中考数学复习第2章方程(组)与不等式(组)第9课时不等式
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2025年中考数学总复习第一部分考点精讲第二章方程(组)与不等式(组)第一节一次方程(组)及其应用
2025版
第二章
第一节
数学
甘肃专版
方程(组)与不等式(组)
一次方程(组)及其应用
2025版
数学
甘肃专版
2025版
等
式
一次 的
方程 性
（组）质
及其 及
应用 其
应
用
数学
甘肃专版
2025版
一
一次 元
方程 一
（组）次
及其 方
应用 程
数学
甘肃专版
2025版
一
一次 元
方程 一
（组）次
及其 方
应用 程
数学
海．今凫雁俱起，问何日相逢？”大意：今有野鸭从南海起飞，7天到北
海；大雁从北海起飞，9天到南海．现野鸭从南海，大雁从北海同时起飞，
问经过多少天相遇？设经过x天相遇，根据题意可列方程为( D )
A.(9＋7)x＝1
B．(9－7)x＝1
1
C.(
7
1
D．(
7
−
1
)x＝1
9
+
1
)x＝1
9
2025版
数学
甘肃专版
8＝x，由0.
8ሶ
＝0.888 8…可知，10x＝8.888
8
8…，所以10x＝8＋x，解方程，得x＝ ，于是
9
8
ሶ
ሶ
得0.8＝ .则0.2ሶ 7写成分数形式为
9
3
11
.
2025版
数学
甘肃专版
2025版பைடு நூலகம்
数学
甘肃专版
命题点：一次方程(组)的应用(省卷近5年考查4次，兰州近5年考查3次)
1.(2024·兰州第10题3分)数学家朱世杰所著的《四元玉鉴》是中国元代重要的数学著作之
第二章
第一节
数学
甘肃专版
方程(组)与不等式(组)
一次方程(组)及其应用
2025版
数学
甘肃专版
2025版
等
式
一次 的
方程 性
（组）质
及其 及
应用 其
应
用
数学
甘肃专版
2025版
一
一次 元
方程 一
（组）次
及其 方
应用 程
数学
甘肃专版
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一
一次 元
方程 一
（组）次
及其 方
应用 程
数学
海．今凫雁俱起，问何日相逢？”大意：今有野鸭从南海起飞，7天到北
海；大雁从北海起飞，9天到南海．现野鸭从南海，大雁从北海同时起飞，
问经过多少天相遇？设经过x天相遇，根据题意可列方程为( D )
A.(9＋7)x＝1
B．(9－7)x＝1
1
C.(
7
1
D．(
7
−
1
)x＝1
9
+
1
)x＝1
9
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数学
甘肃专版
8＝x，由0.
8ሶ
＝0.888 8…可知，10x＝8.888
8
8…，所以10x＝8＋x，解方程，得x＝ ，于是
9
8
ሶ
ሶ
得0.8＝ .则0.2ሶ 7写成分数形式为
9
3
11
.
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2025版பைடு நூலகம்
数学
甘肃专版
命题点：一次方程(组)的应用(省卷近5年考查4次，兰州近5年考查3次)
1.(2024·兰州第10题3分)数学家朱世杰所著的《四元玉鉴》是中国元代重要的数学著作之
中考数学复习《二元一次方程组》
中考考点精讲精练
考点1 解二元一次方程组［5年1考：2013年(解答题)］
典型例题
1. 解方程组： x+y=5, 2x+3y=11.
解： x+y=5, ① 2x+3y=11. ②
①×3-②,得x=4. 把x=4代入①，得y=1. 则方程组的解为 x=4,
y=1.
2x+3y=12, 2. 解方程组：
y= -1.
4. 解方程组： x+3y=-1, 3x-2y=8.
解： x+3y=-1, ①
3x-2y=8. ②
由①得x=-1-3y. ③
把③代入②,得3(-1-3y)-2y=8.
解得y=-1.
则x=-1-3×(-1)=2. 故二元一次方程组的解为
x=2, y=-1.
考点点拨： 本考点是广东中考的高频考点，题型一般为计算题，难度简 单. 解答本考点的有关题目，关键在于熟练掌握消元法和代入法 解二元一次方程组. 注意以下要点： (1)用代入消元法解二元一次方程组的步骤； (2)用加减消元法解二元一次方程组的步骤.
