浙江省杭州市建德市严州中学2017-2018学年高二上学期月考数学(理)试卷 Word版含解析
浙江省杭州市建德市严州中学高二数学上学期1月月考试卷 理(含解析)
2014-2015学年浙江省杭州市建德市严州中学高二（上）1月月考数学试卷（理科）一、选择题（每小题5分，共50分）1．已知命题p：对任意x∈R，总有2x＞0；q：“x＞1”是“x＞2”的充分不必要条件，则下列命题为真命题的是（）A． p∧q B．￢p∧￢q C．￢p∧q D． p∧￢q2．是的（）A．充分必要条件 B．充分而不必要条件C．必要而不充分条件 D．既不充分也不必要条件3．过点（﹣1，2）且与直线2x﹣3y+4=0垂直的直线方程为（）A． 3x+2y﹣1=0 B． 3x+2y+7=0 C． 2x﹣3y+5=0 D． 2x﹣3y+8=04．如图，空间四边形OABC中，，点M在上，且OM=2MA，点N 为BC中点，则=（）A． B． C． D．5．如图，在空间直角坐标系中有直三棱柱ABC﹣A1B1C1，CA=CC1=2CB，则直线BC1与直线AB1夹角的余弦值为（）A． B． C． D．6．设m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，给出下列条件，能得到m⊥β的是（）A．α⊥β，m⊂α B． m⊥α，α⊥β C． m⊥n，n⊂β D． m∥n，n⊥β7．如图是某四棱锥的三视图，则该几何体的表面积等于（）A． 34+6 B． 6+6+4 C． 6+6+4 D． 17+68．已知双曲线的离心率为，则双曲线的渐近线方程为（）A． y=±2x B． C． D．9．如图所示，已知椭圆的方程为，A为椭圆的左顶点，B，C在椭圆上，若四边形OABC为平行四边形，且∠OAB=45°，则椭圆的离心率等于（）A． B． C． D．10．已知直线l：xcosθ+ysinθ=1，且0P⊥l于P，O为坐标原点，则点P的轨迹方程为（） A． x2+y2=1 B． x2﹣y2=1 C． x+y=1 D． x﹣y=1二．填空题：（每小题4分，共28分）11．已知椭圆C：+=1（a＞0，b＞0）的右焦点为F（3，0），且点（﹣3，）在椭圆C上，则椭圆C的标准方程为．12．若圆C1：x2+y2=1与圆C2：x2+y2﹣6x﹣8y+m=0外切，则m= ．13．一个六棱锥的体积为2，其底面是边长为2的正六边形，侧棱长都相等，则该六棱锥的侧面积为．14．已知集合{a，b，c}={0，1，2}，且下列三个关系：① a≠2；② b=2；③ c≠0有且只有一个正确，则100a+10b+c等于．15．已知圆C过点（1，0），且圆心在x轴的正半轴上，直线l：y=x﹣1被圆C所截得的弦长为，则过圆心且与直线l垂直的直线的方程为．16．设m∈R，过定点A的动直线x+my=0与过定点B的动直线mx﹣y﹣m+3=0交于点P（x，y），则|PA|+|PB|的取值范围是．17．正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为1，MN是正方体内切球的直径，P为正方体表面上的动点，则•的最大值为．三．解答题（共4题，共42分）18．设p：实数x满足x2﹣4ax+3a2＜0，q：实数x满足|x﹣4|≤16（1）若a=1且命题¬p∧q为真，求x的范围（2）若a≠0且p是q的充分不必要条件，求实数a的范围．19．如图，已知实数t满足t∈（0，10），由t确定的两个任意点P（t，t），Q（10﹣t，0），问：（1）直线PQ是否能通过点M（6，1）和点N（4，5）？（2）在△OPQ中作内接正方形ABCD，顶点A、B在边OQ上，顶点C在边PQ上，顶点D在边OP上．求图中阴影部分面积的最大值并求对应的顶点A、B、C、D的坐标．20．如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，∠ABC=60°，AD=CD=CB=a，平面ACFE⊥平面ABCD，四边形ACFE是矩形，AE=a．（Ⅰ）求证：BC⊥平面ACFE；（Ⅱ）求二面角B﹣EF﹣D的余弦值．21．已知中心在原点O，焦点在x轴上，离心率为的椭圆；以椭圆的顶点为顶点构成的四边形的面积为4．（1）求椭圆的标准方程；（2）若A，B分别是椭圆长轴的左．右端点，动点M（异于A、B）满足=0，直线MA 交椭圆于P，求•的最小值并求对应的直线AM的方程．2014-2015学年浙江省杭州市建德市严州中学高二（上）1月月考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（每小题5分，共50分）1．已知命题p：对任意x∈R，总有2x＞0；q：“x＞1”是“x＞2”的充分不必要条件，则下列命题为真命题的是（）A． p∧q B．￢p∧￢q C．￢p∧q D． p∧￢q考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断；复合命题的真假．专题：简易逻辑．分析：判定命题p，q的真假，利用复合命题的真假关系即可得到结论．解答：解：p：根据指数函数的性质可知，对任意x∈R，总有2x＞0成立，即p为真命题，q：“x＞1”是“x＞2”的必要不充分条件，即q为假命题，则p∧￢q为真命题，故选：D．点评：本题主要考查复合命题的真假关系的应用，先判定p，q的真假是解决本题的关键，比较基础．2．是的（）A．充分必要条件 B．充分而不必要条件C．必要而不充分条件 D．既不充分也不必要条件考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断．专题：探究型．分析：利用充分条件和必要条件的定义进行判断即可．解答：解：若，则根据不等式的性质可知成立．若，当x=2，y=1时，满足，但不成立．所以是的必要不充分条件．故选C．点评：本题主要考查充分条件和必要条件的应用，要求熟练掌握利用充分条件和必要条件的定义进行判断的方法．3．过点（﹣1，2）且与直线2x﹣3y+4=0垂直的直线方程为（）A． 3x+2y﹣1=0 B． 3x+2y+7=0 C． 2x﹣3y+5=0 D． 2x﹣3y+8=0考点：直线的一般式方程与直线的垂直关系．专题：直线与圆．分析：根据与已知直线垂直的直线系方程可设与直线2x﹣3y+4=0垂直的直线方程为﹣3x ﹣2y+c=0，再把点（﹣1，2）代入，即可求出c值，得到所求方程．解答：解：∵所求直线方程与直线2x﹣3y+4=0垂直，∴设方程为﹣3x﹣2y+c=0∵直线过点（﹣1，2），∴﹣3×（﹣1）﹣2×2+c=0∴c=1∴所求直线方程为3x+2y﹣1=0．故选：A．点评：本题主要考查了互相垂直的两直线方程之间的关系，以及待定系数法求直线方程，属于常规题．4．如图，空间四边形OABC中，，点M在上，且OM=2MA，点N 为BC中点，则=（）A． B． C． D．考点：向量加减混合运算及其几何意义．专题：计算题．分析：由题意，把，，三个向量看作是基向量，由图形根据向量的线性运算，将用三个基向量表示出来，即可得到答案，选出正确选项．解答：解：由题意=++=+﹣+=﹣++﹣=﹣++又=，=，=∴=﹣++故选B．点评：本题考点是空间向量基本定理，考查了用向量表示几何的量，向量的线性运算，解题的关键是根据图形把所研究的向量用三个基向量表示出来，本题是向量的基础题．5．如图，在空间直角坐标系中有直三棱柱ABC﹣A1B1C1，CA=CC1=2CB，则直线BC1与直线AB1夹角的余弦值为（）A． B． C． D．考点：异面直线及其所成的角．专题：计算题．分析：根据题意可设CB=1，CA=CC1=2，分别以CA、CC1、CB为x轴、y轴和z轴建立如图坐标系，得到A、B、B1、C1四个点的坐标，从而得到向量与的坐标，根据异面直线所成的角的定义，结合空间两个向量数量积的坐标公式，可以算出直线BC1与直线AB1夹角的余弦值．解答：解：分别以CA、CC1、CB为x轴、y轴和z轴建立如图坐标系，∵CA=CC1=2CB，∴可设CB=1，CA=CC1=2∴A（2，0，0），B（0，0，1），B1（0，2，1），C1（0，2，0）∴=（0，2，﹣1），=（﹣2，2，1）可得•=0×（﹣2）+2×2+（﹣1）×1=3，且=，=3，向量与所成的角（或其补角）就是直线BC1与直线AB1夹角，设直线BC1与直线AB1夹角为θ，则cosθ==故选A点评：本题给出一个特殊的直三棱柱，求位于两个侧面的面对角线所成角的余弦之值，着重考查了空间向量的坐标运算和异面直线及其所成的角的概论，属于基础题．6．设m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，给出下列条件，能得到m⊥β的是（）A．α⊥β，m⊂α B． m⊥α，α⊥β C． m⊥n，n⊂β D． m∥n，n⊥β考点：空间中直线与平面之间的位置关系；空间中直线与直线之间的位置关系．专题：空间位置关系与距离．分析：根据选项A，B，C，D所给的条件，分别进行判断，能够得到正确结果．解答：解：A：α⊥β，且m⊂α⇒m⊂β，或m∥β，或m与β相交，故A不成立；B：由m⊥α，α⊥β，知m∥β或m⊂β，从而m⊥β不成立，故B不成立；C：m⊥n，n⊂β⇒m⊂β，或m∥β，或m与β相交，故C不成立；D：m∥n，且n⊥β⇒m⊥β，故D成立；故选D．点评：本题考查直线与平面的位置关系的判断，是基础题，解题时要认真审题，仔细解答．7．如图是某四棱锥的三视图，则该几何体的表面积等于（）A． 34+6 B． 6+6+4 C． 6+6+4 D． 17+6考点：由三视图求面积、体积．专题：计算题．分析：一个底面是矩形的四棱锥，矩形的长和宽分别是6，2，底面上的高与底面交于底面一条边的中点，四棱锥的高是4，根据勾股定理做出三角形的高，写出所有的面积表示式，得到结果．解答：解：由三视图知，这是一个底面是矩形的四棱锥，矩形的长和宽分别是6，2底面上的高与底面交于底面一条边的中点，四棱锥的高是4，∴四棱锥的表面积是2×6++=34+6，故选A．点评：本题考查由三视图求几何体的表面积，考查由三视图还原几何体的直观图，考查平面图形面积的求法，本题是一个基础题．8．已知双曲线的离心率为，则双曲线的渐近线方程为（）A． y=±2x B． C． D．考点：双曲线的简单性质．专题：计算题．分析：由离心率的值，可设，则得，可得的值，进而得到渐近线方程．解答：解：∵，故可设，则得，∴渐近线方程为，故选C．点评：本题考查双曲线的标准方程，以及双曲线的简单性质的应用，求出的值是解题的关键．9．如图所示，已知椭圆的方程为，A为椭圆的左顶点，B，C在椭圆上，若四边形OABC为平行四边形，且∠OAB=45°，则椭圆的离心率等于（）A． B． C． D．考点：椭圆的简单性质．专题：综合题；数形结合；转化思想．分析：由图形知|BC|=a，且BC∥OA由椭圆的对称性知，B，C两点关于y轴对称，由此可以求出两点的坐标，再连接OC，有∠OAB=45°及平行的性质，椭圆的对称性，令椭圆的右端点为M，则有∠COM=∠CMO=∠OAB=45°由此可得CO垂直于MC，由此垂直关系建立方程即可求得离心率的值．解答：解：令椭圆的右端点为M，连接CM，由题意四边形OABC为平行四边形，且∠OAB=45°，B，C在椭圆上，可得∠COM=∠CMO=∠OAB=45°，则有∠OCM=90°，故可得k OC×k CM=﹣1又四边形OABC为平行四边形，B，C在椭圆上，由图形知|BC|=a，且BC∥OA由椭圆的对称性知，B，C两点关于y轴对称，故C的横坐标为，代入椭圆的方程得，解得y=±b，由图形知C（，b），故有，所以有解得a2=3b2，故可得c2=2b2，所以e2=，得e=故选C点评：本题考查椭圆的简单性质，求解本题的关键是根据椭圆的对称性得出点C的坐标以及图形中的垂直关系，求出点C的坐标是为了表示出斜率，求出垂直关系是为了利用斜率的乘积为﹣1建立方程，然后再根据求离心率的公式求出离心率即可．本题比较抽象，方法单一，入手较难，运算量不大．10．已知直线l：xcosθ+ysinθ=1，且0P⊥l于P，O为坐标原点，则点P的轨迹方程为（） A． x2+y2=1 B． x2﹣y2=1 C． x+y=1 D． x﹣y=1考点：轨迹方程；直线的一般式方程与直线的垂直关系．专题：计算题．分析：利用0P⊥l于P，可得点O到直线l的距离等于|OP|，从而可得点P的轨迹方程．解答：解：设P（x，y），则∵0P⊥l于P∴点O到直线l的距离等于|OP|∴==1∴x2+y2=1故选A．点评：本题考查轨迹方程，考查学生分析解决问题的能力，解题的关键是将问题转化为点O到直线l的距离等于|OP|．二．填空题：（每小题4分，共28分）11．已知椭圆C：+=1（a＞0，b＞0）的右焦点为F（3，0），且点（﹣3，）在椭圆C上，则椭圆C的标准方程为+=1 ．考点：椭圆的标准方程．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：设出椭圆方程，利用椭圆的定义，求出a的值；根据椭圆中三个参数的关系求出b，代入椭圆方程即可．解答：解：根据椭圆的方程为+=1，∵椭圆的右焦点坐标为（3，0），∴椭圆的两个焦点坐标分别为（﹣3，0），（3，0），并且经过点点（﹣3，），∴2a=+=6∴a=3∵椭圆两个焦点的坐标分别是（﹣3，0），（3，0），∴c2=9，∴b2=a2﹣c2=9，∴椭圆的方程为+=1．