数学模型在现代机械设计中的运用
数学在机械工程中的应用
数学在机械工程中的应用机械工程是应用数学的重要领域之一，数学的运算和原理在机械工程中起着至关重要的作用。
无论是在机械设计、生产制造、还是在机械控制等领域，数学都扮演着不可或缺的角色。
本文将探讨数学在机械工程中的应用及其重要性。
一、数学在机械设计中的应用在机械设计过程中，数学为工程师提供了有效且准确的工具，使他们能够解决各种设计问题。
例如，数学中的几何学原理可以帮助工程师绘制物体的三维模型和进行空间分析。
此外，线性代数和矩阵运算也常用于机械设计中的结构分析和强度计算。
通过数学的方法，设计师可以预测和分析物体在不同条件下的受力情况，从而确保设计的可靠性和安全性。
二、数学在机械生产制造中的应用在机械生产制造中，数学被广泛应用于各个环节。
首先，在计划和排程阶段，需要使用数学建模方法对生产过程进行优化。
例如，运筹学和线性规划等数学工具可用于优化生产资源的利用，最大程度地减少成本和时间。
其次，当机械产品被制造出来时，需要进行质量控制。
统计学和概率论等数学方法可用于对生产过程中的变异性进行分析，帮助实现产品的稳定质量。
三、数学在机械控制中的应用机械控制是指通过各种方式对机械系统进行监测和控制，以实现特定的动作或性能要求。
在机械控制中，数学模型和控制算法扮演着重要的角色。
例如，在自动控制系统中，微积分可用于描述和分析系统的动态响应，并通过PID控制方法实现对机械系统的精确控制。
此外，离散数学和逻辑学也广泛应用于机械控制中的逻辑控制和开关逻辑设计。
四、数学在机械仿真中的应用机械仿真是指利用计算机模拟机械系统的运动和性能。
在机械仿真中，数学方法被用于构建机械系统的数学模型，并通过数值计算和仿真来预测其运动和响应。
例如，有限元分析方法（FEM）可以通过将连续物体离散为有限个单元来分析机械系统的应力分布和变形情况。
其他数值计算方法，如数值优化和计算流体动力学（CFD），也常被用于机械系统的性能改进和优化。
总结起来，数学在机械工程中的应用广泛而重要。
数学在机械中的应用
数学在机械中的应用弘深机械班冯时雨20114032恩格斯曾经指出，数学研究现实世界中的数量关系与空间形式，即数与形。
因为数与形在事物中无处不在，因而数学作为研究数与形的学科，也就自然而然地成为一切科学甚至技术的基础。
其次，数学所研究的数与形，是植根于现实世界的。
因此，从数学研究中所获得的各种理论与方法，也就自然而然地在实际中获得多种多样的应用。
数学正是从为解决实际中呈现的多种多样的问题而成长起来，并将丰富了的新工具进而解决实际中更复杂更艰深的新问题。
从古代的马车、牛车逐渐到蒸汽机再到近代的各种交通工具乃至航天领域，没有那一个能离开数学而单独发展，正是由于数学的不断发展才带动了其他各个学科领域的发展。
一个国家的机械工业的技术水平和现代化程度决定着整个国民经济的水平和现代化程度，而随着生产的发展和科学技术的进步，机械设计的优劣对机械零件质量的好坏越来越起着决定性的作用，而且产品的迅速更新换代，也要求设计的过程大大缩短。
因此，对机械设计实际问题进行优化，本质上是运用计算机快速高质量地完成传统设计的“评价——再设计”过程。
貌似机械设计与数学毫无关联，但为了完成人机对话，第一步也是最重要的一步就是必须将机械设计实际问题数学化，即抽象成为优化设计的数学模型；第二步是应用最优化计算方法的程序在计算机上求解这个数学模型。
这完全体现出了机械制造设计与数学是密切相关的。
通过查阅相关资料，现介绍数学应用的几个有代表性的实例。
一、勾股定理的应用勾股定理在几何中运用广泛，帮助我们解决很多几何图形的问题，当然，在机械专业中很多零部件的平面图也都是几何图形构成，当然也离不开勾股定理的运用。
例如图中部件当求宽的时候就要用到。
