最大度为6且不含5-圈和相邻4-圈的平面图是7-全可染的

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最大度为6的平面图是13-线性可染的

｛｝的色因（ＩＩ｛ｌ。）中颜染．为Ｉ２）≤ 盘（Ｃ：
所以总有１颜色可以染给仉与Ｇ的选择矛盾！种
二 ≤ Ｉｌ
ｌ『］ｌ２：一 ≤ ，
假设Ｇ包含一个２点，一其邻点为，，由Ｇ的极小性知日＝Ｇ一Ｙ则有一个线性染色ｃ应用颜色集
文章编号：０１０１２１０－１１４１０－５（０２）２０２－５０
最大度为６的平面图是１．性可染的线３
王侃
３１０）２０４
（江师范大学数理与信息工程学院，江金华浙浙
摘
要：Ｇ的线性色数ｌ（）图ｃＧ是指Ｇ的所有线性染色中所用的最少颜色的个数．运用Ｄｓｈｒｉｉａｇｇ方法，ｃｎ研究
Ｉ．献９明：图满最度（ ≤，ｌＧ≤；图满最度＋文［证了若Ｇ足大 △Ｇ４ｃ）８Ｇ足大２］）则（若１．＋５
△Ｇ≤，ｌＧ≤４平图，△Ｇ≥ ，ｌＧ≤ （５ｃ）１对面Ｇ（５则ｃ）Ｉ）则（；若）２（
本文考虑对平面图类改进上述部分结论，得到如下的结果：定理１若Ｇ是平面图且满足 △（）Ｇ ≤６，ｌ（ ≤１．则ｃＧ）３
第３５卷第２期２１５月０２年
浙江师范大学学报（自然科学版）ＪｕａｏＺｅｉｇＮｒａＵｉｒｉ（ａ．Ｓｉ）ｏｒｌｆｈｊｎｏｍｌｎｖｓｙＮｔｃ．ｎａｅｔ
Ｖ１５ｏ２ｏ．３，Ｎ．Ｍａ０２ｙ２１

最大度是6不含相邻k-圈的可平面图的边染色

Ｅｄｇｅｃｏｒｎｇａｒｇａｏｌｉｏｆｐｌｎａｒｐｈｓｆａｍｕｍｇｒｅｓｘｉｈｏｕｔｏｒｍｘｉｄｅｅｉｗｔ
ａｊｃｎ－ｙｌｓｄａｅｔｋｃｃｅ
ＮＩＷｅ— ｉｇｉｐｎ
（ｅａｔｎｔｅｔｓａｄＩｆｒｔｎＳｉｃ，ａｚｕｎｎｖｒｉ，ＤｐｒｍｅｔｆｏＭａｈｍａｃｎｏｉｎｍａｏｃｎｅＺｏｈａｇＵｉｓｙｉｅｅｔ
Ｚａｚｕｎｈｎｏｇ２７６，ＣｈｎｏｈａｇＳａｄｎ７１０ｉＡｂｓｒｔＢｙａｐｙｎｉｃａｇｎｔｏｎｓｎｈｒｐｅｔｅｆｃｉｉａｒｐｓｔａｃ：ｐｌｉｇｄｓｈｒｉｇｍｅｈｄａｄｕｉｇｔｅｐｏｒｉｓｏｒｔｃｌｇａｈ，
文中考虑的图都是简单、无向有限图．图Ｇ可以表示在平面上，若并且任意两条边仅在
其端点处才可能相交，则称Ｇ是可平面图，Ｇ的这种平面上的表示法称为Ｇ的一个平面嵌图
入，称为平面图．别用符号（，Ｇ，Ｇ） △（（或分Ｇ）Ｅ（）Ｆ（，Ｇ）简记为 △）示Ｇ的顶点集合，表边
ｗｅｐｏｅｈａｖｒｉｌｌｎｒｇａｈＧｔ：６ｉｆｌｓ１ｉａｙｔ－ｙｌｓｏｒｖｄｔｔｅｅｙｓｍｐｅｐａａｒｐｗｉｈＡｓｏｅ．ｆｎｗｏｋｃｃｅｆｃｍ
集合，面集合，最大度．ｄｘ表示Ｘ在Ｇ中的度数，中Ｘ∈ｖ（ｕＦ（．用（）其ａ）Ｇ）用（）ｕ表示顶点Ｖ的度数为ｋ的邻点的个数，（）ｄ＋Ｖ表示顶点Ｖ的度数不小于的邻点的个数．度数为ｋ的

一类特殊图的顶点染色数

一类特殊图的顶点染色数张祥波【摘要】If there are common vertexes in all the maximum cliques of graph, and there are k common vertexes, then we call graph is the k class graph. Hereby, this paper gives a new method to study vertex coloring of graph. According to this method, this paper studies a class vertex coloring of special graphs, and gives vertex coloring number of some graphs.%如果图G含有的所有最大团存在公共顶点,且公共顶点的个数为k,就称此图为第k类图。

