基本不等式abab专题培训课件
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基本不等式(课件)
比较大小
学习如何比较不等式中的数值大小。
证明基本不等式的方法
数学归纳法
使用数学归纳法证明基本 不等式。
反证法
使用反证法证明基本不等 式。
代入法
使用代入法证明基本不等 式。
基本不等式形式讲解
1
三角不等式
学习三角函数中常用的不等式。
2
均值不等式
介绍均值不等式及其不同形式。
3
柯西-施瓦兹不等式
探讨柯西-施瓦兹不等式及其几何和向量形式。
基本不等式的推广
绝对值不等式
学习利用基本不等式解决绝对值不等式。
积分不等式
探讨基本不等式在积分中的运用。
幂不等式
介绍基本不等式在幂函数中的应用。
例题和练习
例题
通过例题加深对基本不等式的理解。
练习
加强基本不等式的应用能力。
基本不等式的应用
实际应用
了解基本不等式在实际生活中的应用，如经济学、 物理学等领域。
最优化问题
学习如何使用基本不等式解决最优化问题。
概率
探索基本不等式在概率论中的应用。
基本不等式与均值不等式的关系
深入研究基本不等式与均值不等式之间的联系，包括均值不等式是基本不等式的特殊情况，以及它们在 数学推导和证明中的应用。
基式的概念、证明方法以及各种形式的基 本不等式。我们还将探讨基本不等式的应用、与均值不等式的关系以及推广 内容，并提供例题和练习。
不等式的概念
符号表达
学习不等式中的符号表示以及它们在数学中的含 义。
数轴表示
了解如何使用数轴来可视化不等式并确定不等式 的解集。
基本不等式课件(共43张PPT)
02
基本不等式的证明方法
综合法证明基本不等式
利用已知的基本不等式推导
01
通过已知的不等式关系，结合不等式的性质（如传递性、可加
性等），推导出目标不等式。
构造辅助函数
02
根据不等式的特点，构造一个辅助函数，通过对辅助函数的分
析来证明原不等式。
利用数学归纳法
03
对于涉及自然数n的不等式，可以考虑使用数学归纳法进行证明。
分析法证明基本不等式
寻找反例
通过寻找反例来证明某个不等式不成 立，从而推导出原不等式。
利数，可以利用中间值定理 来证明存在某个点使得函数值满足给 定的不等式。
通过分析不等式在极限情况下的性质， 来证明原不等式。
归纳法证明基本不等式
第一数学归纳法
通过对n=1和n=k+1时的情况进行归纳假设和推导，来证 明对于所有正整数n，原不等式都成立。
拓展公式及其应用
要点一
幂平均不等式
对于正实数$a, b$和实数$p, q$，且$p < q$，有 $left(frac{a^p + b^p}{2}right)^{1/p} leq left(frac{a^q + b^q}{2}right)^{1/q}$，用于比较不同幂次的平均值大小。
要点二
切比雪夫不等式
算术-几何平均不等式（AM-GM不等式）：对于非负实数$a_1, a_2, ldots, a_n$，有 $frac{a_1 + a_2 + ldots + a_n}{n} geq sqrt[n]{a_1a_2ldots a_n}$，用于求解最值问题。
柯西-施瓦茨不等式（Cauchy-Schwarz不等式）：对于任意实数序列${a_i}$和${b_i}$，有 $left(sum_{i=1}^{n}a_i^2right)left(sum_{i=1}^{n}b_i^2right) geq left(sum_{i=1}^{n}a_ib_iright)^2$，用于证明与内积有关的不等式问题。
基本不等式公开课课件完整版
4
基本不等式的形式与特点
基本不等式的形式
包括一元一次不等式、一 元二次不等式、分式不等 式等。
2024/1/25
基本不等式的特点
具有普遍性、客观性、可 解性等。
基本不等式的应用
在解决数学问题时，经常 需要运用基本不等式进行 求解或证明。
5
基本不等式的几何意义
1 2
一元一次不等式的几何意义
表示平面直角坐标系中的一条直线将平面分成两 部分，其中一部分为满足不等式的区域。
应用
在证明不等式、求最值等问题中有广泛应用，如利用柯西-施瓦茨不 等式证明均值不等式。
2024/1/25
22
赫尔德不等式
2024/1/25
定义
