保角映射方法在各向异性板断裂分析中的应用
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【8A版】保角映射
§4保角映射的物理应用拉普拉斯方程式02=∇φ为工程数学中最重要偏微分方程式之一，因为它应用于有关重力场、静电场、稳态热传导以及不可压缩流体之流动问题．本文所及者皆为二维问题，它们虽原三维空间内之物理系统，但是诸如位势中与空间第三坐标无关，因此拉普拉斯方程为022222=∂∂+∂∂=∇=∆yx φφφφ（1）称曲线=),(y x φ常数为等位线．定义1对于区域G 内的实值函数),(y x φ（或)(z φ），如果其本身以及一阶、二阶偏导数连续而且满足（1），则称φ在G 内调和或φ是区域G 的调和函数．注意：对于定义中调和函数的光滑性要求可以减弱。
可以说明调和性是共性映射（保角映射）下的不变性质，因为若)(ζz z =是区域D 到G 的共性映射，记))(()(ζζz u U =，不难验证：)()()(2z u z U ∆'=∆ζζ．因此，若)(z u 在G 内调和，必有)(ζU 在D 内调和．定义2设)(z u 和)(z v 在区域G 内调和，如果x y y x v u v u -==,，则称)(z v 是)(z u 的共轭调和函数．称dy u dx u du x y +-=*为dy u dx u du y x +=的共轭微分．理论上说，一个调和函数的共轭函数的存在性虽有待讨论，但其共轭微分总是有意义的．定理1若)(z u 是单连通区域G 内的调和函数，则其共轭调和函数)(z v 一定存在，因此为)()()(z iv z u z f +=G 内的解析函数． 证明例2已知调和函数22(,)u x y x y xy =-+，求其共轭调和函数(,)v x y 及解析函数()(,)(,)f z u x y i v x y =+.解利用C-R 方程，(2)2v u y x y x x y∂∂=-=--+=-∂∂ 所以2(2)2()2x v y x dx xy g y =-=-+⎰.因此，2()vx g y y ∂'=+∂2u x y x∂==+∂， 比较两式可得：2()2,()x g y x y g y y ''+=+=故，有2()2y g y ydy C ==+⎰.因此，22222x y v xy C =-++。
变换光学透镜天线研究进展
变换的雅克比矩阵为：
２ｐｄ
２ｐａ－ｙ２
Λ ＝
０
０
４ｐｄｘｙ （２ｐａ－ｙ２）２
１
０
０
０ ， １
（８）
这种变换方式虽然简单，但是得到的电磁参
数张量 含 有 非 对 角 分 量，非 常 复 杂。 在 简 化 后，
μｘｘ、μｙｙ和 εｚｚ分如图 １（ｂ）所示，μｙｙ和 εｚｚ分别分布 在 ０～１和 ０～１５之间，而 μｘｘ在边界处的值却接 近 ４０。图 １（ｃ）和图 １（ｄ）分别是采用有限元方法
近年来，随着超材料（Ｍｅｔａｍａｔｅｒｉａｌ）的兴起和 变换光 学 （ＴｒａｎｓｆｏｒｍａｔｉｏｎＯｐｔｉｃｓ）理 论 的 提 出，许 多新型透镜天线被设计出来，也有许多研究者将 目光投向传统龙伯透镜的改进上，龙伯透镜有望 重获新生。采用变换光学方法可以将龙伯球压缩 成平板透镜，不仅体积轻巧，还可以具有平面的聚 焦面，易于集成。变换后的龙伯透镜电磁参数发 生改变，仍是一种渐变折射率结构，而使用超材料
