定义和计算公式. 教学内容：第一型曲面积分的定义和计算公
第一型曲面积分
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一、有向曲面及曲面元素的投影
• 曲面分类 双侧曲面 单侧曲面
曲面分内侧和 外侧
莫比乌斯带
(单侧曲面的典型)
曲面分左侧和 右侧
曲面分上侧和 下侧
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思考: 思考 若 ∑ 是球面 出的上下两部分, 则 被平行平面 z =±h 截
z
0
)
dS ∫∫Σ z = (
Σ
h
y
dS a ∫∫Σ z = ( 4 π a ln h )
x
−h
Σ
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例2. 计算
其中∑ 是由平面
z
1
与
坐标面所围成的四面体的表面. 解: 设 Σ1, Σ2, Σ3, Σ4 分别表示∑ 在平面 上的部分, 则 原式 = ∫∫ +∫∫
i=1
∑[
+ Q(ξi ,ηi ,ζ i )(∆Si )zx
n
则称此极限为向量场 A 在有向曲面上对坐标的曲面积 分, 或第二类曲面积分. 记作
∫∫Σ Pdy d z + Qd z d x + Rdxdy
积分曲面. 积分曲面 P, Q, R 叫做被积函数 Σ 叫做积分曲面 被积函数; 被积函数
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λ→0i=1
n
+ R(ξi ,ηi ,ζi ) cosγ i ] ∆Si
= lim ∑
λ→0
i=1
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曲面积分
Ch 22曲面积分教学目的与要求（1）熟练掌握第一、二型曲面积分的计算方法。
（2）了解两种曲面积分关系。
（3）熟练运用高斯公式，斯托克斯公式计算。
（4）了解场论初步知识，并会求梯度，散度，旋度。
§ 1 第一型曲面积分一. 第一型曲面积分的概念:1。
几何体的质量: 已知密度函数 , 分析曲面块的质量定义及计算2．第一型曲面积分的定义:面积分òòSfdS .1. 第一型曲面积分的性质: （类似第一型曲线积分）二. 第一型曲面积分的计算:Th1 设有光滑曲面 D y x y x z z S Î=),( , ),( :.),,(z y x f 为S 上的连续函数, 则()òòòò++=SDy x dxdy z z y x z y x f dS z y x f 221),(,,),,(.例1 计算积分òòS zdS , 其中S 是球面 2222a z y x =++ 被平面 h z = )0(a h <<所截的顶部 . 课本P 281E1Ex P 362 1⑴⑶，2，3 .§ 4 第二型曲面积分Un Re gi st er ed一. 曲面的侧:1．单侧曲面与双侧曲面:2. 双侧曲面的定向: 曲面的上、下侧，左、右侧，前、后侧. 设法向量为 )cos , cos , (cos g b a ±=,则上侧法线方向对应第三个分量0>, 即选“+”号时，应有0cos >g ，亦即法线方向与Z 轴正向成锐角. 类似确定其余各侧的法线方向闭合曲面分内侧和外侧.二. 第二型曲面积分概念:1. 稳流场的流量: 以磁场为例.2. 第二型曲面积分的定义: 课本P 284—285. 闭合曲面上的积分及记法.3. 第二型曲面积分的性质: 线性 , 关于积分曲面块的可加性.三. 第二型曲面积分的计算:Th2 设),,(z y x R 是定义在光滑曲面Î=),( , ),( :y x y x z z S D xy上的连续函数, 以S 的上侧为正侧( 即0),cos(>z ), 则有()òòòò=S D xydxdy y x z y x R dxdy z y x R ),(,,),,(.证 课本P 286类似地, 对光滑曲面Î=),( , ),( :z y z y x x S D yz , 在其前侧上的积分()òòòò=SD yzdydz z y z y x P dydz z y x P , , ),(),,(.对光滑曲面Î=),( , ),( :x z x z y y S D zx , 在其右侧上的积分Un Re gi st er ed()òòòò=SD yzdzdx z x z y x Q dzdx z y x Q , ),( , ),,(.计算积分òò++SRdxdy Qdzdx Pdydz 时, 通常分开来计算三个积分òòSPdydz , òòSQdzdx , òòSRdxdy .为此, 分别把曲面S 投影到YZ 平面, ZX 平面和XY 平面上化为二重积分进行计算. 投影域的侧由曲面S 的定向决定.例1 计算积分òòSxyzdxdy ,其中S 是球面1222=++z y x 在0 , 0³³y x部分取外侧. 课本P 287 E1 例 2 计算积分òòS++-++dxdy x z dzdx z y dydz y x )3()()(，S 为球面2222R z y x =++取外侧.解 对积分òòS+dydz y x )(, 分别用前S和后S 记前半球面和后半球面的外侧, 则有前S : ,222z y R x --=222 :R z y D yz £+;后S : ,222z y R x ---= 222:R z y D yz £+. 