据此,本文给出了研究图的顶点染色的一种新方法,并以此研究了一类特殊图的顶点染色及一些图的顶点染色数。

【期刊名称】《安庆师范学院学报（自然科学版）》【年(卷),期】2015(000)003【总页数】4页(P11-13,30)【关键词】最大团;顶点染色数;第k类图;图的厚度【作者】张祥波【作者单位】临盘中学，山东临邑 251507【正文语种】中文【中图分类】O157.5给定一个无向简单图G(V,E)(以下简称图G)，使得任意相邻顶点染不同颜色，这种染色所需要的最小数目，叫做图G的顶点染色数，记为χ(G)。

图的顶点染色较为复杂，这是一个NPC问题。

关于这个方面的研究主要包括它的求解算法[1-5]和特殊图的顶点染色[6-11](尤以平面图的染色较多[12-18])两个方面。

本文则提出了第k类图的概念，对图的结构进行统一分类，给出了研究图的顶点染色的一种新方法。

按照这种方法，本文研究了|S|且|S|=p-3时，图G的顶点染色，并给出了其中4类图的顶点染色数。

排列组合题型全归纳专题06 染色问题(原卷版)

专题06染色问题【方法技巧与总结】涂色问题常用方法：(1)根据分步计数原理，对各个区域分步涂色，这是处理区域染色问题的基本方法；(2)根据共用了多少种颜色讨论，分别计算出各种情形的种数，再用分类计数原理求出不同的涂色方法种数；(3)根据某两个不相邻区域是否同色分类讨论.从某两个不相邻区域同色与不同色入手，分别计算出两种情形的种数，再用分类计数原理求出不同涂色方法总数.k 种颜色圆周染色问题如图，把一个圆分成(2)n n ≥个扇形，每个扇形用k 种颜色之一染色，要求相邻扇形不同色，有(1)(1)(1)n n n a k k =-+-⨯-种方法.正常着色定理如图，用k （k 为正整数）种颜色给图的n 个顶点着色，则正常着色的方法为：,(1)(1)(1),2n n n k F k k n =-+--≥，1,k F k =.【典型例题】例1．（2023·全国·高三专题练习）如图是某届国际数学家大会的会标，现在有4种颜色给其中5个小区域涂色，规定每个区域只涂一种颜色，相邻区域颜色不相同，则不同的涂色方案种数为（）A．72B．48C．36D．24例2．（2023·全国·高三专题练习）如图，湖北省分别与湖南、安徽、陕西、江西四省交界，且湘、皖、陕互不交界，在地图上分别给各省地域涂色，要求相邻省涂不同色，现有5种不同颜色可供选用，则不同的涂色方案数为（）A．480B．600C．720D．840例3．（2023·全国·高三专题练习）给图中A，B，C，D，E，F六个区域进行染色，每个区域只染一种颜色，且相邻的区域不同色.若有4种颜色可供选择，则共有（）种不同的染色方案.A．96B．144C．240D．360例4．（2023·全国·高三专题练习）有4种不同颜色的涂料，给图中的6个区域涂色，要求相邻区域的颜色不相同，则不同的涂色方法共有（）A．1512种B．1346种C．912种D．756种例5．（2023·全国·高三专题练习）在一个正六边形的六个区域涂色（如图），要求同一区域同一种颜色，相邻的两块区域（有公共边）涂不同的颜色，现有5种不同的颜色可供选择，则不同涂色方案有（）A．720种B．2160种C．4100种D．4400种例6．（2023·全国·高三专题练习）用红、黄、蓝、绿、橙五种不同颜色给如图所示的5块区域A、B、C、D、E涂色，要求同一区域用同一种颜色，有共公边的区域使用不同颜色，则共有涂色方法（）A．120种B．720种C．840种D．960种例7．（2023秋·重庆沙坪坝·高三重庆八中校考开学考试）用黑白两种颜色随机地染如图所示表格中5个格子，每个格子染一种颜色，并且从左到右数，不管数到哪个格子，总有黑色格子不少于白色格子的染色方法种数为（）A ．6B ．10C ．16D ．20例8．（2023·全国·高三专题练习）在如图所示的5个区域内种植花卉，每个区域种植1种花卉，且相邻区域种植的花卉不同，若有6种不同的花卉可供选择，则不同的种植方法种数是（）A ．1440B ．720C ．1920D ．960例9．（2023·全国·高三专题练习）如图，用五种不同的颜色给图中的O ，A ，B ，C ，D ，E 六个点涂色（五种颜色不一定用完），要求每个点涂一种颜色，且图中每条线段的两个端点涂不同的颜色，则不同的涂法种数是（）A ．480B ．720C ．1080D ．1200例10．（2023·全国·高三专题练习）用五种不同颜色给三棱柱111ABC A B C -的六个顶点涂色，要求每个顶点涂一种颜色，且每条棱的两个顶点涂不同颜色，则不同的涂法有（）A ．840种B ．1200种C ．1800种D ．1920种例11．（2023·全国·高三专题练习）正方体六个面上分别标有A 、B 、C 、D 、E 、F 六个字母，现用5种不同的颜色给此正方体六个面染色，要求有公共棱的面不能染同一种颜色，则不同的染色方案有（）种.A ．420B ．