仿真得到的透镜天线与原抛物线天线的电场图，
可以看出二者性能差别不大，但是这种非均匀强
各向异性的电磁参数分布几乎不可能实现。
图 １ 抛物面坐标变换透镜［２７］ Ｆｉｇ．１ Ｃｏｏｒｄｉｎａｔｅｔｒａｎｓｆｏｒｍａｔｉｏｎｏｆｔｈｅｐａｒａｂｏｌｉｃｌｅｎｓ［２７］
２００８年，Ｄ．Ｈ．Ｋｗｏｎ［２８］将坐标变换方法应用 在球形透镜上，在二维条件下分别对圆形区域和 半圆形区域进行变换，设计出了一种波束准直透
Ｒｅｓｅａｒｃｈｐｒｏｇｒｅｓｓｏｆｔｒａｎｓｆｏｒｍａｔｉｏｎｏｐｔｉｃｓｌｅｎｓａｎｔｅｎｎａ
ＣＡＯＳｈａｎｇｗｅｎ，ＺＨＯＵＹｏｎｇｊｉａｎｇ ，ＣＨＥＮＧＨａｉｆｅｎｇ （ＳｃｉｅｎｃｅａｎｄＴｅｃｈｎｏｌｏｇｙｏｎＡｄｖａｎｃｅｄＣｅｒａｍｉｃＦｉｂｅｒｓａｎｄＣｏｍｐｏｓｉｔｅｓＬａｂｏｒａｔｏｒｙ，
保角变换法计算两共焦抛物板间等势线和电场线
方 程较 为烦 琐 ， 甚至无 法 解决 ； 利 用 保 角 变换 法 能 将 复杂 边界 问题 变 为 简单 边 界 问题 ， 从 而 使 问题 变 得 简单 、 直观 ， 便 于解 决． 例如文献Ｅ ｌ ｉ 用抛 物柱
坐 标 系通 过解 拉 普 拉 斯 方 程 得 到 电势 分 布 函数 ，
Ｗａ ｎ ｇ Ｑｕ ａ ｎ
（ Ｃｏ ｌ ｌ ｅ ｇｅ ｏ ｆ Ｓ ｃ ｉ ｅ ｎ ｃ ｅ ，Ｎａ ｎｔ ｏ ｎ ｇ Ｕｎ ｉ ｖ ｅ ｒ ｓ ｉ ｔ ｙ ，Ｎａ ｎ ｔ ｏ ｎｇ，Ｊ ｉ ａ ｎｇ ｓ ｕ ２ ２ ６ ０ ０ ７ ）
Ａｂｓ ｔ ｒ ａ ｃ ｔ Ｔｈ ｅ ｓ ｔ ａ ｔ ｉ ｃ ｅ ｌ ｅ ｃ ｔ ｒ ｉ ｃ ｆ ｉ ｅ ｌ ｄ ｂ ｅ ｔ ｗｅ ｅ ｎ ｔ ＷＯ ｃ ｈａ ｒ ｇｅ ｄ ｃ ｏｎ ｆ ｏ ｃ ａ ｌ ｐ ａ ｒ ａ ｂ ｏｌ ｉ ｃ ｃ ｏ ｎｄ ｕｃ ｔ ｏ ｒ ｐ ｌ ａ ｔ ｅ ｓ ｃ ａ ｎ ｂ ｅ ｔ ｒ ａ ｎｓ ｆ ｏ ｒ ｍｅ ｄ ｂ ｙ ｃ ｏ ｎｆ ｏ ｒ ｍａ ｌ ｍａ ｐ ｐｉ ｎ ｇ．Ｕ ｓ ｉ ｎ ｇ ｔ ｈ ｉ ｓ ｍｅ ｔ ｈ ｏｄ，ｔ ｈｅ ｅ ｘ ｐｒ ｅ ｓ ｓ ｉ ｏｎ ｏｆ ｅ ｑ ｕｉ ｐｏｔ ｅ ｎｔ ｉ ａ ｌ ｌ ｉ ｎｅ ａ ｎｄ ｅ ｌ ｅ ｃ ｔ ｒ ｉ ｃ ｆ ｉ ｅ ｌ ｄ ｌ ｉ ｎｅ ａ ｒ ｅ ｏ ｂｔ ａ ｉ ｎｅ ｄ ．Ｉ ｎ ｔ ｈｉ ｓ ｐａ ｐｅ ｒ ，ｔ ｈｅ ａ ｐｐ ｌ ｉ ｃ ａ ｂｌ ｅ ｓ ｃ ｏ ｐｅ ｏ ｆ ｔ ｈ ｅ ｃ ｏ ｎ ｆ ｏ ｒ ｍａ ｌ ｍａ ｐ —
（ １）
文献 ［ ２ ］利 用 解 析 函数 的性 质 和柯 西一 黎曼条件 ， 根 据 拉普 拉斯 方 程 直 接 推 测 得 到 等 势 线 方 程 ， 从 而导 出两共 焦 抛物 板 间 的电场 分 布． 文献 ［ ３ ］ 指 出
任意多椭圆孔多裂纹无限大各向异性板应力强度因子求解的一种新方法_郭树祥