二、三角函数的应用直角三角形中边与角的关系，即三角函数关系：三角函数的基础知识看起来很简单，但是性质和应用却非常广泛，尤其在机械工业中求工件的尺寸和角度。
三、参数方程和极坐标在机械应用在机械传动中，用主动齿轮带动从动齿轮是常见的．设主动齿轮的节圆半径为r，从动齿轮的节圆半径为R，求主动齿轮上的一点A，相对于从动齿轮的运动轨迹如图3．解：如图3所示，圆O代表主动齿轮，圆O’代表从动齿轮，取xOy为固定的直角坐标系，而在从动齿轮上取坐标系x’O’y’ ,x’O’y’固定在从动齿轮上，当从动齿轮转动时，x’O’y’也一起转动。
建模与仿真在机械设计中的作用
建模与仿真在机械设计中的作用在现代机械设计领域，建模与仿真技术起到了至关重要的作用。
它们不仅能够提升机械设计的效率，还能够降低开发成本，并帮助工程师更好地理解和优化设计。
本文将讨论建模与仿真在机械设计中的作用，并探讨其未来的发展前景。
一、建模的重要性建模是机械设计的第一步。
通过将实际物体抽象为数学模型，工程师可以更好地理解其工作原理和行为。
在建模过程中，工程师需要将物体的几何外形、材料特性、力学特性等进行量化和参数化，并运用数学方程和物理原理来描述其行为。
通过建模，工程师可以对设计进行精确的分析和计算，为后续的仿真和优化打下基础。
建模的一个重要应用领域是结构分析。
通过将机械结构进行几何和材料特性的建模，工程师可以预测结构在不同工况下的应力、变形等特性。
这对于机械结构的优化设计和强度验证非常重要。
同时，建模还可以应用于流体力学分析、热传导分析等领域，为工程师提供详尽的设计指导。
二、仿真的作用仿真是建模的延伸和应用，是机械设计中必不可少的一环。
通过将建模后的物体放入仿真软件中，工程师可以模拟真实的工作环境和工况，预测设计在不同条件下的性能表现。
仿真可以提供直观的结果和反馈，帮助工程师分析和评估设计的可行性和优劣，并为后续的优化提供依据。
仿真在机械设计中的应用广泛，其中之一是运动仿真。
通过考虑各种约束条件和输入条件，工程师可以模拟机械装置的实际运动过程。
在仿真过程中，工程师可以精确地测量位移、速度、加速度等参数，并进一步评估其对系统性能的影响。
这对于设计具有复杂运动轨迹或需要精确配合的机械装置至关重要。
另一个重要的仿真应用是工艺仿真。
在机械制造过程中，工程师可以使用仿真软件模拟和优化工艺流程。
通过考虑材料性能、切削力、热传导等因素，工程师可以预测制造过程中可能出现的问题，并提前做出调整和改进。
这可以显著减少制造中的错误和浪费，并提高产品质量和生产效率。
三、建模与仿真的未来发展随着科技的不断进步，建模与仿真技术将在机械设计领域发挥更加重要的作用。
数学在机械工程中的应用
利其器者善其事——数学在机械专业中的应用XXX〔**学院2008***********专业********〕摘要：机械工程中的多问题的解决都需要数学知识，特别是应用数学的知识。
计算机技术的开展，很多工程问题可用电脑快速解决，但仍需要数学能力。
一个工程技术人员面临的实际问题的原貌并不以简化或抽象的形式出现，必须经过细致深人的分析，合理的抽象概括选用适宜的数学工具才能转化为清晰的数学模型。
关键词：机械专业；数学；计算机；数学模型恩格斯曾经指出，数学研究现实世界中的数量关系与空间形式(以下简称数与形)。
因为数与形在事物中无处不在，因而数学作为研究数与形的学门，也就自然而然地成为一切科学甚至技术的根底。
数学是一种典型的脑力劳动。
但由于数学思维具有其他思维式所没有的简洁、明确、密、清晰等优点，因而非常适合解决像机械制造这类行业中所遇到的各种问题。
18世纪以前，进展机械制作，与科学几乎无关。
但到了18～19世纪就逐渐形成围绕机械工程的根底理论。
动力机械最先与科学相结合，而这当中数学功不可没。