对于非负实数序列 {a_i} 和正实数 p, q 满足 1/p + 1/q = 1，有 (∑a_i^p)^(1/p) * (∑a_i^q)^(1/q) ≥ ∑a_i，其中“∑”表示求和符号。
感谢观看
2024/1/25
31
26
常见误区与注意事项
2024/1/25
不等式性质理解的误区
学生常常对不等式的基本性质理解不透彻，如反向不等式的错误 使用等。
忽视定义域的问题
在解不等式时，学生有时会忽视定义域的限制，导致解集错误。
解法选择不当
针对不同类型的不等式，应选择适当的解法。学生有时会选择复杂 的解法，导致解题效率低下。
27
例题3
已知函数$f(x) = x^2 - 2ax + 3$在区间$(-infty, 2]$上是减函 数，求$a$的取值范围。
例题4
已知不等式$|x - a| < b$的解集 为${ x | -1 < x < 3 }$，求$a +
基本不等式的形式与特点
基本不等式的形式
包括一元一次不等式、一 元二次不等式、分式不等 式等。
2024/1/25
基本不等式的特点
具有普遍性、客观性、可 解性等。
基本不等式的应用
在解决数学问题时，经常 需要运用基本不等式进行 求解或证明。
5
基本不等式的几何意义
1 2
一元一次不等式的几何意义
表示平面直角坐标系中的一条直线将平面分成两 部分，其中一部分为满足不等式的区域。
应用
在证明不等式、求最值等问题中有广泛应用，如利用柯西-施瓦茨不 等式证明均值不等式。
2024/1/25
22
赫尔德不等式
2024/1/25
定义
对于非负实数序列 {a_i} 和正实数 p, q 满足 1/p + 1/q = 1，有 (∑a_i^p)^(1/p) * (∑a_i^q)^(1/q) ≥ ∑a_i，其中“∑”表示求和符号。
感谢观看
2024/1/25
31
26
常见误区与注意事项
2024/1/25
不等式性质理解的误区
学生常常对不等式的基本性质理解不透彻，如反向不等式的错误 使用等。
忽视定义域的问题
在解不等式时，学生有时会忽视定义域的限制，导致解集错误。
解法选择不当
针对不同类型的不等式，应选择适当的解法。学生有时会选择复杂 的解法，导致解题效率低下。
27
例题3
已知函数$f(x) = x^2 - 2ax + 3$在区间$(-infty, 2]$上是减函 数，求$a$的取值范围。
例题4
已知不等式$|x - a| < b$的解集 为${ x | -1 < x < 3 }$，求$a +
不等式讲基本不等式及其应用课件pptx
柯西-施瓦茨不等式
在实数域上，柯西-施瓦茨不等式是一个基本的不等式， 它在线性代数和数学分析中都有重要的应用。
范德蒙公式
范德蒙公式是柯西不等式的推广，它在线性代数和概率论 中都有重要的应用。
排序不等式的推广
排序不等式是一种重要的组合不等式，它在线性代数、概 率论和统计学中都有广泛的应用。对排序不等式进行扩展 和推广，可以得到更为广泛和深刻的不等式。
排序不等式的证明
通过构造一个满足排序不等式的数组 ，利用数学归纳法和排序不等式的性 质得出。
排序不等式的应用
在优化、经济、计算机科学等领域有 广泛应用。
03
基本不等式的应用
最大值与最小值的求法
代数法
利用基本不等式，结合代数变形技巧，求出函数 的最值。
三角法
利用基本不等式，结合三角函数性质，求出函数 的最值。
在最大利润问题中，常常需要利用基本不等式来建立数学模型，通过优化资源配 置或制定合理价格策略来达到最大利润。例如，在投资组合理论中，利用基本不 等式可以确定最优投资组合比例，使得投资组合的期望收益最大。
资源分配问题
总结词
通过基本不等式，合理分配资源，实现整体效益最大化。
详细描述
在资源分配问题中，常常需要利用基本不等式来确定资源的 分配比例，以实现整体效益最大化。例如，在电力系统规划 中，可以利用基本不等式来确定各地区的电力分配比例，以 保证整个系统的稳定性和可靠性。
基本不等式的形式
算术平均数与几何平均数
算术平均数：一组数的和除以这组数的个数。 算术平均数不总是大于或等于几何平均数。
几何平均数：两个正数的乘积的平方根。 当且仅当两数相等时，算术平均数等于几何平均数。
柯西不等式
柯西不等式
在实数域上，柯西-施瓦茨不等式是一个基本的不等式， 它在线性代数和数学分析中都有重要的应用。
范德蒙公式
范德蒙公式是柯西不等式的推广，它在线性代数和概率论 中都有重要的应用。
