2018北京市海淀区高二(上)期末数学(理)
【精品高二数学期末】2018-2019海淀区高二年级第一学期期末数学练习+答案(理)
海淀区高二年级第一学期期末练习数 学 （理科） 2019.1学校 班级 姓名 成绩本试卷共100分.考试时间90分钟.一. 选择题：本大题共8小题，每小题4分，共32分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 直线210x y +-=在y 轴上的截距为（ ）A. 2-B. 1-C. 12- D. 12. 在空间直角坐标系中，已知点(1,0,1)A ，(3,2,1)B ，则线段AB 的中点的坐标是（ ）A. (1,1,1)B. (2,1,1)C. (1,1,2)D. (1,2,3)3. 已知圆22310x y x m +-++=经过原点，则实数m 等于（ ）A. 32-B. 1-C. 1D. 324. 鲁班锁是曾广泛流传于民间的智力玩具，它起源于中国古代建筑中首创的榫卯结构, 不用钉子和绳子，完全靠自身结构的连接支撑. 它看似简单，却凝结着不平凡的智慧. 下图为鲁班锁的其中一个零件的三视图，则该零件的体积为（ ）A. 32B. 34C. 36D. 405. 已知平面,αβ, 直线,m n , 下列命题中假命题是（ ）A. 若m α⊥, m β⊥, 则αβPB. 若m n P , m α⊥, 则n α⊥C. 若m α⊥, m β⊂, 则αβ⊥D. 若m αP , αβP ，n β⊂, 则m P n6. 椭圆22:11612x y C +=的焦点为1F ，2F ，若点M 在C 上且满足122MF MF -=，则12F MF ∆中最1244俯视图大角为（ ）A. 90︒B. 105︒C. 120︒D. 150︒ 7. “0m <”是“方程22x my m +=表示双曲线”的（ ）A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件8. 平面α ,β ,γ两两互相垂直, 在平面α内有一点A 到平面β , 平面γ的距离都等于1 . 则在平面α内与点A , 平面β, 平面γ距离都相等的点的个数为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 二. 填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分.9. 直线:10l x y +-=的倾斜角为____, 经过点(1,1)且与直线l 平行的直线方程为_______. 10.10y +-=被圆221x y +=所截得的弦长为_______.11. 请从正方体1111ABCD A B C D -的8个顶点中，找出4个点构成一个三棱锥，使得这个三棱锥的4个面都是直角三角形，则这4个点可以是_________. (只需写出一组)12. 在空间直角坐标系中，已知点(1,2,0)A ，(,3,1)B x -，(4,,2)C y ，若,,A B C 三点共线， 则x y +=______.13. 已知椭圆1C 和双曲线2C 的中心均为原点，且焦点均在x 轴上，从每条曲线上取两个点，将其坐标记录于右表中, 则双曲线的离心率为_______.14. 曲线W 的方程为22322()8x y x y +=.(i) 请写出曲线W 的两条对称轴方程______________； (ii) 请写出曲线W 上的两个点的坐标______________； (iii) 曲线W 上的点到原点的距离的取值范围是____________.三. 解答题：本大题共4小题，共44分. 解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15.（本小题满分10分）在平面直角坐标系xOy 中，圆C 的半径为1，其圆心在射线(0)y x x ≥上，且OC （Ⅰ）求圆C 的方程；（Ⅱ）若直线l 过点(1,0)P 且与圆C 相切，求直线l 的方程.16. （本小题满分10分）如图，在三棱锥P ABC -中，PB PC =，AB AC =，且 点D ，E 分别是BC ，PB 的中点． （Ⅰ）求证：DE P 平面PAC ；（Ⅱ）求证：平面ABC ⊥平面PAD ．EDCBAP17. （本小题满分12分）如图，平面ABCF ⊥平面FCDE ，四边形ABCF 和FCDE 是 全等的等腰梯形，其中AB FC ED P P ，且122AB BC FC ===，点O 为FC 的中点，点G 是AB 的中点.（Ⅰ）请在图中所给的点中找出两个点，使得这两点所在直线与平面EGO 垂直，并给出证明．．； （Ⅱ）求二面角O EG F --的余弦值；（Ⅲ）在线段CD 上是否存在点H ，使得BH P 平面EGO ？如果存在，求出DH 的长度，如果不存在，请说明理由.C18.（本小题满分12分）已知抛物线2:4W y x =，直线4x =与抛物线W 交于,A B 两点. 点00(,)P x y 00(4,0)x y <≥为抛物线上一动点，直线,PA PB 分别与x 轴交于, M N . （Ⅰ）若PAB ∆的面积为4，求点P 的坐标； （Ⅱ）当直线PA PB ⊥时，求线段PA 的长；（Ⅲ）若PMN ∆与PAB ∆面积相等，求PMN ∆的面积.海淀区高二年级第一学期期末练习数 学（理科）参考答案及评分标准2019.1一. 选择题:本大题共8小题, 每小题4分,共32分.二.填空题：本大题共6小题, 每小题4分, 共24分.9.3π4，20x y +-= 10. 11. 1,,,A A B C （此答案不唯一）12. 12- 13.14. ① 0,0x y ==，,y x y x ==-中的任意两条都对② (0,0),(1,1)此答案不唯一 ③ 说明：9题每空2分，14题中 ① ②空 各给1分，③给2分 三. 解答题:本大题共4小题,共44分. 15.（本小题满分10分）解: （I ）设圆心(,)C a a ，则 OC = …………………1分解得2a =，2a =-（舍掉） …………………2分 所以圆 22:(2)(2)1C x y -+-= …………………4分 （Ⅱ）① 若直线l 的斜率不存在，直线l ：1x =，符合题意 …………………5分 ② 若直线l 的斜率存在，设直线l 为(1)y k x =-，即 0kx y k --= …………………6分由题意,圆心到直线的距离 1d == …………………8分解得34k =…………………9分 所以直线l 的方程为3430x y --= ………………10分综上所述，所求直线l 的方程为1x =或3430x y --=.16．（本小题满分10分）解: （Ⅰ）证明：在PBC ∆中，因为D ，E 分别是BC ，PB 的中点 ,所以 //DE PC …………………1分 因为 DE ⊄平面PAC ，PC ⊂平面PAC …………………3分说明：上面两个必须有，少一个扣1分.所以 //DE 平面PAC ． …………………4分 （Ⅱ）证明：因为 PB PC =，AB AC =，D 是BC 的中点,所以 PD BC ⊥，AD BC ⊥ …………………6分 因为 PD AD D =I ，,PD AD ⊂平面PAD …………………8分 所以 BC ⊥平面PAD …………………9分 因为 BC ⊂平面ABC所以 平面ABC ⊥平面PAD …………………10分17.（本小题满分12分） 解：法一：向量法（Ⅰ）,F D 点为所求的点.证明如下：因为四边形ABCF 是等腰梯形，点O 为FC 的中点，点G 是AB 的中点, 所以OG FC ⊥. 又平面ABCF ⊥平面FCDE ，平面ABCF I 平面FCDE FC =,所以OG ⊥平面FCDE …………………1分 同理取DE 的中点H ，则OH ⊥平面ABCF .分别以边,,OG OC OH 所在直线为,,x y z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系.由2AB =,得G，D，(0,E -，(0,2,0)F -，则FD =u u u r，OG =u u u r，(0,OE =-u u u r.所以0 , 0FD OG FD OE ⋅=⋅=u u u r u u u r u u u r u u u r…………………3分又EO OG O =I ，所以FD ⊥平面EGO …………………4分（II ）由（Ⅰ）知平面EGO的一个法向量为FD =u u u r. 设平面EFG 的法向量为(,,)m x y z =u r，则0,0,m FE m FG ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩u r u u u ru r u u u r即0,20y y ⎧+=⎪+= …………………5分令y =1z =-，2x =-.所以(1)m =--u r…………………6分所以cos ,FD m <>==u u u r u r …………………7分 由题知所求二面角为锐角所以二面角O EG F --的余弦值为…………………8分 （Ⅲ） 假设存在点H ，使得BH P 平面EOG .