2020届上海市普陀区高三三模质量检测数学试题(解析版)

2020届上海市普陀区高三三模质量检测数学试题一、单选题1．若样本平均数为x ，总体平均数为μ，则( ) A ．x μ= B ．x μ≈C ．μ是x 的估计值D ．x 是μ的估计值 【答案】D【解析】样本平均数为x ，总体平均数为μ，统计学中，利用样本数据估计总体数据，∴样本平均数x 是总体平均数μ的估计值，故选D .2．记n S 为数列{}n a 的前n 项和．“对任意正整数n ，均有0n a >”是“{}n S 为递增数列”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】A【解析】利用单调性的定义和举特例来判断两个条件的充分性和必要性关系. 【详解】当0n a >时，则()102,n n n S S a n n N *--=>≥∈，1n n S S -∴>，则“对任意正整数n ，均有0n a >”是“{}n S 为递增数列”的充分条件； 如数列{}n a 为1-、1、2、3、4、，显然数列{}n S 是递增数列，但是n a 不一定大于零，还有可能小于或等于零，所以，“对任意正整数n ，均有0n a >”不是“{}n S 为递增数列”的必要条件， 因此，“对任意正整数n ，均有0n a >”是“{}n S 为递增数列”的充分不必要条件， 故选A. 【点睛】本题考查充分条件、必要条件的判断，判断时可结合单调性的定义或特例来进行判断，考查推理能力，属于中等题.3．设P 为双曲线2221x y a-=（0a >）的上一点，1223F PF π∠=，（12F F 、为左、右焦点），则12F PF ∆的面积等于（ ）A ．2B ．23a C ．3D ．3【答案】C【解析】先利用双曲线的定义，得12||||2PF PF a -=，利用余弦定理求出12||||F P P F ⋅的值，结合三角形的面积公式即可求出12F PF △的面积． 【详解】双曲线2221(0)x y a a-=>，则1b =不妨设P 是双曲线的右支上一点， 则由双曲线的定义，得12||||2PF PF a -= 则1223F PF π∠=, 所以222121224||||2||||cos3c PF PF PF PF π=+-⋅ 221212||||+||||PF PF PF PF =+⋅ 21212(||||)3||||PF PF PF PF =-+⋅所以2212443||||c a PF PF =+⋅，即222123||||4444PF PF c a b ⋅=-==所以124||||3PF PF ⋅=所以12121214||||sin 232323F PF S PF PF π=⋅=⨯⨯=△ 故选：C 【点睛】本题考查三角形面积的求法，根据双曲线的定义结合余弦定理将条件进行转化是解决本题的关键，解题时要认真审题，注意双曲线定义、余弦定理的灵活运用，属于中档题． 4．下列四个图象，只有一个符合()112233123123,,0y k x b k x b k x b k k k R b b b +=+++-+∈≠的图象，则根据你所判断的图象，1k 、2k 、3k 之间一定满足的关系是（ ）A ．123k k k +=B ．123k k k ==C ．123k k k +>D ．123k k k +<【答案】A 【解析】【详解】因为()112233123123,,0y k x b k x b k x b k k k R b b b +=+++-+∈≠， 所以x 足够小时，，x 足够大时，可见，折线的两端斜率必定为相反数，此时123k k k +=，只有第二个图象符合，故选A.二、填空题5．已知集合{|2,}A x x k k ==∈Z ，{|22}B x x =-≤≤，则A B =________【答案】{2,0,2}-【解析】利用集合的交运算即可求解. 【详解】由集合{|2,}A x x k k ==∈Z ，{|22}B x x =-≤≤， 则AB ={2,0,2}-.故答案为：{2,0,2}- 【点睛】本题考查了集合的基本运算，解题的关键是理解集合中的元素特征，属于基础题. 6．在复平面内，点()2,1A -对应的复数z ，则1z +=___________2【解析】由点的坐标写出复数，再计算。

【详解】由题意2z i =-+，∴12112z i i +=-++=-+=2。

【点睛】本题考查复数的几何意义，考查复数的模，属于基础题。

