201X_201X学年高中数学第三章不等式3.2.2一元二次不等式的应用课件新人教A版必修5
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高中数学第三章不等式3.2一元二次不等式及其解法3.2.2一元二次不等式的应用课件新人教A版必修5
题型一
题型三
题型二
【变式训练1】 对一切实数(shìshù)x,关于x的不等式ax2-x+a>0
恒成立,求实数(shìshù)a的取值范围.
解(1)当a=0时,不等式为-x>0,x<0,不满足条件;
> 0,
(2)当 a≠0 时,则有
= 1-42 < 0,
1
解得 a> .
2
综上,实数 a 的取值范围是
易错点:忽略讨论二次项系数而致错
【例3】 关于x的方程ax2-x-a-1=0仅有一个实数根,求实数a的值.
错解由于关于x的方程ax2-x-a-1=0仅有一个实数根,则实数a满足Δ=11
解得 a=− .4a(-a-1)=0,
2
错因分析当a=0时,关于x的方程ax2-x-a-1=0不是一元二次方程,此时不存
1
,+
2
∞ .
第十二页，共17页。
题型一
题型二
题型三
实际应用题
【例2】 政府收购某种农产品的原价是100元/担,其中征税标准为每
100元征10元(叫做税率为10个百分点,即10%),计划(jìhuà)收购a万担;
为了减轻农民的负担,现决定将税率降低x个百分点,预计收购量可增
加2x个百分点.要使此项税收在税率调节后不低于原计划(jìhuà)的
Байду номын сангаас
y=ax2+bx+c
的图象
一元二次方程
ax2+bx+c=0
的根
ax2+bx+c>0
的解集
ax2+bx+c≥0
的解集
高中数学 第3章 不等式 3.2.2 一元二次不等式的应用课件 北师大版必修5
当 7.6<a≤8 时，投资生产乙产品 100 件可获最大年利润．
●思考题 4 某投资商到一开发区投资 72 万元建起一座蔬 菜加工厂，经营中，第一年支出 12 万元，以后每年支出增加 4 万元，从第一年起每年蔬菜销售收入 50 万元．设 f(n)表示前 n 年 的纯利润总和，(f(n)＝前 n 年的总收入－前 n 年的总支出－投资 额 72 万元)，该厂从第几年开始盈利？
结束 语 同学们，你们要相信梦想是价值的源泉，相信成
复习课件
高中数学 第3章 不等式 3.2.2 一元二次不等式的应用课件 北师大版必修5
2．2 一元二次不等式的应用
要点 1 一元二次方程根的分布 数形结合法求解．
要点 2 分式不等式的解法 (1)解分式不等式的基本思想是将分式不等式转化成整式不 等式．即
f（x） ＞0⇔f(x)·g(x)＞0，
6．某蔬菜基地种植西红柿，由历年市场行情得知，从 2 月 1 日起的 300 天内，西红柿市场售价与上市时间的关系如下图的一 条折线表示；西红柿的种植成本与上市时间的关系用图(2)的抛物 线段表示．
(1)写出图①表示的市场售价与时间的函数关系式 P＝f(t)； 写出图②表示的种植成本与时间的函数关系式 Q＝g(t)；
答案 A 解析 原不等式等价于 x(x＋2)(x－3)<0. 结合数轴穿根法(如图)可知：
∴原不等式的解集为{x|x<－2 或 0<x<3}．
5．若关于 x 的二次方程 2(k＋1)x2＋4kx＋3k－2＝0 的两根 同号，求 k 的取值范围．
解析 ∵方程两根同号， 2（k＋1）≠0，
则2Δ（3＝kk＋－（124）k）>20－. 8（k＋1）（3k－2）≥0， 解得－2≤k<－1 或23<k≤1.