设DH DC λ=u u u u r u u u r…………………9分所以BH BD DH BD DC λ=+=+u u u r u u u r u u u u r u u u r u u u r ，所以0FD BH ⋅=u u u r u u u r…………………10分 而计算可得 3FD BH ⋅=u u u r u u u r…………………11分这与0FD BH ⋅=u u u r u u u r矛盾所以在线段CD 上不存在点H ，使得BH P 平面EOG …………………12分法二：（Ⅰ） 证明如下：因为四边形ABCF 是等腰梯形，点O 为FC 的中点，点G 是AB 的中点, 所以OG FC ⊥ …………………1分 又平面ABCF ⊥平面FCDE ，平面ABCF I 平面FCDE FC =,所以OG ⊥平面FCDE …………………2分 因为FD ⊂平面FCDE ,所以OG ⊥FD . 又ED FO P ，且EF ED =，所以EFOD 为菱形，所以FD EO ⊥ …………………3分 因为EO OG O =I ，所以FD ⊥平面EGO . …………………4分 （Ⅲ）假设存在点H ，使得BH P 平面EOG …………………9分 由ED OC P ，所以EOCD 为平行四边形，所以EO DC P …………………10分 因为EO ⊂平面EOG所以 DC P 平面EOG …………………11分 又BH DC H =I ，所以平面EOG P 平面BCD , 所以BC P 平面EOG ，所以BC P OG ，所以GBCO 为平行四边形，所以 GB CO = ，矛盾所以不存在点H ，使得BH P 平面EOG …………………12分18．（本小题满分12分）解: （I ）把4x =代入抛物线方程，得到4y =± …………………1分所以不妨设(4,4),(4,4)A B -,所以||8AB =. 因为11||8422PAB S AB d d ∆=⋅=⋅⋅=, 所以点P 到直线 AB 的距离1d = …………………2分所以点P 的横坐标03x = …………………3分 代入抛物线方程得P …………………4分 （II ）因为PA PB ⊥ ，所以0AP BP ⋅=u u u r u u u r…………………5分 所以0000(4)(4)(4)(4)0x x y y --+-+=, 所以22000816160x x y -++-=,把2004y x =代入得到20040x x -= …………………6分所以00x =，04x =（舍） …………………7分 所以00y =，||PA =…………………8分 （Ⅲ）直线PA 的方程为000444(4)(4)44y y x x x y --=-=--+, 点M 横坐标0004(4)44M x x y y --=+=-- …………………9分同理PB 的方程为 000444(4)(4)44y y x x x y ++=-=---， 点N 横坐标0004(4)44N x x y y -=+=+ …………………10分 因为 PMN PAB S S ∆∆=，所以0011|||||||4|22MN y AB x ⋅=⋅-所以200=4(4)y x -，解得02x = …………………11分 所以 8PMN PAB S S ∆∆== …………………12分说明：解答题有其它正确解法的请酌情给分.11/ 11。
2018北京十一学校高二(上)期末数学(理)【名校真题.北京】
2018北京十一学校高二（上）期末数 学（理） 2018.1本试卷共5页,100分,考试时长120分钟,考生务必将答案答在答题卡上,在试卷上作答无效,考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回.一、选择题(共8小题,每小题4分,共32分) 1. 函数y x =在1x =处的导数为（A ）0 （B ）12（C ）1 （D ）22. 抛物线28y x =的焦点坐标为（A ）(0,2) （B ）(2,0)（C ）1(,0)32（D ）1(0,)323. 双曲线221916x y -=的渐近线方程为（A ）43y x =±（B ）35y x =±（C ）34y x =±（D ）54y x =±4. 已知方程22121x y m m +=-+表示的曲线是椭圆,则实数m 的取值范围是（A ）(1,2)-（B ）11(1,)(,2)22-U （C ）1(1,)2-（D ）1(,2)25. 已知O 为坐标原点,椭圆221169x y +=上的点M 到左焦点1F 的距离为2,N 为1MF 的中点,则ON 的值等于（A ）3（B ）4（C ）5（D ）66.已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的一条渐近线方程是3y x =,且它的一个焦点在抛物线28y x =的准线上,则双曲线的方程为（A ）221412x y -=（B ）221124x y -=（C ）2213y x -=（D ）2213x y -=7. 已知椭圆221(0)259x y a b +=>>的两个焦点分别为1F ,2F ,P 是椭圆上一点,且1260F PF ∠=o ,则12F PF !的面积等于 （A ）63（B ）33（C ）6（D ）38. 若双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的两个焦点为1F ,2F ,若双曲线上存在一点P ,满足12||3||PF PF =,则该双曲线的离心率的取值范围是 （A ）12e <<（B ）12e ≤≤（C ）12e <≤（D ）12e ≤<二、填空题(共6小题,每小题4分,共24分) 9. 函数x y xe =的导数是______.10. 已知抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点F 到准线的距离与椭圆22194x y +=的长轴长相等,则抛物线的标准方程为______.11. 已知定点(3,4)M ,F 为抛物线28y x =的焦点,点P 在该抛物线上移动,当||||PM PF +取最小值时,点P 的坐标为______.12. 已知直线l 的参数方程为23x ty t =+⎧⎨=+⎩（t 为参数）,以平面直角坐标系的坐标原点为极点,x 轴正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C 的极坐标方程为2sin 4cos 0(0,02)ρθθρθπ-=≥≤<,则直线l 与曲线C 的位置关系是______.13. 已知函数3()3ln f x x x x =-+,曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程为______.14. 已知点P 圆22:(4)4C x y -+=上,点Q 在椭圆2214y x +=上移动,则||PA 的最大值为______.三、解答题(共2道大题,共44分,解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程). 15. （本小题9分）设函数21()ln ()2a f x x ax x a -=+-∈R （1）当1a =时,求函数()f x 的极小值; （2）当2a ≥时,讨论函数()f x 的单调性.16. （本小题35分）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的一个顶点为(0,1)B ,半焦距为c ,离心率32e =,又直线:(0)l y kx m k =+≠交椭圆于11(,)M x y ,22(,)N x y 两点,且00(,)P x y 为MN 中点.（5分）（1）求椭圆C 的标准方程; （5分）（2）若1,1k m ==-,求弦MN 的长;（5分）（3）若点1(1,)2Q 恰好平分弦MN ,求实数,k m ;（8分）（4）若满足||||BM BN =,求实数m 的取值范围并求MN OP k k 的值;（6分）（5）设圆222:(2)(0)T x y r r ++=>与椭圆C 相交于点E 与点F ,求TE TF ⋅u u r u u u r 的最小值,并求此时圆T 的方程;（6分）（6）若直线l 是圆224:5O x y +=的切线,证明MON ∠的大小为定值.数学试题答案一、选择题:本大题共8小题,每小题4分,共32分.题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案BDABACBC二、填空题:本大题共6小题,每小题4分,共24分.11.(1)x x e + 12.212y x = 13.(2,4) 14.相切 15.3y x =-16.7三、解答题（本大题共2道大题,共44分）解:(1)当1a =时,()ln f x x x =-,1()x f x x-'=, 当01x <<时,()0f x '<,()f x 单调递减;当1x >时,()0f x '>,()f x 单调递增, 所以()f x 极小值为(1)1f =.(2)11()(1)()1a f x x x x a -'=---,由2a ≥得1011a <≤- ①当2a =时,2(1)()0x f x x--'=-<,()f x 在(0,)+∞单调递减;②当2a >时,1011a <<-,令()0f x '>,解得101x a <<-或1x >;令()0f x '<,解得111x a <<-. 