矩阵龙格库塔
龙格库塔法解微分方程组
龙格库塔法解微分方程组引言微分方程组是数学中经常遇到的问题，在物理、工程和自然科学中都有广泛的应用。
为了求解微分方程组，我们需要利用数值方法来逼近解析解。
本文将介绍一种常用的数值方法——龙格库塔法（Runge-Kutta method），并探讨如何利用该方法来解微分方程组。
龙格库塔法概述龙格库塔法是一种迭代数值方法，用于求解常微分方程的初值问题。
它的主要思想是将微分方程的解进行离散化，将其转化为一系列的逼近值。
龙格库塔法的基本步骤如下：1.确定步长h和迭代次数n。
2.初始化初始条件，并假设第一个逼近值为y(xi)。
3.依次计算每个逼近值，直到得到y(xi+n*h)为止。
在每个迭代步骤中，龙格库塔法根据前一步的逼近值来计算下一步的逼近值。
该方法具有高阶精度和较好的稳定性，在实际应用中广泛使用。
单一微分方程的龙格库塔法首先，我们来看如何利用龙格库塔法来解一阶常微分方程。
以方程dy/dx = f(x, y)为例，其中f(x, y)为给定的函数。
步骤一：确定步长和迭代次数选择合适的步长h和迭代次数n来进行数值计算。
步长h决定了离散化的精度，而迭代次数n决定了逼近解的数目。
步骤二：初始化条件并计算逼近值设初始条件为y(x0) = y0，其中x0为起始点，y0为起始点处的函数值。
我们先通过欧拉法计算出y(x0 + h)的逼近值，然后再通过该逼近值来计算下一个逼近值。
逼近值的计算公式如下：k1 = h * f(x0, y0)k2 = h * f(x0 + h/2, y0 + k1/2)k3 = h * f(x0 + h/2, y0 + k2/2)k4 = h * f(x0 + h, y0 + k3)y(x0 + h) = y0 + 1/6 * (k1 + 2k2 + 2k3 + k4)步骤三：重复步骤二直到得到y(xi+n*h)依次利用上一步计算出的逼近值来计算下一个逼近值，直到得到y(xi+n*h)为止。
微分方程组的龙格库塔法对于一阶微分方程组的初值问题，我们可以将其转化为向量形式。
龙格库塔法解轨道参数
龙格库塔法解轨道参数引言龙格库塔法（Runge-Kutta method）是一种常用的数值计算方法，用于求解常微分方程的数值解。
在天体力学中，我们经常需要通过数值方法来计算天体的轨道参数，如轨道椭圆的长短轴、离心率、倾角等。
本文将介绍龙格库塔法在解轨道参数中的应用，并详细探讨该方法的原理和实现过程。
基本原理龙格库塔法是一种迭代求解的方法，在每个时间步长内利用当前的状态来估计下一个状态。
具体而言，龙格库塔法将微分方程的求解问题转化为一个迭代的求解问题，通过逐步迭代来逼近精确解。
在解轨道参数的问题中，我们通常需要根据已知的初始条件以及天体的质量和力学模型来求解天体的轨道参数。
常用的力学模型有开普勒模型和牛顿模型。
龙格库塔法可以根据力学模型的不同进行相应的求解。
开普勒模型下的轨道参数求解步骤一：确定初始条件在使用龙格库塔法求解轨道参数之前，我们需要确定一些初始条件。
这些初始条件包括天体的质量、位置和速度。
步骤二：选择时间步长在求解过程中，我们需要选择一个合适的时间步长。
时间步长越小，计算的精度会越高，但计算的时间会增加。