如蒸汽机的创造人T.萨弗里和瓦特应用物理学家D.帕和J.布莱克的理论，物理学家S.卡诺、W.J.M.兰金和开尔文在蒸汽机实践的根底上建立起一门新的学科——热力学等。
19世纪初，研究机械中机构构造和运动等的机构学第一次列为高等工程学院〔巴黎的工艺学院〕的课程。
从19世纪后半期起已开场设计计算考虑材料的疲劳。
随后断裂力学、实验应力分析、有限元法、数理统计、电子计算机等相继被用在设计计算中，因而数学在机械的开展过程中起到了举足轻重的地位。
机械专业知识外表上看起来是由独立的容形成，有系统的知识体系，但仔细研究，不难发现这些专业理论知识很多都是和数学知识相联系的，特别是应用数学，没有数学做为有利工具，很多专业面的问题根本无从解决。
比方机械工程中机械零件的强度计算、齿轮穿动与带传动、工厂管理计算中的切削用量计算、生产本钱的计算等都需要数学的帮助。
数学建模技术在工程设计中的应用
数学建模技术在工程设计中的应用数学建模技术是指将现实问题转化为数学问题，并通过数学方法进行分析和求解的过程。
它已经成为解决实际问题的一种重要手段。
在工程设计中，数学建模技术发挥着不可替代的作用，可以提高设计效率、降低开发成本、提高产品竞争力。
一、数学建模技术在工程设计中的应用介绍1. 非线性优化模型非线性优化模型是数学建模技术中经常使用的一种模型。
在工程设计中，非线性优化模型可以应用于产品设计、工艺设计、资源配置等方面。
例如，有一个生产线需要进行最优的设备配置，此时可以使用非线性优化模型对设备的数量、型号、排列方式进行优化，使得生产线的生产效率最大化。
2. 计算机辅助设计(CAD)计算机辅助设计(CAD)是一种在计算机的帮助下进行图形化设计的技术。
CAD广泛应用于机械设计、建筑设计、电子设计等领域。
在工程设计领域中，CAD可以通过数学建模技术实现对复杂结构进行辅助设计，实现三维模型的自动生成，提高设计的质量和效率。
3. 数据分析与回归分析数据分析与回归分析是指对数据进行收集、分析、解释和预测的过程。
在工程设计中，数据分析与回归分析可以进行产品设计和市场预测。
例如，对于新产品的市场销售预测，可以通过数据分析和回归分析来预测其销售量，进而提供更为准确的市场预测结果。
二、数学建模技术在工程设计中的应用案例1. 飞机机翼设计飞机机翼的设计是一项复杂的工作，涉及到多个因素的影响。
在飞机机翼设计中，数学建模技术可以应用于翼型的优化设计、翼面上的空气流动分析、机翼的力学强度分析等方面。
通过数学建模技术的应用，可以提高机翼的设计性能，并且减少机翼的重量，从而提高飞机的飞行效率。
2. 铁路运输系统优化设计铁路运输是一种大众化的交通方式，对换乘效率和列车安全性有着极高的要求。
在铁路运输系统的优化设计中，数学建模技术可以应用于列车调度优化、铁路运输线路优化、列车制动力学分析等方面。
通过数学建模技术的应用，可以提高铁路系统的效率和安全性，减少列车运行成本。
数学在机械工程中的应用
利其器者善其事——数学在机械专业中的应用XXX（**学院 2008***********专业 ********）摘要：机械工程中的许多问题的解决都需要数学知识，特别是应用数学的知识。
计算机技术的发展，很多工程问题可用电脑快速解决，但仍需要数学能力。
一个工程技术人员面临的实际问题的原貌并不以简化或抽象的形式出现，必须经过细致深人的分析，合理的抽象概括选用合适的数学工具才能转化为清晰的数学模型。
关键词：机械专业；数学；计算机；数学模型恩格斯曾经指出，数学研究现实世界中的数量关系与空间形式(以下简称数与形)。
因为数与形在事物中无处不在，因而数学作为研究数与形的学门，也就自然而然地成为一切科学甚至技术的基础。
数学是一种典型的脑力劳动。
