高三数学第一轮总复习讲义 数列求和
高考第一轮复习之方法指导——《数列求和的方法》
高考第一轮复习之方法指导——《数列求和的方法》数列求和是高中数学中非常重要的一个概念，也是高考中经常会涉及到的内容。
下面给出一些数列求和的方法指导，希望对高考复习有所帮助。
1.等差数列求和：等差数列是高中数学中最基本的数列之一，求和方法也是最为简单的。
对于一个等差数列：a_1,a_2,a_3,...,a_n，如果首项是a_1，公差是d，则数列的和可以通过如下公式计算：S_n=(n/2)(a_1+a_n)其中，S_n表示数列的和，n表示数列的项数，a_n表示数列的最后一项。
2.等比数列求和：等比数列也是高中数学中常见的数列类型，求和方法相对于等差数列要稍复杂一些。
对于一个等比数列：a_1,a_2,a_3,...,a_n，如果首项是a_1，公比是q，则数列的和可以通过如下公式计算：S_n=(a_1(q^n-1))/(q-1)其中，S_n表示数列的和，n表示数列的项数，q表示数列的公比。
3.等差数列前n项和：如果需要计算等差数列的前n项的和，可以通过使用等差数列求和公式快速计算。
首先，计算数列的首项a_1和最后一项a_n，然后带入求和公式即可。
4.等差数列项数：如果需要计算等差数列的项数n，可以通过反推求解。
首先，计算数列的首项a_1和最后一项a_n，然后使用如下公式：n=(a_n-a_1)/d+1其中，n表示等差数列的项数，a_n表示最后一项，a_1表示首项，d表示公差。
5.等差数列的和等于0：如果一个等差数列的和等于0，可以应用等差数列的性质进行求解。
首先，计算数列的首项a_1和公差d，然后使用等差数列求和公式解方程：n/2(a_1+a_n)=0可得等差数列的项数n。
6.等差数列差数求和：如果需要计算等差数列的差数的和，可以使用差数求和公式进行计算。
该公式是等差数列求和公式的一个变形。
首先，计算差数的和：S_d=(n/2)(a_2-a_1)其中，S_d表示差数的和，n表示数列的项数，a_1表示首项，a_2表示第二项。
高三数学第一轮总复习讲义 数列求和
高三数学第一轮总复习-----数列求和 11-3一、基本知识体系：1.基本数列的前n 项和，用公式法⑴ 等差数列{}n a 的前n 项和：n S ⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧⋅+⋅-++=n b n a d n n na a a n n 211)1(212)(⑵ 等比数列{}n a 的前n 项和n S ： ① 当1=q 时，1na S n =；② 当1≠q 时，qqa a q q a S n n n --=--=11)1(11； 2、分组求和法：在直接运用公式求和有困难时常，将“和式”中的“同类项”先合并在一起，再运用公式法求和3、倒序相加法：类似于等差数列前n 项和公式的推导方法.4、错位相减法：适用于{}n n b a 其中{ n a }是等差数列，{}n b 是各项不为0的等比数列。
5、裂项相消法：适用于⎭⎬⎫⎩⎨⎧+1n n a a c ,其中{ n a }是各项不为0的等差数列，c 为常数；部分无理数列、含阶乘的数列等。
二、典例剖析：题型1 公式法（略） 题型2分组求和法【例1】求通项为122-+=n a n n 的数列的前n 项和变式训练 1.求数列 ,)23(1,,101,71,41,11132-+++++-n aa a a n 的前n 项和 2.数列()()()211,12,122,,122,n -++++++的前n 项和等于（ ）A ．n n -+12B ．221--+n n C ．12--n nD ．22--n n3、数列11111,2,3,4,392781的前n 项和是 .【方法提炼】若数列的通项公式可分解为若干个可求和的数列，则将数列通项公式分解，分别求和，最终达到求和目的. 题型3 裂项相消法求和 【例2】求和：)1(1431321211+++⨯+⨯+⨯n n . 【解题思路】观察通项公式的特点，发现111)1(1+-=+=n n n n a n .【例3】求)(,32114321132112111*N n n∈+++++++++++++++。
高考数学一轮总复习课件：数列的求和
象过点(4，2)，令an＝
1 f（n＋1）＋f（n）
，n∈N＋.记数列{an}的
前n项和为Sn，则S2 020等于( C )
A. 2 019－1
B. 2 020－1
C. 2 021－1
D. 2 021＋1
【解析】 由f(4)＝2可得4a＝2，解得a＝12，则f(x)＝x12.∴an
＝f（n＋1）1＋f（n）＝
【解析】 (1)设数列的通项为an，则an＝
2 n（n＋1）
＝
21n－n＋1 1， ∴Sn＝a1＋a2＋…＋an＝2[1－12＋12－13＋…＋1n－n＋1 1]＝
21－n＋1 1＝n2＋n1.
(2)∵an＝n（n1＋2）＝121n－n＋1 2，
∴Sn＝121－13＋12－14＋…＋1n－n＋1 2 ＝121＋12－n＋1 1－n＋1 2＝34－2（n＋21n）＋（3n＋2）.
因为b2＋b3＝12， 所以b1(q＋q2)＝12. 又b1＝2，所以q2＋q－6＝0， 解得q＝2(q＝－3舍去)，所以bn＝2n. 由b3＝a4－2a1，S11＝11b4，
8＝3d－a1， 可得11a1＋11×2 10d＝11×24， 解得ad1＝＝31，，所以an＝3n－2. 所以数列{an}的通项公式为an＝3n－2，数列{bn}的通项公式 为bn＝2n. ②由①可知，a2n＝6n－2，b2n－1＝2×4n－1. 设数列{a2nb2n－1}的前n项和为Tn，a2nb2n－1＝(3n－1)×4n， 故Tn＝2×4＋5×42＋8×43＋…＋(3n－1)×4n，① 4Tn＝2×42＋5×43＋…＋(3n－4)×4n＋(3n－1)×4n＋1，②
课外阅读
用倒序相加法求和 例 设f(x)＝1＋x2x2，求f2 0120＋f2 0119＋…＋ f(1)＋f(2)＋…＋f(2 020)．
高三数学第一轮复习《数列求和》讲义
＝3n－(2n＋1)3n＝－2n·3n.