步骤三：迭代求解利用龙格库塔法进行迭代求解的具体步骤如下：1.根据当前时刻的位置和速度，计算天体在该时刻的加速度。
2.根据当前时刻的位置、速度和加速度，计算下一个时刻的位置和速度。
3.更新当前时刻的位置和速度为新的位置和速度。
4.重复上述步骤，直到达到指定的终止条件。
步骤四：计算轨道参数通过迭代求解，我们可以得到天体在不同时刻的位置和速度。
根据这些位置和速度，我们可以计算出轨道参数，如离心率、倾角、长短轴等。
常用的轨道参数计算公式如下：1.离心率：e=√1+2El2μ(GM⊕)2)2.倾角：i=arccos(ℎzℎ3.长轴：a=−μT22E4.短轴：b=a√1−e2其中，E表示能量，l表示轨道角动量，μ表示标准引力参数，G表示引力常数，M⊕表示地球的质量，ℎ和ℎz分别表示轨道角动量和轨道角动量在z轴上的分量。
82第二节 龙格—库塔法
k
(1)
h h k 若令 yn1 y xn hy xn y xn y xn (2) 2! k! 则 y xn1 yn1 O hk 1
y0 k1 2 k2 hf x0 h 2, y0 k1 2
y0 k3
k4 hf x0 h, y0 k3
y0 k2 2 k3 hf x0 h 2, y0 k2 2
k
x1 x0 h y1 y0 k
数学学院 信息与计算科学系
0.1832292
0.1584376
数学学院 信息与计算科学系
接上图
0.4 0.5 0.5 0.6 0.6 1.341667 1.416026 1.412676 1.482627 1.483281 0.0745394 0.0710094 0.0708400 0.0673253
0.1416245
数学学院 信息与计算科学系
数学学院 信息与计算科学系
由表8-4可见，虽然四阶龙格-库塔方法每步要 计算四次 f 的值，但以h=0.2为步长ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ计算结果就
有5 位有效数字，而欧拉法与预估计-校正方法以
h=0.1为步长的计算结果才具有2 位与3 位有效数字.
如果步长 h 也取0.2，则结果的精度会更低.
即公式(2)为k 阶方法.
数学学院 信息与计算科学系
二、龙格-库塔方法(R-K方法)
R-K方法不是通过求导数的方法构造近似公式, 而是通过计算不同点上的函数值, 并对这些函数值作 线性组合, 构造近似公式, 再把近似公式与解的泰勒 展开式进行比较, 使前面的若干项相同 , 从而使近似 公式达到一定的阶数.
四阶龙格—库塔法的原理及其应用
《四阶龙格—库塔法的原理及其应用》
龙格—库塔法(又称龙格库塔法)是由一系列有限的、独立的可能解组成的无穷序列,这些解中每个都与原来的数列相差一个常数。
它是20世纪30年代由匈牙利著名数学家龙格和库塔提出的,故得此名。
1.它的基本思想是:在n 阶方阵M 上定义一个函数,使得当n 趋于无穷时,它在m 中所表示的数值为M 的某种特征值,从而构造出一族具有某种特性的可计算函数f (x)= Mx+ C (其中C 为任意正整数)。
例如,若f (x)=(a-1) x+ C,则称之为(a-1) x 的龙格—库塔法。
2.它的应用很广泛,可以求解各类问题,且能将大量的未知数变换成少数几个已知数,因此它是近似计算的一种重要工具。
3.