但由于数学思维具有其他思维方式所没有的简洁、明确、严密、清晰等优点，因而非常适合解决像机械制造这类行业中所遇到的各种问题。
18世纪以前，进行机械制作，与科学几乎无关。
但到了18～19世纪就逐渐形成围绕机械工程的基础理论。
动力机械最先与科学相结合，而这当中数学功不可没。
如蒸汽机的发明人T.萨弗里和瓦特应用物理学家D.帕潘和J.布莱克的理论，物理学家S.卡诺、W.J.M.兰金和开尔文在蒸汽机实践的基础上建立起一门新的学科——热力学等。
19世纪初，研究机械中机构结构和运动等的机构学第一次列为高等工程学院（巴黎的工艺学院）的课程。
从19世纪后半期起已开始设计计算考虑材料的疲劳。
随后断裂力学、实验应力分析、有限元法、数理统计、电子计算机等相继被用在设计计算中，因而数学在机械的发展过程中起到了举足轻重的地位。
机械专业知识表面上看起来是由独立的内容形成，有系统的知识体系，但仔细研究，不难发现这些专业理论知识很多都是和数学知识相联系的，特别是应用数学，没有数学做为有利工具，很多专业方面的问题根本无从解决。
比如机械工程中机械零件的强度计算、齿轮穿动与带传动、工厂管理计算中的切削用量计算、生产成本的计算等都需要数学的帮助。
数学在机械设计中的应用实践
数学在机械设计中的应用实践在现代机械设计领域，数学作为一种强有力的工具被广泛应用。
从设计到优化，数学的应用使得机械产品更加精确、可靠和高效。
本文将从几个方面探讨数学在机械设计中的实际应用。
一、数学建模数学建模是机械设计的基石之一。
通过将繁杂的实际问题转化为数学模型，可以对设计过程进行定量描述和分析。
例如，在机械运动学中，通过利用几何学和向量分析，可以建立运动参数与轴承精度之间的关系，从而优化设计方案。
此外，通过应用微积分和微分方程，可以对机械系统的动力学特性进行建模，并根据问题需求进行模拟和预测。
二、结构分析数学在机械结构分析中起到重要的作用。
通过应用刚体力学和弹性力学等学科，可以计算机械结构在受力情况下的变形和应力分布情况。
这对于机械零件的强度评估和结构安全性分析至关重要。
例如，通过应用材料力学和数值计算方法，可以计算机械零件的变形、扭矩和刚度等参数，以确保设计满足使用要求。
三、优化设计数学优化方法在机械设计中得到了广泛应用。
通过数学优化算法，可以对设计方案进行自动化搜索和优化，以达到最佳性能。
例如，在机械结构设计中，可以根据数学模型建立设计目标函数，通过迭代计算和参数调整，不断寻找最优设计方案。
这样可以大大提高设计效率和工作质量。
四、数值仿真数值仿真是机械设计中不可或缺的环节。
通过利用数学建模和数值计算方法，可以对机械系统进行仿真模拟。
这对于设计验证和问题排查起到关键作用。
例如，在机械动力学仿真中，可以通过数值计算求解机械系统的运动轨迹、速度和加速度等参数，并进一步分析系统的稳定性和可靠性。
综上所述，数学在机械设计中具有重要的实际应用。
无论是建立数学模型、分析结构强度、优化设计还是进行数值仿真，数学都扮演着至关重要的角色。
随着科技的不断发展，数学在机械设计中的应用将日益广泛，为人类创造更加精密和高效的机械产品提供有力支持。
1500字完。
有限元法在机械设计中的应用
有限元法在机械设计中的应用
有限元法（Finite Element Method，简称FEM）是一种利用数值计算方法解决复杂的连续介质问题的数学模型和计算方法。
1. 结构分析：有限元法可以用于分析各类机械结构的变形和应力分布情况。
在机械
设计中，通过对机械零部件进行有限元分析，可以在设计阶段发现结构的弱点和不足之处，指导后续的结构优化设计，并确保设计的安全可靠。
2. 模态分析：有限元法可以用于分析结构的固有频率和模态形态。
在机械设计中，
通过模态分析可以了解结构的固有频率，避免与外界的激励频率发生共振，提高结构的工