故答案为：+=1．点评：求圆锥曲线的方程的问题，一般利用待定系数法；注意椭圆中三个参数的关系为b2=a2﹣c212．若圆C1：x2+y2=1与圆C2：x2+y2﹣6x﹣8y+m=0外切，则m= 9 ．考点：圆与圆的位置关系及其判定．专题：计算题；直线与圆．分析：化两圆的一般式方程为标准方程，求出圆心和半径，由两圆心间的距离等于半径和列式求得m值．解答：解：由C1：x2+y2=1，得圆心C1（0，0），半径为1，由圆C2：x2+y2﹣6x﹣8y+m=0，得（x﹣3）2+（y﹣4）2=25﹣m，∴圆心C2（3，4），半径为．∵圆C1与圆C2外切，∴5=+1，解得：m=9．故答案为：9．点评：本题考查两圆的位置关系，考查了两圆外切的条件，是基础题．13．一个六棱锥的体积为2，其底面是边长为2的正六边形，侧棱长都相等，则该六棱锥的侧面积为12 ．考点：棱柱、棱锥、棱台的体积．专题：空间位置关系与距离；立体几何．分析：判断棱锥是正六棱锥，利用体积求出棱锥的高，然后求出斜高，即可求解侧面积．解答：解：∵一个六棱锥的体积为2，其底面是边长为2的正六边形，侧棱长都相等，∴棱锥是正六棱锥，设棱锥的高为h，则，∴h=1，棱锥的斜高为：==2，该六棱锥的侧面积为：=12．故答案为：12．点评：本题考查了棱锥的体积，侧面积的求法，解答的关键是能够正确利用体积与表面积公式解题．14．已知集合{a，b，c}={0，1，2}，且下列三个关系：① a≠2；② b=2；③ c≠0有且只有一个正确，则100a+10b+c等于201 ．考点：集合的相等．专题：集合．分析：根据集合相等的条件，列出a、b、c所有的取值情况，再判断是否符合条件，求出a、b、c的值后代入式子求值．解答：解：由{a，b，c}={0，1，2}得，a、b、c的取值有以下情况：当a=0时，b=1、c=2或b=2、c=1，此时不满足条件；当a=1时，b=0、c=2或b=2、c=0，此时不满足条件；当a=2时，b=1、c=0，此时不满足条件；当a=2时，b=0、c=1，此时满足条件；综上得，a=2、b=0、c=1，代入100a+10b+c=201，故答案为：201．点评：本题考查了集合相等的条件的应用，以及分类讨论思想，注意列举时按一定的顺序列举，做到不重不漏．15．已知圆C过点（1，0），且圆心在x轴的正半轴上，直线l：y=x﹣1被圆C所截得的弦长为，则过圆心且与直线l垂直的直线的方程为x+y﹣3=0 ．考点：直线与圆的位置关系．专题：直线与圆．分析：先求圆心坐标，然后可求过圆心与直线ℓ垂直的直线的方程．解答：解：由题意，设所求的直线方程为x+y+m=0，并设圆心坐标为（a，0），则由题意知：，解得a=3或﹣1，又因为圆心在x轴的正半轴上，所以a=3，故圆心坐标为（3，0），∵圆心（3，0）在所求的直线上，所以有3+0+m=0，即m=﹣3，故所求的直线方程为x+y﹣3=0．故答案为：x+y﹣3=0．点评：本题考查了直线的方程、点到直线的距离、直线与圆的关系，考查了同学们解决直线与圆问题的能力．16．设m∈R，过定点A的动直线x+my=0与过定点B的动直线mx﹣y﹣m+3=0交于点P（x，y），则|PA|+|PB|的取值范围是．考点：恒过定点的直线．专题：直线与圆．分析：动直线x+my=0过定点A（0，0），动直线mx﹣y﹣m+3=0即m（x﹣1）+3﹣m=0过定点B（1，3）．无论m=0，m≠0，都有此两条直线垂直．因此点P在以AB为直径的圆上，利用≥|PA|+|PB|≥|AB|，即可得出．解答：解：动直线x+my=0过定点A（0，0），动直线mx﹣y﹣m+3=0即m（x﹣1）+3﹣m=0过定点B（1，3）．无论m=0，m≠0，都有此两条直线垂直．∴点P在以AB为直径的圆上，|AB|=，|PA|2+|PB|2=10．∴≥|PA|+|PB|≥|AB|，当且仅当|PA|=|PB|=时取等号．∴≥|PA|+|PB|≥．故答案为：．点评：本题考查了“直线系”的应用、相互垂直的直线斜率之间的关系、圆的性质、勾股定理、基本不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．17．正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为1，MN是正方体内切球的直径，P为正方体表面上的动点，则•的最大值为．考点：空间向量的数量积运算．专题：空间向量及应用．分析：连接PO，可得•==﹣，当取得最大值时，即可得出•取得最大值．解答：解：连接PO，可得•==++=﹣，当取得最大值时，•取得最大值为=．故答案为：．点评：本题考查了数量积运算、正方体及其内切球的性质，考查了空间想象能力，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．三．解答题（共4题，共42分）18．设p：实数x满足x2﹣4ax+3a2＜0，q：实数x满足|x﹣4|≤16（1）若a=1且命题¬p∧q为真，求x的范围（2）若a≠0且p是q的充分不必要条件，求实数a的范围．考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断；复合命题的真假．专题：简易逻辑．分析：（1）若a=1，分别求出p，q成立的等价条件，利用且¬p∧q为真，求实数x的取值范围；（2）利用p是q的充分不必要条件，求实数a的取值范围．解答：解：（1）若a=1，则p：x∈（1，3），q：x∈[﹣12，20]，若¬p∧q为真，则，则所求为：x∈[﹣12，1]∪[3，20]．（2）若a＞0时有p：x∈（a，3a），若p是q的充分不必要条件，则3a≤20，则若a＜0时有p：x∈（3a，a），p是q的充分不必要条件，则3a≥﹣12，则﹣4≤a＜0综上：．点评：本题主要考查复合命题与简单命题之间的关系，利用充分条件和必要条件的定义是解决本题的关键，19．（10分）（2014秋•建德市校级月考）如图，已知实数t满足t∈（0，10），由t确定的两个任意点P（t，t），Q（10﹣t，0），问：（1）直线PQ是否能通过点M（6，1）和点N（4，5）？（2）在△OPQ中作内接正方形ABCD，顶点A、B在边OQ上，顶点C在边PQ上，顶点D在边OP上．求图中阴影部分面积的最大值并求对应的顶点A、B、C、D的坐标．考点：平行线分线段成比例定理．专题：选作题；矩阵和变换．分析：（1）可先求直线PQ的方程再把点M，点N的坐标代入检验即可得到结论．（2）阴影部分的面积即为三角形的面积减去正方形的面积，作差求最值即可．解答：解：（1）直线PQ方程：tx﹣（2t﹣10）y+t2﹣10t=0若通过点M，则得：t2﹣6t+10=0，t无解若通过点N，则得：（舍）故：直线PQ一定不过点M，当时可以过点N..（5分）（2）设边长为a，则A（a，0），B（2a，0），C（2a，a），D（a，a）把点C坐标代人直线PQ得：t2﹣10t=﹣10a又，由t∈（0，10）且10﹣t≥t知t∈（0，5]，则故当时，S阴取最大值，此时所求的对应坐标为…（10分）点评：转化思想是我们高中常考的一种解题思想，常用于正面不好求，但转化后好求的题中．20．如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，∠ABC=60°，AD=CD=CB=a，平面ACFE⊥平面ABCD，四边形ACFE是矩形，AE=a．（Ⅰ）求证：BC⊥平面ACFE；（Ⅱ）求二面角B﹣EF﹣D的余弦值．考点：与二面角有关的立体几何综合题；直线与平面垂直的判定．专题：空间位置关系与距离．分析：（Ⅰ）由已知条件推导出四边形ABCD是等腰梯形，进而推导出AC⊥BC，由此能证明BC⊥平面ACFE．（Ⅱ）取EF中点G，EB中点H，连结DG、GH、DH，由题设条件推导出∠DGH是二面角B﹣EF ﹣D的平面角，由此能求出二面角B﹣EF﹣D的平面角余弦值．解答：解：（Ⅰ）在梯形ABCD中，AB∥CD，∵∠ABC=60°，AD=CD=CB=a，∴四边形ABCD是等腰梯形，…（2分）且∠DCA=∠DAC=30°，∠DCB=120°，∴∠ACB=∠DCB﹣∠DCA=90°，∴AC⊥BC．…（4分）又∵平面ACFE⊥平面ABCD，交线为AC，∴BC⊥平面ACFE．…（6分）（Ⅱ）取EF中点G，EB中点H，连结DG、GH、DH，∵AD=CD=CB=a，平面ACFE⊥平面ABCD，四边形ACFE是矩形，AE=a．∴DE=DF，∴DG⊥EF，…（8分）∵BC⊥平面ACFE，∴BC⊥EF，又∵EF⊥FC，∴EF⊥FB，又∵GH∥BF，∴EF⊥GH，∴∠DGH是二面角B﹣EF﹣D的平面角．…（10分）在△BDE中，DE=，DB=，BE==，∴BE2=DE2+DB2，∴∠EDB=90°，∴DH=，又DG=，GH=，…（12分）∴在△DGH中，由余弦定理得cos，∴二面角B﹣EF﹣D的平面角余弦值为．…（14分）（注：若用空间向量解答，则酌情给分．）点评：本题考查直线与平面垂直的证明，考查二面角的平面角的余弦值的求法，解题时要注意空间思维能力的培养．21．已知中心在原点O，焦点在x轴上，离心率为的椭圆；以椭圆的顶点为顶点构成的四边形的面积为4．（1）求椭圆的标准方程；（2）若A，B分别是椭圆长轴的左．右端点，动点M（异于A、B）满足=0，直线MA 交椭圆于P，求•的最小值并求对应的直线AM的方程．考点：椭圆的简单性质；平面向量数量积的运算．专题：圆锥曲线中的最值与范围问题．分析：（1）根据题意得到ab=1，再根据离心率求得e==，a2=b2+c2，解得a，b得值，即可得到椭圆得标准方程．（2）根据=0得到M点得轨迹是以AB为直径得圆周上，分别P（x1，y1），M（x2，y2），设直线MA的方程为y=k（x+2），（k≠0），分别联立方程组，根据直线和圆和直线与椭圆得位置关系，求出P，M的坐标，再根据向量的坐标运算以及基本不等式求得•的最小值，继而求出方程．解答：解：（1）∵椭圆的顶点为顶点构成的四边形的面积为4．∴×2a×2b=4，∴ab=2，∵e==，a2=b2+c2，∴a=2，b=1，∴椭圆的标准方程为+y2=1；（2）∵=0，∴M点得轨迹是以AB为直径得圆周上，∵AB=4，∴M点得轨迹方程为：x2+y2=1，设P（x1，y1），M（x2，y2），设直线MA的方程为y=k（x+2），（k≠0），∵，∴（1+k2）x2+4k2x+4k2﹣4=0，∴﹣2x2=，∴x2=，∴y2=k（x2+2）=，∵，∴（1+4k2）x2+16k2x+16k2﹣4=0，∴﹣2x1=，∴x1=﹣．∴y1=k（x1+2）=，∴•=+===4﹣，∵k2＞0，∴•=4﹣≥4﹣=，当且仅当k2=等号成立，∴•的最小值为，∴对应的直线AM的方程y=±（x+2）．点评：本题考查了椭圆定义，直线和圆以及直线和椭圆得位置关系，以及向量的运算基本不等式得应用，涉及得知识点较多，培养了学生得运算能力，转化能力，属于难题．。
浙江省温州中学2017-2018学年高二10月月考数学试题 Word版含答案
温州中学2017-2018学年第一学期高二10月份考试数学试卷（满分100分，考试时间：120分钟 ）参考公式：圆锥与棱锥的体积公式 13V Sh =圆锥的侧面积公式 S rl π=侧 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分, 在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.）1.过点P(4,-1)且与直线3x -4y +6=0平行的直线方程是（ ）(A) 4x +3y -13=0 （B ）4x -3y -19=0 (C) 3x -4y -16=0 (D) 3x -4y +16=0 2.圆1)1(22=++y x 的圆心到直线33-=x y 的距离是（ ） (A) 0 （B ）1 (C)23(D) 3 3.关于直线,a b 以及平面,M N ,下列中正确的是（ ）(A) 若a ∥M ，b ∥M ，则a ∥b (B) 若a ∥M ，b ⊥a ，则b ⊥M (C) 若b ⊂M ，且b ⊥a ，则a ⊥M (D) 若a ⊥M ，a ∥N ，则 M ⊥N4.圆222650x y x y a +-++=关于直线2y x b =+成轴对称图形，则a b -的取值范围是（ ）(A)(,0)-∞ （B ）(,4)-∞ (C)(4,)-+∞ (D)(4,)+∞5.已知△ABC 是边长为a 的正三角形，那么△ABC 平面直观图△A ′B ′C ′的面积为( )(A)216 （B ） 232a (C) 216a (D)28a6.如图，长方体1111ABCD A BC D -中，12,1,AA AB AD ===点,,E F G 分别是11,,DD AB CC 的中点，则异面直线1A E 与GF 所成的角是（ ）(A) 60° （B ）45° (C) 90° (D) 30°7.点P(2,5)关于直线0x y +=的对称点的坐标是 （ ） (第6题) (A) (2,5)-(B) (5,2)- (C)(5,2)- (D) (5,2)--8.正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中直线1BC 与平面11BB D D 所成角的余弦值是（ ）(A)33 (B) 2(C) 9.过点(1,1)P 的直线将圆形区域22{(,)|9}x y x y +≤分成两部分，使得两部分的面积 相差最大，则该直线的方程是( )(A)20x y +-= （B ）10y -= (C)0x y -= (D)340x y +-= 10.如图，在棱长为a 的正方体1111D C B A ABCD -中,P 为11D A 的中点,Q 为11B A 上 任意一点,F E 、为CD 上两点,且EF 的长为定值,则下面四个值中不是定值的是( ) (A)点P 到平面QEF 的距离(B)直线PQ 与平面PEF 所成的角 (C)三棱锥QEF P -的体积 (D)QEF ∆的面积二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分）11.一个多面体从前面、后面、左侧、右侧、上方看到的图形分别如图所示（其中每个正方形边长都为1），则该多面体的体积为_________，表面积为___________．12.一个几何体的三视图如右图所示，则此几何体的体积是 ；表面积是 。