它的优点主要有:(1)可以将多项式或不等式化成比较简单的形式;(2)对于同一问题可以用不同的方法来解决,并取得同样的结果;(3)适合处理高次多项式或者不等式,尤其适合处理多元函数的二次型。
第三部分龙格-库塔方法
内江师范学院数学与信息科学学院 吴开腾 制作
于是有
其中
y ( xn +1 ) − y ( xn ) = y '(ξ ), ξ ∈ ( xn , xn +1 ) h y ( xn +1 ) = y ( xn ) + hf (ξ , y (ξ ))
k * = f (ξ , y (ξ )) 称作区间 [ xn , xn +1 ] 上的平均斜率。 上的平均斜率 平均斜率。 问题：计算近似值y ( xn +1 ) 的关键是如何选择算法确定平均斜率 k *
（15）
f ( xn +1 , yn + h ( − k1 + 2 k 2 ))
内江师范学院数学与信息科学学院 吴开腾 制作
注释1 可以用Taylor展示证明格式（14） 注释1：可以用Taylor展示证明格式（14）具有三阶精 展示证明格式
度，并且还可以用类似的方法得到四阶及其以上的更高 阶精度的Runge-Kutta格式 阶精度的Runge-Kutta格式。 Runge 格式。
内江师范学院数学与信息科学学院 吴开腾 制作
h yn + （ k1 + 2 k 2 + 2 k3 +k 4） 6 f ( xn , y n ) h f ( x 1 , yn + k1 ) n+ 2 2 h f ( x 1 , yn + k 2 ) n+ 2 2 f ( xn +1 , yn + hk3 ) （16）
四阶龙格－ 四阶龙格－库塔格式计算结果
xn
0.1 0.2 0.3 0.4 0.5
yn
欧拉格式计算结果 xn yn y ( xn )
矩阵特征值与特征向量的计算-Rung-Kutta方法
每步须算Ki 的个数 2 3
4
5
6
可达到的最高精度 O(h2 ) O(h3 ) O(h4 ) O(h4 ) O(h5 )
7
O(h6 )
n8
O(hn−2 )
由于龙格-库塔法的导出基于泰勒展开，故精度主要受
解函数的光滑性影响。对于光滑性不太好的解，最好 采用低阶算法而将步长h 取小。
R − K方法的主要优缺点
二级R-K方法
二级R-K方法的形式为
其局部截断误差为 将 中的各项作Taylor展开
Taylor展开有 可得 令
二级R-K能达到的 最高阶数是二阶
常用的二级二阶R-K方法
取
，得
该方法称为改进的Euler公式（梯形公式的预估校正格式）
取
，得
该方法称为中点公式
取
，得
该方法称为Heun(休恩)方法
当 为实数时，得Euler法的绝对稳定区间是
二级R-K方法的绝对稳定区间
二阶二级R-K方法的计算公式为
由此可知，二阶二级R-K方法的绝对稳定区间是 当 为实数时，得绝对稳定区间是
一些常用方法的绝对稳定区间
R-K法的绝对稳定区域
k = 4 • 3. k =3
• 2. k=2 k = 1 • 1.
题相容的充分必要条件是该单步法至少是一阶方
法。
我们本章讨论的数值方法都是与原初值问题相容的！
收敛性
定义：对任意固定的 步法产生的解 ，均有
, 若初值问题的单
则称该方法是收敛的。
我们本章讨论的数值方法都是收敛的！
收敛性判别
定理7.3：设增量函数
在区域
上连续，并对变量y和h满足Lipschitz条件。如果单步 法与微分方程初值问题相容，则单步法收敛。
龙格库塔公式
龙格-库塔（Runge-Kutta）公式是一种常用于数值解求微分方程的方法，其中包括了多种不同类型的龙格-库塔公式.
其中最常见的是四阶龙格-库塔公式（Runge-Kutta 4th order method），这种方法通过在当前时刻的函数值和当前时刻的导函数的近似值计算下一时刻的函数值。
它的计算公式如下：
k1 = hf(xn, yn)
k2 = hf(xn + h/2, yn + k1/2)
k3 = hf(xn + h/2, yn + k2/2)
k4 = hf(xn + h, yn + k3)
yn+1 = yn + (k1 + 2k2 + 2k3 + k4)/6
xn+1 = xn + h
其中k1,k2,k3,k4 是近似值，f(x,y)是微分方程，xn, yn 是当前时刻的函数值，xn+1, yn+1 是下一时刻的函数值, h是时间步长.
这种方法具有较高的精度,并且易于实现,但在求解某些类型的方程时,会存在稳定性问题.