7．满足sin 30cos 1x x=的实数x 的取值范围是______．【答案】,3x k k Z ππ=+∈【解析】试题分析：sin 3cos 0x x -=，即2sin 03x π⎛⎫-= ⎪⎝⎭，∴,3x k k Z ππ=+∈． 【考点】行列式8．已知向量a 与b 的夹角为60︒，2a =，3b =，则32a b -=__________. 【答案】6.【解析】求出2(32)a b -即得解. 【详解】由题意，向量,a b 的夹角为60,2,3a b ==，所以22222(32)9124921223cos604336a b a a b b -=-⋅+=⨯-⨯⨯+⨯=， 所以326a b -=. 故答案为：6 【点睛】本题主要考查向量模的计算，考查向量的数量积运算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.9．若圆锥的侧面积与过轴的截面面积之比为2π，则其母线与轴的夹角的大小为 ． 【答案】3π【解析】由题意得：1:(2)222rl h r l h ππ⋅=⇒=⇒母线与轴的夹角为3π 【考点】圆锥轴截面【名师点睛】掌握对应几何体的侧面积，轴截面面积计算方法.如 圆柱的侧面积，圆柱的表面积，圆锥的侧面积，圆锥的表面积，球体的表面积，圆锥轴截面为等腰三角形.10．若抛物线24y x =上一点M 到其焦点的距离等于2，则M 到其顶点的距离等于__________.【解析】根据抛物线的定义可知该点到准线的距离与其到焦点的距离相等，进而利用点到直线的距离求得x 的值，代入抛物线方程求得y 值，即可得到所求点的坐标，从而求得其到原点的距离． 【详解】 解：抛物线方程为24y x =，∴焦点为(1,0)F ，准线为:1l x =-，抛物线24y x =上一点P 到焦点的距离等于2，∴根据抛物线定义可知P 到准线的距离等于2，即12x +=，解之得1x =，代入抛物线方程求得2y =±，∴点P 坐标为：(1,2)±=【点睛】本题主要考查了抛物线的简单性质．在涉及焦点弦和关于焦点的问题时常用抛物线的定义来解决，属于基础题．11．在()2nx -的展开式中，只有第三项的二项式系数最大，则含x 项的系数等于__________. 【答案】32-【解析】根据二项展开式的性质，求得4n =，得出展开式的通项为414(2)r r r r T C x -+=-，结合通项，即可求解. 【详解】由题意，在()2nx -的展开式中，只有第三项的二项式系数最大， 根据二项展开式的性质，可得132n+=，解得4n =， 所以该二项式为()42x -，则展开式的通项为44144(2)(2)r r r r r rr T C x C x --+=-=-，令41r -=，可得3r =，所以含x 项的系数为334(2)32C -=-. 故答案为：32-. 【点睛】本题主要考查了二项展开式中的二项式系数的性质，以及指定项系数的求解，其中解答中熟记展开式中二项式系数的性质和二项展开式的通项是解答的关键，意在考查推理与运算能力.12．已知54262+5130NNx yx yxy+≤⎧⎪-≤⎪⎨∈⎪⎪∈⎩，则目标函数2010z x y=+的最大值为________.【答案】100【解析】由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合求得目标函数的最大值．【详解】作出由不等式组满足的平面区域，如图将目标函数2010z x y=+化为210zy x=-+由图可知，当直线210zy x=-+过点(5,0)A时直线210zy x=-+在y轴上的截距最大，此时z有最大值100,故答案为：100.【点睛】本题考查简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，是中档题．13．设函数()sin()(0)6f x xπωω=+>，若关于x的方程()1f x=在区间[0,]π上有且仅有两个不相等的实根，则ω的最大整数值为__________.【答案】4【解析】利用换元法求出π6xω+的取值范围，再根据三角函数的图象得到ω的不等式，即可得答案；【详解】令π6t xω=+，[0π]x∈，，∴ππ666xπωωπ≤+≤+，siny t=的图象如图所示，关于x的方程()1f x=在区间[0π]，上有且仅有两个不相等的实根，∴sin1y t==在π[,]66πωπ+上有且仅有两个不相等的实根，∴5π971326233ππωπω≤+<⇒≤<，∴ω的最大整数值为4，故答案为：4.【点睛】本题考查利用换元法和图象法解三角方程，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力、运算求解能力，求解时注意换元后新元的取值范围，属于中档题. 14．设(),A a r，(),B b s为函数2logy x=图像上两点，其中a b>.已知直线AB的斜率为2，且||5AB=ab=__________.【答案】4【解析】根据条件建立方程组求解即可.