2016-2017学年湘教版高中数学必修一：2.3、幂函数课件5
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高一数学《幂函数》PPT课件
根据n, m, p的取值不同，图像形状各 异。
03
幂函数运算规则与技巧
同底数幂相乘除法则
01
02
03
同底数幂相乘
底数不变，指数相加。公 式：a^m × a^n = a^(m+n)
同底数幂相除
底数不变，指数相减。公 式：a^m ÷ a^n = a^(m-n)
举例
2^3 × 2^4 = 2^(3+4) = 2^7；3^5 ÷ 3^2 = 3^(5-2) = 3^3
在幂函数中，指数a可以取任意实数，但不同的a值会导致函数性质的不
同。学生需要注意区分不同a值对应的函数性质。
02 03
函数定义域
幂函数的定义域与指数a的取值有关。例如，当a≤0时，函数定义域为 非零实数集；当a>0且a为整数时，函数定义域为全体实数集。学生需 要注意根据指数a的取值来确定函数的定义域。
计算圆的面积
$S=pi r^2$，$r$为圆半 径，利用幂函数表示圆的 面积与半径关系。
增长率、衰减率问题中应用
细菌增长模型
假设细菌以固定比例增长，则细 菌数量与时间关系可用幂函数表
示。
放射性物质衰变
放射性物质衰变速度与剩余质量 之间的关系可用幂函数描述。
投资回报计算
投资回报率与时间关系可用幂函 数表达，用于预测未来收益。
利用积的乘方法则进行化简
如(ab)^n = a^n × b^n
举例
化简(x^2y)^3 ÷ (xy^2)^2，结果为x^4y
04
幂函数在生活中的应用举例
面积、体积计算中应用
计算正方形面积
$S=a^2$，其中$a$为正 方形边长，利用幂函数表 示面积与边长关系。
湘教版高一数学必修第一册全册课件【完整版】
第1章 集合与函数
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1.1.1 集合的含义和表示
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1.1.2 集合的包含关系
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湘教版高一数学必修第一册全册 课件【完整版】目录
0002页 0064页 0115页 0175页 0211页 0257页 0289页 0291页 0322页 0375页 0401页 0403页 0405页 0407页 0409页 0411页 0457页
第1章 集合与函数 1.1.2 集合的包含关系 1.2.1 对应、映射和函数 1.2.2 表示函数的方法 1.2.3 从图像看函数的性质 1.2.5 函数的定义域和值域 1.2.7 二次函数的图像和性质——增减性和最值 数学实验 第2章 指数函数、对数函数和幂函数 阅读与思考 2.1.1 指数概念的推广 2.2.1 对数的概念和运算律 2.2.3 对数函数的图像和性质 2.3.2 幂函数的图像和性质 2.4.1 方程的根与函数的零点 数学实验 2.5.1 几种函数增长快慢的比较
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1.2.2 表示函数的方法
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数学实验
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1.2 函数的概念和性质
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1.2.1 对应、完整版】
阅读与思考
高中数学必修一幂函数ppt课件
收益预测
幂函数可以用于预测收益，例如产品的销售量与价格的关系。
05
总结与回顾
本章重点回顾
1 2 3
幂函数的定义
了解幂函数的定义以及形式，明确幂函数的定 义域和值域。
幂函数的性质
熟悉幂函数的单调性、奇偶性、周期性等性质 ，并能够根据这些性质进行简单的计算和推理 。
幂函数的应用
掌握幂函数在生活中的应用，如利用幂函数解 决实际问题、利用幂函数进行优化等。
总结词
理解幂函数的复合运算是提高数学运算能力的重要途径
详细描述
复合运算是指将多个函数或表达式结合起来，形成更复杂的函数或表达式。 在幂函数的学习中，我们需要通过理解幂函数的复合运算，掌握其运算规律 和技巧，提高我们的数学运算能力。
幂函数的指数运算
总结词
掌握幂函数的指数运算是学习高中数学的重要内容
