章圆锥曲线末质量评估

合集下载

2017_2018学年高中数学第二章圆锥曲线与方程单元质量评估含解析新人教A版选修1_1201709

第二章圆锥曲线与方程单元质量评估(二)(120分钟150分)一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)x2y21.设P是椭圆+ =1上一点,F1,F2是椭圆的焦点,若|PF1|等于4,则|PF2|等169144于( )A.22B.21C.20D.13【解析】选A.由椭圆的定义知,|PF1|+|PF2|=26,因为|PF1|=4,所以|PF2|=22.x2y252.(2015·广东高考)已知双曲线C: - =1的离心率e= ,且其右焦点F2(5,0),则双曲线C的a2b24方程为( )x2y2x2y2A. - =1B. - =143169x2y2x2y2C. - =1D. - =191634c5【解析】选 B.因为所求双曲线的右焦点为F2(5,0)且离心率为e= = ,所以a4x2y2c=5,a=4,b2=c2-a2=9,所以所求双曲线方程为- =1.169x2y24 3【补偿训练】与椭圆+ =1有相同焦点,并且经过点(2,- )的双曲线的标准方程为9__________.x2y29455【解析】由+ =1知焦点F 1(- ,0),F2( ,0).x2y2依题意,设双曲线方程为- =1(a>0,b>0).a2b2所以a2+b2=5,①x2y2又点(2,- 3)在双曲线- =1上,a2b243所以- =1.②a2b2联立①②得a2=2,b2=3,1x 2 y 2因此所求双曲线的方程为 - =1. 2 3x 2 y2 答案: - =1 2 323.已知离心率为 e 的双曲线和离心率为的椭圆有相同的焦点 F 1,F 2,P 是两曲线的一个公共点,2π若∠F 1PF 2= ,则 e 等于 ( )35 56 A. B. C. D.3222【解题指南】在△F 1F 2P 中利用余弦定理列方程,然后利用定义和已知条件消元.【解析】选 C.设椭圆的长半轴长为 a 1,双曲线的实半轴长为 a 2,焦距为 2c,|PF 1|=m,|PF 2|=n,且不妨设 m>n,由 m+n=2a 1,m-n=2a 2得 m=a 1+a 2,n=a 1-a 2.π 又∠F 1PF 2= , 3所以 4c 2=m 2+n 2-mn=a 21+3a 2,a 21 3a 213 6 所以 +=4,即+ =4,解得 e= .c 2 c 2e 2222(2 )【补偿训练】(2017·佛山高二检测)已知椭圆的两个焦点和短轴的两个端点恰好为一个正方形的四个顶点,则该椭圆的离心率为 ( )1 1 3 A. B. C. D. 323 2 22 【解析】选 D.依题意,椭圆的焦距和短轴长相等,即 b=c,所以 a 2-c 2=c 2,得 e= .故选 D.2y 2 4.设 F 1,F 2是双曲线 x 2- =1的两个焦点,P 是双曲线上的一点,且 3|PF 1|=4|PF 2|,则△PF 1F 2的24面积等于 ( )A.42B.83C.24D.48【解析】选 C.由 3|PF 1|=4|PF 2|知 |PF 1|>|PF 2|,由双曲线的定义知 |PF 1|-|PF 2|=2,所以 |PF 1|=8,|PF 2|=6,又 c 2=a 2+b 2=1+24=25,所以 c=5,所以|F 1F 2|=10, 所以△PF 1F 2为直角三角形,1S △ PF= |PF 1||PF 2|=24.1F 2 2【拓展延伸】圆锥曲线中的焦点三角形问题解法(1)△PF1F2由两焦点和曲线上一点形成,我们把这种三角形叫焦点三角形.焦点三角形问题的2主要类型有:周长、面积、角度等,通常会用到圆锥曲线的定义、正弦定理、余弦定理、面积公式等.1(2)焦点三角形的面积主要有两种求法:S△PF=2r1r2·sin∠F1PF2和S△PF1F21F2 1= ·2c·|y P|.2(3)涉及焦点、顶点、曲线上点(顶点以外)等问题,抓住几个特征三角形,举一反三.这是一个考查重点,容易出现离心率的值(或范围)的运算.x2y2164 25.椭圆+ =1上的点到直线x+2y- =0的最大距离是( )A.3B. 11C.2 2D. 10【解析】选D.设直线方程为x+2y+b=0,x+2y+b=0,{x2y2得8y2+4by+b2-16=0,16+4=1Δ=16b2-4×8×(b2-16)=0得b=±42.|42+2|510d= = .x2y26.过双曲线C: - =1的右顶点作x轴的垂线与C的一条渐近线相交于点A.若以C的右焦点a2b2为圆心、半径为4的圆经过A,O两点(O为坐标原点),则双曲线C的方程为( )x2y2x2y2A. - =1B. - =141279x2y2x2y2C. - =1D. - =188124【解析】选A.设右焦点为F,由题意得|OF|=|AF|=4,即a2+b2=16,又A(a,b),F(4,0)可得(a-4)2+b2=16,x2y2故a=2,b2=12,所以方程为- =1.4127.(2017·全国乙卷)已知F为抛物线C:y2=4x的焦点,过F作两条互相垂直的直线l1, l2,直线l1与C交于A,B两点,直线l2与C交于D,E两点,则|AB|+|DE|的最小值为( )A.16B.14C.12D.10【解析】选A.设直线l1方程为y=k1(x-1),32=4x,联立方程{y得x2-2 x-4x+ =0,2y=k1(x―1),k设A(x1,y1),B(x2,y2),D(x3,y3),E(x4,y4),-2k21―42k21+4所以x1+x2=- = ,k21k122k2+4同理直线l2与抛物线的交点满足x3+x4= ,k2由抛物线定义可知|AB|+|DE|=x1+x2+x3+x4+2p2k21+42k2+41644= + +4= + +8≥2 +8=16,k12k2k21k2k21k2当且仅当k1=-k2=1(或-1)时,取得等号.x2y28.已知双曲线- =1(a>0,b>0)的右焦点为F,若过点F且倾斜角为60°的直线与双曲线的右a2b2支有且只有一个交点,则此双曲线离心率的取值范围是( )A.(1,2]B.(1,2)C.[2,+∞)D.(2,+∞)【解析】选C.如图所示,要使过点F且倾斜角为60°的直线与双曲线的右支有且只有一个交点,b bc2a2+b2aa3a2a2则该直线的斜率小于等于渐近线的斜率,所以≥,离心率e2= = ≥4,所以e≥2.x2y29.如果椭圆+ =1的弦被点(4,2)平分,则这条弦所在的直线方程是( )369A.x-2y=0B.x+2y-4=0C.2x+3y-12=0D.x+2y-8=0x2136+【解析】选D.设这条弦的两端点为A(x1,y1),B(x2,y2),斜率为k,则{x236+y219=1,y29=1,4x1+x2y1+y2两式相减再变形得+k =0,3691又弦中点为(4,2),故k=- ,21故这条弦所在的直线方程y-2=- (x-4),整理得x+2y-8=0.210.若抛物线y2=8x的焦点是F,准线是l,则经过点F,M(3,3)且与l相切的圆共有( )A.0个B.1个C.2个D.4个【解析】选B.由题意得F(2,0), l:x=-2,3―235线段MF的垂直平分线方程为y- =- (x- ),即x+3y-7=0,设圆的圆心坐标为(a,b),23―02则圆心在x+3y-7=0上,故a+3b-7=0,a=7-3b,由题意得|a-(-2)|= (a―2)2+b2,即b2=8a=8(7-3b),即b2+24b-56=0.又b>0,故此方程只有一个根,于是满足题意的圆只有一个.【补偿训练】(2017·兰州模拟)已知抛物线y2=2px(p>0)上一点M(1,m)(m>0)到其焦点的距离x2为5,双曲线-y2=1的左顶点为A,若双曲线的一条渐近线与直线AM平行,则实数a= ( ) a1111A. B. C. D.9432p【解析】选A.根据题意,抛物线y2=2px(p>0)上一点M(1,m)到其焦点的距离为5,则1+ =5,解2x2得p=8;即抛物线的方程为y2=16x,把M(1,m)代入,可得m=4,即M的坐标为(1,4),双曲线-y2=1a1的左顶点为A,则a>0,且A的坐标为(-a,0),渐近线方程为y=±x,因为双曲线的一条渐a41 1近线与直线AM平行,所以k AM= = ,解得a= .1+a a9x2y211.(2017·珠海高二检测)已知F1,F2分别为双曲线- =1(a>0,b>0)的左、右焦点,P为双曲a2b2|PF1|2线右支上的任意一点,若的最小值为8a,则双曲线的离心率e的取值范围是( )|PF2|A.(1,+∞)B.(1,2]C.(1, 3]D.(1,3]5|PF1|2(2a+|PF2|)24a24a2【解析】选D. = = +|PF2|+4a≥4a+4a=8a,当且仅当=|PF2|,即|PF2||PF2||PF2||PF2|c|PF2|=2a时取等号.这时|PF1|=4a.由|PF1|+|PF2|≥|F1F2|,得6a≥2c,即e= ≤3,得e∈(1,3].a12.若a≠0且ab≠0,则曲线ax-y+b=0和bx2+ay2=ab的形状可能是下图中的( )x2y2【解析】选C.将bx2+ay2=ab化为+ =1,若此方程表示双曲线,则ab<0;当a>0时,b<0,表示a b焦点在x轴上的双曲线;当a<0时,b>0,表示焦点在y轴上的双曲线.易判断选项C符合;当a>0,b>0时,方程表示椭圆,此时B,D都不符合.二、填空题(本大题共4个小题,每小题5分,共20分.把答案填在题中的横线上)→O A13.(2017·南昌高二检测)在平面直角坐标系中,O是原点, =(1,0),P是平面内的动点,若| →→→→O P O A O PO A- |=| ·|,则P点的轨迹方程是________.→OP【解析】设P(x,y),则=(x,y),→→→→OP OA OPOA又因为| - |=| ·|,所以(x-1)2+y2=x2,整理得y2=2x-1.答案:y2=2x-1y2x|x|14.(2017·兰州高二检测)直线y=x+3与曲线- =1的公共点的个数为________.94y2x|x|y2x2【解析】当x≥0时, - =1化为- =1;9494y2x|x|y2x2当x<0时, - =1化为+ =1,94946y2x|x|所以曲线- =1是由半个双曲线和半个椭圆组成的图形,结合图象可知(如图),直线y=x+39 4x2x|x|与曲线- =1的公共点的个数为3.94答案:3→→M F1M F215.(2017·江西高二检测)已知F1,F2是椭圆的两个焦点,满足·=0的点M总在椭圆内部,则椭圆的离心率的取值范围是________.→→MF1MF2【解析】因为·=0,所以MF1⊥MF2.假设椭圆在坐标轴正方向上的短轴端点B,则∠F1BF2即椭圆上点与椭圆焦点夹角的最大值,由M在椭圆内部,所以1 2∠F1BF2<90°,即b>c,所以b2=a2-c2>c2,所以e2< ,即0<e< .22答案:(0,22)x2y2【补偿训练】若椭圆+ =1(a>b>0)的两焦点关于直线y=x的对称点均在椭圆内部,则椭圆的a2b2离心率e的取值范围为________.c2【解析】由已知得两焦点为(±c,0),其关于直线y=x的对称点为(0,±c)均在椭圆内部,则b2 c2e222(0,2)2<1,得<1, <1,解得0<e< ,所以e∈.a2―c21―e2答案:(0,22)→A F16.已知抛物线C:y2=2px(p>0),过焦点F且斜率为k(k>0)的直线与C相交于A,B两点,若=3 →F B,则k=________.【解析】设直线l为抛物线的准线,过A,B分别作AA1,BB1垂直于l,A1,B1为垂足,过B作BE垂→→AF FB直于AA1于点E,则|AA1|=|AF|,|BB1|=|BF|,由=3 ,|AE|1所以cos∠BAE= = ,|AB|2所以∠BAE=60°,所以tan∠BAE= 3.即k= 3.答案: 37三、解答题(本大题共 6个小题,共 70分,解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤) x 2 y 217.(10分)(2017·郑州高二检测)已知点 M 在椭圆 + =1上,MP ′垂直于椭圆焦点所在的直36 9线,垂足为 P ′,并且 M 为线段 PP ′的中点,求 P 点的轨迹方程. 【解析】设 P 点的坐标为(x,y),M 点的坐标为(x 0,y 0).x 2 y 2 x 20 y 20因为点 M 在椭圆 + =1上,所以 + =1. 36 9 36 9因为 M 是线段 PP ′的中点,x 0 = x, x 0 = x,所以{2,把{yyy 0 =y 0 = 2,x 20 y 20x 2 y 2 代入 + =1,得 + =1,即 x 2+y 2=36.36 936 36所以 P 点的轨迹方程为 x 2+y 2=36.18.(12分)已知椭圆 C 的焦点 F 1(-2 2,0)和 F 2(2 2,0),长轴长 6,设直线 y =x+2交椭圆 C 于A,B 两点,求线段 AB 的中点坐标.【解析】由已知条件得椭圆的焦点在 x 轴上,其中 c=22,a=3,从而 b=1,x 2 所以其标准方程是: +y 2=1.9 x 2联立方程组{消去 y 得,10x 2+36x+27=0.9 + y2 = 1,y = x + 2,x 1 + x 2 189设 A(x 1,y 1),B(x 2,y 2),线段 AB 的中点为 M(x 0,y 0),则 x 1+x 2=- ,x 0==- ,所以52 51 y 0=x 0+2= , 59 1所以线段 AB 中点坐标为(- 5).5,x2y219.(12分)已知点F1,F2分别是椭圆C: + =1(a>b>0)的左、右焦点,A是椭圆C的上顶点,B是a2b2直线AF2与椭圆C的另一个交点,∠F1AF2=60°.8(1)求椭圆C的离心率.(2)已知△AF1B的面积为40 3,求a,b的值.c1 【解析】(1)由题意知△AF1F2为正三角形,a=2c,e= = .a2 (2)直线AB的方程为y=- 3(x-c),x2y2{+=1,a2b2y=―3(x―c),⇒(3a2+b2)x2-6a2cx+3a2c2-a2b2=0. ①由a=2c,得a2=4c2,b2=a2-c2=3c2.8c代入①中得5x2-8cx=0,x=0或x= ,58c3316c得A(0, 3c),B (5c),得|AB|= .5,―51由△AF1B的面积为40 3,得|AB||AF1|sin60°2=40 3,1316c233··a·=40 ,解得c=5,a=10,b=5 .2520.(12分)过抛物线y2=4x的焦点F的直线与这条抛物线交于A,B两点,O为坐标原点.(1)求△AOB的重心G的轨迹方程.(2)当直线l的倾斜角为45°时,试求抛物线的准线上一点P的坐标,使AP⊥BP.【解析】(1)抛物线的焦点坐标为(1,0).当直线l不垂直于x轴时,设l:y=k(x-1),代入y2=4x得k2x2-2(k2+2)x+k2=0.因为l与抛物线相交于两点,所以k≠0.设A(x1,y1),B(x2,y2),根据根与系数的关系得2(k2+2)x1+x2= ,x1x2=1.k2y1=kx1―k,因为{所以y1+y2=k(x1+x2-2)=4,y2=kx2―k,ky1y2=k2(x1-1)(x2-1)=-4.9设△AOB的重心G(x,y),x=则{y=0+x1+x23=0+y1+y23=23+43k,43k2,48消去k并整理得y2= x- .39当l垂直于x轴时,A,B的坐标分别是(1,2)和(1,-2),△AOB的重心G(32,0)也适合y2=4x-8,3948因此所求轨迹方程为y2= x- .39(2)当直线l的倾斜角为45°时,k=1,所以x1+x2=6,y1+y2=4.设抛物线的准线上一点P(-1,y0).y1―y0y2―y0因为AP⊥BP,所以·=-1,x1+1x2+1y1y2―y0(y1+y2)+y02-4―4y0+y20即=-1, =-1,x1x2+(x1+x2)+11+6+1解得y0=2,故所求点P的坐标为(-1,2).x2y221.(12分)(2016·全国卷Ⅱ)已知A是椭圆E: + =1的左顶点,斜率为k(k>0)的直线交E于43A,M两点,点N在E上,MA⊥NA.(1)当|AM|=|AN|时,求△AMN的面积.(2)当2|AM|=|AN|时,证明: 3<k<2.【解析】(1)设Μ(x1,y1),则由题意知y1>0,π由已知及椭圆的对称性知,直线AM的倾斜角为,4又A(-2,0),因此直线AM的方程为y=x+2,x2y2将x=y-2代入+ =1,得7y2-12y=0.431212解得y=0或y= ,所以y1= .771011212144因此△AMN的面积为2×××= .27749(2)设直线AM的方程为y=k(x+2)(k>0),x2y2代入+ =1,43得(3+4k2)x2+16k2x+16k2-12=0,16k2―128k2―6由x1·(-2)= ,得x1=- ,3+4k23+4k2121+k2故|AM|=|x1+2| 1+k2= ,3+4k21由题意设直线AN的方程为y=- (x+2),k12k1+k2故同理可得|AN|= ,3k2+42k由2|AM|=|AN|,得= ,3+4k23k2+4即4k3-6k2+3k-8=0,设f(t)=4t3-6t2+3t-8,则k是f(t)的零点,f′(t)=12t2-12t+3=3(2t-1)2≥0,所以f(t)在(0,+∞)上单调递增,又f( 3)=15 3-26<0,f(2)=6>0,因此f(t)在(0,+∞)上有唯一的零点,且零点k在( 3,2)内,故3<k<2.x2y222.(12分)(2017·株洲高二检测)已知椭圆+ =1(a>b>0)的右焦点为F(2,0),M为椭圆的上a2b2顶点,O为坐标原点,且△MOF是等腰直角三角形.(1)求椭圆的方程.(2)过点M分别作直线MA,MB交椭圆于A,B两点,设两直线的斜率分别为k1,k2,且k1+k2=8,证明:1).直线AB过定点(- 2,―2【解题指南】(1)根据几何性质求出a,b,然后代入椭圆的标准方程.(2)以参数k,m表示直线方程,代入椭圆方程,设出A,B的坐标,利用根与系数的关系和k1+k2=8求出m,k的关系式,建立直线AB的方程,证明直线过定点.11x2y2【解析】(1)由△MOF是等腰直角三角形,得c2=b2=4,所以a2=8,故椭圆方程为+ =1.84(2)①若直线AB的斜率存在,设AB方程为y=kx+m,依题意m≠±2.设A(x1,y1),B(x2,y2),x2y2由{得(1+2k2)x2+4kmx+2m2-8=0.8+4=1,y=kx+m4km2m2―8则x1+x2=- ,x1x2= .1+2k21+2k2y1―2y2―2由已知k1+k2=8,可得+ =8,x1x2kx1+m―2kx2+m―2所以+ =8,x1x2x1+x2即2k+(m-2) =8.x1x2mk1所以k- =4,整理得m= k-2.m+221故直线AB的方程为y=kx+ k-2,21)-2.即y=k(x+21 所以直线AB).过定点(-2,―2②若直线AB的斜率不存在,设AB方程为x=x0,设A(x0,y0),B(x0,-y0),y0―2-y0―21112(-2,―2)由已知+ =8,得x0=- .此时AB方程为x=- ,显然过点.x0x021 综上,直线).AB过定点(-2,―2【补偿训练】已知椭圆C的中心在坐标原点,焦点在x轴上,椭圆C上的点到焦点距离的最大值为3,最小值为1.(1)求椭圆C的标准方程.(2)若直线l:y=kx+m与椭圆C相交于A,B两点(A,B不是左右顶点),且以AB为直径的圆过椭圆12C的右顶点,求证:直线l过定点,并求出该定点的坐标.x2y2【解析】(1)由题意设椭圆的标准方程为+ =1(a>b>0),且a+c=3,a-c=1,a2b2x2y2所以a=2,c=1,所以b2=3,所以+ =1.43y=kx+m,(2)设A(x1,y1),B(x2,y2),由{x2y24+3=1,得(3+4k2)x2+8mkx+4(m2-3)=0,Δ=64m2k2-16(3+4k2)(m2-3)>0,3+4k2-m2>0.8mk4(m2―3)又x1+x2=- ,x1·x2= ,3+4k23+4k2所以y1·y2=(kx1+m)·(kx2+m)3(m2―4k2)=k2x1x2+mk(x1+x2)+m2= .3+4k2因为以AB为直径的圆过椭圆的右顶点D(2,0),所以k AD·k BD=-1,y1y2即·=-1,x1―2x2―2所以y1y2+x1x2-2(x1+x2)+4=0,3(m2―4k2)4(m2―3)16mk+ + +4=0,3+4k23+4k23+4k27m2+16mk+4k2=0,2k解得m1=-2k,m2=- ,且满足3+4k2-m2>0.7当m=-2k时,l:y=k(x-2),直线过定点(2,0),与已知矛盾;2k27(x―7)(7,0)2 当m=- 时,l:y=k ,直线过定点.综上可知,直线l过定点,定点坐标为(7,0).213。