综上所述:①当2a =时,()f x 在(0,)+∞单调递减; ②当2a >时,()f x 在1(0,)1a -和(1,)+∞单调递增,()f x 在1(,1)1a -单调递减. 16.解:(1)根据题意:222132b cab c a =⎧⎪⎪=⎨⎪+=⎪⎩,解得21a b =⎧⎨=⎩,所以椭圆C 的标准方程为2214x y +=;（2）联立直线方程和椭圆方程:22141x y y x ⎧+=⎪⎨⎪=-⎩,整理得:2580x x -=,解得0x =或85-,所以(0,1)M -,83(,)55N ,则228382||()(1)555MN =++=.（3）1(1,)2Q 恰好平分弦MN ,所以00112x y =⎧⎪⎨=⎪⎩,,M N 在椭圆上,则221122221414x y x y ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩,上下相减得12121212()(+)+()(+)04x x x x y y y y --=, 即120120()2+()204x x x y y y -⨯-⨯=,即1212()+()02x x y y --=,则121212y y x x -=--,即12k =-, 点Q 在直线上,所以直线11:(1)22l y x -=--,整理得112y x =-+,所以1m =, 综上所述:12k =-,1m =.（4）由（3）知120120()2+()204x x x y y y -⨯-⨯=,等号两边同时除以120()2x x x -⨯,得104MN OP k k +=,所以14MN OP k k =-. 联立直线方程和椭圆方程:2214x y y kx m ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩,整理得:222(41)8440k x kmx m +++-=,2222644(41)(44)0k m k m ∆=-+->,解得2214m k ->,则122841km x x k +=-+,所以12024241x x km x k +==-+,则00241my kx m k =+=+,因为||||BM BN =,所以1BP k k =-,则200211141441BPmy k k km x k k --+===--+,化简得23104m k +=->,则13m <-,又2214m k ->,所以231144m m +-->,解得133m -<<-, 综上所述:133m -<<-,14MN OP k k =-.（5）设333(,)(0)E x y y >,33(,)F x y -,则33(2,)TE x y =+u u r 33(2,-)TF x y =+u u u r,所以2233(2)TE TF x y ⋅=+-u u r u u u r ,点E 与点F 在椭圆上:223314x y =-,所以2335434TE TF x x ⋅=++u u r u u u r ,当385x =-时,TE TF ⋅u u r u u u r 取得最小值15-,此时335y =,13||25r TE ==,综上所述:TE TF ⋅u u r u u u r 的最小值为15-,此时圆T 的方程2213(2)25x y ++=.（6）由（4）得122841km x x k +=-+且222(41)8440k x kmx m +++-=,所以21224441m x x k -=+,2212121212()()()y y kx m kx m k x x mk x x m =++=+++,所以2222121212122544(1)()41m k OM ON x x y y k x x mk x x m k --⋅=+=++++=+u u u u r u u u r直线l 是圆224:5O x y +=的切线,所以点O 到直线l 距离为25,即2||251m k =+,整理得225440m k --=,所以0OM ON ⋅=u u u u r u u u r ,即MON ∠的大小为90o .。
2018北京十一学校高二(上)期末数学(理)II
2018北京十一学校高二（上）期末数 学II （理） 2018.1 本试卷共8页,150分.考试时长120分钟.考生务必将答案答在答题卡上,在试卷上作答无效.考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回.一、填空题(共15道小题,1-5每小题3分,6-15每小题4分,共55分)1. 下面说法正确的是______.①长方体的八个顶点在同一个球面上,此时长方体称为球的内接长方体,球是长方体的外接球,并且长方体的对角线是球的直径;②一球与正方体的所有棱相切,则正方体每个面上的对角线长等于球的直径;③一球与正方体的所有面相切,则正方体的棱长等于球的直径.2. 在球内有相距9cm 的两个平行截面,面积分别为249πcm 和2400πcm ,则此球的半径为______.3. 已知异面直线a 与b 所成的角70θ=,P 为空间一点,则过P 点与a 和b 所成角45φ=的直线有______条,过P 点与a 和b 所成角35φ=的直线有______条,过P 点与a 和b 所成角70φ=的直线有______条4. 设,,l m n 表示不同的直线,,,αβγ表示不同的平面,给出下列四个命题,其中正确的序号是______.①若//m l ,且m α⊥,则l α⊥;②若//m l ,且//m α,则//l α;③若,,l m n αββγγα===,则////l m n ; ④若,,m l n αββγγα===,且//n β,则//l m .5. 在三棱锥P ABC -中,点O 是点P 在底面ABC 内的射影.①若PA PB PC ==,则O 是ABC 的______心;②若,PA BC PB AC ⊥⊥,则O 是ABC 的______心;③若侧面,,PAB PBC PAC 与底面ABC 所成的二面角相等,则O 是ABC 的______心.6. 如图是正方体的平面展开图,在这个正方体中,下列四个命题正确的序号是______.①直线BM 与直线ED 平行; ②直线CN 与直线BE 是异面直线;③直线AF 与平面BDM 平行;④平面CAN 与平面BEM 平行.第6题图 第7题图 第8题图7. 某几何体的三视图如图所示,则它的体积是______.8. 如图所示,侧棱长为23的正三棱锥V ABC -中,40AVB BVC CVA ︒∠=∠=∠=,过A 作截面AEF ,则截面AEF 周长的最小值等于______.9. 如图,网格纸的小正方形的边长是1,在其上用粗线画出了某多面体的三视图,则这个多面体最长的一条棱的长为______.10. 在如图所示的空间直角坐标系O xyz -中,一个四面体的顶点坐标分别是(0,0,2),(2,2,00,(1,2,1),(2,2,2).给出编号为①,②,③,④的四个图,则该四面体的正视图和左视图分别为______,______.①②③④ 11. 将一副斜边长相等的直角三角板拼接成如图所示的空间图形,其中2AD BD ==,30BAC ∠=,若他们的斜边AB 重合,让三角板ABD 以AB 为轴转动,则下列说法正确的是______.①当平面平面ABC 时,C 、D 两点间的距离为2;②在三角板ABD 转动过程中,总有AB CD ⊥;③在三角板ABD 转动过程中,三棱锥D ABC -体积的最大值为312. 如图,PA 垂直于圆O 所在的平面,AB 是圆O 的直径,C 是圆O 上一点,,AE PC AF PB ⊥⊥,给出下列结论,其中真命题的序号有______.①AE BC ⊥;②EF PB ⊥;③AF BC ⊥;④AE ⊥平面PBC .13. 如图,在四棱锥P ABCD -中,侧面PAD 为正三角形,底面ABCD 为边长为1的正方形,侧面PAD ⊥底面ABCD ,M 为底面ABCD 内的一个动点,且满足MP MC =,则点M 在正方形ABCD 内的轨迹为______.14. 如图,正方形123SG G G 中,,E F 分别是1223,G G G G 的中点,现沿,SE SF 及EF 把这个正方形折成一个几何体,使113,,G G G 三点重合于点G .下列五个结论中,正确的是______.①SG ⊥平面EFG ;②SD ⊥平面EFG ;③GF ⊥平面SEF ;④EF ⊥平面GSD ;⑤GD ⊥平面SEF .15. 如图,在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中,E 为BC 的中点,点P 在正方体的表面上移动,且满足11B P D E ⊥,则点P 形成的轨迹图形的周长是______.B AC D二、解答题(共4小题,共45分.要求有推理计算过程)16. （本小题满分8分）证明:如果一个角所在平面外一点与角的顶点的连线与角的两边所成的角相等,那么这点在平面内的射影在这个角的平分线上.17. （本小题满分12分）如图,已知直三棱柱111ABC A B C -的侧棱长为2,底面ABC 是等腰直角三角形,且90,2,ACB AC D ∠==是1AA 的中点.