第4课时 相似三角形的判定定理3
22.2 第4课时 相似三角形的判定定理3
第4课时相似三角形的判定定理3知识点1三边成比例的两个三角形相似1．若一个三角形的三边长分别为a＝3，b＝4，c＝5，另一个三角形的三边长分别为a′＝8，b′＝6，c′＝10，则这两个三角形()A．都是直角三角形，但不相似B．都是直角三角形，也相似C．都是钝角三角形，也相似D．都是锐角三角形，也相似2．在小正方形的网格中，下列四个选项中的三角形，与如图22－2－43所示的△ABC 相似的是()图22－2－43图22－2－443．在△ABC中，AB＝1.5，AC＝2，BC＝3.在△A′B′C′中，A′B′＝3，B′C′＝4.5，A′C′＝________时，△ABC与△A′B′C′相似．4．要判定△ABC∽△A′B′C′，已知条件ABA′B′＝BCB′C′，还要添加一个条件__________(填角的关系)或__________(填边的关系)．5．教材例1变式依据下列各组条件，说明△ABC和△A′B′C′是否相似．(1)AB＝10 cm，BC＝8 cm，AC＝16 cm，A′B′＝16 cm，B′C′＝12.8 cm，A′C′＝25.6 cm；(2)∠A＝80°，∠C＝60°，∠A′＝80°，∠B′＝40°；(3)∠A＝40°，AB＝8，AC＝15，∠A′＝40°，A′B′＝16，A′C′＝30.6．如图22－2－45，∠AOB＝90°，OA＝OB＝BC＝CD.请找出图中的相似三角形，并说明理由．图22－2－45知识点2运用判定定理3证明结论或求线段和角7．若△ABC的每条边长均增加各自的10%得△A′B′C′，则∠B′的度数与其对应角∠B 的度数相比()A．增加了10% B．减少了10%C．增加了(1＋10%) D．没有改变8．如图22－2－46，已知ABAD＝BCDE＝ACAE，∠BAD＝20°，求∠CAE的度数．图22－2－469．教材习题22.2第7题变式已知△ABC的三边长分别是2，2，10.△A′B′C′有一边长是1，另外两边长分别是下列哪组数值时，这两个三角形相似()A.2， 5B.5，2 2C.5，2 5D.10，2 510．在如图22－2－47所示的5×5方格中，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点称为格点，以格点为顶点的三角形叫格点三角形．在如图所示的方格中，作格点三角形和△ABC相似，则所作的格点三角形的最小面积和最大面积分别为()图22－2－47A．0.5，2.5 B．0.5，5C．1，2.5 D．1，511．如图22－2－48①，点O 在△ABC 内，连接AO ，BO ，CO ，点A ′，B ′，C ′分别在AO ，BO ，CO 上，且AB ∥A ′B ′，BC ∥B ′C ′.(1)求证：△ABC ∽△A ′B ′C ′；(2)若将点O 移至△ABC 外，如图②，补充图形．若其他条件不变，(1)中要求证的结论还成立吗？如果成立，请换一种判定方法证明结论．图22－2－4812．如图22－2－49，点B ，D ，E 在一条直线上，BE 与AC 相交于点F ，AB AD ＝BC DE ＝ACAE .(1)求证：∠BAD ＝∠CAE ；(2)若∠BAD ＝21°，求∠EBC 的度数； (3)连接EC ，求证：△ABD ∽△ACE .图22－2－4913．如图22－2－50，方格纸中每个小正方形的边长均为1，△ABC和△DEF的顶点都在方格纸的格点上．(1)判断△ABC和△DEF是否相似，并说明理由；(2)P1，P2，P3，P4，P5，D，F是△DEF边上的7个格点，请在这7个格点中选取三个格点作为三角形的顶点，使构成的三角形与△ABC相似．(要求写出2个符合条件的三角形，并在图中连接相应线段，不必说明理由)图22－2－50教师详解详析1．B2．A[解析] 设小正方形网格的长度为单位1，利用勾股定理计算出三角形各边的长，由小到大求出三边的比即可判断；另外后三个选项都是直角三角形，与△ABC的形状不符合．