排序不等式的推广
排序不等式是一种重要的组合不等式，它在线性代数、概 率论和统计学中都有广泛的应用。对排序不等式进行扩展 和推广，可以得到更为广泛和深刻的不等式。
排序不等式的证明
通过构造一个满足排序不等式的数组 ，利用数学归纳法和排序不等式的性 质得出。
排序不等式的应用
在优化、经济、计算机科学等领域有 广泛应用。
03
基本不等式的应用
最大值与最小值的求法
代数法
利用基本不等式，结合代数变形技巧，求出函数 的最值。
三角法
利用基本不等式，结合三角函数性质，求出函数 的最值。
在最大利润问题中，常常需要利用基本不等式来建立数学模型，通过优化资源配 置或制定合理价格策略来达到最大利润。例如，在投资组合理论中，利用基本不 等式可以确定最优投资组合比例，使得投资组合的期望收益最大。
资源分配问题
总结词
通过基本不等式，合理分配资源，实现整体效益最大化。
详细描述
在资源分配问题中，常常需要利用基本不等式来确定资源的 分配比例，以实现整体效益最大化。例如，在电力系统规划 中，可以利用基本不等式来确定各地区的电力分配比例，以 保证整个系统的稳定性和可靠性。
基本不等式的形式
算术平均数与几何平均数
算术平均数：一组数的和除以这组数的个数。 算术平均数不总是大于或等于几何平均数。
几何平均数：两个正数的乘积的平方根。 当且仅当两数相等时，算术平均数等于几何平均数。
柯西不等式
柯西不等式
基本不等式ppt课件
对于任意实数a和b，$(a-b)^2 \geq 0$，即 $a^2 - 2ab + b^2 \geq 0$。
利用均值不等式证明
对于任意实数a和b，$a^2 + b^2 \geq 2ab$，即$(a-b)^2 \geq 0$。
利用导数证明
对于任意实数a和b，设f(x) = x^2 - 2x(a+b) + (a+b)^2，则f'(x) = 2x - 2(a+b) = 2(x-ab)，当x≥a+b时，f'(x) ≥0；当x ≤ a+b时， f'(x) ≤0。故f(x)在区间[a+b, +\infty)上单调 递增，在区间(-\infty, a+b]上单调递减。于 是有f(x) ≥ f(a+b) = a^2 - 2ab + b^2 ≥0 。
02
基本不等式的应用
几何意义
直线和圆
利用基本不等式可以判断直线和圆的 位置关系，以及求解圆中弦长等几何 问题。
面积和体积
利用基本不等式可以求解一些涉及面 积和体积的问题，例如在给定周长的 条件下，求矩形或立方体的最大面积 或体积等。
代数意义
方程
利用基本不等式可以求解一些涉及方程的问题，例如利用基本不等式求根，判 断方程解的个数等。
证明方法
利用代数公式和实数的性质进行 证明。
基本不等式的性质
非负性
对于任意实数a和b，总有$(a-b)^2 \geq 0$，即$a^2 - 2ab + b^2 \geq 0$。
等号成立条件
当且仅当a=b时，基本不等式取等号。
传递性
若a≥b，c≥d，则ac≥bd。
基本不等式的证明
利用均值不等式证明
对于任意实数a和b，$a^2 + b^2 \geq 2ab$，即$(a-b)^2 \geq 0$。
利用导数证明
对于任意实数a和b，设f(x) = x^2 - 2x(a+b) + (a+b)^2，则f'(x) = 2x - 2(a+b) = 2(x-ab)，当x≥a+b时，f'(x) ≥0；当x ≤ a+b时， f'(x) ≤0。故f(x)在区间[a+b, +\infty)上单调 递增，在区间(-\infty, a+b]上单调递减。于 是有f(x) ≥ f(a+b) = a^2 - 2ab + b^2 ≥0 。
02
基本不等式的应用
几何意义
直线和圆
利用基本不等式可以判断直线和圆的 位置关系，以及求解圆中弦长等几何 问题。
面积和体积
利用基本不等式可以求解一些涉及面 积和体积的问题，例如在给定周长的 条件下，求矩形或立方体的最大面积 或体积等。
代数意义
方程
利用基本不等式可以求解一些涉及方程的问题，例如利用基本不等式求根，判 断方程解的个数等。
证明方法
利用代数公式和实数的性质进行 证明。
基本不等式的性质
非负性
对于任意实数a和b，总有$(a-b)^2 \geq 0$，即$a^2 - 2ab + b^2 \geq 0$。
等号成立条件
当且仅当a=b时，基本不等式取等号。