2014-2015学年浙江省杭州市建德市严州中学高二(上)1月月考数学试卷(理科)
2014-2015学年浙江省杭州市建德市严州中学高二（上）1月月考数学试卷（理科）学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、选择题(本大题共10小题，共50.0分)1.已知命题p：对任意x∈R，总有2x＞0，q：“x＞0”是“x＞2”的充分不必要条件，则下列命题为真命题的是（）A.p∧qB.（￢p）∧（￢q）C.（￢p）∧qD.p∧（￢q）【答案】D【解析】解：p：根据指数函数的性质可知，对任意x∈R，总有2x＞0成立，即p为真命题，q：“x＞0”是“x＞2”的必要不充分条件，即q为假命题，则p∧￢q为真命题，故选：D．判定命题p，q的真假，利用复合命题的真假关系即可得到结论．本题主要考查复合命题的真假关系的应用，先判定p，q的真假是解决本题的关键，属于基础题．2.＜＜＜＜是＜＜＜＜的（）A.充分必要条件B.充分而不必要条件C.必要而不充分条件D.既不充分也不必要条件【答案】C【解析】解：若＜＜＜＜，则根据不等式的性质可知＜＜＜＜成立．若＜＜＜＜，当x=2，y=1时，满足＜＜＜＜，但＜＜＜＜不成立．所以＜＜＜＜是＜＜＜＜的必要不充分条件．故选C．利用充分条件和必要条件的定义进行判断即可．本题主要考查充分条件和必要条件的应用，要求熟练掌握利用充分条件和必要条件的定义进行判断的方法．3.过点（-1，2）且与直线2x-3y+4=0垂直的直线方程为（）A.3x+2y-1=0B.3x+2y+7=0C.2x-3y+5=0D.2x-3y+8=0A【解析】解：∵所求直线方程与直线2x-3y+4=0垂直，∴设方程为-3x-2y+c=0∵直线过点（-1，2），∴-3×（-1）-2×2+c=0∴c=1∴所求直线方程为3x+2y-1=0．故选：A．根据与已知直线垂直的直线系方程可设与直线2x-3y+4=0垂直的直线方程为-3x-2y+c=0，再把点（-1，2）代入，即可求出c值，得到所求方程．本题主要考查了互相垂直的两直线方程之间的关系，以及待定系数法求直线方程，属于常规题．4.如图，空间四边形OABC中，，，，点M在上，且OM=2MA，点N为BC中点，则=（）A. B. C.D.【答案】B【解析】解：由题意=++=+-+=-++-=-++又=，=，=∴=-++故选B．由题意，把，，三个向量看作是基向量，由图形根据向量的线性运算，将用三个基向量表示出来，即可得到答案，选出正确选项．本题考点是空间向量基本定理，考查了用向量表示几何的量，向量的线性运算，解题的关键是根据图形把所研究的向量用三个基向量表示出来，本题是向量的基础题．5.如图，在空间直角坐标系中有直三棱柱ABC-A1B1C1，CA=CC1=2CB，则直线BC1与直线AB1夹角的余弦值为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】解：分别以CA、CC1、CB为x轴、y轴和z轴建立如图坐标系，∵CA=CC1=2CB，∴可设CB=1，CA=CC1=2∴A（2，0，0），B（0，0，1），B1（0，2，1），C1（0，2，0）∴=（0，2，-1），=（-2，2，1）可得•=0×（-2）+2×2+（-1）×1=3，且=，=3，向量与所成的角（或其补角）就是直线BC1与直线AB1夹角，设直线BC1与直线AB1夹角为θ，则cosθ==根据题意可设CB=1，CA=CC1=2，分别以CA、CC1、CB为x轴、y轴和z轴建立如图坐标系，得到A、B、B1、C1四个点的坐标，从而得到向量与的坐标，根据异面直线所成的角的定义，结合空间两个向量数量积的坐标公式，可以算出直线BC1与直线AB1夹角的余弦值．本题给出一个特殊的直三棱柱，求位于两个侧面的面对角线所成角的余弦之值，着重考查了空间向量的坐标运算和异面直线及其所成的角的概论，属于基础题．6.设m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，给出下列条件，能得到m⊥β的是（）A.α⊥β，m⊂αB.m⊥α，α⊥βC.m⊥n，n⊂βD.m∥n，n⊥β【答案】D【解析】解：A：α⊥β，且m⊂α⇒m⊂β，或m∥β，或m与β相交，故A不成立；B：由m⊥α，α⊥β，知m∥β或m⊂β，从而m⊥β不成立，故B不成立；C：m⊥n，n⊂β⇒m⊂β，或m∥β，或m与β相交，故C不成立；D：m∥n，且n⊥β⇒m⊥β，故D成立；故选D．根据选项A，B，C，D所给的条件，分别进行判断，能够得到正确结果．本题考查直线与平面的位置关系的判断，是基础题，解题时要认真审题，仔细解答．7.如图是某四棱锥的三视图，则该几何体的表面积等于（）A.34+6B.6+6+4C.6+6+4D.17+6【答案】A【解析】解：由三视图知，这是一个底面是矩形的四棱锥，矩形的长和宽分别是6，2底面上的高与底面交于底面一条边的中点，四棱锥的高是4，∴四棱锥的表面积是2×6++=34+6，故选A．一个底面是矩形的四棱锥，矩形的长和宽分别是6，2，底面上的高与底面交于底面一条边的中点，四棱锥的高是4，根据勾股定理做出三角形的高，写出所有的面积表示式，得到结果．本题考查由三视图求几何体的表面积，考查由三视图还原几何体的直观图，考查平面图形面积的求法，本题是一个基础题．8.已知双曲线-=1（a＞0，b＞0）的离心率为，则此双曲线的渐近线方程为（）A.y=±2xB.C.D.【答案】C【解析】解：∵，故可设，，则得，∴渐近线方程为，故选C．由离心率的值，可设，，则得，可得的值，进而得到渐近线方程．本题考查双曲线的标准方程，以及双曲线的简单性质的应用，求出的值是解题的关键．9.如图所示，已知椭圆的方程为＞＞，A为椭圆的左顶点，B，C在椭圆上，若四边形OABC为平行四边形，且∠OAB=45°，则椭圆的离心率等于（）A. B. C. D.【答案】C【解析】解：令椭圆的右端点为M，连接CM，由题意四边形OABC为平行四边形，且∠OAB=45°，B，C在椭圆上，可得∠COM=∠CMO=∠OAB=45°，则有∠OCM=90°，故可得k OC×k CM=-1又四边形OABC为平行四边形，B，C在椭圆上，由图形知|BC|=a，且BC∥OA 由椭圆的对称性知，B，C两点关于y轴对称，故C的横坐标为，代入椭圆的方程得，解得y=±b，由图形知C（，b），故有，，所以有解得a2=3b2，故可得c2=2b2，所以e2=，得e=故选C由图形知|BC|=a，且BC∥OA由椭圆的对称性知，B，C两点关于y轴对称，由此可以求出两点的坐标，再连接OC，有∠OAB=45°及平行的性质，椭圆的对称性，令椭圆的右端点为M，则有∠COM=∠CMO=∠OAB=45°由此可得CO垂直于MC，由此垂直关系建立方程即可求得离心率的值．本题考查椭圆的简单性质，求解本题的关键是根据椭圆的对称性得出点C的坐标以及图形中的垂直关系，求出点C的坐标是为了表示出斜率，求出垂直关系是为了利用斜率的乘积为-1建立方程，然后再根据求离心率的公式求出离心率即可．本题比较抽象，方法单一，入手较难，运算量不大．10.已知直线l：xcosθ+ysinθ=1，且0P⊥l于P，O为坐标原点，则点P的轨迹方程为（）A.x2+y2=1B.x2-y2=1C.x+y=1D.x-y=1【答案】A【解析】解：设P（x，y），则∵0P⊥l于P∴点O到直线l的距离等于|OP|∴==1∴x2+y2=1故选A．利用0P⊥l于P，可得点O到直线l的距离等于|OP|，从而可得点P的轨迹方程．本题考查轨迹方程，考查学生分析解决问题的能力，解题的关键是将问题转化为点O 到直线l的距离等于|OP|．二、填空题(本大题共7小题，共28.0分)11.已知椭圆C：+=1（a＞0，b＞0）的右焦点为F（3，0），且点（-3，）在椭圆C上，则椭圆C的标准方程为______ ．【答案】+=1【解析】解：根据椭圆的方程为+=1，∵椭圆的右焦点坐标为（3，0），∴椭圆的两个焦点坐标分别为（-3，0），（3，0），并且经过点点（-3，），∴2a=∴a=3∵椭圆两个焦点的坐标分别是（-3，0），（3，0），∴c2=9，∴b2=a2-c2=9，∴椭圆的方程为+=1．故答案为：+=1．设出椭圆方程，利用椭圆的定义，求出a的值；根据椭圆中三个参数的关系求出b，代入椭圆方程即可．求圆锥曲线的方程的问题，一般利用待定系数法；注意椭圆中三个参数的关系为b2=a2-c212.若圆C1：x2+y2=1与圆C2：x2+y2-6x-8y+m=0外切，则m= ______ ．【答案】9【解析】解：由C1：x2+y2=1，得圆心C1（0，0），半径为1，由圆C2：x2+y2-6x-8y+m=0，得（x-3）2+（y-4）2=25-m，∴圆心C2（3，4），半径为．∵圆C1与圆C2外切，∴5=+1，解得：m=9．故答案为：9．化两圆的一般式方程为标准方程，求出圆心和半径，由两圆心间的距离等于半径和列式求得m值．本题考查两圆的位置关系，考查了两圆外切的条件，是基础题．13.一个六棱锥的体积为2，其底面是边长为2的正六边形，侧棱长都相等，则该六棱锥的侧面积为______ ．【答案】12【解析】解：∵一个六棱锥的体积为2，其底面是边长为2的正六边形，侧棱长都相等，∴棱锥是正六棱锥，设棱锥的高为h，则，∴h=1，棱锥的斜高为：=2，该六棱锥的侧面积为：=12．故答案为：12．判断棱锥是正六棱锥，利用体积求出棱锥的高，然后求出斜高，即可求解侧面积．本题考查了棱锥的体积，侧面积的求法，解答的关键是能够正确利用体积与表面积公式解题．14.已知集合{a，b，c}={0，1，2}，且下列三个关系：① a≠2；② b=2；③ c≠0有且只有一个正确，则100a+10b+c等于______ ．【答案】201【解析】解：由{a，b，c}={0，1，2}得，a、b、c的取值有以下情况：当a=0时，b=1、c=2或b=2、c=1，此时不满足题意；当a=1时，b=0、c=2或b=2、c=0，此时不满足题意；当a=2时，b=1、c=0，此时不满足题意；当a=2时，b=0、c=1，此时满足题意；综上得，a=2、b=0、c=1，代入100a+10b+c=201，故答案为：201．根据集合相等的条件，列出a、b、c所有的取值情况，再判断是否符合条件，求出a、b、c的值后代入式子求值．本题考查了集合相等的条件的应用，以及分类讨论思想，注意列举时按一定的顺序列举，做到不重不漏．15.已知圆C过点（1，0），且圆心在x轴的正半轴上，直线l：y=x-1被圆C所截得的弦长为，则过圆心且与直线l垂直的直线的方程为______ ．【答案】x+y-3=0【解析】解：由题意，设所求的直线方程为x+y+m=0，并设圆心坐标为（a，0），则由题意知：，解得a=3或-1，又因为圆心在x轴的正半轴上，所以a=3，故圆心坐标为（3，0），∵圆心（3，0）在所求的直线上，所以有3+0+m=0，即m=-3，故所求的直线方程为x+y-3=0．故答案为：x+y-3=0．先求圆心坐标，然后可求过圆心与直线ℓ垂直的直线的方程．本题考查了直线的方程、点到直线的距离、直线与圆的关系，考查了同学们解决直线与圆问题的能力．16.设m∈R，过定点A的动直线x+my=0与过定点B的动直线mx-y-m+3=0交于点P （x，y），则|PA|+|PB|的取值范围是______ ．【答案】，【解析】解：动直线x+my=0过定点A（0，0），动直线mx-y-m+3=0即m（x-1）+3-m=0过定点B（1，3）．无论m=0，m≠0，都有此两条直线垂直．∴点P在以AB为直径的圆上，|AB|=，|PA|2+|PB|2=10．∴≥|PA|+|PB|≥|AB|，当且仅当|PA|=|PB|=时取等号．∴≥|PA|+|PB|≥．故答案为：，．动直线x+my=0过定点A（0，0），动直线mx-y-m+3=0即m（x-1）+3-m=0过定点B （1，3）．无论m=0，m≠0，都有此两条直线垂直．因此点P在以AB为直径的圆上，利用≥|PA|+|PB|≥|AB|，即可得出．本题考查了“直线系”的应用、相互垂直的直线斜率之间的关系、圆的性质、勾股定理、基本不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．