【衡水金卷先享题】2019年普通高等学校招生全国统一考试模拟试题理数(二)(扫描版)
【名师推荐】河北省衡水中学2019届高三押题II卷理数复习试题(解析版).doc
2019年普通高等学校招生全国统一考试模拟复习试题理科数学（Ⅱ）第Ⅰ卷一、选择题：本题共12个小题,每小题5分,在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设集合，，则集合=（）A. B. C. D.【答案】B【解析】由题意可得：，则集合=.本题选择B选项.2.设复数满足，则=（）A. B.C. D.【答案】C【解析】由题意可得：.本题选择C选项.3.若，，则的值为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】由题意可得：，结合两角和差正余弦公式有：.本题选择A选项.4.已知直角坐标原点为椭圆的中心，，为左、右焦点，在区间任取一个数，则事件“以为离心率的椭圆与圆：没有交点”的概率为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】满足题意时，椭圆上的点到圆心的距离：，整理可得，据此有：，题中事件的概率.学,科,网...本题选择A选项.5.定义平面上两条相交直线的夹角为：两条相交直线交成的不超过的正角.已知双曲线：，当其离心率时，对应双曲线的渐近线的夹角的取值范围为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】由题意可得：，设双曲线的渐近线与轴的夹角为，双曲线的渐近线为，则，结合题意相交直线夹角的定义可得双曲线的渐近线的夹角的取值范围为.本题选择D选项.6.某几何体的三视图如图所示，若该几何体的体积为，则它的表面积是（）A. B.C. D.【答案】A【解析】由三视图可知，该几何体是由四分之三圆锥和一个三棱锥组成的组合体，其中：由题意：，据此可知：，，，它的表面积是.本题选择A选项.点睛：三视图的长度特征：“长对正、宽相等，高平齐”，即正视图和侧视图一样高、正视图和俯视图一样长，侧视图和俯视图一样宽．若相邻两物体的表面相交，表面的交线是它们的分界线，在三视图中，要注意实、虚线的画法．正方体与球各自的三视图相同，但圆锥的不同．7.函数在区间的图象大致为（）A.B.C.D.【答案】A【解析】由题意，则且，函数为非奇非偶函数，选项C,D错误；当时，，则函数值，排除选项B.本题选择A选项.8.二项式的展开式中只有第6项的二项式系数最大，且展开式中的第3项的系数是第4项的系数的3倍，则的值为（）学,科,网...A.4B.8C.12D.16【答案】B【解析】二项式的展开式中只有第6项的二项式系数最大，则，二项式展开式的通项公式为：，由题意有：，整理可得：.本题选择D选项.点睛：二项式系数与展开式项的系数的异同一是在T r＋1＝a n－r b r中，是该项的二项式系数，与该项的(字母)系数是两个不同的概念，前者只指，而后者是字母外的部分，前者只与n和r有关，恒为正，后者还与a，b有关，可正可负．二是二项式系数的最值与增减性与指数n的奇偶性有关，当n为偶数，中间一项的二项式系数最大；当n 为奇数时，中间两项的二项式系数相等，且同时取得最大值．9.执行下图的程序框图，若输入的，，，则输出的的值为（）A.81B.C.D.【答案】C【解析】依据流程图运行程序，首先初始化数值，，进入循环体：，时满足条件，执行，进入第二次循环，，时满足条件，执行，进入第三次循环，，时不满足条件，输出.本题选择C选项.10.已知数列，，且，，则的值为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】由递推公式可得：当为奇数时，，数列是首项为1，公差为4的等差数列，当为偶数时，，数列是首项为2，公差为0的等差数列，本题选择C选项.11.已知函数的图象如图所示，令，则下列关于函数的说法中不正确的是（）A.函数图象的对称轴方程为学,科,网...B.函数的最大值为C.函数的图象上存在点，使得在点处的切线与直线平行D.方程的两个不同的解分别为，，则最小值为【答案】C【解析】由函数的最值可得，函数的周期，当时，，令可得，函数的解析式.则：结合函数的解析式有，而，选项C错误，依据三角函数的性质考查其余选项正确.本题选择C选项.12.已知函数，若存在三个零点，则的取值范围是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】很明显，由题意可得：，则由可得，由题意得不等式：，即：，综上可得的取值范围是.本题选择D选项.点睛：函数零点的求解与判断(1)直接求零点：令f(R)＝0，如果能求出解，则有几个解就有几个零点．(2)零点存在性定理：利用定理不仅要函数在区间[a，b]上是连续不断的曲线，且f(a)·f(b)＜0，还必须结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性)才能确定函数有多少个零点．(3)利用图象交点的个数：将函数变形为两个函数的差，画两个函数的图象，看其交点的横坐标有几个不同的值，就有几个不同的零点．第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分，第13题～第21题为必考题，每个复习试题考生都必须作答.第22题和第23题为选考题，考生根据要求作答.二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分13.向量，，若向量，共线，且，则的值为_________．【答案】-8学,科,网...【解析】由题意可得：或，则：或.14.设点是椭圆上的点，以点为圆心的圆与轴相切于椭圆的焦点，圆与轴相交于不同的两点、，若为锐角三角形，则椭圆的离心率的取值范围为__________．【答案】【解析】复习试题分析：∵△PQM是锐角三角形，∴∴化为∴解得∴该椭圆离心率的取值范围是故答案为：15.设，满足约束条件则的取值范围为__________．【答案】【解析】绘制不等式组表示的可行域如图所示，目标函数表示可行域内的点与坐标原点之间连线的斜率，目标函数在点处取得最大值，在点处取得最小值，则的取值范围为.点睛：本题是线性规划的综合应用，考查的是非线性目标函数的最值的求法．解决这类问题的关键是利用数形结合的思想方法，给目标函数赋于一定的几何意义．16.在平面五边形中，已知，，，，，，当五边形的面积时，则的取值范围为__________.【答案】【解析】由题意可设：，则：，则：当时，面积由最大值；当时，面积由最大值；结合二次函数的性质可得：的取值范围为.三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.已知数列的前项和为，，.（1）求数列的通项公式；（2）记求的前项和.【答案】（1）；（2）.【解析】复习试题分析：(1)由题意可得数列是以为首项，为公比的等比数列，.学,科,网...(2)裂项求和，，故.复习试题解析：（1）当时，由及，得，即，解得.又由，①可知，②②-①得，即.且时，适合上式，因此数列是以为首项，为公比的等比数列，故.（2）由（1）及，可知，所以，故.18.如图所示的几何体中，底面为菱形，，，与相交于点，四边形为直角梯形，，，，平面底面.（1）证明：平面平面；（2）求二面角的余弦值.【答案】（1）见解析；（2）.【解析】复习试题分析：(1)利用题意证得平面.由面面垂直的判断定理可得平面平面.(2)结合(1)的结论和题意建立空间直角坐标系，由平面的法向量可得二面角的余弦值为.复习试题解析：（1）因为底面为菱形，所以，又平面底面，平面平面，因此平面，从而.又，所以平面，由，，，可知，，，，从而，故.又，所以平面.学,科,网...又平面，所以平面平面.（2）取中点，由题可知，所以平面，又在菱形中，，所以分别以，，的方向为，，轴正方向建立空间直角坐标系（如图示），则，，，，，所以，，. 由（1）可知平面，所以平面的法向量可取为.设平面的法向量为，则即即令，得，所以.从而.故所求的二面角的余弦值为.点睛：作二面角的平面角可以通过垂线法进行，在一个半平面内找一点作另一个半平面的垂线，再过垂足作二面角的棱的垂线，两条垂线确定的平面和二面角的棱垂直，由此可得二面角的平面角．用向量法解决立体几何问题，是空间向量的一个具体应用，体现了向量的工具性，这种方法可把复杂的推理证明、辅助线的作法转化为空间向量的运算，降低了空间想象演绎推理的难度，体现了由“形”转“数”的转化思想．两种思路：(1)选好基底，用向量表示出几何量，利用空间向量有关定理与向量的线性运算进行判断．(2)。
河北省衡水金卷2019届高三二调研考试数学理试题(解析版).docx
河北省衡水金卷2019届高三二调研考试数学理试题一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.设全集为R，集合A={A|0<A<2}，A={A|A≥1}，则A∩(∁A A)=()A. {A|0<A≤1}B. {A|0<A<1}C. {A|1≤A<2}D. {A|0<A<2}【答案】B【解析】解：∵A={A|0<A<2}，A={A|A≥1}，∴∁A A={A|A<1}，∴A∩(∁A A)={A|0<A<1}．故选：B．根据补集、交集的定义即可求出．本题考查了集合的化简与运算问题，是基础题目．2.已知0<A<1，则A2、2A、log2A的大小关系是()A. A2>2A>log2A B. 2A>A2>log2A C. log2A>A2>2A D. 2A>log2A>A2【答案】B【解析】解：∵0<A<1，∴0<A2<1，1<2A<2，log2A<0，∴2A>A2>log2A，故选：B．根据指数函数，幂函数，对数函数的性质分别判断取值范围即可得到结论．本题主要考查函数值的大小比较，根据指数函数，幂函数，对数函数的性质是解决本题的关键，比较基础．3.已知sin(A+A)=3sin(3A2−A)，则tan(A+A4)的值为()A. −2B. 2C. 12D. −12【答案】A【解析】解：由sin(A+A)=3sin(3A2−A)，得−sin A=−3cos A，∴tan A=3．∴tan(A+A4)=tan A+tanA41−tan A tan A4=3+11−3×1=−2．故选：A．由已知求得tan A，然后展开两角和的正切求解．本题考查三角函数的化简求值，考查诱导公式及两角和的正切，是基础题．4.等差数列{A A}的前n项和为A A，且A1+A5+A9=15，则A9=()A. 5B. 10C. 15D. 45【答案】D【解析】解：∵等差数列{A A}的前n项和为A A，且A1+A5+A9=15，∴A1+A5+A9=3A5=15，解得A 5=5，∴A 9=92(A 1+A 9)=9A 5=45．故选：D ．由等差数列通项公式得A 1+A 5+A 9=3A 5=15，求出A 5=5，由此能求出A 9的值． 本题考查等差数列的前9项的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意等差数列的性质的合理运用．5. 在平行四边形ABCD 中，设AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =A ⃗⃗⃗⃗ ，AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =A ⃗⃗⃗⃗ ，AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =12AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =23AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，则AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =( )A. −13A ⃗⃗⃗⃗ +16A ⃗⃗⃗⃗ B. 13A ⃗⃗⃗⃗ −A ⃗⃗⃗⃗ C. −12A ⃗⃗⃗⃗ +13A ⃗⃗⃗⃗ D. 12A ⃗⃗⃗⃗ −16A ⃗⃗⃗⃗ 【答案】A【解析】解：AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =12AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −13AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =12AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −13(AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )=−13AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +16AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =−13A ⃗⃗⃗⃗ +16A ⃗⃗⃗⃗ ， 故选：A ．