（Ⅰ）求异面直线AB 和1C D 所成的角（用反三角函数表示）;（Ⅱ）若E 为线段AB 上一点,试确定点E 在AB 上的位置,使得11A E C D ⊥;（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下,求点D 到平面11B C E 的距离.18. （本小题满分12分）如图,在三棱锥P ABC -中,底面ABC ,,60,90PA AB BC BCA =∠=∠=,点D 、E 分别在棱,PB PC 上,且//DE BC .（Ⅰ）求证:BC ⊥平面PAC ;（Ⅱ）当D 为PB 的中点时,求AD 与平面PAC 所成的角的大小;（Ⅲ）是否存在点E 使得二面角A DE P --为直二面角?并说明理由.19. （本小题满分13分）如图,已知菱形ABCD 与直角梯形ABEF 所在的平面互相垂直,其中1π//,,2,23BE AF AB AF AB BE AF CBA ⊥===∠=,P 为DF 的中点. （Ⅰ）求证://PE 平面ABCD ;（Ⅱ）求二面角D EF A --的余弦值;（Ⅲ）设G 为线段AD 上一点,AG AD λ=,若直线FG 与平面ABEF 所成角的正弦值为39,求λ的值.数学试题答案一、填空题:本大题共15小题,1-5每小题3分,6-15每小题4分共55分.1.①②③2.25cm3.2;1;44.①④5.外;垂;内6.③④7.28π3-8.69.23 10.④;③11.①③ 12.①②④13.A 14.①④ 15.325+二、解答题:16. （本小题满分8分）已知:如图,点P 为BAC ∠所在平面外一点,PD AC ⊥于D ,PE AB ⊥于E ,PD PE =,PG ⊥平面ABC 于G .证明:连结,GE GD .PG ⊥平面ABC ,,EG DG ⊂平面ABC ,,PG EG PG DG ∴⊥⊥,又,PD PE PG PG ==,,PEG PDG GE GD ∴≅∴=,PG ⊥平面ABC ,EG ∴为PE 在平面ABC 内的射影,又,AB PE AB EG ⊥∴⊥,同理AC DG ⊥,,AGE AGD EAG DAG ∴≅∴∠=∠,AG ∴为BAC ∠的角平分线.17. （本小题满分12分）（Ⅰ）以C 为坐标原点,1,,CB CA CC 分别为x 轴,y 轴,z 轴建立空间直角坐标系, 则11(0,2,0),(0,2,2),(2,0,0),(0,0,2),(0,2,1)A A B C D ,1(2,2,0),(0,2,1)AB C D ∴=-=-.异面直线AB 与1C D 所成的角为向量AB 与向量1C D 的夹角或其补角. 设AB 与1C D 的夹角为θ, 则10cos 225θ==-⨯, 10πarccos θ=-, 即异面直线AB 与1C D 所成的角为10arccos. （Ⅱ）设E 点的坐标为(,,0)x y ,要使得11A E C D ⊥,只要110A E C D ⋅=,11(,2,2),(0,2,1),1A E x y C D y =--=-=,又点E 在AB 上,//,(,2,0),(2,2,0)AE AB AE x y AB ∴=-=-, 1,(1,1,0)x E ∴=,E ∴点为AB 的中点.（Ⅲ）取AC 中点N ,连接1,EN C N ,则11//EN B C . 11B C ⊥平面11AA C C ,∴平面11B C NE ⊥平面11AA C C , 过点D 作1DH C N ⊥,垂足为H ,则DH ⊥平面11B C NE , DH ∴的长度即为点D 到平面11B C E 的距离.在正方形11AA C C 中,由计算知35DH =,即点D 到平面11B C E 的距离为35. 18. （本小题满分12分）解:（Ⅰ）PA ⊥底面ABC ,PA BC ∴⊥,又90BCA ︒∠=,AC BC ∴⊥,BC ∴⊥平面PAC .（Ⅱ）D 为PB 的中点,//DE BC ,12DE BC ∴=.又由（Ⅰ）知,BC ⊥平面PAC ,DAE ∴∠是AD 与平面PAC 所成的角,PA ⊥底面ABC ,PA AB ∴⊥.又PA AB =,ABP ∴为等腰直角三角形, 2AD AB ∴=.在Rt ABC 中,60ABC ︒∠=,12BC AB ∴=,∴在Rt ADE 中,2sin 2DE BCDAE AD AD ∠===,即AD 与平面PAC 所成角的正弦值为2.（Ⅲ）//DE BC ,又有（Ⅰ）知,BC ⊥平面PAC , DE ∴⊥平面PAC .又AE ⊂平面PAC ,PE ⊂平面PAC ,,DE AE DE PE ∴⊥⊥,AEP ∴∠为二面角A DE P --的平面角, PA ⊥底面ABC ,PA AC ∴⊥,90PAC ︒∴∠=,∴在棱PC 上存在一点E ,使得AE PC ⊥. 这时90AEP ︒∠=,故存在点E 使得二面角A DE P --是直二面角.19. （本小题满分13分）解:（Ⅰ）取AD 的中点M ,连接,PM BM , P 是DF 的中点,M 是AD 的中点, 1//,2PM AF PM AF ∴=, 又1//,,//,2BE AF BE AF BE PM BE PM ==, ∴四边形BEPM 是平行四边形,//PE BM ∴,又PE 平面ABCD ,BM ⊂平面ABCD , //PE ∴平面ABCD .（Ⅱ）取AB 中点M ,连接,AC CM ,在ABC 中,π,3AB BC CBA =∠=, ABC ∴是等边三角形,CM AB ∴⊥,又平面ABCD ⊥平面ABEF AB =,CM ∴⊥平面ABEF ,又AB AF ⊥,AB ∴⊥平面DAF ,AF ⊥平面ABCD , ∴以A 为原点,作//Az MC 建立如图所示的空间直角坐标系, 设1AB =,则(0,0,0),(2,0,0),(2,2,0),(1,0,3),(1,0,3),(0,4,0)A B E C D F -, (3,2,3),(1,4,3)DE DF ∴=-=-,设平面DEF 的法向量(,,)n x y z =,则00n DE n DF ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩,即3230430x y z x y z ⎧+-=⎪⎨+-=⎪⎩,令1z =,则y z ==故3(,n =为平面DEF 的一个法向量,又因为AF ⊥平面ABCD , 故AF 为平面ABCD 的一个法向量,所以39cos ,AF nAF n AF n ⋅<>==⋅平面DEF 与平面ABCD . （Ⅲ）过G 作GH BA ⊥,交BA 延长线于H ,连接,FH FG , 平面ABCD ⊥平面ABEF ,平面ABCD 平面,,ABEF AB GH AB GH =⊥⊂平面ABCD , GH ∴⊥平面ABCD , GFH ∴∠位置线FG 与平面ABEF 所成角. ,2,AG AD AG λλ=∴=π3CBA DAH ∠=∠=, ππsin ,cos ,33GH AG AH AG λ∴=⋅=⋅=HF ∴=FG =sin GH GFH FG ∠===,计算得出λ=.。
2017_2018学年北京海淀区中国人民大学附属中学高二上学期理科期末数学试卷解析
18 2017~2018学年北京海淀区高二上学期期末理科第18题12分 共2个
已知抛物线
，直线 与抛物线 交于 ， 两点． 点
（
，
）为抛物线上一动点，直线 ， 分别与 轴交于 ， ．
（1） 若
的面积为 ，求点 的坐标．
（2） 当直线
时，求线段 的长．
（3） 若
与
面积相等，求
的面积．
．
综上所述，所求直线 的方程为 或
．
考点
解析几何 直线与方程 直线的方程
圆与方程 圆的方程
直线与圆的位置关系
16 2017~2018学年北京海淀区高二上学期期末理科第16题10分 共2个
如图，在三棱锥
中，
，
，且 点 ， 分别是 ， 的中点．
（1） 求证：
平面 ．
（2） 求证：平面
平面 ．
A.
B.
C.
D.
答案 C 解析 大致还原如下图所示，易知一个长方体切去一块小长方体形成，
∴体积
．
考点
立体几何与空间向量 立体几何初步 空间几何体体积和表面积的计算
三视图
5 2017~2018学年北京海淀区高二上学期期末理科第5题4分 共2个
已知平面 ， ， 直线 ， ， 下列命题中假命题是（ ）．
答案 （1）
．
（2） ．
（3） ．
解析 （1） 把 代入抛物线方程，得到
．
因为
的横坐标
，
代入抛物线方程得
．
（2） 因为
， 所以
所以
把
代入得到
所以
，
（舍）．
所以
，
．
2017_2018学年北京海淀区清华大学附属中学高二上学期理科期末数学试卷解析
∴ 在 内有唯一零点． 故选： ．
考点
函数与导数 对数函数 对数的概念及其运算性质
函数与方程 函数的零点
7 2017~2018学年10月北京海淀区北京市海淀外国语实验学校高三上学期月考理科第4题5分 共5个
“ ”是“
”的（ ）．
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件
四种命题的相互关系
2 2015年北京东城区高三下学期高三一模文科第2题 共2个
双曲线
的渐近线方程为（ ）．
A.
