2020-2021学年高二数学单元测试卷 必修5模块检测卷(能力提升)

2020-2021学年高二数学单元测试卷必修5模块检测卷（能力提升）一、选择题（每小题5分，共40分）1.已知△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c．若A＝45°，B＝30°，a＝，则b＝（）A．B．1C．2D．【解答】解：A＝45°，B＝30°，a＝，可得b＝＝＝1．故选：B．【知识点】正弦定理2.已知a、b、c为△ABC的三个内角A、B、C的对边，c＝2b，△ABC的面积为2，则a的最小值为（）A．B．C．D．【解答】解：△ABC中，c＝2b，又△ABC的面积为S△ABC＝bc sin A＝b•2b•sin A＝2，∴b2＝，∴a2＝b2+c2﹣2bc cos A＝b2+4b2﹣2b•2b cos A＝b2（5﹣4cos A）＝（5﹣4cos A），设t＝，t＞0，可得5＝t sin A+4cos A＝sin（A+θ）≤，可得t≥3，即有a2≥6，即a≥，可得a的最小值为．故选：D．【知识点】正弦定理、余弦定理3.已知数列{a n}是等比数列，S n表示其前n项和．若a3＝2，S4＝3S2，则a5的值为（）A．﹣2B．2C．4D．2或4【解答】解：设等比数列{a n}的公比为q，由a3＝2，S4＝3S2，可得：q≠1，a1q2＝2，＝3×，解得：a1＝2，q＝﹣1；a1＝1，q2＝2．则a5＝2或4．故选：D．【知识点】等比数列的前n项和4.已知等比数列{a n}的前n项和为S n，若S3＝7，S6＝63，则数列{na n}的前2020项和为（）A．﹣3+2021×22020B．3+2019×22020C．.1+2021×22020D．1+2019×22020【解答】解：等比数列{a n}的公比设为q（q≠1），前n项和为S n，若S3＝7，S6＝63，则＝7，＝63，解得q＝2，a1＝1，则a n＝2n﹣1，数列{na n}的前n项和为T n＝1•1+2•2+3•4+…+n•2n﹣1，2T n＝1•2+2•4+3•8+…+n•2n，相减可得﹣T n＝1+2+4+…+2n﹣1﹣n•2n＝﹣n•2n，化简可得T n＝1+（n﹣1）•2n，则数列{na n}的前2020项和为1+2019•22020，故选：D．【知识点】数列的求和5.已知数列{a n}的前n项和，则下列结论正确的是（）A．数列{a n}是等差数列B．数列{a n}是递增数列C．a1，a5，a9成等差数列D．S6﹣S3，S9﹣S6，S12﹣S9成等差数列【解答】解：由，∴n≥2时，a n＝S n﹣S n﹣1＝n2+n+3﹣[（n﹣1）2+（n﹣1）+3]＝n+．n＝1时，a1＝S1＝．n＝1时，a n＝n+，不成立．∴数列{a n}不是等差数列．a2＜a1，因此数列{a n}不是单调递增数列．2a5﹣a1﹣a9＝2×﹣﹣＝﹣≠0，因此a1，a5，a9不成等差数列．S6﹣S3＝×（4+5+6）+×3＝．S9﹣S6═×（7+8+9）+×3＝．S12﹣S9＝×（10+11+12）+×3＝．∵﹣﹣＝0，∴S6﹣S3，S9﹣S6，S12﹣S9成等差数列．故选：D．【知识点】数列的函数特性6.若正数a，b满足4a+3b﹣1＝0，则的最小值为（）A．B．C．2D．【解答】解：由题意，设，解得a＝m﹣n，b＝2n﹣m其中m＞0，n＞0，∵4a+3b﹣1＝0，∴4（m﹣n）+3（2n﹣m）﹣1＝0，整理得m+2n＝1，又由＝＝≥＝，当且仅当，即等号成立，∴的最小值为．故选：A．【知识点】基本不等式及其应用7.我国古代数学家秦九韶在《数书九章》中记述了“三斜求积术”，用现代式子表示即为：在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，则△ABC的面积S＝．