高中数学课件：实变函数论
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实变函数课件
E[ f a] E[a f a n] ,
n 1
所以 E [ f a ] 是可测集．
2018年8月8日9时18分
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推论 设 f 在 E 上可测，则 E [ f = a ] 可测，不论
a 是有限实数或±∞ ．
证 因为
E[ f a] E[ f a] E[ f a]
2 可测的充要条件 定理1 设 f 是定义在可测集 E 上的实函数．下列
任一条件都是 f 在 E 上可测的充要条件：
⑴ 对任何实数 a , E [ f a ] 都可测； ⑵ 对任何实数 a , E [ f < a ] 都可测；
⑶ 对任何实数 a , E [ f a ] 都可测； ⑷ 对任何实数 a , b ( a < b ), E [ a f < b ] 都可测 （充分性要假定 | f (x ) | < ）． 证 只需证明条件 ⑴ ， ⑷ 的充要性．
{ x [a, b] | f ( x ) c }
下午9时18分43秒
2018年8月8日9时18分
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2018年8月8日9时18分
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下午9时18分43秒
下午9时18分43秒
1 可测函数的定义
2 可测的充要条件 3 函数可测的充分条件 4 可测函数的四则运算 5 可测函数列的性质 6 可测函数与简单函数的关系 7 几乎处处问题
所以, m E[ f a] 0. 即E[ f a]为零测度集，从而可测 。 由函数可测的定义知， f ( x)在E上可测。
2018年8月8日9时18分
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实变函数论课件2 基数(势)的定义
n
可记作 {e1, e2...,en} 。这个过程实际上建立 了石子与自然数 1到n之间的一个一一对 应关系。如果我们想知道两堆石子是否有 相同个数，我们其实不必将这两堆石子的 个数一一数出来，而只需每次各从两堆石 子中拿一粒，只要最后各剩下一粒石子， 则它们的个数就是一样的，否则就不同。 这说明，我们想知道两个集合是否有相同
g B \ Bn A 0 \ An A \ An n 1 11 n2 n 1 g A \ An B \ Bn. n 1 11 n 1
1
于是
Bernstein 定理及系 1 是证明集合对等的有力 工具 . 例如, 根据系 1, 可从例 3 立即推出例 4 所述的结论 .
记作 f ( E ).
9
10
设 f 是 A 到 B 的一一映射, 则对每个 y B 有唯一 x A 使 f ( x) y, 定义 g ( y) x ( 当f ( x) y 时） , 则 g 是 B 到 A 的一一映射 , 我们称 g 是f 的逆映射 , 记作 f 1. A ~ B
例2 设 N 1,2, , n, , Ne 2,4, ,2 n, , 则 N ~ Ne.
例1 N ~ Z
证明 定义 f ( n) 2n ( n N ), 显然 f 是 N 到 Ne 的一一映射 . 例 1、 2 揭示出了一个极其重要的事实，就是无限集是 有可能与它的真子集对等的，我们还将证 明任何一个无限集必然与它的一个真子集对等，这 对于有限集来说，显然是永远办不到的。
2n n n 1,2, 作对应关系 : 2n 1 n n 0,1,2, 则 是 N 与 Z 之间的一一对应。
结论：N ~ N 奇数 ~ N 偶数 ~ Z
可记作 {e1, e2...,en} 。这个过程实际上建立 了石子与自然数 1到n之间的一个一一对 应关系。如果我们想知道两堆石子是否有 相同个数，我们其实不必将这两堆石子的 个数一一数出来，而只需每次各从两堆石 子中拿一粒，只要最后各剩下一粒石子， 则它们的个数就是一样的，否则就不同。 这说明，我们想知道两个集合是否有相同
g B \ Bn A 0 \ An A \ An n 1 11 n2 n 1 g A \ An B \ Bn. n 1 11 n 1
1
于是
Bernstein 定理及系 1 是证明集合对等的有力 工具 . 例如, 根据系 1, 可从例 3 立即推出例 4 所述的结论 .