∴Tn＝n·3n.
③．在等差数列 中， ，前 项和 满足条件 ，
（Ⅰ）求数列 的通项公式；
（Ⅱ）记 ，求数列 的前 项和 。
解：（Ⅰ）设等差数列 的公差为 ,由 得： ，所以 ，即 ，所以 。
（Ⅱ）由 ，得 。所以 ，
当 时， ；
例题分析：
题型一 分组转化求和
例1 求和：(1)Sn＝ ＋ ＋ ＋ ＋…＋ ；
(2)Sn＝ 2＋ 2＋…＋ 2.
解 (1)由于an＝ ＝n＋ ，
∴Sn＝ ＋ ＋ ＋…＋
＝(1＋2＋3＋…＋n)＋
＝ ＋ ＝ － ＋1.
(2)当x＝±1时，Sn＝4n.当x≠±1时，
Sn＝ 2＋ 2＋…＋ 2＝ ＋ ＋…＋
∴Sn＝3＋2×32＋3×33＋…＋n·3n，③
∴3Sn＝32＋2×33＋3×34＋…＋n·3n＋1.④
④－③得2Sn＝n·3n＋1－(3＋32＋33＋…＋3n)，即2Sn＝n·3n＋1－ ，
∴Sn＝ ＋ .
变式训练2①已知数列{an}的前n项和为Sn，且满足Sn＋n＝2an(n∈N*).
(1)证明：数列{an＋1}为等比数列，并求数列{an}的通项公式；
,
故 ( )
(2)
两式相减得
故
数列求和练习（1）
1．数列 的通项公式是 ，若它的前 项和为10，则其项数 为
A．11 B．99 C．120 D．121
解： ，则由 ，得 ，选C
2．数列 的通项是 ， ，则数列 的的前 项和为
A． B． C． D．
解： ，则
，选A
3．已知数列 的前 项和为 ，则 的值是
高三数学一轮复习数列求和的方法总结课件 (共19张PPT)
2 23
3 24
n2n1
n 2n1
由－得
1 2
Sn
1 2
1 22
1 23
1 2n
n 2n1
5
1 2 Sn
1 [1 ( 1 ) n ]
2
2
1 1
n 2 n1
2
得：
Sn
2
2n 2n
6
例、求1， 数 3， 5列 ， 7， ， 2n1 2 4 816 2n
的前 n项.和 解 S n ： 1 2 2 3 2 2 5 3 2 7 4 2 n 2 n 1
1 (1 1 1 1 1 1 )
4 223
n n1
1 (1 1 ) n 4 n 1 4(n 1)
14
五、分组求和法 如果一个数列的通项公式可写成 cn=an+bn的形式，而数列{an},{bn}是 等差数列或等比数列或可转化为能 够求和的数列，可采用分组求和法.
15
例、已知等比数{列 an}的前n项和为Sn, a4 2a3, S2 6. (1)求数列{an}的通项公式. (2)数列{bn}满足:bn an log2 an,求数列 {bn}的前n项和Tn. 解:设数 {an列 }的首项 a1,公 为比q(q为 0) 则 a1q32a1q2
.
.
.
.
.②
①
-②
：1 2
Sn
1 2
2 22
+
2 23
+
2 24
+
+
2 2n
2n 1 2 n1
11+ 1 + 1 + 2 2 22 23
+
1 2 n1
高考数学一轮复习讲义5.4讲 数列求和
第4讲 数列求和[最新考纲]1．熟练掌握等差、等比数列的前n 项和公式． 2．掌握非等差、等比数列求和的几种常见方法.知 识 梳 理1．公式法(1)等差数列的前n 项和公式： S n ＝n (a 1＋a n )2＝na 1＋n (n －1)2d . (2)等比数列的前n 项和公式：S n ＝⎩⎨⎧na 1，q ＝1，a 1－a n q 1－q ＝a 1(1－q n )1－q ，q ≠1.2．数列求和的几种常用方法 (1)分组求和法一个数列的通项公式是由若干个等差数列或等比数列或可求和的数列组成，则求和时可用分组求和法，分别求和后相加减． (2)裂项相消法把数列的通项拆成两项之差，在求和时中间的一些项可以相互抵消，从而求得其和．(3)错位相减法如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成的，那么这个数列的前n 项和即可用此法来求，如等比数列的前n 项和公式就是用此法推导的． (4)倒序相加法如果一个数列{a n }的前n 项中首末两端等“距离”的两项的和相等或等于同一个常数，那么求这个数列的前n 项和可用倒序相加法，如等差数列的前n 项和公式即是用此法推导的． (5)并项求和法在一个数列的前n项和中，可两两结合求解，则称之为并项求和．形如a n＝(－1)n f(n)类型，可采用两项合并求解．例如，S n＝1002－992＋982－972＋…＋22－12＝(1002－992)＋(982－972)＋…＋(22－12)＝(100＋99)＋(98＋97)＋…＋(2＋1)＝5 050.3．常见的拆项公式(1)1n(n＋1)＝1n－1n＋1；(2)1(2n－1)(2n＋1)＝12⎝⎛⎭⎪⎫12n－1－12n＋1；(3)1n＋n＋1＝n＋1－n.辨析感悟数列求和的常用方法(1)当n≥2时，1n2－1＝1n－1－1n＋1.(×)(2)求S n＝a＋2a2＋3a3＋…＋na n时只要把上式等号两边同时乘以a即可根据错位相减法求得．(×)(3)推导等差数列求和公式的方法叫做倒序求和法，利用此法可求得sin2 1°＋sin2 2°＋sin2 3°＋…＋sin2 88°＋sin2 89°＝44.5.(√)(4)(2014·南京调研改编)若S n＝1－2＋3－4＋…＋(－1)n－1·n，则S50＝－25.(√) [感悟·提升]两个防范一是用裂项相消法求和时，注意裂项后的系数以及搞清未消去的项，如(1)．二是含有字母的数列求和，常伴随着分类讨论，如(2)中a需要分a＝0，a＝1，a≠1且a≠0三种情况求和，只有当a≠1且a≠0时可用错位相减法求和.学生用书第88页考点一分组转化法求和【例1】已知数列{a n}的通项公式是a n＝2·3n－1＋(－1)n(ln 2－ln 3)＋(－1)n n ln 3，求其前n项和S n.