600C ．720D ．780例12．（2023春·内蒙古赤峰·高二赤峰二中校考阶段练习）如图，某伞厂生产的太阳伞的伞篷是由太阳光的七种颜色组成，七种颜色分别涂在伞篷的八个区域内，且恰有一种颜色涂在相对区域内，则不同颜色图案的此类太阳伞最多有（）.A．40320种B．5040种C．20160种D．2520种例13．（2023·全国·高三专题练习）如图，用四种不同的颜色给图中的A，B，C，D，E，F，G七个点涂色，要求每个点涂一种颜色，且图中每条线段的两个端点涂不同颜色，则不同的涂色方法有（）A．192B．336C．600D．以上答案均不对例14．（2023·全国·高三专题练习）如图所示，将一个四棱锥的每一个顶点染上一种颜色，并使同一条棱上的两端异色，如果只有5种颜色可供使用，则不同的染色方法种数是()A．420B．210C．70D．35例15．（2023·全国·高二专题练习）如图，给图中的A，B，C，D，E，F六个点涂色，要求每个点涂一种颜色，且图中每条线段的两个端点涂不同颜色，若有四种颜色可供选择，则不同的涂色方法共有______种.例16．（2023·全国·高三专题练习）如图，用四种不同颜色给图中的A，B，C，D，E，F，G，H八个点涂色，要求每个点涂一种颜色，且图中每条线段上的点颜色不同，则不同的涂色方法有___________种.例17．（2023·全国·高三专题练习）如图，一个地区分为5个行政区域，现给地图着色，要求相邻区域不得使用同一种颜色，共有5种颜色可供选择，则不同的着色方法共有________种(以数字作答)．例18．（2023·全国·高三专题练习）如图，用4种不同的颜色给图中的8个区域涂色，每种颜色至少使用一次，每个区域仅涂一种颜色，且相邻区域所涂颜色互不相同，则区域A，B，C，D和1A，1B，1C，1D分别各涂2种不同颜色的涂色方法共有_________种；区域A，B，C，D和1A，1B，1C，1D分别各涂4种不同颜色的涂色方法共有_________种.例19．（2023·陕西宝鸡·统考一模）七巧板是古代劳动人民智慧的结晶.如图是某同学用木板制作的七巧板，它包括5个等腰直角三角形､一个正方形和一个平行四边形.若用四种颜色给各板块涂色，要求正方形板块单独一色，其余板块两块一种颜色，而且有公共边的板块不同色，则不同的涂色方案有______种.例20．（2023秋·甘肃张掖·高三高台县第一中学校考阶段练习）如图，节日花坛中有5个区域，现有4种不同颜色的花卉可供选择，要求相同颜色的花不能相邻栽种，则符合条件的种植方案有_____________种.例21．（2023·高二课时练习）如图，用5种不同的颜色给图中的A、B、C、D、E、F6个不同的点涂色，要求每个点涂1种颜色，且图中每条线段的两个端点涂不同的颜色，则不同的涂色方法共有______种.例22．（2023·全国·高三专题练习）在如图所示的十一面体ABCDEFGHI中，用3种不同颜色给这个几何体各个顶点染色，每个顶点染一种颜色，要求每条棱的两端点异色，则不同的染色方案种数为__________．例23．（2023·全国·高二专题练习）埃及胡夫金字塔是古代世界建筑奇迹之一，它的形状可视为一个正四棱锥，如图所示．将一个正四棱锥的每一个顶点染上一种颜色，并使同一条棱的两端异色，如果只有5种颜色可供使用，求不同的染色方法种数．例24．（2023·全国·高三专题练习）如图，一个正方形花圃被分成5份．(1)若给这5个部分种植花，要求相邻两部分种植不同颜色的花，已知现有5种颜色不同的花，求有多少种不同的种植方法？(2)若向这5个部分放入7个不同的盆栽，要求每个部分都有盆栽，问有多少种不同的放法？例25．（2023·全国·高三专题练习）用()3,n n n N *≥∈种不同的颜色给如图所示的A 、B 、C 、D 四个区域涂色．（1）若相邻区域能用同一种颜色，则图①有多少种不同的涂色方案？（2）若相邻区域不能用同一种颜色，当6n =时，图①、图②各有多少种不同的涂色方案？（3）若相邻区域不能用同一种颜色，图③有180种不同的涂色方案，求n 的值．例26．（2023·全国·高二专题练习）如图所示的A ，B ，C ，D 按照下列要求涂色．（1）用3种不同颜色填涂图中A，B，C，D四个区域，且使相邻区域不同色，若按从左到右依次涂色，有多少种不同的涂色方案？（2）若恰好用3种不同颜色给A，B，C，D四个区域涂色，且相邻区域不同色，共有多少种不同的涂色方案？（3）若有3种不同颜色，恰好用2种不同颜色涂完四个区域，且相邻区域不同色，共有多少种不同的涂色方案？例27．（2023·全国·高二专题练习）（1）从5种颜色种选出3种颜色，涂在一个四棱锥的五个顶点上，每一个顶点涂一种颜色，并使同一条棱上的两个顶点异色，则不同的涂色方法有______种；（2）从5种颜色种选出4种颜色，涂在一个四棱锥的五个顶点上，每一个顶点涂一种颜色，并使同一条棱上的两个顶点异色，则不同的涂色方法有______种．。

