4.2合理下料问题
钢管下料问题
钢管下料摘要在生活中常遇到通过切割、剪裁、等手段，将原材料加工成所需尺寸的工艺过程，称为原料下料问题。
按照进一步工艺要求，确定下料方案，使用料最省或利润最大。
本文研究的是钢管下料问题。
用数学规划模型确定切割方案，使其既能满足顾客需求，又能用料最省。
对于问题(1)，以按照第i 种模式(1,2,,7i =)切割的原料钢管的根数为研究对象，确定下料方案，使其用料最省。
①以切割后剩余的总余料量最小为目标建立整数线性规划模型如下：7171min ,1,2,3..0,1,2,,7i ii ji i j i iz c x a x b j s t x i ===⎧≥=⎪⎨⎪≥=⎩∑∑ 利用LINGO 软件进行求解得到一共需要切割27根原料钢管。
总余料量为27m 。
②以切割原料钢管的总根数最少为目标建立整数线性规划模型同上。
利用LINGO 软件进行求解得到一共需要切割25根原料钢管。
总余料量为35m 。
在余料没有什么用途的情况下，通常选择使用原料钢管的总根数最少为目标。
对于问题(2)，以所使用的第i 种切割模式下每根原料钢管生产4m ，5m ，6m ，和8m 的钢管数量为研究对象(1,2,3i =)，此处仅以切割原料钢管的总根数最少为目标，建立整数非线性规划模型如下：31314141min ,1,2,3,4,1,2,3..,1,2,30,1,2,3ii ji i j i j ji j j ji j iz y r y b j c r m i s t c r n i y i =====⎧≥=⎪⎪⎪≥=⎪⎨⎪⎪≤=⎪⎪≥=⎩∑∑∑∑ 利用LINGO 软件进行求解得到一共需要切割28根原料钢管。
此整数非线性规划模型的解并不唯一，本文仅给出其中一组解。
关键字：钢管下料，用料最省，切割模式，整数线性规划，整数非线性规划1. 问题重述某钢管零售商从钢管厂进货，将钢管按照顾客的要求切割后售出，从钢管厂进货时得到的原料钢管都是19m 。
【原创】下料方案专题一：合理下料问题
【原创】下料方案专题一：合理下料问题
问题描述： 从给定尺寸的材料中，按需要的尺寸截取给定数量的零件，使用料最少或残余废料总量最小的问题。 原型范例： 用长9米的原料截取3.1米200根，2.5米100根，1.7米300根，如何截取用料最少。 求解过程： 1：求解单根原材料截取零件的全部可行性方案。
方案 3.1米 2.5米 1.ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ米 废料长
123456789 221110000 102103210 010230235 0.3 1.1 0.9 0.0 0.8 1.5 0.6 1.4 0.5
2：建立数学模型 假定方案i(i=0,1,2,...,9)下料根数为xi，则： 目标函数：用料最少 Z=x1 + x2 + x3 + x4 + x5 + x6 + x7 + x8 + x9 约束方程：3.1米200根 2*x1 + 2*x2 + x3 + x4 + x5 = 200 2.5米100根 x1 + 2*x3 + x4 + 3*x6 + 2*x7 + x8 = 100 1.7米300根 x2 + 2*x4 + 3*x5 + 2*x7 + 3*x8 + 5*x9 = 300 非负约束 xi >= 0 (i=0,1,2,...,9) 整数约束 xi为整数(i=0,1,2,...,9) 3：求解 最优解为：x1=30, x2=35, x4=70, x9=25, x3=x5=x6=x7=x8=0
合理下料问题
0 0 3 5.4 0.6
0 1 2 5.8 0.2
0 2 0 4.4 1.6
1 0 1 4.6 1.4
1 1 0 5.0 1.0
2 0 0 5.6 0.4
（1）为了获得100套钢架，需要混合使用种下料方案。设按六种方案下料的原材料的 根数
合理下料问题