B.
C.
D.
答案 A
解析 由双曲线标准方程可知，双曲线焦点在 轴上， ， ．
∴渐进线的方程为
．
故选： ．
考点
解析几何 双曲线 双曲线的渐近线
3 2017~2018学年北京海淀区清华大学附属中学高二上学期期末理科第3题5分
命题“若 ，则
”的逆否命题为
．
答案 若 ，则
解析 原命题为若 则 ，逆否命题为 ，则 ． 故答案为：若 ，则 ．
考点
集合与常用逻辑用语 常用逻辑用语 命题的概念
四种命题的相互关系
11 2017~2018学年北京海淀区清华大学附属中学高二上学期期末理科第11题5分
抛物线
上的点到其焦点的最短距离为
∵
为正三角形，∴
．
∵平面
平面
．
平面
平面
．
∴ 平面
，作
．
建立如图空间直角坐标系．
设
，
．
设平面
的一个法向量为 ，则 可取
．
， ， 坐标分别为
，
，
．
，
．
2018.1北京清华附中高二上期末数学理试卷
2018北京市清华附中高二（上）期末数 学一、选择题:本大题共8小题,每小题5分,共40分. 1. 抛物线24y x =的焦点坐标为（A ）（1,0）（B ）（1,0-）（C ）（0,1）（D ）（0,1-）2. 已知()xe f x x=,则'()f x =（A ）()1x e x +（B ）()1xe x -（C ）()21x e x x+ （D ）()21x e x x-3. 双曲线2214x y -=的渐近线方程为（A ）12y x =±（B ）32y x =±（C ）2y x =± （D ）52y x =±4. 若过原点的直线l 与圆()2244x y +-=切于第二象限,则直线l 的方程是（A ）3y x = （B ）3y x =- （C ）2y x = （D ）2y x =-5. 椭圆22143x y +=的两个焦点为1F ,2F ,点P 是椭圆上任意一点（非左右顶点）,则12PF F !的周长为 （A ）8 （B ）6 （C ）4 （D ）36. 一个几何体的三视图如图所示,其中俯视图为正方形,则该几何体最大的侧面的面积为 （A ）1 （B ）2（C ）3（D ）27. 如果函数323y x x ax =-+存在极值,则实数a 的取值范围是（A ）（3,+∞）（B ）[3,+∞）（C ）（,3-∞）（D ）（,3-∞]8. 如图,在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中,点E 、F 是棱BC 、1CC 的中点, P 是底面ABCD 上（含边界）一动点,满足1A P EF ⊥,则线段1A P 长度的取值范围是 （A ）[51,2] （B ）[53,22]（C ）[1,3] （D ）[2,3]二、填空题:本大题共6小题,每小题5分,共30分. 9. 已知21()f x x x=+,则'(1)______f =. 10. 已知双曲线22221x y a b -=的渐近线方程为34y x =±,则它的离心率为______.11. 已知圆锥的底面半径为3,母线长为4,则该圆锥的体积等于______.12. 若函数2()f x x aInx =-在1x =处取极值,则______a =.13. 已知函数()f x 是定义在R 上的可导函数,直线2y kx =+与函数()f x 的图象相切,如图所示,则函数()()g x xf x =的图象在点（3,(3)g ）处 的切线方程为______.14. 某网店统计了连续三天售出商品的种类情况:第一天售出20种商品,第二天售出14种商品,第三天售出18种商品;前两天都售出的商品有5种, 后两天都售出的商品有4种.则该网店①第一天售出但第二天未售出的商品有______种; ②这三天售出的商品最少有______种. 三、解答题:15. 已知｛n a ｝是等比数列, 13a =,424a =.数列｛n b ｝满足11b =,48b =-,且｛n n a b +｝是等差数列. （Ⅰ）求数列｛n a ｝和｛n b ｝的通项公式; （Ⅱ）求数列｛n b ｝的前n 项和. 16. 已知函数()sin f x =（3x π+）, x ∈R（Ⅰ）如果点P （34,55）是角α终边上一点,求()f α的值;（Ⅱ）设()()sin g x f x x =+,求()g x 的单调增区间. 17. 已知函数321()3f x x ax x =+-为奇函数.（Ⅰ）求a 的值;（Ⅱ）求函数()f x 在[2,2-]的最小值; （III ）若函数()f x 在区间[1,2t t +]上单调递减,求实数t 的取值范围. 18. 如图,在四棱锥P ABCD -中，四边形ABCD 是平行四边形, AD BD ⊥且AD BD =,AC BD O =,PO ⊥平面ABCD .（Ⅰ）E 为棱PC 的中点,求证: //OE 平面PAB ; （Ⅱ）求证: 平面PAD ⊥平面PBD ;（III ）若PD PB ⊥,2AD =,求四棱锥P ABCD -的体积.19. 已知椭圆2222:1x y C a b +=（0a b ＞＞）的右焦点为F （1,0）,离心率为12.（Ⅰ）求椭圆C 的方程;（Ⅱ）过F 且斜率为1的直线交椭圆于M ,N 两点, P 是直线4x =上任意一点.求证:直线PM ,PF ,PN 的斜率成等差数列.20. 已知函数()sin x f x e x ax =-,（Ⅰ）若1a =,求曲线()y f x =在（0,(0)f ）处的切线方程; （Ⅱ）若()f x 在[0,4π]上单调递增,求实数a 的取值范围;（III ）当1a ≤时,求证:对于任意的x ∈[30,4π],均有()0f x ≥.数学试题答案一、选择题:本大题共8小题,每小题5分,共40分.题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案ADABBDCD二、填空题:本大题共6小题,每小题5分,共30分.9.1-10.5411.37π 12.2 13.3y = 14.15;29三、解答题:15. 解: （Ⅰ）因为｛n a ｝是等比数列, 13a =,424a =, 所以公比2q =,通项公式为132n n a -=⨯（*n ∈N ）. 因为｛n n a b +｝是等差数列, 114a b +=,4416a b +=,所以公差4d =,通项公式为4n n a b n +=（*n ∈N ）. 故14432n n n b n a n -=-=-⨯（*n ∈N ）.（Ⅱ）设数列｛n b ｝的前n 项和为n S ,则 12n n S b b b =++1121141324232432n n ---=⨯-⨯+⨯-⨯++⨯-⨯()4123n =⨯+++-⨯（11211222n ---+++）()1432n n +=⨯-⨯（21n -）=222332n n n ++-⨯（*n ∈N ）16. 解:（Ⅰ）因为点P （34,55）是角α终边上一点,所以4sin 5α=,3cos 5α=,则 ()sin f α=（3πα+）sin coscos sin33ππαα=+41335252=⨯+⨯43310+=（Ⅱ）()()sin g x f x x =+sin coscos sinsin 33x x x ππ=++33sin cos 22x x =+ 3sin =（6x π+）令6x π+∈[2,222k k ππππ-++]（k ∈Z ）,得x ∈[22,233k k ππππ-++]（k ∈Z ）.故()g x 的单调增区间为[22,233k k ππππ-++]（k ∈Z ）. 17. 解:（Ⅰ）因为函数()f x 为奇函数,所以321()3f x x ax x -=-++321()3f x x ax x =-=--+解得0a =（Ⅱ）因为31()3f x x x =-,所以'2()1f x x =-.令'()0f x =,得1x =±.则在[2,2-]上,随着x 的变化，'()f x 的变化情况如下表：因为2(2)3f -=-,2(1)3f =-. 所以函数()f x 在[2,2-]的最小值为23-.（Ⅲ）由（Ⅱ）可知,()f x 在[1,1-]上单调递减, 故[1,2t t +]⊆[1,1-],解得t ∈[11,2-]. 18. 解:（Ⅰ）证明:因为点E 为棱PC 的中点,点O 为AC 的中点, 所以//OE PA ,又因为PA ⊆平面PAB , 所以//OE 平面PAB .（Ⅱ）证明:因为PO ⊥平面ABCD ,又AD ⊆平面ABCD所以PO AD ⊥,又因为AD BD ⊥,x（2,1--）1-（1,1-） 1（1,2） '()f x0＞0=0＜0=0＞()f x递增 极大值 递减 极小值 递增所以AD ⊥平面PBD ,又因为AD ⊆平面PAD . 所以平面PAD ⊥平面PBD .（Ⅲ）因为2AD BD ==,又AD BD ⊥, 所以四边形ABCD 的面积为4 因为PD PB ⊥,点O 为BD 的中点, 所以112PO BD ==. 所以四棱锥P ABCD -的体积为:144133⨯⨯=.19. 解:（Ⅰ）因为1c =,12c e a ==,所以2a =,则3b =. 