详细描述
指数运算是一种特殊的运算方式，在幂函数的学习中占据着重要的地位。通过学 习和掌握幂函数的指数运算，我们可以更好地理解和应用幂函数，为后续学习对 数函数等其他数学内容打下坚实的基础。
04
幂函数的实际应用
利用幂函数解决实际问题
求解实际问题
幂函数可以用于求解实际问题，例如物理学中的光的强度、 电流、电压等，以及生物学中的细胞分裂等。
2023
高中数学必修一幂函数ppt 课件
目录
• 引言 • 幂函数概述 • 幂函数的运算性质 • 幂函数的实际应用 • 总结与回顾
01
引言
课程背景介绍
幂函数作为基本初等函数之一，是学习高等数学和其他数学 分支的基础。
在日常生活中，幂函数的应用也非常广泛，如计算增长率、 人口增长等。
课程目标与内容
03
幂函数可以用于预测收益，例如产品的销售量与价格的关系。
05
总结与回顾
本章重点回顾
1 2 3
幂函数的定义
了解幂函数的定义以及形式，明确幂函数的定 义域和值域。
幂函数的性质
熟悉幂函数的单调性、奇偶性、周期性等性质 ，并能够根据这些性质进行简单的计算和推理 。
幂函数的应用
掌握幂函数在生活中的应用，如利用幂函数解 决实际问题、利用幂函数进行优化等。
总结词
理解幂函数的复合运算是提高数学运算能力的重要途径
详细描述
复合运算是指将多个函数或表达式结合起来，形成更复杂的函数或表达式。 在幂函数的学习中，我们需要通过理解幂函数的复合运算，掌握其运算规律 和技巧，提高我们的数学运算能力。
幂函数的指数运算
总结词
掌握幂函数的指数运算是学习高中数学的重要内容
详细描述
指数运算是一种特殊的运算方式，在幂函数的学习中占据着重要的地位。通过学 习和掌握幂函数的指数运算，我们可以更好地理解和应用幂函数，为后续学习对 数函数等其他数学内容打下坚实的基础。
04
幂函数的实际应用
利用幂函数解决实际问题
求解实际问题
幂函数可以用于求解实际问题，例如物理学中的光的强度、 电流、电压等，以及生物学中的细胞分裂等。
2023
高中数学必修一幂函数ppt 课件
目录
• 引言 • 幂函数概述 • 幂函数的运算性质 • 幂函数的实际应用 • 总结与回顾
01
引言
课程背景介绍
幂函数作为基本初等函数之一，是学习高等数学和其他数学 分支的基础。
在日常生活中，幂函数的应用也非常广泛，如计算增长率、 人口增长等。
课程目标与内容
03
幂函数课件必修1-PPT课件
3 y 1 y x 2
2
(
( 1 ( -
- - 6 - 4 2 2 4 6
-1
(-
x -3 -2 -1 1 2 3
-2
y x1 -1/3 -1/2 -1 1 1/2 1/3
-3
-4
( 4 y x 3 ( y x 2
3 y 1 y x 2
2
(
( 1 ( y x - -
- - 6 - 4 2 2 4 6
\ \0 … -1/3 -1/2 -1 \ 1 1/2 1/3 …
4
3
2
1
(1,1)
-6
-4
-2
-1
(-1,-1)
-2
2
4
6
-3
-4
x -3 -2 -1 0 1 2 3 4
y=x2 9 4 1 0 1 4 9 3
y=x
2
1
(1,1)
-6
-4
-2
2
4
6
-1
(-1,-1)
-2
-3
-4
(-2,4)
4
3
2
(2,4) y=x
1
(-1,1)
(1,1)
-6
-4
-2
2
4
6
-1
(-1,-1)
-2
-3
-4
(-2,4 4 )
3
(2,4) y x 2 =
y=x
2
(-1 1 ,1 (1 ) ,1)
-6
-4
-2
2
4
6
-1
(-1,-1)
x -2 -3 -2 -1 0 1 2 3 -3y=x3 -27 -8 -1 0 1 8 27
2
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( 1 ( -
- - 6 - 4 2 2 4 6
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x -3 -2 -1 1 2 3
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y x1 -1/3 -1/2 -1 1 1/2 1/3
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( 4 y x 3 ( y x 2
3 y 1 y x 2
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( 1 ( y x - -
- - 6 - 4 2 2 4 6