现要做100套钢架，每套由长2.8m，2.2m，1.8m的元钢各一根组成，已知原材料长6.0m， 问应如何下料，可以使原材料最省。 解： 由于要裁成的三种元钢的总长度是2.8m+2.2m+1.8m=6.8m,超过了原材料6m 的长度， 因此， 我们容易实现的裁法是：在原材料上分别裁下2.8m，2.2m的元钢各一根，这样要100根原材料 才能裁到100跟2.8m，2.2m的元钢，再来考虑如何裁得1.8m的元钢，由于一根原材料可以裁得 3根1.8m的元钢，这样要裁得100根1.8m的元钢，就需要原材料34根。采取上述裁法需134根原 材料方可裁得2.8m，2.2m，1.8m的元钢各100根。 但如果改用套裁，则可节约原材料。经过简单分析，我们得到几种可供套裁的方案，如 下表：
min z x1 x2 x3 x4 x5 x6 0 x1 0 x2 0 x3 1x4 1x5 2 x6 100, 0 x1 1x2 2 x3 0 x4 1x5 0 x6 100, 3x1 2 x2 0 x3 1x4 0 x5 0 x6 100, x1 , x2 , x3 , x4 , x5 , x6 0.
（2）利用单纯形法求解以上线性规划模型，通过WinQSB软件Linear and Integer Programming模型运算求解过程如下表所示： 输入数据。以电子表格形式输入变量系数矩阵和右端常数：
4.3 下料问题
两种 标准
2.所用原料钢管总根数最少 ������������������ ������2 = ������1 +������2 +������3 + ������4 + ������5 +������6 +������7
一般下料问题的最优解法
模 4米 6米 8米 余 式 根数 根数 根数 料
约束
������������ ≤ ������������������������ + ������������������������ + ������������������������ + ������������������������ ≤ ������������ ������������ ≤ ������������������������ + ������������������������ + ������������������������ + ������������������������ ≤ ������������ ������������ ≤ ������������������������ + ������������������������ + ������������������������ + ������������������������ ≤ ������������
大型下料问题的解法
53种零件的所 有 下料方式共 10307032
种
大型下料问题的解法
方法1：先下料最长的零件，直至下完，再下料次长的零件，尽量 利 用余料。。。
方法2：从零件的所有下料方式中挑选1种下料，完成部分零件的 下 料任务，再从剩余零件的所有下料方式中挑选一种下料。。。
下料问题-2
实用下料问题一．问题的重述“下料问题(cutting stock problem)”是把相同形状的一些原材料分割加工成若干个不同规格大小的零件的问题，此类问题在工程技术和工业生产中有着重要和广泛的应用. 这里的“实用下料问题”则是在某企业的实际条件限制下的单一材料的下料问题。
现考虑单一原材料下料问题. 设这种原材料呈长方形，长度为L ,宽度为W ，现在需要将一批这种长方形原料分割成m 种规格的零件, 所有零件的厚度均与原材料一致，但长度和宽度分别为),(,),,(11m m w l w l ，其中w i ＜m i W w L l i i ,,1,, . m 种零件的需求量分别为m n n ,,1 .下料时，零件的边必须分别和原材料的边平行。
这类问题在工程上通常简称为二维下料问题。
特别当所有零件的宽度均与原材料相等，即m i W w i ,,1, ，则问题称为一维下料问题。
一个好的下料方案首先应该使原材料的利用率最大，从而减少损失，降低成本，提高经济效益。
