毛旭东_第二章(4)-二次函数不的图象和性质3
二次函数的图像和性质PPT课件
-5
-6
y=－x2
-7
-8 -9
-10
从图像可以看出,二次函数y=x2和y=－x2的图像都
是一条曲线,它的形状类似于投篮球或投掷铅球时球在
空中所经过的路线y .
这样的曲线叫做抛物线.
y=x2的图像叫做抛物线y=x2.
y=x2
y
o
x
y=－x2的图像叫做抛物线y=－x2.
实际上,二次函数的图像 o
x
都是抛物线.
达式的二次项系数、一次项系数和常数项.
下列哪些函数是二次函数？哪些是一次函数？
(1) y=3x-l (2) y=2x² (3) y=x²+6 (4) y=-3x²-2x+4
（1）一次函数的图象是一条__直__线_， (2) 通常怎样画一个函数的图象？ 列表、描点、连线 (3) 二次函数的图象是什么形 状呢？
1 -5 -4 -3 -2 -1 o 1
2
3
4
5
x
图像.
请画函数y=－x2的图像 解:(1) 列表
(2) 描点
(3) 连线
根据表中x,y的数值在 坐标平面中描点(x,y), 再用平滑曲线顺次连接 各点,就得到y=-x2的图
像.
y 1
-5 -4 -3 -2 -1-1 o 1 2 3 4 5 x
-2
-3 -4
二次函数的图像和性质PPT课 件
创设情境，导入新课
问题：
上面的图片都是二次函数的图片， 与我们生活密切相关
你们喜欢篮球吗？：投篮时，篮球运动的路 线是什么曲线？怎样计算篮球达到最高点 时的高度？
今天让我们来研究一下二次函数的图像 和性质吧
二次函数:
一般地,形如 y=ax2+bx+c(a、b、c为常数,a≠0)的函 数,叫做二次函数.其中,x是自变量,a,b,c分别是函数表
九年级数学二次函数的图像和性质3
b 4ac b 2 a x 2a 4a
2
由此,可以得到：
2
b 抛物线 y ax bx c a 0 的对称轴是 x 2a
b 4ac b 2 顶点坐标是 2a , 4a
，
有了上面的公式，我们就可以直接 y ax 2 bx c a 0 求出抛物线的对称轴和顶点坐标，然后在对称轴的两边对称地 选取x的值进行列表、描点了.
2
y x2 2x 1
2
2 1
-1
-2
-1
2
2. 描点
3.连线
0 -3 -2 -1 1 -1 -2 -3 2
练习：
1. 利用公式，求出下列抛物线的对称轴和顶点坐标， 并指出它们的开口方向.
（1） y = 3 x 2 - 6 x+1
（ 2） y = 2 x 2 - 6 x 1
2.求出抛物线 y = x 2 - 4x+ 2 的对称轴和顶点坐标， 指出它们的开口方向，并画出这个二次函数.
小明：我只是任意取一些x的值进行
列表描点，可描1
2 2
3 5
4 10
x y
-2 -1 0 10 5 2
1 1
2 2
小亮：把
小惠：我也是任
意取一些x的值惊 醒列表描点，描 出的点也不理想
原函数的右 边配方，转 化成 y=（x1）2+1的形 式，结合上 节课的知识， 我就可以选 取合适的 x 的值并列表 描点了
例题： 求抛物线 y x 2 x 1 的对称轴和顶点坐标， 并画出这个二次函数的图像. b 2 解： 2a 2 1 1, ∴抛物线的对称轴是x=-1， 2 顶点坐标是（-1，-2）， 4ac b 2 4 1 1 2 2 4a 4 1 画图 x -3 -2 -1 0 1 1. 列表：
《二次函数的图像与性质》PPT课件
(2)抛物线y=x2+1,y=x2－1与抛物线y=x2的异同点:
相同点： ①形状大小相同 ②开口方向相同 ③对称轴相同
不同点：顶点的位置不同， 抛物线的位置也不 同．
y y=x2+1
10
9
y=x2
8
7
6
5
4
3 2
y=x2－1
1●
-5 -4 -3 -2 -1●o 1 2 3 4 5 x ●
抛物线y=x2+1,y=x2－1与抛物线
二次函数的图像与性质
学习目标
• 1、能画出y=ax2+ k；y=a(x-h)2的图象，并 能根据图象探索出它的性质。
• 2、能灵活应用y=ax2+ k；y=a(x-h)2的性质 解决相关问题。
二次函数y＝x2的图象是____，它的开口向 _____，顶点坐标是_____；对称轴是______， 在对称轴的左侧，y随x的增大而______，在 对称轴的右侧，y随x的增大而______，函数y ＝x2当x＝______时， y有最______值，其最 ______值是______。
后，得到抛物线y=(x-3)2
5、把抛物线y=x2+mx+n向左平移4个单位，得到抛
物线y=(x-1)2,则m= -10 ,n= 25 .