由向量的线性运算得：AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =12AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −13AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =12AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −13(AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )=−13AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +16AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗=−13A ⃗⃗⃗⃗ +16A ⃗⃗⃗⃗ ，得解． 本题考查了向量的线性运算，属简单题．6. 若在数列{A A }中，A 1=1，A A +1=2A A ，A ∈A ∗，则A 1A 3+A 2A 4+A 3A 5+A 4A 6=()A. 84B. 340C. 670D. 1364【答案】B【解析】解：根据题意，数列{A A }中，A 1=1，A A +1=2A A ，A ∈A ∗， 则数列{A A }为等比数列，且A 1=1，公比A =2，则A A =2A −1，则A 1A 3+A 2A 4+A 3A 5+A 4A 6=A 22+A 32+A 42+A 52=22+42+82+162=340．故选：B ．根据题意，由等比数列的定义可得数列{A A }为等比数列，且A 1=1，公比A =2，进而可得A A =2A −1，则A 1A 3+A 2A 4+A 3A 5+A 4A 6=A 22+A 32+A 42+A 52，计算可得答案． 本题考查等比数列的性质以及通项公式的计算，关键是求出数列{A A }的通项公式．7. 在如图的平面图形中，已知AA =1，AA =2，∠AAA =120∘，AA⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =2AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =2AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，则AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AA⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的值为( )A. −15B. −9C. −6D. 0【答案】C【解析】解：解法Ⅰ，由题意，AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =2AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =2AA⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，∴AA AA =AAAA =2，∴AA //AA ，且AA =3AA ，又AA 2=AA 2+AA 2−2AA ⋅AA ⋅cos 120∘=1+4−2×1×2×(−12)=7， ∴AA =√7； ∴AA =3√7， ∴cos ∠AAA =AA 2+AA 2−AA 22AA ⋅AA=2×1×√7=√7， ∴AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =|AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |×|AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |cos (A −∠AAA )=3√7×1×√7)=−6． 解题Ⅱ：不妨设四边形OMAN 是平行四边形，由AA =1，AA =2，∠AAA =120∘，AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =2AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =2AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ， 知AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =3AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −3AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =−3AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +3AA⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ， ∴AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(−3AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +3AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )⋅AA⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =−3AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 2+3AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AA⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =−3×12+3×2×1×cos 120∘=−6．故选：C ．解法Ⅰ，由题意判断AA //AA ，且AA =3AA ，再利用余弦定理求出MN 和∠AAA 的余弦值，计算AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 即可． 解法Ⅱ：用特殊值法，不妨设四边形OMAN 是平行四边形，由题意求得AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的值． 本题考查了平面向量的线性运算与数量积运算问题，是中档题．8. 在平面直角坐标系xOy 中，圆C 的参数方程为{A =3+3sin A A =3cos A(A 为参数).以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴，取相同的长度单位建立极坐标系，直线l 的极坐标方程是2A sin (A −A6)=4√3，射线OM ：A =5A6与圆C 的交点为P ，与直线l 的交点为Q ，则线段PQ 的长为( )A. 12B. √22C. 1D. 2【答案】C【解析】解：∵圆C 的参数方程为{A =3+3sin A A =3cos A(A 为参数)． ∴圆C 的普通方程为A 2+(A −3)2=9， ∴圆C 的极坐标方程为A =6sin A ，直线l 的极坐标方程是2A sin (A −A6)=4√3，射线OM ：A =5A 6圆C 的交点为P ，与直线l 的交点为Q ，设A (A 1,A 1)，由{A =6sin A A =5A 6，解得A 1=3,A 1=5A6，设A (A 2,A 2)，由{2A sin (A −A6)A =5A6，解得A 2=4,A 2=5A 6， ∴线段PQ 的长为|AA |=|A 2−A 1|=1． 故选：C ．由圆C 的参数方程求出圆C 的普通方程，进而求出圆C 的极坐标方程，设A (A 1,A 1)，由{A =6sin AA =5A 6，解得A 1=3,A 1=5A6，设A (A 2,A 2)，由{2A sin (A −A6)A =5A 6，解得A 2=4,A 2=5A6，线段PQ 的长为|AA |=|A 2−A 1|，由此能求出结果．本题考查线段长的求法，考查直角坐标方程、极坐标方程、参数方程的互化等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．9. 将函数A =sin (2A +A3)的图象向右平移A6个单位长度得到函数A =A (A )的图象，则下列选项不成立的是( )A. 函数A (A )的最小正周期为AB. 函数A (A )的图象关于直线A =A4对称 C. 函数A (A )为奇函数D. 函数A (A )在区间[A4,A ]上单调递减【答案】D【解析】解：将函数A =sin (2A +A3)的图象向右平移A6个单位长度得到函数A =A (A )=sin 2A 的图象，则A (A )的最小正周期为2A 2=A ，故A 成立；当A =A4时，A (A )=1为最大值，故函数A (A )的图象关于直线A =A 4对称，故B 正确； 显然，A (A )为奇函数，故C 正确；在区间[A 4,A ]上，2A ∈[A2,2A ]，A (A )没有单调性，故D 错误，故选：D ．利用函数A =A sin (AA +A )的图象变换规律得到A (A )的解析式，再根据正弦函数的性质得出结论． 本题主要考查函数A =A sin (AA +A )的图象变换规律，正弦函数的性质，属于基础题．10. 已知函数A (A )={−AA A,A <0AA A,A ≥0(A 是自然对数底数)，方程A 2(A )+AA (A )+1=0(A ∈A )有四个实数根，则t 的取值范围为( )A. (A +1A ,+∞)B. (−∞,−A −1A )C. (−A −1A ,−2)D. (2,A +1A )【答案】B【解析】解：函数A (A )={−AA A,A <0AA A,A ≥0(A 是自然对数底数)， 易知A (A )在[0,+∞)上是增函数， 当A ∈(−∞,0)时，A (A )=−AA A ，A′(A )=−A A (A +1)，故A (A )在(−∞,−1)上是增函数，在(−1,0)上是减函数；作出函数图象如下；且A (−1)=1A ；若方程A 2(A )+AA (A )+1=0(A ∈A )有四个实数根，则方程A 2+AA +1=0(A ∈A )有两个不同的实根，且A 1∈(0,1A )，A 2∈(1A ,+∞)∪{0}， ∴{0+0+1>01A2+A ⋅1A+1<0，或1=0； 解得，A <−A −1A ，∴A 的取值范围是(−∞,−A −1A ).故选：B ．根据A (A )的解析式，利用导数确定函数的单调性，作出函数的简图，根据函数的图象与性质求得t 的取值范围．本题考查了分段函数的应用和导数的综合应用问题，也考查了函数零点的应用问题，是中档题．11. 