\ \0 … -1/3 -1/2 -1 \ 1 1/2 1/3 …
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x -3 -2 -1 0 1 2 3 4
y=x2 9 4 1 0 1 4 9 3
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(2,4) y=x
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(1,1)
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(-2,4 4 )
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(2,4) y x 2 =
y=x
2
(-1 1 ,1 (1 ) ,1)
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x -2 -3 -2 -1 0 1 2 3 -3y=x3 -27 -8 -1 0 1 8 27
湘教版高中数学必修一课件：2.3《幂函数的性质》(必修1)
公共点
（1，1）
幂函数y x的性质：
(1)所有的幂函数在(0,+∞)都有定义,并且图象都通 过点(1,1); (2)如果 0,则幂函数的图像过原点，并且在区间
[0,)上是增函数；
(3)如果〈0，则幂函数在区间(0,)上是减函数
例1、证明幂函数 增函数。
f ( x) 在x
[0,上是)
探究5：在同一坐标系中作出幂函数
1
y x, y x2 , y x3 , y x 2 , y x1
的图象。
几何画板 EXCEL
探究6： （探究性质）请同学们结合幂函数图象（课
本第86页图2.3.1），将你发现的结论填在下面（课本
第86页） 的表格内：
y = x y = x2
y = x3
收获与体会
请大家回味建立幂函数模型、定义幂函数及推导幂函数性质 的过程，你觉得有什么收获？
x2
（3）y=x2 + x （4）y 5 x3
（5）y = 2x
答案（1）（4）
2、已知幂函数y = 数的解
析式。
1
待定系数法
y x2
3、如果函数
f (x) = (m2－m－1) x m 是幂函数，
求实数m的值。
m= -1 或 m= 2
二、幂函数性质的探究： 对于幂函数，我们只讨论α=1，2，3， 1，–1 时的
2 情形。
1
即：y x, y x 2 , y x 3 , y x 2 , y x 1
探究4：结合前面指数函数与对数函数的方法，我们应如何 研究幂函数呢？
作具体幂函数的图象→观察图象特征→总结函数性质
高中数学课件
（金戈铁骑 整理制作）
高一数学人必修一课件第二章幂函数
感谢观看
THANKS
性质
一次幂函数具有比例性质 ，即y/x=n（常数），且 增减性与n的正负有关。
二次幂函数
定义
形如y=ax^2+bx+c（a≠0 ）的函数。
图像
二次幂函数的图像是一条 抛物线，对称轴为x=b/2a，顶点坐标为(b/2a,(4ac-b^2)/4a)。
性质
二次幂函数具有对称性、 有界性和单调性等性质， 其增减性取决于a的正负和 x的取值范围。
自由落体运动的位移
自由落体运动中，物体下落的位移h与时间t的关系可以表示为h=1/2gt^2（g为 重力加速度）。这个关系式是一个幂函数，其中指数为2。
经济生活中应用举例
复利计算
在金融领域，复利是一种计算利息的方法。假设本金为P，年利率为r，经过n 年后，本金和利息的总和为A=P(1+r)^n。这个公式中的(1+r)^n部分就是一 个幂函数。
06
练习题与课堂互动环节
练习题选讲
题目一
求函数$y = x^{2}$在 区间$[1,2]$上的最大值 和最小值。
题目二
判断函数$y = x^{3}$ 在$R$上的单调性，并 证明。
题目三
已知函数$y = x^{-2}$ ，求其在点$(1,1)$处的 切线方程。
学生自主函数的奇偶性？
高一数学人必修一课
件第二章幂函数
汇报人：XX
20XX-01-22
• 幂函数基本概念与性质 • 常见幂函数类型及其特点 • 幂函数在生活中的应用举例 • 幂函数与指数、对数等其他类型
函数关系探讨 • 求解幂函数相关数学问题方法技
巧总结 • 练习题与课堂互动环节
目录
01
高中数学 231,232幂函数的概念 幂函数的图象和性质课件 湘教版必修1
2
3
(4)y＝x－5; (5)y＝x－3； (6)y＝x－4.
解 (1)y＝x6 的定义域是 R，值域是[0，＋∞)．
(2)y＝x35＝5 x3的定义域是 R，值域是 R.