记作 f ( E ).
9
10
设 f 是 A 到 B 的一一映射, 则对每个 y B 有唯一 x A 使 f ( x) y, 定义 g ( y) x ( 当f ( x) y 时） , 则 g 是 B 到 A 的一一映射 , 我们称 g 是f 的逆映射 , 记作 f 1. A ~ B
例2 设 N 1,2, , n, , Ne 2,4, ,2 n, , 则 N ~ Ne.
例1 N ~ Z
证明 定义 f ( n) 2n ( n N ), 显然 f 是 N 到 Ne 的一一映射 . 例 1、 2 揭示出了一个极其重要的事实，就是无限集是 有可能与它的真子集对等的，我们还将证 明任何一个无限集必然与它的一个真子集对等，这 对于有限集来说，显然是永远办不到的。
2n n n 1,2, 作对应关系 : 2n 1 n n 0,1,2, 则 是 N 与 Z 之间的一一对应。
结论：N ~ N 奇数 ~ N 偶数 ~ Z
实变函数课件第四章可测函数 (2)
s
E Ei上,且f x在每个Ei上都可测,则f x在E上也可测.
i 1
定义3 设f x的定义域E可分为有限个互不相交的可测集
s
E1，E2， ，Es ，E Ei ,使f x在每个Ei上等于常数ci，
i 1
则称f x为简单函数.
定理4 设f x ,g x 在E上可测,则下列函数( 假定它们在
作业：13
定理2 设f (x)是E R上a.e.有限的可测函数,则对任意的 0, 存在闭集F E及整个R上的连续函数g(x)(F及g(x)依赖于 )， 使得在F上g(x) f (x)，且m(E \ F) .此外还可要求
sup g(x) sup f (x) 及inf g(x) inf f (x).
注：一个函数在其定义域中的每一个孤立点都是 连续的.
定理2 可测集E Rn上的连续函数都是可测函数.
例1 区间[a,b]上的连续函数和单调函数都是可测函数.
定理3 (1)设f x是可测集E上的可测函数,而E1 E为E的 可测子集,则f x 看作定义在E1上的函数时,它是E1上的可
测函数;
(2)设f x定义在有限个可测集Ei(i 1, 2, , s)的并集
R
F
R
F
作业：P51,1，P52,2
第4节 依测度收敛
定义 设{ fn}是E Rq上的一列a.e.有限的可测函数，若 有E上的a.e.有限的可测函数f (x)满足下列关系：
对任意
0,有lim mE[| n
fn
f
| ] 0，
则称函数列{ fn}以测度收敛于f ，或度量收敛于f ，
记为fn (x) f .
(4) 对任意有限实数a,b(a b), E[a f b] 都可测(但充要性要假定f (x)是有限函数).
E Ei上,且f x在每个Ei上都可测,则f x在E上也可测.
i 1
定义3 设f x的定义域E可分为有限个互不相交的可测集
s
E1，E2， ，Es ，E Ei ,使f x在每个Ei上等于常数ci，
i 1
则称f x为简单函数.
定理4 设f x ,g x 在E上可测,则下列函数( 假定它们在
作业：13
定理2 设f (x)是E R上a.e.有限的可测函数,则对任意的 0, 存在闭集F E及整个R上的连续函数g(x)(F及g(x)依赖于 )， 使得在F上g(x) f (x)，且m(E \ F) .此外还可要求
sup g(x) sup f (x) 及inf g(x) inf f (x).
注：一个函数在其定义域中的每一个孤立点都是 连续的.
定理2 可测集E Rn上的连续函数都是可测函数.
例1 区间[a,b]上的连续函数和单调函数都是可测函数.