根据此公式，若a cos B+（b+3c）cos A＝0，且a2﹣b2﹣c2＝2，则△ABC的面积为（）A．B．2C．D．2【解答】解：由a cos B+（b+3c）cos A＝0，可得sin A cos B+cos A sin B+3sin C cos A＝0，即sin（A+B）+3sin C cos A＝0，即sin C（1+3cos A）＝0，因为sin C≠0，所以cos A＝﹣，由余弦定理可得a2﹣b2﹣c2＝﹣2bc cos A＝bc＝2，所以bc＝3，由△ABC的面积公式可得S＝＝＝．故选：A．【知识点】余弦定理8.已知n元均值不等式为：，其中x1，x2，…，x n均为正数，已知球的半径为R，利用n元均值不等式求得球的内接正四棱锥的体积的最大值为（）A．B．C．D．【解答】解：设正四棱锥的底面边长为a，底面到球心的距离为x，则，而正四棱锥的高h＝R+x，∴四棱锥的体积V（x）＝＝＝，x∈（0，R）．∵＝≤＝，当且仅当x＝时取等号．∴球的内接正四棱锥的体积的最大值为：．故选：A．【知识点】基本不等式及其应用二、多选题（每小题5分，共20分，选对得分，选错不得分）9.下列关于公差d＞0的等差数列{a n}的四个命题中真命题是（）A．数列{a n}是递增数列；B．数列{na n}是递增数列；C．数列是递增数列；D．数列{a n+3nd}是递增数列；【解答】解：∵对于公差d＞0的等差数列{a n}，a n+1﹣a n＝d＞0，∴数列{a n}是递增数列成立，A是真命题．对于数列{na n}，第n+1项与第n项的差等于（n+1）a n+1﹣na n＝（n+1）d+a n，不一定是正实数，B是假命题．对于数列，第n+1项与第n项的差等于﹣＝＝，不一定是正实数，C是假命题．对于数列{a n+3nd}，第n+1项与第n项的差等于a n+1+3（n+1）d﹣a n﹣3nd＝4d＞0，数列{a n+3nd}是递增数列成立，D是真命题．故选：AD．【知识点】等差数列的性质10.已知数列{a n}的前n项和为S n（S n≠0）且满足a n+4S n﹣1S n＝0（n≥2），a1＝，则下列说法错误的是（）A．数列{a n}的前n项和为S n＝4nB．数列{a n}的通项公式为a n＝C．数列{a n}为递增数列D．数列{}为递增数【解答】解：由a n+4S n﹣1S n＝0（n≥2），得S n﹣S n﹣1＝﹣4S n﹣1S n，∴（n≥2），∵a1＝，∴，则，则，成立，∴，则．∴不正确的是A、B、C．故选：ABC．【知识点】数列递推式11.已知角A，B，C是锐角三角形ABC的三个内角，下列结论一定成立的是（）A．sin（B+C）＝sin A B．sin（）＝cosC．sin B＜cos A D．cos（A+B）＜cos C【解答】解：对于A，sin（B+C）＝sin（π﹣A）＝sin A，正确；对于B，sin（）＝sin（）＝cos，正确；对于C，若A＝60°，B＝45°，C＝75°，显然sin B＝＞＝cos A，故错误；对于D，由cos（A+B）＝cos（π﹣C）＝﹣cos C，由C为锐角，可得：cos C＞0，可得：cos（A+B）＝﹣cos C＜cos C，正确．故选：ABD．【知识点】三角形中的几何计算12.下列命题中正确命题是（）A．函数f（x）＝有最小值2B．“x2﹣4x﹣5＝0”的一个必要不充分条件是“x＝5”C．命题p：∃x∈R，tan x＝1；命题q：∀x∈R，x2﹣x+1＞0．则命题“p∧（￢q）”是假命题D．函数f（x）＝x3﹣3x2+1在点（2，f（2））处的切线方程为y＝﹣3【解答】解：令＝t，g（t）＝t+，g′（t）＝1﹣＝＞0，因此函数g（t）单调递增，∴g（t）≥＝＝＞2，∴函数f（x）＝有最小值，大于2，因此A不正确；“x2﹣4x﹣5＝0”的一个充分不必要条件是“x＝5”，因此B不正确；命题p：∃x＝，tan x＝1，因此是真命题；命题q：∀x∈R，x2﹣x+1＝＞0，是真命题．