(3)y＝x14＝4 x的定义域是[0，＋∞)，值域是[0，＋∞)．
(4)y＝x－5＝x15的定义域是{x|x∈R 且 x≠0}，值域是{y|y∈R，
幂函数．
第十四页，共33页。
【变式1】 下列函数中哪些是幂函数：
(1)y＝x12；
4
(4)y＝(x－2)5；
(2)y＝21x； (3)y＝32x； (5)y＝1; (6)y＝x0；
(7)y＝－2·4x; (8)y＝ 1 . 5 x2
解 (1)是幂函数，因为 y＝x12＝x－2； (2)不是幂函数，它是指数函数 y＝12x； (3)不是幂函数，y＝32x＝9x 是指数函数；
第十页，共33页。
α＝qp
α<0
0<α<1
α>1
p、q都 是奇数
q是偶数 p是奇数
q是奇数 p是偶数
第十一页，共33页。
当α>0时，幂函数的图象都经过原点和点(1，1)，在第一象限内， 当0<α<1时，曲线上凸；当α>1时，曲线下凸． (3)幂函数的增减性 在区间(0，＋∞)上，当α>0时，y＝xα是递增(dìzēng)函数；当α<0 时，y＝xα是递减函数． (4)幂函数的奇偶性
∴23－23<π6 －23，即(－23)－23<－π6 －23.
22
22
3
(4)4.15>15＝1，0<3.8－3<1－3＝1，(－1.9)5<0，
课件幂函数_人教版高中数学必修一PPT课件_优秀版
点对称，再由奇偶性的定义判断f(x)的奇偶性． • (4)由奇函数图象关于原点对称，偶函数图象关于y轴对称补充图象．
18
探究二 幂函数的图象
19
解析：
20
探究二 幂函数的图象
21
解析：
22
解析：
• 【解析】在同一坐标系下作出f(x)＝x2和g(x)＝x－2的图象如图所示.由图象可知：
•
①当x>1或x<－1时，f(x)>g(x)；
相同，指数不同时，考虑应用指数函数的单调性；若底数，指数均不相同，考虑借 助中间量“1”“ 0” “－1”进行比较．
29
探究三 幂函数的性质
30
解析：
31
探究三 幂函数的性质
32
解析：
33
探究三 幂函数的性质
34
解析：
即f(－x)＝－f(x)，所以f(x)是奇函数．
若底数相同，指数不同时，考虑应用指数函数的单调性；
f(x)＝x3符合要求，
即f(－x)＝－f(x)，所以f(x)是奇函数．
【解析】因为m∈{x|－2<x<2，x∈Z}，
②当x＝1或x＝－1时，f(x)＝g(x)；
②指数为一常数(也可以为0)．③后面不加任何项．
③当－1<x<1且x≠0时，f(x)<g(x).
C．b<c<a
D．c<a<b
所以m＝－1,0,1.
【解析】因为m∈{x|－2<x<2，x∈Z}，
二、幂函数的图象与性质
【练】若函数y＝(m2－3m＋3)x－5m－3为幂函数，则m＝______.
若底数相同，指数不同时，考虑应用指数函数的单调性；
18
探究二 幂函数的图象
19
解析：
20
探究二 幂函数的图象
21
解析：
22
解析：
• 【解析】在同一坐标系下作出f(x)＝x2和g(x)＝x－2的图象如图所示.由图象可知：
•
①当x>1或x<－1时，f(x)>g(x)；
相同，指数不同时，考虑应用指数函数的单调性；若底数，指数均不相同，考虑借 助中间量“1”“ 0” “－1”进行比较．
29
探究三 幂函数的性质
30
解析：
31
探究三 幂函数的性质
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解析：
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探究三 幂函数的性质
34
解析：
即f(－x)＝－f(x)，所以f(x)是奇函数．
若底数相同，指数不同时，考虑应用指数函数的单调性；
f(x)＝x3符合要求，
即f(－x)＝－f(x)，所以f(x)是奇函数．
【解析】因为m∈{x|－2<x<2，x∈Z}，
②当x＝1或x＝－1时，f(x)＝g(x)；
②指数为一常数(也可以为0)．③后面不加任何项．
③当－1<x<1且x≠0时，f(x)<g(x).
C．b<c<a
D．c<a<b
所以m＝－1,0,1.
【解析】因为m∈{x|－2<x<2，x∈Z}，
二、幂函数的图象与性质
【练】若函数y＝(m2－3m＋3)x－5m－3为幂函数，则m＝______.