【详解】因为(),A a r，(),B b s为函数2logy x=图像上两点，其中a b>,直线AB的斜率为2，且||5AB=所以()()2222loglog25a rb ss rb aa b r s=⎧⎪=⎪⎪-⎨=⎪-⎪-+-=⎪⎩解得2241,,log3,2log333a b s r===-=-所以4ab=故答案为：4【点睛】本题主要考查的是直线的斜率和两点间的距离公式，考查了学生的计算能力，属于基础题.15．设点O 为ABC 的外心，且3A π=，若(),R AO AB AC αβαβ=+∈，则αβ+的最大值为_________. 【答案】23【解析】利用平面向量线性运算整理可得()1OA OB OC αβαβ+-=+，由此得到1αβ+<；由3A π=可求得cos BOC ∠，设外接圆半径为R ，将所得式子平方后整理可得()213αβαβ+=+，利用基本不等式构造不等关系，即可求得所求最大值. 【详解】()()AO AB AC OB OA OC OA αβαβ=+=-+-()1OA OB OC αβαβ∴+-=+ 10αβ∴+-<，即1αβ+<，1cos 2A =1cos cos 22BOC A ∴∠==-， 设ABC 外接圆半径为R ，则()22222222222212cos R R R R BOC R R R αβαβαβαβαβ+-=++∠=+-，整理可得：()()22321313124αβαβαβαβ+⎛⎫+=+≤+⨯=++ ⎪⎝⎭， 解得：23αβ+≤或2αβ+≥（舍）,当且仅当13时，等号成立， αβ∴+的最大值为23.故答案为：23.【点睛】本题考查利用基本不等式求解最值的问题，关键是能够利用平面向量线性运算和平方运算将已知等式化为与外接圆半径有关的形式，进而消去外接圆半径得到变量之间的关系.16．若实数a ､b ､c 满足112a b c+=，则a ､b ､c 是调和的，设含有三个元素的集合P 是集合|0{202,M x x =≤ }x Z ∈的子集，当集合P 中的元素a ､b ､c 既是等差的又是调和的时候，称集合P 为“好集”，则三元子集中“好集”的概率是__________. 【答案】332643198【解析】由已知求得集合P ，确定其个数，根据古典概率公式可求得答案． 【详解】 因为112a b c+=，且2a c b +=，所以()()+20a b a b -=，所以a b =（舍去）或2a b =-，所以4c b =，所以{}2,,4P b b b =-，又42020,b ≤解得505505b -≤≤，且,0b Z b ∈≠，所以三元子集中“好集”P 共1010个，所求的概率为340411010332643198C =， 故答案为：332643198．【点睛】本题考查集合的新定义，理解其含义是关键，将问题转化为方程组和不等式的问题，属于中档题．三、解答题17．在ABC 中，a ，b ，c 分别为内角,,A B C 所对的边，已知cos a A R =，其中R 为ABC外接圆的半径，2223a cb S +-=，其中S 为ABC 的面积． （1）求sin C ； （2）若a b -=ABC 的周长．【答案】（1）4+；（2）22+． 【解析】（1）由正弦可得R 2sin aA=，进而可得sin21A =，从而得A ，结合余弦定理可得B ，再由()sin sin C A B =+即可得解；（2）由正弦定理得sin sin a A b B ==，从而可得a b ，，结合sin C 由正弦定理可得c ，从而得解. 【详解】（1）由正弦定理得cos 2sin aa A A=，sin21A ∴=，又022A π<<， 22A π∴=，则4A π=.由2221csin 32a c b a B +-=⋅⋅，由余弦定理可得2cos sin 3ac B ac B =，tan B ∴=0B π<<，=3B π∴，()sin sin sin 434C A B ππ⎛⎫∴=+=+=⎪⎝⎭. （2）由正弦定理得sin sin a A b B ==，又a b -=a b ⎧=⎪∴⎨=⎪⎩又sin C =422c ∴==2a b c ∴++=. 【点睛】解三角形的基本策略：一是利用正弦定理实现“边化角”，二是利用余弦定理实现“角化边；求三角形面积的最大值也是一种常见类型，主要方法有两类，一是找到边之间的关系，利用基本不等式求最值，二是利用正弦定理，转化为关于某个角的函数，利用函数思想求最值. 18．如图，直四棱柱1111ABCD A B C D -的底面是菱形，14AA =，2AB =，60BAD ∠=︒，E ､M ､N 分别是BC ､1BB ､1A D 的中点.（1）证明：//MN 平面1C DE ；（2）求直线AM 与平面1C DE 所成角的大小. 【答案】（1）证明见解析；（2）34arcsin68. 【解析】（1）过N 作NH AD ⊥，证明//NM BH ，//BH DE ，可得//NM DE ，由线面平行的判定可得//MN 平面1C DE ；（2）以D 为坐标原点，DA 所在直线为x 轴，DE 所在直线为y 轴，以1DD 所在直线为z 轴建立空间直角坐标系，求出平面1A ED 的一个法向量，由AM 与法向量所成角的余弦值可得结果． 