含多孔及裂纹群各向异性体的断裂问题是目 前结构完整性研究的关键问题之一, 它涉及到多连 通域的边值问题, 至今仅有少量规则排列的无限大 板多裂纹问题具有解析解, 但对于实际结构中存在 的裂纹, 其大小、方向及分布、载荷等条件具有任意 性, 目 前尚 无 精确 有 效 的 分析 方 法。M auge 和 K achano v[ 2] 综述了已有的研 究成果, 指出 裂纹之 间的影响强弱与材料的各向异性程度密切相关, 杨
本文采用各向异性体平面弹性理论中的复势 方法, 利用保角映射技术和 Faber 级数展开, 导出 了含任意分布多椭圆孔及裂纹群的无限大各向异 性板在远场载荷作用下其应力场和位移场的级数 解 , [ 10-13] 建立了任意裂纹群结构裂尖应力强度因子 的分析方法, 并通过与解析解对比验证了本文方法 的有效性。与现有数值算法相比, 本文通过控制级 数展开项数 N 使得边界条件得以精确满足, 具有
8
计 算力 学 学报
第 23 卷
计算精度高, 收敛速度快等解析法所特有的优点。
2题的基本方 程为( 采用张量记法) :
Rij, j = 0
Eij =
1 2
(
ui,j
+
uj, i)
( 1)
Eij = a ijklRkl
式中 aij kl 为柔度系数。方程( 1) 的复势解答可 表为[ 14] :
关键词: 裂纹群; 应力强度因子; 保角变换; 复势方法; Faber 多项式 中图分类号: O346. 1 文献标识码: A
1 引 言
多裂纹问题普遍存在于飞机、压力容器以及管 道等工程结构中, 目 前多 部 位 损伤 [ 1] ( M ult ipl e Site Dam age) 已成为现役老龄飞机最典型的损伤 形式。由于裂纹之间的相互作用, 导致结构的剩余 强度比以单一裂纹模型确定的剩余强度低得多, 传 统的限制单一裂纹长度的损伤容限设计方法已不 能确保结构的使用安全。此外, 现代高强度材料中 普遍存在众多的微缺陷, 其本构关系、损伤演变过 程以及失效模式等都与材料中存在着不可避免的 缺陷密切相关, 对其研究同样涉及到多孔多裂纹各 向异性体力学问题, 因此研究多孔多裂纹各向异性 体力学问题具有重要的理论意义和很高的工程实 用价值。
本文采用各向异性体平面弹性理论中的复势 方法, 利用保角映射技术和 Faber 级数展开, 导出 了含任意分布多椭圆孔及裂纹群的无限大各向异 性板在远场载荷作用下其应力场和位移场的级数 解 , [ 10-13] 建立了任意裂纹群结构裂尖应力强度因子 的分析方法, 并通过与解析解对比验证了本文方法 的有效性。与现有数值算法相比, 本文通过控制级 数展开项数 N 使得边界条件得以精确满足, 具有
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计 算力 学 学报
第 23 卷
计算精度高, 收敛速度快等解析法所特有的优点。
2题的基本方 程为( 采用张量记法) :
Rij, j = 0
Eij =
1 2
(
ui,j
+
uj, i)
( 1)
Eij = a ijklRkl