已知函数A (A )=sin (AA +A 6)(A >0)，若函数A (A )在区间(A ,2A )内没有零点，则A 的取值范围是( )A. (0,512]B. (0,512]∪[56,1112)C. (0,56]D. (0,512]∪[56,1112]【答案】D【解析】解：函数A (A )=sin (AA +A 6)，A =2A A ，由题意可得，A A≥A ，则0<A ≤1，又A (A )在区间(A ,2A )内没有零点，函数的图象如图两种类型，结合三角函数可得：{AA +A 6≥02AA +A 6≤A 或{AA +A6≥A 2AA +A6≤2A，解得A∈(0,512]∪[56,1112].故选：D．利用函数的零点以及函数的周期，列出不等式求解即可．本题考查函数的零点个数的判断，三角函数的化简求值，考查计算能力，是中档题．12.已知A1，A2，A3，A4成等比数列，且A1+A2+A3+A4=ln(A1+A2+A3)，若A1>1，则()A. A1<A3，A2<A4B. A1>A3，A2<A4C. A1<A3，A2>A4D. A1>A3，A2>A4【答案】B【解析】解：A1，A2，A3，A4成等比数列，由等比数列的性质可知，奇数项符号相同，偶数项符号相同，A1>1，设公比为q，当A>0时，A1+A2+A3+A4>A1+A2+A3，A1+A2+A3+A4=ln(A1+A2+A3)，不成立，即：A1>A3，A2>A4，A1<A3，A2<A4，不成立，排除A、D．当A=−1时，A1+A2+A3+A4=0，ln(A1+A2+A3)>0，等式不成立，所以A≠−1；当A<−1时，A1+A2+A3+A4<0，ln(A1+A2+A3)>0，A1+A2+A3+A4=ln(A1+ A2+A3)不成立，当A∈(−1,0)时，A1>A3>0，A2<A4<0，并且A1+A2+A3+A4=ln(A1+A2+A3)，能够成立，故选：B．利用等比数列的性质以及对数函数的单调性，通过数列的公比的讨论分析判断即可．本题考查等比数列的性质的应用，函数的值的判断，对数函数的性质，考查发现问题解决问题的能力，难度比较大．二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.若cos A=35，且A∈(0,A2)，则tan A2=______．【答案】12【解析】解：∵cos A =1−tan 2A21+tan 2A2，且A ∈(0,A 2)，∴tan A 2=√1−cos A 1+cos A=√1−351+35=12．故答案为12．由余弦的万能公式变形即可． 本题考查余弦的万能公式．14. 已知AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(2,0),AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,2)，AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =A AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,A ∈A .当|AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |最小时，A =______． 【答案】12【解析】解：AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(2,0),AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,2)，AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =A AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,A ∈A ， 可得AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =A (AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )， 可得AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =A AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +(1−A )AA⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(2−2A ,2A )， 即有|AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |2=(2−2A )2+(2A )2=8A 2−8A +4 =8(A −12)2+2，当A =12时，|AA⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |最小，且为2， ∴A =12， 故答案为：12．运用向量的加减运算，求得向量OC 的坐标，再由向量模的公式，结合二次函数的最值求法，可得所求值．本题考查向量的坐标运算和模的计算，运用二次函数的最值求法是解题的关键，属于中档题．15. 在△AAA 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且A sin A =A sin 2A ，A ∈(A 3,A2)，A =√6，sin A =√53，则A =______．【答案】2【解析】解：∵A sin A =A sin 2A ，sin A =√53，∴A sin A =A sin 2A ，由A sin A =Asin A ，可得：sin A =sin 2A =√53，∴sin A >0，cos A =±√1−sin 2A =±23， ∵A ∈(A 3,A 2)，2A ∈(2A3,A )，可得：cos 2A =−√1−sin 22A =−23=2cos 2A −1，∴解得：cos A =√66，sin A =√1−cos 2A =√306， ∴sin A =sin (A +A )=sin A cos A +cos A sin A =√53×√66+(±23)×√306=√306或−√3018(舍去)，∵A =√6，∴由正弦定理可得：A =A ⋅sin A sin A=√6×√53√306=2．故答案为：2．由已知及正弦定理可求sin 2A =√53，利用同角三角函数基本关系式可求cos A ，cos 2A ，利用二倍角的余弦函数公式可求cos A ，可求sin A 的值，根据三角形内角和定理，两角和的正弦函数公式可求sin A ，进而利用正弦定理可求b 的值．本题主要考查了同角三角函数基本关系式，二倍角的余弦函数公式，三角形内角和定理，两角和的正弦函数公式，正弦定理在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．16. 已知[A ]表示不超过x 的最大整数，例如：[2.3]=2，[−1.5]=−2.在数列{A A }中，A A =[1AA ]，A ∈A +，记A A 为数列{A A }的前n 项和，则A 2018=______．【答案】4947【解析】解：∵A A =[1AA ]，∴A 1=[1A1]=0，A 2=[1A2]=0，…，A 9=[1A9]=0， A 10=[1A10]=1，A 11=[1A11]=1，…，A 99=[1A99]=1，A 100=[1A100]=2，A 101=[1A101]=2，…，A 999=[1A999]=2，A 1000=[1A1000]=3，A 1001=[1A1001]=3，…，A 2018=[1A2018]=3， ∴A 2018=9×0+90×1+900×2+1019×3=4947 故答案为：4947根据题意，归纳可以得到A 1=[1A1]=0，A 2=[1A2]=0，…，A 9=[1A9]=0，A 10=[1A10]=1，A 11=[1A11]=1，…，A 99=[1A99]=1，A 100=[1A100]=2，A 101=[1A101]=2，…，A 999=[1A999]=2，A 1000=[1A1000]=3，A 1001=[1A1001]=3，…，A 2018=[1A2018]=3，求和即可本题考查数列的项数n 的求法、新定义、对数性质，考查了猜想归纳、分析问题和解决问题的能力，考察了推理能力和计算能力，属于中档题．三、解答题（本大题共6小题，共70.0分）17. 已知函数A (A )=√3cos 2A +2sin (A −A4)cos (A +A4)．(1)求函数A (A )的单调区间；(2)求函数A (A )在区间[0,A2]上的最大值和最小值，并求出相应x 的值．【答案】解：(1)A (A )=√3cos 2A +2sin (A −A4)cos (A +A4)=√3cos 2A +sin 2A −1=2sin (2A +A3)−1．令2AA −A2≤2A +A3≤2AA +A2，A ∈A ，解得AA −5A 12≤A ≤AA +A12，A ∈A ； 令2AA +A2≤2A +A3≤2AA +3A 2A ∈A ，解得AA +A 12≤A ≤AA +7A12，A ∈A ，所以A (A )的单调递增区间为[AA −5A 12,AA +A 12](A ∈A )，单调递减区间为[AA +A12,AA +7A12](A ∈A )． (2)当A ∈[0,A 2]时，2A +A 3∈[A 3,4A3]，当2A +A 3=4A 3，即A =A2时，A (A )的最小值为−√3−1；当2A +A 3=A 2，即A =A12时，A (A )的最大值为1．【解析】(1)利用辅助角公式以及两角和差的公式进行化简即可． (2)求出角在[0,A2]上的取值范围，结合三角函数的单调性进行求解．本题主要考查三角函数的图象和性质，利用辅助角公式求出函数A (A )的表达式是解决本题的关键．18. 各项均为正数的数列{A A }的前n 项和为A A ，满足A 2=4，A A +12=6A A +9A +1，A ∈A ∗.各项均为正数的等比数列{A A }满足A 1=A 1，A 3=A 2．(1)求数列{A A }和{A A }的通项公式；(2)若∁A =A A ⋅A A ，数列{∁A }的前n 项和为A A ，求A A ． 【答案】解：(1)∵A A +12=6A A +9A +1， ∴当A ≥2时，A A 2=6A A −1+9(A −1)+1，两式相减得A A +12−A A 2=6A A +9，即A A +12=(A A +3)2， 又各项均为正数，∴A A +1=A A +3(A ≥2)．又当A =1时，A 22=6A 1+9+1=16，解得A 1=1， ∴A 2−A 1=3满足上式，∴{A A }为首项为1，公差为3的等差数列， ∴A A =3A −2，A ∈A ∗．又A 1=1，A 3=4，可得公比为2，∴A A =2A −1，A ∈A ∗．(2)由(1)知，A A =A A ⋅A A =(3A −2)×2A −1， ∴A A =1+4×21+7×22+⋯+(3A −2)×2A −1，∴2A A =1×2+4×22+7×23+⋯+(3A −2)×2A ，两式相减得−A A =1+3×(21+22+⋯+2A −1)−(3A −2)×2A =(5−3A )×2A −5， ∴A A =(3A −5)×2A +5，A ∈A ∗．【解析】(1)运用数列的递推式和等差数列和等比数列的通项公式可得所求通项公式；(2)求得A A =A A ⋅A A =(3A −2)×2A −1，由数列的错位相减法求和，结合等比数列的求和公式，可得所求和．本题考查等差数列和等比数列的通项公式和求和公式的运用，考查数列的错位相减法求和，考查化简运算能力，属于中档题．19. 已知在△AAA 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且A sin A =A cos (A −A6)．(1)求角B 的大小；(2)设A =√7，A =2，D 为AC 上一点，若A △AAA =√3，求AD 的长． 【答案】解：(1)在△AAA 中，由正弦定理A sin A =Asin A ，可得A sin A =A sin A ， 又由A sin A =A cos (A −A6)，得A sin A =A cos (A −A6)，即sin A =cos (A −A6)，化简可得tan A =√3， 又因为A ∈(0,A )， 所以A =A 3．