【详解】 （1）如图所示，过点N 作NH AD ⊥，则1//NH AA ，且112NH AA =， 又1//MB AA ，且112MB AA =， ∴四边形NMBH 为平行四边形，则//NM BH ，由1//NH AA ，N 为1A D 中点，得H 为AD 中点，而E 为BC 中点，//BE DH ∴，且BE DH =，∴四边形BEDH 为平行四边形，则//BH DE ，//NM DE ∴，NM ⊂/平面1C DE ，DE ⊂平面1C DE ，//MN ∴平面1C DE ；（2）以D 为坐标原点，DA 所在直线为x 轴，DE 所在直线为y 轴，1DD 所在直线为z 轴建立空间直角坐标系D xyz -，则()2,0,0A ，()12,0,4A ，3,2,)M ，()1,0,2N ，3,0)E ，()11,0,4C - ()11,0,4DC =-，(0,3,0)DE =，设(,,)n u v w =为平面1C DE 的一个法向量，则400u w v -+=⎧⎨=⎩，可得(1,0,4)n =因为(3,2)AM =-，设AM 与n 所成锐角为θ， 则||734cos ||||2217AM n AM n θ⋅===所以AM 与平面1C DE 所成角的大小的大小为734. 【点睛】本题考查了直线与平面平行的判定问题，也考查了空间想象能力与思维能力，以及利用空间向量求解线面角问题，是中档题．19．某公司经过测算投资x 百万元，投资项目A 与产生的经济效益y 之间满足：()212124y f x x x ==-++，投资项目B 产生的经济效益y 之间满足：()21413y h x x x ==-++．（1）现公司共有1千万资金可供投资，应如何分配资金使得投资收益总额最大？（2）投资边际效应函数()()()1F x f x f x =+-，当边际值小于0时，不建议投资，则应如何分配投资？【答案】（1）投资A 项目4百万，投资B 项目6百万，（2）投资A 项目350万元，投资B 项目550万元．【解析】试题分析：（1）根据题意，建立收益函数关系式：投资A 项目x 百万，投资B 项目10-x 百万，则()()()271042912y f x h x x =+-=--+，根据二次函数最值求法得投资A 项目4百万，投资B 项目6百万，收益总额最大．（2）由题意得不等式：()()()()1121204F x f x f x x =+-=-++≥，解得72x ≤，因此投资A 项目350万元，投资B 项目550万元．试题解析：解：（1）()()()271042912y f x h x x =+-=--+，即投资A 项目4百万，投资B 项目6百万，收益总额最大． （2）()()()()1121204F x f x f x x =+-=-++≥，解得72x ≤，投资A 项目350万元，同理可得，应投资B 项目550万元． 【考点】函数实际应用20．设椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>，直线(:,)l y kx t k t =+∈R ，O 为坐标原点.（1）设点P 在C 上，且C 的焦距为2，求C 的方程；（2）设l 的一个方向向量为，且l 与（1）中的椭圆C 交于A .B 两点，求证：22||||OA OB + 为常数；（3）设直线l 与椭圆C 交于A .B 两点，是否存在常数k ，使得22||||OA OB +的值也为常数？若存在，求出k 的表达式及22||||OA OB +的值；若不存在，请说明理由.【答案】（1）22:132x y C +=；（2）证明详见解析；（3）存在，b k a =±. 【解析】（1）由点在椭圆上代入坐标，再和1c =组成方程组可得解；（2）直线与椭圆方程联立，利用韦达定理结合2222221122||||OA OB x y x y +=+++可得答案；（3）直线与椭圆方程联立，利用韦达定理结合2222221122||||OA OB x y x y +=+++并算出它的表达式，观察结构取特殊情况，可得答案. 【详解】（1）由点P 在椭圆上，得223112a b+=，22c =， ∴2222322b a a b +=，1c =， 又222a b c =+，∴222232(1)2(1)b b b b ++=+，∴422320b b --=，解得22b =，23a =，∴椭圆22:132x y C +=.