式中 aij kl 为柔度系数。方程( 1) 的复势解答可 表为[ 14] :
关键词: 裂纹群; 应力强度因子; 保角变换; 复势方法; Faber 多项式 中图分类号: O346. 1 文献标识码: A
1 引 言
多裂纹问题普遍存在于飞机、压力容器以及管 道等工程结构中, 目 前多 部 位 损伤 [ 1] ( M ult ipl e Site Dam age) 已成为现役老龄飞机最典型的损伤 形式。由于裂纹之间的相互作用, 导致结构的剩余 强度比以单一裂纹模型确定的剩余强度低得多, 传 统的限制单一裂纹长度的损伤容限设计方法已不 能确保结构的使用安全。此外, 现代高强度材料中 普遍存在众多的微缺陷, 其本构关系、损伤演变过 程以及失效模式等都与材料中存在着不可避免的 缺陷密切相关, 对其研究同样涉及到多孔多裂纹各 向异性体力学问题, 因此研究多孔多裂纹各向异性 体力学问题具有重要的理论意义和很高的工程实 用价值。
复合材料断裂分析的特殊方法
复合材料断裂分析的特殊方法复合材料具有热稳定性好、比强度、比刚度高的特点，因此被广泛应用于航空航天、建筑、汽车等领域。
由于裂纹和夹杂的存在，复合材料常常会不同程度地断裂破坏，这会极大地影响其服役寿命。
研究复合材料断裂失效问题的方法有解析方法、实验方法及数值方法。
解析法仅适用于具有特殊几何边界和加载条件的问题，难以解决具有复杂边界和加载条件的问题。
实验方法由于代价高也难于被广泛应用。
常用的数值方法在模拟裂纹或夹杂等不连续问题时需进行网格重构。
因此，发展新的数值方法来研究复合材料的断裂与损伤具有重要的理论与现实意义。
扩展有限元法是一种新兴的分析裂纹等不连续问题的数值方法，该方法继承了传统有限元法的优点，克服了其分析裂纹问题中网格划分繁琐的缺点。
相对于各向同性弹性材料断裂，扩展有限元在正交各向异性热弹性材料断裂方面的研究要少得多，因此，研究正交各向异性热弹性断裂扩展有限元分析方法具有非常重要的应用价值，基于此，本文主要应用发展扩展有限元法(extended finite element method，XFEM)研究含裂纹夹杂各向同性、正交各向异性复合材料的断裂失效问题，把正交异性热弹性裂尖加强函数应用于正交异性热弹性断裂问题中，并把热弹性各向同性裂尖加强函数应用于热弹性各向同性裂纹夹杂相互作用问题中，主要内容包括：1.给出了各向同性及正交异性交互积分的表达式，并在正交异性交互积分的基础上，通过引入热积分项，推导了正交异性热弹性交互积分的表达式，并对交互积分做了两点改进：增加了与温度变化有关的项，把各向同性弹性交互积分推广到正交异性热弹性交互积分。
2.在经典的各向同性扩展有限元的基础上，把各向同性材料弹性问题的扩展有限元法推广到正交异性材料热弹性问题分析，研究了热载荷作用下含单裂纹正交异性复合材料板断裂分析的扩展有限元法，分析了不同材料主轴、网格细度、高斯积分、裂尖加强函数及J积分半径对裂纹尖端应力强度因子的影响,得到了裂纹尖端应力强度因子,对比了相应文献结果，并通过几个典型算例验证了发展XFEM模拟正交异性热弹性断裂的准确性和合理性。
基于保角变换法的地震裂缝波场研究
摘
