布(independent identically n distribution, 常常缩写为i.i.d.)的0-1分布随机变量之和。
()()()()q k pk n p n p p n p k k 1,,1+−=+，随着的增大，分布的峰值点逐渐右移。
p 例9. 甲、乙两棋手约定进行10局比赛，每局棋甲获胜的概率是0.6，乙获胜的概率为0.4。
如果各局比赛独立进行，试问甲获胜、战平和失败的概率？X 表示甲获胜的局数，则()6.0,10~b X()()6330.04.06.010510106=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛=>=−=∑kk k k X P P 甲胜, ()()1663.04.06.01051040=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛=<=−=∑kk k k X P P 乙胜, ()()2007.04.06.0510555=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛===X P P 战平。
几何分布与负二项分布()p A P =。
考虑伯努利试验第一次成功时的试验次数()p Ge X ~ 几何分布()()p p k X P k ⋅−==−11，L ,2,1=k第r 次成功时的试验次数()p r Nb X ,~ 负二项分布()()r kp p r k r k r XP −⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−−+=+=111， L ,2,1,0=k ()(kr k r q p k r q p k k r k r X P −⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−+=+=1)， p q −=1 ()()()1100=−=−⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−=+=−∞=∞=∑∑r rk k rk q p q k r pk r X P补充材料：5！误差2%, 10！误差0.8%, 100！误差0.08%. 证明: , 由于单调，有n n ln 2ln 1ln !ln +++=L x ln ∫∫+−<<11ln ln ln k kkk xdx k xdx ，（n k ≤≤1），⇒ ∫∫+<<111ln !ln ln n nxdx n xdx ()()n n n n n n n −++<<−1ln 1!ln ln令⎥⎦⎤⎢⎣⎡−⎟⎠⎞⎜⎝⎛+−=n n n n d n ln 21!ln ，则()()242112112511231112111211ln 21n n n n n n d d n n <++++=−⎟⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎜⎝⎛+−++⎟⎠⎞⎜⎝⎛+=−+L C d n =lim n ∞→ ⇒ n n Ce ne n −+21~!。
2. （既非连续也非离散的奇异型分布） 康托（Cantor）分布⎟⎠⎞⎜⎝⎛=32,311C ， ⎟⎠⎞⎜⎝⎛⎟⎠⎞⎜⎝⎛=98,9792,912U C ，⎟⎠⎞⎜⎝⎛⎟⎠⎞⎜⎝⎛⎟⎠⎞⎜⎝⎛⎟⎠⎞⎜⎝⎛=2727,27252720,2719278,277272,2713U U U C ，L =4C定义函数 ()L ,,n x k k C x k x x F n n n21 01,20 21201=⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>≤<∈−<=−个子集时，的第当, 所有，，的长度和为 n C L ,2,1=n 131231231231lim 1322=⎟⎠⎞⎜⎝⎛⋅++⋅+⋅+−∞→n n n L 。
给(内剩余的点赋值使满足递增，则)1,0()x F ()x F 符合分布函数的定义。
为()xF连续函数。
由于几乎处处有 ()()0=′=x F x p ， 。
所以由定义的随机变量既非离散型也非连续型。
()0=∫∞∞−dx x p ()x F。