公务员考试行测图形推理之立体图解

巧记口诀确定正方体表面展开图6个相连的正方形组成的平面图形，经折叠能否围城正方体问题，是近年来中考常考题型。

同学们在学习这一知识时常感到无从下手，现将确定正方体展开图的方法以口诀的方式总结出来，供大家参考：正方体盒巧展开，六个面儿七刀裁。

十四条边布周围，十一类图记分明：四方成线两相卫，六种图形巧组合；跃马失蹄四分开；两两错开一阶梯。

对面相隔不相连,识图巧排“7”、“凹”、“田”。

现将口诀的内涵解释如下：将一个正方体盒的表面沿某些棱剪开，展开成平面图形，需剪7刀，故平面展开图中周围有14条边长共有十一种展开图：一、四方成线两相卫，六种图形巧组合（1）（2）（3）（4）（5）（6），另外两个小方块在四个方块的上下两侧，共六种情况。

（1）（2）（3）（4）以上四种情况可归结为五个小方块组成“三二相连”的基本图形（如图），另外一个小方块的位置有四种情况，即图中四个小方块中的任意一个，这一图形有点像失蹄的马，故称为“跃马失蹄”。

三、两两错开一阶梯这一种图形是两个小方块一组，两两错开，像阶梯一样，故称“两两错开一阶梯”。

四、对面相隔不相连这是确定展开图的又一种方法，也是确定展开图中的对面的一种方法。

如果出现三个相连，则1号面与3号面是对面，中间隔了一个2号面，并且是对面的一定不相连。

五、识图巧排“7”、“凹”、“田”（1）（2）（3）这里介绍的是一种排除法。

如果图中出现象图（1）中的“7”形结构的图形不可能是正方体展开图的，因为图中1号面与3号面是对面，3号面又与5号面是对面，出现矛盾。

如果图中出现象图（2）中的“田”形结构的图形不可能是正方体展开图的，因为同一顶点处不可能出现四个面的。

如果图中出现象图（3）中的“凹”形结构的图形不可能是正方体展开图的，因为如果把该图形折叠起来将有两个面重合。

现举例说明：例1．（2004海口市实验区）下面的平面图形中，是正方体的平面展开图的是（）解析：本题可用“识图巧排 ‘7’、‘田’、‘凹’”来解决。

有关图的染色问题的研究

j 2 1
nj j 1
.
引理 3[2 ] 设 G 为阶为 v ,边数为 e 的Δ2 临界图. (1) 若 3 ,则 e (5v 1) / 4 ; (2) 若Δ = 4 ,则 e 5v / 3 ; (3) 若 5 ,则 e 2v 1 ; (4) 若 6 ,则 e (9v 1) / 4 ;
同的颜色，所以对任意图 G 的边色数有 ' G ，其中指图 G 的最大度。 1964 年，苏联数学家 V.G.Vizing 给出了关于图边染色的一个突破性结论，他指出了简单图 G 的边色数与度之间的关系。 Vizing 定理：任意(简单，无向) 图 G 的边着色数 (edge chromatic number)
在将近半个世纪的漫长岁月里，人们一直在为解决简单图的分类问题做着不懈的努力。解决一般图的分类问题相当困难，因此人们关心平面图等特殊图的分类问题。对于简单平面图，1965 年，Vizing 自己证明了，如果 8 则是第一类的。而对于 2,3, 4,5 的情况则同时有第一类和第二类的图存在。比如，把正多面体的其中一边截成两条，即可得到 3, 4,5 的平面图，都有 G C 2 ；而任何长度是奇数的圈 ( 比如三角形 ) 就是 2 的第二类图。并对剩余的两种情况， Vizing 也提出了猜想。平面图 Vizing 猜想：任何简单平面图如果 6 7, e(G) v (G) ，则是第一类的。对于 7 的情况，在 2001 年 Sanders & Zhao 给出了肯定的结果：G C1 。而对于 6 的情况，至今尚未解决。 2.3 一些结论首先介绍几个常用的引理. 引理 1 (Vizing 邻接引理) 设 G 为临界图,且 uv E (G), d (v) k , 则有 (1) 若 k , u 至少相邻于 G 的 k 1 个度数为的顶点; (2) 若 k , u 至少相邻于 G 的两个度数为的顶点. 引理 2[2 ] 若 G 为临界图( ≥3) ,则 n 2

