指数函数对数函数幂函数的图像与性质 (2)

指数函数、对数函数、幂函数的图像与性质

（一)指数与指数函数

１．根式

（１）根式的概念

(2）．两个重要公式

①⎪⎩

⎪⎨⎧⎩⎨⎧<-≥==)0()0(||a a a a a a

a n

n ；

②a a n

n =)(（注意a 必须使n a 有意义）。

2.有理数指数幂 (1)幂的有关概念 ①正数的正分数指数幂：0,,1)m

n

a a m n N n *=>∈>、且;

②正数的负分数指数幂: 10,,1)m n

m n

a

a m n N n a

-

*=

=

>∈>、且

③0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂没有意义.

注：分数指数幂与根式可以互化，通常利用分数指数幂进行根式的运算. (２）有理数指数幂的性质 ①a r ａs =a r+ｓ

(ａ>0，ｒ、ｓ∈Q ）; ②（a r )s =a rs （a 〉0,r 、s ∈Q )；

③（a ｂ）r ＝a r ｂs (ａ>0,b ＞0，r ∈Ｑ）；。

n 为奇数 n 为偶数

3．指数函数的图象与性质

y=a x a〉1 0

图象

定义域Ｒ

值域(0,+∞）

性质(1）过定点(0,1)

(2)当ｘ>０时，y>１；

ｘ<0时，0

(2）当x＞0时，０

x<0时,y>1

(3)在(-∞，+∞)上是增函数(3)在(—∞，＋∞）上是减函数

注:如图所示,是指数函数（1)y＝a x，(2)y＝b x，(3）,y=c x（4），y＝d x的图象，如何确定底数a,b，ｃ,d与1之间的大小关系?

提示:在图中作直线ｘ=1，与它们图象交点的纵坐标即为它们各自底数的值，即c１>d１>1＞ａ1〉b1,∴c＞ｄ〉1>a>b。即无论在轴的左侧还是右侧，底数按逆时针方向变大.

(二）对数与对数函数

1、对数的概念

(１）对数的定义

如果(01)

x

a N a a

=>≠

且,那么数x叫做以a为底,N的对数，记作log N

a

x=,其中a叫做对数的底数，N叫做真数。

（2)几种常见对数

对数形式特点记法

一般对数

底数为a0,1

a a

>≠

且log N

a

常用对数底数为１0

lg N

自然对数底数为e ln N

2、对数的性质与运算法则

（1）对数的性质(0,1a a >≠且）:①1log 0a =，②log 1a

a =,③log N

a a

N =，④log N

a a N =。

（2）对数的重要公式：

①换底公式:log log (,1,0)log N

N

a b

b

a

a b N =>均为大于零且不等于; ②1

log log b

a a

b

=

。 （3）对数的运算法则:

如果0,1a a >≠且,0,0M N >>那么 ①N M MN a a a log log )(log +=; ②N M N

M

a a a

log log log -=； ③)(log log R n M n M a n

a ∈=;

④b m

n

b a n

a m log log =

。 图象

1a >

01a <<

性

质

（1)定义域:（0，+∞)

（2)值域：Ｒ

（3）当ｘ=1时，y ＝0即过定点（1，0) (4）当01x <<时，(,0)y ∈-∞; 当1x >时,(0,)y ∈+∞ (4)当1x >时,(,0)y ∈-∞； 当01x <<时，(0,)y ∈+∞ （5)在(0，+∞)上为增函数

(５)在(０，+∞)上为减函数

提示：作一直线y=１,该直线与四个函数图象交点的横坐标即为它们相应的底数。

∴0〈c 〈d<1〈ａ〈b 。 4、反函数

指数函数y=ａx 与对数函数ｙ=lo ｇa x 互为反函数,它们的图象关于直线ｙ=x 对称。 (三)幂函数

１、幂函数的定义

形如y ＝x α

(a ∈Ｒ)的函数称为幂函数,其中x 是自变量,α为常数

注：幂函数与指数函数有本质区别在于自变量的位置不同，幂函数的自变量在底数位置,而指数函数的自变量在指数位置． 2、幂函数的图象

注:在上图第一象限中如何确定

y=x 3，y=x 2，ｙ＝ｘ,

12

y x =，ｙ=x -1方法：可画出x=x 0;

当x 0〉１时,按交点的高低，从高到低依次为y=ｘ3,y ＝x 2, y=x ，12

y x =, y ＝x —1; 当０

，12

y x = ,y=x, y ＝x 2,y=x 3 。

y ＝x y=ｘ２

y=x 3

12

y x =

y=ｘ—1

定义域 R Ｒ

R ［0，+∞) {}|0x x R x ∈≠且

值域 R [０，+∞） R [0，+∞) {}|0y y R y ∈≠且

奇偶性 奇 偶

奇

非奇非偶 奇

单调性

增

ｘ∈[0,+∞）时,增； x ∈(,0]-∞时，减

增 增

x ∈（０，+∞)时，减;

ｘ∈（—∞,０)时，减