解S n＝2(1＋3＋…＋3n－1)＋[－1＋1－1＋…＋(－1)n](ln 2－ln 3)＋[－1＋2－3＋…＋(－1)n n ]ln 3， 所以当n 为偶数时，S n ＝2×1－3n 1－3＋n 2ln 3＝3n ＋n2ln 3－1；当n 为奇数时，S n ＝2×1－3n 1－3－(ln 2－ln 3)＋⎝ ⎛⎭⎪⎫n －12－n ln 3＝3n－n －12ln 3－ln 2－1.综上所述，S n ＝⎩⎪⎨⎪⎧3n＋n 2ln 3－1，n 为偶数，3n－n －12ln 3－ln 2－1，n 为奇数.规律方法 (1)等差数列、等比数列以及由等差数列、等比数列通过加、减构成的数列，它们可以使用等差数列、等比数列的求和公式求解．(2)奇数项和偶数项分别构成等差数列或者等比数列的，可以分项数为奇数和偶数时使用等差数列或等比数列的求和公式．【训练1】 (2014·湖州质检)在等比数列{a n }中，已知a 1＝3，公比q ≠1，等差数列{b n }满足b 1＝a 1，b 4＝a 2，b 13＝a 3. (1)求数列{a n }与{b n }的通项公式；(2)记c n ＝(－1)n b n ＋a n ，求数列{c n }的前n 项和S n .解 (1)设等比数列{a n }的公比为q ，等差数列{b n }的公差为d . 由已知，得a 2＝3q ，a 3＝3q 2，b 1＝3，b 4＝3＋3d ，b 13＝3＋12d ， 故⎩⎨⎧ 3q ＝3＋3d ，3q 2＝3＋12d ⇒⎩⎨⎧q ＝1＋d ，q 2＝1＋4d ⇒q ＝3或1(舍去)． 所以d ＝2，所以a n ＝3n ，b n ＝2n ＋1.(2)由题意，得c n ＝(－1)n b n ＋a n ＝(－1)n (2n ＋1)＋3n ， S n ＝c 1＋c 2＋…＋c n＝(－3＋5)＋(－7＋9)＋…＋[(－1)n －1(2n －1)＋ (－1)n (2n ＋1)]＋3＋32＋…＋3n .当n 为偶数时，S n ＝n ＋3n ＋12－32＝3n ＋12＋n －32；当n 为奇数时，S n ＝(n －1)－(2n ＋1)＋3n ＋12－32＝3n ＋12－n －72. 所以S n ＝⎩⎪⎨⎪⎧3n ＋12＋n －32，n 为偶数，3n ＋12－n －72，n 为奇数.考点二 裂项相消法求和【例2】 (2013·江西卷)正项数列{a n }的前n 项和S n 满足：S 2n －(n 2＋n －1)S n －(n 2＋n )＝0.(1)求数列{a n }的通项公式a n ； (2)令b n ＝n ＋1(n ＋2)2a 2n，数列{b n }的前n 项和为T n ，证明：对于任意的n ∈N *，都有T n ＜564.解 (1)由S 2n －(n 2＋n －1)S n －(n 2＋n )＝0，得[S n －(n 2＋n )](S n ＋1)＝0.由于{a n }是正项数列，所以S n ＞0，S n ＝n 2＋n .于是a 1＝S 1＝2，当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝n 2＋n －(n －1)2－(n －1)＝2n . 综上，数列{a n }的通项a n ＝2n . (2)证明 由于a n ＝2n ，b n ＝n ＋1(n ＋2)2a 2n ， 则b n ＝n ＋14n 2(n ＋2)2＝116⎣⎢⎡⎦⎥⎤1n 2－1(n ＋2)2. T n ＝116⎣⎢⎡ 1－132＋122－142＋132－152＋…＋1(n －1)2－⎦⎥⎤1(n ＋1)2＋1n 2－1(n ＋2)2＝116⎣⎢⎡⎦⎥⎤1＋122－1(n ＋1)2－1(n ＋2)2 ＜116⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋122＝564.规律方法 使用裂项法求和时，要注意正负项相消时消去了哪些项，保留了哪些项，切不可漏写未被消去的项，未被消去的项有前后对称的特点，实质上造成正负相消是此法的根源与目的．【训练2】 (2013·滨州一模)已知数列{a n }的前n 项和是S n ，且S n ＋12a n ＝1(n ∈N *)． (1)求数列{a n }的通项公式；(2)设b n ＝log 13(1－S n ＋1)(n ∈N *)，令T n ＝1b 1b 2＋1b 2b 3＋…＋1b n b n ＋1，求T n .解 (1)当n ＝1时，a 1＝S 1，由S 1＋12a 1＝1，得a 1＝23， 当n ≥2时，S n ＝1－12a n ，S n －1＝1－12a n －1， 则S n －S n －1＝12(a n －1－a n )，即a n ＝12(a n －1－a n )， 所以a n ＝13a n －1(n ≥2)．故数列{a n }是以23为首项，13为公比的等比数列． 故a n ＝23·⎝ ⎛⎭⎪⎫13n －1＝2·⎝ ⎛⎭⎪⎫13n (n ∈N *)． (2)因为1－S n ＝12a n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13n .所以b n ＝log 13(1－S n ＋1)＝log 13⎝ ⎛⎭⎪⎫13n ＋1＝n ＋1，因为1b n b n ＋1＝1(n ＋1)(n ＋2)＝1n ＋1－1n ＋2，所以T n ＝1b 1b 2＋1b 2b 3＋…＋1b n b n ＋1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12－13＋⎝ ⎛⎭⎪⎫13－14＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1n ＋1－1n ＋2＝12－1n ＋2＝n 2(n ＋2). 学生用书第89页【例3】 (2013·山东卷)设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且S 4＝4S 2，a 2n ＝2a n ＋1.