பைடு நூலகம்
方法规律
1. 用代入消元法解二元一次方程组的一般步骤(概括为“变， 代，解，回代，联”五步) (1)从方程组中选出一个系数比较简单的方程，将这个方程中
的一个未知数(例如y)用含另一个未知数(例如x)的代数式表示 出来，即写成y=ax+b的形式，即“变”. (2)将y=ax+b代入到另一个方程中，消去y，得到一个关于x的
3. 列二元一次方程组解应用题的一般步骤(概括为“审，找， 列，解，答”五步) (1)审：通过审题，把实际问题抽象成数学问题，分析已知数 和未知数，并用字母表示其中的两个未知数. (2)找：找出能够表示题意的两个相等关系. (3)列：根据这两个相等关系列出必需的代数式，从而列出方 程组. (4)解：解这个方程组，求出两个未知数的值. (5)答：在对求出的方程组的解做出是否合理的判断的基础上， 写出答案.
2025年四川省成都市九年级中考数学大单元复习课件-第二单元__第2节__不等式(组)及其应用
(1)数学书和语文书共90本恰好摆满该书架，求书架上数学书和语文书
各多少本；
解：设书架上数学书有x本，语文书有y 本，
+ =
由题意，得
. + . =
=
，解得
，
=
答：书架上数学书有60本，语文书有30本；
7.(2024江西)如图，书架宽84 cm，在该书架上按图示方式摆放数学书和
语文书，已知每本数学书厚0.8 cm，每本语文书厚1.2 cm.
(2)如果书架上已摆放10本语文书，那么数学书最多还可以摆多少本？
解：设数学书还可以摆m本，
由题意，得10×1.2＋0.8m≤84，
解得m≤90.
答：数学书最多还可以摆90本．
实际问题
设未知数，根据不等
关系列不等式
数学问题
抽象为数学模型
一元一次不等式
一元一次不等式组
解不等式
应用
不等式的性质
实际问题的解
检验
数学问题的解
解不等式组
公共解
数形
结合
口
诀
解决不等式的实际应用问题时,常见的关键词与不等号的对应表：
常见关键词
不等号
大于，多于，超过，高于
>
小于，少于，不足，低于
<
至少，不低于，不小于，不小于
________
≥
至多，不高于，不大于，不超过
________
≤
1. (2024上海)如果x＞y，那么下列正确的是( C )
A. x＋5＜y＋5
B. x－5＜y－5
性质 1
不等式两边加(或减)同一个数(或式子)，不等号的方向不变，
即如果a＞b，那么a±c>b±c
各多少本；
解：设书架上数学书有x本，语文书有y 本，
+ =
由题意，得
. + . =
=
，解得
，
=
答：书架上数学书有60本，语文书有30本；
7.(2024江西)如图，书架宽84 cm，在该书架上按图示方式摆放数学书和
语文书，已知每本数学书厚0.8 cm，每本语文书厚1.2 cm.
(2)如果书架上已摆放10本语文书，那么数学书最多还可以摆多少本？
解：设数学书还可以摆m本，
由题意，得10×1.2＋0.8m≤84，
解得m≤90.
答：数学书最多还可以摆90本．
实际问题
设未知数，根据不等
关系列不等式
数学问题
抽象为数学模型
一元一次不等式
一元一次不等式组
解不等式
应用
不等式的性质
实际问题的解
检验
数学问题的解
解不等式组
公共解
数形
结合
口
诀
解决不等式的实际应用问题时,常见的关键词与不等号的对应表：
常见关键词
不等号
大于，多于，超过，高于
>
小于，少于，不足，低于
<
至少，不低于，不小于，不小于
________
≥
至多，不高于，不大于，不超过
________
≤
1. (2024上海)如果x＞y，那么下列正确的是( C )
A. x＋5＜y＋5
B. x－5＜y－5
性质 1
不等式两边加(或减)同一个数(或式子)，不等号的方向不变，
即如果a＞b，那么a±c>b±c
人教版九年级数学第二单元《方程(组)与不等式(组)》中考知识点梳理
