初中数学教学案例
“探索多边形的外角和”案例那是实施新课程后，我在初一数学课上的教学片段，课题是义务教育课程标准实验教科书七年级《数学》（苏科版）下册第七章第5节：探索多边形的外角和。故事都发生在师生共同明确了多边形的外角和的意义之后……
一、教学案例：
师：同学们还记得n边形的内角和公式吗？
（众）生：（n-2）×180°.
师：三角形的外角和等于又多少度呢？
（众）生：360°.
师：当时,我们是如何得到这个结论的呢？
生1（数学课代表）：利用三角形的每一个内角与它相邻的外角互为补角.
师：对！同样,根据n边形的每一个内角与它相邻的外角互为补角,可以求得n边形的外角和,为了求得n边形的外角和,请同学们将数据填入下表：
（学生先“安静独立”地填写表格,5分钟后小组合作“热烈交流”）
师：同学们有什么发现？
（众）生：它们的外角和总是360°.
师（欣喜地）：很好！任意多边形的外角和都为360°,与边数无关.
（老师脸上露出了满意的笑容，课也在朝着老师设计的方向发展）
接着，教师又因势利导：
师：同学们跑过5000米长跑吗？
（大部分学生都惊叫了起来！5000米，不是要转十几圈吗？）师（稍等片刻）：在这“漫长”的转圈中，你能联想到什么数学知识呢？
生（争先恐后地）：每转一圈的长度相等，每转一圈都是从起点回到了起点，转一圈是360°……
（师微笑不语,给出如下情境）
如图,清晨,酷爱健身的小黄沿一个五边形广场周围的小路,按逆时针方向跑步.请思考：
（1）小黄从一条小路转到下一条小路时,身体转过的角是哪个角？
（2）她每跑完一圈，身体转过的角度之和是多少？
（师生共同参与转圈活动后分组合作归纳）
生2：小黄从一条小路转到下一条小路时,身体转过的角分别是∠1、∠2、∠3、∠4、∠5.
生3：我认为小黄在点A处第1次转身前后视线的夹角为∠1,同样在点B处第2次转身可得∠2,在点C处第3次转身可得∠3,在点D 处第4次转身可得∠4,在点E处第5次转身得∠5后,与原来的方向一致,刚好转了一圈,由此,我想到这五个角的和是360°,也就是说五边形的外角和等于360°.
(此法一出，果然“深得民心”，生3在教师的表扬声中得意地落了座.教师正准备引出多边形外角和都等于360°的结论)生4（人称“数学才子”，平时经常有惊人之举，坐在座位上旁若无人的嘀咕）：小黄沿各边行走,应该说她的视线恰好扫过一圈,所以这五个角的和是360°.
(周围不少同学点头称是,显然这种说法也比较容易让人理解、接受)
生5(平时沉默寡言，此时居然迫不及待地站起来)：只要在某一个顶点沿各边方向转动一圈,恰好形成一个周角,不就说明五边形的外角和等于360°吗？所以,任何多边形的外角和都等于360°,与边数无关.
(同学们点头称赞,并给予热烈的掌声)
师：好极了！一语道破了天机！周而复始，原来如此！现在我们把转圈的过程搬到黑板上来.（教师拿着圆规,使一边与五边形的一边
重合,另一边沿着各边方向旋转……，直至最终重合在一起,形成周角）此时所旋转的各角与各外角是什么关系？
生6：所旋转的各角与各外角是同位角.
生7：这相当于在一个顶点处分别作各边的平行线而未改变外角的大小.
（大家纷纷点头，眼光里充满了钦佩之意）
师：生7的回答真精彩！我们已经实实在在地“看”到多边形的外角和是周角这一有趣的结论,可见数学原本是实际生活的产物,我
们要善于观察生活发现问题,运用数学知识去解决问题,再用我们得
出的结论去服务生活,我们的学习才会更加有意义，我们的生活才会变得更加丰富多彩！
（教师竟被学生“牵着鼻子走”，而且是那么的“一发不可收拾”）
二、案例分析：
1、用教材，还是教教材？
案例老师坚持“以纲为纲，以本为本”,“教师是教科书的忠实执行者”.而案例中体现了新课程倡导的：教师不是教科书的执行者,而是教学方案（课程）的开发者,即教师是“用教科书教，而不是教教科书”，从而创造性地使用了教材.
