2010复旦交大清华北大自主招生数学试题

O x O xO x则该多面体的体积为______________A. 32个；B. 30个；C.28个；D.26个7、给定平面向量(1,1)，那么，平面向量(231-，231+)是将向量(1,1)经过________. A ．顺时针旋转60°所得；B ．顺时针旋转120°所得；C ．逆时针旋转60°所得；D ．逆时针旋转120°所得；8、在直角坐标系Oxy 中已知点A 1(1,0)，A 2(1/2,3/2)，A 4(−1,0)，A 5(−1/2,−3/2)和A6(1/2, −3/2).问在向量−−→−ji A A (i,j=1,2,3,4,5,6，i≠j)中，不同向量的个数有_____.A.9个；B.15个；C.18个；D.30个 9、对函数f:[0,1]→[0,1]，定义f 1(x)=f(x)，……，f n (x) =f(f n−1(x))，n=1,2,3,…….满足f n (x)=x的点x ∈[0,1]称为f 的一个n−周期点.现设⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤≤-≤≤=121,22,210,2)(x x x x x f 问f 的n−周期点的个数是___________.A.2n 个；B.2n 2个；C.2n 个；D.2(2n −1)个.10、已知复数z 1=1+3i ，z 2=−3+3i ，则复数z 1z 2的幅角__________. A.13π/12;B.11π/12;C.−π/4;D.−7π/12.11、设复数βαβαcos sin ,sin cos i w i z +=+=满足z w =3/2，则sin(β−α)=______. A.±3/2;B.3/2，−1/2;C. ±1/2;D.1/2,−3/2.12、已知常数k 1,k 2满足0<k 1<k 2，k 1k 2=1.设C 1和C 2分别是以y=±k 1(x−1)+1和y=±k 2(x−1)+1为渐近线且通过原点的双曲线.则C 1和C 2的离心率之比e 1/e ·等于_______.A.222111k k ++; B.212211k k ++ C.1 D.k 1/k 213、参数方程0,)cos 1()sin (>⎩⎨⎧-=-=a t a y t t a x 所表示的函数y=f(x)是____________.A ．图像关于原点对称；B ．图像关于直线x=π对称；C ．周期为2aπ的周期函数D ．周期为2π的周期函数.14、将同时满足不等式x−ky−2≤0，2x+3y−6≥0，x+6y−10≤0 (k>0)的点(x,y)组成集合D 称为可行域，将函数(y+1)/x 称为目标函数，所谓规划问题就是求解可行域中的点(x,y)使目标函数达到在可行域上的最小值.如果这个规划问题有无穷多个解(x,y)，则k 的取值为_____.A.k≥1;B.k≤2C.k=2;D.k=1.15、某校有一个班级，设变量x 是该班同学的姓名，变量y 是该班同学的学号，变量z 是该班同学的身高，变量w 是该班同学某一门课程的考试成绩.则下列选项中正确的是________.A. y 是x 的函数；B. z 是y 的函数；C. w 是z 的函数；D. w 是x 的函数.16、对于原命题“单调函数不是周期函数”，下列陈述正确的是________. A. 逆命题为“周期函数不是单调函数”； B. 否命题为“单调函数是周期函数”； C. 逆否命题为“周期函数是单调函数”； D. 以上三者都不正确17、设集合A={(x,y)|log a x+log a y>0}，B={(x,y)|y+x<a}．如果A∩B=∅，则a 的取值范围是_______A ．∅;B ．a>0,a≠1;C ．0<a≤2, a≠1D ．1<a≤218、设计和X 是实数集R 的子集，如果点x 0∈R 满足：对任意a>0，都存在x ∈X 使得0<|x−x 0|<a ，则称x 0为集合X 的聚点.用Z 表示整数集，则在下列集合(1){n/(n+1)|n ∈Z, n≥0}， (2) R\{0}， (3){1/n|n ∈Z, n≠0}， (4)整数集Z 中，以0为聚点的集合有_____.A ．(2), (3)；B ．(1), (4)；C ．(1), (3)；D ．(1), (2), (4)19、已知点A(−2,0)，B(1,0)，C(0,1)，如果直线kx y =将三角形△ABC 分割为两个部分，则当k=______时，这两个部分得面积之积最大？A ．23-B ．43-C ．34-D ．32- 20、已知x x x x f 2cos 3cos sin )(+=，定义域⎥⎦⎤⎢⎣⎡=ππ127,121)(f D ，则=-)(1x f_____A ．π12123arccos 21+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-xB ．π6123arccos 21-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-x C ．π12123arcsin 21+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--x D ．