高中数学章末质量评估新人教A版选修_2

第二章圆锥曲线与方程一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．已知抛物线的方程为y ＝2ax 2，且过点(1,4)，则焦点坐标为( ) A.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，116 B.⎝⎛⎭⎪⎫116，0C ．(1,0)D ．(0,1)解析： ∵抛物线过点(1,4)，∴4＝2a ，∴a ＝2，∴抛物线方程为x 2＝14y ，焦点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，116. 答案： A2．设椭圆x 2m 2＋y 2n 2＝1(m >0，n >0)的右焦点与抛物线y 2＝8x 的焦点相同，离心率为12，则此椭圆的方程为( )A.x 212＋y 216＝1B.x 216＋y 212＝1C.x 248＋y 264＝1 D.x 264＋y 248＝1 解析： ∵y 2＝8x 的焦点为(2,0)，∴x 2m 2＋y 2n2＝1的右焦点为(2,0)， ∴m >n 且c ＝2. 又e ＝12＝2m ，∴m ＝4.∵c 2＝m 2－n 2＝4，∴n 2＝12. ∴椭圆方程为x 216＋y 212＝1.答案： B3．已知点A (－2,0)，B (3,0)，动点P (x ，y )满足PA →·PB →＝x 2，则点P 的轨迹是( ) A ．圆 B ．椭圆 C ．直线D ．抛物线解析：依题意，PA →＝(－2－x ，－y )，PB →＝(3－x ，－y )．又PA →·PB →＝x 2，∴(－2－x )(3－x )＋y 2＝x 2，即y 2＝x ＋6.∴点P 的轨迹是抛物线．答案： D4．中心在原点，焦点在x 轴上的双曲线的一条渐近线经过点(4，－2)，则它的离心率为( )A. 6B. 5C.62D.52解析：设双曲线的标准方程为x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)，所以其渐近线方程为y ＝±ba x ，因为点(4，－2)在渐近线上，所以b a ＝12，根据c 2＝a 2＋b 2，可得c 2－a 2a 2＝14，解得e 2＝54，e ＝52. 答案： D5．若椭圆的对称轴为坐标轴，长轴长与短轴长的和为18，焦距为6，则椭圆的方程为( )A.x 29＋y 216＝1 B.x 225＋y 216＝1C.x 225＋y 216＝1或x 216＋y 225＝1 D.x 216＋y 225＝1 解析： 2c ＝6，∴c ＝3，∴2a ＋2b ＝18，a 2＝b 2＋c 2，∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＝5，b ＝4，∴椭圆方程为x 225＋y 216＝1或x 216＋y 225＝1.答案： C6．已知双曲线x 2－y 23＝1的左顶点为A 1，右焦点为F 2，P 为双曲线右支上一点，则PA 1→·PF 2→的最小值为( )A ．1B ．0C ．－2D ．－8116解析：设点P (x 0，y 0)，则x 20－y 203＝1，由题意得A 1(－1,0)，F 2(2，0)，则PA 1→·PF 2→＝(－1－x 0，－y 0)·(2－x 0，－y 0)＝x 20－x 0－2＋y 20，由双曲线方程得y 20＝3(x 20－1)，故PA 1→·PF 2→＝4x 20－x 0－5(x 0≥1)，可得当x 0＝1时，PA 1→·PF 2→有最小值－2.故选C. 答案： C7．已知F 是抛物线y ＝14x 2的焦点，P 是该抛物线上的动点，则线段PF 中点的轨迹方程是( )A ．x 2＝2y －1 B ．x 2＝2y －116C ．x 2＝y －12D ．x 2＝2y －2解析：设P (x 0，y 0)，PF 的中点为(x ，y )，则y 0＝14x 20，又F (0,1)，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 02，y ＝y 0＋12，∴⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝2x ，y 0＝2y －1，代入y 0＝14x 20得2y －1＝14(2x )2，化简得x 2＝2y －1，故选A. 答案： A8．抛物线y 2＝4x 的焦点到双曲线x 2－y 23＝1的渐近线的距离是( )A.12B.32C ．1D. 3解析：由已知解出抛物线的焦点坐标和双曲线的渐近线方程，利用点到直线的距离公式求解．由题意可得抛物线的焦点坐标为(1,0)，双曲线的渐近线方程为3x －y ＝0或3x ＋y ＝0，则焦点到渐近线的距离d 1＝|3×1－0|32＋－12＝32或d 2＝|3×1＋0|32＋12＝32. 答案： B9．直线y ＝x ＋b 与抛物线x 2＝2y 交于A ，B 两点，O 为坐标原点，且OA ⊥OB ，则b ＝( ) A ．2 B ．－2 C ．1D ．－1解析：设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，联立方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ＋b ，x 2＝2y ，消去y ，得x 2－2x －2b ＝0，所以x 1＋x 2＝2，x 1x 2＝－2b ，y 1y 2＝(x 1＋b )(x 2＋b )＝x 1x 2＋b (x 1＋x 2)＋b 2＝b 2，又OA ⊥OB ，∴x 1x 2＋y 1y 2＝0，即b 2－2b ＝0，解得b ＝0(舍)或b ＝2. 答案： A10．已知双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的一条渐近线方程是y ＝3x ，它的一个焦点在抛物线y 2＝24x 的准线上，则双曲线的方程为( )A.x 236－y 2108＝1 B.x 29－y 227＝1 C.x 2108－y 236＝1 D.x 227－y 29＝1 解析：因为双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的一个焦点在抛物线y 2＝24x 的准线上，所以F (－6,0)是双曲线的左焦点，即a 2＋b 2＝36，又双曲线的一条渐近线方程是y ＝3x ，所以ba＝3，解得a 2＝9，b 2＝27，所以双曲线的方程为x 29－y 227＝1，故选B.答案： B11．若动圆圆心在抛物线y 2＝8x 上，且动圆恒与直线x ＋2＝0相切，则动圆必过定点( )A ．(4,0)B ．(2,0)C ．(0,2)D ．(0，－2)解析：抛物线y 2＝8x 上的点到准线x ＋2＝0的距离与到焦点(2,0)的距离相等，故动圆必过焦点(2,0)．答案： B12．设圆锥曲线Γ的两个焦点分别为F 1，F 2.若曲线Γ上存在点P 满足|PF 1|∶|F 1F 2|∶|PF 2|＝4∶3∶2，则曲线Γ的离心率等于( )A.12或32B.23或2 C.12或2 D.23或32解析：设圆锥曲线的离心率为e ，由|PF 1|∶|F 1F 2|∶|PF 2|＝4∶3∶2，知①若圆锥曲线为椭圆，由椭圆的定义，则有e ＝|F 1F 2||PF 1|＋|PF 2|＝34＋2＝12；②若圆锥曲线为双曲线，由双曲线的定义，则有e ＝|F 1F 2||PF 1|－|PF 2|＝34－2＝32.综上，所求的离心率为12或32.故选A.答案： A二、填空题(本大题共4小题，每小题4分，共16分．请把正确答案填在题中横线上) 13．已知椭圆C ：x 225＋y 216＝1的左、右焦点分别为F 1，F 2，P 是椭圆上一点，且满足|PF 2|＝|F 1F 2|，则△PF 1F 2的面积等于________．解析：由x 225＋y 216＝1知，a ＝5，b ＝4，∴c ＝3，即F 1(－3,0)，F 2(3,0)，∴|PF 2|＝|F 1F 2|＝6.又由椭圆的定义，知|PF 1|＋|PF 2|＝10，∴|PF 1|＝10－6＝4，于是S △PF 1F 2＝12·|PF 1|·h＝12×4×62－⎝ ⎛⎭⎪⎫422＝8 2.答案： 8 214．已知抛物线y 2＝4x ，过点P (4,0)的直线与抛物线相交于A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)两点，则y 21＋y 22的最小值是________．解析：若k 不存在，则y 21＋y 22＝32.若k 存在，设直线AB 的斜率为k ，当k ＝0时，直线AB 的方程为y ＝0，不合题意，故k ≠0.由题意设直线AB 的方程为y ＝k (x －4)(k ≠0)，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k x －4，y 2＝4x 得ky 2－4y －16k ＝0，∴y 1＋y 2＝4k，y 1y 2＝－16.∴y 21＋y 22＝(y 1＋y 2)2－2y 1y 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫4k2＋32>32.∴y 21＋y 22的最小值为32. 答案： 3215．设椭圆的两个焦点分别为F 1，F 2，过F 2作椭圆长轴的垂线交椭圆于点P ，若△F 1PF 2为等腰直角三角形，则椭圆的离心率为________．解析：设椭圆的方程为x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)，F 2的坐标为(c,0)，P 点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫c ，b 2a ，由题意知|PF 2|＝|F 1F 2|，所以b 2a＝2c ，a 2－c 2＝2ac ，⎝ ⎛⎭⎪⎫c a 2＋2c a －1＝0，解得c a ＝±2－1，负值舍去．答案：2－116．已知双曲线C ：x 24－y 29＝1，给出以下4个命题，真命题的序号是________．①直线y ＝32x ＋1与双曲线有两个交点；②双曲线C 与y 29－x 24＝1有相同的渐近线；③双曲线C 的焦点到一条渐近线的距离为3.解析： ①错误，因为直线y ＝32x ＋1与渐近线y ＝32x 平行，与双曲线只有一个交点；②正确，渐近线方程为y ＝±32x ；③正确，右焦点为(13，0)到渐近线y ＝32x 的距离为3.答案： ②③三、解答题(本大题共6小题，共74分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17．(本小题满分12分)求与椭圆x 29＋y 24＝1有公共焦点，并且离心率为52的双曲线方程．解析：由椭圆方程为x 29＋y 24＝1，知长半轴长a 1＝3，短半轴长b 1＝2，焦距的一半c 1＝ a 21－b 21＝5，∴焦点是F 1(－5，0)，F 2(5，0)，因此双曲线的焦点也是F 1(－5，0)，F 2(5，0)，设双曲线方程为x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)，由题设条件及双曲线的性质，得⎩⎪⎨⎪⎧c ＝5，c 2＝a 2＋b 2，c a ＝52，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝1，故所求双曲线的方程为x 24－y 2＝1. 18．(本小题满分12分)已知过抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点的直线交抛物线于A ，B 两点，且|AB |＝52p ，求AB 所在的直线方程．解析：焦点F ⎝ ⎛⎭⎪⎫p 2，0，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，若AB ⊥Ox ，则|AB |＝2p <52p ，不合题意，所以直线AB 的斜率存在，设为k ，则直线AB 的方程为y ＝k ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －p 2，k ≠0.由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －p 2，y 2＝2px ，消去x ，整理得ky 2－2py －kp 2＝0.由根与系数关系得，y 1＋y 2＝2p k，y 1y 2＝－p 2.∴|AB |＝x 1－x 22＋y 1－y 22＝ ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1k 2·y 1－y 22＝1＋1k2·y 1＋y 22－4y 1y 2＝2p ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1k 2＝52p .解得k ＝±2.∴AB 所在的直线方程为y ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －p 2或y ＝－2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －p 2.19．(本小题满分12分)(2014·杭州高二检测)已知A (－7,0)，B (7,0)，C (2，－12)，椭圆过A ，B 两点且以C 为其一个焦点，求椭圆另一个焦点的轨迹方程．解析：设椭圆的另一个焦点为P (x ，y )，则由题意知|AC |＋|AP |＝|BC |＋|BP |， ∴|BP |－|AP |＝|AC |－|BC | ＝2<|AB |＝14，所以点P 的轨迹是以A ，B 为焦点，实轴长为2的双曲线的左支，且c ＝7，a ＝1， ∴b 2＝c 2－a 2＝48.∴所求的轨迹方程为x 2－y 248＝1. 20．(本小题满分12分)已知动圆C 过定点F (0,1)，且与直线l ：y ＝－1相切，圆心C 的轨迹为E .(1)求动点C 的轨迹方程；(2)已知直线l 2交轨迹E 于两点P ，Q ，且PQ 中点的纵坐标为2，则|PQ |的最大值为多少？解析： (1)由题设点C 到点F 的距离等于它到l 1的距离，∴点C 的轨迹是以F 为焦点，l 1为准线的抛物线， ∴所求轨迹的方程为x 2＝4y .(2)由题意易知直线l 2的斜率存在，又抛物线方程为x 2＝4y ，当直线AB 斜率为0时|PQ |＝4 2.当直线AB 斜率k 不为0时，设中点坐标为(t,2)，P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，则有x 21＝4y 1，x 22＝4y 2，两式作差得x 21－x 22＝4(y 1－y 2)，即得k ＝x 1＋x 24＝t2，则直线方程为y －2＝t2(x －t )，与x 2＝4y 联立得x 2－2tx ＋2t 2－8＝0.由根与系数的关系得x 1＋x 2＝2t ，x 1x 2＝2t 2－8， |PQ |＝ x 1－x 22＋y 1－y 22＝ 1＋k 2[x 1＋x 22－4x 1x 2]＝ ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋t 24[4t 2－42t 2－8] ＝8－t24＋t2≤6，即|PQ |的最大值为6.21．(本小题满分12分)已知抛物线顶点在原点，焦点在x 轴上，又知此抛物线上一点A (4，m )到焦点的距离为6.(1)求此抛物线的方程；(2)若此抛物线方程与直线y ＝kx －2相交于不同的两点A ，B ，且AB 中点横坐标为2，求k 的值．解析： (1)由题意设抛物线方程为y 2＝2px ，p ≠0其准线方程为x ＝－p2，∵A (4，m )到焦点的距离等于A 到其准线的距离， ∴4＋p2＝6，∴p ＝4，∴此抛物线的方程为y 2＝8x .(2)由⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝8x ，y ＝kx －2消去y 得k 2x 2－(4k ＋8)x ＋4＝0，∵直线y ＝kx －2与抛物线相交于不同两点A ，B ，则有⎩⎪⎨⎪⎧k ≠0Δ>0，解得k >－1且k ≠0，解得k ＝2或k ＝－1(舍去)． ∴所求k 的值为2.22．(本小题满分14分)已知椭圆x 23m 2＋y 25n 2＝1和双曲线x 22m 2－y 23n2＝1有公共的焦点．(1)求双曲线的渐近线方程；(2)直线l 过焦点且垂直于x 轴，若直线l 与双曲线的渐近线围成的三角形的面积为34，求双曲线的方程．解析： (1)依题意，有3m 2－5n 2＝2m 2＋3n 2，即m 2＝8n 2，即双曲线方程为x 216n 2－y 23n2＝1，故双曲线的渐近线方程是x 216n 2－y 23n 2＝0，即y ＝±34x . (2)不妨设渐近线y ＝±34x 与直线l ：x ＝c 交于点A ，B ，则|AB |＝3c 2，S △OAB ＝12c ·32c ＝34，解得c ＝1. 即a 2＋b 2＝1，又b a ＝34，a 2＝1619，b 2＝319， ∴双曲线的方程为19x 216－19y23＝1.。