第二单元《方程(组)与不等式(组)》中考知识点梳理第5讲一次方程(组)第6讲一元二次方程第7讲分式方程三、知识清单梳理第8讲一元一次不等式(组)知识点一：不等式及其基本性质关键点拨及对应举例1.不等式的相关概念（1）不等式：用不等号(＞，≥，＜，≤或≠)表示不等关系的式子.（2）不等式的解：使不等式成立的未知数的值.（3）不等式的解集：使不等式成立的未知数的取值范围.例：“a与b的差不大于1”用不等式表示为a－b≤1.2.不等式的基本性质性质1：若a＞b,则a±c>b±c；性质2：若a＞b,c>0，则ac>bc，ac>bc；性质3：若a＞b,c<0，则ac<bc，ac<bc.牢记不等式性质3，注意变号.如：在不等式－2x＞4中，若将不等式两边同时除以－2，可得x＜2.知识点二：一元一次不等式3.定义用不等号连接，含有一个未知数，并且含有未知数项的次数都是1的，左右两边为整式的式子叫做一元一次不等式. 例：若230mmx++>是关于x的一元一次不等式，则m的值为-1.4.解法（1）步骤：去分母；去括号；移项；合并同类项；系数化为1.失分点警示系数化为1时，注意系数的正负性，若系数是负数，则不等式改变方向.（2）解集在数轴上表示:x≥a x＞a x≤a x＜a知识点三：一元一次不等式组的定义及其解法5.定义由几个含有同一个未知数的一元一次不等式合在一起，就组成一个一元一次不等式组．（1）在表示解集时“≥”，“≤”表示含有，要用实心圆点表示；“＜”，“＞”表示不包含要用空心圆点表示．（2）已知不等式（组）的解集情况，求字母系数时，一般先视字母系数为常数，再逆用不等式（组）解集的定义，反推出含字母的方程，最后求出字母的值.如：已知不等式（a-1）x＜1-a 的解集是x＞-1，则a的取值范围是a＜1.6.解法先分别求出各个不等式的解集，再求出各个解集的公共部分7.不等式组解集的类型假设a＜b解集数轴表示口诀x ax b≥⎧⎨≥⎩x≥b大大取大x ax b≤⎧⎨≤⎩x≤a小小取小x ax b≥⎧⎨≤⎩a≤x≤b大小，小大中间找x ax b≤⎧⎨≥⎩无解大大，小小取不了知识点四：列不等式解决简单的实际问题8.列不等式解应用题（1）一般步骤：审题；设未知数；找出不等式关系；列不等式；解不等式；验检是否有意义.（2）应用不等式解决问题的情况：a.关键词：含有“至少（≥）”、“最多（≤）”、“不低于（≥）”、“不高于（≤）”、“不大（小）于”、“超过（＞）”、“不足（＜）”等；注意：列不等式解决实际问题中，设未知数时，不应带“至少”、“最多”等字眼，与方程中设未知数一致.。
陕西专版中考数学新突破复习第一部分教材同步复习第二章方程(组)与不等式(组)2.2一元二次方程课件
答：应将销售单价定位56元．
易 错 辨析
易错点 解一元二次方程“丢根”现象 【例4】 方程x(x＋1)＝3(x＋1)2的根为____________． 【错解】 x(x＋1)＝3(x＋1)2，两边同时除以(x＋1)
得， x＝3(x＋1) x＝3x＋3 －2x＝3 x＝－32.
【错解分析】 观察方程可知方程两边有公因式(x＋ 1)，所以方程两边同时除以(x＋1)，得x＝3(x＋1)，解得x＝ －32，没有按正确的步骤来解方程．
2．列一元二次方程解应用题的步骤 (1)审：弄清题意． (2)设：设未知数． (3)列：根据题中的等量关系列出方程． (4)解：解方程． (5)验：检验根的合理性． (6)答：写出答案．
3．列一元二次方程解应用题时需掌握以下两个关系 (1)增长率等量关系：
增量 ①增长率＝基础量×100%. ②设a为原来量，m为平均增长(下降)率，n为增长(下降) 次数，b为增长(下降)后的量，则a(1＋m)n＝b[或a(1－m)n＝ b]． (2)利润等量关系： ①利润＝售价－成本．
【注意】选择四种解法的使用顺序：直接开平方法，因 式分解法，配方法，公式法．
►知识点三 一元二次方程根的判别式
一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的根的判别式是Δ＝ ___b_2－__4_a_c______.
1．Δ＞0⇔__方__程__有__两__个__不__相__等__的__实__数__根__． 2．Δ＝0⇔__方__程__有__两__个__相__等__的__实__数__根_． 3．Δ＜0⇔__方__程__没__有__实__数__根_________．
第一部分 教材同步复习
第二章 方程(组)与不等式(组)
2.2 一元二次方程
知识要点 ·归纳
易 错 辨析
易错点 解一元二次方程“丢根”现象 【例4】 方程x(x＋1)＝3(x＋1)2的根为____________． 【错解】 x(x＋1)＝3(x＋1)2，两边同时除以(x＋1)
得， x＝3(x＋1) x＝3x＋3 －2x＝3 x＝－32.