定理3 (1)设f x是可测集E上的可测函数,而E1 E为E的 可测子集,则f x 看作定义在E1上的函数时,它是E1上的可
测函数;
(2)设f x定义在有限个可测集Ei(i 1, 2, , s)的并集
R
F
R
F
作业：P51,1，P52,2
第4节 依测度收敛
定义 设{ fn}是E Rq上的一列a.e.有限的可测函数，若 有E上的a.e.有限的可测函数f (x)满足下列关系：
对任意
0,有lim mE[| n
fn
f
| ] 0，
则称函数列{ fn}以测度收敛于f ，或度量收敛于f ，
记为fn (x) f .
(4) 对任意有限实数a,b(a b), E[a f b] 都可测(但充要性要假定f (x)是有限函数).
实变函数论课件25讲
第25讲 有界变差函数
定义7 设 f (x)是 [a, b]上的有限函数，
对 [a, b]的任一分划
: a x0 x1 xn b，
记
V (, f ) | f ( xi ) f ( xi 1 ) |,
i 1
n
称 V (, f )为 f 关于分划 的变差。
证明：不妨设 f n (a) 0, (n 1,2,)，否 ~ ~ 则可令 f n ( x) f n ( x) f n (a)，对 f n 讨 论就行了。记 n S n ( x) f i ( x) ，
i 1
则 Sn ( x), f n ( x) 都是单调增加函数，故去
掉一个零测集 E 后，Fn' ( x)( n 1,2, )
| a | | f ( xi ) f ( xi 1 ) | | | | g ( xi ) g ( xi 1 ) |
| a | V (, f ) | | V (, g )
b a b a
i 1 i 1
i 1
n
n
| a | V ( f ) | | V ( g ) b b b 所以 Va (af g ) | a | Va ( f ) | | Va ( g )，证毕。
第25讲 有界变差函数
目的：进一步了解单调函数的性质， 熟悉有界变差函数的定义，掌握其 性质。
重点与难点：单调函数的性质，有界 变差函数的定义及其性质。
第25讲 有界变差函数
基本内容： 一．单调函数可导性的推论 问题1：如果 fn 是单调函数序列，且 . f n f a.e，不难看出f也是单调 的，从而也几乎处处有有限导数， fn 的导数与 f 的导数有什么关系？ 等式 f 'n f ' a. e. 是否成立？
实变函数论课件4 n维空间中的点集、聚点、内点、界点PPT文档26页
实变函数论课件4 n维空间中的点集、 聚点、内点、界点
1、纪律是管理关系的形式。——阿法 纳西耶 夫 2、改革如果不讲纪律，就难以成功。
3、道德行为训练，不是通过语言影响 ，而是 让儿童 练习良 好道德 行为， 克服懒 惰、轻 率、不 守纪律 、颓废 等不良 行为。 4、学校没有纪律便如磨房里没有水。 ——夸 美纽斯
5、教导儿童服从真理、服从集体，养 成儿童 自觉的 纪律性 ，这是 儿童道 德Βιβλιοθήκη 育 最重要 的部分 。—— 陈鹤琴
谢谢
11、越是没有本领的就越加自命不凡。——邓拓 12、越是无能的人，越喜欢挑剔别人的错儿。——爱尔兰 13、知人者智，自知者明。胜人者有力，自胜者强。——老子 14、意志坚强的人能把世界放在手中像泥块一样任意揉捏。——歌德 15、最具挑战性的挑战莫过于提升自我。——迈克尔·F·斯特利
可数集合实变函数ppt课件
临沂师范学院数学系
整系数多项式方程的实根称为代数数；
不是代数数的实数成为超越数。
设 P 是整系数多项式全体所成之集,P(n)是n次整系数多项 式全体 Pn {an xn an1xn1 a0 | ai Z ,i 1, 2, , n, an 0}
P0 ~ Z
Pn ~ (Z {0}) Z Z Z (n个Z相乘)为可数集(n 1)
A3 a31 , a32 , a33 , a34，
A4 a41 , a42 , a43 , a44，
, , ,，
当Ai互不相交时, 按箭头所示, 我们得到一个无穷序
列;
当因A此i有, 公 共An元是时可,数在集排. 列的过程中除去公共元素； n 1
例1: 全体有理数之集Q是可数集
临沂师范学院数学系
首先[0,1]中的有理数全体 ={0,1,1/2,1/3,2/3,1/4,3/4,1/5,2/5, …}是可数集，
[ ][
][
][
][
][
]
-2 -1
0
1
2
3
4
Q (Q [0,1])(Q [1,0])(Q [1,2])(Q [2,1])
所以Q是可数集（可数个可数集的并）
说明:有理数集在直线上稠密,但仍与稀疏分布在直线 上的整数集有相同多的点(对等意义下).