2021学年高中数学第二章圆锥曲线与方程单元质量评估二课时作业含解析人教A版选修2_1.doc

第二章单元质量评估(二)时限：120分钟满分：150分一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的)1．抛物线y ＝ax 2的准线方程是y ＝1，则a 的值为( C ) A ．4B ．－4C ．－14D.142．若椭圆x 23m ＋y 22m ＋1＝1的焦点在y 轴上，则实数m 的取值范围是( B )A.⎝⎛⎭⎫－12，1 B ．(0,1) C.⎝⎛⎭⎫0，12 D.⎝⎛⎭⎫－12，12 解析：本题主要考查椭圆的基本概念．由题意得3m >0,2m ＋1>0且2m ＋1>3m ，得0<m <1，故选B.3．已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的离心率为52，则C 的渐近线方程为( C )A ．y ＝±14xB ．y ＝±13xC ．y ＝±12x D ．y ＝±x解析：本题主要考查有关双曲线基本概念的运算．∵e 2＝c 2a 2＝a 2＋b 2a 2＝1＋b 2a 2＝54，∴b 2a 2＝14.又a >0，b >0，∴b a ＝12，∴C 的渐近线方程为y ＝±12x ，故选C. 4．已知F 1(－1,0)，F 2(1,0)是椭圆C 的两个焦点，过F 2且垂直于x 轴的直线交椭圆C 于A ，B 两点，且|AB |＝3，则C 的方程为( C )A.x 22＋y 2＝1B.x 23＋y 22＝1C.x 24＋y 23＝1D.x 25＋y 24＝1 解析：如图，|AF 2|＝12|AB |＝32，|F 1F 2|＝2，由椭圆定义得|AF 1|＝2a －32①.在Rt △AF 1F 2中，|AF 1|2＝|AF 2|2＋|F 1F 2|2＝⎝⎛⎭⎫322＋22②. 由①②得a ＝2，∴b 2＝a 2－c 2＝3. ∴椭圆C 的方程为x 24＋y 23＝1，应选C.5．已知双曲线y 2－x 2＝1的离心率为e ，且抛物线y 2＝2px 的焦点坐标为(e 2,0)，则p 的值为( D )A ．－2B ．－4C ．2D ．4解析：由条件知，双曲线的离心率为e ＝2，所以抛物线焦点坐标为(2,0)，所以p2＝2，所以p ＝4.故选D.6．如图，过抛物线y 2＝3x 的焦点F 的直线交抛物线于点A ，B ，交其准线l 于点C ，若|BC |＝2|BF |，且|AF |＝3，则|AB |＝( A )A ．4B ．6C ．8D ．10解析：本题主要考查抛物线的定义．如图，分别过点A ，B 作AA 1，BB 1垂直于准线l ，垂足分别为A 1，B 1，由抛物线的定义得|BF |＝|BB 1|.∵|BC |＝2|BF |，∴|BC |＝2|BB 1|，∴∠BCB 1＝30°. 又|AA 1|＝|AF |＝3，∴|AC |＝2|AA 1|＝6，∴|CF |＝|AC |－|AF |＝6－3＝3， ∴|BF |＝1，|AB |＝4，故选A.7．过椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的左顶点A 的斜率为k 的直线交椭圆C 于另一点B ，且点B 在x 轴上的射影恰好为右焦点F ，若椭圆的离心率为23，则k 的值为( C )A ．－13 B.13 C ．±13 D ．±12解析：本题主要考查椭圆的焦点、离心率等概念及斜率公式的应用．由题意知点B 的横坐标是c ，故点B 的坐标为⎝⎛⎭⎫c ，±b 2a ，则斜率k ＝±b 2ac ＋a ＝±b2ac ＋a 2＝±a 2－c 2ac ＋a 2＝±1－e 2e ＋1＝±(1－e )＝±13，故选C.8．已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >b >0)的两焦点间的线段F 1F 2正好被椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的两焦点三等分，则该双曲线的渐近线方程为( B )A ．y ＝±53xB ．y ＝±255xC ．y ＝±355x D ．y ＝±5x解析：∵双曲线的焦距为2a 2＋b 2，椭圆的焦距为2a 2－b 2，∴2a 2－b 2＝13·2a 2＋b 2，整理得4a 2＝5b 2，则a ＝52b .代入双曲线的渐近线方程y ＝±b a x ，得y ＝±255x . 9．已知椭圆C 1：x 2m 2＋y 2＝1(m >1)与双曲线C 2：x 2n 2－y 2＝1(n >0)的焦点重合，e 1，e 2分别为C 1，C 2的离心率，则( A )A ．m >n ，且e 1e 2>1B ．m >n ，且e 1e 2<1C ．m <n ，且e 1e 2>1D ．m <n ，且e 1e 2<1解析：∵椭圆与双曲线的焦点重合，∴m 2－1＝n 2＋1.∴m 2－n 2＝2，∴m >n . ∵e 1＝1－1m2，e 2＝1＋1n2，∴e 1e 2＝⎝⎛⎭⎫1－1m 2⎝⎛⎭⎫1＋1n 2＝1＋1n 2－1m 2－1m 2n2＝1＋m 2－n 2－1m 2n 2＝1＋1m 2n2>1. 10．已知椭圆x 24＋y 23＝1的左、右顶点分别为A ，B ，在椭圆上有一个异于点A ，B 的动点P ，若直线P A 的斜率为k 0，则直线PB 的斜率为( B )A.34k 0 B ．－34k 0 C ．－34k 0 D ．－32k 0 解析：本题主要考查斜率公式及椭圆方程的综合运算．由题设知A (－2,0)，B (2,0)．设P (x 0，y 0)(x 0≠±2)，∴k P A ＝y 0x 0＋2，k PB ＝y 0x 0－2.∵点P 在椭圆上，∴x 204＋y 203＝1，∴y 20＝3⎝⎛⎭⎫1－x 204，∴k P A ·k PB ＝y 0x 0＋2·y 0x 0－2＝y 20x 20－4＝3⎝⎛⎭⎫1－x 204x 20－4＝－34.∵k P A ＝k 0，∴k PB ＝－34k 0，故选B.。

第二章圆锥曲线与方程章末质量评估(人教A版选修2-1)

第二章圆锥曲线与方程章末质量评估一、选择题1．抛物线y ＝4x 2的焦点坐标是 ( )． A ．(0，1) B ．(1，0) C ．(0，116) D ．(116，0)解析将抛物线方程变为x 2＝2×18y ，知p ＝18，又焦点在y 轴上，且开口向上，所以它的焦点坐标为(0，116)．答案 C2．已知椭圆x 225＋y 216＝1上一点P 到椭圆一个焦点的距离为3，则点P 到另一焦点的距离为( )．A ．2B ．3C ．5D ．7 解析点P 到椭圆的两个焦点的距离之和为2a ＝10，10－3＝7.选D. 答案 D3．以抛物线y 2＝4x 的焦点为圆心，且过坐标原点的圆的方程为 ( )． A ．x 2＋y 2＋2x ＝0 B ．x 2＋y 2＋x ＝0 C ．x 2＋y 2－x ＝0 D ．x 2＋y 2－2x ＝0解析因为已知抛物线的焦点坐标为(1，0)，所以所求圆的圆心为(1，0)，又圆过原点，所以圆的半径r ＝1，故所求圆的方程为(x －1)2＋y 2＝1，即x 2＋y 2－2x ＝0，故选D. 答案 D4．以椭圆x 216＋y 29＝1的顶点为顶点，离心率为2的双曲线方程是 ( )．A.x 216－y 248＝1 B.x 29－y 227＝1 C.x 216－y 248＝1或y 29－x 227＝1 D ．以上都不对解析当顶点为(±4，0)时，a ＝4， c ＝8，b ＝43，x 216－y 248＝1；当顶点为(0，±3)时，a ＝3，c ＝6， b ＝33，y 29 －x 227＝1.答案 C5．已知椭圆与双曲线x 23－y 22＝1有共同的焦点，且离心率为15，则椭圆的标准方程为 ( )．A.x 220＋y 225＝1B.x 225＋y 220＝1 C.x 225＋y 25＝1 D.x 25＋y 225＝1 解析双曲线x 23－y 22＝1中a 12＝3，b 12＝2，则c 1＝a 12＋b 12＝5，故焦点坐标为(－5，0)，(5，0)，故所求椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的c ＝5，又椭圆的离心率e ＝c a ＝15，则a＝5，a 2＝25，b 2＝a 2－c 2＝20，故椭圆的标准方程为x 225＋y 220＝1.答案 B6．已知椭圆x 241＋y 225＝1的两个焦点为F 1，F 2，弦AB 过点F 1，则△ABF 2的周长为 ( )．A ．10B ．20C ．241D ．441解析 |AB |＋|BF 2|＋|AF 2|＝|AF 1|＋|BF 1|＋|B F 2|＋|AF 2|＝(|AF 1|＋|AF 2|)＋(|BF 1|＋|BF 2|)＝4a ＝441. 答案 D7．双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1的两条渐近线互相垂直，那么该双曲线的离心率是 ( )．A ．2 B. 3 C. 2 D.32解析双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1的两条渐近线方程为y ＝±ba x ，依题意b a ·(－b a ) ＝－1，故b 2a2＝1，所以c 2－a 2a 2＝1即e 2＝2，所以双曲线的离心率e ＝ 2.故选C.答案 C8．已知椭圆x 2sin α－y 2cos α＝1(0≤α<2π)的焦点在y 轴上，则α的取值范围是 ( )． A ．(34π，π) B ．(π4，34π)C ．(π2，π)D ．(π2，34π)解析椭圆方程化为x 21sin α＋y 2－1cos α＝1.∵椭圆焦点在y 轴上，∴－1cos α>1sin α>0. 又∵0≤α<2π， ∴π2<α<3π4. 答案 D9．抛物线y ＝2x 2上两点A (x 1，y 1)、B (x 2，y 2)关于直线y ＝x ＋m 对称，且x 1·x 2＝－12，则m等于 ( )． A.32 B ．2 C.52 D ．3 解析依题意k AB ＝y 2－y 1x 2－x 1＝－1，而y 2－y 1＝2(x 22－x 12)，得 x 2＋x 1＝－12，且(x 2＋x 12，y 2＋y 12)在直线y ＝x ＋m 上，即y 2＋y 12＝x 2＋x 12＋m ，y 2＋y 1＝x 2＋x 1＋2m ， ∴2(x 22＋x 12)＝x 2＋x 1＋2m ， 2[(x 2＋x 1)2－2x 2x 1]＝x 2＋x 1＋2m ， 2m ＝3，m ＝32.答案 A10．已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的两条渐近线均和圆C ：x 2＋y 2－6x ＋5＝0相切，且双曲线的右焦点为圆C 的圆心，则该双曲线的方程为 ( )． A.x 25－y 24＝1 B.x 24－y 25＝1 C.x 23－y 26＝1 D.x 26－y 23＝1 解析圆心的坐标是(3，0)，圆的半径是2，双曲线的渐近线方程是bx ±ay ＝0，c ＝3，根据已知得3b a 2＋b 2＝2，即3b 3＝2，解得b ＝2，得a 2＝c 2－b 2＝5，故所求的双曲线方程是x 25－y 24＝1.答案 A11. 过抛物线y 2＝4x 的焦点作直线交抛物线于A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)两点，如果x 1＋x 2＝6，那么|AB |等于( )．A ．10B ．8C ．6D ．4 解析由抛物线的定义得|AB |＝x 1＋x 2＋p ＝6＋2＝8. 答案 B12．双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1与椭圆x 2m 2＋y 2b2＝1(a >0，m >b >0)的离心率互为倒数，那么以a 、b 、m为边长的三角形一定是 ( )． A ．锐角三角形 B ．钝角三角形 C ．直角三角形 D ．等腰三角形解析双曲线的离心率e 12＝a 2＋b 2a 2，椭圆的离心率e 22＝m 2－b 2m 2，由已知e 12e 22＝1，即a 2＋b 2a2 ×m 2－b 2m 2＝1，化简，得a 2＋b 2＝m 2.答案 C 二、填空题13．已知点(－2，3)与抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点的距离是5，则p ＝________. 解析 ∵抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点坐标是(p2，0)，由两点间距离公式，得（p2＋2）2＋（－3）2＝5.解得p ＝4. 答案 414．若椭圆x 2＋my 2＝1的离心率为32，则它的长半轴长为________．解析当0<m <1时，y 21m＋x 21＝1，e 2＝a 2－b 2a 2＝1－m ＝34， m ＝14，a 2＝1m＝4，a ＝2；当m >1时，x 21＋y 21m ＝1，a ＝1.应填1或2.答案 1或215．已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)和椭圆x 216＋y 29＝1有相同的焦点，且双曲线的离心率是椭圆离心率的两倍，则双曲线的方程为________．解析由题意知，椭圆的焦点坐标是(±7，0)，离心率是74.故在双曲线中c ＝7，e ＝274＝c a ，故a ＝2，b 2＝c 2－a 2＝3，因此所求双曲线的方程是x 24－y 23＝1. 答案 x 24－y 23＝116．设椭圆的两个焦点分别为F 1，F 2，过F 2作椭圆长轴的垂线与椭圆相交，其中的一个交点为P ，若△F 1PF 2为等腰直角三角形，则椭圆的离心率是________．解析由题意知PF 2⊥F 1F 2，且△F 1PF 2为等腰直角三角形，所以|PF 2|＝|F 1F 2|＝2c ， |PF 1|＝2·2c ，从而2a ＝|PF 1|＋|PF 2|＝2c (2＋1)，所以e ＝2c 2a ＝12＋1＝2－1.答案2－1三、解答题17．(10分)双曲线C 与椭圆x 28＋y 24＝1有相同的焦点，直线y ＝3x 为C 的一条渐近线．求双曲线C 的方程．解设双曲线方程为x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)．由椭圆x 28＋y 24＝1，求得两焦点为(－2，0)，(2，0)，∴对于双曲线C ：c ＝2.又y ＝3x 为双曲线C 的一条渐近线， ∴ba＝3，解得a 2＝1，b 2＝3， ∴双曲线C 的方程为x 2－y 23＝1.18．(10分)双曲线与椭圆有共同的焦点F 1(0，－5)、F 2(0，5)，点P (3，4)是双曲线的渐近线与椭圆的一个交点，求双曲线与椭圆的方程．解由共同的焦点F 1(0，－5)、F 2(0，5)，可设椭圆方程为y 2a 2＋x 2a 2－25＝1；双曲线方程为y 2b 2－x 225－b 2＝1，点P (3，4)在椭圆上，16a 2＋9a 2－25＝1，a 2＝40，双曲线的过点P (3，4)的渐近线为 y ＝b 25－b 2x ，即4＝b 25－b2×3，b 2＝16. 所以椭圆方程为y 240＋x 215＝1；双曲线方程为y 216－x 29＝1.19．(10分)已知抛物线y 2＝2x ，直线l 过点(0，2)与抛物线交于M ，N 两点，以线段MN 的长为直径的圆过坐标原点O ，求直线l 的方程．解由题意知直线l 的斜率存在，设为k ，则直线l 的方程为y ＝kx ＋2(k ≠0)，解方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋2，y 2＝2x ，消去x 得ky 2－2y ＋4＝0， Δ＝4－16k >0⇒k <14(k ≠0)，设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，则y 1＋y 2＝2k ，y 1·y 2＝4k，⎩⎨⎧x 1＝12y12x 2＝12y22⇒x 1·x 2＝14(y 1·y 2)2＝4k 2OM ⊥ON ⇒k OM ·k ON ＝－1， ∴x 1·x 2＋y 1·y 2＝0， ∴4k 2＋4k＝0，解得k ＝－1. 所以所求直线方程为y ＝－x ＋2，即x ＋y －2＝0.20．(12分)已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的一个顶点为A (0，1)，离心率为22，过点B (0，－2)及左焦点F 1的直线交椭圆于C ，D 两点，右焦点设为F 2. (1)求椭圆的方程； (2)求△CDF 2的面积．解 (1)易得椭圆方程为x 22＋y 2＝1.(2)∵F 1(－1，0)，∴直线BF 1的方程为y ＝－2x －2，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－2x －2x 22＋y 2＝1得9x 2＋16x ＋6＝0. ∵Δ＝162－4×9×6＝40>0，所以直线与椭圆有两个公共点，设为C (x 1，y 1)，D (x 2，y 2)，则⎩⎨⎧x 1＋x 2＝－169，x 1·x 2＝23，∴|CD |＝1＋（－2）2|x 1－x 2| ＝5·（x 1＋x 2）2－4x 1x 2 ＝5·（－169）2－4×23＝1092，又点F 2到直线BF 1的距离d ＝455，故S △CDF 2＝12|CD |·d ＝4910.21．(12分)已知抛物线y 2＝4x 截直线y ＝2x ＋m 所得弦长AB ＝35， (1)求m 的值；(2)设P 是x 轴上的一点，且△ABP 的面积为9，求P 的坐标．解 (1)由⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝4x ，y ＝2x ＋m ，得4x 2＋4(m －1)x ＋m 2＝0由根与系数的关系得 x 1＋x 2＝1－m ，x 1·x 2＝m 24，|AB |＝1＋k 2（x 1＋x 2）2－4x 1x 2 ＝1＋22（1－m ）2－4·m 24＝5（1－2m ）.由|AB |＝35，即5（1－2m ）＝35⇒m ＝－4. (2)设P (a ，0)，P 到直线AB 的距离为d ，则d ＝|2a －0－4|22＋（－1）2＝2|a －2|5，又S △ABP ＝12|AB |·d ，则d ＝2·S △ABP |AB |，2|a －2|5＝2×935⇒|a －2|＝3⇒a ＝5 或a ＝－1，故点P 的坐标为(5，0)和(－1，0)． 22．（本题满分15分）联立方程组⎩⎨⎧=-+=13122y x ax y 消去y 得()022322=---ax x a ，因为有两个交点，所以{()38403222>-+=∆≠-a a a，解得2212212232,32,3,6a x x a a x x a a --=-=+≠<且。