传递性
若a≥b，c≥d，则ac≥bd。
基本不等式的证明
不等式基本不等式课件
a_2 cdot ... cdot a_n}$。
柯西不等式
01
柯西不等式
柯西不等式是数学中的一个基本不等式，它给出了两个向量的内积和它
们的模之间的关系。
02 03
形式化表述
对于任意的向量 $mathbf{a} = (a_1, a_2, ..., a_n)$ 和 $mathbf{b} = (b_1, b_2, ..., b_n)$，有 $mathbf{a} cdot mathbf{b} leq sqrt{(sum a_i^2)(sum b_i^2)}$。
在物理领域的应用
力学
在力学中，基本不等式可 以用来解决与力矩、扭矩 和弹性形变有关的问题。
热力学
在热力学中，基本不等式 可以用来研究热量转移、 热能和机械能之间的转换 等。
电磁学
在电磁学中，基本不等式 可以用来解决与电流、电 压和电阻有关的问题。
在工程领域的应用
结构设计
在工程结构设计中，基本不等式可以用来确定结 构的稳定性、刚度和强度等参数。
详细描述
不等式是用数学符号表示两个量之间大小关系的表达式。在数学中，我们使用 “<”、“>”、“≤”和“≥”符号来表示不等关系。例如，如果 a < b，则表 示 a 和 b 之间存在一个不等关系，即 a 小于 b。
不等式的性质
总结词
不等式具有传递性、可加性和可乘性等基本性质。
详细描述
不等式的性质是数学中研究不等关系的基础。其中，传递性是最重要的性质之一 ，即如果 a < b 且 b < c，则 a < c。此外，不等式还具有可加性和可乘性，即 如果 a < b，则 a + c < b + c 和 a × c < b × c（当 c > 0）。
柯西不等式
01
柯西不等式
柯西不等式是数学中的一个基本不等式，它给出了两个向量的内积和它
们的模之间的关系。
02 03
形式化表述
对于任意的向量 $mathbf{a} = (a_1, a_2, ..., a_n)$ 和 $mathbf{b} = (b_1, b_2, ..., b_n)$，有 $mathbf{a} cdot mathbf{b} leq sqrt{(sum a_i^2)(sum b_i^2)}$。
在物理领域的应用
力学
在力学中，基本不等式可 以用来解决与力矩、扭矩 和弹性形变有关的问题。
热力学
在热力学中，基本不等式 可以用来研究热量转移、 热能和机械能之间的转换 等。
电磁学
在电磁学中，基本不等式 可以用来解决与电流、电 压和电阻有关的问题。
在工程领域的应用
结构设计
在工程结构设计中，基本不等式可以用来确定结 构的稳定性、刚度和强度等参数。
详细描述
不等式是用数学符号表示两个量之间大小关系的表达式。在数学中，我们使用 “<”、“>”、“≤”和“≥”符号来表示不等关系。例如，如果 a < b，则表 示 a 和 b 之间存在一个不等关系，即 a 小于 b。
不等式的性质
总结词
不等式具有传递性、可加性和可乘性等基本性质。
详细描述
不等式的性质是数学中研究不等关系的基础。其中，传递性是最重要的性质之一 ，即如果 a < b 且 b < c，则 a < c。此外，不等式还具有可加性和可乘性，即 如果 a < b，则 a + c < b + c 和 a × c < b × c（当 c > 0）。
基本不等式(共43张)ppt课件
15
判别式及根的关系
根的关系
判别式：$Delta = b^2 4ac$，用于判断一元二次方
程的根的情况。
01
02
03
当 $Delta > 0$ 时，方程有 两个不相等的实根；
当 $Delta = 0$ 时，方程有 两个相等的实根（即一个重
根）；
04
2024/1/25
05
当 $Delta < 0$ 时，方程无 实根，有两个共轭复根。
基本不等式性质
传递性
若$a > b$且$b > c$，则$a > c$。
正数乘法保序性
若$a > b > 0$且$c > d > 0$ ，则$ac > bd$。
对称性
若$a = b$，则$b = a$；若 $a > b$，则$b < a$。
2024/1/25
可加性
若$a > b$且$c > d$，则$a + c > b + d$。
2024/1/25
35
思考题与练习题
思考题：如何利用均值不 等式证明其他不等式？