6.已知二次函数y=8(x -2)2 当 x>2 时，y随x的增大而增大, 当 x<2 时，y随x的增大而减小.
7.抛物线y=3(x-8)2最小值 0 .
8.抛物线y=-3(x+2)2与x轴y轴的交点坐标分别为 (-2,0) (0,-12).
大值，这个最大值等
-6
于 c。
-8
总结： 函数y=ax2 (a≠0)和函数y=ax2+c (a≠0)的 图象形状 相，同只是位置不同；当c>0时，函数 y=ax2+c的图象可由y=ax2的图象向 上平移c 个单位
二次函数图像和性质(第3课时)ppt课件
图象
1
画出二次函数 对称轴和顶点．
y1x12,y的图 象1 ，并x考 虑1 它2 们的开口方向、
2
2
x
··· －3 －2 －1
0
1
2
3
···
y 1x12 ··· －2
1
0
1
－2 －4.5 －8
···
2
2
2
y 1x12 ··· －8 －4.5 －2
1
2
2
(1)当a>0时, 开口向上,当a<0时,开口向下;
(2)对称轴是y轴;
(3)顶点是(0,k).
抛物线y=a(x－h)2有如下特点: (1)当a>0时, 开口向上,当a<0时,开口向上;
(2)对称轴是x=h;
(3)顶点是(h,0).
19
–2
–3
–4
y 1 x2 2
12345
x
12
二次函数y=a(x±h)2的图象和性质.
h>0
y=ax2
当向右平移h时 当向左平移h时
y=a(x-h)2 y=a(x+h)2
y=a(x+h)2的图象
a＞0时，开口_____, 最 ____ 点向是上顶点;
低
a＜0时，开口_____, 最 ____ 点是顶点;
的
开口向_________，对称轴是________________，顶点是_________________．
y 1x12
下
2
x=1
(1,0)
7
指出下列函数图象的开口方向,对称轴和顶点坐标. 开口 对称轴 顶点坐标
1y2x32
52二次函数的图像和性质(3)(无答案)-江苏省淮安市袁集乡初级中学苏科版九年级数学下册导学案
5.2二次函数的图像和性质（3）【学习目标】1．会用描点法画函数y ＝a(x ＋m)2（a ≠0）的图像；2．能用平移变换解释二次函数y ＝a(x ＋m)2和二次函数y ＝ax 2（a ≠0）的位置关系； 3．能根据图像认识和理解二次函数y ＝a(x ＋m)2（a ≠0）的性质； 4．体会数学研究问题由具体到抽象．．．．．、特殊到一般．．．．．的思想方法． 【学习重、难点】用数形结合理解二次函数y ＝a(x ＋m)2和二次函数y ＝ax 2（a ≠0）的位置关系． 【学习过程】一、问题引入想一想：21y x =+的图像与2y x =的图像有什么关系？ 猜一猜：y ＝(x ＋3)2的图像和2y x =的图像之间有什么关系？ 二、新知探究1．填表：画函数y ＝x 2和y ＝(x ＋3)2的图像．x… -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 … 2x y =…… 2)3(+=x y … … 2)3(-=x y ……2.画图：在平面直角坐标系中，描点并画出函数y ＝x 2与函数y ＝(x ＋3)2与y ＝(x-3)2的图像；1193．观察：1）从表格的数值看：函数y ＝(x ＋3)2与函数y ＝x 2的函数值相等时，它们所 对应的自变量的值有什么关系？2）从对应点的位置看：函数y ＝(x ＋3)2的图像与y ＝x 2的图像的位置有什么关系？ 3）根据图像，你能得出函数y ＝(x ＋3)2图像的性质吗？ （开口方向、顶点坐标、对称轴、增减性和最值） 4.用同样的方法研究y ＝(x-3)2的图像与性质。
练习巩固：1. 说出函数y ＝-(x+3)2的图像的开口方向、顶点坐标、对称轴、增减性和最值， 它的图像与函数y ＝-x 2、y ＝-(x-3)2的图像之间有什么联系？思考：1）由上面的例子，函数2()y a x m =+的图像与函数2y ax =（a ≠0） 的图像的 位置有什么关系？ 2）函数2()y a x m =+有什么性质？三、当堂练习： 1.函数21(3)4y x =-的图像开口 ，对称轴 ，顶点坐标 ，当x ＜ 时，y 随x 的增大而 ，当x ＞ 时，y 随x 的增大而 。
二次函数的图像和性质