圆锥曲线与方程质量评估(北师大版选修1-1)

第2章末质量评估(时间：100分钟满分：120分)一、选择题(本题共10小题，每小题5分，共50分)1．设椭圆x 2m 2＋y 2n 2＝1(m ＞0，n ＞0)的右焦点与抛物线y 2＝8x 的焦点相同，离心率为12，则此椭圆的方程为( )．A.x 212＋y 216＝1B.x 216＋y 212＝1C.x 248＋y 264＝1D.x 264＋y 248＝1 解析 ∵y 2＝8x 的焦点为(2，0)，∴x 2m 2＋y 2n 2＝1的右焦点为(2，0)，∴m ＞n 且c ＝2.又e ＝12＝2m ，∴m ＝4.∵c 2＝m 2－n 2＝4，∴n 2＝12.∴椭圆方程为x 216＋y 212＝1.答案 B2．设F 为抛物线y 2＝4x 的焦点，A 、B 、C 为该抛物线上三点，若F A →＋FB →＋FC →＝0，则|F A →|＋|FB →|＋|FC →|等于( )．A ．9B ．6C ．4D ．3解析设A 、B 、C 三点的坐标分别为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，(x 3，y 3)，F (1，0)， ∵F A →＋FB →＋FC →＝0，∴x 1＋x 2＋x 3＝3.又由抛物线定义知|F A →|＋|FB →|＋|FC →|＝x 1＋1＋x 2＋1＋x 3＋1＝6.答案 B3．已知方程ax 2＋by 2＝ab 和ax ＋by ＋c ＝0(其中ab ≠0，a ≠b ，c ＞0)，它们所表示的曲线可能是( )．解析 ∵ab ≠0，∴直线的斜率为－a b ，曲线方程变为x 2b ＋y 2a ＝1，A 中的直线斜率－a b ＜0，则a b ＞0，由曲线的图形得b ＞0，a ＜0这与由直线的位置得出的a b ＞0矛盾．同理验证B 、C 、D 只有B 不矛盾，故选B.答案 B4．若双曲线x 2m －y 2n ＝1(mn ≠0)的离心率为2，它的一个焦点与抛物线y 2＝4x 的焦点重合，则mn 的值为( )．A.316B.38C.163D.83解析抛物线y 2＝4x 的焦点为(1，0)，所以双曲线x 2m －y 2n ＝1的焦点在x 轴上，即m ＞0，n ＞0，故a ＝m ，b ＝n ，所以c ＝m ＋n .所以e ＝ m ＋nm ＝2.①又m ＋n ＝1，②由①②得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝14，n ＝34，所以mn ＝316. 答案 A5．直线y ＝22x 与椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)的两个交点在x 轴上的射影恰为椭圆的两个焦点，则椭圆的离心率e 等于( )． A.32 B.22 C.33 D.12解析把x ＝a 2－b 2代入y ＝22x 中，得：y ＝2a 2－2b 22. 点⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2－b 2，2a 2－2b 22在椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1上，∴a 2－b 2a 2＋a 2－b 22b 2＝1，解得：b 2＝a 22，∴c 2＝a 2－b 2＝a 22，∴e 2＝c 2a 2＝12，∴e ＝22. 答案 B6．抛物线y ＝x 2上到直线2x －y ＝4距离最近的点的坐标是( )． A.⎝ ⎛⎭⎪⎫32，54 B ．(1，1) C.⎝ ⎛⎭⎪⎫32，94 D ．(2，4) 解析设与直线2x －y ＝4平行且与抛物线相切的直线为2x －y ＋c ＝0(c ≠－4)，由⎩⎨⎧2x －y ＋c ＝0，y ＝x 2，得x 2－2x －c ＝0.①由Δ＝4＋4c ＝0得c ＝－1，代入①式得x ＝1.∴y ＝1，∴所求点的坐标为(1，1)．答案 B7．若方程x 2|k |－2＋y 25－k＝1表示双曲线，则实数k 的取值范围是( )． A ．k ＜－2，或2＜k ＜5B ．－2＜k ＜5C ．k ＜－2，或k ＞5D ．－2＜k ＜2，或k ＞5解析由题意知(|k |－2)(5－k )＜0，即⎩⎨⎧|k |－2＞0，5－k ＜0或⎩⎨⎧|k |－2＜0，5－k ＞0.解得k ＞5，或－2＜k ＜2. 答案 D8．平面内有定点A 、B 及动点P ，设命题甲是“|P A |＋|PB |是定值”，命题乙是“点P 的轨迹是以A 、B 为焦点的椭圆”那么甲是乙的( )．A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．即不充分也不必要条件解析点P 在线段AB 上时|P A |＋|PB |是定值，但点P 轨迹不是椭圆，反之成立，故选B.答案 B9．已知M (－2，0)，N (2，0)，则以MN 为斜边的直角三角形的直角顶点P 的轨迹方程是( )．A ．x 2＋y 2＝2B ．x 2＋y 2＝4C ．x 2＋y 2＝2(x ≠±2)D ．x 2＋y 2＝4(x ≠±2)解析 P 在以MN 为直径的圆上．答案 D10．设F 1、F 2分别是双曲线x 25－y 24＝1的左、右焦点．若点P 在双曲线上，且PF 1→·PF 2→＝0，则|PF 1→＋PF 2→|等于( )．A ．3B ．6C ．1D ．2解析因为PF 1→·PF 2→＝0，所以PF 1→⊥PF 2→，则|PF 1→|2＋|PF 2→|2＝|F 1F 2|2＝4c 2＝36，故|PF 1→＋PF 2→|2＝|PF 1→|2＋2PF 1→·PF 2→＋|PF 2→|2＝36，所以|PF 1→＋PF 2→|＝6.故选B.答案 B二、填空题(本题共6小题，每小题5分，共30分)11．已知抛物线y 2＝4x 上的点P 到抛物线的准线的距离为d 1，到直线3x －4y ＋9＝0的距离为d 2，则d 1＋d 2的最小值是________．解析把到准线的距离转化为到焦点的距离．答案 12512．设椭圆的两个焦点分别为F 1、F 2，过F 2作椭圆长轴的垂线交椭圆于点P ，若△F 1PF 2为等腰直角三角形，则椭圆的离心率为________．解析设椭圆的方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)，F 2的坐标为(c ，0)，P 点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫c ，b 2a ，由题意知|PF 2|＝|F 1F 2|，所以b 2a ＝2c ，a 2－c 2＝2ac ，⎝ ⎛⎭⎪⎫c a 2＋2c a －1＝0，解得c a ＝±2－1，负值舍去．答案 2－113．设椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的左、右焦点分别是F 1、F 2，线段F 1F 2被点⎝ ⎛⎭⎪⎫b 2，0分成3∶1的两段，则此椭圆的离心率为________．解析由题意，得b 2＋c c －b 2＝3⇒b 2＋c ＝3c －32b ⇒b ＝c ，因此e ＝c a ＝ c 2a 2＝ c 2b 2＋c 2＝ 12＝22.答案 22 14．AB 是抛物线y 2＝x 的一条焦点弦，若|AB |＝4，则AB 的中点到直线x ＋12＝0的距离是________．解析 A 、B 两点到准线x ＝－14的距离之和等于|AB |＝4，故AB 的中点到准线x＝－14的距离为2，到直线x ＝－12的距离为94.答案 9415．在△ABC 中，a ，b ，c 分别是∠A ，∠B ，∠C 的对边，且a ＝10，c －b ＝6，则顶点A 运动的轨迹方程是________．解析以BC 所在直线为x 轴，BC 的中点为原点建立直角坐标系，则B (－5，0)，C (5，0)，而AB －AC ＝6＜10.故A 点的轨迹是双曲线的右支，其方程为x 29－y 216＝1(x ＞3)．答案 x 29－y 216＝1(x ＞3)16．喷灌的喷头安装在直立管柱OA 的顶部A 处，喷出水流的最高点记为B ，高为5 m ，且与直线OA 的水平距离为4 m ，水流落在以O 为圆心，半径为9 m 的圆上，则管柱OA ＝________ m.解析如图所示，建立平面直角坐标系，由题意知，水流的轨迹为一开口向下的抛物线，设抛物线P 的方程为x 2＝－2py (p ＞0)．因为点C (5，－5)在P 上，所以25＝－2p ·(－5)，2p ＝5，所以P ：x 2＝－5y ，点A (－4，y 0)在P 上⇔16＝－5y 0，y 0＝－165，所以|OA |＝5－165＝95(m)．答案 95三、解答题(每小题10分，共40分)17．已知过抛物线y 2＝2px (p ＞0)的焦点的直线交抛物线于A 、B 两点，且|AB |＝52p ，求AB 所在的直线方程．解焦点F ⎝ ⎛⎭⎪⎫p 2，0，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，若AB ⊥Ox ，则|AB |＝2p ＜52p ，不合题意，所以直线AB 的斜率存在，设为k ，则直线AB 的方程为y ＝k ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －p 2，k ≠0. 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －p 2，y 2＝2px ，消去x ，整理得k y 2－2py －k p 2＝0. 由韦达定理得，y 1＋y 2＝2p k ，y 1y 2＝－p 2.∴|AB |＝（x 1－x 2）2＋（y 1－y 2）2＝ ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1k 2·（y 1－y 2）2 ＝ 1＋1k 2·（y 1＋y 2）2－4y 1y 2＝2p ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1k 2＝52p . 解得k ＝±2.∴AB 所在的直线方程为y ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －p 2或y ＝－2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －p 2. 18．在直角坐标系xOy 中，点P 到两点(0，－3)、(0，3)的距离之和等于4，设点P 的轨迹为C ，直线y ＝k x ＋1与C 交于A 、B 两点．(1)写出C 的方程；(2)若OA →⊥OB →，求k 的值．解 (1)设P (x ，y )，由椭圆定义可知，点P 的轨迹C 是以(0，－3)、(0，3)为焦点，长半轴为2的椭圆，它的短半轴b ＝22－（3）2＝1，故曲线C 的方程为x 2＋y 24＝1. (2)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，联立方程⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 24＝1，y ＝k x ＋1.消去y 并整理得(k 2＋4)x 2＋2k x －3＝0.其中Δ＝4k 2＋12(k 2＋4)＞0恒成立．故x 1＋x 2＝－2k k 2＋4，x 1x 2＝－3k 2＋4. 若OA →⊥OB →，即x 1x 2＋y 1y 2＝0.而y 1y 2＝k 2x 1x 2＋k (x 1＋x 2)＋1，于是x 1x 2＋y 1y 2＝－3k 2＋4－3k 2k 2＋4－2k 2k 2＋4＋1＝0，化简得－4k 2＋1＝0，所以k ＝±12. 19．求与椭圆x 29＋y 24＝1有公共焦点，并且离心率为52的双曲线方程．解由椭圆方程为x 29＋y 24＝1，知长半轴长a 1＝3，短半轴长b 1＝2，焦距的一半c 1＝a 21－b 21＝5，∴焦点是F 1(－5，0)，F 2(5，0)，因此双曲线的焦点也是F 1(－5，0)，F 2(5，0)，设双曲线方程为x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)，由题设条件及双曲线的性质，得⎩⎪⎨⎪⎧c ＝5，c 2＝a 2＋b 2，c a ＝52，解得⎩⎨⎧a ＝2，b ＝1，故所求双曲线的方程为x 24－y 2＝1.20．已知抛物线C ：y 2＝2px (p ＞0)过点A (1，－2)．(1)求抛物线C 的方程，并求其准线方程．(2)是否存在平行于OA (O 为坐标原点)的直线l ，使得直线l 与抛物线C 有公共点，且直线OA 与l 的距离等于55？若存在，求出直线l 的方程；若不存在，说明理由．解 (1)将(1，－2)代入y 2＝2px ，得(－2)2＝2p ·1，所以p ＝2.故所求的抛物线C 的方程为y 2＝4x ，其准线方程为x ＝－1.(2)假设存在符合题意的直线l ，其方程为y ＝－2x ＋t .由⎩⎨⎧y ＝－2x ＋t ，y 2＝4x .得y 2＋2y －2t ＝0. 因为直线l 与抛物线C 有公共点，所以Δ＝4＋8t ≥0，解得t ≥－12.另一方面，由直线OA 到l 的距离d ＝55 可得|t |5＝15，解得t ＝±1. 因为－1∈ /⎣⎢⎡⎭⎪⎫－12，＋∞，1∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫－12，＋∞，所以符合题意的直线l 存在，其方程为2x ＋y －1＝0.。