π6123arcsin 21-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-x 21、设1l ，2l 是两条异面直线，则直线l 和1l ，2l 都垂直的必要不充分条件是______ A ．l 是过点11l P ∈和点22l P ∈的直线，这里21P P 等于直线1l 和2l 间的距离 B ．l 上的每一点到1l 和2l 的距离都相等 C ．垂直于l 的平面平行于1l 和2l D ．存在与1l 和2l 都相交的直线与l 平行22、设ABC−A’B’C’是正三棱柱，底面边长和高都为1，P 是侧面ABB ’A’的中心，则P到侧面ACC’A’的对角线的距离是_____A ．21 B ．43 C ．814 D ．82323、在一个球面上画一组三个互不相交的圆，成为球面上的一个三圆组.如果可以在球面上通过移动和缩放将一个三圆组移动到另外一个三圆组，并且在移动过程中三个圆保持互不相交，则称这两个三圆组有相同的位置关系，否则就称有不同的位置关系.那么，球面上具有不同的位置关系的三圆组有______A ．2种B ．3种C ．4种D ．5种24、设非零向量()()()321321321,,,,,,,,c c c c b b b b a a a a ===为共面向量，),,(31x x x x x = 是未知向量，则满足0,0,0=⋅=⋅=⋅x c x b x a的向量x 的个数为_____A ．1个B ．无穷多个C ．0个D ．不能确定 25、在Oxy 坐标平面上给定点)1,2(),3,2(),2,1(C B A ，矩阵⎪⎪⎭⎫⎝⎛-112k 将向量,,分别变换成向量',','，如果它们的终点',','C B A 连线构成直角三角形，斜边为''C B ，则k 的取值为______A ．2±B ．2C ．0D ．0，−2 26、设集合A,B,C,D 是全集X 的子集，A∩B≠∅，A∩C≠∅.则下列选项中正确的是______. A.如果B D ⊂或C D ⊂，则D∩A≠∅；B.如果A D ⊂，则C x D∩B≠∅，C x D∩C≠∅；C.如果A D ⊃，则C x D∩B=∅，C x D∩C=∅；D.上述各项都不正确.27、已知数列{}n a 满足21=a 且n a n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是公比为2的等比数列，则∑==nk k a 1______A ．221-+n n B ．22)1(1+-+n n C ．)1(22-+n n n D ．n n n 22)1(+-28、复平面上圆周2211=+--iz z 的圆心是_______ A ．3+i B ．3−i C ．1+i D ．1−i29.已知C 是以O 为圆心、r 为半径的圆周，两点P 、P *在以O 为起点的射线上，且满足|OP|∙|OP *|=r 2，则称P 、P *关于圆周C 对称．那么，双曲线22x y -=1上的点P(x,y)关于单位圆周C':x 2＋y 2=1的对称点P *所满足的方程是(A)2244x y x y -=+ (B)()22222x y x y -=+ (C)()22442x y x y -=+(D)()222222x y x y-=+30、经过坐标变换⎩⎨⎧+-=+=θθθθcos sin 'sin cos 'y x y y x x 将二次曲线06532322=-+-y xy x 转化为形如1''2222=±by a x 的标准方程，求θ的取值并判断二次曲线的类型_______A ．)(6Z k k ∈+=ππθ，为椭圆 B ．)(62Z k k ∈+=ππθ，为椭圆C ．)(6Z k k ∈-=ππθ，为双曲线D ．)(62Z k k ∈-=ππθ，为双曲线31、设k, m, n 是整数，不定方程mx+ny=k 有整数解的必要条件是____________ A. m,n 都整除k ; B. m,n 的最大公因子整除k ; C. m,n,k 两两互素; D. m,n,k 除1外没有其它共因子2010年五校合作自主选拔通用基础测试 数学试题 适用高校:清华大学、上海交通大学等五校 一、选择题1．设复数2()1a i w i+=+，其中a 为实数，若w 的实部为2，则w 的虚部为( ) (A)32- (B)12- (C)12 (D)322．设向量,a b ，满足||||1,==⋅=a b a b m ，则||+a tb ()t R ∈的最小值为( ) (A)2(C)13. 无试题4. 无试题5．在ABC ∆中，三边长,,a b c ，满足3a c b +=，则tan tan 22A C的值为( ) (A)15 (B)14 (C)12 (D)236．如图，ABC ∆的两条高线,AD BE 交于H ，其外接圆圆心为O ，过O 作OF 垂直BC 于F ，OH 与AF 相交于G ，则OFG ∆与GAH ∆面积之比为( )(A)1:4 (B)1:3 (C)2:5 (D)1:2O H G FEDCBA7．设()e (0)axf x a =>．过点(,0)P a 且平行于y 轴的直线与曲线:()C y f x =的交点为Q ，曲线C 过点Q 的切线交x 轴于点R ，则PQR ∆的面积的最小值是( )(A)1 (C)e2(D)2e 48．设双曲线2212:(2,0)4x y C k a k a -=>>，椭圆2222:14x y C a +=．若2C 的短轴长与1C 的实轴长的比值等于2C 的离心率，则1C 在2C 的一条准线上截得线段的长为( )(A) (B)2 (C) (D)49．