(1)求数列{a n }的通项公式；(2)设数列{b n }的前n 项和为T n ，且T n ＋a n ＋12n ＝λ(λ为常数)，令c n ＝b 2n ，(n ∈N *)，求数列{c n }的前n 项和R n .解 (1)设等差数列{a n }的首项为a 1，公差为d . 由S 4＝4S 2，a 2n ＝2a n ＋1，得 ⎩⎨⎧4a 1＋6d ＝8a 1＋4d ，a 1＋(2n －1)d ＝2a 1＋2(n －1)d ＋1. 解得a 1＝1，d ＝2. 因此a n ＝2n －1，n ∈N *. (2)由题意知T n ＝λ－n2n －1， 所以n ≥2时，b n ＝T n －T n －1＝－n2n －1＋n －12n －2＝n －22n －1.故c n ＝b 2n ＝2n －222n －1＝(n －1)(14)n －1，n ∈N *，所以R n ＝0×(14)0＋1×(14)1＋2×(14)2＋3×(14)3＋…＋(n －1)×(14)n －1， 则14R n ＝0×(14)1＋1×(14)2＋2×(14)3＋…＋(n －2)×(14)n －1＋(n －1)×(14)n ， 两式相减得34R n ＝(14)1＋(14)2＋(14)3＋…＋(14)n －1－(n －1)×(14)n ＝14－(14)n 1－14－(n －1)×(14)n ＝13－1＋3n 3(14)n ，整理得R n ＝19(4－3n ＋14n －1)．所以数列{c n }的前n 项和R n ＝19(4－3n ＋14n －1)．规律方法 (1)一般地，如果数列{a n }是等差数列，{b n }是等比数列，求数列{a n ·b n }的前n 项和时，可采用错位相减法求和，一般是和式两边同乘以等比数列{b n }的公比，然后作差求解．(2)在写出“S n ”与“qS n ”的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”以便下一步准确写出“S n －qS n ”的表达式．【训练3】 (2013·嘉兴二模)在数列{a n }中，a 1＝2，a n ＋1＝3a n ＋2. (1)记b n ＝a n ＋1，求证：数列{b n }为等比数列； (2)求数列{na n }的前n 项和S n .(1)证明 由a n ＋1＝3a n ＋2，可得a n ＋1＋1＝3(a n ＋1)． 因为b n ＝a n ＋1，所以b n ＋1＝3b n ，又b 1＝a 1＋1＝3，所以数列{b n }是以3为首项，以3为公比的等比数列． (2)解 由(1)知a n ＋1＝3n ，a n ＝3n －1，所以na n ＝n ·3n －n ， 所以S n ＝(3＋2·32＋…＋n ·3n )－(1＋2＋…＋n )， 其中1＋2＋…＋n ＝n 2＋n 2， 记T n ＝3＋2·32＋…＋n ·3n ，①3T n ＝32＋2·33＋…＋(n －1)·3n ＋n ·3n ＋1，②两式相减得－2T n ＝3＋32＋…＋3n －n ·3n ＋1＝3－3n ＋1－2－n ·3n ＋1，即T n ＝2n －14·3n ＋1＋34，所以S n ＝(2n －1)·3n ＋14－2n 2＋2n －34.数列求和的方法技巧(1)倒序相加：用于等差数列、与二项式系数相关联的数列的求和． (2)错位相减：用于等差数列与等比数列的积数列的求和．(3)分组求和：用于若干个等差或等比数列的和或差数列的求和．答题模板7——求数列{|a n |}的前n 项和问题【典例】 (14分)(2013·浙江卷)在公差为d 的等差数列{a n }中，已知a 1＝10，且a 1,2a 2＋2,5a 3成等比数列． (1)求d ，a n ；(2)若d <0，求|a 1|＋|a 2|＋…＋|a n |.[规范解答] (1)由题意得5a 3·a 1＝(2a 2＋2)2， (2分) 即d 2－3d －4＝0.故d ＝－1或4.(4分)所以a n ＝－n ＋11，n ∈N *或a n ＝4n ＋6，n ∈N * ， (6分) (2)设数列{a n }的前n 项和为S n .因为d <0，由(1)得d ＝－1，a n ＝－n ＋11. ∴S n ＝－12n 2＋212n ，(8分)当n ≤11时，|a 1|＋|a 2|＋|a 3|＋…＋|a n | ＝S n ＝－12n 2＋212n .(10分) 当n ≥12时，|a 1|＋|a 2|＋|a 3|＋…＋|a n | ＝－S n ＋2S 11＝12n 2－212n ＋110. (12分) 综上所述，|a 1|＋|a 2|＋|a 3|＋…＋|a n |＝⎩⎪⎨⎪⎧－12n 2＋212n ，n ≤11，12n 2－212n ＋110，n ≥12. (14分)[反思感悟] (1)本题求解用了分类讨论思想，求数列{|a n |}的和时，因为a n 有正有负，所以应分两类分别求和．(2)常出现的错误：①当n ≤11时，求{|a n |}的和，有的学生认为就是S 11＝110；②当n ≥12时，求{|a n |}的和，有的学生不能转化为2(a 1＋a 2＋…＋a 11)－(a 1＋a 2＋…＋a n )，导致出错．答题模板 求数列{|a n |}的前n 项和一般步骤如下： 第一步：求数列{a n }的前n 项和；第二步：令a n ≤0(或a n ≥0)确定分类标准； 第三步：分两类分别求前n 项和； 第四步：用分段函数形式下结论；第五步：反思回顾：查看{|a n |}的前n 项和与{a n }的前n 项和的关系，以防求错结果．【自主体验】已知等差数列{a n }前三项的和为－3，前三项的积为8. (1)求等差数列{a n }的通项公式；(2)若a 2，a 3，a 1成等比数列，求数列{|a n |}的前n 项和． 解 (1)设等差数列{a n }的公差为d ， 则a 2＝a 1＋d ，a 3＝a 1＋2d ， 由题意，得⎩⎨⎧3a 1＋3d ＝－3，a 1(a 1＋d )(a 1＋2d )＝8.解得⎩⎨⎧ a 1＝2，d ＝－3或⎩⎨⎧a 1＝－4，d ＝3.