其次要求所采用的不同的下料方式尽可能少，即希望用最少的下料方式来完成任务。
因为在生产中转换下料方式需要费用和时间，既提高成本，又降低效率。
此外，每种零件有各自的交货时间，每天下料的数量受到企业生产能力的限制。
因此实用下料问题的目标是在生产能力容许的条件下，以最少数量的原材料，尽可能按时完成需求任务, 同时下料方式数也尽量地小。
现在我们要为某企业考虑下面两个问题。
1．建立一维单一原材料实用下料问题的数学模型, 并用此模型求解下列问题，制定出在生产能力容许的条件下满足需求的下料方案, 同时求出等额完成任务所需的原材料数，所采用的下料方式数和废料总长度. 单一原材料的长度为 3000mm, 需要完成一项有53种不同长度零件的下料任务. 具体数据见表一(略)，其中 i l 为需求零件的长度，i n 为需求零件的数量. 此外，在每个切割点处由于锯缝所产生的损耗为5mm. 据估计，该企业每天最大下料能力是100块 ，要求在4天内完成的零件标号(i )为: 5,7,9,12,15,18,20,25, 28,36,48；要求不迟于6天完成的零件标号(i )为:4,11,24,29,32,38,40,46,50。
运筹学
第一章： 建模合理下料问题例1-2：假定现有一批某种型号的圆钢长8m ，需要截取长的毛坯100根、长的毛坯200根，问应怎样选择下料方式，才能既满足需要，又使总的用料最少根据经验，可先将各种可能的搭配方案列出来，如表1-3所示。
例1-2′某一机床需要用甲、乙、丙三种规格的轴各一根，这些轴的规格分别是，,（m ），这些轴需要用同一种圆钢来做，圆钢长度为。
现在要制造100台机床，最少要用多少圆钢来生产这些轴 方案规格12345678需求量y 1 2 1 1 1 0 0 0 0 100 y 2 0 2 1 0 3 2 1 0 100 y 31 0 1 3 0234 100方案件数 毛坯I Ⅱ Ⅲ Ⅳ需要根数3 2 1 01000 2 4 6200目标函数 minf ＝C1x1+C2x2+…+Cnxn. a11x1+ a12x2+…+a1nxn ≥ b1 a21x1+ a22x2+…+a2nxn ≥ b2 ┇ ┇ ┇ ┇ am1x1+ am2x2+…+amnxn ≥ bmxj ≥0 (j ＝1，2，…，n)运输问题(物资调运问题)例1-3：设某种物资(例如煤炭)共有m 个产地A1、A2 、…、Am ，其产量分别为a1、a2、…、am ；另有n 个销地B1、B2、…、Bn 其销量分别为b1、b2、…、bn 。
已知由产地Ai(i ＝1，2，…，m)运往销地Bj(j ＝1，2，…，n)的单位运价为Cij ，如表1—6所示。
当产销平衡 m n(即∑ai=∑bj 时，问如何调运，才能使总运费最省方式 个 数毛 坯B 1 B 2 … B n需要毛坯数A1A2┇Ama 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n ┇ ┇ ┇ a m1 a m2 a mnb 1 b 2 ┇ b mi=1 j=1目标函数 min f=∑∑CijXij 最小i=1 j=1n∑Xij=ai （i＝1，2，…，m）j=1满足 m∑Xij=bj （ j＝1，2，…，n)i=1xij≥0 i＝1，2，…，m；j＝1，2，…，n)第二章：图解法整数规划步骤：写出模型，假设X1,X2…Xn是…1）作可行线2）作等值线3）平移等值线与可行线相交或相切于一点或直线4）例1：见笔记例2例1 某工厂在计划期内要安排工、Ⅱ两种产品的生产，已知生产单位产品所需的设备台时及A，B两种原材料的消耗，以及资源的限制，如下表所示。
下料问题
实用下料问题一．问题的重述“下料问题(cutting stock problem)”是把相同形状的一些原材料分割加工成若干个不同规格大小的零件的问题，此类问题在工程技术和工业生产中有着重要和广泛的应用. 这里的“实用下料问题”则是在某企业的实际条件限制下的单一材料的下料问题。