17.正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1，MN是正方体内切球的直径，P为正方体表面上的动点，则•的最大值为______ ．【答案】【解析】解：连接PO，可得•==++=-，当取得最大值时，•取得最大值为=．故答案为：．连接PO，可得•==-，当取得最大值时，即可得出•取得最大值．本题考查了数量积运算、正方体及其内切球的性质，考查了空间想象能力，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．三、解答题(本大题共4小题，共42.0分)18.设p：实数x满足x2-4ax+3a2＜0，q：实数x满足|x-4|≤16（1）若a=1且命题¬p∧q为真，求x的范围（2）若a≠0且p是q的充分不必要条件，求实数a的范围．【答案】解：（1）若a=1，则p：x∈（1，3），q：x∈[-12，20]，若¬p∧q为真，或，则则所求为：x∈[-12，1]∪[3，20]．（2）若a＞0时有p：x∈（a，3a），若p是q的充分不必要条件，则3a≤20，则＜若a＜0时有p：x∈（3a，a），p是q的充分不必要条件，则3a≥-12，则-4≤a＜0综上：，，．【解析】（1）若a=1，分别求出p，q成立的等价条件，利用且¬p∧q为真，求实数x的取值范围；（2）利用p是q的充分不必要条件，求实数a的取值范围．本题主要考查复合命题与简单命题之间的关系，利用充分条件和必要条件的定义是解决本题的关键，19.如图，已知实数t满足t∈（0，10），由t确定的两个任意点P（t，t），Q（10-t，0），问：（1）直线PQ是否能通过点M（6，1）和点N（4，5）？（2）在△OPQ中作内接正方形ABCD，顶点A、B在边OQ上，顶点C在边PQ上，顶点D在边OP上．求图中阴影部分面积的最大值并求对应的顶点A、B、C、D的坐标．【答案】解：（1）直线PQ方程：tx-（2t-10）y+t2-10t=0若通过点M，则得：t2-6t+10=0，t无解若通过点N，则得：，或（舍）故：直线PQ一定不过点M，当时可以过点N..（5分）（2）设边长为a，则A（a，0），B（2a，0），C（2a，a），D（a，a）把点C坐标代人直线PQ得：t2-10t=-10a，又阴由t∈（0，10）且10-t≥t知t∈（0，5]，则，故当时，S阴取最大值，此时所求的对应坐标为，，，，，，，…（10分）【解析】（1）可先求直线PQ的方程再把点M，点N的坐标代入检验即可得到结论．（2）阴影部分的面积即为三角形的面积减去正方形的面积，作差求最值即可．转化思想是我们高中常考的一种解题思想，常用于正面不好求，但转化后好求的题中．20.如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，∠ABC=60°，AD=CD=CB=a，平面ACFE⊥平面ABCD，四边形ACFE是矩形，AE=a．（Ⅰ）求证：BC⊥平面ACFE；（Ⅱ）求二面角B-EF-D的余弦值．【答案】解：（Ⅰ）在梯形ABCD中，AB∥CD，∵∠ABC=60°，AD=CD=CB=a，∴四边形ABCD是等腰梯形，…（2分）且∠DCA=∠DAC=30°，∠DCB=120°，∴∠ACB=∠DCB-∠DCA=90°，∴AC⊥BC．…（4分）又∵平面ACFE⊥平面ABCD，交线为AC，∴BC⊥平面ACFE．…（6分）（Ⅱ）取EF中点G，EB中点H，连结DG、GH、DH，∵AD=CD=CB=a，平面ACFE⊥平面ABCD，四边形ACFE是矩形，AE=a．∴DE=DF，∴DG⊥EF，…（8分）∵BC⊥平面ACFE，∴BC⊥EF，又∵EF⊥FC，∴EF⊥FB，又∵GH∥BF，∴EF⊥GH，∴∠DGH是二面角B-EF-D的平面角．…（10分）在△BDE中，DE=，DB=，BE==，∴BE2=DE2+DB2，∴∠EDB=90°，∴DH=，又DG=，GH=，…（12分）∴在△DGH中，由余弦定理得cos∠，∴二面角B-EF-D的平面角余弦值为．…（14分）（注：若用空间向量解答，则酌情给分．）【解析】（Ⅰ）由已知条件推导出四边形ABCD是等腰梯形，进而推导出AC⊥BC，由此能证明BC⊥平面ACFE．（Ⅱ）取EF中点G，EB中点H，连结DG、GH、DH，由题设条件推导出∠DGH是二面角B-EF-D的平面角，由此能求出二面角B-EF-D的平面角余弦值．本题考查直线与平面垂直的证明，考查二面角的平面角的余弦值的求法，解题时要注意空间思维能力的培养．21.已知中心在原点O，焦点在x轴上，离心率为的椭圆；以椭圆的顶点为顶点构成的四边形的面积为4．（1）求椭圆的标准方程；（2）若A，B分别是椭圆长轴的左．右端点，动点M（异于A、B）满足=0，直线MA交椭圆于P，求•的最小值并求对应的直线AM的方程．【答案】解：（1）∵椭圆的顶点为顶点构成的四边形的面积为4．∴×2a×2b=4，∴ab=2，∵e==，a2=b2+c2，∴a=2，b=1，∴椭圆的标准方程为+y2=1；（2）∵=0，∴M点得轨迹是以AB为直径得圆周上，∵AB=4，∴M点得轨迹方程为：x2+y2=1，设P（x1，y1），M（x2，y2），设直线MA的方程为y=k（x+2），（k≠0），∵，∴（1+k2）x2+4k2x+4k2-4=0，∴-2x2=，∴x2=，∴y2=k（x2+2）=，∵，∴（1+4k2）x2+16k2x+16k2-4=0，∴-2x1=，∴x1=-．∴y1=k（x1+2）=，∴•=+===4-，∵k2＞0，∴•=4-≥4-=，当且仅当k2=等号成立，∴•的最小值为，∴对应的直线AM的方程y=±（x+2）．【解析】（1）根据题意得到ab=1，再根据离心率求得e==，a2=b2+c2，解得a，b得值，即可得到椭圆得标准方程．（2）根据=0得到M点得轨迹是以AB为直径得圆周上，分别P（x1，y1），M （x2，y2），设直线MA的方程为y=k（x+2），（k≠0），分别联立方程组，根据直线和圆和直线与椭圆得位置关系，求出P，M的坐标，再根据向量的坐标运算以及基本不等式求得•的最小值，继而求出方程．本题考查了椭圆定义，直线和圆以及直线和椭圆得位置关系，以及向量的运算基本不等式得应用，涉及得知识点较多，培养了学生得运算能力，转化能力，属于难题．高中数学试卷第11页，共11页。
2017-2018学年浙江省杭州市余杭二中高二(上)9月月考数学试卷
2017-2018学年浙江省杭州市余杭二中高二（上）9月月考数学试卷一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1．（4分）若a，b，c∈R，则下列说法正确的是（）A．若a＞b，则a﹣c＞b﹣c B．若a＞b，则C．若a＞b，则a2＞b2D．若a＞b，则ac2＞bc22．（4分）直线在y轴上的截距是（）A．a B．b C．﹣a D．﹣b3．（4分）设等比数列{a n}的公比q=2，前n项和为S n，则的值为（）A．B．C．D．4．（4分）若实数x，y满足不等式组，则z=2x﹣y的最小值等于（）A．﹣1 B．1 C．2 D．﹣25．（4分）半径为R的半圆卷成底面最大的圆锥，所得圆锥的高为（）A．B．C．D．6．（4分）若圆（x﹣1）2+y2=25的弦AB被点P（2，1）平分，则直线AB的方程为（）A．2x+y﹣3=0 B．x+y﹣3=0 C．x﹣y﹣1=0 D．2x﹣y﹣5=07．（4分）将函数y=2cos（x﹣）的图象上所有的点的横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变），得到函数y=g（x）的图象，则函数y=g（x）的图象（）A．关于点（﹣，0）对称B．关于点（，0）对称C．关于直线x=﹣对称D．关于直线x=对称8．（4分）已知是单位向量，且的夹角为，若向量满足|﹣+2|=2，则||的最大值为（）A．2+B．2﹣C．+2 D．﹣29．（4分）设函数f（x）与g（x）的定义域为R，且f（x）单调递增，F（x）=f （x）+g（x），G（x）=f（x）﹣g（x）．若对任意x1，x2∈R（x1≠x2），不等式[f （x1）﹣f（x2）]2＞[g（x1）﹣g（x2）]2恒成立．则（）A．F（x），G（x）都是增函数B．F（x），G（x）都是减函数C．F（x）是增函数，G（x）是减函数D．F（x）是减函数，G（x）是增函数10．（4分）设点P在△ABC的BC边所在的直线上从左到右运动，设△ABP与△ACP的外接圆面积之比为λ，当点P不与B，C重合时，（）A．λ先变小再变大B．当M为线段BC中点时，λ最大C．λ先变大再变小D．λ是一个定值二、填空题（本大题共7小题，单空题每空4分，多空题每空3分，共36分）11．（8分）数列{a n}中，已知a1=1，若，则a n=，若，则a n=．12．（8分）已知函数f（x）=|x﹣a|+|x﹣1|（a＞0）的最小值是2，则a的值是，不等式f（x）≥4的解集是．13．（8分）已知圆C：（x﹣4）2+（y﹣3）2=9，若P（x，y）是圆C上一动点，则x的取值范围是；的最大值是．14．（8分）已知坐标平面上的凸四边形ABCD 满足=（1，），=（﹣，1），则凸四边形ABCD的面积为；•的取值范围是．15．（4分）某几何体的三视图如图所示，且该几何体的体积是，则正视图中x 的值是．16．（4分）已知正实数a，b满足a+b=2，则+的最小值为．17．（4分）已知函数f（x）=，则函数y=f[f（x）]+1的零点个数为．三、解答题（本大题共5小题，共74分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）18．（12分）设A是单位圆O和x轴正半轴的交点，P，Q是圆O上两点，O为坐标原点，∠AOP=，∠AOQ=α，α∈[0，]．（1）若Q（，），求cos（α﹣）的值；（2）设函数f（α）=sinα•（•），求f（α）的值域．19．（12分）S n为数列{a n}前n项和，已知a n＞0，a n2+2a n=4S n+3，（1）求{a n}的通项公式；（2）设b n=，求数列{b n}的前n项和．20．（12分）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知=．（1）求角C的大小；（2）若c=2，求使△ABC面积最大时a，b的值．21．（14分）已知圆C的圆心在直线y=﹣4x上，且与直线x+y﹣1=0相切于点P （3，﹣2）．（Ⅰ）求圆C方程；（Ⅱ）是否存在过点N（1，0）的直线l与圆C交于E、F两点，且△OEF的面积是2（O为坐标原点）．若存在，求出直线l的方程，若不存在，请说明理由．22．（16分）已知函数（a＞0，a≠1）（1）写出函数f（x）的值域、单调区间（不必证明）（2）是否存在实数a使得f（x）的定义域为[m，n]，值域为[1+log a n，1+log a m]？若存在，求出实数a的取值范围；若不存在说明理由．2017-2018学年浙江省杭州市余杭二中高二（上）9月月考数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1．（4分）若a，b，c∈R，则下列说法正确的是（）A．若a＞b，则a﹣c＞b﹣c B．若a＞b，则C．若a＞b，则a2＞b2D．若a＞b，则ac2＞bc2【分析】对4个选项分别进行判断，即可得出结论．【解答】解：对于A，若a＞b，则a﹣c＞b﹣c，正确；对于B，a=1，b=﹣1，不成立，故不正确；对于C，a=1，b=﹣1，不成立，故不正确；对于D，c=0，不成立，故不正确；故选：A．【点评】本题考查不等式的性质，考查学生分析解决问题的能力，比较基础．2．（4分）直线在y轴上的截距是（）A．a B．b C．﹣a D．﹣b【分析】令x=0，求出y的值即为直线在y轴上的截距．【解答】解：直线中，令x=0，解得y=﹣b，∴直线在y轴上的截距为﹣b．故选：D．【点评】本题考查直线方程的纵截距的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意直线的性质的合理运用．3．（4分）设等比数列{a n}的公比q=2，前n项和为S n，则的值为（）A．B．C．D．【分析】由等比数列的通项公式和求和公式，代入要求的式子化简可得．【解答】解：等比数列{a n}的公比q=2，前n项和为S n，∴a2=a1q=2a1，S4==15a1，∴=，故选：B由S1+S2+…+S n=n（n+1）a1+n（n﹣1）b1，当n=1时，a1=a1，当n=2时，3a1+2a2+a3=6a3+3b3，即3b3=2（a2﹣a1）+（a3﹣a1），（*），若a1＜a3＜a2，【点评】本题考查等比数列的通项公式和求和公式，属基础题．4．（4分）若实数x，y满足不等式组，则z=2x﹣y的最小值等于（）A．﹣1 B．1 C．2 D．﹣2【分析】由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，联立方程组求得最优解的坐标，把最优解的坐标代入目标函数得答案．【解答】解：由约束条件作出可行域如图：化目标函数z=2x﹣y为y=2x﹣z，由图可知，当直线y=2x﹣z过点A时直线在y 轴上的截距最大，z有最小值为﹣2．