所以由等差数列的通项公式，可得a n ＝2－3(n －1)＝－3n ＋5或a n ＝－4＋3(n －1)＝3n －7. 故a n ＝－3n ＋5或a n ＝3n －7.(2)由(1)，知当a n ＝－3n ＋5时，a 2，a 3，a 1分别为－1，－4,2，不成等比数列；当a n ＝3n －7时，a 2，a 3，a 1分别为－1,2，－4，成等比数列，满足条件． 故|a n |＝|3n －7|＝⎩⎨⎧－3n ＋7，n ＝1，2，3n －7，n ≥3.记数列{|a n |}的前n 项和为S n .当n ＝1时，S 1＝|a 1|＝4；当n ＝2时，S 2＝|a 1|＋|a 2|＝5； 当n ≥3时，S n ＝S 2＋|a 3|＋|a 4|＋…＋|a n | ＝5＋(3×3－7)＋(3×4－7)＋…＋(3n －7) ＝5＋(n －2)[2＋(3n －7)]2＝32n 2－112n ＋10.当n ＝2时，满足此式．综上，S n ＝⎩⎪⎨⎪⎧4，n ＝1，32n 2－112n ＋10，n >1.基础巩固题组(建议用时：40分钟)一、选择题1．等差数列{a n }的通项公式为a n ＝2n ＋1，其前n 项和为S n ，则数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n n 的前10项的和为( )． A ．120B ．70C ．75D ．100解析 因为S nn ＝n ＋2，所以⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n n 的前10项和为10×3＋10×92＝75.答案 C2．若数列{a n }的通项公式为a n ＝2n ＋2n －1，则数列{a n }的前n 项和为 ( )． A ．2n ＋n 2－1 B ．2n ＋1＋n 2－1 C ．2n ＋1＋n 2－2D ．2n ＋n －2解析 S n ＝2(1－2n )1－2＋n (1＋2n －1)2＝2n ＋1－2＋n 2.答案 C3．数列{a n }的前n 项和为S n ，已知S n ＝1－2＋3－4＋…＋(－1)n －1·n ，则S 17＝( )．A ．9B ．8C ．17D ．16解析 S 17＝1－2＋3－4＋5－6＋…＋15－16＋17＝1＋(－2＋3)＋(－4＋5)＋(－6＋7)＋…＋(－14＋15)＋(－16＋17)＝1＋1＋1＋…＋1＝9. 答案 A4．(2014·西安质检)已知数列{a n }满足a 1＝1，a n ＋1·a n ＝2n (n ∈N *)，则S 2 012＝( )． A ．22 012－1 B ．3·21006－3 C ．3·21006－1D ．3·21 005－2解析 a 1＝1，a 2＝2a 1＝2，又a n ＋2·a n ＋1a n ＋1·a n＝2n ＋12n ＝2.∴a n ＋2a n ＝2.∴a 1，a 3，a 5，…成等比数列；a 2，a 4，a 6，…成等比数列，∴S 2 012＝a 1＋a 2＋a 3＋a 4＋a 5＋a 6＋…＋a 2 011＋a 2 012＝(a 1＋a 3＋a 5＋…＋a 2 011)＋(a 2＋a 4＋a 6＋…＋a 2 012) ＝1－21 0061－2＋2(1－21 006)1－2＝3·21 006－3.故选B.答案 B5．(2014·杭州模拟)已知函数f (x )＝x 2＋2bx 过(1,2)点，若数列⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫1f (n )的前n 项和为S n ，则S 2 014的值为( )． A.2 0122 011B.2 0102 011C.2 0142 013D.2 0142 015解析 由已知得b ＝12，∴f (n )＝n 2＋n ， ∴1f (n )＝1n 2＋n ＝1n (n ＋1)＝1n －1n ＋1， ∴S 2 014＝1－12＋12－13＋…＋12 013－12 014＋12 014－12 015＝1－12 015＝2 0142 015. 答案 D 二、填空题6．在等比数列{a n }中，若a 1＝12，a 4＝－4，则公比q ＝________；|a 1|＋|a 2|＋…＋|a n |＝________.解析 设等比数列{a n }的公比为q ，则a 4＝a 1q 3，代入数据解得q 3＝－8，所以q ＝－2；等比数列{|a n |}的公比为|q |＝2，则|a n |＝12×2n －1，所以|a 1|＋|a 2|＋|a 3|＋…＋|a n |＝12(1＋2＋22＋…＋2n －1)＝12(2n －1)＝2n －1－12.答案 －2 2n －1－127．(2013·山西晋中名校联合测试)在数列{a n }中，a 1＝1，a n ＋1＝(－1)n (a n ＋1)，记S n 为{a n }的前n 项和，则S 2 013＝________.解析 由a 1＝1，a n ＋1＝(－1)n (a n ＋1)可得a 1＝1，a 2＝－2，a 3＝－1，a 4＝0，该数列是周期为4的数列，所以S 2 013＝503(a 1＋a 2＋a 3＋a 4)＋a 2 013＝503×(－2)＋1＝－ 1 005. 答案 －1 0058．(2014·武汉模拟)等比数列{a n }的前n 项和S n ＝2n －1，则a 21＋a 22＋…＋a 2n ＝____.解析 当n ＝1时，a 1＝S 1＝1，当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝2n －1－(2n －1－1)＝2n －1，又∵a 1＝1适合上式．∴a n ＝2n －1，∴a 2n ＝4n －1. ∴数列{a 2n }是以a 21＝1为首项，以4为公比的等比数列．∴a 21＋a 22＋…＋a 2n ＝1·(1－4n )1－4＝13(4n －1)． 答案 13(4n －1) 三、解答题9．