现考虑单一原材料下料问题. 设这种原材料呈长方形，长度为L ,宽度为W ，现在需要将一批这种长方形原料分割成m 种规格的零件, 所有零件的厚度均与原材料一致，但长度和宽度分别为),(,),,(11m m w l w l ，其中w i ＜mi W w L l i i ,,1,, =<<. m 种零件的需求量分别为m n n ,,1 .下料时，零件的边必须分别和原材料的边平行。
这类问题在工程上通常简称为二维下料问题。
特别当所有零件的宽度均与原材料相等，即m i W w i ,,1, ==，则问题称为一维下料问题。
一个好的下料方案首先应该使原材料的利用率最大，从而减少损失，降低成本，提高经济效益。
其次要求所采用的不同的下料方式尽可能少，即希望用最少的下料方式来完成任务。
因为在生产中转换下料方式需要费用和时间，既提高成本，又降低效率。
此外，每种零件有各自的交货时间，每天下料的数量受到企业生产能力的限制。
因此实用下料问题的目标是在生产能力容许的条件下，以最少数量的原材料，尽可能按时完成需求任务, 同时下料方式数也尽量地小。
现在我们要为某企业考虑下面两个问题。
1．建立一维单一原材料实用下料问题的数学模型, 并用此模型求解下列问题，制定出在生产能力容许的条件下满足需求的下料方案, 同时求出等额完成任务所需的原材料数，所采用的下料方式数和废料总长度. 单一原材料的长度为 3000mm, 需要完成一项有53种不同长度零件的下料任务. 具体数据见表一(略)，其中 i l 为需求零件的长度，i n 为需求零件的数量. 此外，在每个切割点处由于锯缝所产生的损耗为5mm. 据估计，该企业每天最大下料能力是100块 ，要求在4天内完成的零件标号(i )为: 5,7,9,12,15,18,20,25, 28,36,48；要求不迟于6天完成的零件标号(i )为:4,11,24,29,32,38,40,46,50。
数学建模合理下料问题
数学建模合理下料问题某钢管零售商从钢管厂进货，然后将钢管按照顾客的要求切割后售出，从钢管厂进货时，每根钢管的长度都是19米①现在有一客户需要50根4米、20根6米、15根8米的钢管，应如何下料最节省？②零售商如果采用的不同切割方式太多，将会导致生产过程的复杂化，从而增加生产和管理成本，所以该零售商规定采用的不同切割方式不能超过3种。
此外，该客户除需要①中的三种钢管外，还需要10根5米的钢管，应如何下料最省？(一)模型假设：1，假设钢管可以任意分割一根钢管可以有以下7种分法：①②③④⑤⑥⑦4米 4 3 2 1 1 0 06米0 1 0 2 1 3 08米0 0 1 0 1 0 2余料 3 1 3 3 1 1 3符号说明：x1-x7，表示对应分割方法下4，6,8米钢管的根数w , 表示所用的19米钢管数h , 表示余料模型分析：要求下料最节省，也即是所用的19米钢管数w最少。
客户需要50根4米、20根6米、15根8米的钢管，可以得到以下方程式：4x1+3x2+2x3+x4+x5>=50x2+2x4+x5+3x6>=20x3+x5+x7>=15Min h=3x1+x2+3x3+3x4+x5+x6+3x7模型求解：上述问题属于线性规划，它可以用单纯形法方法求解，也可以用LINDO软件求解。
用LINDO求解如下：直接输入min 3x1+x2+3x3+3x4+x5+x6+3x7subject to4x1+3x2+2x3+x4+x5=50x2+2x4+x5+3x6=20x3+x5+x7=15end将文件存储并命名后，选择菜单“solve”，并对提示“DO RANGE(SENSITIVITY)ANALYSIS”回答“是”或“否”。
即可得输出结果。