二次函数的图像和性质二次函数是高中数学中常见的一种函数类型，其图像呈现出特定的形状和性质。
本文将介绍二次函数的图像特点，探讨二次函数的性质以及解释这些性质的意义。
一、二次函数的图像特点1. 平移和伸缩：二次函数的图像可以通过平移和伸缩来改变其位置和形状。
一般二次函数的标准形式为f(x) = ax^2 + bx + c，其中a、b、c为常数。
当a>0时，图像开口向上，当a<0时，图像开口向下。
参数b控制了二次函数图像的水平位置，参数c则控制了图像的垂直位置。
2. 对称性：二次函数的图像具有关于直线x = -b / (2a)的对称性。
这条直线称为二次函数的对称轴。
对称轴将图像分成两个完全对称的部分。
3. 顶点：二次函数图像的最高点或最低点称为顶点。
对于开口向上的二次函数，顶点是图像的最低点，对于开口向下的二次函数，顶点是图像的最高点。
顶点的坐标为(-b / (2a), f(-b / (2a)))。
4. 零点：二次函数与x轴交点的坐标称为零点。
零点是二次函数的解，即f(x) = 0的解。
二次函数可以有两个、一个或零个零点，取决于判别式D = b^2 - 4ac的值。
二、二次函数的性质1. 单调性：开口向上的二次函数在对称轴的两侧是单调递增的，开口向下的二次函数在对称轴的两侧是单调递减的。
对于开口向上的二次函数，当x趋于正无穷时，函数值也趋于正无穷；当x趋于负无穷时，函数值也趋于负无穷。
对于开口向下的二次函数，情况相反。
2. 极值：二次函数的最小值（开口向上）或最大值（开口向下）即为顶点的纵坐标，其横坐标为对称轴的横坐标。
3. 范围和值域：对于开口向上的二次函数，其值域为[y, +∞)，其中y为顶点的纵坐标；对于开口向下的二次函数，其值域为(-∞, y]，其中y为顶点的纵坐标。
4. 最大值或最小值：当a>0时，开口向上的二次函数不存在最小值；当a<0时，开口向下的二次函数不存在最大值。
(课件)2.2.3二次函数图象性质三
最值 当x=h时,最小值为0. 当x=h时,最大值为0.
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在同一坐标系内画出y=2x2、y=2(x-1)2、 y=2(x-1)2+1 的 图象
x y=2x2
-3 -2 -1
0
1
2
3
…8 2 0
2
8
…
y=2(x-1)2 … … 8 2
0
2
8
y=2(x-1)2+1 … … 9 3
抛物线
开口方向
对称轴
顶点坐标
y=a(x-h)2 (a>0) 向上
直线x=h
（h，0）
y=a(x-h)2 (a<0) 向下
直线x=h
（h，0）
增减性
在对称轴的左侧,y随着x的增 大而减小. 在对称轴的右侧,
y随着x的增大而增大.
在对称轴的左侧,y随着x的增 大而增大. 在对称轴的右侧, y
随着x的增大而减小.
y 2(x 1)2 1 的图像可以由 y 2 x 2 先向上平移一个单位
,
再向右平移一个单位,或者先向右平移一个单位再向上 平移一个单位而得到.
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平移的规律总结：
当h>0时,向右平移h个单位
y=ax2
y=a(x-h)2
当h<0时,向左平移 h 个单位
3
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4.上下平移规律
y=ax2 当c>0时,向上平移c个单位 y ax2 c
当c<0时,向下平移 c 个单位
左右平移规律
当h>0时,向右平移h个单位
y=ax2
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做一做P44
5
函数y=ax2+bx+c(a≠0)的应用
如图,两条钢缆具有相同的抛物线形状. 按照图中的直角坐标系 , 左面的一条抛 物 线 可 以 用 y=0.0225x² +0.9x+10 表 示,而且左右两条抛物线关于y轴对称．
y 0.0225x 0.9 x 10
2
Y/m 10 x/m
2
10
桥面
即y 0.0225x 0.9x 10.
2
x/mBiblioteka 一般地,对于二次函数y=ax²+bx+c,我们可以 利用配方法推导出它的对称轴和顶点坐标.