但B*作为B的子集仍为有限或可数集(定理2), 这样就归结到(1)的情形了.证毕.
临沂师范学院数学系
SUCCESS
THANK YOU
2019/6/21
定理4 可数个可数集的并仍为可数集. 证明: 临A沂1师范a学1院1数,学a系 12 , a13 , a14，
A2 a21 , a22 , a23 , a24，
整系数多项式方程的实根称为代数数；
不是代数数的实数成为超越数。
设 P 是整系数多项式全体所成之集,P(n)是n次整系数多项 式全体 Pn {an xn an1xn1 a0 | ai Z ,i 1, 2, , n, an 0}
P0 ~ Z
Pn ~ (Z {0}) Z Z Z (n个Z相乘)为可数集(n 1)
A3 a31 , a32 , a33 , a34，
A4 a41 , a42 , a43 , a44，
, , ,，
当Ai互不相交时, 按箭头所示, 我们得到一个无穷序
列;
当因A此i有, 公 共An元是时可,数在集排. 列的过程中除去公共元素； n 1
例1: 全体有理数之集Q是可数集
临沂师范学院数学系
首先[0,1]中的有理数全体 ={0,1,1/2,1/3,2/3,1/4,3/4,1/5,2/5, …}是可数集，
[ ][
][
][
][
][
]
-2 -1
0
1
2
3
4
Q (Q [0,1])(Q [1,0])(Q [1,2])(Q [2,1])
所以Q是可数集（可数个可数集的并）
说明:有理数集在直线上稠密,但仍与稀疏分布在直线 上的整数集有相同多的点(对等意义下).
但B*作为B的子集仍为有限或可数集(定理2), 这样就归结到(1)的情形了.证毕.
临沂师范学院数学系
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定理4 可数个可数集的并仍为可数集. 证明: 临A沂1师范a学1院1数,学a系 12 , a13 , a14，
A2 a21 , a22 , a23 , a24，
实变函数课件第四节可数集合
第四节 可数集合 1. 定义
定理1 任何无限集合都至少包含一个可数子集
注：可数集合在无限集中有最小的基数
第四节 可数集合 2. 性质
定理2 可数集合的任何无限子集必为可数集合，从而 可数集合的任何子集或者是有限集或者是可数集 证明：板书
定理3 A为可数集合，B为有限集或可数集， 则其并集为可数集
证明：板书
推论 设Ai为有限集或可数集，则其并集也是有限集或 可数集，但如果至少一个为可数集，其并集必为可数集
na aa a a
第四节 可数集合 2. 性质
定理4、Ai (i 1, 2,3, )都是可数集，则 Ai也是可数集 i1 aa aa a a 可数个a
总结：有限集与可数集的并仍为可数集 有限个可数集的并仍为可数集 可数个可数集的并仍为可数集
有限个有限集是否为可数集？
第四节 可数集合 3. 例子
定理5：有理数全体成一可数集合 证明：板书；可数和稠密
定理6、设Ai (i 1, 2,3, n)是可数集，则A1 A2 An是可数集
第四节 可数集合 3. 例子
第四节 可数集合 3. 例子
第四节 可数集合ห้องสมุดไป่ตู้
第四节 可数集合 1. 定义
定义：凡和全体正整数所成集合 Z 对等的集合都 称为可数集合或可列集合，其基数记为 a或0 。
1, 2,3, , n, a1, a2 , a3, , an , 注：A可数当且仅当A可以写成无穷序列的形式 a1, a2 , a3, , an ,
可数集合在无限集合中的地位？？？
实变函数与泛函分析课件
间的定义
巴拿赫空间的性质
巴拿赫空间与连续线性映射