【错解分析】 观察方程可知方程两边有公因式(x＋ 1)，所以方程两边同时除以(x＋1)，得x＝3(x＋1)，解得x＝ －32，没有按正确的步骤来解方程．
2．列一元二次方程解应用题的步骤 (1)审：弄清题意． (2)设：设未知数． (3)列：根据题中的等量关系列出方程． (4)解：解方程． (5)验：检验根的合理性． (6)答：写出答案．
3．列一元二次方程解应用题时需掌握以下两个关系 (1)增长率等量关系：
增量 ①增长率＝基础量×100%. ②设a为原来量，m为平均增长(下降)率，n为增长(下降) 次数，b为增长(下降)后的量，则a(1＋m)n＝b[或a(1－m)n＝ b]． (2)利润等量关系： ①利润＝售价－成本．
【注意】选择四种解法的使用顺序：直接开平方法，因 式分解法，配方法，公式法．
►知识点三 一元二次方程根的判别式
一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的根的判别式是Δ＝ ___b_2－__4_a_c______.
1．Δ＞0⇔__方__程__有__两__个__不__相__等__的__实__数__根__． 2．Δ＝0⇔__方__程__有__两__个__相__等__的__实__数__根_． 3．Δ＜0⇔__方__程__没__有__实__数__根_________．
第一部分 教材同步复习
第二章 方程(组)与不等式(组)
2.2 一元二次方程
知识要点 ·归纳
陕西专版中考数学新突破复习第一部分教材同步复习第二章方程(组)与不等式(组)2.3分式方程课件202
方程x－a 1＋1x＝0 可能产生的增根是_x_＝__1_或__0___.
►知识点二 分式方程的应用
列分式方程解应用题的步骤跟其他方法解应用题有一 点 不 一 样 的 是 要 检 验 两 次 ， 既 要 检 验 求 出 来 的 解 是原否方为程 ______的根，又要检验符是合否题__意________．
第一部分 教材同步复习
第二章 方程(组)与不等式(组)
2.3 分式方程
知识要点 ·归纳
►知识点一 分式方程
1．分式方程的概念 __分__母____中含有未知数的方程叫分式方程． 2．解分式方程 (1)基本思想：分式方程去―分 ―→母整式方程
将方程x－1 2＋x＋4 2＝0 化为整式方程为_x_＋__2_＋___4_(x_－__2_)_ __＝___0_______.
易 错 辨析
易错点 解分式方程步骤错误 【例 3】 解分式方程：x－1 2＝x2－ －1x－1. 【错解】 方程两边同乘以(x－2)，得1＝1－x－1， x＝－1. 【错解分析】 去分母过程中常数项没有乘公分母，
且没有验根．
【正解】 x－1 2＝x2－ －1x－1 1＝1－x－(x－2) x＝1. 检验：当 x＝1 时，x－2≠0，∴x＝1 是原分式方程的解．
•
15、一个人炫耀什么，说明他内心缺 少什么 。。2022年3月 2022/3/22022/3/22022/3/23/2/2022
•
16、业余生活要有意义，不要越轨。2022/3/22022/3/2Marc h 2, 2022
•
17、一个人即使已登上顶峰，也仍要 自强不 息。2022/3/22022/3/22022/3/22022/3/2
•
12、人乱于心，不宽余请。2022/3/22022/3/22022/3/2Wednesday, March 02, 2022
►知识点二 分式方程的应用
列分式方程解应用题的步骤跟其他方法解应用题有一 点 不 一 样 的 是 要 检 验 两 次 ， 既 要 检 验 求 出 来 的 解 是原否方为程 ______的根，又要检验符是合否题__意________．
第一部分 教材同步复习
第二章 方程(组)与不等式(组)
2.3 分式方程
知识要点 ·归纳
►知识点一 分式方程
1．分式方程的概念 __分__母____中含有未知数的方程叫分式方程． 2．解分式方程 (1)基本思想：分式方程去―分 ―→母整式方程
将方程x－1 2＋x＋4 2＝0 化为整式方程为_x_＋__2_＋___4_(x_－__2_)_ __＝___0_______.