故选：D．【点评】本题考查简单的线性规划，考查数形结合的解题思想方法，是中档题．5．（4分）半径为R的半圆卷成底面最大的圆锥，所得圆锥的高为（）A．B．C．D．【分析】半径为R的半圆弧长为πR，圆锥的底面圆的周长为πR，圆锥的底面半径为：，由此能求出圆锥的高．【解答】解：半径为R的半圆弧长为πR，圆锥的底面圆的周长为πR，圆锥的底面半径为：，所以圆锥的高：=．故选：B．【点评】本题考查圆锥的高的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意圆锥的性质的合理运用．6．（4分）若圆（x﹣1）2+y2=25的弦AB被点P（2，1）平分，则直线AB的方程为（）A．2x+y﹣3=0 B．x+y﹣3=0 C．x﹣y﹣1=0 D．2x﹣y﹣5=0【分析】由圆的方程找出圆心C的坐标，连接CP，由P为弦AB的中点，根据垂径定理的逆定理得到CP垂直于AB，根据两直线垂直时斜率的乘积为﹣1，由P 与C的坐标求出直线PC的斜率，进而确定出弦AB所在直线的斜率，由P的坐标及求出的斜率，写出直线AB的方程即可．【解答】解：由圆（x﹣1）2+y2=25，得到圆心C坐标为（1，0），又P（2，1），∴k PC=1，∴弦AB所在的直线方程斜率为﹣1，又P为AB的中点，则直线AB的方程为y﹣1=﹣（x﹣2），即x+y﹣3=0．故选：B．【点评】此题考查了直线与圆的位置关系，涉及的知识有：圆的标准方程，垂径定理，两直线垂直时斜率满足的关系，以及直线的点斜式方程，根据题意得出直线PC与直线AB垂直是解本题的关键．7．（4分）将函数y=2cos（x﹣）的图象上所有的点的横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变），得到函数y=g（x）的图象，则函数y=g（x）的图象（）A．关于点（﹣，0）对称B．关于点（，0）对称C．关于直线x=﹣对称D．关于直线x=对称【分析】利用函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，正弦函数的图象的对称性，得出结论．【解答】解：将函数y=2cos（x﹣）的图象上所有的点的横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变），可得y=g（x）=2cos（2x﹣）的图象，令x=﹣，可得g（x）=﹣，故函数y=g（x）的图象不关于点（﹣，0）对称，也不关于于直线x=﹣对称，故排除A、C；令x=时，求得g（x）=0，可得函数y=g（x）的图象关于点（，0）对称，不关于直线x=对称，故B正确、D不正确，故选：B．【点评】本题主要考查函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，正弦函数的图象的对称性，属于基础题．8．（4分）已知是单位向量，且的夹角为，若向量满足|﹣+2|=2，则||的最大值为（）A．2+B．2﹣C．+2 D．﹣2【分析】由题意可设=（1，0），=（，），=（x，y），可得x2+（y+）2=4，故向量的终点在以C（0，﹣）为圆心，半径等于2的圆上，由图象即可得到最大值为|OA|．【解答】解：是单位向量，且的夹角为，设=（1，0），=（，），=（x，y）则﹣+2=（x，y+），∵|﹣+2|=2，即x2+（y+）2=4，故向量的终点在以C（0，﹣）为圆心，半径等于2的圆上，∴||的最大值为|OA|=|OC|+r=+2．故选：A．【点评】本题主要考查两个向量的数量积的运算，熟练掌握向量的坐标运算和圆的方程及数形结合是解题的关键，属于基础题．9．（4分）设函数f（x）与g（x）的定义域为R，且f（x）单调递增，F（x）=f （x）+g（x），G（x）=f（x）﹣g（x）．若对任意x1，x2∈R（x1≠x2），不等式[f （x1）﹣f（x2）]2＞[g（x1）﹣g（x2）]2恒成立．则（）A．F（x），G（x）都是增函数B．F（x），G（x）都是减函数C．F（x）是增函数，G（x）是减函数D．F（x）是减函数，G（x）是增函数【分析】根据题意，不妨设x1＞x2，f（x）单调递增，可得出f（x1）﹣f（x2）＞g（x1）﹣g（x2），且f（x1）﹣f（x2）＞﹣g（x1）+g（x2），根据单调性的定义证明即可．【解答】解：对任意x1，x2∈R（x1≠x2），不等式[f（x1）﹣f（x2）]2＞[g（x1）﹣g（x2）]2恒成立，不妨设x1＞x2，f（x）单调递增，∴f（x1）﹣f（x2）＞g（x1）﹣g（x2），且f（x1）﹣f（x2）＞﹣g（x1）+g（x2），∴F（x1）=f（x1）+g（x1），F（x2）=f（x2）+g（x2），∴F（x1）﹣F（x2）=f（x1）+g（x1）﹣f（x2）﹣g（x2）=f（x1）﹣f（x2）﹣（g（x2）﹣g（x1）＞0，∴F（x）为增函数；同理可证G（x）为增函数，故选：A．【点评】考查了对绝对值不等式的理解和利用定义证明函数的单调性．10．（4分）设点P在△ABC的BC边所在的直线上从左到右运动，设△ABP与△ACP的外接圆面积之比为λ，当点P不与B，C重合时，（）A．λ先变小再变大B．当M为线段BC中点时，λ最大C．λ先变大再变小D．λ是一个定值【分析】利用正弦定理求出两圆的半径，得出半径比，从而得出两圆面积比．【解答】解：设△ABP与△ACP的外接圆半径分布为r1，r2，则2r1=，2r2=，∵∠APB+∠APC=180°，∴sin∠APB=sin∠APC，∴=，∴λ==．故选：D．【点评】本题考查了正弦定理，属于基础题．二、填空题（本大题共7小题，单空题每空4分，多空题每空3分，共36分）11．（8分）数列{a n}中，已知a1=1，若，则a n=2n﹣1，若，则a n=2n﹣1．【分析】由已知递推式a n﹣a n=2，可得数列是公差为2的等差数列，由，﹣1可知数列是公比为2的等比数列，然后分别由等差数列和等比数列的通项公式得答案．【解答】解：在数列{a n}中，由，可知数列是公差为2的等差数列，又a1=1，∴a n=1+2（n﹣1）=2n﹣1；由，可知数列是公比为2的等比数列，又a1=1，∴．故答案为：2n﹣1；2n﹣1．【点评】本题考查数列递推式，考查了等差数列和等比数列的通项公式，是基础题．12．（8分）已知函数f（x）=|x﹣a|+|x﹣1|（a＞0）的最小值是2，则a的值是3，不等式f（x）≥4的解集是（﹣∞，0]∪[4，+∞）．【分析】根据绝对值的性质求出f（x）的最小值，得到关于a的方程，求出a的值，从而求出f（x）的解析式，通过讨论x的范围，求出不等式的解集即可．【解答】解：f（x）=|x﹣a|+|x﹣1|≥|x﹣a﹣x+1|=|1﹣a|=2，故1﹣a=2或1﹣a=﹣2，解得：a=﹣1或a=3，而a＞0，故a=3，故f（x）=|x﹣3|+|x﹣1|，由f（x）≥4，即|x﹣3|+|x﹣1|≥4，故或或，解得：x≥4或x≤0，故不等式的解集是（﹣∞，0]∪[4，+∞），故答案为：3，（﹣∞，0]∪[4，+∞）．【点评】本题考查了解绝对值不等式问题，考查分类讨论思想，转化思想，是一道中档题．13．（8分）已知圆C：（x﹣4）2+（y﹣3）2=9，若P（x，y）是圆C上一动点，则x的取值范围是1≤x≤7；的最大值是．【分析】由题意|x﹣4|≤3，可得x的取值范围；设=k，即kx﹣y=0，圆心到直线的距离d=≤3，可得的最大值．【解答】解：由题意|x﹣4|≤3，∴1≤x≤7，设=k，即kx﹣y=0，圆心到直线的距离d=≤3，∴0≤k≤，∴的最大值是．故答案为1≤x≤7；．【点评】本题考查直线与圆的位置关系，考查点到直线的距离公式，属于中档题．14．（8分）已知坐标平面上的凸四边形ABCD 满足=（1，），=（﹣，1），则凸四边形ABCD的面积为2；•的取值范围是[﹣2，0）．【分析】根据向量的模的计算和向量的坐标运算得到四边形ABCD为对角线垂直且相等的四边形，问题得以解决．【解答】解：∵凸四边形ABCD 满足=（1，），=（﹣，1），∴=0，且AC|=2，BD=2，∴AC=BD，AC⊥BD，∴凸四边形ABCD的面积为==2；设AC与BD交点为O，OC=x，OD=y，则AO=2﹣x，BO=2﹣y；•=（）•（）==x（x﹣2）+y（y﹣2）=（x﹣1）2+（y﹣1）2﹣2，（0＜x，y＜2）；∴当x=y=1时，•=﹣2为最小值，当x→0或1，y→0或1时，•接近最大值0，∴•的取值范围是[﹣2，0）．故答案为：2；[﹣2，0）．【点评】本题考查了向量的坐标运算和向量的模的计算以及向量的夹角公式，属于中档题．15．（4分）某几何体的三视图如图所示，且该几何体的体积是，则正视图中x的值是．【分析】由三视图可知：原几何体是一个四棱锥，其中底面是一个上、下、高分别为1、2、2的直角梯形，一条长为x的侧棱垂直于底面直角梯形的直角顶点．通过几何体的体积求出x的值．【解答】解：由三视图可知：原几何体是一个四棱锥，其中底面是一个上、下、高分别为1、2、2的直角梯形，一条长为x的侧棱垂直于底面直角梯形的直角顶点．则体积为וx=，解得x=．故答案为：．【点评】本题考查了三视图，由三视图正确恢复原几何体是解决问题的关键；考查空间想象能力与计算能力．16．（4分）已知正实数a，b满足a+b=2，则+的最小值为．【分析】利用“乘1法”与基本不等式的性质即可得出．【解答】解：∵正实数a，b满足a+b=2，则+=（a+b）（+）=（3++）≥（3+2）=（3+2），当且仅当b=2a=4（﹣1）时取等号．因此最小值为．故答案为：．【点评】本题考查了“乘1法”与基本不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．17．（4分）已知函数f（x）=，则函数y=f[f（x）]+1的零点个数为4个．【分析】分别讨论当﹣1＜x≤0时，x≤﹣1时，0＜x＜1时，x＞1时的情况，求出相对应的表达式，从而求出函数的解的个数．【解答】解：当x≤0时，f（x）=x+1，当﹣1＜x≤0时，f（x）=x+1＞0y=f[f（x）]+1=log2（x+1）+1=0，x+1=，x=﹣．当x≤﹣1时，f（x）=x+1≤0，y=f[f（x）]+1=f（x）+1+1=x+3=0，∴x=﹣3．当x＞0时，f（x）=log2x，y=f[f（x）]+1=log2[f（x）]+1，当0＜x＜1时，f（x）=log2x＜0，y=f[f（x）]+1=log2[f（x）]+1=log2（log2x+1）+1=0，∴log2x+1=，x=；当x＞1时，f（x）=log2x＞0，∴y=f[f（x）]+1=log2（log2x）+1=0，∴log2x=，x=．综上所述，y=f[f（x）]+1的零点是x=﹣3，或x=﹣，或x=，或x=．故答案为：4．【点评】本题考查了函数的零点问题，考查复合函数的解析式的求解，考查分类讨论思想，是一道中档题．三、解答题（本大题共5小题，共74分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）18．（12分）设A是单位圆O和x轴正半轴的交点，P，Q是圆O上两点，O为坐标原点，∠AOP=，∠AOQ=α，α∈[0，]．（1）若Q（，），求cos（α﹣）的值；（2）设函数f（α）=sinα•（•），求f（α）的值域．【分析】（1）利用差角的余弦公式计算；（2）利用三角恒等变换化简f（α），再利用α的范围和正弦函数的性质求出f（α）的最值．【解答】解：（1）由已知得cosα=，sinα=，∴cos（）=+×=．（2）=（，），=（cosα，sinα），∴=cosα+sinα，∴f（α）=sinαcosα+sin2α=sin2α﹣cos2α+=sin（2α﹣）+．∵α∈[0，]，∴2α﹣∈[﹣，]，∴当2α﹣=﹣时，f（α）取得最小值+=0，当2α﹣=时，f（α）取得最大值=．∴f（α）的值域是[0，]．【点评】本题考查了三角恒等变换，正弦函数的性质，平面向量的数量积运算，属于中档题．19．（12分）S n为数列{a n}前n项和，已知a n＞0，a n2+2a n=4S n+3，（1）求{a n}的通项公式；（2）设b n=，求数列{b n}的前n项和．【分析】（1）a n＞0，a n2+2a n=4S n+3，n≥2时，+2a n﹣1=4S n﹣1+3，a n＞0，相减可得，a n﹣a n﹣1﹣2=0，利用等差数列的通项公式可得a n．（2）b n===，利用裂项求和方法即可得出．【解答】解：（1）a n＞0，a n2+2a n=4S n+3，n≥2时，+2a n﹣1=4S n﹣1+3，相减可得：a n2+2a n﹣（+2a n﹣1）=4a n，化为：（a n+a n﹣1）（a n﹣a n﹣1﹣2）=0，∵a n＞0，∴a n﹣a n﹣1﹣2=0，即a n﹣a n﹣1=2，又=4a1+3，a1＞0，解得a1=3．∴数列{a n}是等差数列，首项为3，公差为2．∴a n=3+2（n﹣1）=2n+1．（2）b n===，∴数列{b n}的前n项和=+…+==．【点评】本题考查了数列递推关系、等差数列的通项公式、裂项求和方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．