LP OPTIMUM FOUND AT STEP 4OBJECTIVE FUNCTION V ALUE1) 35.00000VARIABLE V ALUE REDUCED COSTX1 0.000000 0.000000X2 10.000000 0.000000X3 5.000000 0.000000X4 0.000000 4.750000X5 10.000000 0.000000X6 0.000000 4.750000X7 0.000000 1.500000模型假设：一根钢管可以有以下15种分法：⑴⑵⑶⑷⑸⑹⑺⑻⑼⑽⑾⑿⒀⒁⒂44 3 3 2 2 2 1 1 1 0 0 0 0 0 0 米0 1 0 2 1 0 3 1 0 2 2 1 1 0 0 5米0 0 1 0 1 0 0 0 1 1 0 2 1 3 0 6米0 0 0 0 0 1 0 1 1 0 1 0 1 0 2 8米3 2 1 1 0 3 0 2 1 3 1 2 0 1 3 余料符号说明：x1-x15，表示对应分割方法下4，5,6,8米钢管的根数w , 表示所用的19米钢管数h , 表示余料模型分析：要求下料最节省，也即是所用的19米钢管数w最少。
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4.2合理下料问题
[案例6]有一批1米长的合金钢材现要截成长为23厘米和13厘米二种规格,用怎样的方案截取使材料利用率为最高?并求出材;料最高利用率.(上海市首届中学生数学知识应用竞赛初赛试题五)
分析设23厘米和13厘米这两种规格各截x、y根,则
23x＋13y≤100,(1)
x,y∈N. (2)
要求材料利用率z=(23x＋13y)/100尽可能接近或等于1
方法1(穷举法)
由(l)可知,x的可能取值为0,l ,2,3,4,其对应y的最大值为7,5,4,2,0,于是可算得相应的材料利用率如表所示.故在l米长的合金钢材上,裁和2段23cm,4段13cm,能获得材料的最高利用率98%.
方法2图解法
满足约束条件(1)、(2)的点(x,y),就是直线23x+13y=100与两坐标轴在第一象限所围三角形AOB区域上(包括边界)的格点,如图4-4.显然,格点越靠近直线AB,那么残料就越少,若格点恰好在直线AB上,则此格点所对应的下料方案一定是最优的(无残料).通过观察、比较知,与直线最近的格点为。
E(2,4),由
2×23+4×13=98得材料的最高利用率为98%.
说明上述两种解法各有利弊:穷举法思路自然,虽然计算较大,但容易在计算机上编程处理;图解法直观简捷,计算量相对较小,但此法一般适宜处理两个变量的情形,另外,作图的精度对结果也会产生不小的影响.
[案例7]长为360cm的铜棒,要截成十段材料,规格是12cm,23cm,37cm,46cm四种,每种规格都要有,试找出材料利用率在97%以上的落料方案.(上海市第四届中学生数学知识应用竞赛初赛试题十).
分析设截得12cm、23cm、37cm、46cm四种规格各x、y、z、w根,则
x＋y＋z＋w=10
12x＋23y＋37z＋46w≤360
(12x＋23y＋37z＋46w)/360 ≥97%
x＋y＋z＋w=10,
349.2≤ 12x＋23y＋37z＋46w≤ 360
349.2 ≤12x＋23y＋37z＋46(10－x－y－z)≤ 360
110.8≥ 34x＋23y＋9z≥ 100
因为x、y、z为正整数故由(*)式易知1≤ x≤ 2, 1≤ y ≤2,
1≤ z≤ 5.对x分类讨论可得:
(1)x=1时,66≤23y+9z≤76.8.
①若y=1,则43≤9z≤53.8,于是z=5,此时(x,y,z,w)=(1,1,5,3);
②若y=2,则20≤9z≤30.8,得z=3, (x,y,z,w)=(1,2,3,4)
(2) x=2时,32≤23y+9z≤42.8.
①若y=1, 9≤9z≤19.8, z =l, 2, (x,y,z,w)=(2,1,1,6)或(2,1,2,5);
②若y=2,则z∈综上,我们得到了四个满足题意的落料方案,如下表所示.
问题与讨论
求目标函数z=2x1+x2-x3在约束条件x1+3x2+x3≤2，4x2+x3≤5，
x1+2x2-2x3≤2，x1+4x2-x3≤4（x1，x2，x3=0或1）下的最小值。