2020_2021学年高中数学第三章圆锥曲线与方程单元质量评估一习题含解析北师大版选修2_1

第三章单元质量评估(一)时限：120分钟满分：150分第Ⅰ卷(选择题共60分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的)1．抛物线y 2＝8x 的焦点到准线的距离是( C ) A ．1 B ．2 C ．4D ．8解析：抛物线的焦点到准线的距离为p ＝4.2．如果方程x 2＋ky 2＝2表示焦点在y 轴上的椭圆，那么实数k 的取值范围是( D ) A ．(1，＋∞) B ．(1,2) C.⎝⎛⎭⎫12，1D ．(0,1) 解析：将椭圆方程变为x 22＋y 22k＝1，由题意，得2k>2，解得0<k <1.3．已知M (－2,0)，N (2,0)，则以MN 为斜边的直角三角形的直角顶点P 的轨迹方程是( D )A ．x 2＋y 2＝2B ．x 2＋y 2＝4C ．x 2＋y 2＝2(x ≠±2)D ．x 2＋y 2＝4(x ≠±2)解析：点P 的轨迹是以MN 为直径的圆，又P 为直角三角形的顶点，∴点P 不能与M ，N 两点重合，故x ≠±2.4．抛物线y ＝－x 2上的点到直线4x ＋3y －8＝0的距离的最小值是( A ) A.43 B.75 C.85D ．3解析：设与直线4x ＋3y －8＝0平行的直线方程为4x ＋3y ＋c ＝0，与抛物线联立方程组得⎩⎪⎨⎪⎧4x ＋3y ＋c ＝0，y ＝－x 2，消去y 得3x 2－4x －c ＝0，Δ＝(－4)2－4×3×(－c )＝0，解得c ＝－43，则抛物线与直线4x ＋3y －8＝0平行的切线是4x ＋3y －43＝0，问题转化为两平行线间的距离，利用两平行线间的距离公式得d ＝|－43＋8|42＋32＝43，故选A. 5．以椭圆x 216＋y 29＝1的顶点为顶点，离心率为2的双曲线方程是( C )A.x 216－y 248＝1 B.x 29－y 227＝1C.x 216－y 248＝1或y 29－x 227＝1 D ．以上都不对解析：当双曲线的顶点为(±4,0)时，a ＝4，由e ＝2知，c ＝8，b ＝43，双曲线的方程为x 216－y 248＝1；当双曲线的顶点为(0，±3)时，a ＝3，由e ＝2知，c ＝6，b ＝33，双曲线的方程为y 29－x 227＝1，故选C.6．已知抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点是双曲线x 25＋p －y 27＋p＝1的一个焦点，则p 的值为( D )A ．4B ．6C ．8D ．12解析：抛物线的焦点为(p2，0)，双曲线的半焦距为c ＝12＋2p ，∴12＋2p ＝p 24，∴p ＝12(负值舍去)，故选D.7．已知F 1，F 2是双曲线E ：x 2a 2－y 2b 2＝1的左，右焦点，点M 在E 上，MF 1与x 轴垂直，sin ∠MF 2F 1＝13，则E 的离心率为( A )A. 2B.32C. 3D ．2解析：离心率e ＝F 1F 2MF 2－MF 1，由正弦定理得e ＝F 1F 2MF 2－MF 1＝sin Msin F 1－sin F 2＝2231－13＝ 2.故选A.8．已知点A (0,2)，B (2,0)．若点C 在抛物线x 2＝y 的图像上，则使得△ABC 的面积为2的点C 的个数为( A )A ．4B ．3C ．2D ．1解析：由已知可得|AB |＝22，要使S △ABC ＝2，则点C 到直线AB 的距离必须为2，设C (x ，x 2)，而l AB ：x ＋y －2＝0，所以有|x ＋x 2－2|2＝2，所以x 2＋x －2＝±2，当x 2＋x －2＝2时，有两个不同的C 点；当x 2＋x －2＝－2时，亦有两个不同的C 点．因此满足条件的C 点有4个，故选A. 9．已知抛物线y 2＝4x的准线过椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的左焦点，且准线与椭圆交于A 、B 两点，O 为坐标原点，△AOB 的面积为32，则椭圆的离心率为( B )A.32B.12C.13D.14解析：抛物线y 2＝4x 的准线方程为x ＝－1，∵抛物线y 2＝4x 的准线过椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左焦点，∴椭圆的左焦点为(－1,0)，∴c ＝1.∵O 为坐标原点，△AOB 的面积为32，∴12×2b 2a ×1＝32，∴b 2a ＝a 2－1a ＝32，整理，得2a 2－3a －2＝0，解得a ＝2或a ＝－12(舍)，∴e ＝c a ＝12.故选B. 10．过点P (x ，y )的直线分别与x 轴和y 轴的正半轴交于A 、B 两点，点Q 与点P 关于y 轴对称，O 为坐标原点，若BP →＝2P A →且OQ →·AB →＝1，则点P 的轨迹方程是( D )A ．3x 2＋32y 2＝1(x >0，y >0)B ．3x 2－32y 2＝1(x >0，y >0)C.32x 2－3y 2＝1(x >0，y >0) D.32x 2＋3y 2＝1(x >0，y >0) 解析：因为Q 与P (x ，y )关于y 轴对称，所以Q (－x ，y )，由BP →＝2P A →，得A ⎝⎛⎭⎫32x ，0，B (0,3y )所以AB →＝⎝⎛⎭⎫－32x ，3y . 从而由OQ →·AB →＝(－x ，y )·⎝⎛⎭⎫－32x ，3y ＝1，得32x 2＋3y 2＝1，其中x >0，y >0，故选D. 11．已知椭圆x 2＋2y 2＝4，则以(1,1)为中点的弦的长度为( C ) A ．3 2 B ．2 3 C.303D.326 解析：设弦端点为A (x 1，y 1)、B (x 2，y 2)，则x 21＋2y 21＝4，x 22＋2y 22＝4，∴x 21－x 22＝－2(y 21－y 22)，∴此弦的斜率k ＝y 1－y 2x 1－x 2＝－x 1＋x 22(y 1＋y 2)＝－12，∴此弦所在的直线方程为y －1＝－12(x －1)，即y ＝－12x ＋32.代入x 2＋2y 2＝4，整理，得3x 2－6x ＋1＝0，∴x 1·x 2＝13，x 1＋x 2＝2，∴|AB |＝(x 1＋x 2)2－4x 1x 2·1＋k 2＝4－4×13·1＋14＝303.12．若直线y ＝x ＋t 与椭圆x 24＋y 2＝1相交于A 、B 两点，当|t |变化时，|AB |的最大值为( C )A ．2 B.455 C.4105D.8105解析：设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)．由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ＋t ，x 24＋y 2＝1，得5x 2＋8tx ＋4t 2－4＝0.由Δ＝(8t )2－20(4t 2－4)＝－16t 2＋80>0，得t 2<5，∴－5<t < 5.此时|AB |＝2|x 1－x 2|＝2·(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝2·⎝⎛⎭⎫－8t 52－4×4t 2－45＝25·80－16t 2. 当t ＝0∈(－5，5)时，|AB |max ＝1605＝4105. 第Ⅱ卷(非选择题共90分)二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，请把答案填写在题中横线上) 13．双曲线x 216－y 29＝1的两条渐近线的方程为y ＝±34x .解析：由题意可得，a ＝4，b ＝3.又∵双曲线的焦点在x 轴上，∴y ＝±b a x ＝±34x .14．设中心在原点的椭圆与双曲线2x 2－2y 2＝1有相同的焦点，且它们的离心率互为倒数，则该椭圆的方程是x 22＋y 2＝1.解析：双曲线的焦点坐标为(－1,0)，(1,0)，离心率为 2.设椭圆方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，则e ＝c a ＝22.因为c ＝1，所以a ＝ 2.所以b ＝a 2－c 2＝1.故所求椭圆的方程为x 22＋y 2＝1. 15．过点M (1,1)作斜率为－12的直线与椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)相交于A ，B 两点，若M 是线段AB 的中点，则椭圆C 2解析：设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 21a 2＋y 21b 2＝1，①x 22a 2＋y 22b2＝1.② ①、②两式相减并整理得y 1－y 2x 1－x 2＝－b 2a 2·x 1＋x 2y 1＋y 2.把已知条件代入上式得，－12＝－b 2a 2×22，∴b 2a 2＝12，故椭圆的离心率e ＝1－b 2a 2＝22. 16．已知抛物线y ＝2px 2(p >0)的焦点为F ，点P ⎝⎛⎭⎫1，14在抛物线上，过点P 作PQ 垂直于抛物线的准线，垂足为点Q ，若抛物线的准线与对称轴相交于点M ，则四边形PQMF 的面积为138.解析：由P (1，14)在抛物线上，得p ＝18，故抛物线的标准方程为x 2＝4y ，焦点F (0,1)，准线为y ＝－1，∴|FM |＝2，|PQ |＝1＋14＝54，|MQ |＝1，则直角梯形PQMF 的面积为12×⎝⎛⎭⎫54＋2×1＝138. 三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 17．(本小题10分)已知椭圆的中心在原点，且经过点P (3,0)，离心率e ＝223，求椭圆的标准方程．解：(1)当焦点在x 轴上时，设其方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)．∵离心率e ＝223，∴c a ＝223.又∵a 2＝b 2＋c 2，∴a ＝3b .又∵椭圆经过点P (3,0)，∴9a 2＋0b 2＝1，∴a 2＝9，b 2＝1.∴椭圆的标准方程为x 29＋y 2＝1.(2)当焦点在y 轴上时，设其方程为y 2a 2＋x 2b 2＝1(a >b >0)．同理可得a ＝3b .又∵椭圆过点P (3,0)，∴0a 2＋9b2＝1，∴b 2＝9，a 2＝81.∴椭圆的标准方程为y 281＋x 29＝1.综上可知，椭圆的标准方程为x 29＋y 2＝1或y 281＋x 29＝1. 18．(本小题12分)已知双曲线的中心在原点，焦点F 1、F 2在坐标轴上，一条渐近线方程为y ＝x ，且过点(4，－10)．(1)求双曲线的方程；(2)若点M (3，m )在此双曲线上，求MF 1→·MF 2→.解：(1)∵双曲线的一条渐近线方程为y ＝x ，∴设双曲线的方程为x 2－y 2＝λ(λ≠0)．把点(4，－10)代入双曲线的方程得42－(－10)2＝λ，∴λ＝6.∴所求双曲线的方程为x 2－y 2＝6.(2)由(1)知双曲线的方程为x 2－y 2＝6.∴c ＝23，不妨令F 1(－23，0)、F 2(23，0)．∵点M 在双曲线上，∴32－m 2＝6，∴m 2＝3.∴MF 1→·MF 2→＝(－23－3，－m )·(23－3，－m )＝(－3)2－(23)2＋m 2＝－3＋3＝0.19．(本小题12分)如图，直线l ：y ＝x ＋b 与抛物线C ：x 2＝4y 相切于点A .(1)求实数b 的值；(2)求以点A 为圆心，且与抛物线C 的准线相切的圆的方程．解：(1)由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ＋b ，x 2＝4y ，联立得x 2－4x －4b ＝0，(*)因为直线l 与抛物线C 相切，所以Δ＝(－4)2－4×(－4b )＝0，解得b ＝－1.(2)由(1)可知b ＝－1，故方程(*)即为x 2－4x ＋4＝0，解得x ＝2，代入x 2＝4y ，得y ＝1，故点A (2,1)．因为圆A 与抛物线C 的准线相切，所以圆A 的半径r 等于圆心A 到抛物线的准线y ＝－1的距离，即r ＝|1－(－1)|＝2，所以圆A 的方程为(x －2)2＋(y －1)2＝4.20．(本小题12分)已知椭圆G ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为63，右焦点为(22，0)，斜率为1的直线l 与椭圆G 交于A 、B 两点，以AB 为底边作等腰三角形，顶点为P (－3,2)．(1)求椭圆G 的方程； (2)求△P AB 的面积．解：(1)由已知得c ＝22，c a ＝63.解得a ＝23，又b 2＝a 2－c 2＝4.所以椭圆G 的方程为x 212＋y 24＝1. (2)设直线l 的方程为y ＝x ＋m .由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ＋m ，x 212＋y 24＝1，联立得4x 2＋6mx ＋3m 2－12＝0. ①设A 、B 的坐标分别为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)(x 1<x 2)，AB 中点为E (x 0，y 0)，则x 0＝x 1＋x 22＝－3m 4，y 0＝x 0＋m ＝m 4；因为AB 是等腰△P AB 的底边，所以PE ⊥AB .所以PE 的斜率k ＝2－m4－3＋3m 4＝－1，解得m＝2.此时方程①为4x 2＋12x ＝0.解得x 1＝－3，x 2＝0.所以y 1＝－1，y 2＝2.所以|AB |＝3 2. 此时，点P (－3,2)到直线AB ：x －y ＋2＝0的距离d ＝|－3－2＋2|2＝322，所以△P AB 的面积S ＝12|AB |·d ＝92.21．(本小题12分)设F 1，F 2分别是椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左，右焦点，M 是C上一点且MF 2与x 轴垂直．直线MF 1与C 的另一个交点为N .(1)若直线MN 的斜率为34，求C 的离心率；(2)若直线MN 在y 轴上的截距为2，且|MN |＝5|F 1N |，求a ，b . 解：(1)根据c ＝a 2－b 2及题设知M ⎝⎛⎭⎫c ，b2a ，2b 2＝3ac .将b 2＝a 2－c 2代入2b 2＝3ac ，解得c a ＝12或c a ＝－2(舍去)．故C 的离心率为12. (2)由题意，知原点O 为F 1F 2的中点，MF 2∥y 轴，所以直线MF 1与y 轴的交点D (0,2)是线段MF 1的中点，故b 2a＝4，即b 2＝4a ，①由|MN |＝5|F 1N |得|DF 1|＝2|F 1N |.设N (x 1，y 1)，由题意知y 1<0，则⎩⎪⎨⎪⎧2(－c －x 1)＝c ，－2y 1＝2，即⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝－32c ，y 1＝－1.代入C 的方程，得9c 24a 2＋1b 2＝1.②将①及c ＝a 2－b 2代入②得9(a 2－4a )4a 2＋14a＝1.解得a ＝7，b 2＝4a ＝28.故a ＝7，b ＝27.22．(本小题12分)在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为32，左、右焦点分别是F 1，F 2.以F 1为圆心、以3为半径的圆与以F 2为圆心、以1为半径的圆相交，且交点在椭圆C 上．(1)求椭圆C 的方程；(2)设椭圆E ：x 24a 2＋y 24b 2＝1，P 为椭圆C 上任意一点，过点P 的直线y ＝kx ＋m 交椭圆E于A ，B 两点，射线PO 交椭圆E 于点Q .①求|OQ ||OP |的值；②求△ABQ 面积的最大值．解：(1)由题意知，2a ＝4，则a ＝2，又c a ＝32，a 2－c 2＝b 2，可得b ＝1，所以椭圆C 的方程为x 24＋y 2＝1.(2)由(1)知椭圆E 的方程为x 216＋y 24＝1.①设P (x 0，y 0)，|OQ ||OP |＝λ，由题意知，Q (－λx 0，－λy 0)．因为x 204＋y 20＝1，又(－λx 0)216＋(－λy 0)24＝1，即λ24⎝⎛⎭⎫x 204＋y 20＝1，所以λ＝2，即|OQ ||OP |＝2. ②设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)．将y ＝kx ＋m 代入椭圆E 的方程，可得(1＋4k 2)x 2＋8kmx ＋4m 2－16＝0，由Δ>0，可得m 2<4＋16k 2， ①因为x 1＋x 2＝－8km1＋4k 2，x 1x 2＝4m 2－161＋4k 2.所以|x 1－x 2|＝416k 2＋4－m 21＋4k 2.因为直线y ＝kx ＋m 与y 轴交点的坐标为(0，m )，所以△OAB 的面积S ＝12|m ||x 1－x 2|＝216k 2＋4－m 2|m |1＋4k 2＝2(16k 2＋4－m 2)m 21＋4k 2＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫4－m 21＋4k 2m 21＋4k 2. 设m 21＋4k 2＝t ，则t >0.将y ＝kx ＋m 代入椭圆C 的方程，可得(1＋4k 2)x 2＋8kmx ＋4m 2－4＝0，由Δ≥0，可得m 2≤1＋4k 2.②由①②可知0<t ≤1，因此S ＝2(4－t )t ＝2－t 2＋4t ，故S ≤23，当且仅当t ＝1，即m 2＝1＋4k 2时取得最大值2 3.由①知，△ABQ 面积为3S ，所以△ABQ 面积的最大值为6 3.。