因此, òò+dydz y x )(=òòS 前+òòS 后=()òò-+--=yzD dydz y z y R222()òò=+---yzD dydz y z y R 222=-===========--=òòòò£+==2222022sin ,cos 222 82R z y R r z r y rdr r R d dydz z y R p qq q()3023223432214R rR R r r p p =úûùêëé×--===. 对积分dx dz z y òò-)(, 分别用右S和左S 记右半球面和左半球面的外侧, 则有Un Re gi st er ed右S : ,222x z R y --=222 :R z x D zx £+;左S : ,222x z R y ---= 222:R z x D zx £+. 因此, =-òòS dydz z y )(òòS 右+òòS 左=()()òòòò--------=zxzxD D dzdx z x z R dzdx z x z R 222222òò£+=--=2223222342R z x R dzdx x z R p .对积分dxdy x z òòS+)3(, 分别用上S和下S 记上半球面和下半球面的外侧, 则有上S : ,222y x R z --=222 :R y x D xy £+;下S : ,222y x R x ---= 222:R y x D xy £+. 因此, dxdy x z òòS +)3(=òòS 上+òòS 下=()()òòòò=+----+--=xyxyD D dxdy x y x R dxdy x y x R33222222òò£+=--=2223222342R y x R dxdy y x R p .综上,òòS++-++dxdy x z dzdx z y dydz y x )3()()(=334343R R p p =´. 四. 两类曲面积分的关系:设n 为曲面S 的指定法向, 则 òò=++Sdxdy z y x R dzdx z y x Q dydz z y x P ),,(),,(),,([]òò++SdS z n z y x R y n z y x Q x n z y x P ),cos(),,(),cos(),,(),cos(),,(Ex P 289—290 1⑴⑵⑷⑸，2.Un Re gi st er ed§ 3 Gauss 公式和Stokes 公式一. Gauss 公式:Th3 设空间区域V 由分片光滑的双侧封闭曲面S 围成 . 若函数R Q P , , 在V 上连续, 且有连续的一阶偏导数 , 则òòòòò++=÷÷øöççè涶+¶¶+¶¶V Rdxdy Qdzdx Pdydz dxdydz z R y Q x P ,其中S 取外侧.称上述公式为Gauss 公式。
第二章第二节第一型曲面积分doc
第18 章 曲面积分第二节 第一类型曲面积分1、 第一类型曲面积分的定义问题：设∑是3R 中一张有面积的曲面，∑上按面密度)(p ρρ=分布着某种物质，问如何求出分布在∑上物质的总质量？沿用以前用过的作法，将∑分成若干小块n S S S ,,,21 ，并在每一小块i S 上任意取定一点i p ，这时小块i S 上的质量)()(i i i S p m σρ≈，n i ,,2,1 =。
于是曲面片∑上的质量就近似地等于)()(1i ini S pσρ∑= 。
当我们把曲面片∑无限细分时，上面的和式的极限就可以定义为展布在曲面片∑上物质的质量M ，即)()(lim1i ini S pM σρ∑==。
以上的实例引导出下面的第一类型曲面积分的定义。
定义18.2 设∑是3R 中一张可求面积的曲面片，f 是定义在∑上的函数,分割T 把∑分成若干更小的曲面片n S S S ,,,21 。
定义分割T 的宽度为},,2,1,max{||||n i diamS T i ==，在每一小片i S 上任意取定一点i p ，如果和数)()(1i i ni S p f σ∑=当0||||→T 时有有限的极限，并且其极限值不依赖于分割及点ip 在iS上的选择，那么称这个极限值为函数f 沿曲面∑的第一型曲面积分，记作σd f ⎰∑，或dSf ⎰⎰∑。
2、 第一类型曲面积分的计算公式由曲面面积元素的表达式dudv r r d v u ||||⨯=σ，或从定义出发，求出右端的极限，便可得出第一型曲面积分的计算公式：（1） 设正则曲面∑有参数向量方程)),(),,(),,((),(v u z v u y v u x v u r r ==，∆∈),(v u ，f 是定义在∑上的连续函数，则σd f ⎰∑dudvr r v u z v u y v u x f v u ||||)),(),,(),,((⨯=⎰⎰∆dudvF EG v u z v u y v u x f ⎰⎰∆-=2)),(),,(),,((；（2） 当曲面∑是由显式D y x y x z ∈=),(),,(ϕ表达时，其中D 是有面积的平面区域，)(1D C ∈ϕ，f 是定义在∑上的连续函数，则有σd f ⎰∑dxdyzx y x y x f D⎰⎰∂∂+∂∂+=22)()(1)),(,,(ϕϕϕ。
第一型曲面积分
|| T || 为分割 T 的细度，即为诸
Si 中的最大直径.