最大度为6且不含4-圈和7-圈的平面图的边列表和全列表

最大度为6且不含4-圈和7-圈的平面图的边列表和全列表姚潇彦【摘要】It was studied the list chromatic index of plane graph G with maximum degree △(G) = 6, it was proved the list chromatic index was A and the list total chromatic number was △ + 1 if △(G) = 6 and G had no 4-cycles and 7-cycles by using the discharing method.%令G是一个最大度为△(G)的平面图.运用Dischanging方法,进一步探究△(G)≥6的平面图的边列表色数,得到了最大度为6且不含4-圈和7-圈的平面图的边列表色数为△,全列表色数为△+1.【期刊名称】《浙江师范大学学报（自然科学版）》【年(卷),期】2011(034)003【总页数】5页(P267-271)【关键词】平面图;列表染色;圈;最大度【作者】姚潇彦【作者单位】浙江师范大学数理与信息工程学院,浙江金华 321004【正文语种】中文【中图分类】O157.50 引言本文考虑的图都是简单、有限的无向图．文中未加定义的术语和记号参阅文献［1］．用V(G)，E(G)，F(G)，Δ(G)和δ(G)分别表示平面图G的顶点集、边集、面集、最大度和最小度(在不引起混淆的情况下简记为 V，E，F，Δ 和δ)．图G的一个k-边染色是一个映射φ:E(G)→{1，2，…，k}，其中k是整数．若映射φ还满足对于G中的每一对相邻边e和e'，有φ(e)≠φ(e')，则称这个k-边染色是正常的;若G有一个正常的k-边染色，则称G是k-边可染的;G的边色数χ'(G)是使得G是k-边可染的最小的整数k;称映射L为图G的一个边列表，如果它给每条边e∈G一个颜色集合L(e);若有一个正常的边染色φ，使得每一条边e满足φ(e)∈L(e)，则称G是L-边可染的，或称φ是G的一个L边染色;若对任意表L和每条边e∈E(G)，都有|L(e)|≥k，且G是L边可染的，则称G是k-边可选的．G 的边列表色数χ'l(G)是使得G是k-边可选择的最小的整数k．类似地，可定义同时染顶点和边的G的全列表色数χ"l(G)．由定义可直接得到χ'l(G)≥χ'(G)≥Δ(G)和χ"l(G)≥χ"(G)≥Δ(G)+1．下面是著名的边列表染色和全列表染色猜想:猜想1 如果G是一个多重图，则:1)χ'l(G)= χ'(G);2)χ"l(G)= χ"(G)．对于二部重图、奇阶完全图、多重圈、外平面图，已证明猜想1的1)成立．文献［2］证明了对于Δ≥12可嵌入非负特征曲面上的图，猜想1成立;文献［3］证明了对于最大度至少为7且不含4-圈的平面图及最大度至少为6且不含4-圈和6-圈的平面图，猜想1成立．本文研究Δ≥6的平面图的边列表染色和全列表染色问题，得到以下结果:定理1 若G是Δ≥6且没有4-圈和7-圈的平面图，则G是6-边可选的和7-全可选的．1 引理方便起见，先引进一些定义和记号．把度为k或度不小于k或度不大于k的点(或面)分别称做k-点(面)，k+-点(面)，k--点(面);一个面f的度d(f)，是指关联f的边的条数，其中割边被计算2次．用nv(f)表示任意一个关联f的点v经过f的闭途径的次数．假设定理1不成立，并设G是定理1的一个使σ(G)=|V|+|E|最小的反例，即G本身不是6-边可选的和7-全可选的，但它的每个真子图都是6-边可选的和7-全可选的，则G有以下几个性质:引理1 G是连通的．引理2 设∀e=uv∈E．若6+-点相邻，3-点只与 5+-点相邻．引理3 G不含2-交替圈．由G的极小性容易证明引理1，引理2和引理3的证明可参阅文献［4］．引理4 令G'是G中所有关联2-点的边导出的子图，则G'是一个森林．设T是G'中的一棵极大树，由引理2知，T的所有叶子都是6+-点，由归纳法容易证明G'中存在一个饱和所有2-点的匹配M．如果给每个极大树配一个极大匹配，并设v是G中任意一个2-点，那么称v的被匹配饱和的邻点为v的master．引理5 G具有以下性质:2)每个关联3-面的面是5-面或8+-面;3)若一个2-点关联一个3-面，则它关联的另一个面是6-面或9+-面;4)若一个3-点关联一个3-面和一个5-面，则它关联的另一个面是8+-面;5)设 f1，f2，f3是v关联的面，且依顺时针方向排列，如果f1，f3都是3-面，那么 f2是8+-面．证明:1)，2)和3)易证，下证4)和5)．4)设v是一个3-点，f1，f2，f3是v关联的3个面，不失一般性，假设它们是依顺时针方向排列的，且d(f1)≤d(f2)，其中 f1是 5-面，f3是 3-面．用反证法．设d(f1)=d(f2)=5，且 f1=［vuu1u2u3］，f2=［vuv1v2v3］，若 f1和 f2正常相邻，则会产生一个7-圈C=［uu1u2u3v3v2v1u］．事实上，{u1，u2，u3}∩{v1，v2，v3}=Ø．否则，若 u1=v1，则 u 是一个 2-点，与引理 2 矛盾;若 u2=v1，则会产生一个 4-圈 C=［v1(=u2)u3vuv1］;若u3=v1，则会产生一个 4-圈 C=［v1(=u3)u2u1uv1］．所以v1≠u1(u2，u3)．类似地可验证v2≠u1(u2，u3)，v3≠u1(u2，u3)．所以，f1和f2不可能正常相邻，但 f1和 f2也不可能非正常相邻．不然，u是一个2-点，与引理2矛盾．若d(f2)=6，可类似证明会产生4-圈或7-圈，得到矛盾．所以，若d(f1)=5，则由d(f1)≤d(f2)可得d(f2)≥8．5)设v是f1，f2，f3的公共点，u1，u2和u3，u4分别是f1和f3关联的另外2个顶点，且按顺时针方向排列．对u2，u3分3种情形讨论:①d(u2)≥3，d(u3)≥3．因为G不含4-圈，所以f2不可能是3-面或4-面．事实上，G也不是5-面或6-面．