高中数学章末质量评估1活页训练新人教B版必修2

章末质量评估(一)(时间：90分钟满分：120分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．圆锥的高扩大到原来的2倍，底面半径缩短到原来的12，则圆锥的体积( )．A ．缩小到原来的一半B ．扩大到原来的2倍C ．不变D ．缩小到原来的16解析设原圆锥的高为h ，底面半径为r ，体积为V ，则V ＝π3r 2·h ；变化后圆锥的体积V ′＝π3×⎝ ⎛⎭⎪⎫12r 2×2h ＝16πr 2·h ＝12V .答案 A2．已知水平放置的△ABC 是按“斜二测画法”得到如右图所示的直观图，其中B ′O ′＝C ′O ′＝1，A ′O ′＝32，那么原△ABC 是一个 ( )．A ．等边三角形B ．直角三角形C ．三边中有两边相等的等腰三角形D ．三边互不相等的三角形解析依据斜二测画法的原则可得，BC＝B′C′＝2，OA＝2×32＝3，∴AB＝AC＝2，故△ABC是等边三角形．答案 A3．顶点都在一个球面上的正四棱柱高为4，体积为16，则这个球的表面积是( )．A．16π B．20πC．24π D．32π解析设正四棱柱的底边长为a，球半径为R，则a2·4＝16，∴a＝2.又(2R)2＝22＋22＋42，∴R2＝6.∴S球面＝4πR2＝4π×6＝24π.答案 C4．设直线m与平面α相交但不垂直，则下列说法中正确的是( )．A．在平面α内有且只有一条直线与直线m垂直B．过直线m有且只有一个平面与平面α垂直C．与直线m垂直的直线不可能与平面α平行D．与直线m平行的平面不可能与平面α垂直解析画图或在正方体模型中观察可得．答案 B5．如图，α∩β＝l，A∈α，B∈α，AB∩l＝D，C∈β，C∉l，则平面ABC与平面β的交线是( )．A．直线AC B．直线ABC．直线CD D．直线BC解析D∈l，l⊂β，∴D∈β.又C∈β，∴CD⊂β.同理CD⊂平面ABC，∴平面ABC∩平面β＝CD.答案 C6．对两条不相交的空间直线a与b，必存在平面α，使得( )．A．a⊂α，b⊂αB．a⊂α，b∥αC．a⊥α，b⊥αD．a⊂α，b⊥α解析因为已知两条不相交的空间直线a和b，所以可以在直线a上任取一点A，则A∉b.过A作直线c∥b，则过a，c必存在平面α且使得a⊂α，b∥α.答案 B7．已知平面α⊥平面β，α∩β＝l，点A∈α，A∉l，直线AB∥l，直线AC⊥l，直线m∥α，m∥β，则下列四种位置关系中，不一定成立的是( )．A．AB∥m B．AC⊥mC．AB∥βD．AC⊥β解析容易判断A、B、C三个答案都是正确的，对于D，虽然AC⊥l，但AC不一定在平面α内，故它可以与平面β相交、平行，但不一定垂直．答案 D8．如图△ABC中，∠ACB＝90°，直线l过点A且垂直于平面ABC，动点P∈l，当点P 逐渐远离点A时，∠PCB的大小( )．A．变大B．变小C．不变D．有时变大有时变小解析由于直线l垂直于平面ABC，∴l⊥BC，又∠ACB＝90°，∴AC⊥BC，∴BC⊥平面APC，∴BC⊥PC，即∠PCB为直角，与点P的位置无关，选C.答案 C9．设m、n表示不同直线，α、β表示不同平面，则下列结论中正确的是( )．A．若m∥α，m∥n，则n∥αB．若m⊂α，n⊂β，m∥β，n∥α，则α∥βC．若α∥β，m∥α，m∥n，则n∥βD．若α∥β，m∥α，n∥m，n⊄β，则n∥β解析A选项不正确，n还有可能在平面α内，B选项不正确，平面α还有可能与平面β相交，C选项不正确，n也有可能在平面β内，选项D正确．答案 D10．某四面体的三视图如图所示，该四面体四个面的面积中最大的是( )．A．8 B．6 2C．10 D．8 2解析将三视图还原成几何体的直观图如图所示．它的四个面的面积分别为8,6,10,62，故最大的面积应为10.答案 C11．在四面体ABCD中，已知棱AC的长为2，其余各棱长都为1，则二面角ACDB的平面角的余弦值为( )．A.12B.13C.33D.23解析取AC的中点E，CD的中点F，连接EF，BF，BE，∵AC＝2，其余各棱长都为1，∴AD ⊥CD .∴EF ⊥CD .又∵BF ⊥CD ，∴∠BFE 是二面角ACDB 的平面角． ∵EF ＝12，BE ＝22，BF ＝32，∴EF 2＋BE 2＝BF 2.∴∠BEF ＝90°，∴cos ∠BFE ＝EFBF ＝33. 答案 C12．如图所示，在正方体ABCDA 1B 1C 1D 1中，E ，F 分别为棱AA 1，CC 1的中点，则在空间中与直线A 1D 1，EF ，CD 都相交的直线( )．A ．不存在B ．有且只有两条C ．有且只有三条D ．有无数条解析在EF 上任意取一点M ，直线A 1D 1与M 确定一个平面，这个平面与CD 有且仅有1个交点N ，当M 取不同的位置就确定不同的平面，从而与CD 有不同的交点N ，而直线MN 与这3条异面直线都有交点，如下图，故选D.答案 D二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中的横线上)13．某三角形的直观图是斜边为2的等腰直角三角形，如图所示，则原三角形的面积是________．解析原三角形是两直角边长分别为2与22的直角三角形． ∴S ＝12×2×22＝2 2.答案 2 214．已知平面α，β和直线m ，给出条件：①m ∥α；②m ⊥α；③m ⊂α；④α∥β.当满足条件________时，有m ⊥β.(填所选条件的序号)解析若m ⊥α，α∥β，则m ⊥β.故填②④. 答案 ②④15．如图，四棱锥SABCD中，底面ABCD为平行四边形，E是SA上一点，当点E满足条件：________时，SC∥平面EBD.解析E为SA中点，连接AC交BD于O，连接OE，则OE∥SC，∴SC∥平面EBD.答案E为SA中点16．如图，在长方形ABCD中，AB＝2，BC＝1，E为CD的中点，F为线段EC(端点除外)上一动点，现将△AFD沿AF折起，使平面ABD⊥平面ABC，在平面ABD内过点D作DK⊥AB，K为垂足，设AK＝t，则t的取值范围是________．解析过K作KM⊥AF于M点，连接DM.易得DM⊥AF，与折射前的图形对比，可知由折前的圆形中D，M，K三点共线，且DK⊥AF.∴△DAK∽△FDA∴AK AD ＝AD DF 即t 1＝1DF∴t ＝1DF又DF ∈(1,2)∴t ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1. 答案 ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1 三、解答题(本大题共4小题，共40分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17．(10分)如图，在三棱柱ABC A 1B 1C 1中，AB ⊥BC ，BC ⊥BC 1，AB ＝BC 1、E 、F 、G 分别为线段AC 1、A 1C 1、BB 1的中点，求证：(1)平面ABC ⊥平面ABC 1， (2)EF ∥平面BCC 1B 1， (3)GF ⊥平面AB 1C 1.证明 (1)∵BC ⊥AB ，BC ⊥BC 1，AB ∩BC 1＝B ， ∴BC ⊥平面ABC 1， ∵BC ⊂平面ABC ， ∴平面ABC ⊥平面ABC 1. (2)∵AE ＝EC 1，A 1F ＝FC 1， ∴EF ∥AA 1，∵BB 1∥AA 1， ∴EF ∥BB 1， ∵EF ⊄平面BCC 1B 1， ∴EF ∥平面BCC 1B 1.(2)连接EB，则四边形EFGB为平行四边形．∵EB⊥AC1，∴FG⊥AC1，∵BC⊥平面ABC1，∴B1C1⊥平面ABC1，∴B1C1⊥BE，∴FG⊥B1C1，∵B1C1∩AC1＝C1，∴GF⊥平面AB1C1.18．(10分)某几何体的三视图如图所示，P是正方形ABCD对角线的交点，G是PB的中点．(1)根据三视图，画出该几何体的直观图；(2)在直观图中，①证明：PD∥平面AGC；②证明：平面PBD⊥平面AGC.(1)解(1)该几何体的直观图如图所示．(2)证明如图所示，①连接AC、BD交于点O，连接OG，因为G为PB的中点，O为BD 的中点，所以OG∥PD.又OG⊂平面AGC，PD⊄平面AGC，所以PD∥平面AGC.②连接PO，由三视图可知PO⊥平面ABCD，所以AO⊥PO.又AO⊥BO，所以AO⊥平面PBD.因为AO⊂平面AGC，所以平面PBD⊥平面AGC.19．(10分)如图所示，正方形ABCD和矩形ADEF所在平面相互垂直，G是AF的中点．(1)求证：ED⊥AC；(2)若直线BE与平面ABCD成45°角，求异面直线GE与AC所成角的余弦值．(1)证明在矩形ADEF中，ED⊥AD，∵平面ADEF⊥平面ABCD，且平面ADEF∩平面ABCD＝AD，∴ED⊥平面ABCD，∴ED⊥AC.(2)解由(1)知：ED⊥平面ABCD，∴∠EBD是直线BE与平面ABCD所成的角，即∠EBD＝45°，设AB＝a，则DE＝BD＝2a，取DE中点M，连接AM，∵G是AF的中点，∴AM∥GE，∴∠MAC 是异面直线GE 与AC 所成角或其补角．连接BD 交AC 于点O ，连接MO .∵AM ＝CM ＝ a 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫22a 2＝62a ，O 是AC 的中点，∴MO ⊥AC ，∴cos ∠MAC ＝AO AM ＝22a62a＝33，∴异面直线GE 与AC 所成角的余弦值为33.20．(10分)如图，在直三棱柱ABCA 1B 1C 1中(即侧棱垂直于底面的三棱柱)，∠ACB ＝90°，AA 1＝BC ＝2AC ＝2.(1)若D 为AA 1中点，求证：平面B 1CD ⊥平面B 1C 1D ；(2)在AA 1上是否存在一点D ，使得二面角B 1CDC 1的大小为60°.(1)证明 ∵∠A 1C 1B 1＝∠ACB ＝90°， ∴B 1C 1⊥A 1C 1又由直三棱柱性质知B 1C 1⊥CC 1，∴B 1C 1⊥平面ACC 1A 1.又CD ⊂平面ACC 1A 1 ∴B 1C 1⊥CD ，由AA 1＝BC ＝2AC ＝2，D 为AA 1中点，可知DC ＝DC 1＝2，∴DC 2＋DC 21＝CC 21＝4，即CD ⊥DC 1，又B 1C 1⊥CD ，且B 1C 1∩DC 1＝C 1 ∴CD ⊥平面B 1C 1D ，又CD ⊂平面B 1CD ，故平面B 1CD ⊥平面B 1C 1D .(2)解当AD ＝22AA 1时二面角B 1CDC 1的大小为60°.假设在AA 1上存在一点D 满足题意，由(1)可知B 1C 1⊥平面ACC 1A 1，如图，在平面ACC 1A 1内过C 1作C 1E ⊥CD ，交CD 或延长线或于E ，连EB 1，则EB 1⊥CD ，所以∠B 1EC 1为二面角B 1CD C 1的平面角， ∴∠B 1EC 1＝60°，由B 1C 1＝2知，C 1E ＝233，设AD ＝x ，则DC ＝x 2＋1， ∵△DCC 1的面积为1，∴12x 2＋1·233＝1，解得x ＝2，即AD ＝2＝22AA 1，∴在AA 1上存在一点D 满足题意．。