要 ：针 对 实际地 层 中的裂缝 形状 ， 出了两种裂缝模 型， 提 一种是 广义 四边 形裂缝模型 ， 另一种是 角形裂缝模 型。
基 于保 角变换 ， 对单个裂缝的波场进行 了研 究。首先， 物理域 中的裂缝 区域施加保 角变换 ， 对 将其 变换为计算域 中的 上 半平面 ， 对物理 域 中的裂缝边界条件进行保 角变换为计算域 中的边界条件 ； 其次 ， 计算域 中求 出裂缝边界及其 附 在 近 的波场； 最后 ， 通过保 角变换的反 变换得到物理域 中裂缝边界波场变化规 律。提 出的保 角变换 法对研 究单 个和 多个
ＤＯ ： １ ．８３ ． ｓ．６４— ０ ６２ １ ．５０ １ Ｉ ０３ ６￣ ｉ ｎ １７ ５ ８ ．０ ２０ ．１ ｓ 文献 标 识 码 ：Ａ
基于保角变换法 的地震裂缝波场研究 术
陈 伟 ， 尚旭 王
“ 油气 资源 与探测 ” 国家 重点 实验 室 ． 中国石 油大 学 （Ｌ ） 北京 昌平 １２４ Ｊ京 ， ０２ ９
任 意形 状 的裂 缝 波 场 之 间的 定 量 关 系以及 勘 探 地 球 物 理 中的 非 均 质 问题 提 供 了新 的 思路 。 关 键 词 ：裂缝 ； 场 ； 义 四 边 形 ； 形 ； 角 变换 波 广 角 保
网络 出版地 址 ：ｈ ｐ ／ ｗ ｃｋ ． ｔ ｃ ／ｅ ｉ５ ． １ ．Ｅ ２ １ ０ ２ ． ３ ．１ ． ｍｌ ｔ ： ｗ ｗ． ｉ ｅ ｋ ｍｓ ｔ ｌ １１ ８ ．０ ２ ９ ８１ ７ ５ ｔ ｔ ／ ｎ ｎ／ ｄ ａ／ ７ Ｔ ０ ０ ｈ
地 球 物 理 中 ， 对 实 际地 层 中 的裂 缝 形 状 的特 点 ， 针 提 出 了两 种裂缝 模 型 ， 一种 是广 义 四边形裂 缝模 型 ，
各向异性复合材料周期性Ⅱ型裂纹尖端应力分析
第３ ２卷
第 ６期
太
原
科
技
大
学
学
报
Ｖ １３ Ｎ ． ｏ．２ ｏ６
Ｄ ｃ２ １ ｅ ．０ １
２１ 年 １ ０ １ ２月
Ｊ Ｕ Ｎ Ｌ Ｏ Ａ Ｙ Ａ Ｎ Ｖ Ｒ ＩＹ Ｏ ＣＥ Ｃ Ｎ Ｅ Ｈ Ｏ Ｏ Ｙ Ｏ Ｒ Ａ ＦＴ Ｉ Ｕ Ｎ Ｕ Ｉ Ｅ ＳＴ ＦＳ Ｉ Ｎ ＥＡ Ｄ Ｔ Ｃ Ｎ Ｌ Ｇ
４９ ８
ｄ ， Ｖ ｙ
：
磐 ＝ ÷ Ｏ，＂ ＝一： 。 一
ｘ＂ ｄ ｙ ｘｄ
（ ２
（）
其 中 ０ ０ ，１ ０ ，２， ６ ｌ 口 ，２ 口 ０ 是非弹性主方 向的柔度系数。 ２ ６ ２ ６－ ， ６
医 目
， 。 ＝。
㈩
㈩
（ ａ ５）
将式（）式（） ２ ， ３ 代入式 （ ） 得到各 向异 性复合 材料 板平 面 问题 的基 本方 程 １， 引。 。 砣
对于图 １ 所示 的周期性裂纹 ， 受反对称载荷 ｒ 作用 ， 其边界条件如下 ：
∞时 ： ＿０ 一 ， ＝
ｙ，－ｘｎａ： ＝ ｄ ＿（ ±± ） ＝ ｎａ＜ ＋ 警 ０ １２ Ｏｂ＜２ 时 ２ ｂ ｄ Ｏ ． ＇… ｙ 删’
当 ∞时 ： ２， 一０４ ＝ ＝ ｒ
（ 、 ５ ｂ ）
（ ｃ ５）
由此 ， 向异 性纤 维复合 材料 板 的周 期 性裂 纹 尖 端 的 断裂 问题 归 结 为求 解 线性 偏 微 分 方 程 的边 界 问 各