●思考题 4 某投资商到一开发区投资 72 万元建起一座蔬 菜加工厂，经营中，第一年支出 12 万元，以后每年支出增加 4 万元，从第一年起每年蔬菜销售收入 50 万元．设 f(n)表示前 n 年 的纯利润总和，(f(n)＝前 n 年的总收入－前 n 年的总支出－投资 额 72 万元)，该厂从第几年开始盈利？
结束 语 同学们，你们要相信梦想是价值的源泉，相信成
复习课件
高中数学 第3章 不等式 3.2.2 一元二次不等式的应用课件 北师大版必修5
2．2 一元二次不等式的应用
要点 1 一元二次方程根的分布 数形结合法求解．
要点 2 分式不等式的解法 (1)解分式不等式的基本思想是将分式不等式转化成整式不 等式．即
f（x） ＞0⇔f(x)·g(x)＞0，
6．某蔬菜基地种植西红柿，由历年市场行情得知，从 2 月 1 日起的 300 天内，西红柿市场售价与上市时间的关系如下图的一 条折线表示；西红柿的种植成本与上市时间的关系用图(2)的抛物 线段表示．
(1)写出图①表示的市场售价与时间的函数关系式 P＝f(t)； 写出图②表示的种植成本与时间的函数关系式 Q＝g(t)；
答案 A 解析 原不等式等价于 x(x＋2)(x－3)<0. 结合数轴穿根法(如图)可知：
∴原不等式的解集为{x|x<－2 或 0<x<3}．
5．若关于 x 的二次方程 2(k＋1)x2＋4kx＋3k－2＝0 的两根 同号，求 k 的取值范围．
解析 ∵方程两根同号， 2（k＋1）≠0，
则2Δ（3＝kk＋－（124）k）>20－. 8（k＋1）（3k－2）≥0， 解得－2≤k<－1 或23<k≤1.
高中数学第三章不等式3.2一元二次不等式及其解法第1课时一元二次不等式的解法课件新人教A版必修5
＝1，b＝－2
B．a＝2，b＝－1
C．a＝－2，b＝2
D．a＝－2，b＝1
解析：因为不等式 ax2＋3x－2>0 的解集为{x|1<x<b}，所以 a<0，且
方程 ax2＋3x－2＝0 的两个根分别为 1 和 b.根据根与系数的关系，得
1＋b＝－3a，b＝－2a，所以 a＝－1，b＝2.
答案：C
[随堂训练]
1．已知不等式
ax2－5x＋b>0
的解集为x
x<－13或x>12，则不等式
bx2－5x＋a>0 的解集为( )
A.x
－13<x<12
C．{x|－3<x<2}
B.x
x<－13或x>12
D．{x|x<－3 或 x>2}
综上所述： 当 a<0 或 a>1 时，原不等式的解集为{x|x<a 或 x>a2}； 当 0<a<1 时，原不等式的解集为{x|x<a2 或 x>a}； 当 a＝0 时，原不等式的解集为{x|x≠0}； 当 a＝1 时，原不等式的解集为{x|x≠1}．
解含参数的一元二次不等式应注意事项 (1)若二次项系数含有参数，则需对二次项系数大于 0 与小于 0 进行 讨论； (2)若求对应一元二次方程的根需用公式，则应对判别式 Δ 进行讨论； (3)若求出的根中含有参数，则应对两根的大小进行讨论； (4)若 ax2＋bx＋c＞0(a＞0)可分解为 a(x－x1)(x－x2)＞0.讨论时只需比 较 x1，x2 大小即可．
3．若不等式 ax2＋5x－2>0 的解集是x
1
B．a＝2，b＝－1
C．a＝－2，b＝2
D．a＝－2，b＝1
解析：因为不等式 ax2＋3x－2>0 的解集为{x|1<x<b}，所以 a<0，且
方程 ax2＋3x－2＝0 的两个根分别为 1 和 b.根据根与系数的关系，得
1＋b＝－3a，b＝－2a，所以 a＝－1，b＝2.
答案：C
[随堂训练]
1．已知不等式
ax2－5x＋b>0
的解集为x
x<－13或x>12，则不等式
bx2－5x＋a>0 的解集为( )
A.x
－13<x<12
C．{x|－3<x<2}
B.x
x<－13或x>12
D．{x|x<－3 或 x>2}
综上所述： 当 a<0 或 a>1 时，原不等式的解集为{x|x<a 或 x>a2}； 当 0<a<1 时，原不等式的解集为{x|x<a2 或 x>a}； 当 a＝0 时，原不等式的解集为{x|x≠0}； 当 a＝1 时，原不等式的解集为{x|x≠1}．
解含参数的一元二次不等式应注意事项 (1)若二次项系数含有参数，则需对二次项系数大于 0 与小于 0 进行 讨论； (2)若求对应一元二次方程的根需用公式，则应对判别式 Δ 进行讨论； (3)若求出的根中含有参数，则应对两根的大小进行讨论； (4)若 ax2＋bx＋c＞0(a＞0)可分解为 a(x－x1)(x－x2)＞0.讨论时只需比 较 x1，x2 大小即可．
3．若不等式 ax2＋5x－2>0 的解集是x
1
高中数学第三章不等式3.2一元二次不等式及其解法(1)课件新人教a版必修5
类型二 “三个二次”间对应关系的应用
例4 已知关于x的不等式x2＋ax＋b<0的解集为{x|1＜x＜2}，试求关于x 的不等式bx2＋ax＋1>0的解集. 解答
由根与系数的关系，可得
－a＝1＋2， b＝1×2，
即ba＝＝2－，3，
∴不等式bx2＋ax＋1>0，即2x2－3x＋1>0.