(2)在△AAA 中，由余弦定理及A =√7，A =2，A =A 3， 得A 2=A 2+A 2−2AA cos A ，解得A =3， 又A △AAA =12AA sin A =3√32， 所以A △AAAA △AAA =AA AA =√33√32=23，所以AA =23A =2√73． 【解析】(1)由正弦定理，两角差的正弦函数公式，同角三角函数基本关系式化简已知等式可得tan A =√3，结合范围A ∈(0,A )，可求B 的值．(2)在△AAA 中，由余弦定理可得c 的值，利用三角形面积公式可求△AAA 的面积，根据三角形面积公式即可解得AA =23A =2√73． 本题主要考查了正弦定理，两角差的正弦函数公式，同角三角函数基本关系式，余弦定理，三角形面积公式在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．20. 设函数A (A )=ln A −12AA 2−AA(1)当A =A =12时，求函数A (A )的单调区间；(2)当A =0，A =−1时，方程A (A )=AA 在区间[1,A 2]内有唯一实数解，求实数m 的取值范围．【答案】解：(1)依题意，知A (A )的定义域为(0,+∞)， 当A =A =12时，A (A )=ln A −14A 2−12A ， ∴A′(A )=−(A +2)(A −1)2A，令A′(A )=0，解得：A =1或A =−2(舍去)，经检验，A =1是方程的根． 当0<A <1时，A′(A )>0，当A >1时，A′(A )<0， 所以A (A )的单调递增区间是(0,1)，单调递减区间是(1,+∞)． (2)当A =0，A =−1时，A (A )=ln A +A ， 由A (A )=AA 得AA =ln A +A ， 又因为A >0，所以A =1+ln AA，要使方程A (A )=AA 在区间[1,A 2]内有唯一实数解，只需A =1+ln AA有唯一实数解， 令A (A )=1+ln AA(A >0)，∴A′(A )=1−ln A A2(A >0)，由A′(A )>0，得：0<A <A ，由A′(A )<0，得A >A ， 所以A (A )在区间[1,A ]上是增函数，在区间[A ,A 2]上是减函数，A (1)=1+ln 11=1，A (A 2)=1+ln A2A2=1+2A2，A (A )=1+ln A A =1+1A ， 所以A =1+1A 或1≤A <1+2A2．【解析】(1)将a ，b 的值代入，求出函数A (A )的表达式，导数，从而求出函数的单调区间； (2)将a ，b 的值代入函数的表达式，问题转化为只需A =1+ln AA有唯一实数解，求出函数A =A (A )=1+ln AA的单调性，从而求出m 的范围．本题考查了函数的单调性问题，考查导数的应用，考查转化思想，是一道中档题．21. 设正数列{A A }的前{A A }项和为n ，且2√A A =A A +1．(1)求数列{A A }的通项公式．(2)若数列A A =A A +32，设A A 为数列{1A A A A +1}的前n 项的和，求A A ．(3)若A A ≤AA A +1对一切A ∈A ∗恒成立，求实数A 的最小值． 【答案】解：(1)∵正数列{A A }的前n 项和为A A ，且A A =2√A A −1， ∴A A =A A −1+A A =A A −1+2√A A −1， ∴A A −1=(√A A −1)2， ∴√A A −√A A −1=1，∵A1=2√A1+1，解得A1=1，∴√A A=1+A−1=A，∴A A=A2，∴A A=A A−A A−1=A2−(A−1)2=2A−1，当A=1时，2A−1=1=A1，∴A A=2A−1．(2)A A=A A+32=2A−1+32=A+1，∴1A A A A+1=1(A+1)(A+2)=1A+1−1A+2，∴A A=12−13+13−14+⋯+1A+1−1A+2=12−1A+2=A2A+4(3)A A≤AA A+1对一切A∈A∗恒成立，∴A2A+4≤A(A+2)，∴A≥A2(A2+4A+4)=12⋅1A+4A+4≥12⋅12√A⋅4A12√A⋅4A+4=116，当且仅当A=2时取等号，故实数A的最小值为116【解析】(1)由已知条件，利用数列的性质，推导出√A A−√A A−1=1，A1=1，从而得到A A=A2，由此能求出数列{A A}的通项公式．(2)求出A A的通项公式，再根据列项求和即可求出求A A．(3)将A分离出来得A≥A2(A2+4A+4)，利用基本不等式即可求出．本题主要考查了恒成立问题，以及等比数列的通项和裂项求和法，属于中档题．22.已知A(A)=2A ln A，A(A)=A3+AA2−A+2．(1)如果函数A(A)的单调递减区间为(−13,1)，求函数A(A)的解析式；(2)在(1)的条件下，求函数A=A(A)的图象在点A(−1,A(−1))处的切线方程；(3)已知不等式恒成立，若方程AA A−A=0恰有两个不等实根，求m的取值范围．【答案】解：，由题意3A2+2AA−1<0的解集为(−13,1)，即3A2+2AA−1=0的两根分别是−13，1，代入得A=−1，∴A(A)=A3−A2−A+2.….(3分)(2)由(1)知，A(−1)=1，，，∴点A(−1,1)处的切线斜率，∴函数A=A(A)的图象在点A(−1,1)处的切线方程为A−1=4(A+1)，即4A−A+5=0.…(6分)(3)由题意知2A ln A≤3A2+2AA+1对A∈(0,+∞)上恒成立，可得A≥ln A−32A−12A对A∈(0,+∞)上恒成立，…(7分)设A(A)=ln A−3A2−12A，则A′(A)=1A −32+12A2=−(A−1)(3A+1)2A2，令，得A=1，A=−13(舍)，11当0<A<1时， 0'/>；当A>1时，，∴当A=1时，A(A)取得最大值，A(A)AAA=−2，∴A≥−2.…(10分)令A(A)=AA A ，则，所以A(A)在[−2,−1]递减，在(−1,+∞)递增，∵A(−2)=−2A−2=−2A2，A(−1)=−A−1=−1A，当A→+∞时，A(A)→+∞，所以要把方程AA A−A=0恰有两个不等实根，只需−1A <A≤−2A2.…(12分)【解析】(1)求出函数的导数，根据不等式和方程的根的关系求出a的值，求出函数的解析式即可；(2)求出函数的导数，计算A′(−1)和A(−1)的值，求出切线方程即可；(3)问题转化为A≥ln A−32A−12A对A∈(0,+∞)上恒成立，设A(A)=ln A−3A2−12A，根据函数的单调性求出A(A)的最大值，从而求出a的范围，再求出m的范围即可．本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用以及转化思想，是一道综合题．第!异常的公式结尾页，共12页12。
河北省衡水中学2019届高三下学期大联考卷Ⅱ数学(理)试题答案
D;当x>0
时
,f(x)=2x
x3 +2-x
>
sin2θ,所 以
P S = 正 方 形EFGH S正 方 形ABCD
=1-sin2θ.故 选
C.
0,排
除
B;由
f
(4)=
24
43 +2-4
26 > 2×24
=2,f (8)=
83 28 +2-8
29 <28
=2,得 f(4)>f(8),排 除
C.故
选
A.
12 6+12=
2 3
,所
以
p=4.故
选
C.
7.D
【解
析】
由题意得A→O=
1 3
(A→B+A→C)=
1 3
(-2B→A +
连接 MC,显然 NC⊥MC.令 正 方 体 的 棱 长 为 2,PM = x,x∈[0,2],则 MC= x2+1,又CN=1,所以tanθ=
x2+1,所以tanθ∈[1,5].故选 B.
当n≥2
时
,an
2019 年 全 国 高 三 统 一 联 合 考 试
·理科数学·
参考答案及解析
2019 年 全 国 高 三 统 一 联 合 考 试 · 理 科 数 学
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【高考模拟】2019理科数学试卷(二)及答案解析
2019年普通高等学校招生全国统一考试模拟卷理科数学（二）本试题卷共7页，23题（含选考题）。
全卷满分150分。
考试用时120分钟。
★祝考试顺利★注意事项：1、答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
用2B铅笔将答题卡上试卷类型A后的方框涂黑。
2、选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
3、填空题和解答题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
4、选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B铅笔涂黑。
答案写在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
5、考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。
第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．设i是虚数单位，若复数z的共轭复数为（）A B C D2．若双曲线221yxm-=的一个焦点为()3,0-，则m=（）A．B．8C．9D．643．得到函数()f x的图像，（）A B C D4．函数()12xf x ⎛⎫= ⎪⎝⎭，()0,x ∈+∞的值域为D ，在区间()1,2-上随机取一个数x ，则x D ∈的概率是（ ） A ．12B ．13C ．14D ．15．记()()()()72701272111x a a x a x a x -=+++++⋅⋅⋅++，则012a a a +++6a ⋅+的值为（ ）A ．1B ．2C ．129D ．21886．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）A ．83B ．163C ．203D ．87．《九章算术》是我国古代的数学名著，书中有如下问题：“今有大夫、不更、簪裹、上造、公士，凡五人，共猎得五鹿，欲以爵次分之，问各得几何？”其意思：“共有五头鹿，5人以爵次进行分配（古代数学中“以爵次分之”这种表述，一般表示等差分配，在本题中表示等差分配）．”在这个问题中，若大夫得“一鹿、三分鹿之二”，则簪裹得（ ） A ．一鹿、三分鹿之一 B ．一鹿 C ．三分鹿之二D ．三分鹿之一8 ）A ．B ．C ．D ．9．阅读如图所示的程序框图，运行相应程序，输出的结果是（ ）A ．12B ．18C ．120D ．12510．当实数x ，y 满足约束条件3310x y x y y +⎧⎪-⎨⎪⎩≤≥≥，表示的平面区域为C ，目标函数2z x y =-的最小值为1p ，而由曲线()230y x y =≥，直线3x =及x 轴围成的平面区域为D ，向区域D 内任投入一个质点，该质点落入C 的概率为2p ，则1224p p -的值为（ ） A ．12B ．23 C ．35D ．4311．已知点1F 是抛物线C ：22x py =的焦点，点2F 为抛物线C 的对称轴与其准线的交点，过2F 作抛物线C 的切线，切点为A ，若点A 恰好在以1F ，2F 为焦点的双曲线上，则双曲线的离心率为（ ） A．2B1 C1D．212．已知函数()e e x x f x -=+（其中e 是自然对数的底数），若当0x >时，()e 1x mf x m -+-≤恒成立，则实数m 的取值范围为（ ）A ．10,3⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．1,3⎛⎤-∞- ⎥⎝⎦C ．1,3⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭D ．11,33⎡⎤-⎢⎥⎣⎦第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分。
河北省衡水金卷2019届高三二调研考试数学理试题(解析版)