若底数相同，指数不同时，考虑应用指数函数的单调性；
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2.3
2.3.2
【课标要求】
1．掌握幂函数的概念．
幂函数
2.3.1 幂函数的概念
幂函数的图象和性质
1 2．熟悉 α＝ 1，2，3， ，－ 1，－ 2 时幂函数 y＝ xα 的图象与性质． 2 3．能利用幂函数的性质来解决一些实际问题．
课前探究学习
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自学导引
1．一般来说，当x为自变量而α为非0实数时，函数y＝xα叫作 幂函数 (α次的)_________(power function)． 一般说来，我们只考虑定义域为[0，＋∞)的分数次幂函数
的幂函数 ． _________
幂函数： 2．
1 1 y＝x，y＝x ，y＝x ，y＝ x，y＝ ，y＝ 2. x x
2 3
代表了幂函数的各种不同类型． x>0 时才能都有 对于一般的非0实数α，幂函数y＝xα只在______ 3． 意义．对于整数次的幂函数，由于图象的对称性，把它们 (0，＋∞) 上的图象和性质说清楚了，其他部分的情形 在__________ 也就很容易了解．
(2)若 f(x)为反比例函数，
数．Biblioteka 课前探究学习课堂讲练互动
预习测评
1．下列函数为偶函数的是
1
( B．y＝x2 D．y＝x3
)．
A．y＝x－1 C．y＝x2
答案
C
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1
2． 当 0<x<1 时， f(x)＝x2， g(x)＝x2， h(x)＝x 2 的大小关系是(
－
)．
A．h(x)<g(x)<f(x)
C．g(x)<h(x)<f(x) 答案 D
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eαlnx ，可见幂函数 注意到当x>0时，有等式xα＝(eln x)α＝_____
的性质都可以归结到指数函数和对数函数的性质．例如，
递增 ；α<0时，xa 由ex和ln x的递增性立刻得知：α>0时xα _____ xα>0 ． 递减 ，由ex恒为正可知x>0时_____ _____
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幂函数的图象最多只能同时出现在两个象限内；
如果幂函数图象与坐标轴相交，则交点一定是原点． (2)幂函数的图象
当指数α＝1时，y＝x的图象是直线；当α＝0时，y＝xα＝
x0＝1是直线(不包括(0，1)点)．除上述特例外，幂函数的 图象都是曲线，如下表.
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(1，1) ，即1α＝1； ①图象都过点_______ 减 函数； ②是递___ y轴 正向无限接近，向右与____ x轴 正向无限接 ③图象向上与____
近．
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自主探究
1．y＝1和y＝x0(x≠0)一样吗？它们都是幂函数吗？ 提示 提示 不一样，y＝1不是幂函数，y＝x0(x≠0)是幂函数． 指数函数y＝ax(a>0且a≠1)的底数a为常数，指数为 幂函数与指数函数有什么区别？ 2． 变量；幂函数y＝xα(α∈R)以幂的底为自变量，指数α为常
q α＝ p
α<0
0<α<1
α>1
p、q都 是奇数
q是偶数 p是奇数
q是奇数 p是偶数
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当α>0时，幂函数的图象都经过原点和点(1，1)，在第一象限
内，当0<α<1时，曲线上凸；当α>1时，曲线下凸．
(3)幂函数的增减性 在区间(0，＋∞)上，当α>0时，y＝xα是递增函数；当α<0时，y＝ xα是递减函数． (4)幂函数的奇偶性
q 令 α＝ (其中 p，q 互素， p 和 q∈N)． p
q
①若 p 是奇数，则 y＝xp的奇偶性取决于 q 是奇数或偶数．当 q 是奇 q 数时，则 y＝xp是奇函数；当 q 是偶数时，则 y＝x 是偶函数．②若 p p
q q
是偶数，则 q 必是奇数，此时 y＝xp既不是奇函数，也不是偶函数．
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典例剖析
题型一 幂函数的概念
xm2＋m－1，m为何值时， 【例1】 已知函数f(x)＝(m2＋2m)· f(x)是(1)正比例函数；(2)反比例函数；(3)二次函数；(4)幂
函数．
解 (1)若
2 m ＋ m－ 1＝ 1， f(x)为正比例函数，则 2 ⇒ m＝ 1. m ＋ 2m≠ 0