假设应力 函数 将式 （ ） ６ 代入式（ ）得到特征方程 ４，
Ⅱ型裂纹尖端附近应 力场 的理论计算公式 。
关键 词 ： 力 场 ； 期 性 裂 纹 ； 微 分 方程 ； 变 函数 方 法 应 周 偏 复 中 图 分 类 号 ：３ ６ １ ０ ４ ． 文献 标 志码 ： Ａ
第 ６期
太
原
科
技
大
学
学
报
Ｖ １３ Ｎ ． ｏ．２ ｏ６
Ｄ ｃ２ １ ｅ ．０ １
２１ 年 １ ０ １ ２月
Ｊ Ｕ Ｎ Ｌ Ｏ Ａ Ｙ Ａ Ｎ Ｖ Ｒ ＩＹ Ｏ ＣＥ Ｃ Ｎ Ｅ Ｈ Ｏ Ｏ Ｙ Ｏ Ｒ Ａ ＦＴ Ｉ Ｕ Ｎ Ｕ Ｉ Ｅ ＳＴ ＦＳ Ｉ Ｎ ＥＡ Ｄ Ｔ Ｃ Ｎ Ｌ Ｇ
４９ ８
ｄ ， Ｖ ｙ
：
磐 ＝ ÷ Ｏ，＂ ＝一： 。 一
ｘ＂ ｄ ｙ ｘｄ
（ ２
（）
其 中 ０ ０ ，１ ０ ，２， ６ ｌ 口 ，２ 口 ０ 是非弹性主方 向的柔度系数。 ２ ６ ２ ６－ ， ６
医 目
， 。 ＝。
㈩
㈩
（ ａ ５）
将式（）式（） ２ ， ３ 代入式 （ ） 得到各 向异 性复合 材料 板平 面 问题 的基 本方 程 １， 引。 。 砣
对于图 １ 所示 的周期性裂纹 ， 受反对称载荷 ｒ 作用 ， 其边界条件如下 ：
∞时 ： ＿０ 一 ， ＝
ｙ，－ｘｎａ： ＝ ｄ ＿（ ±± ） ＝ ｎａ＜ ＋ 警 ０ １２ Ｏｂ＜２ 时 ２ ｂ ｄ Ｏ ． ＇… ｙ 删’
当 ∞时 ： ２， 一０４ ＝ ＝ ｒ
（ 、 ５ ｂ ）
（ ｃ ５）
由此 ， 向异 性纤 维复合 材料 板 的周 期 性裂 纹 尖 端 的 断裂 问题 归 结 为求 解 线性 偏 微 分 方 程 的边 界 问 各
假设应力 函数 将式 （ ） ６ 代入式（ ）得到特征方程 ４，
Ⅱ型裂纹尖端附近应 力场 的理论计算公式 。
关键 词 ： 力 场 ； 期 性 裂 纹 ； 微 分 方程 ； 变 函数 方 法 应 周 偏 复 中 图 分 类 号 ：３ ６ １ ０ ４ ． 文献 标 志码 ： Ａ
正交异性复合材料板星形裂纹的应力分析
收 稿 日期 ： １－ －２ ２ ００ ０ ０ ９ 基 金 项 目 ： 西省 自然 科 学 基金 （０ ７ １０ ８ 山 ２０ ０ １０ ）
作 者 简 介 ： 红 刚 （９ ７一） 男 ， 士 研究 生 ， 贾 １７ ， 硕 主要 研 究 方 向 为偏 微 分 方 程 及应 用 。
第３ ２卷第 ２期
贾红刚， ： 等 正交异 性 复合材 料板 星形裂 纹 的应 力分析
１９ ４
△ （ ａ ） ４２ ＝ ‘ 一ａ ２
＼ ｌ ｌ ， Ⅱ１ １
（） ３
当 △＞ ０时 ， 程 （ ） 方 ２ 的解 为 ：
。＝ 当 △＜ ０时 ， 方程 （ ） ２ 的解 为 ：
， ＝ ： ３＝ｆ ， ＝ （ ：＞ ，＞０ ， ｆ ｌ ）
－
（） ７
（） ８
并 且取 定
＝ｉ 的解 析分枝 ， 变换 式 （ ） ７ 将 ＝ ＋ 变 换 到 ＝专 ＋ｉ ， 这样
１ ）一 ｅ （ ：０ １ ２ … 一１ （ ｝ ｎ ＝ ０ Ａ ）— 下 ，， ， ）
应 力 函数 （ ） ： ）满足 下列 方程 ： ， （