2024/1/25
|x - 3| < 5
练习题：解下列不等式， 并在数轴上表示解集
(x + 1)/(x - 2) > 0
36
THANKS。
2024/1/25
37
次不等式组来解决。
12
03
一元二次不等式解法
2024/1/25
13
一元二次不等式概念
一元二次不等式
只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式。
标准形式
$ax^2+bx+c>0$ 或 $ax^2+bx+c<0$，其中 $a neq 0$。
判别式及根的关系
根的关系
判别式：$Delta = b^2 4ac$，用于判断一元二次方
程的根的情况。
01
02
03
当 $Delta > 0$ 时，方程有 两个不相等的实根；
当 $Delta = 0$ 时，方程有 两个相等的实根（即一个重
根）；
04
2024/1/25
05
当 $Delta < 0$ 时，方程无 实根，有两个共轭复根。
基本不等式性质
传递性
若$a > b$且$b > c$，则$a > c$。
正数乘法保序性
若$a > b > 0$且$c > d > 0$ ，则$ac > bd$。
对称性
若$a = b$，则$b = a$；若 $a > b$，则$b < a$。
2024/1/25
可加性
若$a > b$且$c > d$，则$a + c > b + d$。
2024/1/25
35
思考题与练习题
思考题：如何利用均值不 等式证明其他不等式？
2024/1/25
|x - 3| < 5
练习题：解下列不等式， 并在数轴上表示解集
(x + 1)/(x - 2) > 0
36
THANKS。
2024/1/25
37
次不等式组来解决。
12
03
一元二次不等式解法
2024/1/25
13
一元二次不等式概念
一元二次不等式
只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式。
标准形式
$ax^2+bx+c>0$ 或 $ax^2+bx+c<0$，其中 $a neq 0$。
《基本不等式》课件教学课件
柯西不等式
推广了算术平均数和平方的平均数的比较 不等式，$\left(\sum_{i=1}^n |x_i|^p\right)^{\frac{2}{p}} \le \left(\sum_{i=1}^n |x_i|\right)^2$
利用基本不等式求极值
利用基本不等式求极值的条件
满足基本不等式的条件，即等号成立的条件
基本不等式可以用于解决一些实际问题。
详细描述
在解决一些最优化问题时，可以利用基本不等式来求解。例如，在解决一些投资 组合优化问题时，可以利用基本不等式来求解最优投资组合比例。
05
基本不等式的扩展与推广
基本不等式的推广形式
平方平均不等式
推广了算术平均数和几何平均数不等式， $|\sum_{i=1}^n x_i|^2 \le \sum_{i=1}^n |x_i|^2$
3
中世纪欧洲
欧洲中世纪时期，数学家们逐渐开始研究不等 式的性质和应用。
基本不等式的发展
19世纪数学
19世纪数学家开始研究函数和微积分，基本不等式开始得到 更广泛的应用和发展。
现代数学
基本不等式在现代数学中有着广泛的应用，是数学学习和研 究中不可或缺的一部分。
基本不等式的应用
数学解题
基本不等式在数学解题中有着广泛的应用，可以帮助解决各种不等式问题。
教学手段
利用多媒体教学设备，结合板书，通过问题引导、小组讨论、实例分析等多种形 式进行教学，使学生更好地理解和掌握基本不等式的内容。
02
基本不等式的历史背景
基本不等式的起源
1 2
早期文明
在古代文明中，人们已经有了不等关系的意识 ，并开始使用一些简单的比较方法来比较数值 大小。
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否成立．累加法是不等式性质的应用，也是证明不等式的一
种常用方法．
(2)对不能直接使用基本不等式的证明，要重新组合，构造运 用基本不等式的条件．若条件中有一个多项式的和为 1，要 注意“1”代换．
工具
第三章 不等式
1．已知 a，b，c 为不全相等的正实数，求证： (1)a＋b＋c＞ ab＋ bc＋ ac； (2)a2＋b2＋c2＞ab＋bc＋ac.