定义1 设 S 是空间中可求面积的曲面,
f 为( x, y, z)
定义在 S 上的函数. 对曲面 S 作分割 T, 它把 S 分成
n 个小曲面块 Si (i 1, 2, L , n), 以 Si 记小曲面块
Si 的面积, 分割 T 的细度
D
其中
E xu2 yu2 zu2 , F xu xv yu yv zuzv , G xv2 yv2 zv2 .
例2 计算
I z dS , 其中 S 为 S
螺旋面(图22-3)的一部分:
z
x ucos v,
S
:
y
u sin
v,
(u,v)
D
,
2
z v,
O
(a, 0, 0)
I f ( x, y, z)dS .
(1)
S
于是, 前述曲面块的质量可由第一型曲面积表示为:
特别地, 当
块 S 的面积.
m ( x, y, z)dS . S
f ( x, y, z) 1 时,曲面积分
dS 就是曲面
S
二、第一型曲面积分的计算
第一型曲面积分需要化为二重积分来计算.
定理 22.1
z
例1 计算
S z dS , 其中 S
h
是球面 x2 y2 z2 a2 被
平面 z h (0 h a) 所截
O
a
x
y
得的顶部 (图22-1).
图 22 1
解 曲面 S 的方程为 z a2 x2 y2 , 定义域 D 为
圆域 x2 y2 a2 h2 . 由于
1 zx2 zy2
第一型曲面积分计算方法
第一型曲面积分计算方法第一型曲面积分是数学中的一个重要概念，它是对曲面上某个向量场在曲面上的积分。
在实际应用中，第一型曲面积分被广泛应用于物理学、工程学、计算机科学等领域。
本文将介绍第一型曲面积分的定义、计算方法以及应用。
一、第一型曲面积分的定义第一型曲面积分是对曲面上某个向量场在曲面上的积分。
具体来说，设曲面S是一个光滑的有向曲面，其方程为r(u,v)=(x(u,v),y(u,v),z(u,v))，其中(u,v)∈D是S的参数域，f(x,y,z)=(P(x,y,z),Q(x,y,z),R(x,y,z))是一个向量场，则第一型曲面积分的定义为：∬Sf·dS=∬Df(r(u,v))·|ru×rv|dudv其中，f(r(u,v))表示向量场在曲面上某一点的值，|ru×rv|表示曲面元素的面积，dudv表示参数域D上的面积元素。
二、第一型曲面积分的计算方法计算第一型曲面积分的方法有两种：参数化计算法和向量场计算法。
1. 参数化计算法参数化计算法是通过将曲面S的参数域D映射到一个矩形区域上，然后将曲面积分转化为二重积分来计算。
具体来说，设曲面S的参数方程为r(u,v)=(x(u,v),y(u,v),z(u,v))，其中(u,v)∈D，D是一个矩形区域，则第一型曲面积分可以表示为：∬Sf·dS=∬Df(r(u,v))·|ru×rv|dudv其中，|ru×rv|表示曲面元素的面积，它可以表示为：|ru×rv|=|(∂x/∂u,∂y/∂u,∂z/∂u)×(∂x/∂v,∂y/∂v,∂z/∂v)|dudv然后，将向量场f(r(u,v))表示为f(x(u,v),y(u,v),z(u,v))=(P(x(u,v),y(u,v),z(u,v)),Q(x(u,v),y(u,v),z(u,v)) ,R(x(u,v),y(u,v),z(u,v)))，将|ru×rv|代入上式，得到：∬Sf·dS=∬DP(x,y,z)dydz+Q(x,y,z)dzdx+R(x,y,z)dxdy其中，P(x,y,z)、Q(x,y,z)、R(x,y,z)分别是向量场f(x,y,z)在x、y、z 方向上的分量。
第四节第一类曲面积分
)
（1）确定 的方程: z z(x, y);
（2）确定在xoy 面上的投影区域 Dx y
（3）将曲面方程 z z(x, y) 及
dS
1
zx2
(
x,
y)
z
2 y
(
x,
y)
d
xd
y
代入 f (x, y, z) d S中即可。 一投、二代、三换
说明: 1) 如果曲面方程为 x x( y, z), ( y, z) Dyz
1
z
2 x
z
2 y
d
xd
y
2d xd y,
Dx2y {( x, y) | x2 y2 1}, xdS x 2d xd y 0,
2
Dx2 y
例5. 计算 xdS , 其中是圆柱面 x2 y2 1,
平面 z x 2 及 z 0 所围成的空间立体的表面.