故椭圆C 的方程为:22143x y +=. （Ⅱ）证明:因为直线MN 方程为:1y x =-,联立椭圆C 的方程解得M （462623,77+-）,N （462362,77---）. 设P （04,y ）,则0062376237462246247PMy y k ---+==+--,0062376237462246247PNy y k ---++==-+-,03PF y k =有0007623762322324622462PM PN PF y y y k k k -++++=+==-+ 所以直线PM ,PF ,PN 的斜率成等差数列.20. 解:（Ⅰ）因为函数()sin x f x e x x =-,则'()sin cos 1x x f x e x e x =+-.又因为(0)0f =,'(0)0f =.所以曲线()y f x =在（0,(0)f ）处的切线方程为:0y =.（Ⅱ）因为()sin x f x e x ax =-,所以'()2sin x f x e =（4x π+）a -.函数()f x 在[0,4π]上单调递增⇔'()f x 在[0,4π]上恒有'()0f x ≥.即2sin x e （4x π+）a ≥恒成立.令()2sin x g x e =（4x π+）,则min ()g x a ≥.又因为()g x 在[0,4π]上单调递增,所以min ()(0)1g x g ==,所以1a ≤.（Ⅲ）证明: 因为()sin x f x e x ax =-,所以'()2sin x f x e =（4x π+）a -.令()2sin x g x e =（4x π+）,则'()2cos x g x e x =.①当x ∈[0,2π]时,'()0g x ≥,()g x 递增,有min ()()(0)1g x g x g ≥==,因为1a ≤,此时,'()()0f x g x a =-≥,()f x 递增,有min ()()(0)0f x f x f ≥==成立. ②当x ∈（3,24ππ]时,'()0g x ≤,()g x 递减,有min 3()()()04g x g x g π≥==, 若0a ≤,此时'()()0f x g x a =-≥,()f x 递增, ()0f x ≥显然成立. 若a ∈（0,1],此时记'0()0f x =,则()f x 在（0,2x π]上递增,在（03,4x π]上递减.此时有()(0)02f f π≥=,334432323()42424f e a e πππππ=-≥-, 构造2()2x t x e x =-,则'2()12xt x e =-, 令'()0t x =,求得2x In =.故()t x 在（,2In -∞]上递减,在（2,In+∞）上递增,所以3242322120 242Ine e In Inππ-≥-=-＞所以3()04fπ＞,此时满足()0f x≥综上所述,当1a≤时,对于任意的x∈[30,4π],均有()0f x≥.。
20181高二理科数学上册期末试卷海淀区有答案
原
3
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北京市海淀区2017-2018学年高二上学期期末数学试卷(理科) Word版含解析 (2)
北京市海淀区2017-2018学年高二上学期期末数学试卷（理科）一、选择题：本大题共8小题，每小题4分，共32分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（4分）直线x+y=2的倾斜角是（）A．B．C．D．2．（4分）焦点在x轴上的椭圆的离心率是，则实数m的值是（）A．4B．C．1D．3．（4分）一个空间几何体的三视图如图所示，该几何体的体积为（）A．8B．C．D．64．（4分）已知圆O：x2+y2=1，直线l：3x+4y﹣3=0，则直线l被圆O所截的弦长为（）A．B．1C．D．25．（4分）已知向量=（1，1，0，），=（0，1，1），=（1，0，1），=（1，0，﹣1），则其中共面的三个向量是（）A．，，B．，，C．，，D．，，6．（4分）已知等差数列{a n}，则“a2＞a1”是“数列{a n}为单调递增数列”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件7．（4分）已知正四面体A﹣BCD的棱长为2，点E是AD的中点，则下面四个中正确的是（）A．∀F∈BC，EF⊥AD B．∃F∈BC，EF⊥AC C．∀F∈BC，EF≥D．∃F∈BC，EF∥AC8．（4分）已知曲线W：+|y|=1，则曲线W上的点到原点距离的取值范围是（）A．B．C．D．二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分.把答案填在题中横线上.9．（4分）已知直线x﹣ay﹣1=0与直线y=ax平行，则实数a=．10．（4分）双曲线的两条渐近线方程为．11．（4分）已知空间向量=（0，1，1），=（x，0，1），若，的夹角为，则实数x的值为．12．（4分）已知椭圆C=1（a＞b＞0）的左右焦点分别为F1，F2，若等边△F1F2P 的一个顶点P在椭圆C上，则椭圆C的离心率为．13．（4分）已知点，抛物线y2=2x的焦点为F，点P在抛物线上，且|AP|=|PF|，则|OP|=．14．（4分）在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，α为其六个面中的一个．点P∈α且P不在棱上，若P到异面直线AA1，CD的距离相等，则点P的轨迹可能是．（填上所有正确的序号）①圆的一部分②椭圆的一部分③双曲线的一部分④抛物线的一部分．三、解答题：本大题共4小题，共44分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15．（10分）已知点A（0，2），圆O：x2+y2=1．（Ⅰ）求经过点A与圆O相切的直线方程；（Ⅱ）若点P是圆O上的动点，求的取值范围．16．（12分）已知抛物线W：y2=4x的焦点为F，直线y=2x+t与抛物线W相交于A，B两点．（Ⅰ）将|AB|表示为t的函数；（Ⅱ）若|AB|=3，求△AFB的周长．17．（12分）在空间直角坐标系Oxyz中，已知A（2，0，0），B（2，2，0），D（0，0，2），E（0，2，1）．（Ⅰ）求证：直线BE∥平面ADO；（Ⅱ）求直线OB和平面ABD所成的角；（Ⅲ）在直线BE上是否存在点P，使得直线AP与直线BD垂直？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．18．（10分）如图，已知y=kx（k≠0）与椭圆：+y2=1交于P，Q两点，过点P的直线PA与PQ垂直，且与椭圆C的另一个交点为4．（1）求直线PA与AQ的斜率之积；（2）若直线AQ与x轴交于点B，求证：PB与x轴垂直．北京市海淀区2014-2015学年高二上学期期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共8小题，每小题4分，共32分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（4分）直线x+y=2的倾斜角是（）A．B．C．D．考点：直线的倾斜角．专题：直线与圆．分析：直线的倾斜角与斜率之间的关系解答：解：设倾斜角为θ，θ∈专题：等差数列与等比数列；简易逻辑．分析：根据充分条件和必要条件的定义进行判断即可．解答：解：在等差数列{a n}中，若a2＞a1，则d＞0，即数列{a n}为单调递增数列，若数列{a n}为单调递增数列，则a2＞a1，成立，即“a2＞a1”是“数列{a n}为单调递增数列”充分必要条件，故选：C．点评：本题主要考查充分条件和必要条件的判断，等差数列的性质是解决本题的关键．7．（4分）已知正四面体A﹣BCD的棱长为2，点E是AD的中点，则下面四个中正确的是（）A．∀F∈BC，EF⊥AD B．∃F∈BC，EF⊥AC C．∀F∈BC，EF≥D．∃F∈BC，EF∥AC考点：棱锥的结构特征．专题：空间位置关系与距离．分析：由题意画出图形，利用线面垂直的判定判定AD⊥面BCE，由此说明A正确；由三垂线定理结合∠BEC为锐角三角形说明B错误；举例说明C错误；由平面的斜线与平面内直线的位置关系说明D错误．解答：解：如图，∵四面体A﹣BCD为正四面体，且E为AD的中点，∴BE⊥AD，CE⊥AD，又BE∩CE=E，∴AD⊥面BCE，则∀F∈BC，EF⊥AD，选项A正确；由AE⊥面BCE，∴AE⊥EF，若AC⊥EF，则CE⊥EF，∵∠BEC为锐角三角形，∴不存在F∈BC，使EF⊥AC，选项B错误；取BC中点F，可求得DF=，又DE=1，得EF=，选项C错误；AC是平面BCE的一条斜线，∴AC与平面BCE内直线的位置关系是相交或异面，选项D错误．故选：A．点评：本题考查了的真假判断与应用，考查了空间中直线与平面的位置关系，考查了线线垂直与线面平行的判定，考查了空间想象能力，是中档题．8．（4分）已知曲线W：+|y|=1，则曲线W上的点到原点距离的取值范围是（）A．B．C．D．考点：两点间距离公式的应用．