河北省衡水金卷2019届高三二调研考试数学理试题（解析版）一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.设全集为R，集合A={x|0<x<2}，B={x|x≥1}，则A∩(∁RB)=()A. {x|0<x≤1}B. {x|0<x<1}C. {x|1≤x<2}D. {x|0<x<2}【答案】B【解析】解：∵A={x|0<x<2}，B={x|x≥1}，∴∁RB={x|x<1}，∴A∩(∁RB)={x|0<x<1}．故选：B．根据补集、交集的定义即可求出．本题考查了集合的化简与运算问题，是基础题目．2.已知0<a<1，则a2、2a、log2a的大小关系是()A. a2>2a>log2a B. 2a>a2>log2a C. log2a>a2>2a D. 2a>log2a>a2【答案】B【解析】解：∵0<a<1，∴0<a2<1，1<2a<2，log2a<0，∴2a>a2>log2a，故选：B．根据指数函数，幂函数，对数函数的性质分别判断取值范围即可得到结论．本题主要考查函数值的大小比较，根据指数函数，幂函数，对数函数的性质是解决本题的关键，比较基础．3.已知sin(π+θ)=3sin(3π2−θ)，则tan(θ+π4)的值为()A. −2B. 2C. 12D. −12【答案】A【解析】解：由sin(π+θ)=3sin(3π2−θ)，得−sinθ=−3cosθ，∴tanθ=3．∴tan(θ+π4)=tanθ+tanπ41−tanθtanπ4=3+11−3×1=−2．故选：A．由已知求得tanθ，然后展开两角和的正切求解．本题考查三角函数的化简求值，考查诱导公式及两角和的正切，是基础题．4.等差数列{an}的前n项和为S n，且a1+a5+a9=15，则S9=() A. 5 B. 10 C. 15 D. 45【答案】D【解析】解：∵等差数列{an}的前n项和为S n，且a1+a5+a9=15，∴a1+a5+a9=3a5=15，解得a5=5，∴S9=9(a1+a9)=9a5=45．故选：D ．由等差数列通项公式得a 1+a 5+a 9=3a 5=15，求出a 5=5，由此能求出S 9的值．本题考查等差数列的前9项的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意等差数列的性质的合理运用．5.在平行四边形ABCD 中，设AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =a ⃗ ，AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =b ⃗ ，BE ⃗⃗⃗⃗⃗ =12BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，AF ⃗⃗⃗⃗⃗ =23AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，则EF⃗⃗⃗⃗⃗ =( ) A. −13a ⃗ +16b ⃗ B. 13a ⃗ −b ⃗ C. −12a ⃗ +13b ⃗ D. 12a ⃗ −16b ⃗ 【答案】A【解析】解：EF ⃗⃗⃗⃗⃗ =EC ⃗⃗⃗⃗⃗ +CF ⃗⃗⃗⃗⃗ =12AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −13AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =12AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −13(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )=−13AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +16AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =−13a ⃗ +16b ⃗ ， 故选：A ．由向量的线性运算得：EF ⃗⃗⃗⃗⃗ =EC ⃗⃗⃗⃗⃗ +CF ⃗⃗⃗⃗⃗ =12AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −13AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =12AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −13(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )=−13AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +16AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =−13a ⃗ +16b ⃗ ，得解． 本题考查了向量的线性运算，属简单题．6. 若在数列{a n }中，a 1=1，a n+1=2a n ，n ∈N ∗，则a 1a 3+a 2a 4+a 3a 5+a 4a 6=( )A. 84B. 340C. 670D. 1364【答案】B【解析】解：根据题意，数列{a n }中，a 1=1，a n+1=2a n ，n ∈N ∗， 则数列{a n }为等比数列，且a 1=1，公比q =2， 则a n =2n−1，则a 1a 3+a 2a 4+a 3a 5+a 4a 6=a 22+a 32+a 42+a 52=22+42+82+162=340． 故选：B ． 根据题意，由等比数列的定义可得数列{a n }为等比数列，且a 1=1，公比q =2，进而可得a n =2n−1，则a 1a 3+a 2a 4+a 3a 5+a 4a 6=a 22+a 32+a 42+a 52，计算可得答案．本题考查等比数列的性质以及通项公式的计算，关键是求出数列{a n }的通项公式．7. 在如图的平面图形中，已知OM =1，ON =2，∠MON =120∘，BM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =2MA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，CN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =2NA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，则BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OM⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的值为( )A. −15B. −9C. −6D. 0【答案】C【解析】解：解法Ⅰ，由题意，BM⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =2MA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，CN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =2NA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，∴BM MA=CN NA=2，∴BC//MN ，且BC =3MN ，又MN 2=OM 2+ON 2−2OM ⋅ON ⋅cos120∘=1+4−2×1×2×(−12)=7，∴MN =√7； ∴BC =3√7，∴cos∠OMN =OM 2+MN 2−ON 22OM⋅MN=2×1×√7=√7，∴BC⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =|BC ⃗⃗⃗⃗⃗ |×|OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |cos(π−∠OMN)=3√7×1×(−2√7)=−6．解题Ⅱ：不妨设四边形OMAN 是平行四边形，由OM =1，ON =2，∠MON =120∘，BM⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =2MA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，CN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =2NA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，知BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =AC ⃗⃗⃗⃗⃗ −AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =3AN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −3AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =−3OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +3ON⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ， ∴BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(−3OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +3ON ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )⋅OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =−3OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 2+3ON ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OM⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =−3×12+3×2×1×cos120∘=−6． 故选：C ．解法Ⅰ，由题意判断BC//MN ，且BC =3MN ，再利用余弦定理求出MN 和∠OMN 的余弦值，计算BC⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 即可． 解法Ⅱ：用特殊值法，不妨设四边形OMAN 是平行四边形， 由题意求得BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OM⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的值． 本题考查了平面向量的线性运算与数量积运算问题，是中档题．8.在平面直角坐标系xOy 中，圆C 的参数方程为{y =3+3sinϕx=3cosϕ(φ为参数).以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴，取相同的长度单位建立极坐标系，直线l 的极坐标方程是2ρsin(θ−π6)=4√3，射线OM ：θ=5π6与圆C 的交点为P ，与直线l 的交点为Q ，则线段PQ 的长为( )A. 12B. √22C. 1D. 2【答案】C【解析】解：∵圆C 的参数方程为{y =3+3sinϕx=3cosϕ(φ为参数)．∴圆C 的普通方程为x 2+(y −3)2=9， ∴圆C 的极坐标方程为ρ=6sinθ，直线l 的极坐标方程是2ρsin(θ−π6)=4√3， 射线OM ：θ=5π6圆C 的交点为P ，与直线l 的交点为Q ，设P(ρ1,θ1)，由{ρ=6sinθθ=5π6，解得ρ1=3,θ1=5π6，设Q(ρ2,θ2)，由{2ρsin(θ−π6)θ=5π6，解得ρ2=4,θ2=5π6，∴线段PQ 的长为|PQ|=|ρ2−ρ1|=1．