正项数列{a n }满足：a 2n －(2n －1)a n －2n ＝0.(1)求数列{a n }的通项公式a n ； (2)令b n ＝1(n ＋1)a n，求数列{b n }的前n 项和T n .解 (1)由a 2n －(2n －1)a n －2n ＝0得(a n －2n )(a n ＋1)＝0，由于{a n }是正项数列，则a n ＝2n .(2)由(1)知a n ＝2n ，故b n ＝1(n ＋1)a n ＝12n (n ＋1)＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1n ＋1， ∴T n ＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12＋12－13＋…＋1n －1n ＋1＝12⎝⎛⎭⎪⎫1－1n ＋1＝n 2(n ＋1). 10．(2013·烟台期末)已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且S n ＝2a n －2. (1)求数列{a n }的通项公式；(2)记S n ＝a 1＋3a 2＋…＋(2n －1)a n ，求S n .解 (1)∵S n ＝2a n －2，∴当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝2a n －2－(2a n －1－2)， 即a n ＝2a n －2a n －1，∵a n ≠0，∴a na n －1＝2(n ≥2，n ∈N *)．∵a 1＝S 1，∴a 1＝2a 1－2，即a 1＝2.数列{a n }是以2为首项，2为公比的等比数列．∴a n ＝2n . (2)S n ＝a 1＋3a 2＋…＋(2n －1)a n＝1×2＋3×22＋5×23＋…＋(2n －1)2n ，① ∴2S n ＝1×22＋3×23＋…＋(2n －3)2n ＋(2n －1)2n ＋1，②①－②得－S n ＝1×2＋(2×22＋2×23＋…＋2×2n )－(2n －1)2n ＋1， 即－S n ＝1×2＋(23＋24＋…＋2n ＋1)－(2n －1)2n ＋1 ∴S n ＝(2n －3)·2n ＋1＋6.能力提升题组(建议用时：25分钟)一、选择题1．(2014·西安模拟)数列{a n }满足a n ＋a n ＋1＝12(n ∈N *)，且a 1＝1，S n 是数列{a n }的前n 项和，则S 21＝( )． A.212B ．6C ．10D ．11 解析 依题意得a n ＋a n ＋1＝a n ＋1＋a n ＋2＝12，则a n ＋2＝a n ，即数列{a n }中的奇数项、偶数项分别相等，则a 21＝a 1＝1，S 21＝(a 1＋a 2)＋(a 3＋a 4)＋…＋(a 19＋a 20)＋a 21＝10(a 1＋a 2)＋a 21＝10×12＋1＝6，故选B. 答案 B2．(2014·长沙模拟)已知函数f (n )＝n 2cos n π，且a n ＝f (n )＋f (n ＋1)，则a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 100＝( )． A ．－100 B ．0 C ．100 D ．10200解析 若n 为偶数，则a n ＝f (n )＋f (n ＋1)＝n 2－(n ＋1)2＝－(2n ＋1)，为首项为a 2＝－5，公差为－4的等差数列；若n 为奇数，则a n ＝f (n )＋f (n ＋1)＝－n 2＋(n ＋1)2＝2n ＋1，为首项为a 1＝3，公差为4的等差数列．所以a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 100＝(a 1＋a 3＋…＋a 99)＋(a 2＋a 4＋…＋a 100)＝50×3＋50×492×4＋50×(－5)＋50×492×(－4)＝－100. 答案 A 二、填空题3．设f (x )＝4x 4x ＋2，利用倒序相加法，可求得f ⎝ ⎛⎭⎪⎫111＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫211＋…＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1011的值为______．解析当x 1＋x 2＝1时，f (x 1)＋f (x 2)＝＝＝1.设S ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫111＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫211＋…＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1011，倒序相加有2S ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤f ⎝ ⎛⎭⎪⎫111＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1011＋⎣⎢⎡⎦⎥⎤f ⎝ ⎛⎭⎪⎫211＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫911＋…＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1011＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫111＝10，即S ＝5.答案 5 三、解答题4．(2014·洛阳模拟)在数列{a n }中，a 1＝－5，a 2＝－2，记A (n )＝a 1＋a 2＋…＋a n ，B (n )＝a 2＋a 3＋…＋a n ＋1，C (n )＝a 3＋a 4＋…＋a n ＋2(n ∈N *)，若对于任意n ∈N *，A (n )，B (n )，C (n )成等差数列． (1)求数列{a n }的通项公式； (2)求数列{|a n |}的前n 项和．