（2）由条件得直线:3l y x t =+由22236y x t x y ⎧=+⎪⎨⎪+=⎩，得224360x t ++-=， 设()()1122,,,A x y B x y ，∴12x x +=-212364t x x -=，11y x t =+，22y x t =+所以2222221122||||OA OB x y x y +=+++，())2212121252253x x x x x x t ⎡⎤=+-+++=⎣⎦，得证. （3）由222222y kx tb x a y a b =+⎧⎨+=⎩，得 ()22222222220ba k x a ktx a t ab +++-=，∴2122222a kt x x a k b +=-+，222212222a t a b x x a k b -=+，又222112(1)x y b a =-，222222(1)x y b a=-，所以2222221122||||OA OB x y x y +=+++()22212122122b x x x x b a ⎛⎫⎡⎤=-+-+ ⎪⎣⎦⎝⎭()2422222222222222242212b a k t a t a b b a a k b a k b ⎡⎤⎛⎫-⎢⎥=--+ ⎪+⎢⎥⎝⎭+⎣⎦()()()222222222222222222212a t a k b a b a k b b b a a k b ⎡⎤-++⎛⎫⎢⎥=-+ ⎪⎢⎥⎝⎭+⎣⎦ 要使22||||OA OB +为常数，只需222b k a=，此时2222||||OA OB a b +=+.所以，存在b k a=±，使得2222||||OA OB a b +=+. 【点睛】本题考查椭圆的标准方程、直线和椭圆的位置关系，椭圆中定值的问题.21．已知数列1210,,,a a a ⋯满足：对任意的,{1,2,3,4,5,6,7,8,9,10}i j ∈，若i j ≠，则i j a a ≠，且{1,2,3,4,5,6,7,8,9,10}i a ∈，设集合{}121,2,3,4,5,6,|7,8i i i A a a a i ++=++=，集合A 中元素最小值记为()m A ，集合A中元素最大值记为()n A ，如数列：7,6,2,8,3,4,9,1,5,10时，{}13,14,15,16A =，()13m A =，()16n A =.（1）已知数列：10,6,1,2,7,8,3,9,5,4，写出集合()m A 及()n A ； （2）求证：不存在()18m A ≥，（3）求()m A 的最大值以及()n A 的最小值，并说明理由.【答案】（1）()9m A =，()20n A =；（2）证明详见解析；（3）()m A 的最大值为17，()n A 的最小值为16，理由详见解析.【解析】（1）根据题目，代入求解即可；（2）利用反证法证明即可，假设()18m A ≥，55S =，所以101a =可以推出11a =故假设不成立，所以不存在()18m A ≥；（3）欲使()m A 的最大值以及()n A 的最小值，先举例说明得到()17m A =是可能的，只需证明()n A 的最小值为16，再先证明()15n A ≤为不可能的，同理可以推出410a =，矛盾，假设不成立，所以()16n A ≥，而由已知条件得到()16n A =是可能的，分类讨论求解. 【详解】（1）{}17,9,10,18,20A =，()9m A =，()20n A =.（2）假设()18m A ≥，设()()()1234567918055S a a a a a a a a a a =+++++++++= 则1010553()318S m A a a =≥+=⨯+即101a ≤，因为11,2,3,(1),0i a i ≥=⋯，所以101a =.同理，设()()()1234567918055S a a a a a a a a a a =+++++++++= 可以推出11a =，1,2,10()i i a =中有两个元素为1，与题设矛盾，故假设不成立，所以不存在()18m A ≥.（3）()m A 的最大值为17，()n A 的最小值为16. ①例如数列：1,6,10,2,7,8,3,9,5,4.此时{}17,18,19,20A =，()17m A =，()20n A =. 得到()17m A =是可能的.②现只需证明：()n A 的最小值为16.先证明()15n A ≤为不可能的，假设域()15n A ≤.设()()()1234567918055S a a a a a a a a a a =+++++++++=， 可得11553()315n A a a +⨯+≤≤，即110a ≥，元素最大值为10，所以110a =.又()()()12345679810a a a a a a a a a a +++++++++44553()315n A a a =≤+≤⨯+，同理可以推出410a =，矛盾，假设不成立，所以()16n A ≥. 而由已知条件得到()16n A =是可能的， 所以()n A 的最小值为16. 【点睛】主要考查反证法的证明、数列与不等式，要用到类比推理和归纳推理的数学思想，属于难题.。