连续线性映射
连续线性映射的定义
连续线性映射的性质
线性算子的谱理论
03 空间上的算子与变换
有界线性算子
有界线性算子的定义：在某空 间上有界且线性
重要性质：有界线性算子可以 扩展为全空间上的有界线性算
子
谱定理：有界线性算子的谱分 解定理
空间上的算子与变换部分的习题与解答
01
02
总结词：空间上的算子 与变换部分主要涉及线 性算子、有界算子、 紧 算子等不同类型的算子 的定义、性质和计算方 法，以及空间上的变换 和约化定理的应用。
详细描述
03
04
05
1. 线性算子的定义和性 2. 有界算子和紧算子的 质，包括线性算子的有 定义和性质，以及在各 界性、紧性、谱性质等， 种空间中的存在性和构 以及在各种空间（例如， 造方法。 Hilbert空间、Banach 空间等）中的应用。
映射与变换
序关系
介绍映射的概念及基本性质，如一一映射、 满射、单射等。
讨论集合中的序关系，如偏序、全序、反 对称序等，以及相关的概念如最大元、最 小元、上界、下界等。
实数函数
01
函数的定义
介绍函数的概念及基本性质，如定 义域、值域、单调性等。
函数的极限
介绍函数极限的定义、性质及其计 算方法。
03
02
03
线性空间
01
数乘性质
02
中间元素性质
03
正交性
内积空间与Hilbert空间
内积空间的定义
1
内积空间的定义
2
正交性
3
内积空间与Hilbert空间
巴拿赫空间的性质
巴拿赫空间与连续线性映射
连续线性映射
连续线性映射的定义
连续线性映射的性质
线性算子的谱理论
03 空间上的算子与变换
有界线性算子
有界线性算子的定义：在某空 间上有界且线性
重要性质：有界线性算子可以 扩展为全空间上的有界线性算
子
谱定理：有界线性算子的谱分 解定理
空间上的算子与变换部分的习题与解答
01
02
总结词：空间上的算子 与变换部分主要涉及线 性算子、有界算子、 紧 算子等不同类型的算子 的定义、性质和计算方 法，以及空间上的变换 和约化定理的应用。
详细描述
03
04
05
1. 线性算子的定义和性 2. 有界算子和紧算子的 质，包括线性算子的有 定义和性质，以及在各 界性、紧性、谱性质等， 种空间中的存在性和构 以及在各种空间（例如， 造方法。 Hilbert空间、Banach 空间等）中的应用。
映射与变换
序关系
介绍映射的概念及基本性质，如一一映射、 满射、单射等。
讨论集合中的序关系，如偏序、全序、反 对称序等，以及相关的概念如最大元、最 小元、上界、下界等。
实数函数
01
函数的定义
介绍函数的概念及基本性质，如定 义域、值域、单调性等。
函数的极限
介绍函数极限的定义、性质及其计 算方法。
03
02
03
线性空间
01
数乘性质
02
中间元素性质
03
正交性
内积空间与Hilbert空间
内积空间的定义
1
内积空间的定义
2
正交性
3
内积空间与Hilbert空间
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如果A是B的子集，且存在 b B,使b ，A 则 称A是B的真子集，记作 A 。B
如果A是B的子集，B又是A的子集，则称A 与B相等，记作A=B。
集合及其运算
2．交运算
所有既属于A，又属于B的元素组成的集合 称为A与B的交集（或通集），记作 A B ，若 A B ，则称A与B互不相交，显然 x A B
当且仅当 x A 且 x B 。
对于一簇集合 {A }A，可类似定义其交集， 即
A {x | 对每一 A,有x A }
A
集合及其运算
3.并运算