3．2.25[解析] 1.5∶2∶3＝3∶4∶6，而3∶4.5＝2∶3＝4∶6.4．∠B＝∠B′ACA′C′＝ABA′B′⎝⎛⎭⎫或ACA′C′＝BCB′C′5．解：(1)∵ABA′B′＝1016＝58，BCB′C′＝812.8＝58，ACA′C′＝1625.6＝58，∴ABA′B′＝BCB′C′＝ACA′C′，∴△ABC∽△A′B′C′.(2)∵∠A＝80°，∠C＝60°，∴∠B＝180°－80°－60°＝40°. ∵∠A′＝80°，∠B′＝40°，∴∠A＝∠A′，∠B＝∠B′，∴△ABC∽△A′B′C′.(3)∵ABA′B′＝816＝12，ACA′C′＝1530＝12，∴ABA′B′＝ACA′C′.又∵∠A＝∠A′＝40°，∴△ABC∽△A′B′C′. 6．解：△ABC∽△DBA.理由如下：设OA＝OB＝BC＝CD＝x.根据勾股定理，得AB＝x2＋x2＝2x，AC＝x2＋（2x）2＝5x，AD＝x2＋（3x）2＝10x.∵BCAB＝x2x＝22，ABBD＝2x2x＝22，AC AD＝5x10x＝22，∴BCAB＝ABBD＝ACAD，∴△ABC∽△DBA. 7．D8．解：∵ABAD＝BCDE＝ACAE，∴△ABC∽△ADE.∴∠BAC＝∠DAE，∴∠BAC－∠DAC＝∠DAE－∠DAC，即∠BAD＝∠CAE，∴∠CAE＝20°.9．A10．B[解析] 如图所示，△DEF和△GHI分别是面积最小和面积最大的三角形．△ABC 的三边之比为2∶2∶10＝1∶2∶5，△DEF的三边之比为1∶2∶5，△GHI的三边之比为10∶20∶50＝1∶2∶5，故△ABC∽△DEF∽△GHI.11．解：(1)证明：∵AB∥A′B′，BC∥B′C′，∴△OA′B′∽△OAB，△OB′C′∽△OBC，∠A′B′C′＝∠ABC，∴A′B′AB＝OB′OB＝B′C′BC，∴△ABC∽△A′B′C′.(2)补充图形如图所示，(1)中的结论仍成立．证明如下：∵AB∥A′B′，BC∥B′C′，∴OA′OA＝OB′OB＝OC′OC.又∵∠A′OC′＝∠AOC，∴△OA′C′∽△OAC，∴A′C′∥AC.根据平行线的性质，可得∠ABC＝∠A′B′C′，∠BAC＝∠B′A′C′，∴△ABC∽△A′B′C′.12．解：(1)证明：∵ABAD＝BCDE＝ACAE，∴△ABC∽△ADE，∴∠BAC＝∠DAE，∴∠BAC－∠DAF＝∠DAE－∠DAF，即∠BAD＝∠CAE.(2)∵△ABC∽△ADE，∴∠ABC＝∠ADE.又∵∠ABC＝∠ABE＋∠EBC，∠ADE＝∠ABE＋∠BAD，∴∠EBC＝∠BAD＝21°.(3)证明：连接EC，如图．∵ABAD＝ACAE，∴ABAC＝ADAE.又由(1)知∠BAD＝∠CAE，∴△ABD∽△ACE.13．解：(1)△ABC和△DEF相似．理由：根据勾股定理，得AB＝2 5，AC＝5，BC＝5.同理，DE＝4 2，DF＝2 2，EF＝2 10.∵ABDE＝ACDF＝BCEF＝104，∴△ABC∽△DEF.(2)答案不唯一，下面6个三角形中的任意2个均可：△DP2P5，△P5P4F，△DP2P4，△P5P4D，△P4P5P2，△FDP1. 在图中连接相应线段略．。
第4课时 相似三角形的判定定理3
“用好课堂40分钟最重要。我的经验是，哪怕 是再简单的内容，仔细听和不上心，效果肯 定是不一样的。对于课堂上老师讲解的内容， 有的同学觉得很简单，听讲就不会很认真， 但老师讲解往往是由浅入深的，开始不认真， 后来就很难听懂了；即使能听懂，中间也可 能出现一些知识盲区。高考试题考的大多是 基础知识，正就是很多同学眼里很简单的内 容。”常方舟告诉记者，其实自己对竞赛试 题类偏难的题目并不擅长，高考出色的原因 正在于试题多为基础题，对上了自己的“口 味”。
D
A 1
2
E
证明： AB = AC = BC ， B
C
AD AE DE
△ABC∽△DEF.