反思与感悟
将－x2＋2x－3>0转化为x2－2x＋3<0的过程注意符号的变化，这是解本 题关键之处.
跟踪训练2 求不等式－3x2＋6x>2的解集. 解答
不等式可化为3x2－6x＋2<0，
∵Δ＝(－6)2－4×3×2＝12>0，
∴x1＝1－ 33，x2＝1＋ 33，
∴不等式－3x2＋6x>2的解集是 {x|1－
{_x_|_x_<_x_1或__x_>_x_2_}
{x|x≠－ b } 2a
R
{_x_|x_1_<_x_<_x_2_}
∅
_∅_
知识点三 一元二次不等式的解法
思考
根据上表，尝试解不等式x2＋2>3x. 答案
先化为x2－3x＋2>0. ∵方程x2－3x＋2＝0的根x1＝1，x2＝2， ∴原不等式的解集为{x|x<1或x>2}.
因为Δ＝(－4)2－4×4×1＝0， 所以方程4x2－4x＋1＝0的解是x1＝x2＝12 ， 所以原不等式的解集为 x|x≠12 .
反思与感悟
当所给不等式是非一般形式的不等式时，应先化为一般形式，在具体 求解一个一般形式的一元二次不等式的过程中，要密切结合一元二次 方程的根的情况以及二次函数的图象.
由2x2－3x＋1>0，解得x<
高中数学 第三章 不等式 3.2 一元二次不等式及其解法(二)课件 新人教A版必修5.pptx
立⇔ Δ＜0. a＜0 ，
ax2＋bx＋c<0(a≠0)恒成立⇔ Δ＜0.
(2) 分 离 参 数 ， 将 恒 成 立 问 题 转 化 为 求 最 值 问 题 ， 即 ： k≥f(x) 恒 成 立 ⇔ k≥f(x)max ；k≤f(x)恒成立⇔ k≤f(x)min .
8
答案
返回
题型探究
题型一 分式不等式的解法 例1 解下列不等式：
14
解析答案
题型二 解一元高次不等式 例2 解下列不等式： (1)x4－2x3－3x2＜0； 解 原不等式可化为x2(x－3)(x＋1)＜0， 当x≠0时，x2＞0， 由(x－3)(x＋1)＜0，得－1＜x＜3； 当x＝0时，原不等式为0＜0，无解. ∴原不等式的解集为{x|－1＜x＜3，且x≠0}.
5
知识点二 简单的一元高次不等式的解法 一元高次不等式f(x)＞0常用数轴穿根法(或称根轴法、区间法)求解，其 步骤是： (1)将f(x)最高次项的系数化为正数； (2)将f(x)分解为若干个一次因式或二次不可分解因式的积； (3)将每一个根标在数轴上，从右上方依次通过每一点画曲线(注意重根 情况，偶重根穿而不过，奇重根既穿又过)； (4)根据曲线显现出的f(x)值的符号变化规律，写出不等式的解集.
x＋4 (1)3－x＜0；
x＋4
x＋4
解 由3－x＜0，得x－3＞0，
此不等式等价于(x＋4)(x－3)＞0，
∴原不等式的解集为{x|x＜－4或x＞3}.
重点突破
9
解析答案
(2)xx＋－12≤2.
反思与感悟
10
解析答案
A
解析 ∵x2＋x＋1＝x＋122＋34＞0， ∴原不等式⇔x2－2x－2<2x2＋2x＋2⇔x2＋4x＋4>0⇔(x＋2)2>0， ∴x≠－2.∴不等式的解集为{x|x≠－2}.
ax2＋bx＋c<0(a≠0)恒成立⇔ Δ＜0.
(2) 分 离 参 数 ， 将 恒 成 立 问 题 转 化 为 求 最 值 问 题 ， 即 ： k≥f(x) 恒 成 立 ⇔ k≥f(x)max ；k≤f(x)恒成立⇔ k≤f(x)min .
8
答案
返回
题型探究
题型一 分式不等式的解法 例1 解下列不等式：
14
解析答案
题型二 解一元高次不等式 例2 解下列不等式： (1)x4－2x3－3x2＜0； 解 原不等式可化为x2(x－3)(x＋1)＜0， 当x≠0时，x2＞0， 由(x－3)(x＋1)＜0，得－1＜x＜3； 当x＝0时，原不等式为0＜0，无解. ∴原不等式的解集为{x|－1＜x＜3，且x≠0}.