作稳定性和可靠性。
3. 疲劳分析：有限元法可以用于分析材料的疲劳寿命。
在机械设计中，通过对机械
零部件进行疲劳分析，可以预测结构在长期使用过程中存在的疲劳问题，指导材料的选择
和结构的改进，延长机械的使用寿命。
4. 流体力学分析：有限元法可以用于分析流体在机械结构中的流动特性和压力分布
情况。
在机械设计中，通过流体力学分析可以优化流体的流通路径和传热效果，提高机械
设备的工作效率。
有限元法在机械设计中的应用，可以通过数值计算的方法对机械结构的性能进行预测
和评估。
通过有限元法的应用，可以提前发现和解决结构中的问题，指导优化设计，提高
机械设备的性能和可靠性。
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东北大学研究生考试试卷考试科目：课程编号：阅卷人：考试日期：姓名：学号：注意事项1．考前研究生将上述项目填写清楚2．字迹要清楚，保持卷面清洁3．交卷时请将本试卷和题签一起上交东北大学研究生院数学模型在现代机械设计中的应用1.概述现代机械设计是在继承和发展传统设计方法的基础上，融合了现代的科学理论和科学技术的成果而形成的，是以设计产品为目标的一个知识群体的总称。
目前，现代机械设计已经发展成为一门新兴的综合性、交叉性学科。
同时，几乎所有的工程问题，特别是是现代设计问题，都是与数学模型紧密联系在一起的。
建立合理的数学模型，是解决设计问题的关键所在。
总体来讲，现代机械设计对数学模型的要求是：（1）数学模型要能在满足各种限制条件下准确和可靠地说明设计问题所要实现的目标，计算过程稳定，计算结果可靠，从而实现设计方案。
（2）所建立的数学模型要与当前计算机软硬件发展水平相适应，在算法上容易处理。
本文将重点介绍在实践中应用非常广泛的两种现代设计方法，既机械最优化设计和机械可靠性设计，并简要说明相应的数学建模问题。
2.机械优化设计人们在长期的生产实践中，很早就已经应用数学方法解决了诸如给定周长求其所围面积最大的问题、给定表面积求其所围体积最大的问题。
实际上，这些问题就是最优化问题的雏形。
在第二次世界大战以前，处理最优化问题主要应用古典的微分法和变分法。
二战后，由于军事上的需要产生了运筹学，为古典法所解决不了的最优化问题提供了新的思路。
20世纪50年代发展起来的数学规划理论为现代最优化设计奠定了理论基础。
20世纪60年代，最优化方法开始应用于机械设计领域，并取得了长足的发展。
总的来说，建立合理的数学模型，是解决机械最优化设计的关键。
在机械最优化设计建模及求解过程中，应注意下列几方面的问题。
2.1设计变量的选择设计变量是可能影响设计质量和设计结果的可变参数,在机械优化设计中, 设计变量是标志各零、部件的结构参数、尺寸大小的用来绘制结构图的各种设计参数, 是优化设计的最直接、最有价值的内容。
在优化设计的数学模型中, 设计变量数量选择的越多, 尽管可以淋漓尽致地描述问题,但也可能使建模变得更加困难,导致难以求解；反过来说, 设计变量过少, 有时就难以得到最佳的设计结果。
因此,合理选择一定数量的设计变量不仅影响到模型的规模和建模的难度,也直接关系到优化结果能否令人满意,一般应遵循如下原则:（1）抓主要, 舍次要对性能和结构影响较大的参数建议选为设计变量,对设计目标影响甚微的某些参数甚至可以不予考虑,总的原则是在保证优化效果的前提下,使数学模型尽可能简单。
（2）注意区分独立变量和相关变量所谓独立变量是指在边界约束范围内和模型中其取值不受其它变量取值变化的影响的参数,即具有相对独立性的变量。
在工程实际问题中,有些参数的取值受到其它参数的影响或相互之间存在一定影响,这些参数称为相关变量。