否则，若 f2=［vu2x1x2u3v］是 5-面，则 C=［vu1u2x1x2u3u4v］是 7-圈;若 f2=［vu2x1x2x3u3v］是 6-面，则C=［vu2x1x2x3u3u4v］是7-圈．但 G 不含7-圈，所以 f2是 8+-面．②d(u3)≥3，d(u2)=2，或d(u2)≥3，d(u3)=2．由对称性，不妨考虑d(u2)≥3，d(u3)=2．由引理4的2)知，f2一定是5+-面．若f2=［vu2x1u4u3v］是5-面，则会产生一个 4-圈 C=［vu2x1u4v］;若 f2=［vu2x1x2u4u3v］是 6-面，由于 G 不含4-圈，所以u1≠x1且u1≠x2，则 C=［vu1u2x1x2u4u3v］是7-圈．但 G 不含7-圈，所以 f2是8+-面．③d(u2)=d(u3)=2．由引理4的2)知，f2一定是5+-面．若 f2=［vu2u1x1u4u3v］是5-面，则会产生一个4-圈 C=［vu2u1u4v］;若 f2=［vu2u1x1u4u3v］是6-面，则会产生一个4-圈 C=［vu1x1u4v］．综上所述，f2是8+-面．引理5证毕．2 定理1的证明设G是定理1的一个使σ(G)=|V|+|E|最小的反例．以下将运用Discharging方法导出完成定理1证明所需要的矛盾．首先，给G的任意的x∈V∪F分配初始权ch(x)=d(x)－4，由平面图的欧拉以下将定义一个权转移规则，重新分配点和面的权，并设ch'(x)是重新分配点和面的权后元素x∈V∪F的新权．将要证明对每个x∈V∪F都有一方面，由于权的转移只是在同一个图的点和面之间进行，权的总和应该保持不变，因此得到-8≥0，即得到了证明定理1所需要的矛盾．权转移规则如图1所示．R1:每个与3-面关联的2-点由mas-R2:每个与3-面 f关联的3-点由不R3:每个5+-点与其关联的3-面各R4:每个5+-面向每个关联的点转图1 权转移规则图下面只需验证对于每个x∈V∪F都有ch'(x)≥0．先考察面的新权．因为G是简单图，所以对每个面f都有d(f)≥3．又由权转移规则知:若d(f)≥4，则ch'(f)≥0．所以，下面只需验证3-面．设f为3-面，则ch(x)=-1，由引理2知，f至多关联1个3--点．若f关联一个3--点，则由引理2知，其余2个均为5+-点，由R3知0．设v为3-点，则ch(v)=-1，由引理5的1)知，f至多关联1个3-面．若v关联1个3-面，则由引理4的2)和引理4的4)知，v关联的另2个面要么是5-面和8+-面，要其次考察点的新权．设 v为 2-点，则 ch(v)=-2．若v关联一个3-面，则由引理5的3)知，v关联的另一个面是6+-面，由R1和R4知，ch'(v)=设v为4-点，则ch'(v)=0，由引理5的1)知，v至多关联2个3-面．又由权转移规则知，v只向3-面转权．所以，当v关联2个3-面时 ch'(v)最少．由引理5的5)知，v还关联2个8+-面，所以ch'(v)≥设t是v关联的3-面的个数．称关联3-面的3-点为坏3-点．用b3(v)表示v相邻的坏3-点的个数．设v为5-点，则ch'(v)=1，由权转移规则知，v只向3-面和3-点转权，由引理5的1)知，v至多关联2 个3-面．1)t=0，此时v只向3-点转权，且至多与5个坏3-点相邻，则2)t=1，此时v至多与3个坏3-点相邻，则3)t=2，此时v至多与1个坏3-点相邻，由引理5的5)知，v至少关联1个8+-面，则ch'(v)≥1-设v为6-点，则ch(v)=2．下面将根据v与2-点相邻的情形对6-点的新权逐一进行验证．1)v是一个2-点 u的 master．①v不与三角形关联，那么v至多关联2个3-面．若t=0，则v至多与5个坏3-点相邻，从而至少关联1个8+-面，从而②v与三角形关联，由于G不含4-圈，故v至多关联3个3-面．t=1，此时v至多与4个坏3-点相邻．若b3(v)=0，则v只向正常3-点转权，且至多与4个坏3-点相b3(v)=2，则v至少关联1个8+-面和1个6+-面，此时v 至多与2个正常3-点相邻，从而ch'(v)≥2-1个正常3-点相邻，从而少关联3个8+-面，此时v不与正常3-点相邻，从而t=2，此时v至多与2个坏3-点相邻．若 b3(v)=0，则由引理5知，v至少关联1个6+-面，从而;若b3(v)=1，则由引理5知，v至少关联1个8+-面，此时v至多与1个正常3-点相邻，从而至少关联2个8+-面，从而t=3，此时v不需要向3-点转权，由引理5的5)知，v至少关联3个8+-面，从而2)v不是任意2-点的master，此时v至多与3个3-面关联．①t=0，此时v只向3-点转权，且至多与6个坏3-点相邻，因此②t=1，此时v至多向4个坏3-点转权，因此③t=2，此时v至多向2个坏3-点转权，因此④t=3，此时v不向任何3-点转权，且由引理5的4)知，v至少关联3个8+-面，因此ch'(v)≥2-至此，对∀x∈V∪F，ch'(x)≥0都已得到验证．定理1得证．参考文献:［1］Bondy J A，Murty U S R．Graph theory［M］．Berlin:Springer，2008．［2］Borodin O V，Kostochka A V，Woodall D R．List edge and list total colorings of multigraphs［J］．J Combin Theory，1997，71(2):184-204．［3］Liu Bin，Hou Jianfeng，Liu Guizhen．List edge and list total colorings of planar graphs without short cycles［J］．Information Processing Letters，2008，108(6):347-351．［4］Wang W F，Lih K W．Structural properties and edge choosability of planar graphs without 6-cycles［J］．Combin Probab Comput，2001，10(3):267-276．。