创造性使用教材,一要确立新的教材观,即教材不再是圣经,它只不过是教师在教学过程中被加工和重新创造的对象,是教师在教学活动中需要加以利用的课程资源；二要确立课程意识.我们不仅要遵循教学规定的内容,而且应该主动、合理、创造性地丰富和调整教学内容，将课程和教学联系起来,更加关注那些对学生终身发展起着“基础”和“核心”作用的知识技能；三要以课程标准的教育理念为依据,采取切实可行的策略.张奠宙教授认为：一个数学教师的职责,是把数学的学术形态转化为学生容易接受的教育形态. 案例的精彩就在于
老师为了让教材真正成为学生自主开展数学学习的“有效教材”,从学的层面对教材进行“自然化”的加工,使学生手中的数学书成为一本能有效激发学生数学学习潜能,引导学生自主探索的“学材”.
2、生命课堂，为了人的发展而教学！
美国著名数学家G.波利亚明确指出：“学习任何东西最好的途径是自己去发现”,德国教育家第斯多惠说：“一个坏教师给学生奉献真理,一个好教师则教学生发现真理”.而传统的数学教学总是“复印式”的知识复习,“格式化”的推理论证,以及“粘贴式”的归纳小结.从定理到定理,用公式推公式,数学知识自然而生动的背景、情景及发生过程则被掩盖得严严实实.
案例中,对于多边形的外角和,我们总是用内角和一证了知,表面上看学生“探究”的热热闹闹,而实质上并没有带给学生理智的挑战、
认知上的冲突、内心的震撼和无言的感动,归根结底还是由教师点燃了这把“探究之火”,根本谈不上有学生的自然体验.
案例中，师生活动打破惯例,选择“现实的、有意义的、富有挑战的”“转圈”活动,再现了数学知识的自然背景及其本质内涵,也让学生初步经历了“问题情境——建立模型——解释、反思、应用”的数学学习过程.正如陕西师大罗增儒教授所说：现在的课堂上不是缺少资源,而是缺乏发现资源的眼光啊！事实上,在平时的教学中许多教师不也在没完没了的“转圈”吗？就像多边形外角和360°,不知教了多少遍,但每次都是轻松带过,而未能真真切切地“看”到这个“圈”.因此,在这个“转圈”的过程中,教师和学生们得到的不仅仅是一个周角,而是一种思想方法,一种全新的教学观.
课堂是什么？
课堂应该是什么？
叶澜教授作了精辟的论述：“应从生命的高度,用动态生成的观点看课堂教学”.也就是说：只有焕发出生命活力的课堂才是真正的课堂!这样的课堂,也就是新课程所追求的生命课堂.案例的精彩就在于贯彻一个“以学生的发展为本”的宗旨,真正使纯知识技能传授的课堂转化为自然的生命课堂.
3、学习与研究问题的自然方法一一“以简驭繁”
美籍华人陈省身教授是当代举世闻名的数学家,1980年他在北京大学的一次讲学语惊四座：“人们常说：三角形的内角和等于180°.但是,这是不对的！”大家愕然,怎么回事？陈教授接着说：“不是说这个事实不对,而是说这种看问题的方法不对,应当说三角形的外角和是360°！”如果把眼光盯在内角,只能看到三角形内角和是180°,四边形内角和是360°,五边形内角和是540°，……,n边形内角和是（n-2）×180°.这虽然找到一个计算内角和的公式,但公式中出现了n.如果看外角呢？三角形外角和是360°,四边形外角和是360°,五边形外角和是360°，……，n边形外角和都是360°.这就把多种情形用一个十分简单的结论概括起来了,用一个与n无关的常数代替了与n有关的公式,找到了更一般的规律.
所以,我们在研究与学习的时候,应从一类问题的千差万别中,首先分析出并抓住一些共同的、基本的、简单的、有规律的东西（基本问题）,先行探索学习.然后,在研究如何把这一类的一般情形下的问题,转化为这些基本问题的组合,以便能利用基本问题的解决结果或方法,返回去分析、处理、驾驭这一类中的一个个具体问题一一这就是“以简驭繁”.从新课程的视角,课程标准强调“数学知识是一个有机的整体,教材应反映各部分内容之间的联系与综合,这将有利于学生对数学的整体认识”.应该说,这段话已包含着“以简驭繁”的意思,只是还没有明确的提出分别“简”和“繁”，以及要“以简驭繁”, 案例的精彩就在于老师准确地把握住了学习与研究问题的自然方法，
而陈教授的观点也正是这个道理.目前的实验教材虽然也在这么做,但仍有个别地方值得商榷,有待完善.
总之,数学教育的最终目的并不是简单地教会学生如何解决课本中的习题,而是让我们的学生在自然社会中能够进行数学的思考.因此,我们在平时的教学中只有自然加工、活用教材,自然体验、融入生命,自然追求、以简驭繁,才能为学生的终身可持续发展打下“真正具有生命活力的基石”！