大多数情况下相关变量的相关性能通过函数关系式进行准确地表述,但如果数学上从设计变量中消去相关变量存在困难,则也可以将相关变量作为设计变量,但必须要附加相应的状态方程,即补充等式约束函数。
（3）不要漏掉必要的设计变量由于借助于计算机自动计算的优化设计方法作为一种高效率的现代设计方法,在数学建模时,就要求对影响设计要求的各种因素通盘考虑、统一规划,不漏掉必要的设计变量,这样才能得到高质量的成功的优化结果。
2.2目标函数的建立目标函数是以设计变量表示设计所要追求的某种性能指标的解析表达式, 目标函数的构造与选择, 关系到优化结果的实用性,从不同角度出发或根据设计对象和要求的不同, 可能有若干个目标函数可供选择,在实际的优化设计中, 应根据所设计机械系统和结构的具体性质和应用场合,从若干个候选条件中筛选出最合理的标准作为目标函数, 一般没有量化的原则和规律可以遵循, 但根据以往机械优化设计的许多案例作参考。
2.3约束条件的确定产品的设计过程通常对设计变量有各种限制, 这些限制用函数的形式反映在模型中, 就称为设计变量的约束条件, 或简称为设计约束。
在机械设计领域, 设计的限制是多种多样的,但一般都归属于两大类,第一类称为性态约束,是预测可能被破坏或失效的特征,性态约束具体表现为设计对象的某项性能指标, 因而一般性态约束也可以当作目标函数来处理。
从计算角度上讲,性态约束的检验相对容易处理, 因此可利用目标函数和设计约束相互置换的特点, 根据具体问题的具体要求,更加灵活地处理和利用。
第二类称为边界约束,用来规定设计变量的取值范围。
不论是哪一类的约束条件,为了能定量处理,都必须是可计算的函数,在确定约束函数时应特别注意以下几点:(1) 避免出现矛盾约束。
各种约束构成的可行域,优化模型一旦形成,求解的任务就是在可行域内寻找最优解,若有矛盾约束,很有可能使可行域成为空集。
(2) 避免可行域无界。
一般说来,可行域应是n 维空间中的闭域,如图所示在可行域为开域(无界)时,若目标函数值向无界方向下降,且趋于∞,就不可能找到极值点。
(3)尽量避免等价约束(多余约束) 和相关约束。
在建立较为复杂的模型时, 往往出于工程上的保险考虑,总力图加入尽量多的约束,以保证不出现难以预料和实施的优化结果。
另一种是相关约束, 即一个约束是其它几个约束的某种组合(线性或非线性),也导致不必要的约束增多,实际上相关约束也是一种特殊的多余约束, 可能导致广义函数的性态变差,从而收敛困难。
(4)不能漏掉必须的约束。
剔除多余约束的前提是要对约束是否多余有充分的把握,否则不要轻易这样做,必须的约束不能遗漏。
因为漏掉必不可少的约束而导致设计失败的例子并不少见,优化设计工作者要从中吸取教训。
2.4优化结果的处理与分析优化设计方法和其它的设计方法一样,是一种解决复杂问题的工具,而不是解决问题的原则。
在优化设计中,建立正确的数学模型和选用适当的优化方法固然是取得正确设计结果的先决条件,但绝非充要条件。
由于工程问题的复杂性, 在优化求解后,还必须依据初始数据、中间结果和最终结果进行认真对比、分析, 以查明优化计算过程是否正常和最终结果是否具有合理性和可行性。
目标函数的最优值是对计算结果分析的重要依据。
将它与原始方案的目标函数值作比较,可以看出优化设计比原设计方案改进的效果。
若多给几个不同的初始点进行计算, 从其结果可大致看出全局最优解。
利用目标函数值的几组中间输出数据作曲线或列表,可查看其最优化过程进行的是否正常。
对于大多数机械优化设计问题,最优解往往位于一个或几个不等式约束条件的约束界面上,其约束函数值应等于或接近于零。
若约束函数值全部不接近于零,即其所有的约束条件都不起作用,这时必须进一步研究所给约束条件对该设计问题是否完善、所取得的最优解是否正确。
如有错误, 可尝试改变初始点甚至重新选择优化方法重新进行计算。