故选：C ．由圆C 的参数方程求出圆C 的普通方程，进而求出圆C 的极坐标方程，设P(ρ1,θ1)，由{ρ=6sinθθ=5π6，解得ρ1=3,θ1=5π6，设Q(ρ2,θ2)，由{2ρsin(θ−π6)θ=5π6，解得ρ2=4,θ2=5π6，线段PQ 的长为|PQ|=|ρ2−ρ1|，由此能求出结果．本题考查线段长的求法，考查直角坐标方程、极坐标方程、参数方程的互化等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．9.将函数y =sin(2x +π3)的图象向右平移π6个单位长度得到函数y =g(x)的图象，则下列选项不成立的是( )A. 函数g(x)的最小正周期为πB. 函数g(x)的图象关于直线x =π4对称C. 函数g(x)为奇函数D. 函数g(x)在区间[π4,π]上单调递减 【答案】D【解析】解：将函数y =sin(2x +π3)的图象向右平移π6个单位长度得到函数y =g(x)=sin2x 的图象， 则g(x)的最小正周期为2π2=π，故A 成立；当x=π4时，g(x)=1为最大值，故函数g(x)的图象关于直线x=π4对称，故B正确；显然，g(x)为奇函数，故C正确；在区间[π4,π]上，2x∈[π2,2π]，g(x)没有单调性，故D错误，故选：D．利用函数y=Asin(ωx+φ)的图象变换规律得到g(x)的解析式，再根据正弦函数的性质得出结论．本题主要考查函数y=Asin(ωx+φ)的图象变换规律，正弦函数的性质，属于基础题．10.已知函数f(x)={−xe x,x<0xe x,x≥0(e是自然对数底数)，方程f2(x)+tf(x)+1=0(t∈R)有四个实数根，则t的取值范围为()A. (e+1e ,+∞) B. (−∞,−e−1e) C. (−e−1e,−2) D. (2,e+1e)【答案】B【解析】解：函数f(x)={−xe x,x<0xe x,x≥0(e是自然对数底数)，易知f(x)在[0,+∞)上是增函数，当x∈(−∞,0)时，f(x)=−xe x，f′(x)=−e x(x+1)，故f(x)在(−∞,−1)上是增函数，在(−1,0)上是减函数；作出函数图象如下；且f(−1)=1e；若方程f2(x)+tf(x)+1=0(t∈R)有四个实数根，则方程x2+tx+1=0(t∈R)有两个不同的实根，且x1∈(0,1e )，x2∈(1e,+∞)∪{0}，∴{0+0+1>01e2+t⋅1e+1<0，或1=0；解得，t<−e−1e，∴t的取值范围是(−∞,−e−1e).故选：B．根据f(x)的解析式，利用导数确定函数的单调性，作出函数的简图，根据函数的图象与性质求得t的取值范围．本题考查了分段函数的应用和导数的综合应用问题，也考查了函数零点的应用问题，是中档题．11.已知函数f(x)=sin(ωx+π6)(ω>0)，若函数f(x)在区间(π,2π)内没有零点，则ω的取值范围是( )A. (0,512] B. (0,512]∪[56,1112) C. (0,56] D. (0,512]∪[56,1112]【答案】D【解析】解：函数f(x)=sin(ωx+π6)，T=2πω，由题意可得，πω≥π，则0<ω≤1，又f(x)在区间(π,2π)内没有零点，函数的图象如图两种类型，结合三角函数可得：{ωπ+π6≥02ωπ+π6≤π或{ωπ+π6≥π2ωπ+π6≤2π，解得ω∈(0,512]∪[56,1112].故选：D．利用函数的零点以及函数的周期，列出不等式求解即可．本题考查函数的零点个数的判断，三角函数的化简求值，考查计算能力，是中档题．12.已知a1，a2，a3，a4成等比数列，且a1+a2+a3+a4=ln(a1+a2+a3)，若a1>1，则()A. a1<a3，a2<a4B. a1>a3，a2<a4C. a1<a3，a2>a4D. a1>a3，a2>a4【答案】B【解析】解：a1，a2，a3，a4成等比数列，由等比数列的性质可知，奇数项符号相同，偶数项符号相同，a1>1，设公比为q，当q>0时，a1+a2+a3+a4>a1+a2+a3，a1+a2+a3+a4=ln(a1+a2+a3)，不成立，即：a1>a3，a2>a4，a1<a3，a2<a4，不成立，排除A、D．当q=−1时，a1+a2+a3+a4=0，ln(a1+a2+a3)>0，等式不成立，所以q≠−1；当q<−1时，a1+a2+a3+a4<0，ln(a1+a2+a3)>0，a1+a2+a3+a4=ln(a1+a2+a3)不成立，当q∈(−1,0)时，a1>a3>0，a2<a4<0，并且a1+a2+a3+a4=ln(a1+a2+a3)，能够成立，故选：B．利用等比数列的性质以及对数函数的单调性，通过数列的公比的讨论分析判断即可．本题考查等比数列的性质的应用，函数的值的判断，对数函数的性质，考查发现问题解决问题的能力，难度比较大．二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.若cosα=35，且α∈(0,π2)，则tanα2=______．【答案】12【解析】解：∵cosα=1−tan 2α21+tan2α2，且α∈(0,π2)，∴tan α2=√1−cosα1+cosα=√1−351+35=12．故答案为12．由余弦的万能公式变形即可． 本题考查余弦的万能公式．14.已知OA ⃗⃗⃗⃗⃗ =(2,0),OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,2)，AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =t AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,t ∈R.当|OC ⃗⃗⃗⃗⃗ |最小时，t =______．【答案】12【解析】解：OA ⃗⃗⃗⃗⃗ =(2,0),OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,2)，AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =t AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,t ∈R ， 可得OC ⃗⃗⃗⃗⃗ −OA ⃗⃗⃗⃗⃗ =t(OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −OA ⃗⃗⃗⃗⃗ )，可得OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =t OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +(1−t)OA ⃗⃗⃗⃗⃗ =(2−2t,2t)， 即有|OC⃗⃗⃗⃗⃗ |2=(2−2t)2+(2t)2=8t 2−8t +4 =8(t −12)2+2，当t =12时，|OC ⃗⃗⃗⃗⃗ |最小，且为2，∴t =12，故答案为：12．运用向量的加减运算，求得向量OC 的坐标，再由向量模的公式，结合二次函数的最值求法，可得所求值．本题考查向量的坐标运算和模的计算，运用二次函数的最值求法是解题的关键，属于中档题．15.在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且bsinA =asin2C ，C ∈(π3,π2)，a =√6，sinB =√53，则b =______．【答案】2【解析】解：∵bsinA =asin2C ，sinB =√53，∴a sinA=b sin2C，由a sinA =bsinB ，可得：sinB =sin2C =√53，∴sinA >0，cosB =±√1−sin 2B =±23， ∵C ∈(π3,π2)，2C ∈(2π3,π)，可得：cos2C =−√1−sin 22C =−23=2cos 2C −1， ∴解得：cosC =√66，sinC =√1−cos 2C =√306， ∴sinA =sin(B +C)=sinBcosC +cosBsinC =√53×√66+(±23)×√306=√306或−√3018(舍去)，∵a =√6，∴由正弦定理可得：b =a⋅sinB sinA=√6×√53√306=2．故答案为：2．由已知及正弦定理可求sin2C =√53，利用同角三角函数基本关系式可求cosB ，cos2C ，利用二倍角的余弦函数公式可求cosC ，可求sinC 的值，根据三角形内角和定理，两角和的正弦函数公式可求sinA ，进而利用正弦定理可求b 的值．本题主要考查了同角三角函数基本关系式，二倍角的余弦函数公式，三角形内角和定理，两角和的正弦函数公式，正弦定理在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．16. 已知[x]表示不超过x 的最大整数，例如：[2.3]=2，[−1.5]=−2.在数列{a n }中，a n =[1gn]，n ∈N +，记S n 为数列{a n }的前n 项和，则S 2018=______．【答案】4947【解析】解：∵an=[1gn]，∴a1=[1g1]=0，a2=[1g2]=0，…，a9=[1g9]=0，a 10=[1g10]=1，a11=[1g11]=1，…，a99=[1g99]=1，a 100=[1g100]=2，a101=[1g101]=2，…，a999=[1g999]=2，a 1000=[1g1000]=3，a1001=[1g1001]=3，…，a2018=[1g2018]=3，∴S2018=9×0+90×1+900×2+1019×3=4947故答案为：4947根据题意，归纳可以得到a1=[1g1]=0，a2=[1g2]=0，…，a9=[1g9]=0，a10=[1g10]=1，a11=[1g11]=1，…，a 99=[1g99]=1，a100=[1g100]=2，a101=[1g101]=2，…，a999=[1g999]=2，a 1000=[1g1000]=3，a1001=[1g1001]=3，…，a2018=[1g2018]=3，求和即可本题考查数列的项数n的求法、新定义、对数性质，考查了猜想归纳、分析问题和解决问题的能力，考察了推理能力和计算能力，属于中档题．三、解答题（本大题共6小题，共70.0分）17.已知函数f(x)=√3cos2x+2sin(x−π4)cos(x+π4)．(1)求函数f(x)的单调区间；(2)求函数f(x)在区间[0,π2]上的最大值和最小值，并求出相应x的值．【答案】解：(1)f(x)=√3cos2x+2sin(x−π4)cos(x+π4)=√3cos2x+sin2x−1=2sin(2x+π3)−1．令2kπ−π2≤2x+π3≤2kπ+π2，k∈Z，解得kπ−5π12≤x≤kπ+π12，k∈Z；令2kπ+π2≤2x+π3≤2kπ+3π2k∈Z，解得kπ+π12≤x≤kπ+7π12，k∈Z，所以f(x)的单调递增区间为[kπ−5π12,kπ+π12](k∈Z)，单调递减区间为[kπ+π12,kπ+7π12](k∈Z)．(2)当x∈[0,π2]时，2x+π3∈[π3,4π3]，当2x+π3=4π3，即x=π2时，f(x)的最小值为−√3−1；当2x+π3=π2，即x=π12时，f(x)的最大值为1．【解析】(1)利用辅助角公式以及两角和差的公式进行化简即可．(2)求出角在[0,π2]上的取值范围，结合三角函数的单调性进行求解．本题主要考查三角函数的图象和性质，利用辅助角公式求出函数f(x)的表达式是解决本题的关键．18.各项均为正数的数列{an}的前n项和为S n，满足a2=4，a n+12=6S n+9n+1，n∈N∗.各项均为正数的等比数列{bn }满足b1=a1，b3=a2．(1)求数列{an }和{bn}的通项公式；(2)若∁n =an⋅bn，数列{∁n}的前n项和为T n，求T n．【答案】解：(1)∵an+12=6S n+9n+1，∴当n≥2时，an2=6S n−1+9(n−1)+1，两式相减得an+12−a n2=6a n+9，即a n+12=(a n+3)2，又各项均为正数，∴an+1=an+3(n≥2)．