解 (1)根据题意A (n )，B (n )，C (n )成等差数列， ∴A (n )＋C (n )＝2B (n )，整理得a n ＋2－a n ＋1＝a 2－a 1＝－2＋5＝3， ∴数列{a n }是首项为－5，公差为3的等差数列， ∴a n ＝－5＋3(n －1)＝3n －8.(2)|a n |＝⎩⎨⎧－3n ＋8，n ≤2，3n －8，n ≥3，记数列{|a n |}的前n 项和为S n .当n ≤2时，S n ＝n (5＋8－3n )2＝－3n 22＋132n ；当n ≥3时，S n ＝7＋(n －2)(1＋3n －8)2＝3n 22－132n ＋14，综上，S n ＝⎩⎪⎨⎪⎧－32n 2＋132n ，n ≤2，32n 2－132n ＋14，n ≥3.必记内容: 高中数学三角函数公式汇总一、任意角的三角函数在角α的终边上任取．．一点),(y x P ，记：22y x r +=， 正弦：r y =αsin 余弦：r x=αcos 正切：xy=αtan 余切：y x =αcot正割：xr=αsec 余割：yr =αcsc 注：我们还可以用单位圆中的有向线段表示任意角的三角函数：如图，与单位圆有关的有向．．线段MP 、OM 、AT 分别叫做角α的正弦线、余弦线、正切线。
高三数学一轮复习备考数列的求和说课
高三数学一轮复习备考数列的求和说课高三数学一轮复习备考中，数列的求和是一个重要的考点。
在本文中，我将对数列的求和进行深入解析，包括常见的等差数列和等比数列的求和公式，以及一些应用题的解题方法。
首先，让我们来回顾一下数列的概念。
数列是由一系列按照一定规律排列的数所组成的集合。
数列的每一项称为数列的项，用ai表示，其中i表示项的位置。
数列中的规律可以用一个通项公式来表示。
对于等差数列来说，通项公式为an=a1+(n-1)d，其中a1为首项，d为公差；而对于等比数列来说，通项公式为an=a1*r^(n-1)，其中a1为首项，r为公比。
接下来，我们来看一下等差数列的求和公式。
对于等差数列来说，其求和公式是非常有用的。
设等差数列的首项为a1，公差为d，前n项和为Sn。
那么等差数列的求和公式可以表示为Sn=n/2*(a1+an)，其中an表示等差数列的第n项。
在使用等差数列的求和公式时，需要明确几个关键的概念。
首先，当n为奇数时，a1和an为等差数列中间的一项；当n为偶数时，a1和an分别为等差数列的相邻两项，此时中间没有项。
其次，等差数列的前n项和与等差数列的倒序前n项和相等。
例如，对于等差数列1，3，5，7，9来说，其首项为1，公差为2。
我们可以使用等差数列的求和公式来计算前3项的和。
根据公式，n=3，所以Sn=3/2*(1+5)=9。
除了等差数列外，我们还有等比数列的求和公式。
对于等比数列来说，其求和公式也是非常重要的。
设等比数列的首项为a1，公比为r，前n项和为Sn。
等比数列的求和公式可以表示为Sn=a1*(1-r^n)/(1-r)，其中r不等于1。
在使用等比数列的求和公式时，需要注意一些特殊情况。
当公比|r|小于1时，等比数列的前n项和随着n的增加而趋近于一个常数，即Sn的极限存在；当公比|r|大于1时，等比数列的前n项和随着n的增加呈无穷趋近于正无穷或负无穷；当公比|r|等于1时，等比数列不存在有限的前n项和，但存在极限。
高考数学第一轮知识点总复习 第四节 数列求和
后再合并，形如：
①{a n bn},,其中 an 等差数列； bn是等比数列；
②
f n, n 2k 1 an gn, n 2k
k N *
典例分析
题型一 利用常用公式求和
【例1】已知
log3
x
1 l，og求2 3
Sn x x的2 值x.3 ... xn
分析 由已知条件可求得x的值，再代入求 S的n 值.
分析(1)由已知条件利用等比数列的定义证明，即从a n 1
得到
1 a n1
-1与 1 an
-1
的等式关系.
（2）充分利用（1）的结论得出 项
1 an
1 2n
1
.欲求数列 ann
2a n a n 1
的前n
Sn
和
可先求出的值
Tn
1 2
2 22
3 23
n 2n
.
解(1)
a n1
2an , 1 an 1 an1
解析：由已知f(x)对任意实数m、n都有f(m)+f(n)=f(m+n)，得 f(1 005)+f(1 005)=f(2 010)=2+2=4; f(0)+f(2010)=f(2010)=4; f(2)+f(2 008)=f(2 010)=4; … f(1 004)+f(1 006)=4. 令S=f(0)+f(2)+f(4)+f(6)+…+f(2 008)+f(2010), 则S= f(2010)+ f(2 008)+f(2 006)+…+f(2)+f(0). 于是2S=[f(0)+f(2010)]+［f(2)+f(2 008)］+［f(4)+f(2 006)］ +…+［f(2 008)+f(2)］+[f(2010)+f(0)]
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高三数学第一轮总复习-----数列求和 11-3
一、基本知识体系：
1.基本数列的前n 项和，用公式法
⑴ 等差数列{}n a 的前n 项和：n S ⎪⎪⎪⎩
⎪
⎪⎪⎨⎧⋅+⋅-++=n b n a d n n na a a n n 2
11)1(212)
(
⑵ 等比数列{}n a 的前n 项和n S ： ① 当1=q 时，1na S n =；
② 当1≠q 时，q
q
a a q q a S n n n --=--=11)1(11；
2、分组求和法：在直接运用公式求和有困难时常，将“和式”中的“同类项”先合并在一起，
再运用公式法求和
3、倒序相加法：类似于等差数列前n 项和公式的推导方法.