假设A，B是两个集合，所谓A与B的并集（或 和集），指的是由A与B中所有元素构成的集合，
记作
，换句话说 ，
AB
对于一x 簇A集合B当且仅，当可x 类A似或定x 义B其. 并集，
第1讲 集合及其运算
二．集合的定义
1．集合的几种表示法
我们在诸如《数学分析》等前期课程中已接触过 集合这个概念，所谓集合，指的是具有某种特定 性质的对象的全体，通常用大写英文字母A，B， X，Y…等表示；集合中的每个对象称为该集合的 元素。一般说来，我们总用小写字母a,b,x,y…表 示集合中的元素。
集合及其运算
• 然而，任何一门学科，曾经给数 学界带来了极大的恐慌，因为自从康托尔以相当 随便的方式阐述了集合论（即现在人们所说的相 互集合论）之后，人们逐渐发现它存在着不可调 和的矛盾。如罗素（Bertrand Russell）于1918年 叙述的著名“理发师”悖论，以及理查德（Jules Richard）编造的“理查德”悖论等等，都曾经常 常困扰了数学家们。
实变函数论
曹广福教授 四川大学数学学院
第1讲 集合及其运算
目的：了解集合的表示法；掌握集合的基本运算； 熟悉一些常用集合的符号；准确理解集合序列的 上、下限集。 重点与难点：集合序列的上、下限集。
基本内容： 一．背景 1．Cantor的朴素集合论 2．悖论 3．基于公理化的集合论
集合及其运算
• 集合论产生于十九世纪七十年代，它是德国数 学家康托尔（Cantor）创立的，不仅是分析学的 基础，同时，它的一般思想已渗入到数学的所有 部门。“集合论观点”与现代数学的发展不可分 割地联系在一起。
A (B C) (A B) (A C)
A (B C) (A B) (A C) 若B A C,则C A C B 。
若B A ,则B A B, A B A
集合及其运算
2．几个特殊的集合及其表示： 除了上述方法之外，有时也用特殊记号表示某
些特殊的集合。比如，在大多数场合下，始终表 示实数全体（或直线）C始终表示复数全体（或复 平面），N、Z、Q分别表示自然数、整数、有理 数全体，以后如无特别声明，我们也都不加解释 地使用这些符号。此外，直线上的区间也采用诸 如[a,b]，（a,b）等记号，如果一个集合仅由有限 个元素组成，则最方便的办法是将其一一列出， 例如，1到10的自然数全体可记作{1,2,3,…,10}， 不含任何元素的集合称为空集，记作 。
集合及其运算
对于集合A，某一对象x如果是A的元素，则称x 属于A，记作；如果x不是A的元素，则称x不属于 A，记为（或记为）。 正如定义所说，集合是由具有某种特定性质的对象 全体组成的，因此，在表示一个集合时，常把这 一性质写出来，例如，A是由具有性质P的元素全 体组成时，通常记为：
A {x | x具有性质 P，} 其中P可以是一段文字，也可以是某个数学式子。
A (B C) (A B) C;
（5） A (B C) ( A B) ( A C) （6） ( A B) C ( A C) (B C)
集合及其运算
（7） （8） （9） （10） （11）
（12）
(C A) B C ( A B) A B (AB) (A B)
集合
称为A与B的对称差，记
作
。
( A B) (B A)
AB
第1讲 集合及其运算
四.集合的运算
问题1：回忆数的四则运算，由此猜测集 合的运算应该具有什么性质。
集合及其运算
定理1 （1） A A A, A A A （2） A , A A, A A （3） A B B A; A B B A （4） A (B C) ( A B) C;
集合及其运算