ADE = ABC.
1 = 2.
语文
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附赠 中高考状元学习方法
前言
高考状元是一个特殊的群体，在许多 人的眼中，他们就如浩瀚宇宙里璀璨夺目 的星星那样遥不可及。但实际上他们和我 们每一个同学都一样平凡而普通，但他们 有是不平凡不普通的，他们的不平凡之处 就是在学习方面有一些独到的个性，又有 着一些共性，而这些对在校的同学尤其是 将参加高考的同学都有一定的借鉴意义。
曹杨二中高三(14)班学生
班级职务：学习委员
高考志愿：北京 大学中文系
高考成绩：语文121分数学146分
英语146分历史134分
综合28分总分
575分
(另有附加分10
分)
上海高考文科状元--常方舟
“我对竞赛题一样发怵”
总结自己的成功经验，常方舟认为学习的高 效率是最重要因素，“高中三年，我每天晚 上都是10:30休息，这个生活习惯雷打不动。 早晨总是6:15起床，以保证八小时左右的睡 眠。平时功课再多再忙，我也不会‘开夜 车’。身体健康，体力充沛才能保证有效学 习。”高三阶段，有的同学每天学习到凌晨 两三点，这种习惯在常方舟看来反而会影响 次日的学习状态。每天课后，常方舟也不会 花太多时间做功课，常常是做完老师布置的 作业就算完。
4.4.3相似三角形的判定定理3教案
3.增加课堂互动，鼓励学生提问和分享解题思路，以提高他们的逻辑思维和表达能力。
4.对于学习困难的学生，制定个性化的辅导计划，确保他们能够跟上课程进度。
-针对难点，教师应采用以下教学方法：
-使用动态几何软件或实物模型，帮助学生直观感受相似三角形的形成过程。
-设计阶梯式问题，引导学生逐步理解判定定理3的每个要素。
-通过小组讨论和同伴互助，让学生在互动中解决难点问题。
-提供多层次的练习题，让学生在不同的难度级别上反复练习，逐步突破难点。
四、教学流程
（一）导入新课（用时5分钟）
然而，我也意识到教学过程中存在的一些不足。例如，对于一些理解能力较弱的学生，我可能需要提供更多的个别辅导和额外的练习机会。此外，我也应该考虑引入更多的直观教具或多媒体资源，来帮助那些对几何图形感知能力较弱的学生。
在未来的教学中，我计划在以下几个方面进行改进：
1.强化学生对定理条件的记忆，通过反复练习和复习，确保他们能够熟练掌握。
3.成果展示：每个小组将向全班展示他们的讨论成果和实验操作的结果。
（四）学生小组讨论（用时10分钟）
1.讨论主题：学生将围绕“相似三角形判定定理3在实际生活中的应用”这一主题展开讨论。他们将被鼓励提出自己的观点和想法，并与其他小组成员进行交流。
2.引导与启发：在讨论过程中，我将作为一个引导者，帮助学生发现问题、分析问题并解决问题。我会提出一些开放性的问题来启发他们的思考。
-着重讲解如何从给定的信息中识别出符合判定定理3的条件，并运用这一条件判断三角形是否相似。
-通过典型例题和练习题，强化学生对定理3的记忆和应用能力。
-举例：给定三角形ABC和三角形DEF，如果∠A=∠D，∠B=∠E，且AB/DE=AC/DF，则证明三角形ABC与三角形DEF相似。
相似三角形判定定理3
4 .判定定理2：两边对应成比例且夹角相等
的两三角形相似.