4、错位相减法：适用于{}n n b a 其中{ n a }是等差数列，{}n b 是各项不为0的等比数列。
5、裂项相消法：适用于⎭
⎬⎫
⎩⎨⎧
+1n n a a c ,其中{ n a }是各项不为0的等差数列，c 为常数；部分无理数列、含阶乘的数列等。
二、典例剖析：
题型1 公式法（略） 题型2分组求和法
【例1】求通项为122-+=n a n
n 的数列的前n 项和
变式训练 1.求数列ΛΛΛΛ,)23(1
,,101,71,41,
11132-+++++-n a
a a a n 的前n 项和 2.数列()()()
211,12,122,,122,n -++++++L L L 的前n 项和等于（ ） A ．n n -+1
2
B ．22
1
--+n n C ．12--n n
D ．22--n n
3、数列1111
1,2,3,4,392781
L 的前n 项和是 .
【方法提炼】若数列的通项公式可分解为若干个可求和的数列，则将数列通项公式分解，分别求和，最终达到求和目的. 题型3 裂项相消法求和
【例2】求和：
)
1(1431321211+++⨯+⨯+⨯n n Λ. 【解题思路】观察通项公式的特点，发现1
1
1)1(1+-=+=n n n n a n .
【例3】求)(,3211
4321132112111*N n n
∈+++++++++++++++
ΛΛ。
变式训练
1.求数列311⨯，421⨯，5
31⨯，…，)2(1+n n ，…的前n 项和S n
2.求和：
)
13)(23(11071741411+-++⨯+⨯+⨯n n Λ；
3.在数列}{n a 中，9,1
1=++=
n n S n n n a 项和若其前，则项数n 为
（ ）
A ．9
B ．10
C ．99
D ．100
【方法提炼】数列的常见拆项有：
11
1)1(1+-=+n n n n ； 1(2n+1) (2n-1) =12 (12n-1 -12n+1)；
1111()()n n k k n n k =-++； n n n n -+=++11
1
；
题型4错位相减法求和
【例4】若数列{}n a 的通项n
n n a 3)12(⋅-=，求此数列的前n 项和n S .
【例5】求数列)0()12(,5,3,11
2≠--a a n a a n Λ，
的前n 项和n S .
变式训练 1. 求数列
;,2
1
2,,25,23,2132ΛΛn n -的前n 项的和n S
【方法提炼】若一个数列是由一个等差数列与一个等比数列的对应项相乘所得数列，求和问题适用错位相减法. （方法：在①式两边同乘等比数列部分的公比得②式，再两式相减。
）.
2．已知数列{a n }的前n 项和S n ＝n 2－6n ，则{|a n |}的前n 项和T n ＝( )
A ．6n －n 2
B ．n 2－6n ＋18
C.⎩
⎪⎨⎪⎧ 6n －n 2 (1≤n ≤3)
n 2－6n ＋18 (n ＞3)
D.⎩
⎪⎨⎪⎧
6n －n 2 (1≤n ≤3)
n 2－6n (n ＞3)
高三理科数学周测试题
11-3
1、如图，在△OAB 中，P 为线段AB 上的一点，OP →＝xOA →＋yOB →，且BP →＝2P A →
，则( )
A ．x ＝23，y ＝13
B ．x ＝13，y ＝2
3
C ．x ＝14，y ＝34
D ．x ＝34，y ＝1
4
2、设e 1，e 2是相互垂直的单位向量，并且向量a ＝3e 1＋2e 2，b ＝x e 1＋3e 2，如果a ⊥b ，那么实数x 等于( ) A ．－9
2
B.9
2
C ．－2
D ．2
3、设OA →＝(1，－2)，OB →＝(a ，－1)，OC →
＝(－b,0)，a >0，b >0，O 为坐标原点，若A 、B 、C 三点共线，则1a ＋2
b 的最小值是( )
A ．2
B ．4
C ．6
D ．8
4、已知|a |＝6，|b |＝3，a ·b ＝－12，则向量a 在向量b 方向上的投影是( )
A ．－4
B ．4
C ．－2
D ．2
5、在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别是a 、b 、c ，A ＝π
3
，a ＝3，b ＝1，则c ＝( )
A ．1
B ．2 C.3－1
D.3
6、在地面上一点D 测得一电视塔尖的仰角为45°，再向塔底方向前进100m ，又测得塔尖的仰角为60°，则此电视塔高约为________m ．( ) A ．237
B ．227
C ．247
D ．257
7、在△ABC 中，cos 2B 2＝a ＋c 2c
(a 、b 、c 分别为角A 、B 、C 的对边)，则△ABC 的形状为( )
A ．直角三角形
B ．正三角形
C ．等腰三角形
D ．等腰三角形或直角三角形
8、设O 为坐标原点，A (1,1)，若点B (x ，y )满足⎩⎪⎨⎪
⎧
x 2＋y 2－2x －2y ＋1≥01≤x ≤2
1≤y ≤2，则OA →·OB →
取得最小值
时，点B 的个数是( )
A ．1
B ．2
C ．3
D ．无数个
10、设向量a ＝(1，x －1)，b ＝(x ＋1,3)，则“x ＝2”是“a ∥b ”的________________条件． 11、在直角坐标系xOy 中，i ，j 分别是与x ，y 轴正方向同向的单位向量，OB →＝2i ＋j ，OC →
＝3i ＋k j ，若△OBC 为直角三角形，则k 的值为________________________________
12、在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别是a 、b 、c ，若b 2＋c 2＝a 2＋bc ，且AC →·AB →
＝4，则△ABC 的面积等于___________________________．
13、已知A 、B 、C 分别为△ABC 的三边a 、b 、c 所对的角，向量m ＝(sin A ，sin B )，n ＝(cos B ，cos A )，且m ·n ＝sin2C .
(1)求角C 的大小；
(2)若sin A ，sin C ，sin B 成等差数列，且CA →·(AB →－AC →
)＝18，求边c 的长．。