专题：计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：化简方程+|y|=1，得到x2=1﹣2|y|，作出曲线W的图形，通过图象观察，即可得到到原点距离的最值，进而得到范围．解答：解：+|y|=1即为=1﹣|y|，两边平方，可得x2+y2=1+y2﹣2|y|，即有x2=1﹣2|y|，作出曲线W的图形，如右：则由图象可得，O与点（﹣1，0）或（1，0）的距离最大，且为1；O与点（0，）或（0，﹣）的距离最小，且为．故曲线W上的点到原点距离的取值范围是．故选A．点评：本题考查曲线方程的化简，考查两点的距离公式的运用，考查数形结合的思想方法，属于中档题．二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分.把答案填在题中横线上.9．（4分）已知直线x﹣ay﹣1=0与直线y=ax平行，则实数a=1或﹣1．考点：直线的一般式方程与直线的平行关系．专题：直线与圆．分析：由平行关系可得向量相等，排除截距相等即可．解答：解：当a=0时，第二个方程无意义，故a≠0，故直线x﹣ay﹣1=0可化为x﹣，由直线平行可得a=，解得a=±1故答案为：1或﹣1点评：本题考查直线的一般式方程和平行关系，属基础题．10．（4分）双曲线的两条渐近线方程为．考点：双曲线的简单性质．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：先确定双曲线的焦点所在坐标轴，再确定双曲线的实轴长和虚轴长，最后确定双曲线的渐近线方程．解答：解：∵双曲线的a=4，b=3，焦点在x轴上而双曲线的渐近线方程为y=±x∴双曲线的渐近线方程为故答案为：点评：本题考查了双曲线的标准方程，双曲线的几何意义，特别是双曲线的渐近线方程，解题时要注意先定位，再定量的解题思想11．（4分）已知空间向量=（0，1，1），=（x，0，1），若，的夹角为，则实数x的值为1或﹣1．考点：空间向量的夹角与距离求解公式．专题：空间向量及应用．分析：首先根据向量的坐标求出向量的模，进一步利用向量的夹角求出x的值．解答：解：已知，则：，由于，则：解得：x=1或﹣1故答案为：1或﹣1点评：本题考查的知识要点：空间向量的夹角，空间向量的数量积和模的运算，属于基础题型．12．（4分）已知椭圆C=1（a＞b＞0）的左右焦点分别为F1，F2，若等边△F1F2P 的一个顶点P在椭圆C上，则椭圆C的离心率为．考点：椭圆的简单性质．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：由题意和椭圆的对称性可得：点P是椭圆短轴上的顶点，由椭圆的性质即可求出椭圆C的离心率．解答：解：因为等边△F1F2P的一个顶点P在椭圆C上，如图：所以由椭圆的对称性可得：点P是椭圆短轴上的顶点，因为△F1F2P是等边三角形，所以a=2c，则=，即e=，故答案为：．点评：本题考查椭圆的简单几何性质的应用，解题的关键确定点P的位置，属于中档题．13．（4分）已知点，抛物线y2=2x的焦点为F，点P在抛物线上，且|AP|=|PF|，则|OP|=．考点：椭圆的简单性质．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：求得抛物线的焦点F，设P（m2，m），运用两点的距离公式，结合条件|AP|=|PF|，计算可得m，再由两点的距离公式计算即可得到结论．解答：解：抛物线y2=2x的焦点为F（，0），设P（m2，m），由|AP|=|PF|，可得|AP|2=2|PF|2，即有（m2+）2+m2=2，化简得m4﹣2m2+1=0，解得m2=1，即有|OP|===．故答案为：．点评：本题考查抛物线的方程和性质，主要考查抛物线的焦点坐标，同时考查两点的距离公式的运用，属于中档题．14．（4分）在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，α为其六个面中的一个．点P∈α且P不在棱上，若P到异面直线AA1，CD的距离相等，则点P的轨迹可能是④．（填上所有正确的序号）①圆的一部分②椭圆的一部分③双曲线的一部分④抛物线的一部分．考点：棱柱的结构特征．专题：计算题；空间位置关系与距离．分析：先判断PA表示P到直线AA1的距离，从而可得点P到A的距离等于点P到直线CD 的距离，利用抛物线的定义，可得结论．解答：解：设α为平面ABCD，则由题意，AA1⊥平面ABCD，PA⊂平面ABCD∴AA1⊥PA∴PA表示P到直线AA1的距离∵点P到直线CD的距离等于它到直线AA1的距离∴点P到A的距离等于点P到直线CD的距离∴P点的轨迹为抛物线的一部分，故答案为：④．点评：本题以正方体为载体，考查抛物线的定义，判断PA表示P到直线AA1的距离是解题的关键．三、解答题：本大题共4小题，共44分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15．（10分）已知点A（0，2），圆O：x2+y2=1．（Ⅰ）求经过点A与圆O相切的直线方程；（Ⅱ）若点P是圆O上的动点，求的取值范围．考点：直线和圆的方程的应用．专题：平面向量及应用；直线与圆．分析：（1）由已知中直线过点A我们可以设出直线的点斜式方程，然后化为一般式方程，代入点到直线距离公式，根据直线与圆相切，圆心到直线的距离等于半径，可以求出k值，进而得到直线的方程；（2）设出P点的坐标，借助坐标来表示两个向量的数量积，再根据P在圆上的条件，进而得到结论．解答：（本小题满分10分）解：（I）由题意，所求直线的斜率存在．设切线方程为y=kx+2，即kx﹣y+2=0，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（1分）所以圆心O到直线的距离为，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（3分）所以，解得，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（4分）所求直线方程为或．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（5分）（II）设点P（x，y），所以，，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（6分）所以．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（7分）因为点P在圆上，所以x2+y2=1，所以．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（8分）又因为x2+y2=1，所以﹣1≤y≤1，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（9分）所以．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（10分）点评：本题考查的知识是直线和圆的方程的应用，其中熟练掌握直线与圆不同位置关系时，点到直线的距离与半径的关系是关键，还考查了向量数量积的坐标表示．16．（12分）已知抛物线W：y2=4x的焦点为F，直线y=2x+t与抛物线W相交于A，B两点．（Ⅰ）将|AB|表示为t的函数；（Ⅱ）若|AB|=3，求△AFB的周长．考点：抛物线的简单性质．专题：计算题；直线与圆；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：（I）设点A（x1，y1），B（x2，y2），联立直线方程和抛物线方程，运用韦达定理和弦长公式，化简计算即可得到所求函数；（II）运用抛物线的定义和（I）的结论，可得|AF|+|BF|，进而得到△AFB的周长．解答：解：（I）设点A（x1，y1），B（x2，y2），由，消元化简得4x2+（4t﹣4）x+t2=0，则，所以，其中；（II）由，则=3，解得t=﹣4，经检验，此时△=16﹣32t＞0，所以x1+x2=1﹣t=5，由抛物线的定义，有，又，所以△AFB的周长为．点评：本题考查抛物线的定义、方程和性质，主要考查定义法的运用，同时考查直线和抛物线方程联立，运用韦达定理和弦长公式，具有一定的运算量，属于中档题．17．（12分）在空间直角坐标系Oxyz中，已知A（2，0，0），B（2，2，0），D（0，0，2），E（0，2，1）．（Ⅰ）求证：直线BE∥平面ADO；（Ⅱ）求直线OB和平面ABD所成的角；（Ⅲ）在直线BE上是否存在点P，使得直线AP与直线BD垂直？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．考点：直线与平面所成的角；直线与平面平行的判定．专题：空间位置关系与距离．分析：（Ⅰ）根据向量关系利用线面平行的判定定理即可证明直线BE∥平面ADO；（Ⅱ）求出平面ABD的法向量，利用向量法即可求直线OB和平面ABD所成的角；（Ⅲ）根据空间直线垂直的坐标关系即可得到结论．