增 函数； ②是递___
③图象与直线y＝x有如下关系：
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课堂讲练互动
0<x<1 α>1 0<α<1 在y＝x下方 __________ 在y＝x上方 __________
x>1
在y＝x上方 __________
在y＝x下方 __________
(2)当α<0时，幂函数在区间(0，＋∞)上有如下性质：
p
y＝xq ，这里p是不为0的整数，q是大于1的正整数，并且p ______
互素 ． 和q_____
1 y＝ n ，叫作负整数次的幂函数． 正整数次幂函数的倒数_____ x y＝x－n ，这里n是正整数，x≠0. 一般写成________
课前探究学习 课堂讲练互动
整数次 负整数次的幂函数和正整数次的幂函数，统称为________
B．h(x)<f(x)<g(x)
D．f(x)<g(x)<h(x)
3．当x∈(0，1)时，y＝xp (p∈R)的图象在y＝x的上方，则p的 范围是________．
答案
(－∞，1)
4．已知函数y＝(a2－3a＋3)xa(a为常数)为幂函数，则a＝ ________． 解析 答案 由幂函数定义知a2－3a＋3＝1，解得a＝1或2. 1或2
4．定义在非负数范围内的幂函数y＝xα的定义域只有两种可能： [0，＋∞) ，当α<0时是__________ (0，＋∞) ． 当α>0时是__________ 5．(1)当α>0时，幂函数在区间[0，＋∞)上有如下性质：
(0，0) 和______ (1，1) ，即0α＝0，1α＝1； ①都经过两个点______
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名师点睛
幂函数 (1)幂函数的有关概念与性质
①幂函数y＝xα(α∈R)，其中α为常数，其本质特征是以幂的
底x为自变量，指数α为常数．y＝x＋1，y＝x2－2x等都不是 幂函数．②在(0，1)上，幂函数中指数愈大，函数图象愈靠 近x轴(简记为“指大图低”)，在(1，＋∞)上，幂函数中指数越 大，函数图象越远离x轴．③幂函数的图象一定会出现在第 一象限内，一定不会出现在第四象限，至于是否出现在第 二、三象限内，要看函数的奇偶性；
2.3.2
【课标要求】
1．掌握幂函数的概念．
幂函数
2.3.1 幂函数的概念
幂函数的图象和性质
1 2．熟悉 α＝ 1，2，3， ，－ 1，－ 2 时幂函数 y＝ xα 的图象与性质． 2 3．能利用幂函数的性质来解决一些实际问题．
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自学导引
1．一般来说，当x为自变量而α为非0实数时，函数y＝xα叫作 幂函数 (α次的)_________(power function)． 一般说来，我们只考虑定义域为[0，＋∞)的分数次幂函数
的幂函数 ． _________
幂函数： 2．
1 1 y＝x，y＝x ，y＝x ，y＝ x，y＝ ，y＝ 2. x x
2 3
代表了幂函数的各种不同类型． x>0 时才能都有 对于一般的非0实数α，幂函数y＝xα只在______ 3． 意义．对于整数次的幂函数，由于图象的对称性，把它们 (0，＋∞) 上的图象和性质说清楚了，其他部分的情形 在__________ 也就很容易了解．
(2)若 f(x)为反比例函数，
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预习测评
1．下列函数为偶函数的是
1
( B．y＝x2 D．y＝x3
)．
A．y＝x－1 C．y＝x2
答案
C
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1
2． 当 0<x<1 时， f(x)＝x2， g(x)＝x2， h(x)＝x 2 的大小关系是(
－
)．
A．h(x)<g(x)<f(x)
C．g(x)<h(x)<f(x) 答案 D
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eαlnx ，可见幂函数 注意到当x>0时，有等式xα＝(eln x)α＝_____
的性质都可以归结到指数函数和对数函数的性质．例如，
递增 ；α<0时，xa 由ex和ln x的递增性立刻得知：α>0时xα _____ xα>0 ． 递减 ，由ex恒为正可知x>0时_____ _____
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幂函数的图象最多只能同时出现在两个象限内；
如果幂函数图象与坐标轴相交，则交点一定是原点． (2)幂函数的图象
当指数α＝1时，y＝x的图象是直线；当α＝0时，y＝xα＝
x0＝1是直线(不包括(0，1)点)．除上述特例外，幂函数的 图象都是曲线，如下表.