1.任意画一个△ABC，再画一个△A`B`C`，使它的各边长都 是原来三角形各边长的Ｋ倍。
三边对应成比例
2.度量这两个三角形的对应角，它们相等吗？
相等
3 .这两个三角形相似吗？与同桌交流一下，看看是否有同 样的结论。
AB AC BC
AD AE DE
B`
AB AC BC
A
D
∴ DE BC , EA CA .
BC BC CA CA
因此 DE BC, EA CA .
∴△ADE≌△ ABC
∴△ ABC∽△ABC
B
A` C`
E C
A
B
C
A′
几何语言描述：
AB AC BC AB AC BC
∴△ABC ∽△A′B′C′
4cm
5cm
3共角
∴ ∠BAC- ∠3 =∠DAE-∠3 ∴ ∠1 =∠2
A
2 13
D
E C
4.要做两个形状相同的三角形框架,其中一个三角形框架
的三边的长分别为4、5、6,另一个三角形框架的一边长为 2,请你想一想应该怎样选择材料可使这两个三角形相似？ 你选的材料唯一吗？
解：设另一个三角形的另两边的长分别为x、y
这两个三角形相似。
已知:如图△ABC和△ABC中, AB AC BC
求证:△ABC∽△A`B`C`
AB AC BC
证明:在△ABC的边AB(或延长线)上截取AD=A′B′,
过点D作DE∥BC交AC于点E.
∴ △ADE∽△ABC , ∴ ∵ AD AB, AD AB
AB AB
27.2.1 第4课时 相似三角形的判定定理3
利用两角判定三角形相似
直角三角形相似的判定
THANKS
则AB=kA'B'，AC=kA'C'
由勾股定理得
∴
∴
∴
Rt△ABC∽ Rt△A'B'C'.
1.在 Rt△ABC 和 Rt△A′B′C′ 中，∠C=∠C′=90°，依据下列各组条件判定这两个三角形是否相似.(1) ∠A=35°，∠B′=55°： ；(2) AC=3，BC=4，A′C′=6，B′C′=8： ；(3) AB=10，AC=8，A′B′=25，B′C′=15： .
符号语言：
归纳：
例1 如图，Rt△ABC中，∠C=90°，AB=10，AC=8.E是AC上一点，AE=5，ED⊥AB,垂足为D,求AD的长.
解：∵ ED⊥AB， ∴ ∠EDA=90°. 又∠C=90 °， ∠A=∠A， ∴△AED∽△ABC. ∴
在△ABC 与△A'B'C'中，如果满足∠B=∠B＇，∠C=∠C＇，那么能否判定这两个三角形相似？
猜想：△ABC∽△A'B'C'
问题1： 度量 AB，BC，AC，A′B′，B′C′，A′C′ 的长，并计算出它们的比值. 你有什么发现？
一、两角分别相等的两个三角形相似
探究
与同伴合作，一人画 △ABC，另一人画 △A′B′C′，使∠A=∠A′=40°，∠B=∠B′=55°，探究下列问题：
第二十七章 相 似
27.2.1 相似三角形的判定
第4课时 两角分别相等的两个三角形相似
27.2 相似三角形
1. 探索两角分别相等的两个三角形相似的判定定理.2. 掌握利用两角来判定两个三角形相似的方法，并能进行相关计算. (重点、难点)3. 掌握判定两个直角三角形相似的方法，并能进行相关计算.
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是 否
（大对大，小对小，中对中）
练习
2.已知ABC的三边长分别为6cm，7.5cm，9cm，△DEF的 一边长为4cm，当△DEF的另两边长是下列哪一组时，这 两个三角形相似 （ C ） A. 2cm，3cm； B. 4cm，5cm； C. 5cm，6cm； D. 6cm，7cm .