除此之外,还有其他类型的龙格-库塔公式，比如二阶、三阶等等,它们也有各自的适用条件.。
龙格-库塔方法-文档资料
c3a 2b32
c3a3 1
6
; 2
O (h4)
常见的2种三阶方法：
库塔三阶方法
h yn1yn6(k14k2k3)
k1
f(xn,yn);
k2
hh f(xn2,yn2k1)
k 3 f(x n h ,y n h k 1 2 h k 2 ) •5
四级方法：N = 4
局部截断误差 O ( h 5 )
可见误差随着 x n 的增加呈指数函数递减
当 f y 0 时，微分方程是不稳定的； 而 f y 0 时，微分方程是稳定的。
上面讨论的稳定性，与数值方法和方程中 f 有关
•21
实验方程： y y C ,R e () 0
D e f 3 对单步法 yn 1ynh(xn,yn,h )应用实验方程，
e n 1 e n h [ ( x n ,y ( x n ) , h ) ( x n ,y n , h ) ] T n 1
•15
因为单步法是 p 阶的：h0,0hh0满足|Tn1|Chp1
|e n 1| |e n| h L |e n| C h p 1|en |
其中 1hL,C hp1
•18
三、绝对稳定性 /*Absolute Stibility*/ 计算过程中产生的舍入误差对计算结果的影响
首先以Euler公式为例，来讨论一下舍入误差的传播:
yn1ynhf(xn,yn)
设实际计算得到的点 x n 的近似函数值为 yn yn n，
其中 y n 为精确值， n 为误差
yn1ynhf(xn,yn)
通过适当选取参数 1,2和 p 的值，使得公式具有 2阶精度！！
•3
由泰勒公式展开，要使公式具有 2 阶精度，只需
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
要求电流就是求解矩阵微分方程：（R+pM(t)）*I(t)+M(t)*pI(t)-U(t)=0,
其中p是求导，
R是6*6常数矩阵，
M(t)是6*6的时变矩阵，
U(t)是6*1的时变矩阵，
求I(t)，也是6*1的矩阵。
已知条件：
M=[0,0,0, -15727/10000*sin(5/12*pi+80*pi*t)*pi,15727/10000*cos(1/4*pi+80*pi*t)*pi, 15 727/10000*sin(1/12*pi+80*pi*t)*pi;0,0,0,15727/10000*sin(1/12*pi+80*pi*t)*pi, -15727/100 00*sin(5/12*pi+80*pi*t)*pi,15727/10000*cos(1/4*pi+80*pi*t)*pi;0,0,0,15727/10000*cos(1/4 *pi+80*pi*t)*pi,15727/10000*sin(1/12*pi+80*pi*t)*pi, -15727/10000*sin(5/12*pi+80*pi*t)*p i;-15727/10000*sin(5/12*pi+80*pi*t), 15727/10000*sin(1/12*pi+80*pi*t)*pi, 15727/100 00*cos(1/4*pi+80*pi*t)*pi, 0,
0, 0;
15727/10000*cos(1/4*pi+80*pi*t)*pi, -15727/10000*sin(5/12*pi+80*pi*t)*pi, 15727/1 0000*sin(1/12*pi+80*pi*t)*pi, 0,
0, 0;
15727/10000*sin(1/12*pi+80*pi*t)*pi, 15727/10000*cos(1/4*pi+80*pi*t)*pi, -15727/ 10000*sin(5/12*pi+80*pi*t)*pi, 0,
0, 0];
U=[380*cos(100*pi*t);
380*cos(100*pi*t-2*pi/3);
380*cos(100*pi*t+2*pi/3);
0;
0;
0];
R=[0.0247,0,0,0,0,0;
0,0.0247,0,0,0,0;
0,0,0.0247,0,0,0;
0,0,0,0.0193,-0.0193,0;
0,0,0,0,0.0193,-0.0193;
0,0,0,1,1,1];