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知识点二 简单的一元高次不等式的解法 一元高次不等式f(x)＞0常用数轴穿根法(或称根轴法、区间法)求解，其 步骤是： (1)将f(x)最高次项的系数化为正数； (2)将f(x)分解为若干个一次因式或二次不可分解因式的积； (3)将每一个根标在数轴上，从右上方依次通过每一点画曲线(注意重根 情况，偶重根穿而不过，奇重根既穿又过)； (4)根据曲线显现出的f(x)值的符号变化规律，写出不等式的解集.
x＋4 (1)3－x＜0；
x＋4
x＋4
解 由3－x＜0，得x－3＞0，
此不等式等价于(x＋4)(x－3)＞0，
∴原不等式的解集为{x|x＜－4或x＞3}.
重点突破
9
解析答案
(2)xx＋－12≤2.
反思与感悟
10
解析答案
A
解析 ∵x2＋x＋1＝x＋122＋34＞0， ∴原不等式⇔x2－2x－2<2x2＋2x＋2⇔x2＋4x＋4>0⇔(x＋2)2>0， ∴x≠－2.∴不等式的解集为{x|x≠－2}.
高二数学必修5第三章 不等式3-2《一元二次不等式及其解法》课件(共25张PPT)
第三章 不等式
3.2 一元二次不等式及其解法
本节主要讲解一元二次不等式的解法。利用网络公司的收费问题 引入新课，比较新颖。问题探究一利用三个二次的关系讲解一元二 次不等式解法。表格演示直观具体强调图像和求根的重要性和数形 结合的数学思想，利用2个例题和1个变式加以巩固，并总结解一元 二次不等式的步骤问题探究二借助一元二次不等式的解法研究分式 不等式和高次不等式的解法,用2个例题和2个变式加以巩固. 问题探 究三是不等式的恒成立问题，通过例5强调了借助图象和讨论参数两 个要点，并且例5是含参问题，需要对参数进行分类讨论，渗透分类 讨论的数学思想。恒成立问题也是高考的一个热点。
C．{x|34≤x＜2}
D．{x|x＜2}
解: 不等式32x－－x1≥1，化为：42x－－x3≥0， ∴34≤x＜2.
例 4、解不等式：(x＋2)(x＋1)(x－1)(x－2)≤0.
解:设 y＝(x＋2)(x＋1)(x－1)(x－2)， 则 y＝0 的根分别是－2，－1,1,2， 将其分别标在数轴上，并画出如图所示的示意图：
高二数学必修5第三章 不等式3-2《一元二次不等式及其解法》课件（共25张PPT）
解一元二次不等式的步骤：
• 化标准：将不等式化成标准形式（右边为0、最高次的系数为正）； • 考虑判别式：计算判别式的值，若值为正，则求出相应方程的两根； • 下结论：注意结果要写成集合或者区间的形式
例2、求函数f (x) 2x2 x 3 log3 (3 2x x2 )的定义域。
解：整理，得 x2 - 2x + 3 < 0 因为△= 4 - 12 = - 8 < 0 方程 2 x2 - 3x – 2 = 0无实数根 所以原不等式的解集为ф
变式、解不等式-2x2+3x+5＞0
3.2 一元二次不等式及其解法
本节主要讲解一元二次不等式的解法。利用网络公司的收费问题 引入新课，比较新颖。问题探究一利用三个二次的关系讲解一元二 次不等式解法。表格演示直观具体强调图像和求根的重要性和数形 结合的数学思想，利用2个例题和1个变式加以巩固，并总结解一元 二次不等式的步骤问题探究二借助一元二次不等式的解法研究分式 不等式和高次不等式的解法,用2个例题和2个变式加以巩固. 问题探 究三是不等式的恒成立问题，通过例5强调了借助图象和讨论参数两 个要点，并且例5是含参问题，需要对参数进行分类讨论，渗透分类 讨论的数学思想。恒成立问题也是高考的一个热点。
C．{x|34≤x＜2}
D．{x|x＜2}
解: 不等式32x－－x1≥1，化为：42x－－x3≥0， ∴34≤x＜2.
例 4、解不等式：(x＋2)(x＋1)(x－1)(x－2)≤0.