例：求二次函数y=ax² +bx+c的对称轴 和顶点坐标．
2
1、两边同除以二次项系数 y ax bx c 2、配方:加上再加上 b c y 2 x x 一次项系数绝对值一 a a a 2 2 半的平方。 y b b b c 2 x x a 2a a 2a a 整理:右边前三项化为 2 y b b 2 c 2 (x ) 平方形式。
九年级数学(下)第二章
2.4二次函数 2 y=ax +bx+c的图象(2)
复习： 二次函数y=a(x-h)² +k图象的对称 轴、顶点坐标分别是什么？
试确定二次函数y=-2x² -4x+1图象 问题： 的对称轴、顶点坐标。 y=-2x² -4x+1=-2(x² +2x)+1 y 1 +1 = x² +2x+1 = (x+1)² 2 y= -2(x+1)² +3 ∴对称轴是x=-1、顶点坐标是(-1,3)
桥面 -20
20
x/m
且左右两条钢缆关于 y轴对称,
想一想,你知道图中右面钢缆的表达式是 什么吗?
y 0.0225x 0.9 x 10 2 x 20 1. 0.0225
2
且左右两条钢缆关于 y轴对称, Y/m 右边的钢缆的表达式为 :
x 20 1. y 0.0225
桥面 -
4000 2 0.0225 x 40x 9
x/m
由此可知钢缆的最低点到桥面的距离是1m。
⑵两条钢缆最低点之间的距离是多 少？你是怎样计算的？与同伴交流.
y 0.0225x 2 0.9 x 10
Y/m 10
∵左面抛物线的顶点坐标为（-20，1） ∴两条钢缆最低点之间的距离为2 –20 =40（m）
在对称轴的左侧,y随着x 在对称轴的左侧,y随着x 的增大而减小. 在对称轴 的增大而增大. 在对称轴 的右侧, y随着x的增大而 的右侧, y随着x的增大而 减小. 增大. 2
最值
b 4ac b b 4ac b 2 当x 时, 最小值为 当x 时, 最大值为 2a 4a 2a 4a
b 4 ac b y=ax² +bx+c a x . 2a 4a
2
2
直接利用顶点坐标公式再计算一下上面问题 中钢缆的最低点到桥面的距离以及两条钢缆最 低点之间的距离． 2 2 b 4ac b Y/m 由顶点坐标公式 2a , 4a 得 : 10 b 0. 9 x/m 20, 桥面 2a 2 0.0225 2 y 0 . 0225 x 0.9 x 10. 2 2 4ac b 4 0.022510 0.9 1. 4a 4 0.0225
做一做P46 3
y 2x 12x 13
2
y 3x 6 x 5
2
●(1,2) X=1
●(3,-5)
作出函数y=2x2-12x+13的图象.
X=3
作业： （1）P55 1，2
（2）预习P56~57
桥面
⑴钢缆的最低点到桥面的距离是多 少？你是怎样计算的？与同伴交流.
y 0.0225x 0.9 x 10
2
x 20 1. 0.0225 这条抛物线的顶点坐标 是 20,1.
2
4000 2 2 2 0.0225 x 40x 20 20 9 Y/m 400 2 10 0.0225 x 20 9
抛物线 顶点坐标 对称轴 y=ax2+bx+c(a>0)
b 4ac b 2a , 4a
b 直线 x 2a
2
y=ax2+bx+c(a<0)
b 4ac b 2 2a , 4a b 直线 x 2a
位置 由a,b和c的符号确定 由a,b和c的符号确定 开口方向 向上 向下 增减性
由此可知钢缆的最低点到桥面的距离是1m。 两条钢缆最低点之间的 距离为 20 20 40m.
这条抛物线的顶点坐标 是 20,1.
做一做
3
根据公式确定下列二次函数图象的对称 轴和顶点坐标：
(1)y=-2x² -4x+1
（2）y=(2x+1)(x-3)
随堂练习P50
b 4ac b 2 它的顶点是 , . 2a 4 a 根据公式确定下列二次函数图象的对称 轴和顶点坐标：
a
4a
2 b 4 ac b y a x . 2a 4a
2
2a
a
化简：移项，合并同 类项，再两边同乘以a
顶点坐标公式
因此 , 二次函数 y=ax² +bx+c的图 象是一条抛物线. b 它的对称轴是直线 : x . 2a 2 b 4ac b 它的顶点是 , . 2a 4a
1. y 2x
2
12x 13;
2
2. y 5x
80x 319;
1 3. y 2 x x 2; 2 4. y 32x 12 x.
请你总结二次函数 y=ax2+bx+c(a≠0)的图象和性质
二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象和性质