则命题“p∧（￢q）”是假命题，C正确；函数f（x）＝x3﹣3x2+1，f′（x）＝3x2﹣6x，f′（2）＝0，f（2）＝﹣3，∴函数f（x）在点（2，f（2））处的切线方程为y＝﹣3，D正确．故选：CD．【知识点】利用导数研究曲线上某点切线方程、复合命题及其真假、充分条件、必要条件、充要条件、基本不等式及其应用三、填空题（每小题5分，共20分）13.在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知，则sin C＝；当a＝2，2sin A＝sin C时，则b＝．【解答】解：因为cos2C＝1﹣2sin2C＝﹣，及0＜C＜π，所以解得：sin C＝．当a＝2，2sin A＝sin C时，由正弦定理，解得：c＝＝4．由cos2C＝2cos2C﹣1＝﹣，及0＜C＜π得cos C＝±．由余弦定理c2＝a2+b2﹣2ab cos C，得b2±b﹣12＝0，解得b＝，或b＝2．故答案为：，或2．【知识点】三角形中的几何计算14.在△ABC中，角A、B、C的对边分别是a，b，c，若a cos B﹣b cos A＝，则最小值为．【解答】解：∵a cos B﹣b cos A＝，∴由正弦定理化简得：sin A cos B﹣sin B cos A＝sin C＝sin（A+B）＝sin A cos B+cos A sin B，整理得：sin A cos B＝3cos A sin B，∵cos A cos B≠0，∴tan A＝3tan B；∵＝＝＝≥2＝2＝．可得最小值为．故答案为：．【知识点】正弦定理15.已知数列{a n}且，若S n为数列a n的前n项和，则S2018＝．【解答】解：已知数列列{a n}且，若S n为数列a n的前n项和，所以①当n＝2k+1时，，②当n＝2k时，所以+（1+0﹣1+0+…+1）＝＝．故答案为：【知识点】数列的求和16.设a，b，c是互不相等的正数，则在四个不等式：（1）|a﹣b|≤|a﹣c|+|b﹣c|；（2）；（3）；（4）其中恒成立的有（把你认为正确的答案的序号都填上）【解答】解：（1）：|a﹣b|＝|a﹣c+c﹣b|≤|a﹣c|+|c﹣b|＝|a﹣c|+|b﹣c|，故（1）恒成立（2）：由于由于函数f（x）＝x+在（0，1]单调递减，在[1，+∞）单调递增当a＞1时，a2＞a＞1，f（a2）＞f（a）即，a2+＞a+，当0＜a＜1，0＜a2＜a＜1，f（a2）＞f（a）即a2+＞a+，当a＝1，a2+＞a+．故（2）恒成立；（3）：若a﹣b＝﹣1，则该不等式不成立，故（3）不恒成立；（4）：由于．故C恒成立．故答案为（1）（2）（4）【知识点】不等关系与不等式四、解答题（6道题，共70分）17.△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，满足4S△ABC＝b2+c2﹣a2．（1）求角A的大小；（2）已知cos（B+）＝，求cos2C的值．【解答】解：（1）∵4S△ABC＝b2+c2﹣a2，2bc sin A＝2bc cos A，即sin A＝cos A，tan A＝1，∵A∈（0，π），∴A＝，（2）∵cos（B+）＝，且B∈（0，π），∴sin（B+）＝，∴cos B＝cos[（B+）﹣]＝＝，sin B＝sin[（B+）﹣]＝＝，∴cos2C＝sin（2C+）＝sin2（C+）＝sin2（C+A）＝sin2B，＝2sin B cos B＝2×＝．【知识点】余弦定理18.如图，有一壁画，最高点A处离地面6米，最低点B处离地面3米．若从离地高2米的C处观赏它，视角为θ．（1）若tanθ＝时，求C点到墙壁的距离．（2）当C点离墙壁多远时，视角θ最大？【解答】解：（1）设C点到墙壁的距离CD＝x（x＞0），由条件知BD＝1，AD＝4，则tan∠ACD＝，tan∠BCD＝，所以tanθ＝tan（∠ACD﹣∠BCD）＝＝．