解: xdS xdS xdS
f (x, y, z) d S f [x( y, z), y, z] 1 xy2 xz2 d y d z
或
Dyz
y y(x, z), (x, z) Dxz
f (x, y, z) d S f [x, y(x, z), z] 1 yx2 yz2 d x d z
Dxz
2）若 是 xoy 面上的一个闭区域 D 时，则
: x2 y2 z2 a2
2
d
1 2
2a
0
0
a r 2 r dr a2 r2
1 a4 (8 5
6
2)
思考: 若例3 中被积函数改为
计算结果如何 ?
例4. 计算| xyz | d S 为抛物面 z x2 y2（ 0 z 1）.
第一类曲线曲面积分
第一类曲线曲面积分是数学中的一个重要概念，它涉及到对曲线或曲面上的函数进行积分。
在解决实际问题中，第一类曲线曲面积分被广泛应用于物理、工程、经济等领域。
首先，让我们来了解一下第一类曲线积分的概念。
第一类曲线积分是针对平面上曲线上的函数进行积分的一种方法。
它的定义是，给定一条参数曲线 t \in [a, b]，如果有一个实值函数 f(t)，我们想要求出该函数在曲线上的积分。
具体来说，第一类曲线积分的计算公式为：∫f(t)dt，其中符号∫表示积分，f(t)表示函数，t表示参数。
第一类曲线积分在实际问题中有很多应用。
例如，在物理学中，第一类曲线积分可以用来计算电荷在电线上的分布情况；在工程学中，第一类曲线积分可以用来计算物体在运动过程中的能量变化情况；在经济领域，第一类曲线积分可以用来分析股票价格的波动情况。
接下来，让我们来了解一下第一类曲面积分的概念。
第一类曲面积分是针对空间中曲面上的函数进行积分的一种方法。
它的定义是，给定一个三维空间中的曲面Σ，如果有一个实值函数 f(x,y,z)，我们想要求出该函数在曲面上的积分。
具体来说，第一类曲面积分的计算公式为：∫f(x,y,z)dS，其中符号∫表示积分，f(x,y,z)表示函数，S表示曲面的面积。
第一类曲面积分在实际问题中也有很多应用。
例如，在物理学中，第一类曲面积分可以用来计算磁场在导体表面上的分布情况；在工程学中，第一类曲面积分可以用来计算热量的传导情况；在经济领域，第一类曲面积分可以用来分析市场价格的波动情况。
总之，第一类曲线曲面积分是一个非常重要的数学工具，它可以帮助我们解决很多实际问题。
通过深入了解第一类曲线曲面积分的概念和方法，我们可以更好地理解和解决各种问题。
§6.5第一型曲面积分的计算
记d max 1 k n
的直径
k
，k的面积记为Ak .
如果不论将如何分割，点M
k
如何选取，
k
n
当d 0时， f (Mk )Ak有确定的极限，则称 k 1
函数f 在曲面上可积，极限值为f 在上的
第一型曲面积分,即
n
f
( x,
y, z)dA
lim
d 0
k 1
f (k ,k , k )Ak
( x, y) Dx y
A Dxy
Fx2 Fy2 Fz2 dxdy. Fz
例1.求球面 x2 y2 z2 a2在 z b部分的面积(a b 0).
az
S
b
y
x
二. 第一型曲面积分的概念
定义 设是一个分片光滑曲面，函数f 在上有定义.