电流I的初值是：I(0)=[0;0;0;0;0;0];
t是时间
预期最后的结果是6个电流与时间的关系
谢谢
分享到：
举报| 2010-06-22 16:47提问者采纳
global R M U
syms t
R=[
0.0247,0,0,0,0,0;
0,0.0247,0,0,0,0;
0,0,0.0247,0,0,0;
0,0,0,0.0193,-0.0193,0;
0,0,0,0,0.0193,-0.0193;
0,0,0,1,1,1
];
M=[
0,0,0,-15727/10000*sin(5/12*pi+80*pi*t)*pi,15727/10000*cos(1/4*pi+80*pi*t)*pi,15727/10 000*sin(1/12*pi+80*pi*t)*pi;
0,0,0,15727/10000*sin(1/12*pi+80*pi*t)*pi, -15727/10000*sin(5/12*pi+80*pi*t)*pi, 15727/10000*cos(1/4*pi+80*pi*t)*pi;
0,0,0, 15727/10000*cos(1/4*pi+80*pi*t)*pi,15727/10000*sin(1/12*pi+80*pi*t)*pi, -15727/10000*sin(5/12*pi+80*pi*t)*pi;
-15727/10000*sin(5/12*pi+80*pi*t),15727/10000*sin(1/12*pi+80*pi*t)*pi,
15727/10000*cos(1/4*pi+80*pi*t)*pi,0,0,0;
15727/10000*cos(1/4*pi+80*pi*t)*pi,
-15727/10000*sin(5/12*pi+80*pi*t)*pi,15727/10000*sin(1/12*pi+80*pi*t)*pi,0,0,0;
15727/10000*sin(1/12*pi+80*pi*t)*pi, 15727/10000*cos(1/4*pi+80*pi*t)*pi, -15727/10000*sin(5/12*pi+80*pi*t)*pi,0,0,0
];
U=[
380*cos(100*pi*t);
380*cos(100*pi*t-2*pi/3);
380*cos(100*pi*t+2*pi/3);
0;
0;
];
DM=diff(M,t); %就是M对t求导
%%%要调节的参数在这里
%%注意，你的M有点奇异，计算很快发散掉了，你检察一下相关的参数吧。
%%det(subs(M,t,0))
I0=[0;0;0;0;0;0];
tstart=0;
tend=0.1;
dt=0.1;
%%%end
tout=tstart:dt:tend;
n=length(tout);
M_t_dt=subs(M,t,tstart); %P=subs(P,'t',x)就是把P表达式中所有't',都用具体的x值代替U_t_dt=subs(U,t,tstart);
DM_t_dt=subs(DM,t,tstart);
II=I0;
for i=1:n-1
tt=tout(i);
M_t=M_t_dt;
U_t=U_t_dt;
DM_t=DM_t_dt;
M_t_dt_2=subs(M,t,tt+dt/2);
U_t_dt_2=subs(U,t,tt+dt/2);
DM_t_dt_2=subs(DM,t,tt+dt/2);
M_t_dt=subs(M,t,tt+dt);
U_t_dt=subs(U,t,tt+dt);
DM_t_dt=subs(DM,t,tt+dt); %（R+pM(t)）*I(t)+M(t)*pI(t)-U(t)=0
k1=dt*M_t \(U_t -(R+DM_t )*(II(:,end) ));
k2=dt*M_t_dt_2\(U_t_dt_2-(R+DM_t_dt_2)*(II(:,end)+0.5*k1));
k3=dt*M_t_dt_2\(U_t_dt_2-(R+DM_t_dt_2)*(II(:,end)+0.5*k2));
k4=dt*M_t_dt \(U_t_dt -(R+DM_t_dt )*(II(:,end)+k3 ));
I_t=II(:,end)+(k1+2*k2+2*k3+k4)/6; II=[II,I_t];
end
plot(tout',II')。