在机械优化设计的实际应用中,其最后的分析与处理,常常是不容忽视的,特别是对设计变量的敏感度分析对进一步提高工程优化设计的质量很有意义。
3.机械可靠性设计可靠性是产品的重要质量指标。
产品的质量指标包括：性能、可靠性、经济性和安全性四个方面。
性能是指产品出厂时（t=0）应具有的质量特性；可靠性则是指产品出厂后（t>0）所表现出来的一种质量特性，是产品性能的延伸和扩展。
机械可靠性是可靠性学科中的重要部分。
1961~1975，美国关于可靠性军用标准陆续问世，可靠性技术开始向非军事产品、民用产品扩展，标志着可靠性理论体系正式形成。
20世纪70年代，可靠性工程以较快的步伐深入到机械设备产品中。
可靠性设计以概率论的相关知识为基础，将设计变量看作是服从于某一分布的随机变量，并在此基础上建立数学模型进而求解。
3.1机械可靠性设计的数学模型可靠性设计的数学基础是概率论。
则依据概率论建立了可靠性设计的数学模型——应力-强度干涉模型。
在进行机械强度可靠性设计或分析时, 考虑到变量的不确定性, 认为机械零部件的设计变量（如载荷、几何尺寸及其它影响因素等）和强度参量（如材料的机械性能, 影响零件强度的尺寸系数、形状系数、表面质量系数及工作环境影响系数等）都是随机变量, 遵守某一分布规律, 并且可以求得合成的应力s的分布函数f(s)和强度的分布密度函数f(σ)，如图1所示。
图1 应力-强度分布的干涉模型图中的阴影部分表示干涉分布区当应力s大于强度σ时,零部件就要发生破坏。
图中阴影面积内的任一点,应力s大于强度σ,所以干涉分布区的面积表示零部件产生破坏的。
零部件可靠度的定义是:对于应力s所有的可能值, 强度σ均大于应力s的概率。
概率Pf的关系为:显然, 可靠度R与失效破坏概率PfR=P ( s ≤σ )=1 - P f运用应力-强度干涉模型，可得到如下可靠度计算公式：R=P ( s ≤σ )当机械零部件的应力和强度分布已知,即密度函数f(s)和f(σ) 已知时,应用上式就可计算出零部件的可靠度。
3.2可靠性数学模型分析机械设备的可靠性在很大程度上取决于机件或某一系统的可靠性。
提高设备的可靠性就必须从提高每一个机件的可靠性入手,强调所有机件在整机使用寿命内的最佳无故障配合。
无论何种失效形式,如果用数学模型来描述,可表述为：失效故障的发生仅随运行时间的增加而上升；失效故障的发生与设计参数及标准有关。
所谓可靠性是指系统在规定的条件下和规定的时间内完成规定功能的能力。
如果用“概率”来量度这一“能力”,就是可靠度,用R(t)表示。
累积失效概率是指机械产品在规定的条件下和规定的时间内失效的概率,常用P f表示。
这样以来，就可以方便的运用概率论的相关结论建立系统的可靠性数学模型。
通过对大量机件故障案例的分析与研究,发现在排除设备的偶然性故障(如外力作用造成的故障)的前提下,随着设备使用时间的推移及老化, 其故障模型主要有6种,如图2所示。
对这6种模型进一步分析研究后,得出了以下结论:在寿命期内,前3种(A,B,C)[图2(a)～(c)]故障模型为与使用时间相关的故障,主要适用于那些非常简单的零部件和设备,尤其是存在直接接触磨损或接触腐蚀介质的。
后3种(D,E,F)[图2(d)～(f)]为与使用年限不相关的故障。
一般来讲,部件越复杂或越简单,它就越可能服从于故障模型E,F,即存在于设备或部件复杂程度两极。
D,E,F这3种模型的主要特征是设备运行初期以后的一段时间内与可靠性设计没有多少关系或根本无关。
像这类部件往往在其使用寿命内都不发生故障,如一旦发生故障,往往是不可再修复的。
如机座、集成部件、飞轮等这些要么特别简单,要么特别复杂的部件。
造成这些部件出现故障而失效的原因,往往是与设计过程中的参数、标准有关,与疲劳、刚度、强度有关。
图2 六种故障模型。