2020_2021学年高中数学第三章圆锥曲线与方程单元质量评估二习题含解析北师大版选修2_1

第三章单元质量评估(二)时限：120分钟满分：150分第Ⅰ卷(选择题共60分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的)1．顶点在原点，且过点(－4,4)的抛物线的标准方程是( C ) A ．y 2＝－4xB ．x 2＝4yC ．y 2＝－4x 或x 2＝4yD ．y 2＝4x 或x 2＝－4y解析：∵抛物线过点(－4,4)，∴设其方程为y 2＝－2px 或x 2＝2py (p >0)，将(－4,4)代入可得p ＝2，∴抛物线方程为y 2＝－4x 或x 2＝4y .2．已知两定点F 1(5,0)，F 2(－5,0)，曲线上的点P 到F 1，F 2的距离之差的绝对值是6，则该曲线的方程为( A )A.x 29－y 216＝1 B.x 216－y 29＝1 C.x 225－y 236＝1 D.y 225－x 236＝1 解析：∵||PF 1|－|PF 2||＝6<10＝|F 1F 2|，∴曲线为双曲线，且a ＝3，c ＝5，∴b ＝4，∴方程为x 29－y 216＝1. 3．若椭圆x 216＋y 2b 2＝1过点(－2，3)，则其焦距为( C )A ．2 5B ．2 3C ．4 3D ．4 5解析：由椭圆过点(－2，3)，所以(－2)216＋(3)2b 2＝1，解得b 2＝4，因此c 2＝a 2－b 2＝12，所以c ＝23，2c ＝4 3.4．设双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的虚轴长为2，焦距为23，则双曲线的渐近线方程为( A )A ．y ＝±22xB ．y ＝±2xC ．y ＝±12xD ．y ＝±2x解析：由⎩⎪⎨⎪⎧ 2b ＝2，2c ＝23，得⎩⎪⎨⎪⎧b ＝1，c ＝3，所以a ＝c 2－b 2＝2，因此双曲线的方程为x 22－y 2＝1，所以渐近线方程为y ＝±22x .5．在△ABC 中，|AB |＝2|BC |，以A ，B 为焦点，经过C 的椭圆与双曲线的离心率分别为e 1，e 2，则( A )A.1e 1－1e 2＝1 B.1e 1－1e 2＝2 C.1e 21－1e 22＝1 D.1e 21－1e 22＝2 解析：如图，分别设椭圆与双曲线的标准方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，x 2a ′2－y 2b ′2＝1(a ′>0，b ′>0)，焦距为2c ，则|AB |＝2c ，|BC |＝c ，∵C 在椭圆上，∴|AC |＋|BC |＝2a ⇒|AC |＝2a －c ，又∵C 在双曲线上，∴|AC |－|BC |＝2a ′，即2a －c －c ＝2a ′⇒a c －a ′c ＝1⇒1e 1－1e 2＝1.6．设圆锥曲线C 的两个焦点分别为F 1，F 2，若曲线C 上存在点P 满足|PF 1|∶|F 1F 2|∶|PF 2|＝4∶3∶2，则曲线C 的离心率可能等于( D )A.23或32 B.23或2 C.12或2 D.12或32解析：因为|PF 1|∶|F 1F 2|∶|PF 2|＝4∶3∶2，所以设|PF 1|＝4x ，则|F 1F 2|＝3x ，|PF 2|＝2x ，x >0.因为|F 1F 2|＝3x ＝2c ，所以x ＝23c .若曲线为椭圆，则有2a ＝|PF 1|＋|PF 2|＝6x ，即a ＝3x ，所以离心率e ＝c a ＝c3x ＝c3×23c ＝12.若曲线为双曲线，则有2a ＝|PF 1|－|PF 2|＝2x ，即a ＝x ，所以离心率e ＝c a ＝c x ＝c 23c ＝32.所以选D.7．点A 在曲线x 2＋y 2＝1上移动，点B (3,0)，则线段AB 的中点P 的轨迹方程是( C ) A ．(x ＋3)2＋y 2＝4 B ．(x －3)2＋y 2＝1 C ．(2x －3)2＋4y 2＝1D.⎝⎛⎭⎫x ＋322＋y 2＝1解析：设A (x ′，y ′)，P (x 0，y 0)，则x ′2＋y ′2＝1.又∵⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝x ′＋32，y 0＝y ′＋02，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝2x 0－3，y ′＝2y 0.∴(2x 0－3)2＋4y 20＝1，故选C. 8.如图，直线y ＝m 与抛物线y 2＝4x 交于点A ，与圆(x －1)2＋y 2＝4的实线部分交于点B ，F 为抛物线的焦点，则三角形ABF 的周长的取值范围是( B )A ．(2,4)B ．(4,6)C ．[2,4]D ．[4,6]解析：设B (x B ，y B )，则1≤x B ≤3.因为可以构成三角形ABF ，所以1<x B <3.因为圆的半径|BF |＝2，抛物线的准线方程为x ＝－1，利用抛物线定义，|AF |等于点A 到直线x ＝－1的距离d ，所以三角形ABF 的周长l ＝|AF |＋|AB |＋|BF |＝|AF |＋|AB |＋2＝d ＋|AB |＋2＝x B －(－1)＋2＝x B ＋3，故4<l <6.9．过抛物线y 2＝4x 的焦点作一条直线与抛物线相交于A ，B 两点，它们到直线x ＝－2的距离之和等于5，则这样的直线( D )A ．有且仅有一条B ．有且仅有两条C ．有无穷多条D ．不存在解析：抛物线y 2＝4x 的焦点坐标为(1,0)，准线方程为x ＝－1.设A ，B 的坐标分别为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，则A ，B 到直线x ＝－1的距离之和为x 1＋x 2＋2.设直线方程为x ＝my ＋1，代入抛物线y 2＝4x ，则y 2＝4(my ＋1)，即y 2－4my －4＝0，∴y 1＋y 2＝4m ，∴x 1＋x 2＝m (y 1＋y 2)＋2＝4m 2＋2.∴x 1＋x 2＋2＝4m 2＋4≥4.∴A ，B 到直线x ＝－2的距离之和x 1＋x 2＋2＋2≥6>5.∴满足题意的直线不存在．10．设双曲线C 的中心为点O ，若有且只有一对相交于点O 、所成的角为60°的直线A 1B 1和A 2B 2，使|A 1B 1|＝|A 2B 2|，其中A 1，B 1和A 2，B 2分别是这对直线与双曲线C 的交点，则该双曲线的离心率的取值范围是( A )A.⎝⎛⎦⎤233，2B.⎣⎡⎭⎫233，2C.⎝⎛⎭⎫233，＋∞D.⎣⎡⎭⎫233，＋∞ 解析：由题意知，直线A 1B 1和A 2B 2关于x 轴对称，又所成的角为60°，所以直线方程为y ＝±33x 或y ＝±3x .又因为有且只有一对相交于点O 、所成的角为60°的直线A 1B 1和A 2B 2，使|A 1B 1|＝|A 2B 2|，所以渐近线斜率满足33<b a ≤3，解得233<e ≤2.故选A. 11．已知点A (2,0)，抛物线C ：x 2＝4y 的焦点为F ，直线F A 与抛物线C 相交于点M ，与其准线相交于点N ，则|FM |∶|MN |＝( C )A ．2∶ 5B ．1∶2C ．1∶ 5D ．1∶3解析：设直线F A 的倾斜角为θ，因为F (0,1)，A (2,0)，所以直线F A 的斜率为－12，即tan θ＝－12，过点M 作准线的垂线交准线于点Q ，由抛物线定义得|FM |＝|MQ |，在△MQN 中|MQ ||QN |＝12，可得|MQ ||MN |＝15，即|FM |∶|MN |＝1∶ 5.12．设双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的右焦点为F ，右顶点为A ，过F 作AF 的垂线与双曲线交于B ，C 两点，过B ，C 分别作AC ，AB 的垂线，两垂线交于点D .若D 到直线BC 的距离小于a ＋a 2＋b 2，则该双曲线的渐近线斜率的取值范围是( A )A ．(－1,0)∪(0,1)B ．(－∞，－1)∪(1，＋∞)C ．(－2，0)∪(0，2)D ．(－∞，－2)∪(2，＋∞)解析：如图所示，由题意知BC 为双曲线的通径，所以|BC |＝2b 2a ，则|BF |＝b 2a .又|AF |＝c －a ，因为BD ⊥AC ，DC ⊥AB ，所以点D 在x 轴上．由Rt △BF A ∽Rt △DFB ，得|BF |2＝|AF |·|FD |，即⎝⎛⎭⎫b 2a 2＝(c －a )·|FD |，所以|FD |＝b 4a 2(c －a )，则由题意知b 4a 2(c －a )<a ＋a 2＋b 2，即b 4a 2(c －a )<a ＋c ，所以b 4<a 2(c －a )·(a ＋c )，即b 4<a 2(c 2－a 2)，即b 4<a 2b 2，所以0<b 2a 2<1，解得0<ba<1，而双曲线的渐近线斜率为±ba，所以双曲线的渐近线斜率的取值范围是(－1,0)∪(0,1)，故选A.第Ⅱ卷(非选择题共90分)二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，请把答案填写在题中横线上) 13．已知椭圆的焦点在y 轴上，其上任意一点到两焦点的距离和为8，焦距为215，则此椭圆的标准方程为y 216＋x 2＝1.解析：由已知2a ＝8,2c ＝215，所以a ＝4，c ＝15，所以b 2＝a 2－c 2＝16－15＝1，所以椭圆的标准方程为y 216＋x 2＝1.14．已知F 1(－3,0)，F 2(3,0)为椭圆x 2a ＋y 2b ＝1的两个焦点，点P 在椭圆上，∠F 1PF 2＝α，当α＝2π3时，△F 1PF 2的面积最大，则a ＋b 的值等于15.解析：当|PF 1|＝|PF 2|时，△F 1PF 2的面积最大．由∠F 1PF 2＝2π3，∴a ＝23，b ＝3，∴a ＋b ＝15.15．已知两定点M (－1,0)，N (1,0)，若直线上存在点P ，使|PM |＋|PN |＝4，则该直线为“A 型直线”．给出下列直线，其中是“A 型直线”的是①④(填序号)．①y ＝x ＋1；②y ＝2；③y ＝－x ＋3；④y ＝－2x ＋3.解析：由题意可知，点P 的轨迹是以M ，N 为焦点的椭圆，其方程是x 24＋y 23＝1.①把y＝x ＋1代入x 24＋y 23＝1，并整理得7x 2＋8x －8＝0，∵Δ＝82－4×7×(－8)>0，∴直线与椭圆有两个交点，∴y ＝x ＋1是“A 型直线”． ②把y ＝2代入x 24＋y 23＝1得x 24＝－13不成立，直线与椭圆无交点，∴y ＝2不是“A 型直线”．③把y ＝－x ＋3代入x 24＋y 23＝1，并整理得7x 2－24x ＋24＝0，Δ＝(－24)2－4×7×24<0，∴y ＝－x ＋3不是“A 型直线”．④把y ＝－2x ＋3代入x 24＋y 23＝1，并整理得19x 2－48x ＋24＝0，∵Δ＝(－48)2－4×19×24>0，∴y ＝－2x ＋3是“A 型直线”．16．平面直角坐标系xOy 中，双曲线C 1：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的渐近线与抛物线C 2：x 2＝2py (p >0)交于点O ，A ，B .若△OAB 的垂心为C 2的焦点，则C 1的离心率为32.解析：设点A 在点B 的左侧，抛物线C 2的焦点为F ，则F ⎝⎛⎭⎫0，p 2.联立⎩⎪⎨⎪⎧ x 2＝2py ，y ＝－b a x ，解得A ⎝⎛⎭⎫－2bp a ，2b 2p a 2；联立⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝2py ，y ＝b a x ，解得B ⎝⎛⎭⎫2bp a ，2b 2p a 2.∵F 为△OAB 的垂心，∴AF ⊥OB ，∴k AF ·k OB ＝－1，即⎝ ⎛⎭⎪⎫2b 2p a 2－p 2－2bp a·b a ＝－1，即4b 2＝5a 2，即4(c 2－a 2)＝5a 2，即c 2a 2＝94，∴e ＝c a ＝32. 三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 17．(本小题10分)已知椭圆的顶点与双曲线y 24－x 212＝1的焦点重合，它们的离心率之和为135，若椭圆的焦点在x 轴上，求椭圆的方程．解：设所求椭圆方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，其离心率为e ，焦距为2c ，双曲线y 24－x 212＝1的焦距为2c 1，离心率为e 1，则有c 21＝4＋12＝16，c 1＝4，∴e 1＝c 12＝2.∴e ＝135－2＝35，即ca ＝35. ①又b ＝c 1＝4，② a 2＝b 2＋c 2，③ 由①②③可得a 2＝25.∴所求椭圆方程为x 225＋y 216＝1. 18．(本小题12分)已知顶点在原点，焦点在x 轴上的抛物线与直线y ＝2x ＋1交于P ，Q 两点，|PQ |＝15，求抛物线的方程．解：设抛物线的方程为y 2＝2px ，则⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝2px ，y ＝2x ＋1，消去y 得4x 2－(2p －4)x ＋1＝0，x 1＋x 2＝p －22，x 1x 2＝14.|PQ |＝1＋k 2|x 1－x 2|＝5(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝5⎝ ⎛⎭⎪⎫p －222－4×14＝15，则p 24－p ＝3，p 2－4p －12＝0，解得p ＝－2或p ＝6.∴y 2＝－4x 或y 2＝12x . 19．(本小题12分)已知圆M ：(x ＋1)2＋y 2＝1，圆N ：(x －1)2＋y 2＝9，动圆P 与圆M 外切并与圆N 内切，圆心P 的轨迹为曲线C .(1)求C 的方程．(2)若直线y ＝k (x －1)与曲线C 交于R ，S 两点，问是否在x 轴上存在一点T ，使得当k 变化时总有∠OTS ＝∠OTR ？若存在，请说明理由．解：(1)圆M 的圆心为M (－1,0)，半径r 1＝1；圆N 的圆心为N (1,0)，半径r 2＝3.设圆P 的圆心为P (x ，y )，半径为R .因为圆P 与圆M 外切并与圆N 内切，所以|PM |＋|PN |＝R ＋r 1＋r 2－R ＝r 1＋r 2＝4>|MN |＝2.由椭圆的定义可知，曲线C 是以M ，N 为左、右焦点，长半轴长为2，短半轴长为3的椭圆(左顶点除外)，其方程为x 24＋y 23＝1(x ≠－2)．(2)假设存在T (t,0)满足∠OTS ＝∠OTR .设R (x 1，y 1)，S (x 2，y 2)，联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k (x －1)，3x 2＋4y 2－12＝0，得(3＋4k 2)x 2－8k 2x ＋4k 2－12＝0，其中Δ＝144(k 2＋1)>0恒成立，由根与系数的关系得⎩⎨⎧x 1＋x 2＝8k 23＋4k 2，x 1x 2＝4k 2－123＋4k 2，①由∠OTS ＝∠OTR (显然TS ，TR 的斜率存在)，得k TS ＋k TR ＝0，即y 1x 1－t ＋y 2x 2－t ＝0.②由R ，S 两点在直线y ＝k (x －1)上，故y 1＝k (x 1－1)，y 2＝k (x 2－1)．代入②得k (x 1－1)(x 2－t )＋k (x 2－1)(x 1－t )(x 1－t )(x 2－t )＝k [2x 1x 2－(t ＋1)(x 1＋x 2)＋2t ](x 1－t )(x 2－t )＝0，即2x 1x 2－(t ＋1)(x 1＋x 2)＋2t ＝0，③将①代入③得8k 2－24－(t ＋1)8k 2＋2t (3＋4k 2)3＋4k 2＝6t －243＋4k2＝0，④要使得④与k 的取值无关，当且仅当t ＝4时成立．故存在T (4,0)，使得当k 变化时，总有∠OTS ＝∠OTR .20．(本小题12分)已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的离心率为233，过点A (0，－b )和B (a,0)的直线与原点的距离为32. (1)求双曲线C 的方程；(2)直线y ＝kx ＋m (km ≠0)与该双曲线C 交于不同的两点C ，D ，且C ，D 两点都在以点A 为圆心的同一圆上，求m 的取值范围．解：(1)依题意⎩⎪⎨⎪⎧c a ＝233，ab a 2＋b 2＝32，a 2＋b 2＝c 2，解得a 2＝3，b 2＝1.所以双曲线C 的方程为x 23－y2＝1.(2)⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋m ，x 23－y 2＝1，消去y 得，(1－3k 2)x 2－6kmx －3m 2－3＝0，由已知：1－3k 2≠0且Δ＝12(m 2＋1－3k 2)>0⇒m 2＋1>3k 2①设C (x 1，y 1)，D (x 2，y 2)，CD 的中点P (x 0，y 0)，则x 0＝x 1＋x 22＝3km 1－3k 2，y 0＝kx 0＋m ＝m 1－3k 2，因为AP ⊥CD ，所以k AP ＝m1－3k 2＋13km 1－3k 2－0＝m ＋1－3k 23km ＝－1k，整理得3k 2＝4m ＋1，②联立①②得m 2－4m >0，所以m <0或m >4，又3k 2＝4m ＋1>0，所以m >－14，因此－14<m <0或m >4.21．(本小题12分)已知点A (x 1，y 1)，D (x 2，y 2)(其中x 1<x 2)是曲线y 2＝4x (y ≥0)上的两点，A ，D 两点在x 轴上的射影分别为点B ，C ，且|BC |＝2.(1)当点B 的坐标为(1,0)时，求直线AD 的斜率；(2)记△OAD 的面积为S 1，梯形ABCD 的面积为S 2，求证：S 1S 2<14.解：(1)因为B (1,0)，所以A (1，y 1)，代入y 2＝4x ，得到y 1＝2.又|BC |＝2，所以x 2－x 1＝2，所以x 2＝3.代入y 2＝4x ，得到y 2＝2 3.所以k AD ＝y 2－y 1x 2－x 1＝23－22＝3－1.(2)证明：直线OD 的方程为y ＝y 2x 2x ，所以点A 到直线OD 的距离为d ＝|x 1y 2－x 2y 1|x 22＋y 22.又|OD |＝x 22＋y 22，所以S 1＝12|OD |d ＝12|x 1y 2－x 2y 1|.又S 2＝12(y 1＋y 2)(x 2－x 1)＝y 1＋y 2，所以S 1S 2＝12|x 1y 2－x 2y 1|(y 1＋y 2)＝|x 1y 2－x 2y 1|2(y 1＋y 2)＝⎪⎪⎪⎪y 214y 2－y 224y 12(y 1＋y 2)＝y 1y 2|y 1－y 2|8(y 1＋y 2)，因为⎩⎪⎨⎪⎧y 21＝4x 1，y 22＝4x 2，所以y 22－y 21＝4(x 2－x 1)＝8，所以S 1S 2＝y 1y 2|y 1－y 2|8(y 1＋y 2)＝y 1y 2|y 1－y 2|(y 22－y 21)(y 1＋y 2)＝y 1y 2(y 1＋y 2)2，因为y 1＋y 2≥2y 1y 2，当且仅当y 1＝y 2时取等号，又y 1≠y 2，所以S 1S 2<y 1y 24y 1y 2＝14.22．(本小题12分)已知抛物线C ：y 2＝2px (p >0)的焦点为F ，A 为C 上异于原点的任意一点，过点A 的直线l 交C 于另一点B ，交x 轴的正半轴于点D ，且有|F A |＝|FD |.当点A 的横坐标为3时，△ADF 为正三角形．(1)求C 的方程．(2)若直线l 1∥l ，且l 1和C 有且只有一个公共点E ， ①证明直线AE 过定点，并求出定点坐标．②△ABE 的面积是否存在最小值？若存在，请求出最小值；若不存在，请说明理由．解：(1)由题意知F ⎝⎛⎭⎫p 2，0.设D (t,0)(t >0)，则FD 的中点为⎝ ⎛⎭⎪⎫p ＋2t 4，0.因为|F A |＝|FD |，由抛物线的定义知3＋p2＝⎪⎪⎪⎪t －p 2，解得t ＝3＋p 或t ＝－3(舍去)．当点A 的横坐标为3时，△ADF 为正三角形，所以由p ＋2t4＝3，解得p ＝2.所以抛物线C 的方程为y 2＝4x .(2)①证明：由(1)知F (1,0)．设A (x 0，y 0)(x 0y 0≠0)，D (x D,0)(x D >0)，因为|F A |＝|FD |，则|x D－1|＝x 0＋1.由x D >0得x D ＝x 0＋2，故D (x 0＋2,0)．故直线AB 的斜率k AB ＝－y 02，因为直线l 1和直线AB 平行，设直线l 1的方程为y ＝－y 02x ＋b ，代入抛物线方程y 2＝4x 得y 2＋8y 0y －8b y 0＝0，由题意Δ＝64y 20＋32b y 0＝0，得b ＝－2y 0.设E (x E ，y E )，则y E ＝－4y 0，x E ＝4y 20＝1x 0.当y 20≠4时，k AE ＝y E －y 0x E －x 0＝－4y 0＋y 04y 20－y 204＝4y 0y 20－4，可得直线AE 的方程为y －y 0＝4y 0y 20－4(x －x 0)，由y 20＝4x 0，整理可得y ＝4y 0y 20－4(x －1)，直线AE 恒过点F (1,0)．当y 20＝4时，直线AE 的方程为x ＝1，过点F (1,0)．所以直线AE 过定点F (1,0)． ②由①知直线AE 过焦点F (1,0)，所以|AE |＝|AF |＋|FE |＝(x 0＋1)＋⎝⎛⎭⎫1x 0＋1＝x 0＋1x 0＋2. 设直线AE 的方程为x ＝my ＋1.因为点A (x 0，y 0)在直线AE 上，故m ＝x 0－1y 0.设B (x 1，y 1)，直线AB 的方程为y －y 0＝－y 02(x －x 0)．由于y 0≠0，可得x ＝－2y 0y ＋2＋x 0，代入抛物线方程得y 2＋8y 0y －8－4x 0＝0，所以y 0＋y 1＝－8y 0，可得y 1＝－y 0－8y 0，x 1＝4x 0＋x 0＋4.所以点B 到直线AE 的距离为d ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪4x 0＋x 0＋4＋m ⎝ ⎛⎭⎪⎫y 20＋8y 0－11＋m 2＝4(x 0＋1)x 0＝4⎝⎛⎭⎫x 0＋1x 0. 则△ABE 的面积S ＝12×4⎝⎛⎭⎫x 0＋1x 0·⎝⎛⎭⎫x 0＋1x 0＋2≥16.当且仅当1x 0＝x 0，即x 0＝1时等号成立．所以△ABE 的面积的最小值为16.。