因为tanθ＝，所以，所以x＝2，所以当tanθ＝时，C点到墙壁的距离为2米；（2）由（1）知，tanθ＝（x＞0），所以tanθ＝≤＝，当且仅当x＝，即x＝2时取等号，所以tanθmax＝，所以当C点离墙壁为2米时，视角θ最大．【知识点】解三角形19.数列{a n}中，a1＝1，．（1）求{a n}的通项公式；（2）设，对n∈N*都有a n S n≥1+a n m恒成立，求实数m 的取值范围．【解答】解：（1）依题意，由及a1＝1，可得．∴，n∈N*．（2）由（1）知，，∴＝，又∵对任意的n∈N*，都有a n S n≥1+a n m恒成立，而＞0．∴对任意的n∈N*恒成立，即对任意的n∈N*恒成立．∵数列是单调递增数列，∴当n＝1时，数列取最小值为﹣．∴，∴实数m的取值范围是．【知识点】数列的求和、数列递推式20.若变量x，y满足约束条件，求：（1）z＝x﹣2y+3的最大值；（2）的取值范围；（3）z＝x2+y2﹣2x﹣y+1的取值范围．【解答】解：作出可行域，如图所示；由，解得，即点A（2，0）；由，解得，即点B（1，1）；由，解得，即点C（3，3）；（1）如图可知z＝x﹣2y+3，在点A（2，0）处取得最优解，则z max＝2﹣0+3＝5；…（4分）（2），可看作区域内的点P（x，y）与定点M（﹣3，﹣2）连线的斜率的范围，在点A（2，0），C（3，3）处取得最优解，则，，所以；…8分（3）＝，可看作区域内的点P（x，y）与定点N的距离的平方，由图形可知，所以；在点C（3，3）处取得最大值，即；所以．…（12分）【知识点】简单线性规划21.已知实数x，y满足，目标函数Z＝2x﹣y，设Z的最大值为n，最小值为m．（1）求m，n的值．（2）对于任意实数a∈[m，n﹣4]，函数f（t）＝t2+（a﹣4）t+4﹣2a的值恒大于0，求实数t的取值范围．【解答】解：（1）实数x，y满足，的可行域如图，目标函数Z＝2x﹣y，经过A点时，Z的最小值为n＝﹣2×1+1＝﹣1，经过B时最大值为m＝2×2+1＝5．（2）设g（a）＝t2+（a﹣4）t+4﹣2a，a∈[﹣1，1]，g（a）≥0恒成立，∵，即，解得t＜1或t＞3．【知识点】函数恒成立问题、简单线性规划22.已知数列{a n}是公比大于1的等比数列，S n为数列{a n}的前n项和，S3＝7，且a1+3，3a2，a3+4成等差数列．数列{b n}的前n项和为T n，∀n∈N*满足﹣＝，且b1＝1（Ⅰ）求数列{a n}和{b n}的通项公式；（Ⅱ）令c n＝，求数列{c n}的前2n项和为Q2n；（Ⅲ）将数列{a n}，{b n}的项按照“当n为奇数时，a n放在前面；当n为偶数时，b n放在前面”的要求进行排列，得到一个新的数列a1，b1，b2，a2，a3，b3，b4，a4，a5，b5，b6…，求这个新数列的前n项和P n．【解答】解：（I）由已知，得，即，也即，解得a1＝1，q＝2，故a n＝2n﹣1；﹣＝，b1＝1，可得{}是首项为1，公差为的等差数列，＝1+（n﹣1）＝，T n＝，则b n＝n，n∈N*；（II）c n＝，Q2n＝（c1+c3+…+c2n﹣1）+（c2+c4+…+c2n）＝（1﹣+﹣+…+﹣）+（2•2+4•8+…+2n•22n﹣1）＝（1﹣）+（+•4n﹣1）＝﹣+•4n﹣1；（III）数列{a n}前n项和S n＝2n﹣1，数列{b n}的前n项和T n＝；①当n＝2k（k∈N*），P n＝S k+T k＝2k﹣1+＝2﹣1+，②当n＝4k﹣3（k∈N*），（1）当n＝1时，P n＝P1＝1，（2）当n≥2时，P n＝S2k﹣1+T2k﹣2＝22k﹣1﹣1+＝2﹣1+；③当n＝4k﹣1（k∈N*），P n＝S2k﹣1+T2k＝22k﹣1﹣1+＝2﹣1+．综上P n＝，（k∈N*）．【知识点】数列递推式、数列的求和。