20．（12分）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知=．（1）求角C的大小；（2）若c=2，求使△ABC面积最大时a，b的值．【分析】（1）首先利用三角函数关系式的恒等变换，求出C的值．（2）进一步利用三角形的面积公式和余弦定理及基本不等式求出结果．【解答】解：（1）由△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知=．可得：，去分母得：2acosC+bcosC+ccosB=0，则有2acosC+a=0，即，∴；（2），再根据余弦定理得：4=a2+b2+ab，∴a2+b2=4﹣ab≥2ab，则，那么，当且仅当时，△ABC面积最大．【点评】本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变换，正弦定理的应用，余弦定理的应用，基本不等式的应用，三角形面积公式的应用，属于基础题型．21．（14分）已知圆C的圆心在直线y=﹣4x上，且与直线x+y﹣1=0相切于点P （3，﹣2）．（Ⅰ）求圆C方程；（Ⅱ）是否存在过点N（1，0）的直线l与圆C交于E、F两点，且△OEF的面积是2（O为坐标原点）．若存在，求出直线l的方程，若不存在，请说明理由．【分析】（Ⅰ）过切点P（3，2）且与x+y﹣1=0垂直的直线为y=x﹣5，与直线y=﹣4x联立，解得圆心为（1，﹣4），由此能求出圆的方程．（Ⅱ）当斜率不存在时，直线l方程为x=1，满足题意；当斜率存在时，设直线l的方程为y=k（x﹣1），由点到直线距离公式结合已知条件推导出不存在这样的实数k．从而所求的直线方程为x=1．【解答】解：（Ⅰ）过切点P（3，2）且与x+y﹣1=0垂直的直线为y+2=x﹣3，即y=x﹣5．（1分）与直线y=﹣4x联立，解得x=1，y=﹣4，∴圆心为（1，﹣4），…（2分）∴半径r==2，∴所求圆的方程为（x﹣1）2+（y+4）2=8．…（4分）（Ⅱ）①当斜率不存在时，此时直线l方程为x=1，原点到直线的距离为d=1，同时令x=1代入圆方程得y=﹣4，∴|EF|=4，=满足题意，∴S△OEF此时方程为x=1．…（8分）②当斜率存在时，设直线l的方程为y=k（x﹣1），圆心C（1，﹣4）到直线l的距离d=，…（9分）设EF的中点为D，连接CD，则必有CD⊥EF，在Rt△CDE中，DE==，∴EF=，原点到直线l的距离=，…（10分）=•=2，…（12分）∴S△OEF整理，得3k2+1=0，不存在这样的实数k．综上所述，所求的直线方程为x=1．…（14分）【点评】本题考查圆的方程的求法，考查直线方程存在性的讨论及其求法，具有一定的探索性，对数学思维的要求较高，解题时要注意分类讨论思想的合理运用．22．（16分）已知函数（a＞0，a≠1）（1）写出函数f（x）的值域、单调区间（不必证明）（2）是否存在实数a使得f（x）的定义域为[m，n]，值域为[1+log a n，1+log a m]？若存在，求出实数a的取值范围；若不存在说明理由．【分析】（1）由真数可以取到不等于1的所有正实数得函数的值域，分析出真数的单调性，由复合函数的单调性得到原函数的单调期间；（2）假设存在实数a，使得f（x）的定义域为[m，n]，值域为[1+log a n，1+log a m]，可得0＜a＜1，问题转化为m，n是f（x）=1+log a x的两根，进一步整理得到ax2+（a﹣1）x+1=0在（1，+∞）上有两不同解，然后利用三个二次结合得到关于a 的不等式组，求解不等式组得答案．【解答】解：（1）∵≠1，∴，则的值域为：（﹣∞，0）∪（0，+∞）；由，解得x＜﹣1或x＞1，且1﹣在（﹣∞，﹣1）、（1，+∞）上为增函数，∴当a＞1时，f（x）的增区间：（﹣∞，﹣1），（1，+∞）；当0＜a＜1时，f（x）的减区间：（﹣∞，﹣1），（1，+∞）；（2）假设存在实数a，使得f（x）的定义域为[m，n]，值域为[1+log a n，1+log a m]，由m＜n，及1+log a n＜1+log a m，得0＜a＜1，∴f（m）=1+log a m，f（n）=1+log a n，∴m，n是f（x）=1+log a x的两根，∴，化简得ax2+（a﹣1）x+1=0在（1，+∞）上有两不同解，设G（x）=ax2+（a﹣1）x+1，则，解得．∴存在实数a∈（0，3﹣），使得f（x）的定义域为[m，n]，值域为[1+log a n，1+log a m]．【点评】本题考查函数的定义域、值域及其求法，考查了复合函数的单调性，体现了分类讨论的数学思想方法和数学转化思想方法，是中档题．第21页（共21页）。
2017—2018学年度第一学期高二理科数学试卷含答案
1 2017—2018学年度第一学期期末考试 高二理科数学试卷
（答题时间：120分钟 满分：150分） 一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，满分60分)每小题只有一个．．．．正确选项，请将正确选项填到答题卡处 1。设集合{|(1)(2)0}Axxx， {|13}Bxx，则AB
A．{|13}xx B．{|11}xx
C．{|12}xx D．{|23}xx
2。已知抛物线y2＝2px（p0)的准线经过点(－1,1）,则该抛物线的焦点坐标为 A．(－1,0） B．（1,0） C．(0，－1） D．(0,1） 3．设x，y∈R，则“x≥2且y≥2”是“x2＋y2≥4"的
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 4．已知等差数列{an｝的公差为d(d≠0），且a3＋a6＋a10＋a13＝32，若am＝8，则m为 A．12 B．8 C．6 D．4 5．执行如图所示的程序框图，若输入的n＝10， 则输出的S等于 A.错误! B。错误! C。错误! D.错误! 6．某学校组织学生参加数学测试，成绩的频率分布直方图如图，数据的分组依次为[20，40),[40,60）,［60,80），[80,100]．若低于60分的人数是15人，则该班的学生人数是 A．45 2
B．50 C．55 D．60 7.若一个正三棱柱的三视图如图所示，则这个正三棱柱的表面积为 A。318 B。315 C。3824 D.31624 8．已知a＋b＋c＝0，|a｜＝2,｜b|＝3，|c|＝4,则向量a与b之间的夹角〈a，b〉为 A．30° B．45° C．60° D．以上都不对 9．在长为10厘米的线段AB上任取一点G,用AG为半径作圆，则圆的面积介于36π平方厘米到64π平方厘米的概率是 A.错误! B。错误! C。错误! D.错误! 10．设a＝log2π,12logb,c＝π－2，则
2017-2018学年高二10月月考数学(理)试题
一、选择题（本大题共有12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四选项中只有一项是符合题目要求的。） 1. 对抛物线，下列判断正确的是（ ） A. 焦点坐标是 B. 焦点坐标是 C. 准线方程是 D. 准线方程是 【答案】C 【解析】试题分析：因为，所以，又焦点在轴上，焦点坐标是，准线方程是，故选C. 考点：抛物线的方程及性质. 2. 已知点在椭圆上，则( ) A. 点不在椭圆上 B. 点不在椭圆上 C. 点在椭圆上 D. 无法判断点，，是否在椭圆上 【答案】C 【解析】根据椭圆对称性知点，，皆在椭圆上,所以选C. 3. 如图，设P是圆上的动点，点D是P在x轴上的投影，M为PD上一点，且|MD|＝|PD|，当P在圆上运动时，则点M的轨迹C的方程是（ ）
A. B. C. D. 【答案】A 【解析】设,则 ,所以 ,选A. 4. 抛物线上到直线距离最近的点的坐标是（ ） A. B. C. D. （2,4） 【答案】A 【解析】抛物线上点到直线距离为 (当且仅当时取等号),所以到直线距离最近的点的坐标是 ,选A. 5. 设经过点的等轴双曲线的焦点为，此双曲线上一点满足，则的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】设等轴双曲线方程为 ,因为过点,所以
从而 ,选D. 6. 如图所示，A是圆O内一定点，B是圆周上一个动点，AB的中垂线CD与OB交于E,则点E的轨迹是( )
A. 圆 B. 椭圆 C. 双曲线 D. 抛物线 【答案】B 【解析】 ,所以点E的轨迹是以O,A为焦点的椭圆,选B. 7. 抛物线上有，，三点，是它的焦点，若成等差数列，则( ) A. 成等差数列 B. 成等差数列 C. 成等差数列 D. 成等差数列 【答案】D 【解析】由成等差数列得 ,即成等差数列,选A. 点睛：1.凡涉及抛物线上的点到焦点距离时，一般运用定义转化为到准线距离处理． 2．若为抛物线上一点，由定义易得；若过焦点的弦 AB的端点坐标为，则弦长为可由根与系数的关系整体求出；若遇到其他标准方程，则焦半径或焦点弦长公式可由数形结合的方法类似地得到． 8. 已知椭圆与双曲线有公共的焦点，的一条渐近线与以的长轴为直径的圆相交于A，B两点，若恰好将线段AB三等分，则( ) A. B. C. D. 【答案】C 【解析】取双曲线的一条渐近线 ，与椭圆在第一象限交点为，由题意得 ，选C. 9. 已知抛物线y2＝2px(p＞0)的焦点F恰好是双曲线的右焦点，且两曲线的交点连线过点F，则该双曲线的离心率为( ) A. B. C. 1＋ D. 1＋ 【答案】C 【解析】由题意可设两曲线的交点为在双曲线上，即
【月考试卷】浙江省余杭二高2017-2018学年高二上学期9月教学质量检测数学试卷Word版含答案
2017年9月余杭二高高二教学质量检测数学试卷一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1.若R c b a ∈,,，则下列说法正确的是（ ）A. 若b a >，则c b c a ->-B. 若b a >，则ba 11< C. 若b a >，则22b a > D. 若b a >，则22bc ac >2.直线1=-bya x 在y 轴上的截距是（ ） A. a B.b C. a - D. b -3.设等比数列}{n a 的公比2=q ，前n 项和为n S ，则24a S 的值为（ ） A. 215 B. 415 C. 47 D. 274.若实数y x ,满足不等式组⎪⎩⎪⎨⎧≥≤-+≥+-20402y y x y x ，则y x z -=2的最小值等于（ ）A. 1-B. 1C. 2-D. 2 5.半径为R 的半圆卷成底面最大的圆锥，所得圆锥的高为（ ）A.R 3 B.R 2 C.R 23 D. R 22 6.若圆25)1(22=+-y x 的弦AB 被点)1,2(P 平分，则直线AB 的方程为（ ） A. 03=-+y x B. 032=-+y x C. 01=--y x D.052=--y x7.将函数)3cos(2π-=x y 的图像上所有的点的横坐标缩短到原来的21倍（纵坐标不变），得到函数)(x g y =的图像，则函数)(x g y =的图像（ ）A. 关于点)0,125(π对称 B. 关于点)0,6(π-对称 C. 关于直线6π-=x 对称 D. 关于直线125π=x 对称8.已知,是单位向量，且,的夹角为3π，若向量c 满足2|2|=+-b a c ，则||c 的最大值为（ ）A. 32-B. 32+C.27+ D. 27-9.设函数)(x f 与)(x g 的定义域为R ，且)(x f 单调递增，)()()(x g x f x F +=，)()()(x g x f x G -=，若对任意)(,2121x x R x x ≠∈，221221)]()([)]()([x g x g x f x f ->-恒成立，则（ ）A. )(),(x G x F 都是减函数B. )(),(x G x F 都是增函数C. )(x F 是增函数，)(x G 是减函数D. )(x F 是减函数，)(x G 是增函数 10.设点P 在ABC ∆的BC 边所在的直线上从左到右运动，设ABP ∆与ACP ∆的外接圆面积之比为λ，当点P 不与C B ,重合时，（ ）A. λ是一个定值B. 当M 为线段BC 中点时，λ最大C. λ先变大再变小D. λ先变小再变大二、填空题（本大题共7小题，单空题每空4分，多空题每空3分，共36分）11.数列}{n a 中，已知11=a ，若21=--n n a a （2≥n 且*∈N n ），则=n a ______，若21=-n na a （2≥n 且*∈N n ），则=n a _______.12.已知函数)0(|1|||)(>-+-=a x a x x f 的最小值是2，则a 的值是________，不等式4)(≥x f 的解集是________.13.已知圆9)3()4(:22=-+-y x C ，若),(y x P 是圆C 上一动点，则x 的取值范围是______；xy的最大值是_______. 14.已知坐标平面上的凸四边形ABCD 满足)3,1(=AC ，)1,3(-=BD ，则凸四边形ABCD 的面积为________；CD AB ⋅的取值范围是_______.15.