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(1，1) ，即1α＝1； ①图象都过点_______ 减 函数； ②是递___ y轴 正向无限接近，向右与____ x轴 正向无限接 ③图象向上与____
近．
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自主探究
1．y＝1和y＝x0(x≠0)一样吗？它们都是幂函数吗？ 提示 提示 不一样，y＝1不是幂函数，y＝x0(x≠0)是幂函数． 指数函数y＝ax(a>0且a≠1)的底数a为常数，指数为 幂函数与指数函数有什么区别？ 2． 变量；幂函数y＝xα(α∈R)以幂的底为自变量，指数α为常
q α＝ p
α<0
0<α<1
α>1
p、q都 是奇数
q是偶数 p是奇数
q是奇数 p是偶数
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当α>0时，幂函数的图象都经过原点和点(1，1)，在第一象限
内，当0<α<1时，曲线上凸；当α>1时，曲线下凸．
(3)幂函数的增减性 在区间(0，＋∞)上，当α>0时，y＝xα是递增函数；当α<0时，y＝ xα是递减函数． (4)幂函数的奇偶性
q 令 α＝ (其中 p，q 互素， p 和 q∈N)． p
q
①若 p 是奇数，则 y＝xp的奇偶性取决于 q 是奇数或偶数．当 q 是奇 q 数时，则 y＝xp是奇函数；当 q 是偶数时，则 y＝x 是偶函数．②若 p p
q q
是偶数，则 q 必是奇数，此时 y＝xp既不是奇函数，也不是偶函数．
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典例剖析
题型一 幂函数的概念
xm2＋m－1，m为何值时， 【例1】 已知函数f(x)＝(m2＋2m)· f(x)是(1)正比例函数；(2)反比例函数；(3)二次函数；(4)幂
函数．
解 (1)若
2 m ＋ m－ 1＝ 1， f(x)为正比例函数，则 2 ⇒ m＝ 1. m ＋ 2m≠ 0
增 函数； ②是递___
③图象与直线y＝x有如下关系：
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0<x<1 α>1 0<α<1 在y＝x下方 __________ 在y＝x上方 __________
x>1
在y＝x上方 __________
在y＝x下方 __________
(2)当α<0时，幂函数在区间(0，＋∞)上有如下性质：
p
y＝xq ，这里p是不为0的整数，q是大于1的正整数，并且p ______
互素 ． 和q_____
1 y＝ n ，叫作负整数次的幂函数． 正整数次幂函数的倒数_____ x y＝x－n ，这里n是正整数，x≠0. 一般写成________
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整数次 负整数次的幂函数和正整数次的幂函数，统称为________
B．h(x)<f(x)<g(x)
D．f(x)<g(x)<h(x)
3．当x∈(0，1)时，y＝xp (p∈R)的图象在y＝x的上方，则p的 范围是________．
答案
(－∞，1)
4．已知函数y＝(a2－3a＋3)xa(a为常数)为幂函数，则a＝ ________． 解析 答案 由幂函数定义知a2－3a＋3＝1，解得a＝1或2. 1或2
4．定义在非负数范围内的幂函数y＝xα的定义域只有两种可能： [0，＋∞) ，当α<0时是__________ (0，＋∞) ． 当α>0时是__________ 5．(1)当α>0时，幂函数在区间[0，＋∞)上有如下性质：
(0，0) 和______ (1，1) ，即0α＝0，1α＝1； ①都经过两个点______
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名师点睛
幂函数 (1)幂函数的有关概念与性质
①幂函数y＝xα(α∈R)，其中α为常数，其本质特征是以幂的
底x为自变量，指数α为常数．y＝x＋1，y＝x2－2x等都不是 幂函数．②在(0，1)上，幂函数中指数愈大，函数图象愈靠 近x轴(简记为“指大图低”)，在(1，＋∞)上，幂函数中指数越 大，函数图象越远离x轴．③幂函数的图象一定会出现在第 一象限内，一定不会出现在第四象限，至于是否出现在第 二、三象限内，要看函数的奇偶性；