又当n=1时，a22=6a1+9+1=16，解得a1=1，∴a2−a1=3满足上式，∴{an}为首项为1，公差为3的等差数列，∴an=3n−2，n∈N∗．又b1=1，b3=4，可得公比为2，∴bn=2n−1，n∈N∗．(2)由(1)知，cn =an⋅bn=(3n−2)×2n−1，∴Tn=1+4×21+7×22+⋯+(3n−2)×2n−1，∴2Tn=1×2+4×22+7×23+⋯+(3n−2)×2n，两式相减得−Tn=1+3×(21+22+⋯+2n−1)−(3n−2)×2n=(5−3n)×2n−5，∴Tn=(3n−5)×2n+5，n∈N∗．【解析】(1)运用数列的递推式和等差数列和等比数列的通项公式可得所求通项公式；(2)求得cn =an⋅bn=(3n−2)×2n−1，由数列的错位相减法求和，结合等比数列的求和公式，可得所求和．本题考查等差数列和等比数列的通项公式和求和公式的运用，考查数列的错位相减法求和，考查化简运算能力，属于中档题．19.已知在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且bsinA=acos(B−π6)．(1)求角B的大小；(2)设b=√7，a=2，D为AC上一点，若S△ABD=√3，求AD的长．【答案】解：(1)在△ABC中，由正弦定理asinA =bsinB，可得bsinA=asinB，又由bsinA=acos(B−π6)，得asinB=acos(B−π6)，即sinB=cos(B−π6)，化简可得tanB=√3，又因为B∈(0,π)，所以B=π3．(2)在△ABC中，由余弦定理及b=√7，a=2，B=π3，得b2=a2+c2−2accosB，解得c=3，又S△ABC =12acsinB=3√32，所以S△ABDS△ABC =ADAC=√33√32=23，所以AD=23b=2√73．【解析】(1)由正弦定理，两角差的正弦函数公式，同角三角函数基本关系式化简已知等式可得tanB=√3，结合范围B∈(0,π)，可求B的值．(2)在△ABC中，由余弦定理可得c的值，利用三角形面积公式可求△ABC的面积，根据三角形面积公式即可解得AD=2 3b=2√73．本题主要考查了正弦定理，两角差的正弦函数公式，同角三角函数基本关系式，余弦定理，三角形面积公式在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．20.设函数f(x)=lnx−12ax2−bx(1)当a=b=12时，求函数f(x)的单调区间；(2)当a=0，b=−1时，方程f(x)=mx在区间[1,e2]内有唯一实数解，求实数m的取值范围．【答案】解：(1)依题意，知f(x)的定义域为(0,+∞)，当a=b=12时，f(x)=lnx−14x2−12x，∴f′(x)=−(x+2)(x−1)2x，令f′(x)=0，解得：x=1或x=−2(舍去)，经检验，x=1是方程的根．当0<x<1时，f′(x)>0，当x>1时，f′(x)<0，所以f(x)的单调递增区间是(0,1)，单调递减区间是(1,+∞)．(2)当a =0，b =−1时，f(x)=lnx +x ，由f(x)=mx 得mx =lnx +x ， 又因为x >0，所以m =1+lnx x，要使方程f(x)=mx 在区间[1,e 2]内有唯一实数解，只需m =1+lnxx 有唯一实数解，令g(x)=1+lnx x(x >0)，∴g′(x)=1−lnx x 2(x >0)，由g′(x)>0，得：0<x <e ，由g′(x)<0，得x >e ，所以g(x)在区间[1,e]上是增函数，在区间[e,e 2]上是减函数，g(1)=1+ln11=1，g(e 2)=1+lne 2e 2=1+2e 2，g(e)=1+lne e=1+1e，所以m =1+1e 或1≤m <1+2e 2．【解析】(1)将a ，b 的值代入，求出函数f(x)的表达式，导数，从而求出函数的单调区间；(2)将a ，b 的值代入函数的表达式，问题转化为只需m =1+lnx x有唯一实数解，求出函数y =g(x)=1+lnx x的单调性，从而求出m 的范围．本题考查了函数的单调性问题，考查导数的应用，考查转化思想，是一道中档题．21.设正数列{a n }的前{a n }项和为n ，且2√S n =a n +1．(1)求数列{a n }的通项公式． (2)若数列b n =a n +32，设T n 为数列{1b nb n+1}的前n 项的和，求T n ．(3)若T n ≤λb n+1对一切n ∈N ∗恒成立，求实数λ的最小值．【答案】解：(1)∵正数列{a n }的前n 项和为S n ，且a n =2√S n −1，∴S n =S n−1+a n =S n−1+2√S n −1，∴S n−1=(√S n −1)2， ∴√S n −√S n−1=1， ∵a 1=2√a 1+1，解得a 1=1， ∴√S n =1+n −1=n ，∴S n =n 2，∴a n =S n −S n−1=n 2−(n −1)2=2n −1，当n =1时，2n −1=1=a 1，∴a n =2n −1．(2)b n =a n +32=2n−1+32=n +1，∴1b n b n+1=1(n+1)(n+2)=1n+1−1n+2，∴T n =12−13+13−14+⋯+1n+1−1n+2=12−1n+2=n2n+4(3)T n ≤λb n+1对一切n ∈N ∗恒成立，∴n2n+4≤λ(n +2)，∴λ≥n 2(n 2+4n+4)=12⋅1n+4n+4≥122√n⋅4n2√n⋅4n+4=116，当且仅当n =2时取等号，故实数λ的最小值为116【解析】(1)由已知条件，利用数列的性质，推导出√S n −√S n−1=1，a 1=1，从而得到S n =n 2，由此能求出数列{a n }的通项公式．(2)求出b n 的通项公式，再根据列项求和即可求出求T n ．(3)将λ分离出来得λ≥n2(n 2+4n+4)，利用基本不等式即可求出．本题主要考查了恒成立问题，以及等比数列的通项和裂项求和法，属于中档题．22.已知f(x)=2xlnx，g(x)=x3+ax2−x+2．(1)如果函数g(x)的单调递减区间为(−13,1)，求函数g(x)的解析式；(2)在(1)的条件下，求函数y=g(x)的图象在点P(−1,g(−1))处的切线方程；(3)已知不等式恒成立，若方程ae a−m=0恰有两个不等实根，求m的取值范围．【答案】解：，由题意3x2+2ax−1<0的解集为(−13,1)，即3x2+2ax−1=0的两根分别是−13，1，代入得a=−1，∴g(x)=x3−x2−x+2.….(3分)(2)由(1)知，g(−1)=1，，，∴点P(−1,1)处的切线斜率，∴函数y=g(x)的图象在点P(−1,1)处的切线方程为y−1=4(x+1)，即4x−y+5=0.…(6分)(3)由题意知2xlnx≤3x2+2ax+1对x∈(0,+∞)上恒成立，可得a≥lnx−32x−12x对x∈(0,+∞)上恒成立，…(7分)设ℎ(x)=lnx−3x2−12x，则ℎ′(x)=1x −32+12x2=−(x−1)(3x+1)2x2，令，得x=1，x=−13(舍)，当0<x<1时， 0'/>；当x>1时，，∴当x=1时，ℎ(x)取得最大值，ℎ(x)max=−2，∴a≥−2.…(10分)令φ(a)=ae a，则，所以φ(a)在[−2,−1]递减，在(−1,+∞)递增，∵φ(−2)=−2e−2=−2e2，φ(−1)=−e−1=−1e，当x→+∞时，φ(x)→+∞，所以要把方程ae a−m=0恰有两个不等实根，只需−1e <m≤−2e2.…(12分)【解析】(1)求出函数的导数，根据不等式和方程的根的关系求出a的值，求出函数的解析式即可；(2)求出函数的导数，计算g′(−1)和g(−1)的值，求出切线方程即可；(3)问题转化为a≥lnx−32x−12x对x∈(0,+∞)上恒成立，设ℎ(x)=lnx−3x2−12x，根据函数的单调性求出ℎ(x)的最大值，从而求出a的范围，再求出m的范围即可．本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用以及转化思想，是一道综合题．。
河北省衡水金卷2019届高三二调研考试数学理试题(解析版)
河北省衡水金卷2019届高三二调研考试数学理试题一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.设全集为R，集合，，则A. B. C. D.【答案】B【解析】解：，，，．故选：B．根据补集、交集的定义即可求出．本题考查了集合的化简与运算问题，是基础题目．2.已知，则、、的大小关系是A. B. C. D.【答案】B【解析】解：，，，，，故选：B．根据指数函数，幂函数，对数函数的性质分别判断取值范围即可得到结论．本题主要考查函数值的大小比较，根据指数函数，幂函数，对数函数的性质是解决本题的关键，比较基础．3.已知，则的值为A. B. 2 C. D.【答案】A【解析】解：由，得，．．故选：A．由已知求得，然后展开两角和的正切求解．本题考查三角函数的化简求值，考查诱导公式及两角和的正切，是基础题．4.等差数列的前n项和为，且，则A. 5B. 10C. 15D. 45【答案】D【解析】解：等差数列的前n项和为，且，，解得，．故选：D．由等差数列通项公式得，求出，由此能求出的值．本题考查等差数列的前9项的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意等差数列的性质的合理运用．5.在平行四边形ABCD中，设，，，，则A. B. C. D.【答案】A【解析】解：，故选：A．由向量的线性运算得：，得解．本题考查了向量的线性运算，属简单题．6.若在数列中，，，，则A. 84B. 340C. 670D. 1364【答案】B【解析】解：根据题意，数列中，，，，则数列为等比数列，且，公比，则，则．故选：B．根据题意，由等比数列的定义可得数列为等比数列，且，公比，进而可得，则，计算可得答案．本题考查等比数列的性质以及通项公式的计算，关键是求出数列的通项公式．7.在如图的平面图形中，已知，，，，，则的值为A. B. C. D. 0【答案】C【解析】解：解法Ⅰ，由题意，，，，，且，又，；，，．解题Ⅱ：不妨设四边形OMAN是平行四边形，由，，，，，知，．故选：C．解法Ⅰ，由题意判断，且，再利用余弦定理求出MN和的余弦值，计算即可．解法Ⅱ：用特殊值法，不妨设四边形OMAN是平行四边形，由题意求得的值．本题考查了平面向量的线性运算与数量积运算问题，是中档题．8.在平面直角坐标系xOy中，圆C的参数方程为为参数以O为极点，x轴的正半轴为极轴，取相同的长度单位建立极坐标系，直线l的极坐标方程是，射线OM：与圆C的交点为P，与直线l的交点为Q，则线段PQ的长为A. B. C. 1 D. 2【答案】C【解析】解：圆C的参数方程为为参数．圆C的普通方程为，圆C的极坐标方程为，直线l的极坐标方程是，射线OM：圆C的交点为P，与直线l的交点为Q，设，由，解得，设，由，解得，线段PQ的长为．故选：C．由圆C的参数方程求出圆C的普通方程，进而求出圆C的极坐标方程，设，由，解得，设，由，解得，线段PQ的长为，由此能求出结果．本题考查线段长的求法，考查直角坐标方程、极坐标方程、参数方程的互化等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．9.将函数的图象向右平移个单位长度得到函数的图象，则下列选项不成立的是A. 函数的最小正周期为B. 函数的图象关于直线对称C. 函数为奇函数D. 函数在区间上单调递减【答案】D【解析】解：将函数的图象向右平移个单位长度得到函数的图象，则的最小正周期为，故A成立；当时，为最大值，故函数的图象关于直线对称，故B正确；显然，为奇函数，故C正确；在区间上，，没有单调性，故D错误，故选：D．利用函数的图象变换规律得到的解析式，再根据正弦函数的性质得出结论．本题主要考查函数的图象变换规律，正弦函数的性质，属于基础题．10.已知函数是自然对数底数，方程有四个实数根，则t的取值范围为A. B. C. D.【答案】B【解析】解：函数是自然对数底数，易知在上是增函数，当时，，，故在上是增函数，在上是减函数；作出函数图象如下；且；若方程有四个实数根，则方程有两个不同的实根，且，，，或；解得，，的取值范围是故选：B．根据的解析式，利用导数确定函数的单调性，作出函数的简图，根据函数的图象与性质求得t的取值范围．