某几何体的三视图如图所示，且该几何体的体积是23，则正视图中x 的值是_______.16.已知正实数b a ,满足2=+b a ，则ba 21+的最小值为_______. 17.已知函数⎩⎨⎧>≤+=0log 01)(2x x x x x f ，，，则函数1)]([+=x f f y 的零点个数是______个.三、解答题（本大题共5小题，共74分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 18.（本题满分14分）设A 是单位圆O 和x 轴正半轴的交点，Q P ,是圆O 上两点，O 为坐标原点，6π=∠AOP ，α=∠AOQ ，]2,0[πα∈.（1）若)54,53(Q ，求)6cos(πα-的值；（2）设函数)(sin )(OQ OP f ⋅⋅=αα，求)(αf 的值域.19.（本题满分15分）n S 为数列}{n a 的前n 项和，已知0>n a ，3422+=+n n n S a a .（1）求}{n a 的通项公式； （2）设11+⋅=n n n a a b ，求数列}{n b 的前n 项和.20.（本题满分15分）在ABC ∆中，角C B A ,,所对的边分别为c b a ,,，已知CC A c b a cos )cos(2+=+. （1）求角C 的大小；（2）若2=c ，求使ABC ∆面积最大时b a ,的值.21.（本题满分15分）已知圆C 的圆心在直线x y 4-=上，且与直线01=-+y x 相切于点)2,3(-P .（1）求圆C 方程；（2）是否存在过点)0,1(N 的直线l 与圆C 交于F E ,两点，且OEF ∆的面积是22（O 为坐标原点），若存在，求出直线l 的方程，若不存在，请说明理由.22.（本题满分15分）已知函数)121(log )(+-=x x f a （1,0≠>a a ）.（1）写出函数)(x f 的值域，单调区间（不必证明）；（2）是否存在实数a 使得)(x f 的定义域为],[n m ，值域为]log 1,log 1[m n a a ++？若存在，求出实数a 的取值范围；若不存在，请说明理由.2017年9月余杭二高高二教学质量检测数学试卷（答案）二、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 A D A C C A A B B A三、填空题（本大题共7小题，单空题每空4分，多空题每空3分，共36分） 11. 12-n ；12-n 12. 3；),4[]0,(+∞-∞ 13. ]7,1[；724 14. 2；3- 15.23 16. 2223+ 17. 4 四、解答题（本大题共5小题，共74分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）18.【解析】（1）因为)54,53(Q ，α=∠AOQ ，则54sin =α，53cos =α， 则)6cos(πα-1033421sin 23cos +=⋅+⋅=αα； （2）6π=∠AOP ，则)21,23(P ，ααsin 21cos 23+=⋅OQ OP 函数ααα2cos 41412sin 43)(-+=f 41)62sin(21+-=πα，]2,0[πα∈ ，则]43,41[)(-∈αf .19.【解析】（1）由3422+=+n n n S a a 可得：3421121+=+---n n n S a a ，两式相减得：n n n n n a a a a a 4)(21212=-+---)(2))((111---+=+-⇒n n n n n n a a a a a a ，又0>n a ，所以21=--n n a a ，即2=d .当1=n 时，31=a ，12+=∴n a n ； （2）设11+⋅=n n n a a b ，则21)321121()32)(12(1⨯+-+=++=n n n n b n ， }{n b ∴的前n 项和96)32131(21+=+-=n nn T n .20.【解析】（1）由C C A c b a cos )cos(2+=+可得：CBc b a cos cos 2-=+， 去分母得：0cos cos cos 2=++B c C b C a 则有0cos 2=+a C a ，即21cos -=C ，32π=∴C ； （2）ab C ab S ABC 43sin 21=⨯⨯=∆，再根据余弦定理得：ab b a ++=224，ab ab b a 2422≥-=+∴，则34≤ab ，那么3343≤=ab S ，当且仅当332==b a 时，ABC ∆面积最大.21.【解析】（1）设圆心坐标为)4,(t t -，则圆的方程为：222)4()(r t y t x =++-，又与01=-+y x 相切，则有⎪⎩⎪⎨⎧=+-+-=--222)42()3(2|13|rt t r t ，解得：1=t ，22=r ，所以圆的方程为：8)4()1(22=++-y x ；（2）由题意得：当k 存在时，设直线)1(:-=x k y l ，设圆心到直线的距离为d ， 则有22821||2122d k k -⨯+⨯=，进而可得：221481||22k kk +-⨯+= 化简得：224816k k =+，无解；当k 不存在时，1:=x l ，则圆心到直线的距离0=d ，那么24||=EF ，2224121=⨯⨯=∆OEF S ，满足题意，所以直线l 的方程为：1=x .22.【解析】（1）)121(log )(+-=x x f a 11log +-=x x a ，定义域为：),1()1,(+∞--∞∈ x ， 且11log )(+-=x x x f a ，11log )(-+=-x x x f a ，01log )()(==-+∴a x f x f ，则)(x f 为奇函数；当10<<a 时，若),1(+∞∈x ，121+-x 单调递增，则)(x f 单调递减；同理，)1,(--∞∈x ，)(x f 也是递减的；此时值域为),0()0,(+∞-∞ .当1>a 时，121+-x 在定义域内是单调递增的，所以)(x f 是单调递减的.此时值域为),0()0,(+∞-∞ .（2）当10<<a ，因为定义域为),1()1,(+∞--∞∈ x ，)(x f 是单调递减的，则有⎩⎨⎧+=+=n n f m m f a a l o g 1)(l o g 1)(⎪⎩⎪⎨⎧=+-=+-⇒)(l o g )121(l o g )(l o g )121(l o g an n am m a a a a ，可看成n m ,为方程01)1(2=+-+x a ax 的两个根，且),1(,+∞∈n m ，又根据10<<a ，则有对称轴021>-=aax ， 01)1(2=+-+x a ax 有两个根在),1(+∞，需满足⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>+-+>∆>-01)1(0121a a a a ，解得：2230-<<a ；当1>a ，因为定义域为),1()1,(+∞--∞∈ x ，)(x f 是单调递增的，则有⎩⎨⎧+=+=m n f n m f a a log 1)(log 1)(⎪⎩⎪⎨⎧=+-=+-⇒)(log )121(log )(log )121(log am n an m a a a a ，则有⎩⎨⎧-=+-=+11n am amn m an amn ，两式相减得：1-=a ，不满足题意，所以2230-<<a ..。
2017-2018学年浙江省杭州地区(含周边)重点中学高二上学期期末数学试题(解析版)
2017学年第一学期期末杭州地区（含周边）重点中学高二年级数学学科试题一、选择题：本大题共10个小题,每小题4分,共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 直角三角形绕着它的一条直角边旋转而成的几何体是（）A. 圆锥B. 圆柱C. 圆台D. 球【答案】A【解析】依题意可知，该几何体是圆锥，故选.2. 抛物线的准线方程是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】解：因为抛物线方程为，则2p=1,其准线方程为，选B3. 直线的倾斜角大小是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】直线斜率为，故倾斜角为，故选.4. 已知平面与两条直线，，则“”是“”的（）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要【答案】C【解析】根据线面垂直的性质定理可知，为充要条件，故选.5. 两条异面直线在同一个平面上的射影不可能是（）A. 两条平行直线B. 两条相交的直线C. 一条直线与直线外一个点D. 一条直线【答案】D【解析】如果射影是同一条直线，那么这两条直线平行，与已知两条直线异面矛盾，故选.6. 直线被圆截得的弦长为4，则的最小值是（）A. 3B.C. 2D.【答案】C【解析】圆心为，半径为，由于所截弦长为，故直线过圆心，将圆心坐标代入直线方程得，即，的几何意义是原点到直线的距离的最小值的平方，故最小值为.所以选.7. 一个结晶体的形状是平行六面体，以顶点为端点的三条棱长均是1，且它们彼此的夹角都是，则对角线的长度是（）A. B. 2 C. D.【答案】D【解析】，故选.8. 已知分别是双曲线的左、右焦点，若双曲线右支上存在点，使，且线段的中点在轴上，则双曲线的离心率是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】由于线段的中点在轴上，所以轴，故，，解得，故选.【点睛】本小题主要考查双曲线上特殊点的位置，考查几何图形的分析方法，考查双曲线的离心率的求解策略，考查数形结合的数学思想方法.关键的突破口在于“线段的中点在轴上”根据中位线的性质可知轴和平行，由此可以得到线段的长度，利用角度建立方程可求得离心率.9. 已知直线与圆相切，则满足条件的直线有（）条A. 1B. 2C. 3D. 4【答案】C【解析】由于直线和圆相切，故圆心到直线的距离等于半径，即，（其中），故，或，正弦值为的只有在轴正半轴，正弦值为可以在第三或者第四象限，故有种可能，所以选.10. 如图，正方体的棱长为1，分别为线段上两个动点且，则下列结论中正确的是（）A. 存在某个位置，使B. 存在某个位置，使平面C. 三棱锥的体积为定值D. 的面积与的面积相等【答案】B【解析】以为坐标原点建立空间直角坐标系，故，，，，.要垂直，则需圆与直线有交点，由于画出图象如下图所示，由图可知无交点，故选项错误.平面的法向量为，所以，则需圆与直线有交点，由于画出图象如下图所示，由图可知，图象有交点，故选项正确.本题答案选.【点睛】证明直线与平面平行，只须证明直线的方向向量与平面的法向量的数量积为零，或证直线的方向向量与平面内的不共线的两个向量共面，然后说明直线在平面外即可．这样就把几何的证明问题转化为了数量的计算问题．证明直线与直线垂直，只需证两条直线的方向向量的数量积为零；证明直线与平面平行，则直线的方向向量和平面的法向量垂直.二、填空题（本大题共7小题，其中11-14题每空3分，15-17题每空4分，共36分，将答案填在答题纸上）11. 双曲线的焦距是__________；渐近线方程是__________．【答案】(1). 4 (2).【解析】，所以焦距为，令，解得渐近线方程为.12. 某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积为__________；最长边的大小是__________．【答案】(1). (2).【解析】画出几何体如下图所示，由图可知，体积为，最长的边为.13. 长方体中，，，则异面直线与所成角的大小是__________；与平面所成角的大小是__________．【答案】(1). (2).【解析】画出图象如下图所示，由图可知，与所成角大小等于，;与平面所成角为,.14. 点是抛物线上任意一点，则点到直线距离的最小值是__________；距离最小时点的坐标是__________．【答案】(1). (2). （2，1）【解析】设，到直线的距离为，画出的图象如下图所示，由图可知，当时有最小值，故的最小值为，此时点的坐标为.15. 已知向量，，，若是共面向量，则__________．【答案】-2，【解析】由于不共线，且和共面，根据平面向量的基本定理，有，即，即，解得.【点睛】本小题主要考查平面向量的基本定理，考查向量的线性运算和三个向量共面的表示方法，考查两个向量相等的充要条件.由于三个向量是共面的，且，即不共线，所以根据平面向量的基本定理，可以将写成两个向量的线性和，再根据两个向量相等即可求得的值.16. 矩形与所在平面相互垂直，，现将绕着直线旋转一周，则在旋转过程中，直线与所成角的取值范围是__________．【答案】【解析】在初始位置，直线与所成角为；根据图形的对称性当平面与平面垂直时，与所成的角为最小，此时角为，故角的取值范围是.17. 若椭圆与双曲线在第一象限内有交点，且双曲线左、右焦点分别是，，点是椭圆上任意一点，则面积的最大值是_________．