最大度是6且不含有弦的小圈的可平面图的边染色

ｌａｔｉｈｓｏｌｓ．Ｂｙａｐｙｎｓｈｒｉｇｍｅｈｄｅｓｇｔｉｆｃａｓ１ｅｐｌｉｇａＤｉｃａｇｎｔｏ．ｗｒｖｈｔｅｅｙｓｍｐｅｐａａａｈＧｗｔｅｐｏｅｔａｖｒｉｌｌｎｒｇｐｉｒｈ△ ＝６ｉｆｓｏ
ＮｉｅｐｎＷｉｉｇ
（ｃｏｌｆＭｔｅｔｓａｄＳａｓｃ，ＺｏｈａｇＵｉｅｓｙＺｏｈａｇ２７６ＣｉａＳｈｏａｈｍａｃｎｔｉｉｓａｚｕｎｎｖｒｉ，ａｚｕｎ，７０，ｈｎ）ｏｉｔｔｔ１
ＡｓａｔＬｔｅａｐａａａｈｏｍｘｍｍｄｇｅ △，ｓａｅｃｓ１ｆＧ △ ａｄｃａｓｘ（）＝＋ｂｔｃ：ｅＧｂｌｎｒｒｐｆａｉｕｅｒｅＧｉｓｉｔｂｌｓＸ（）：ｎｌｓ２ｉＧＡｒｇｄｏａｉｆ１ｈｒＸ（，ｗｅｅＧ）ｄｎｔｓｈｒｍｔｄｘｆ．Ｉ１６，ｉｎｒｖｄｔｔｖｒｌｎｒａｈｏｘｍｍｄｇｅｔｅｏｅｅｃｏａｃｉｅｎ９５ＶｚｇｐｏｅａｅｅｙｐａａｐｆｔｈｉｎｏＧｉｈｒｇｍａｉｕｅｒｅａ
（４≤ ｋ≤ ７．）
［关键词］平面图，边染色，最大度，圈
［中图分类号］Ｏ５．［１７５文献标志码］Ａ［文章编号］０１６６２１）３０１－６１０－１（０１０－９０４０
ＥｄｇｌｒｎｆＰｌｎｒＧｒｐｉｈ △ ＝６ｅＣｏｏｉｇｏａａａｈｓＷｔＷｉｈｏｈｏｔＣｙｌｓＣｏｔｉｔｕｔＳｒｃｅｎａｎＣｈｏｄｓｒ