工具
第三章 不等式
当且仅当 x－2＝x－4 2， 即 x＝4 时，等号成立． 所以 x＋x－4 2的最小值为 6. (3)∵x>1，∴x－1>0. ∴y＝xx2－＋18＝x－1x2－＋12x＋7 ＝x－12＋x－21x－1＋9＝(x－1)＋x－9 1＋2
③等号成立的条件：当且仅当 a＝b 时取等号．
工具
第三章 不等式
④对任意两个正实数 a、b，a＋2 b叫做 a，b 的算术平均数， ab叫做 a，b 的 几何平均数．
2．应用基本不等式求最值 如果x，y都是正数，那么 (1)若积xy是定值P，那么当 x＝y 时，和x＋y有 最小值． (2)若和x＋y是定值S，那么当 x＝y 时，积xy有 最大值．
C. xy≥2
D.x1y≥1
解析： 若 x＞0，y＞0，由 x＋y＝4，
得x＋4 y＝1，
∴1x＋1y＝14(x＋y)1x＋1y
ห้องสมุดไป่ตู้
＝142＋yx＋xy≥14(2＋2)＝1. 答案： B
工具
第三章 不等式
3．设a，b∈R，a＝3－b，则2a＋2b的最小值是________． 解析： 2a＋2b≥2 2a·2b＝2 2a＋b＝2· 23＝4 2 答案： 4 2
工具
第三章 不等式
1．不等式m2＋1≥2m中等号成立的条件是( ) A．m＝1 B．m＝±1 C．m＝－1 D．m＝0 解析： m2＋1＝2m时，m＝1.故选A. 答案： A
工具
第三章 不等式
2．若 x＞0，y＞0，且 x＋y＝4，则下列不等式中恒成立
的是( )
A.x＋1 y≤14
B.1x＋1y≥1
第三章 不等式
[解题过程] (1)因为 x>0，由基本不等式，得 f(x)＝1x2＋3x≥2 1x2·3x＝2 36＝12， 当且仅当1x2＝3x，即 x＝2 时，f(x)取得最小值 12. (2)∵x>2，∴x－2>0， ∴f(x)＝x＋x－4 2＝x－2＋x－4 2＋2 ≥2 x－2·x－4 2＋2＝6，
证明： (1)∵a＞0，b＞0，c＞0， ∴a＋b≥2 ab＞0， b＋c≥2 bc＞0， c＋a≥2 ca＞0. ∴2(a＋b＋c)≥2( ab＋ bc＋ ca)，
工具
第三章 不等式
即 a＋b＋c≥ ab＋ bc＋ ca. 由于 a，b，c 为不全相等的正实数，故等号不成立． ∴a＋b＋c＞ ab＋ bc＋ ca. (2)∵a＞0，b＞0，c＞0， ∴a2＋b2≥2ab，b2＋c2≥2bc，c2＋a2≥2ca. ∴2(a2＋b2＋c2)≥2(ab＋bc＋ca)， 即a2＋b2＋c2≥ab＋bc＋ca. 由于a，b，c为不全相等的正实数，故等号不成立． ∴a2＋b2＋c2＞ab＋bc＋ca.
基本不等式： ab≤a+b
工具
第三章 不等式
工具
第三章 不等式
1．探索并了解基本不等式的证明过程． 2．能利用基本不等式证明简单不等式． 3．熟练掌握基本不等式及变形应用． 4．会用基本不等式解决简单的最大(小)值问题．
工具
第三章 不等式
1．本课难点是利用基本不等式证明不等式． 2．利用基本不等式求最值是本课热点． 3．多以选择题、填空题形式考查，偶以解答题形式考查．
同理1b－1≥2
bac，1c－1≥2
ab c.
由上述三个不等式两边均为正，分别相乘
1a－11b－11c－1≥2
bc 2 a·
ac 2 b·
ab c
＝8.