【答案】【点睛】本小题主要考查圆锥曲线的位置关系，考查椭圆和双曲线相交所得焦点三角形有关边长和面积的计算，考查利用余弦定理解三角形，考查三角形面积最大值的求法.由于是椭圆和双曲线的交点，故其既满足双曲线的定义，又满足椭圆的定义，这个关系是解题的突破口.三、解答题（本大题共5小题，共74分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）18. 已知直线与圆相交于两个点.（1）求圆的圆心与半径；（2）若，求实数的值.【答案】（1）圆心为（1，0），半径，（2）【试题解析】解：（1）圆C的圆心为（1，0），半径，（2）令C到直线的距离为d，则解得：19. 如图，三棱柱中，，，平面，分别是的中点.（1）求证：；（2）求平面与平面所成锐二面角的余弦值.【答案】（1）见解析（2）【解析】【试题分析】（1）以为原点，分别为轴建立空间直角坐标系，通过计算证明得.（2）通过计算平面和平面的法向量来计算二面角的余弦值.【试题解析】解：（1）由题知可以B为原点，分别以BC,BA,BB1为x,y,z轴建系如图所示则有A(0,2,0),B(0,0,0),C(2,0,0),E(0,0,1),F(1,1,2)故有：由：知：（2）假设平面AEF的法向量为由不妨假设又平面ABC的法向量即所成锐二面角的余弦值为20. 平面上的动点到定点的距离与到直线的距离相等.（1）求点的轨迹方程；（2）过点作直线与点的轨迹交于两个不同的点，若，求直线的方程.【答案】（1）（2）【解析】【试题分析】（1）点的轨迹满足抛物线的定义，由此求得点的轨迹方程.（2）由于直线斜率存在且不为零，故设直线的方程为，联立直线方程和抛物线方程，消去，写出韦达定理，代入可求得的值，进而求得直线的方程.【试题解析】解：（1）由抛物线定义知，点P在以F为焦点，为准线的抛物线上，其轨迹方程为：（2）AB的斜率显然存在且不为0,故可设AB的方程：，由得（1）由（2）由（1）（2）得故所求直线的方程是，即【点睛】本小题主要考查抛物线的定义，考查直线和抛物线的位置关系.命题的主要特点有：一是以过特殊点的直线与圆锥曲线相交为基础设计“连环题”，结合曲线的定义及几何性质，利用待定系数法先行确定曲线的标准方程，进一步研究弦长、图形面积、最值、取值范围等；二是以不同曲线（圆、椭圆、双曲线、抛物线）的位置关系为基础设计“连环题”，结合曲线的定义及几何性质，利用待定系数法先行确定曲线的标准方程，进一步研究弦长、图形面积、最值、取值范围等.21. 如图，在三棱锥中，平面平面，，，，，是重心，是边上点，且.（1）当时，求证：平面；（2）若与平面所成角的正弦值为时，求的值.【答案】（1）见解析（2）【解析】【试题分析】（1）取中点，根据重心的性质可知三点共线且比例恰好为，根据平行线分线段成立比例可得，由此证得直线和平面平行.（2）以为坐标原点建立空间直角坐标系，利用直线和平面所成角的正弦值建立方程，求得的值.【试题解析】解：（1）又取AB边中点M，则M、G、C三点共线且有（2）中：由余弦定理知所以故由题意可以A为原点，AC为y轴,平面ABC为xoy平面建系如图所示则假设假设平面ABE的法向量为由不妨假设化简得：由所求22. 如图，已知椭圆：的离心率为，是椭圆上一点。
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2017-2018学年浙江省杭州市建德市严州中学高二（上） 月考数学试卷（理科）
一、选择题（每小题5分，共50分） 1．已知p：对任意x∈R，总有2x＞0；q：“x＞1”是“x＞2”的充分不必要条件，则下列为真的是（ ） A． p∧q B． ￢p∧￢q C． ￢p∧q D． p∧￢q
2．是的（ ） A． 充分必要条件 B． 充分而不必要条件 C． 必要而不充分条件 D． 既不充分也不必要条件
3．过点（﹣1，2）且与直线2x﹣3y+4=0垂直的直线方程为（ ） A． 3x+2y﹣1=0 B． 3x+2y+7=0 C． 2x﹣3y+5=0 D． 2x﹣3y+8=0
4．如图，空间四边形OABC中，，点M在上，且OM=2MA，点N为BC中点，则=（ ）
A． B． C． D． 5．如图，在空间直角坐标系中有直三棱柱ABC﹣A1B1C1，CA=CC1=2CB，则直线BC1与直线AB1
夹角的余弦值为（ ） A． B． C． D． 6．设m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，给出下列条件，能得到m⊥β的是（ ） A． α⊥β，m⊂α B． m⊥α，α⊥β C． m⊥n，n⊂β D． m∥n，n⊥β
7．如图是某四棱锥的三视图，则该几何体的表面积等于（ ）
A． 34+6 B． 6+6+4 C． 6+6+4 D． 17+6 8．已知双曲线的离心率为，则双曲线的渐近线方程为（ ） A． y=±2x B． C． D．
9．如图所示，已知椭圆的方程为，A为椭圆的左顶点，B，C在椭圆上，若四边形OABC为平行四边形，且∠OAB=45°，则椭圆的离心率等于（ ）
A． B． C． D． 10．已知直线l：xcosθ+ysinθ=1，且0P⊥l于P，O为坐标原点，则点P的轨迹方程为（ ） A． x2+y2=1 B． x2﹣y2=1 C． x+y=1 D． x﹣y=1
二．填空题：（每小题4分，共28分） 11．已知椭圆C：+=1（a＞0，b＞0）的右焦点为F（3，0），且点（﹣3，）在椭圆C上，则椭圆C的标准方程为 ． 12．若圆C1：x2+y2=1与圆C2：x2+y2﹣6x﹣8y+m=0外切，则m= ． 13．一个六棱锥的体积为2，其底面是边长为2的正六边形，侧棱长都相等，则该六棱锥的侧面积为 ．
14．已知集合{a，b，c}={0，1，2}，且下列三个关系：①a≠2；②b=2；③c≠0有且只有一个正确，则100a+10b+c等于 ．
15．已知圆C过点（1，0），且圆心在x轴的正半轴上，直线l：y=x﹣1被圆C所截得的弦长为，则过圆心且与直线l垂直的直线的方程为 ．
16．设m∈R，过定点A的动直线x+my=0与过定点B的动直线mx﹣y﹣m+3=0交于点P（x，y），则|PA|+|PB|的取值范围是 ．
17．正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为1，MN是正方体内切球的直径，P为正方体表面上的动点，则•的最大值为 ．
三．解答题（共4题，共42分） 18．设p：实数x满足x2﹣4ax+3a2＜0，q：实数x满足|x﹣4|≤16 （1）若a=1且¬p∧q为真，求x的范围 （2）若a≠0且p是q的充分不必要条件，求实数a的范围．
19．如图，已知实数t满足t∈（0，10），由t确定的两个任意点P（t，t），Q（10﹣t，0），问： （1）直线PQ是否能通过点M（6，1）和点N（4，5）？ （2）在△OPQ中作内接正方形ABCD，顶点A、B在边OQ上，顶点C在边PQ上，顶点D在边OP上． 求图中阴影部分面积的最大值并求对应的顶点A、B、C、D的坐标． 20．如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，∠ABC=60°，AD=CD=CB=a，平面ACFE⊥平面ABCD，四边形ACFE是矩形，AE=a． （Ⅰ）求证：BC⊥平面ACFE； （Ⅱ）求二面角B﹣EF﹣D的余弦值．
21．已知中心在原点O，焦点在x轴上，离心率为的椭圆；以椭圆的顶点为顶点构成的四边形的面积为4． （1）求椭圆的标准方程；
（2）若A，B分别是椭圆长轴的左．右端点，动点M（异于A、B）满足=0，直线MA
交椭圆于P，求•的最小值并求对应的直线AM的方程． 2014-2015学年浙江省杭州市建德市严州中学高二（上）1月月考数学试卷（理科） 参考答案与试题解析 一、选择题（每小题5分，共50分） 1．已知p：对任意x∈R，总有2x＞0；q：“x＞1”是“x＞2”的充分不必要条件，则下列为真的是（ ） A． p∧q B． ￢p∧￢q C． ￢p∧q D． p∧￢q
考点： 必要条件、充分条件与充要条件的判断；复合的真假． 专题： 简易逻辑． 分析： 判定p，q的真假，利用复合的真假关系即可得到结论． 解答： 解：p：根据指数函数的性质可知，对任意x∈R，总有2x＞0成立，即p为真， q：“x＞1”是“x＞2”的必要不充分条件，即q为假， 则p∧￢q为真， 故选：D． 点评： 本题主要考查复合的真假关系的应用，先判定p，q的真假是解决本题的关键，比较基础．
2．是的（ ） A． 充分必要条件 B． 充分而不必要条件 C． 必要而不充分条件 D． 既不充分也不必要条件
考点： 必要条件、充分条件与充要条件的判断． 专题： 探究型． 分析： 利用充分条件和必要条件的定义进行判断即可．
解答： 解：若，则根据不等式的性质可知成立．
若，当x=2，y=1时，满足，但不成立． 所以是的必要不充分条件． 故选C． 点评： 本题主要考查充分条件和必要条件的应用，要求熟练掌握利用充分条件和必要条件的定义进行判断的方法． 3．过点（﹣1，2）且与直线2x﹣3y+4=0垂直的直线方程为（ ） A． 3x+2y﹣1=0 B． 3x+2y+7=0 C． 2x﹣3y+5=0 D． 2x﹣3y+8=0
考点： 直线的一般式方程与直线的垂直关系． 专题： 直线与圆． 分析： 根据与已知直线垂直的直线系方程可设与直线2x﹣3y+4=0垂直的直线方程为﹣3x﹣2y+c=0，再把点（﹣1，2）代入，即可求出c值，得到所求方程． 解答： 解：∵所求直线方程与直线2x﹣3y+4=0垂直，∴设方程为﹣3x﹣2y+c=0 ∵直线过点（﹣1，2），∴﹣3×（﹣1）﹣2×2+c=0 ∴c=1 ∴所求直线方程为3x+2y﹣1=0． 故选：A． 点评： 本题主要考查了互相垂直的两直线方程之间的关系，以及待定系数法求直线方程，属于常规题．
4．如图，空间四边形OABC中，，点M在上，且OM=2MA，点N为BC中点，则=（ ）
A． B． C． D． 考点： 向量加减混合运算及其几何意义． 专题： 计算题．
分析： 由题意，把，，三个向量看作是基向量，由图形根据向量的线性运算，将用三个基向量表示出来，即可得到答案，选出正确选项． 解答： 解：由题意
=++ =+﹣+ =﹣++﹣ =﹣++ 又=，=，= ∴=﹣++ 故选B．
点评： 本题考点是空间向量基本定理，考查了用向量表示几何的量，向量的线性运算，解题的关键是根据图形把所研究的向量用三个基向量表示出来，本题是向量的基础题．
5．如图，在空间直角坐标系中有直三棱柱ABC﹣A1B1C1，CA=CC1=2CB，则直线BC1与直线AB1
夹角的余弦值为（ ）
A． B． C． D． 考点： 异面直线及其所成的角． 专题： 计算题． 分析： 根据题意可设CB=1，CA=CC1=2，分别以CA、CC1、CB为x轴、y轴和z轴建立如图
坐标系，得到A、B、B1、C1四个点的坐标，从而得到向量与的坐标，根据异面直线
所成的角的定义，结合空间两个向量数量积的坐标公式，可以算出直线BC1与直线AB1夹角的余弦值． 解答： 解：分别以CA、CC1、CB为x轴、y轴和z轴建立如图坐标系， ∵CA=CC1=2CB，∴可设CB=1，CA=CC1=2 ∴A（2，0，0），B（0，0，1），B1（0，2，1），C1（0，2，0）
∴=（0，2，﹣1），=（﹣2，2，1）
可得•=0×（﹣2）+2×2+（﹣1）×1=3，且=，=3， 向量与所成的角（或其补角）就是直线BC1与直线AB1夹角， 设直线BC1与直线AB1夹角为θ，则cosθ== 故选A 点评： 本题给出一个特殊的直三棱柱，求位于两个侧面的面对角线所成角的余弦之值，着重考查了空间向量的坐标运算和异面直线及其所成的角的概论，属于基础题．
6．设m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，给出下列条件，能得到m⊥β的是（ ） A． α⊥β，m⊂α B． m⊥α，α⊥β C． m⊥n，n⊂β D． m∥n，n⊥β
考点： 空间中直线与平面之间的位置关系；空间中直线与直线之间的位置关系． 专题： 空间位置关系与距离． 分析： 根据选项A，B，C，D所给的条件，分别进行判断，能够得到正确结果． 解答： 解：A：α⊥β，且m⊂α⇒m⊂β，或m∥β，或m与β相交，故A不成立； B：由m⊥α，α⊥β，知m∥β或m⊂β，从而m⊥β不成立，故B不成立； C：m⊥n，n⊂β⇒m⊂β，或m∥β，或m与β相交，故C不成立； D：m∥n，且n⊥β⇒m⊥β，故D成立； 故选D． 点评： 本题考查直线与平面的位置关系的判断，是基础题，解题时要认真审题，仔细解答．
7．如图是某四棱锥的三视图，则该几何体的表面积等于（ ）
A． 34+6 B． 6+6+4 C． 6+6+4 D． 17+6 考点： 由三视图求面积、体积． 专题： 计算题． 分析： 一个底面是矩形的四棱锥，矩形的长和宽分别是6，2，底面上的高与底面交于底面一条边的中点，四棱锥的高是4，根据勾股定理做出三角形的高，写出所有的面积表示式，得到结果． 解答： 解：由三视图知，这是一个底面是矩形的四棱锥， 矩形的长和宽分别是6，2 底面上的高与底面交于底面一条边的中点， 四棱锥的高是4，
∴四棱锥的表面积是2×6++=34+6， 故选A．