1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。

章末质量评估(二)一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．抛物线y ＝4x 2的焦点坐标是 ( )．A ．(0，1)B ．(1，0)C ．(0，116)D ．(116，0) 解析将抛物线方程变为x 2＝2×18y ，知p ＝18，又焦点在y 轴上，且开口向上，所以它的焦点坐标为(0，116)．答案 C2．已知椭圆x 225＋y 216＝1上一点P 到椭圆一个焦点的距离为3，则点P 到另一焦点的距离为( )．A ．2B ．3C ．5D ．7 解析点P 到椭圆的两个焦点的距离之和为2a ＝10，10－3＝7.选D. 答案 D3．以抛物线y 2＝4x 的焦点为圆心，且过坐标原点的圆的方程为 ( )．A ．x 2＋y 2＋2x ＝0B ．x 2＋y 2＋x ＝0C ．x 2＋y 2－x ＝0D ．x 2＋y 2－2x ＝0解析因为已知抛物线的焦点坐标为(1，0)，所以所求圆的圆心为(1，0)，又圆过原点，所以圆的半径r ＝1，故所求圆的方程为(x －1)2＋y 2＝1，即x 2＋y 2－2x ＝0，故选D. 答案 D4．以椭圆x 216＋y 29＝1的顶点为顶点，离心率为2的双曲线方程是 ( )． A.x 216－y 248＝1 B.x 29－y 227＝1 C.x 216－y 248＝1或y 29－x 227＝1 D ．以上都不对解析当顶点为(±4，0)时，a ＝4，c ＝8，b ＝43，x 216－y 248＝1；当顶点为(0，±3)时，a ＝3，c ＝6，b ＝33，y 29 －x 227＝1. 答案 C5．已知椭圆与双曲线x 23－y 22＝1有共同的焦点，且离心率为15，则椭圆的标准方程为 ( )． A.x 220＋y 225＝1 B.x 225＋y 220＝1 C.x 225＋y 25＝1 D.x 25＋y 225＝1 解析双曲线x 23－y 22＝1中a 12＝3，b 12＝2，则c 1＝a 12＋b 12＝5，故焦点坐标为(－5， 0)，(5，0)，故所求椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的c ＝5，又椭圆的离心率e ＝c a ＝15，则a ＝5，a 2＝25，b 2＝a 2－c 2＝20，故椭圆的标准方程为x 225＋y 220＝1. 答案 B6．已知椭圆x 241＋y 225＝1的两个焦点为F 1，F 2，弦AB 过点F 1，则△ABF 2的周长为 ( )． A ．10 B ．20 C ．241 D ．441解析 |AB |＋|BF 2|＋|AF 2|＝|AF 1|＋|BF 1|＋|B F 2|＋|AF 2|＝(|AF 1|＋|AF 2|)＋(|BF 1|＋|BF 2|)＝4a ＝441.答案 D7．双曲线x 2a 2－y 2b2＝1的两条渐近线互相垂直，那么该双曲线的离心率是 ( )． A ．2 B. 3 C. 2 D.32解析双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1的两条渐近线方程为y ＝±b a x ，依题意 b a ·(－b a ) ＝－1，故b 2a2＝1，所以c 2－a 2a2＝1即e 2＝2，所以双曲线的离心率e ＝ 2.故选C. 答案 C8．已知椭圆x 2sin α－y 2cos α＝1(0≤α<2π)的焦点在y 轴上，则α的取值范围是 ( )．A ．(34π，π)B ．(π4，34π) C ．(π2，π) D ．(π2，34π) 解析椭圆方程化为x 21sin α＋y 2－1cos α＝1. ∵椭圆焦点在y 轴上，∴－1cos α>1sin α>0. 又∵0≤α<2π，∴π2<α<3π4. 答案 D9．抛物线y ＝2x 2上两点A (x 1，y 1)、B (x 2，y 2)关于直线y ＝x ＋m 对称，且x 1·x 2＝－12，则m 等于 ( )． A.32 B ．2 C.52D ．3 解析依题意k AB ＝y 2－y 1x 2－x 1＝－1，而y 2－y 1＝2(x 22－x 12)，得x 2＋x 1＝－12，且(x 2＋x 12，y 2＋y 12) 在直线y ＝x ＋m 上，即y 2＋y 12＝x 2＋x 12＋m ， y 2＋y 1＝x 2＋x 1＋2m ，∴2(x 22＋x 12)＝x 2＋x 1＋2m ，2[(x 2＋x 1)2－2x 2x 1]＝x 2＋x 1＋2m ，2m ＝3，m ＝32. 答案 A10．已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的两条渐近线均和圆C ：x 2＋y 2－6x ＋5＝0相切，且双曲线的右焦点为圆C 的圆心，则该双曲线的方程为 ( )． A.x 25－y 24＝1 B.x 24－y 25＝1 C.x 23－y 26＝1 D.x 26－y 23＝1 解析圆心的坐标是(3，0)，圆的半径是2，双曲线的渐近线方程是bx ±ay ＝0，c ＝3，根据已知得3b a 2＋b2＝2，即3b 3＝2，解得b ＝2，得a 2＝c 2－b 2＝5，故所求的双曲线方程是x 25 －y 24＝1. 答案 A二、填空题(本大题共4小题，每小题4分，共16分，把答案填在题中横线上．)11．已知点(－2，3)与抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点的距离是5，则p ＝________.解析 ∵抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点坐标是(p 2，0)，由两点间距离公式，得（p 2＋2）2＋（－3）2＝5.解得p ＝4. 答案 412．若椭圆x 2＋my 2＝1的离心率为32，则它的长半轴长为________．解析当0<m <1时， y 21m ＋x 21＝1，e 2＝a 2－b 2a 2＝1－m ＝34， m ＝14，a 2＝1m＝4，a ＝2；当m >1时，x 21＋y 21m＝1，a ＝1.应填1或2. 答案 1或213．已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)和椭圆x 216＋y 29＝1有相同的焦点，且双曲线的离心率是椭圆离心率的两倍，则双曲线的方程为________．解析由题意知，椭圆的焦点坐标是(±7，0)，离心率是74.故在双曲线中c ＝7，e ＝274 ＝c a ，故a ＝2，b 2＝c 2－a 2＝3，因此所求双曲线的方程是x 24－y 23＝1. 答案 x 24－y 23＝1 14．设椭圆的两个焦点分别为F 1，F 2，过F 2作椭圆长轴的垂线与椭圆相交，其中的一个交点为P ，若△F 1PF 2为等腰直角三角形，则椭圆的离心率是________．解析由题意知PF 2⊥F 1F 2，且△F 1PF 2为等腰直角三角形，所以|PF 2|＝|F 1F 2|＝2c ，|PF 1|＝2·2c ，从而2a ＝|PF 1|＋|PF 2|＝2c (2＋1)，所以e ＝2c 2a ＝12＋1＝2－1. 答案 2－1三、解答题(本大题共5小题，共54分，解答时应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤)15．(10分)双曲线C 与椭圆x 28＋y 24＝1有相同的焦点，直线y ＝3x 为C 的一条渐近线．求双曲线C 的方程．解设双曲线方程为x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)．由椭圆x 28＋y 24＝1，求得两焦点为(－2，0)，(2，0)， ∴对于双曲线C ：c ＝2.又y ＝3x 为双曲线C 的一条渐近线，∴b a＝3，解得a 2＝1，b 2＝3， ∴双曲线C 的方程为x 2－y 23＝1. 16．(10分)双曲线与椭圆有共同的焦点F 1(0，－5)、F 2(0，5)，点P (3，4)是双曲线的渐近线与椭圆的一个交点，求双曲线与椭圆的方程．解由共同的焦点F 1(0，－5)、F 2(0，5)，可设椭圆方程为y 2a 2＋x 2a 2－25＝1；双曲线方程为y 2b 2－x 225－b 2＝1，点P (3，4)在椭圆上，16a 2＋9a 2－25＝1，a 2＝40，双曲线的过点P (3，4)的渐近线为y ＝b 25－b 2x ，即4＝b 25－b2×3，b 2＝16. 所以椭圆方程为y 240＋x 215＝1；双曲线方程为y 216－x 29＝1. 17．(10分)已知抛物线y 2＝2x ，直线l 过点(0，2)与抛物线交于M ，N 两点，以线段MN 的长为直径的圆过坐标原点O ，求直线l 的方程．解由题意知直线l 的斜率存在，设为k ，则直线l 的方程为y ＝kx ＋2(k ≠0)，解方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋2，y 2＝2x ，消去x 得ky 2－2y ＋4＝0，Δ＝4－16k >0⇒k <14(k ≠0)，设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，则y 1＋y 2＝2k ，y 1·y 2＝4k， ⎩⎨⎧x 1＝12y 12x 2＝12y 22⇒x 1·x 2＝14(y 1·y 2)2＝4k 2 OM ⊥ON ⇒k OM ·k ON ＝－1，∴x 1·x 2＋y 1·y 2＝0，∴4k 2＋4k＝0，解得k ＝－1. 所以所求直线方程为y ＝－x ＋2，即x ＋y －2＝0.18．(12分)已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的一个顶点为A (0，1)，离心率为22，过点B (0，－2)及左焦点F 1的直线交椭圆于C ，D 两点，右焦点设为F 2.(1)求椭圆的方程；(2)求△CDF 2的面积．解 (1)易得椭圆方程为x 22＋y 2＝1. (2)∵F 1(－1，0)，∴直线BF 1的方程为y ＝－2x －2，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－2x －2x 22＋y 2＝1得9x 2＋16x ＋6＝0. ∵Δ＝162－4×9×6＝40>0，所以直线与椭圆有两个公共点，设为C (x 1，y 1)，D (x 2，y 2)，则⎩⎨⎧x 1＋x 2＝－169，x 1·x 2＝23，∴|CD |＝1＋（－2）2|x 1－x 2| ＝5·（x 1＋x 2）2－4x 1x 2 ＝5·（－169）2－4×23＝1092，又点F 2到直线BF 1的距离d ＝455，故S △CDF 2＝12|CD |·d ＝4910. 19．(12分)已知抛物线y 2＝4x 截直线y ＝2x ＋m 所得弦长AB ＝35，(1)求m 的值；(2)设P 是x 轴上的一点，且△ABP 的面积为9，求P 的坐标．解 (1)由⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝4x ，y ＝2x ＋m ，得4x 2＋4(m －1)x ＋m 2＝0 由根与系数的关系得x 1＋x 2＝1－m ，x 1·x 2＝m 24， |AB |＝1＋k 2（x 1＋x 2）2－4x 1x 2 ＝1＋22（1－m ）2－4·m 24＝5（1－2m ）. 由|AB |＝35，即5（1－2m ）＝35⇒m ＝－4.(2)设P (a ，0)，P 到直线AB 的距离为d ，则d ＝|2a －0－4|22＋（－1）2＝2|a －2|5，又S △ABP ＝12|AB |·d ，则d ＝2·S △ABP |AB |， 2|a －2|5＝2×935⇒|a －2|＝3⇒a ＝5 或a ＝－1，故点P 的坐标为(5，0)和(－1，0)．。