解:设 y＝(x＋2)(x＋1)(x－1)(x－2)， 则 y＝0 的根分别是－2，－1,1,2， 将其分别标在数轴上，并画出如图所示的示意图：
高二数学必修5第三章 不等式3-2《一元二次不等式及其解法》课件（共25张PPT）
解一元二次不等式的步骤：
• 化标准：将不等式化成标准形式（右边为0、最高次的系数为正）； • 考虑判别式：计算判别式的值，若值为正，则求出相应方程的两根； • 下结论：注意结果要写成集合或者区间的形式
例2、求函数f (x) 2x2 x 3 log3 (3 2x x2 )的定义域。
解：整理，得 x2 - 2x + 3 < 0 因为△= 4 - 12 = - 8 < 0 方程 2 x2 - 3x – 2 = 0无实数根 所以原不等式的解集为ф
变式、解不等式-2x2+3x+5＞0
高中数学第三章不等式32一元二次不等式及其解法第2课时一元二次不等式的解法的应用课件新人教A版必修
2．含参数一元二次不等式有解的讨论方法 (1)当二次项系数不确定时，要分二次项系数_等__于__零_、 _大__于__零___、_小__于__零___三种情况进行讨论． (2)判别式不确定时，要分判别式大于零、等于零、小 于零三种情况进行讨论． (3)判别式大于零时，只需讨论两根大小．
1．若集合
它的同解不等式为xx－－22≠x0－，5≥0， ∴x＜2 或 x≥5. ∴原不等式的解集为{x|x＜2 或 x≥5}．
【方法规律】1.对于比较简单的分式不等式，可直接转 化为一元二次不等式或一元一次不等式组求解，但要注意分母 不为零．
2．对于不等号右边不为零的较复杂的分式不等式，先 移项再通分(不要去分母)，使之转化为不等号右边为零，然后 再用上述方法求解．
【答案】B
3．不等式x＋x 1≤3 的解集为________． 【答案】x|x＜0或x≥12
4．若函数f(x)＝log2(x2－2ax－a)的定义域为R，则a的 取值范围为________．
【答案】(－1,0) 【解析】已知函数定义域为R，即x2－2ax－a＞0对任意 x∈R恒成立，∴Δ＝(－2a)2＋4a＜0，解得－1＜a＜0.
y＝200a(1＋2x%)(10－x)%＝215a(50＋x)(10－x)(0＜x＜10)． (2)原计划税收为 200a·10%＝20a(万元)．依题意得215a(50
＋ x)(10 － x)≥20a×83.2% ， 化 简 得 x2 ＋ 40x － 84≤0 ， ∴ － 42≤x≤2.又 0＜x＜10，∴0＜x≤2.∴x 的取值范围是{x|0＜ x≤2}．
)
A．x|1t ＜x＜t
B．x|x＞1t 或x＜t
C．x|x＜1t 或x＞t
D．x|t＜x＜1t
高中数学 第三章 不等式 2.2 一元二次不等式的应用课件 北师大版必修5.pptx
fx·gx≤0， gx≠0 ；
fx (3) gx
≥a⇔
fx－agx gx
≥0.
6
知识点二 穿针引线法解高次不等式
思考
分别画出y＝x－1，y＝(x－1)(x－2)，y＝(x－1)(x－2)(x－3)的 图 像 ， 并 观 察 它 们 与 相 应 的 x － 1>0 ， (x － 1)(x － 2)>0 ， (x － 1)(x－2)(x－3)>0的关系. 答案
13
பைடு நூலகம்
反思与感悟
一元二次不等式应用题常以二次函数为模型，解题时要弄清题意，准 确找出其中的不等关系，再利用一元二次不等式求解，确定答案时应 注意变量具有的“实际含义”.
15
跟踪训练1 在一个限速40 km/h的弯道上，甲，乙两辆汽车相向而行， 发现情况不对，同时刹车，但还是相碰了.事发后现场测得甲车的刹车 距离略超过12 m，乙车的刹车距离略超过10 m.又知甲，乙两种车型的 刹车距离S m与车速x km/h之间分别有如下关系：S甲＝0.1x＋0.01x2， S乙＝0.05x＋0.005x2.问谁应负超速行驶主要责任. 解答
10
梳理
一般地，“不等式f(x)>0在区间[a，b]上恒成立”的几何意义是函数y＝ f(x)在区间[a，b]上的图像全部在x轴 上 方.区间[a，b]是不等式f(x)>0的 解集的子集 . 恒成立的不等式问题通常转化为求最值问题，即： 若f(x)有最大值，则k≥f(x)恒成立⇔k≥ f(x)max ； 若f(x)有最小值，则k≤f(x)恒成立⇔k≤ f(x)min .
x－3 (1)x＋2<0； 解答 x－3 x＋2 <0⇔(x－3)(x＋2)<0⇔－2<x<3， ∴原不等式的解集为{x|－2<x<3}.