• 为避免集合论中的矛盾，人们求助于将Cantor的 相互集合论加以公理化，以策密罗（Ernst Zermelo）为首的一批数学家建立了一套集合论公 理体系，即如今的形式集合论，从而避免了这一 理论内已被发现的矛盾。然而，有关公理化集合 论相容性尚未得到证明。庞加莱（Poincare）关 于相容性问题做了一个风趣的评论：“为了防备 狼。”尽管集合论不如人们所期望的那样无懈可 击，它在数学中的地位却不因此而降低。它始终 是我们掌握许多理论所必须的基本知识。
集合及其运算
三．集合的运算 1.集合的子集
假设A,B是两个集合，如果A中的元素都是B 中的元素，则称A是B的子集，记作，或记作。 前者读作“A包含于B中”，后者读着“B包含 A”。显然，空集是任何集合的子集，任何集合 是其自身的子集。假如要证明A是B的子集，最
常用的办法是，任x 取 A,然后设法证明x B 。
集合及其运算
应该注意的是，此处并未要求B是A的子集。假
如B是A的子集，则称A-B为B关于A的余集，记作
CAB。需要指出的是，我们讲某个集合的余集时， 要弄清相对于哪个集合的余集，特别是涉及到多
个集合时，尤其应注意。有时，我们总是限定在
某个固定集合A内讨论一些子集，在这种情况下，
可以省略A，而将CAB记作CB（或BC）。
即
{A }A
A {存在 A,使x A }
A
集合及其运算
4．差（余）运算
由所有属于A但不属于B的元素组成的集合，
称为A减B的差集，记作A-B（A\B），也就是
说，
，但
，应该注意
的是，x 此A处并B当未且要仅求当B是x A的A子集。x 假 如B B是A的子
集，则称A-B为B关于A的余集，记作CAB。
如果A是B的子集，B又是A的子集，则称A 与B相等，记作A=B。
集合及其运算
2．交运算
所有既属于A，又属于B的元素组成的集合 称为A与B的交集（或通集），记作 A B ，若 A B ，则称A与B互不相交，显然 x A B
当且仅当 x A 且 x B 。
对于一簇集合 {A }A，可类似定义其交集， 即
A {x | 对每一 A,有x A }
A
集合及其运算
3.并运算
假设A，B是两个集合，所谓A与B的并集（或 和集），指的是由A与B中所有元素构成的集合，
记作
，换句话说 ，
AB
对于一x 簇A集合B当且仅，当可x 类A似或定x 义B其. 并集，
第1讲 集合及其运算
二．集合的定义
1．集合的几种表示法
我们在诸如《数学分析》等前期课程中已接触过 集合这个概念，所谓集合，指的是具有某种特定 性质的对象的全体，通常用大写英文字母A，B， X，Y…等表示；集合中的每个对象称为该集合的 元素。一般说来，我们总用小写字母a,b,x,y…表 示集合中的元素。
集合及其运算
• 然而，任何一门学科，曾经给数 学界带来了极大的恐慌，因为自从康托尔以相当 随便的方式阐述了集合论（即现在人们所说的相 互集合论）之后，人们逐渐发现它存在着不可调 和的矛盾。如罗素（Bertrand Russell）于1918年 叙述的著名“理发师”悖论，以及理查德（Jules Richard）编造的“理查德”悖论等等，都曾经常 常困扰了数学家们。
实变函数论
曹广福教授 四川大学数学学院
第1讲 集合及其运算
目的：了解集合的表示法；掌握集合的基本运算； 熟悉一些常用集合的符号；准确理解集合序列的 上、下限集。 重点与难点：集合序列的上、下限集。
基本内容： 一．背景 1．Cantor的朴素集合论 2．悖论 3．基于公理化的集合论
集合及其运算
• 集合论产生于十九世纪七十年代，它是德国数 学家康托尔（Cantor）创立的，不仅是分析学的 基础，同时，它的一般思想已渗入到数学的所有 部门。“集合论观点”与现代数学的发展不可分 割地联系在一起。