当且仅当 a＝b＝c＝13时，等号成立．
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第三章 不等式
[题后感悟] (1)多次使用 a＋b≥2 ab时，要注意等号能
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第三章 不等式
不等式右边数字为 8，使我们联想到左边因式分别使用 基本不等式，可得三个“2”连乘，又1a－1＝1－a a＝b＋a c ≥2 abc，可由此变形入手．
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第三章 不等式
[解题过程] 证明：∵a，b，c 为正实数，且 a＋b＋c＝1， ∴1a－1＝1－a a＝b＋a c≥2 abc，
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第三章 不等式
(1)若 x>0，求 f(x)＝1x2＋3x 的最小值． (2)已知 x>2，求 f(x)＝x＋x－4 2的最小值； (3)求函数 y＝xx2－＋18(x>1)的最小值．
利用基本不等式时，应按照“一正，二定，三相等” 的原则创造条件，检查条件是否具备，再利用基本不等式 解之．
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第三章 不等式
简单的做法是，把两次称得物体的质量“平均”一下， 以 A＝a＋2 b表示物体的质量．这样的做法合理吗？
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第三章 不等式
1．基本不等式 (1)重要不等式：对于任意实数a、b，都有a2＋b2 ≥ 2ab，
当且仅当 a＝b 时，等号成立．
(2)基本不等式 ①形式： ab≤a＋2 b； ②成立的前提条件：a>0，b>0；
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第三章 不等式
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第三章 不等式
1．由不等式性质可知，对任意a，b∈R，(a－b)2≥ 0 ， 因 此a2＋b2 ≥ 2ab.什么时候等号能成立呢？当且仅当 a＝b 时，取等号．
2．把一个物体放在天平的一个盘子上，在另一个盘子上放 砝码使天平平衡，称得物体的质量为a.如果天平制造得不精确， 天平的两臂长略有不同(其他因素不计)，那么a并非物体的实际 质量．不过，我们可作第二次测量：把物体调换到天平的另一 个盘上，此时称得物体的质量为b.那么如何合理地表示物体的质 量呢？
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第三章 不等式
4．求证：a＋2 b2≤a2＋2 b2.
证明： a＋2 b2＝a2＋b24＋2ab≤a2＋b2＋4 a2＋b2 ＝a2＋2 b2(当且仅当 a＝b 时“＝”成立)．
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第三章 不等式
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第三章 不等式
利用基本不等式证明简单不等式 已知 a，b，c 为正实数，且 a＋b＋c＝1. 求证：1a－11b－11c－1≥8.
种常用方法．
(2)对不能直接使用基本不等式的证明，要重新组合，构造运 用基本不等式的条件．若条件中有一个多项式的和为 1，要 注意“1”代换．
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第三章 不等式
1．已知 a，b，c 为不全相等的正实数，求证： (1)a＋b＋c＞ ab＋ bc＋ ac； (2)a2＋b2＋c2＞ab＋bc＋ac.
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第三章 不等式
当且仅当 x－2＝x－4 2， 即 x＝4 时，等号成立． 所以 x＋x－4 2的最小值为 6. (3)∵x>1，∴x－1>0. ∴y＝xx2－＋18＝x－1x2－＋12x＋7 ＝x－12＋x－21x－1＋9＝(x－1)＋x－9 1＋2
③等号成立的条件：当且仅当 a＝b 时取等号．
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第三章 不等式
④对任意两个正实数 a、b，a＋2 b叫做 a，b 的算术平均数， ab叫做 a，b 的 几何平均数．
2．应用基本不等式求最值 如果x，y都是正数，那么 (1)若积xy是定值P，那么当 x＝y 时，和x＋y有 最小值． (2)若和x＋y是定值S，那么当 x＝y 时，积xy有 最大值．
C. xy≥2
D.x1y≥1
解析： 若 x＞0，y＞0，由 x＋y＝4，
得x＋4 y＝1，
∴1x＋1y＝14(x＋y)1x＋1y
ห้องสมุดไป่ตู้
＝142＋yx＋xy≥14(2＋2)＝1. 答案： B
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第三章 不等式
3．设a，b∈R，a＝3－b，则2a＋2b的最小值是________． 解析： 2a＋2b≥2 2a·2b＝2 2a＋b＝2· 23＝4 2 答案： 4 2
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第三章 不等式
1．不等式m2＋1≥2m中等号成立的条件是( ) A．m＝1 B．m＝±1 C．m＝－1 D．m＝0 解析： m2＋1＝2m时，m＝1.故选A. 答案： A
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第三章 不等式
2．若 x＞0，y＞0，且 x＋y＝4，则下列不等式中恒成立
的是( )
A.x＋1 y≤14
B.1x＋1y≥1
第三章 不等式
[解题过程] (1)因为 x>0，由基本不等式，得 f(x)＝1x2＋3x≥2 1x2·3x＝2 36＝12， 当且仅当1x2＝3x，即 x＝2 时，f(x)取得最小值 12. (2)∵x>2，∴x－2>0， ∴f(x)＝x＋x－4 2＝x－2＋x－4 2＋2 ≥2 x－2·x－4 2＋2＝6，
证明： (1)∵a＞0，b＞0，c＞0， ∴a＋b≥2 ab＞0， b＋c≥2 bc＞0， c＋a≥2 ca＞0. ∴2(a＋b＋c)≥2( ab＋ bc＋ ca)，
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第三章 不等式
即 a＋b＋c≥ ab＋ bc＋ ca. 由于 a，b，c 为不全相等的正实数，故等号不成立． ∴a＋b＋c＞ ab＋ bc＋ ca. (2)∵a＞0，b＞0，c＞0， ∴a2＋b2≥2ab，b2＋c2≥2bc，c2＋a2≥2ca. ∴2(a2＋b2＋c2)≥2(ab＋bc＋ca)， 即a2＋b2＋c2≥ab＋bc＋ca. 由于a，b，c为不全相等的正实数，故等号不成立． ∴a2＋b2＋c2＞ab＋bc＋ca.