欲将正六边形的各边和各条对角线都染为n 种颜色之一，使得以正六边形的任何3个顶点作为顶点的三角形有3种不同颜色的边，并且不同的三角形使用不同的3色组合，则n 的最小值为( )(A)6 (B)7 (C)8 (D)910．设定点A B C D 、、、是以O 点为中心的正四面体的顶点，用σ表示空间以直线OA 为轴满足条件()B C σ=的旋转，用τ表示空间关于OCD 所在平面的镜面反射，设l 为过AB 中点与CD 中点的直线，用ω表示空间以l 为轴的180°旋转．设στ表示变换的复合，先作τ，再作σ.则ω可以表示为( )(A)στστσ (B)στστστ (C)τστστ (D)στσστσ 二、解答题11．在ABC ∆中，已知22sin cos 212A BC ++=，外接圆半径2R =． (Ⅰ)求角C 的大小；(Ⅱ)求ABC ∆面积的最大值．12．设A B C D 、、、为抛物线24x y =上不同的四点，,A D 关于该抛物线的对称轴对称，BC 平行于该抛物线在点D 处的切线l ．设D 到直线AB ，直线AC 的距离分别为12,d d ，已知12d d +=．(Ⅰ)判断ABC ∆是锐角三角形、直角三角形、钝角三角形中的哪一种三角形，并说明理由；(Ⅱ)若ABC ∆的面积为240，求点A 的坐标及直线BC 的方程．O(Ⅱ)一般地，设正n 棱锥的体积V 为定值，试给出不依赖于n 的一个充分必要条件，使得正n 棱锥的表面积取得最小值．14．假定亲本总体中三种基因型式：,,AA Aa aa 的比例为:2:u v w (0,0,0,21)u v w u v w >>>++=且数量充分多，参与交配的亲本是该总体中随机的两个．(Ⅰ)求子一代中，三种基因型式的比例；(Ⅱ)子二代的三种基因型式的比例与子一代的三种基因型式的比例相同吗？并说明理由．15．设函数()1x m f x x +=+，且存在函数()1(,0)2s t at b t a ϕ==+>≠，满足2121()t s f t s-+=． (Ⅰ)证明：存在函数()(0),t s cs d s ψ==+>满足2121()s t f s t +-=； (Ⅱ)设113,(),1,2,.n n x x f x n +===证明：1123n n x --≤．2010年名牌大学自主招生考试试题(3)适用高校：清华大学、上海交通大学等五校(样题)一、选择题(每题5分，共25分)1.函数y=32cos sin cos x x x +-的最大值为 (A)2827 (B)3227 (C)43 (D)40272．已知a 、b 、c 、d 是实数,az bcz dω+=+, 且当Imz>0时，In ω＞0．则 (A)ad+bc>0; (B)ad+bc ＜0; (C)ad−bc ＞0; (D)ad−bc<0.3．甲、乙、丙、丁等七人排成一排，若要求甲在中间，乙丙相邻,且丁不在两端，则不同的排法共有( )(A)24种； (B)48种; (C)96种; (D)120种4．己知F 为抛物线y 2＝2px 的焦点，过点F 的直线l 与该抛物线交于A 、B 两点,l 1、l 2分别是该抛物线在A 、B 两点处的切线，l 1、l 2相交于点C ，设|AF|=a ，|BF|=b ，则|CF|=(C)2a b+;5．设θ是三次多项式f(x)＝x 3−3x ＋10的一个根，且α=222θθ+-,若h(x)是一个有理系数的二次多项式，满足条件()h αθ=．则h(0)= (A)−2; (B)2; (C)12-; (D)12二、解答题(本大题共55分)1.(本题15分)己知f(x)是定义在R 上的奇函数，且当x ＜0时,f(x)单调递增，f(−1)=0．设函数()2sin cos 2x x m x m ϕ=+-,集合M=()|0,,02m x x πϕ⎧⎫⎡⎤∈<⎨⎬⎢⎥⎣⎦⎩⎭对任意的,N=()|0,,[]02m x f x πϕ⎧⎫⎡⎤∈<⎨⎬⎢⎥⎣⎦⎩⎭对任意的,求MN.2.(本题20分)甲、乙、丙、丁等4人相互传球，第一次由甲将球传出，每次传球时，传球者将球等可能地传给另外3人中的任何1人．(l)经过2次传球后，球在甲乙两人手中的概率各是多少？(2)经过n 次传球后，球在甲手中的概率记为p n (n=1,2,…) ,试求1n P +与n P 的关系式,并求n P 的表达式及lim n n P →∞3.(本题20分)设p 、q 是一元二次方程x 2+2ax−1=0(a>0)的两个根．其中p ＞0，令y 1=p−q,yn+1=2n y −2,n=1,2，…，证明：11212111lim ......n n y y y y y y →∞⎛⎫+++⎪⎝⎭=p. 2010年北京大学、香港大学、北京航空航天大学三校联合自主招生考试试题(数学部分)1．(仅文科做)02απ<<，求证：sin tan ααα<<．(25分) 2．AB 为边长为1的正五边形边上的点．证明：AB(25分)3．AB 为21y x =-上在y 轴两侧的点，求过AB 的切线与x 轴围成面积的最小值．(25分)4．向量OA 与OB 已知夹角，1OA =，2OB =，(1)OP t OA =-，OQ tOB =，01t ≤≤．PQ 在0t 时取得最小值，问当0105t <<时，夹角的取值范围．(25分)5．(仅理科做)存不存在02x π<<，使得sin ,cos ,tan ,cot x x x x 为等差数列．(25分)。