解 ∵△ABC的三边长分别为6cm，7.5cm，9cm,
D A
1
求证：∠1=∠2.
AB AC BC 证明： = = ， AD AE DE △ABC∽△DEF. ADE = ABC . 1 = 2.
2 E
B C
还可以根据相似三角形 的判定定理2，来证明这两 个直角三角形相似.
练习 1. 已知△ABC和 △DEF,根据下列条件 判断它们是否相似.
(1) AB=3， BC=4， AC＝6 DE＝6， EF＝8， DF＝9
否
(2) AB=4， BC=8， AC＝10 DE＝20， EF＝16， DF＝8
(3) AB=12， BC=15， AC＝24 DE＝16， EF＝20， DF＝30
从而 BC2 = AB2-AC2 =(2 AB)2-(2 AC )2 = 4 AB 2 – 4 AC 2 =4( AB2- AC 2) 2 2 = 4 BC =(2BC ) . 由此得出，BC = 2BC .
BC =1= AB= AC . 从而 BC 2 AB AC
BC=8cm，AC=10cm，A′B′=18cm，B′C′=24cm， A′C′=30cm．试判定△ABC与△A′B′C′是否相似， 并说明理由.
解：∵
AB A'B'
=
6 18
=
1 3
BC 8 1 = = B ' C ' 24 3
AC 10 1 = = A ' C ' 30 3 AB AC BC = = A' B ' A 'C ' B 'C '
因此△ AB C ∽△ABC.
(三边对应成比例的两个三角形相似)
说一说
在例2的证明中，还可以根据哪个判定定理说明 △ ABC ∽ △ABC ？
例2 如图，在 Rt△ABC 与 Rt△ABC 中， ∠C =∠C ′= 90°，且 AB= AC = 1 AB AC 2 求证：△ ABC∽△ABC.
证明： B
D, E , F 分别为OA,OB,OC的中点， 1 1 1 DE = AB , EF = BC , DF = AC . 2 2 2 DE EF DF 1 = = = . AB BC AC 2 △ABC∽△DEF.
A D O F
C
练习
AB AC BC 5.如图， = = , AD AE DE
∴△ABC∽△ A ' B ' C '
(三边对应成比例的两个三角形相似)
例2 如图，在 Rt△ABC 与 Rt△ ABC 中， ∠C =∠C ′= 90°，且 AB= AC =1 AB AC 2 求证：△ ABC ∽△ABC.
证明：由已知条件得 AB= 2 AB , AC = 2AC .
若△DEF的三边长分别为4cm，5cm，6cm,
∵
6 = 3 , 7.5 = 3 , 9 = 3 , 5 2 6 2 4 2
∴应选择C.
练习 3.如图，在正方形网格上有A1 B1C1和A2 B2C2，
它们相似吗？如果相似，求出相似比；如果 不相似，请说明理由.
解：它们相似， 相似比为2:1
练习 4.如图,O为△ABC内一点，D、E、F 分别是OA、OB、OC中点. 求证：△ABC∽△DEF. E
3.4.1 相似三角形的判定
第4课时 相似三角形的判定定理3
探究
A
三组对应边成 比例
A’
B
C
B’
C’
A'B' B'C' A'C' = = AB BC AC
是否有 △ABC∽△A’B’C’？
动脑筋
请同学们利用刻度尺在所发的方格上任意画一 个三角形,再画一个三角形，注意使它的三条边都 是第一个三角形的三边长的相同倍数，然后用量角 器量一量它们的三个角，看看对应角是否相等，你
能得出什么结论吗?理由是什么？
与你的同伴交流，大家的结论一样吗？
结论
相似三角形的判定定理3 如果一个三角 形的三条边与另一个三角形的三条边对 应成比例，那么这两个三角形相似．
如果
图 18.3.3
AB = A'B'
BC AC = A'C' B'C&B'C'
例1 在△ABC和△A′B′C′中，已知：AB=6cm，