易 错 辨析
易错点 解分式方程步骤错误 【例 3】 解分式方程：x－1 2＝x2－ －1x－1. 【错解】 方程两边同乘以(x－2)，得1＝1－x－1， x＝－1. 【错解分析】 去分母过程中常数项没有乘公分母，
且没有验根．
【正解】 x－1 2＝x2－ －1x－1 1＝1－x－(x－2) x＝1. 检验：当 x＝1 时，x－2≠0，∴x＝1 是原分式方程的解．
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15、一个人炫耀什么，说明他内心缺 少什么 。。2022年3月 2022/3/22022/3/22022/3/23/2/2022
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16、业余生活要有意义，不要越轨。2022/3/22022/3/2Marc h 2, 2022
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17、一个人即使已登上顶峰，也仍要 自强不 息。2022/3/22022/3/22022/3/22022/3/2
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12、人乱于心，不宽余请。2022/3/22022/3/22022/3/2Wednesday, March 02, 2022
陕西专版中考数学新突破复习第一部分教材同步复习第二章方程(组)与不等式(组)2.2一元二次方程课件201902213
A．6
B．8
C．10
D．12
【思路点拨】 本题考查根与系数的关系．根据根与系
数的关系，得到x1＋x2＝2，x1·x2＝－3，再变形x
2 1
＋x
2 2
得到
(x1＋x2)2－2x1·x2，然后代入计算即可．
【解答】 ∵一元二次方程x2－2x－3＝0的两根是x1、
x2，∴x1＋x2＝2，x1·x2＝－3，∴x
【错解】 x(x＋1)＝3(x＋1)2，两边同时除以(x＋1) 得，
x＝3(x＋1) x＝3x＋3 －2x＝3 x＝－32.
【错解分析】 观察方程可知方程两边有公因式(x＋ 1)，所以方程两边同时除以(x＋1)，得x＝3(x＋1)，解得x＝ －32，没有按正确的步骤来解方程．
【正解】 x(x＋1)＝3(x＋1)2 x(x＋1)－3(x＋1)2＝0 (x＋1)[x－3(x＋1)]＝0 (x＋1)(－2x－3)＝0 x1＝－1，x2＝－32.
三年中考 ·讲练
典 例 精析
一元二次方程及其解法 (热频考点)
【例1】 (2014·陕西)若x＝－2是关于x的一元二次方程
x2－52ax＋a2＝0的一个根，则a的值为(
)
A．1或4
B．－1或－4
C．－1或4
D．1或－4
【思路点拨】 本题考查解一元二次方程．先将x＝－2
代入x2－
5 2
ax＋a2＝0中，即可得到关于a的一元二次方程，再
＝0或a＋1＝0，
解得：a＝－4或a＝－1.
十字相乘法，就是把一个二次三项式化为两个因式相乘的形式.用十字相乘法把形如＋＋的二次三项式分解因式，如下：
＋＋＝＋(＋)＋＝(＋)(＋)
⇑
⇑
(广西专用)2019年中考数学复习第二章方程(组)与不等式(组)2.3分式方程(讲解部分)素材(pdf)
３． 一般地，解分式方程时， 去分母后所得整式方程的解有可
ң②㊀ 整式方程㊀ ．
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（２） 将方程两边同乘最简公分母，约去分母，得到一个整式方程； （３） 解这个整式方程；（４） 验根．
（１） 适当变形， 通常是对分母分解因式， 找到最简公分母；
１２ ㊀
５ 年中考 ３ 年模拟
ɦ ２． ３㊀ 分式方程
３１
考点一㊀ 分式方程及其解法
㊀ ㊀ １． ①㊀ 分母㊀ 中含有未知数的方程叫做分式方程． ２． 解分式方程的基本思路：分式方程
去分母 ㊀
４． 去分母解分式方程的一般步骤：
能使原方程中分母为零，因此应进行如下检验： 将整式方程的解 代入③㊀ 最简公分母 ㊀ ， 若最简公分母的值不为零， 则整式方程的 解是原分式 方 程 的 解； 否 则， 这 个 解 不 是 原 分 式 方 程 的 解， 是 增根．
考点二㊀ 分式方程的应用
㊀ ㊀ １． 常见题型有行程问题和工程问题．
是④㊀ 原方程㊀ 的根，再检验方程的根是否符合⑤㊀ 题意㊀，缺一不可．
２． 用分式方程解应用题时，检验分为两步，先检验所求根是不
第二章㊀ 方程（ 组） 与不等式（ 组）
１３ ㊀
３１
方法㊀ 分式方程的应用
㊀ ㊀ 在列方程之前，应先弄清问题中的已知量与未知量， 以及它 们之间的数量关系，用含未知数的式子表示相关量， 再用题中的 主要相等关系列出方程． 求出解后，必须进行检验，既要检验是不 是所列分式方程的解，又要检验是否符合题意． 需求，要求购买排球和足球若干个． 已知足球的单价比排球的单 价多 ３０ 元，用 ５００ 元购得的排球数量与用 ８００ 元购得的足球数 量相等． （１） 排球和足球的单价各是多少元？ （２） 若恰好用去 １ ２００ 元，有哪几种购买方案？ ＋３０） 元，根据题意可得方程，再求解即可； 例㊀ （ ２０１７ 河池，２４， ８ 分 ） 某班为满足同学们课外活动的
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毕节中考考情及预测
毕节中考真题试做
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