基本不等式： ab≤a+b
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第三章 不等式
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第三章 不等式
1．探索并了解基本不等式的证明过程． 2．能利用基本不等式证明简单不等式． 3．熟练掌握基本不等式及变形应用． 4．会用基本不等式解决简单的最大(小)值问题．
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第三章 不等式
1．本课难点是利用基本不等式证明不等式． 2．利用基本不等式求最值是本课热点． 3．多以选择题、填空题形式考查，偶以解答题形式考查．
同理1b－1≥2
bac，1c－1≥2
ab c.
由上述三个不等式两边均为正，分别相乘
1a－11b－11c－1≥2
bc 2 a·
ac 2 b·
ab c
＝8.
当且仅当 a＝b＝c＝13时，等号成立．
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第三章 不等式
[题后感悟] (1)多次使用 a＋b≥2 ab时，要注意等号能
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第三章 不等式
不等式右边数字为 8，使我们联想到左边因式分别使用 基本不等式，可得三个“2”连乘，又1a－1＝1－a a＝b＋a c ≥2 abc，可由此变形入手．
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第三章 不等式
[解题过程] 证明：∵a，b，c 为正实数，且 a＋b＋c＝1， ∴1a－1＝1－a a＝b＋a c≥2 abc，
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第三章 不等式
(1)若 x>0，求 f(x)＝1x2＋3x 的最小值． (2)已知 x>2，求 f(x)＝x＋x－4 2的最小值； (3)求函数 y＝xx2－＋18(x>1)的最小值．
利用基本不等式时，应按照“一正，二定，三相等” 的原则创造条件，检查条件是否具备，再利用基本不等式 解之．
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第三章 不等式
简单的做法是，把两次称得物体的质量“平均”一下， 以 A＝a＋2 b表示物体的质量．这样的做法合理吗？
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第三章 不等式
1．基本不等式 (1)重要不等式：对于任意实数a、b，都有a2＋b2 ≥ 2ab，
当且仅当 a＝b 时，等号成立．
(2)基本不等式 ①形式： ab≤a＋2 b； ②成立的前提条件：a>0，b>0；
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第三章 不等式
1．由不等式性质可知，对任意a，b∈R，(a－b)2≥ 0 ， 因 此a2＋b2 ≥ 2ab.什么时候等号能成立呢？当且仅当 a＝b 时，取等号．
2．把一个物体放在天平的一个盘子上，在另一个盘子上放 砝码使天平平衡，称得物体的质量为a.如果天平制造得不精确， 天平的两臂长略有不同(其他因素不计)，那么a并非物体的实际 质量．不过，我们可作第二次测量：把物体调换到天平的另一 个盘上，此时称得物体的质量为b.那么如何合理地表示物体的质 量呢？
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第三章 不等式
4．求证：a＋2 b2≤a2＋2 b2.
证明： a＋2 b2＝a2＋b24＋2ab≤a2＋b2＋4 a2＋b2 ＝a2＋2 b2(当且仅当 a＝b 时“＝”成立)．
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第三章 不等式
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第三章 不等式
利用基本不等式证明简单不等式 已知 a，b，c 为正实数，且 a＋b＋c＝1. 求证：1a－11b－11c－1≥8.