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ｏｔ－ｃｅｎｄａｅｔ－ｙｌｓｅｅ７ｔａｙｃｌａｌ．Ｔｉｉｐｏｅｅｋｏｎｒｓｌｔａｒｓｕｃｌａｄａｊｃｎｃｃｒ－ｔｌ—ｏｒｂｅｈｓｍｒｖｄｔｎｗｅｕｔｉｌｅｔｅ．５ｙｓ４ｅｗｏｌｏｈｓｎｉｒｕＫｅｒｓｐａｅｇａｈｏａｃｌｉｇａｉｍｄｇｅ；－ｙｌｓｄａｅｔ－ｙｌｓｙｗｏｄ：ｌｐ；ｔｌｏｏｎ；ｍｍｕｅｅ５ｃｃ；ａｊｃｎｃｃｎｒｔｒｘｒｅ４ｅ
第３４卷第３期２１年８月０１
浙江师范大学学报（自然科学版）ＪｕａｏｈｊｎｏｍｌＵｉｅｓｙＮｔｃ．ｏｒｌｆｅａｇＮｒａｎｖｒｔ（ａ．Ｓｉ）ｎＺｉｉ
ｖ１４。ｏ０．３Ｎ．３Ａｇ０１ｕ．２１
ＡｂｔａｔｙｕｉｇｔｅｄｓｈｒｉｇｍｅｈｄＩｉｗｓｐｏｅａｌｎｒｐｓｗｔｘｍｕｄｇｅｎｔ — ｓｒｃ：Ｂｓｎｉｃａｇｎｔｏｔａｒｖｄｔｔａｅｇａｈｉｍａｉｍｅｅ６ａｄｗｉｈｈｐｈｒｈ
ＺＨＡＮＧＪｎｗｅｉｇｎ
（ｏｌｅｆＭａｈｍｔｓｈｓｓａｄＩｏｍｔｎＥｇｎｅｉＺｊｎｒａｎｖｒｔ。Ｊｈｈｊｎ３１０ＣｉａＣｌｇｅｏｔｅａｉ，Ｐｙｉｎｆｒａｉｎｉｅｒｇ。ｈｉｇＮｏｍｌＵｉｓｙ￣ｎＺｉｇｃｃｎｏｎｅａｅｉｎａｅａ２０４。ｈｎ）
第３期
张静雯：最大度为６且不含５圈和相邻４１￣平面图是７全可染的．－ｔ１．
２３７
图是（ △＋１一可染的．）全本文研究的是关于 △＝６的平面图的全染色问题，得到如下结果：定理１设Ｇ是 △：６且不含５圈和相邻４圈的平面图，．一则图Ｇ是７全可染的．一
０引言
本文所研究的图是有限简单无向图，中未加定义的术语和记号参阅文献［］文１．如果图Ｇ可嵌入到平面上，使得边仅在端点处相交，称图Ｇ是可平面图；平面图在平面内的一则可
个嵌入叫平面图．对于平面图Ｇ分别用，，，，ＥＦ △和表示平面图Ｇ的顶点集、边集、面集、最大度和最小度．圈是指长度为ｋ．的圈；两个圈相邻是指该两个圈至少有ｌ条公共边．设平面图Ｇ＝（Ｅ，，）若映射：Ｅ｛，，，｝使得对任意相邻或相关联的元素，ｕｌ２ … ｋ，Ｙ∈ＶＪＬＥ都有（）（）则称Ｇ是后全可染的． ≠咖Ｙ，一显然，给每一个图进行全染色至少要用 △＋１种颜色．文献［］２３猜想：任何简单图Ｇ都是（２． △＋）全可染的．这一猜想就是著名的全染色猜想（ｏｌｏｒｇＣｎＴｔｌｉｏ．ａＣｏｎｊｃｒ）简记为ＴＣｅｔｅ，ｕＣ．即使对于平面图，ＣＴＣ也未得到完整的证明．唯一未解决的困难情形是 △＝．６这方面的一些研究结果可参见文献［．］人们期望得到关于简单平面图全染色的最好结果，４８．即证明平面图是（ △＋１・）全可染的．目前为止，到已经证明了在大文献［一１分别证明９ｌ］了△≥ｌ，１１△＝０和Ａ＝９的平面图是（１一 △＋）全可染的；文献［２证明了△≥７１］且不含４圈的简单平面一
中图分类号：１７５０５．文献标识码：Ａ
Ｏｎｔｅ７ｔｔｌｃｌｒｂｌｙｏｌｎｒｐｓｈ－ｏａ－ｏｏａｉｔｆｐａｅｇａｈｉ
ｗｉｘｍｕｄｇｅｔｏｔ５ｃｃｅｎｄａｅｔ－ｙｌｓｔｍａｉｍｅｒｅ６ｗｉｕ－ｙｌｓａｄａｊｃｎｃｃｅｈｈ４
１定理１的证明
假设定理１不成立，并设图Ｇ是定理１的一个使（）Ｉ最小的反例， △ Ｇ６且不Ｇ＝Ｉ＋ｌＥｌ即（）＝含５圈和相邻４圈，一．它本身不是７全可染的，但它的每一个真子图都是７全可染的，．则图Ｇ有以下几个性质：断言１图Ｇ是２连通的．一。６２且因为图Ｇ是２连通的，以Ｇ＞１，一所的每个面的边界都是圈．把度数为．的点叫做尼点；ｊ｝一类似地，把度数至少为．的点叫做．一；ｊ｝ｊ点把度数至多｝为｜的点叫做扩一（，一ｉ｝点．ｉ）边是指此边的２＿『个端点的度数分别为ｉ；ｉ，）面是指和（，ｋ一＿『此３面上的点的度数分别为ｉ，．一，｜ｊ｝（）ａ（）１）（ｃ）断言２ｌ设ｘ．ｄ），－ｙＥ若（ ≤３则Ｅ
文章编号：０１５５（０１０－２２０１０－０１２１）３０７－５
最大度为６且不含５圈和相邻４圈的平面图．．是７全可染的．
张静雯
（江师范大学数理与信息工程学院，江金华浙浙３１０）２０４
摘要：运用Ｄｓｈｒｎ方法，明了最大度为６ｉａｉｃｇｇ证且不含５圈和相邻４圈的简单平面图是７可染的．－－・全所得结果改进了现有文献的相关结果．关键词：平面图；全染色；最大度；・相邻４圈５圈；－
收文日期：００１０；２１－－２修订日期：０００ —３０２１－９１
基金项目：浙江省自然科学基金资助项目（６９６９Ｙ００９）作者简介：张静雯（９６，，１８一）女陕西西安人，硕士研究生．研究方向：运筹学与控制论；图论