文章编号 ：６ ３— ０ ７ ２ １ ）２— １８— ５ １７ ２ ５ （０ １ ０ ０ ４ ０
正 交 异 性 复 合 材 料 板 星 形 纹 的 应 力 分 析
贾红 刚 ， 俊林 李
（ 太原科技 大学应 用科 学 学院 ， 太原 ０ ０ ２ ） ３０４
摘 要 ： 究 了正 交异 性 板 中星形 裂纹 的 平 面 弹性 问题 。 采 用 复合 材 料 断 裂 复 变 方 法 ， 取 适 当的 研 选
增强 复合材 料星形裂 纹的平 面弹性 问题 ， 到 了裂 纹尖 端 附近 的应 力场 及 Ｉ型 、 得 Ⅱ型星 形 裂纹 应 力强 度 因 子 的解 析解 。
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根 据文 献 ［ ］应力 函数 。ｚ）满足 （ ） 函数方 程 ： １， （。 列
１
（ ）＝ｙ ｚ ＋ １ ０ｚ ， （ ）＝ ｌ ２ ＋ ｃ） ＋ （ ） ｚ １ ｌ １ ＋ １ １ ２ ２ ｎ ＋（ ｉ ：ｚ ｎ （） 号 ：６ ３— ０ ７ ２ １ ） ３— ２ ４—０ １７ ２５ （０ １０ ０ ２ ５
保 角 映 射 方 法 在 各 向异 性 板 断 裂 分 析 中 的 应 用
程海 霞， 李俊林
（ 太原 科技 大 学应 用科 学 学院 ， 太原 ００２ ） ３０４
摘 要 ： 用各 向异性体 平面弹性理论 中的复 势方法 ， 采 引用适 当的保 角变换 ， 究各 向异 性板 中穿 研
其中
Ｘ Ｘ ｓ ＝ Ｙｓ ＝ ｄ ， ｄ
Ｊ ｋ ｓ Ｊｓ ｋ
（） ９
公式（ ） ８ 中的常数 Ｂ和 Ｂ ＋Ｃ ， 可用无穷远处的应力求 出 ， 即：
２
／ －ｘ） ｘ ￣ ｇ ／
ｉ＝（ ］ ａ ［ ２ Ｂ ∞ ｝ 。 ）
…
一
（０ １）
一
下 ∞） （
１ 各 向异 性 板 的 力 学 模 型
㈩
引进应 力 函数 Ｆ， 不考 虑体 积力 的情 况下 有 ＝ ０Ｆ 在 ２
，
ＯＦ ａ
＝
，
０ ２ Ｆ
． 『 ＝ 一
（） ２
等
＋ （ ２
０ 。Ｆ 。 ＝ ４ 。 Ｆ ０ Ｏ ４ ａ Ｆ
（ ３ ）
其中 ＋ １， ＋ ２ ，１ ２ ｌ＝ Ｘ ２＝ ＩＹ Ｘ Ｉ Ｙ ， 为式（ ） ３ 特征方程的根。
２ ｅ／ １ １ ＋ ２ ２ ］＝ Ｘ ｓ Ｒ ｌ （ ） ２ （ ） ±Ｉｄ， Ｅ Ｚ ｚ
２ ｅ （ ） ２ｚ ］： －Ｊ Ｒ［ ＋ （ ） Ｖ ｙ ｌ １ ２ ｄ （５ １）
ｆ ｅ ］（） ∑口 ＋： （ ｉ） ） ∑６ ］ ０ ２ ［ Ｂ ＋。 等 ＋Ｃ （ ＋ Ｒ 孚 ＝
第３ ２卷
第 ３期
太
原
科
技
大
学
学
报
Ｖ １３ Ｎ ． ｏ．２ ｏ ３
Ｊｎ ２ １ ｕ ．０ １
２ １ 年 ６月 ０ １
Ｊ Ｕ Ｎ ＬＯ Ａ Ｙ Ａ Ｎ Ｖ Ｒ Ｉ Ｙ Ｏ Ｃ Ｅ Ｃ Ｎ Ｅ ＨＮ Ｌ Ｇ Ｏ Ｒ Ａ ＦＴ Ｉ Ｕ Ｎ Ｕ Ｉ Ｅ ＳＴ ＦＳ ＩＮ Ｅ Ａ Ｄ Ｔ Ｃ Ｏ Ｏ Ｙ
－
）＝
ｔ ）
（・ ）＋
口 ｍ
图 １ 纯 Ｉ 穿透 裂纹 型
Ｆｉ ． ｏ ｅ Ｉ ｃ ａ ｋ ｇ １Ｍ ｄ ｒ ｃ