解答：解：（I）法一：取点C（0，2，0）则，所以，所以OA∥CB﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（1分）又，所以，所以OD∥CE﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（2分）又OA∩OD=D，CE∩CB=C所以平面OAD∥CBE﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（3分）所以BE∥平面ADO﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（4分）法二：由题意，点A，D，O所在的平面就是xOz平面，取其法向量为，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（1分）而，所以，即，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（3分）又显然点B，E不在平面ADO上，所以BE∥平面ADO．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（4分）（II）设平面ABD的法向量为，因为，所以，所以可取．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（6分）又，设OB与平面ABD所成的角为θ．所以．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（8分）所以直线OB和平面ABD所成的角为．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（9分）（Ⅲ）假设存在点P（x，y，z），使得直线AP与直线BD垂直．设，即（x﹣2，y﹣2，z）=（﹣2λ，0，λ）．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（10分）所以，所以．又，所以，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（11分）解得，所以在直线BE上存在点P，使得直线AP与直线BD垂直，点P的坐标为．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（12分）点评：本题主要考查空间直线和平面平行的判断，以及空间直线和平面所成角的求解以及空间直线垂直的判断，利用坐标法是解决本题的关键．18．（10分）如图，已知y=kx（k≠0）与椭圆：+y2=1交于P，Q两点，过点P的直线PA与PQ垂直，且与椭圆C的另一个交点为4．（1）求直线PA与AQ的斜率之积；（2）若直线AQ与x轴交于点B，求证：PB与x轴垂直．考点：直线与圆锥曲线的综合问题．专题：圆锥曲线中的最值与范围问题．分析：（1）设P（x1，y1），A（x2y2），联立，得（2k2+1）x2=2，，设Q（﹣x1，﹣y1），由此能求出直线PA与AQ的斜率之积为﹣．（2）由，得k AQ=，从而直线AQ的方程为y﹣（﹣y1）=，由此能证明直线PB与x轴垂直．解答：（1）解：设P（x1，y1），A（x2y2），联立，得（2k2+1）x2=2，∴，∴P，Q的横坐标互为相反数，∴设Q（﹣x1，﹣y1），∵直线PQ的斜率为k，且k≠0，而，，∴，∵P，A都在椭圆上，∴，，∴===﹣，∴直线PA与AQ的斜率之积为﹣．（2）证明：∵，而PQ，PA垂直，∴，∴k AQ=，∴直线AQ的方程为y﹣（﹣y1）=，令y=0，得y1=），∵点P（x1，y1）直线y=kx上，∴y1=kx1，代入得到B点的横坐标为x0=x1，∴直线PB与x轴垂直．点评：本题考查直线PA与AQ的斜率之积的求法，考查PB与x轴垂直的证明，解题时要认真审题，注意函数与方程思想的合理运用．。
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2018北京市海淀区高二（上）期末
数学（理） 2018.1
本试卷共100分.考试时间90分钟.
一. 选择题：本大题共8小题，每小题4分，共32分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 直线210x y +-=在y 轴上的截距为（ ）
A. 2-
B. 1-
C. 1
2
- D. 1
2. 在空间直角坐标系中，已知点(1,0,1)A ，(3,2,1)B ，则线段AB 的中点的坐标是（ ）
A. (1,1,1)
B. (2,1,1)
C. (1,1,2)
D. (1,2,3)
3. 已知圆22310x y x m +-++=经过原点，则实数m 等于（ ）
A. 32-
B. 1-
C. 1
D. 32
4. 鲁班锁是曾广泛流传于民间的智力玩具，它起源于中国古代建筑中首创的榫卯结构, 不用钉子和绳子，完全靠自身结构的连接支撑. 它看似简单，却凝结着不平凡的智慧. 下图为鲁班锁的其中一个零件的三视图，则该零件的体积为（ ）
A. 32
B. 34
C. 36
D. 40
5. 已知平面,αβ, 直线,m n , 下列命题中假命题是（ ）
A. 若m α⊥, m β⊥, 则αβP
B. 若m n P , m α⊥, 则n α⊥
C. 若m α⊥, m β⊂, 则αβ⊥
D. 若m αP , αβP ，n β⊂, 则m P n
6. 椭圆22
:11612
x y C +=的焦点为1F ，2F ，若点M 在C 上且满足122MF MF -=，则12F MF ∆中最
大角为（ ）
A. 90︒
B. 105︒
C. 120︒
D. 150︒
7. “0m <”是“方程22
x my m +=表示双曲线”的（ ）
A. 充分而不必要条件
B. 必要而不充分条件
C. 充分必要条件
D. 既不充分也不必要条件
8. 平面α,β,γ两两互相垂直, 在平面α内有一点A 到平面β, 平面γ的距离都等于1. 则在平面α内与点A , 平面β, 平面γ距离都相等的点的个数为（ ）
A. 1
B. 2
C. 3
D. 4
1
24
4
俯视图
二. 填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分.
9. 直线:10l x y +-=的倾斜角为____, 经过点(1,1)且与直线l 平行的直线方程为_______. 10.
10y +-=被圆221x y +=所截得的弦长为_______.
11. 请从正方体1111ABCD A B C D -的8个顶点中，找出4个点构成一个三棱锥，使得这个三棱锥的4个面都是直角三角形，则这4个点可以是_________. (只需写出一组)
12. 在空间直角坐标系中，已知点(1,2,0)A ，(,3,1)B x -，(4,,2)C y ，若,,A B C 三点共线， 则x y +=______.
13. 已知椭圆1C 和双曲线2C 的中心均为原点，且焦点均在x 轴上，从每条曲线上取两个点，将其坐标记录于右表中, 则双曲线的离心率为_______. 14. 曲线W 的方程为22322()8x y x y +=.
(i) 请写出曲线W 的两条对称轴方程______________； (ii) 请写出曲线W 上的两个点的坐标______________； (iii) 曲线W 上的点到原点的距离的取值范围是____________.
三. 解答题：本大题共4小题，共44分. 解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15.（本小题满分10分）
在平面直角坐标系xOy 中，圆C 的半径为1，其圆心在射线(0)y x x =≥
上，且OC （Ⅰ）求圆C 的方程；
（Ⅱ）若直线l 过点(1,0)P 且与圆C 相切，求直线l 的方程.
如图，在三棱锥P ABC -中，PB PC =，AB AC =，且 点D ，E 分别是BC ，PB 的中点． （Ⅰ）求证：DE P 平面PAC ； （Ⅱ）求证：平面ABC ⊥平面PAD ．
E
D
C
B
A
P
C
如图，平面ABCF ⊥平面FCDE ，四边形ABCF 和FCDE 是
全等的等腰梯形，其中AB FC ED P P ，且1
22
AB BC FC ===，点O 为FC 的中点，点G 是AB 的中点. （Ⅰ）请在图中所给的点中找出两个点，使得这两点所在直线与平面EGO 垂直，并给出证明．．
； （Ⅱ）求二面角O EG F --的余弦值；
（Ⅲ）在线段CD 上是否存在点H ，使得BH P 平面EGO ？如果存在，求出DH 的长度，如果不存在，请说明理
由.
已知抛物线2:4W y x =，直线4x =与抛物线W 交于,A B 两点. 点00(,)P x y 00(4,0)x y <≥为抛物线上一动点，直线,PA PB 分别与x 轴交于, M N . （Ⅰ）若PAB ∆的面积为4，求点P 的坐标； （Ⅱ）当直线PA PB ⊥时，求线段PA 的长；
（Ⅲ）若PMN ∆与PAB ∆面积相等，求PMN ∆的面积.
数学试题答案。