A (B C) (A B) (A C)
A (B C) (A B) (A C) 若B A C,则C A C B 。
若B A ,则B A B, A B A
集合及其运算
2．几个特殊的集合及其表示： 除了上述方法之外，有时也用特殊记号表示某
些特殊的集合。比如，在大多数场合下，始终表 示实数全体（或直线）C始终表示复数全体（或复 平面），N、Z、Q分别表示自然数、整数、有理 数全体，以后如无特别声明，我们也都不加解释 地使用这些符号。此外，直线上的区间也采用诸 如[a,b]，（a,b）等记号，如果一个集合仅由有限 个元素组成，则最方便的办法是将其一一列出， 例如，1到10的自然数全体可记作{1,2,3,…,10}， 不含任何元素的集合称为空集，记作 。
集合及其运算
对于集合A，某一对象x如果是A的元素，则称x 属于A，记作；如果x不是A的元素，则称x不属于 A，记为（或记为）。 正如定义所说，集合是由具有某种特定性质的对象 全体组成的，因此，在表示一个集合时，常把这 一性质写出来，例如，A是由具有性质P的元素全 体组成时，通常记为：
A {x | x具有性质 P，} 其中P可以是一段文字，也可以是某个数学式子。
A (B C) (A B) C;
（5） A (B C) ( A B) ( A C) （6） ( A B) C ( A C) (B C)
集合及其运算
（7） （8） （9） （10） （11）
（12）
(C A) B C ( A B) A B (AB) (A B)
集合
称为A与B的对称差，记
作
。
( A B) (B A)
AB
第1讲 集合及其运算
四.集合的运算
问题1：回忆数的四则运算，由此猜测集 合的运算应该具有什么性质。
集合及其运算
定理1 （1） A A A, A A A （2） A , A A, A A （3） A B B A; A B B A （4） A (B C) ( A B) C;
集合及其运算
• 为避免集合论中的矛盾，人们求助于将Cantor的 相互集合论加以公理化，以策密罗（Ernst Zermelo）为首的一批数学家建立了一套集合论公 理体系，即如今的形式集合论，从而避免了这一 理论内已被发现的矛盾。然而，有关公理化集合 论相容性尚未得到证明。庞加莱（Poincare）关 于相容性问题做了一个风趣的评论：“为了防备 狼。”尽管集合论不如人们所期望的那样无懈可 击，它在数学中的地位却不因此而降低。它始终 是我们掌握许多理论所必须的基本知识。
集合及其运算
三．集合的运算 1.集合的子集
假设A,B是两个集合，如果A中的元素都是B 中的元素，则称A是B的子集，记作，或记作。 前者读作“A包含于B中”，后者读着“B包含 A”。显然，空集是任何集合的子集，任何集合 是其自身的子集。假如要证明A是B的子集，最
常用的办法是，任x 取 A,然后设法证明x B 。
集合及其运算
应该注意的是，此处并未要求B是A的子集。假
如B是A的子集，则称A-B为B关于A的余集，记作
CAB。需要指出的是，我们讲某个集合的余集时， 要弄清相对于哪个集合的余集，特别是涉及到多
个集合时，尤其应注意。有时，我们总是限定在
某个固定集合A内讨论一些子集，在这种情况下，
可以省略A，而将CAB记作CB（或BC）。
即
{A }A
A {存在 A,使x A }
A
集合及其运算
4．差（余）运算
由所有属于A但不属于B的元素组成的集合，
称为A减B的差集，记作A-B（A\B），也就是
说，
，但
，应该注意
的是，x 此A处并B当未且要仅求当B是x A的A子集。x 假 如B B是A的子
集，则称A-B为B关于A的余集，记作CAB。