【 （） 咖 ） 号 ＋ ＋ ｍ ｚ ＝ （ ＝ （ ｉ）： ∑ｂ２ ： Ｃ （） ｆ
（ ４ １）
将 Ｘ ＝０ Ｙ＝０和式 （４ ， １ ）代人 边 界条 件 ， 。
关 ｚ 映 ：＝ （ ） ＝ （ ＋ 于ｔ 的 射 詈 ＋ ， 号 ， ｚ ｔ ｚ ：
）
ｇ２
（２ １）
在 裂纹 边界 上 ， 面力 为零 ， Ｘ ＝０ Ｙ ＝０由线 性 方 即 ， 程 组式 （ ）得 ： ＝０ ｙ ９ ｙ ，‘＝０ （ ３ １）
因此 ， 将式 （２ 、 １ ） １ ） 式（３ 代人式（ ）中可得 ： ８
ｍ ＝１
∑
＋ ∞
， （ ）＝∑ｂ ； ｚ ｍ ｚ
ｍ ＝ｌ ＝１
＋ 酋
（） ８
式（） ８ 中ｙ：∑ ， ＝∑ｙ， ｙ可由 性方程 式（） ： 线 ， 组 ９ 求出
＝１
０
Ｐ２ ｙ １
０
ｑ１ ２
２１
＾
ｙ
２１ Ｔ
ｌ
２仃
第 ３ 卷第 ３ ２ 期
程海霞 ， 保角映射方法在各 向异性板断裂分析 中的应用 等：
２５ ２
并 ）鲁 ： 姗 ＝ （ ）
则应 力 和位移 的表 达式 为 ：
１ 眦 ： ） ＝ ） ＝
（） ６
ｆ ａ＝ ｅ ｚ＋ ｚ ２ ２［ ， Ｏ ＦＲ ） ） ＂ ｘ ］ ｛ 警＝ｅ ） ） ２ Ｒ 枷ｚ ］
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』 ２ｅ ｌ１ ＋２２ ） （ 略 性 移） ＝ Ｒ［￣（） Ｐ￣（ ］ 忽 刚 位 Ｐ ｚ ｔ
Ｉ ＝ ２ 【 １ １ Ｚ ） ＋ ｑ ２ Ｚ ） ． ｖ Ｒｅ ｑ （ １ ２ （２ ｊ
收稿 日期 ：０ ００ －７ ２ １－９２ 基金项 目 ： 国家 自然科学基金资 助项 目（ １７２ ０ ； ５ ０ ８ ５ ） 太原科技大学博 士基金启动项 目（ ０ ８０ ９ ２０ ２０ ） 作者简介 ： 海霞 （９ ３一） 女 ， 程 １８ ， 硕士研究生 ， 主要研究方 向为偏 微分方程理论及应用 。
ｆ ＝口 ＋ ・ 。 ， ＝ － ＋ ・一 Ｐ 口 一 －ｚ 口 － ｚ ｐ ｎ 口
ｌ～－ ｑ ＋Ｚ ｌ ＿ ａ ＿ ２
－
（） ７
ａ ６， ２ ＝ ２ ｑ
：＋
～
。
２ 直裂纹附近的应力强度 因子 、 应力场及位移场
２１ ． 。ｚ ） （２ 的表 示形 式 （ ， Ｚ ）
透性 直线裂纹的平面弹性 问题 。借助应 力边界 条件推 出应 力 函数 的表 达式 ， 到 Ｉ型裂纹 尖端 附近的 得 应 力强度 因子、 力场及位 移场的解析解． 应 关键词 ： 角映射 ； 向异性板 ； 保 各 Ｉ型裂纹 ； 断裂分析 ； 力强度 因子 应 中图分类号 ： ３ ６ １ ０ ４ ． 文献标志码 ： Ａ
如图 １ 所示 ， 限大 平 面各 向异性 板在 Ｙ方 向无穷 远处 ， 均匀 的拉应 力 ， 无 受 裂纹 长度 为 ２ ， 纹表 面为 口裂
自由表 面 。
采用 下 面的 映射 函数 ：
彳 ∞ ） 詈 ） ＝ （ ＝ （＋ １
太
原
科
技
大
学
学
报
２１ ０ １年
此 映射 将 ｚ 面 上 的直裂 纹 映射成 了 平 面 的单位 圆 。 平