本题考查了分段函数的应用和导数的综合应用问题，也考查了函数零点的应用问题，是中档题．11.已知函数，若函数在区间内没有零点，则的取值范围是A. B. C. D.【答案】D【解析】解：函数，，由题意可得，，则，又在区间内没有零点，函数的图象如图两种类型，结合三角函数可得：或，解得故选：D．利用函数的零点以及函数的周期，列出不等式求解即可．本题考查函数的零点个数的判断，三角函数的化简求值，考查计算能力，是中档题．12.已知，，，成等比数列，且，若，则A. ，B. ，C. ，D. ，【答案】B【解析】解：，，，成等比数列，由等比数列的性质可知，奇数项符号相同，偶数项符号相同，，设公比为q，当时，，，不成立，即：，，，，不成立，排除A、D．当时，，，等式不成立，所以；当时，，，不成立，当时，，，并且，能够成立，故选：B．利用等比数列的性质以及对数函数的单调性，通过数列的公比的讨论分析判断即可．本题考查等比数列的性质的应用，函数的值的判断，对数函数的性质，考查发现问题解决问题的能力，难度比较大．二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.若，且，则______．【答案】【解析】解：，且，．故答案为．由余弦的万能公式变形即可．本题考查余弦的万能公式．14.已知，当最小时，______．【答案】【解析】解：，，可得，可得，即有，当时，最小，且为2，，故答案为：．运用向量的加减运算，求得向量OC的坐标，再由向量模的公式，结合二次函数的最值求法，可得所求值．本题考查向量的坐标运算和模的计算，运用二次函数的最值求法是解题的关键，属于中档题．15.在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且，，，，则______．【答案】2【解析】解：，，，由，可得：，，，，，可得：，解得：，，或舍去，，由正弦定理可得：．故答案为：2．由已知及正弦定理可求，利用同角三角函数基本关系式可求，，利用二倍角的余弦函数公式可求，可求的值，根据三角形内角和定理，两角和的正弦函数公式可求，进而利用正弦定理可求b的值．本题主要考查了同角三角函数基本关系式，二倍角的余弦函数公式，三角形内角和定理，两角和的正弦函数公式，正弦定理在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．16.已知表示不超过x的最大整数，例如：，在数列中，，，记为数列的前n项和，则______．【答案】4947【解析】解：，，，，，，，，，，，，，，，，，故答案为：4947根据题意，归纳可以得到，，，，，，，，，，，，，，，，求和即可本题考查数列的项数n的求法、新定义、对数性质，考查了猜想归纳、分析问题和解决问题的能力，考察了推理能力和计算能力，属于中档题．三、解答题（本大题共6小题，共70.0分）17.已知函数．求函数的单调区间；求函数在区间上的最大值和最小值，并求出相应x的值．【答案】解：．令，，解得，；令，解得，，所以的单调递增区间为，单调递减区间为．当时，，当，即时，的最小值为；当，即时，的最大值为1．【解析】利用辅助角公式以及两角和差的公式进行化简即可．求出角在上的取值范围，结合三角函数的单调性进行求解．本题主要考查三角函数的图象和性质，利用辅助角公式求出函数的表达式是解决本题的关键．18.各项均为正数的数列的前n项和为，满足，，各项均为正数的等比数列满足，．求数列和的通项公式；若，数列的前n项和为，求．【答案】解：，当时，，两式相减得，即，又各项均为正数，．又当时，，解得，满足上式，为首项为1，公差为3的等差数列，，．又，，可得公比为2，，．由知，，，，两式相减得，，．【解析】运用数列的递推式和等差数列和等比数列的通项公式可得所求通项公式；求得，由数列的错位相减法求和，结合等比数列的求和公式，可得所求和．本题考查等差数列和等比数列的通项公式和求和公式的运用，考查数列的错位相减法求和，考查化简运算能力，属于中档题．19.已知在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且．求角B的大小；设，，D为AC上一点，若，求AD的长．【答案】解：在中，由正弦定理，可得，又由，得，即，化简可得，又因为，所以．在中，由余弦定理及，，，得，解得，又，所以，所以．【解析】由正弦定理，两角差的正弦函数公式，同角三角函数基本关系式化简已知等式可得，结合范围，可求B的值．在中，由余弦定理可得c的值，利用三角形面积公式可求的面积，根据三角形面积公式即可解得．本题主要考查了正弦定理，两角差的正弦函数公式，同角三角函数基本关系式，余弦定理，三角形面积公式在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．20.设函数当时，求函数的单调区间；当，时，方程在区间内有唯一实数解，求实数m的取值范围．【答案】解：依题意，知的定义域为，当时，，，令，解得：或舍去，经检验，是方程的根．当时，，当时，，所以的单调递增区间是，单调递减区间是．当，时，，由得，又因为，所以，要使方程在区间内有唯一实数解，只需有唯一实数解，令，，由，得：，由，得，所以在区间上是增函数，在区间上是减函数，，，，所以或．【解析】将a，b的值代入，求出函数的表达式，导数，从而求出函数的单调区间；将a，b的值代入函数的表达式，问题转化为只需有唯一实数解，求出函数的单调性，从而求出m的范围．本题考查了函数的单调性问题，考查导数的应用，考查转化思想，是一道中档题．21.设正数列的前项和为n，且．求数列的通项公式．若数列，设为数列的前n项的和，求．若对一切恒成立，求实数的最小值．【答案】解：正数列的前n项和为，且，，，，，解得，，，，当时，，．，，对一切恒成立，，，当且仅当时取等号，故实数的最小值为【解析】由已知条件，利用数列的性质，推导出，，从而得到，由此能求出数列的通项公式．求出的通项公式，再根据列项求和即可求出求．将分离出来得，利用基本不等式即可求出．本题主要考查了恒成立问题，以及等比数列的通项和裂项求和法，属于中档题．22.已知，．如果函数的单调递减区间为，求函数的解析式；在的条件下，求函数的图象在点处的切线方程；已知不等式恒成立，若方程恰有两个不等实根，求m的取值范围．【答案】解：，由题意的解集为，即的两根分别是，1，代入得，分由知，，，，点处的切线斜率，函数的图象在点处的切线方程为，即分由题意知对上恒成立，可得对上恒成立，分设，则，令，得，舍，当时，0'/>；当时，，当时，取得最大值，，分令，则，所以在递减，在递增，，，当时，，所以要把方程恰有两个不等实根，只需分【解析】求出函数的导数，根据不等式和方程的根的关系求出a的值，求出函数的解析式即可；求出函数的导数，计算和的值，求出切线方程即可；问题转化为对上恒成立，设，根据函数的单调性求出的最大值，从而求出a的范围，再求出m的范围即可．本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用以及转化思想，是一道综合题．。
河北省衡水金卷2019届高三第二次押题考试数学(理)试卷
河北省衡水金卷2019届高三第二次押题考试数学（理）试题本试题卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共8页，23题（含选考题）。
全卷满分150分。
考试用时120分钟。
★祝考试顺利★注意事项：1、考试范围：高考范围。
2、答题前，请先将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色签字笔填写在试题卷和答题卡上的相应位置，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
用2B铅笔将答题卡上试卷类型A后的方框涂黑。
3、选择题的作答：每个小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选择题答题区域的答案一律无效。
4、填空题和解答题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域的答案一律无效。
如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。
不按以上要求作答无效。
5、选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B铅笔涂黑。
答案用0.5毫米黑色签字笔写在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选修题答题区域的答案一律无效。
6、保持卡面清洁，不折叠，不破损，不得使用涂改液、胶带纸、修正带等。
7、考试结束后，请将本试题卷、答题卡、草稿纸一并依序排列上交。
第Ⅰ卷（选择题共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合,则 ( )A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】求出A与B中不等式的解集确定出A与B，找出两个集合的交集即可.【详解】解：由A中不等式变形得：，即为变形可得：，解得，即A=，对于B中由x2﹣3x+2＞0，得x＜1或x＞2，故B={x|y=log2（x2﹣3x+2）}={x|x＜1或x＞2}，即.故选:D.【点睛】本题考查函数的定义域及其求法及分式不等式解法，考查交集及其运算，是基础题．2.设，，则是成立的( )A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】A【解析】【分析】根据条件，分析是否成立即可。
2019年5月河北省衡水市2019届高三第二次模拟考试数学(理)试题(解析版)
绝密★启用前河北省衡水市2019届高三年级第二次高考模拟考试数学（理）试题（解析版）2019年5月一、选择题（下列每小题所给选项只有一项符合题意,请将正确答案的序号填涂在答题卡上）1.集合{}{}11324x A x x B x ，+=-≤=≥,则A B =U （ ） A. []02，B. ()13，C. []14，D.[)2-+∞，【答案】D【解析】【分析】 解不等式313x -≤-≤可得集合A ,解1222x +≥可得集合B ,进而得到集合A,B 的并集。
【详解】由题得{}|24A x x =-≤≤,{}|1B x x =≤,则有{}|2A B x x ⋃=≥-,故选D 。
【点睛】本题考查求集合的并集,属于基础题。
2.复数121z i z i =+=，,其中i 为虚数单位,则12z z 的虚部为（ ） A. 1-B. 1C. iD. i - 【答案】A【解析】【分析】根据复数共轭的概念得到__1z ,再由复数的除法运算得到结果即可. 【详解】11211,1,z i z i i z i -=-==--虚部为-1, 故选A.【点睛】本题考查了复数的运算法则、复数的共轭复数等,考查了推理能力与计算能力,属于基础题,复数问题高考必考,常见考点有：点坐标和复数的对应关系,点的象限和复数的对应关系,复数的加减乘除运算,复数的模长的计算.3.某中学2018年的高考考生人数是2015年高考考生人数的1.5倍,为了更好地对比该校考生的升学情况,统计了该校2015年和2018年的高考情况,得到如图柱状图：则下列结论正确的是（ ）A. 与2015年相比,2018年一本达线人数减少B. 与2015年相比,2018二本达线人数增加了0.5倍C. 2015年与2018年艺体达线人数相同D. 与2015年相比,2018年不上线的人数有所增加【答案】D【解析】【分析】设2015年该校参加高考的人数为S ,则2018年该校参加高考的人数为1.5S .观察柱状统计图,找出各数据,再利用各数量间的关系列式计算得到答案.【详解】设2015年该校参加高考的人数为S ,则2018年该校参加高考的人数为1.5S . 对于选项A.2015年一本达线人数为0.28S .2018年一本达线人数为0.24 1.50.36S S ⨯=,可见一本达线人数增加了,故选项A 错误；对于选项B,2015年二本达线人数为0.32S ,2018年二本达线人数为0.4 1.50.6S S ⨯=,显然2018年二本达线人数不是增加了0.5倍,故选项B 错误；。