将任意分割成n个小部分（k k 1,2,L ,n),
'(面积A')
的一个法向量：{0, 0,1}
'的一个法向量：{zx , zy ,1}
| cos |
1
1
z
2 x
z
2 y
x
dAA 11zzx2x2zz2y2yd
o
y
Dxy
P(x, y)
曲面的面积元素
结论： 1.设光滑曲面 的方程为 z z( x, y)，Dxy是在 xy平面上的投影区域， 的面积为A，则
y
x
Dxy
例3.计算 ( x2 y2 z2 )dA,其中是由 x 0, y 0, x2 y2 z2 1 ( x 0, y 0)所围成的闭曲面.
z
2 1
y
x 3
§6.5 第一型曲面积分的计算
一.曲面的面积
第一型曲面积分的定义
第一型曲面积分的定义第一型曲面积分的定义我们都知道，在高中数学中，我们学习了曲线积分的相关知识。
在三维空间中，曲面积分的概念也异常重要。
曲面积分可以理解为在三维空间中对于某个区域的累加。
1.曲面积分的数学定义设有曲面S，取定其中一点P作为积分起点，取定其它一直到最后一个点Q作为积分终点。
将所选取的路径分割成n段，点为P=p_0，p_1，...,p_n=Q, 曲面面积分为：I_s = lim{max│Pk+1-Pk│ → 0} Σ_{k=0}^{n-1} f(Qk)ΣS_k，其中S_k是以Pk和Pk+1为两点的曲面面积元素，f(Qk)是固定在S_k上的向量函数。
2.曲面积分的重点曲面积分需要理解的一个重点就是“曲面面积元素”，这里所说的曲面面积元素，就是曲面上任意一点的面积。
当然，在熟悉曲线积分的情况下，曲面积分的讨论中，这里的“面积元素”是曲线上的“弧元素”的三维推广。
3. 曲面积分的计算方法这里所说的曲面积分其实可以看做是第二型积分的一种特例。
大部分的计算方法和思路，都和第二型积分非常相似。
具体来说，可以使用所在曲面的参数方程对曲面积分进行计算。
4.曲面积分的意义曲面积分具有很强的几何意义。
对于一些重要的物理定理，比如高斯定理和斯托克斯定理等，曲面积分都是必不可少的工具。
它可以用于计算电场、磁场等涉及到各种场概念的物理量。
5.总结综上所述，曲面积分是三维空间中非常重要的理论概念。
它的计算方法和曲线积分非常类似，但需要特别注意的是对“曲面面积元素”的理解和掌握。
曲面积分的应用非常广泛，在物理、计算机图形学等领域中都有着非常重要的地位。
(完整版)(整理)第一类曲面积分
第四节 对面积的曲面积分(第一类曲面积分)曲面积分有两种一种是对坐标的曲面积分，一种是对面积的曲面积分． 一 对面积的曲面积分(第一类曲面积分)的基本概念与性质设有一曲面型构件∑的物体，在点(,,)x y z 处的密度为()z y x f ,,，求此物体的质量． 求解的方法是, 将曲面∑分为若干个小块i ∆∑(1,2,i n =)，其面积分别记为i S ∆(1,2,i n =)，在小块曲面i ∆∑上任意取一点()i i i M ςηξ,,，若密度函数()z y x f ,,是连续变化的则可以用点()i i i M ςηξ,,处的密度近似小块i S ∆上的密度．于是小块i ∆∑的质量为()i i i f ςηξ,,i S ∆，将所有这样的小块的面积加起来，就是物体的质量的近似值．即()∑=∆≈ni i i i i S f m 1,,ςηξ当n 个小的曲面的直径的最大值0→λ时，上面的式子右端的极限值如果存在，则将此极限值定义为曲面的质量．即()∑=→∆=ni i i i i S f m 1,,lim ςηξλ．总之, 以上解决问题的方法就是: 先把它分成一些小片,估计每一小片上的质量并相加,最后取极限以获得精确值. 这同积分思想相一致. 为此我们定义对面积的曲面积分．定义13.3 设函数()z y x f ,,是定义在光滑曲面(或分片光滑曲面)∑上的有界函数．将曲面分为若干个小块i ∆∑(1,2,,i n =)，其面积分别记为()n i S i ,...,2,1=∆，在小块曲面i∆∑上任意取一点()i i i M ςηξ,,，若极限()∑=→∆ni i i i i S f 1,,lim ςηξλ存在，则称此极限值为函数()z y x f ,,在曲面∑上对面积的曲面积分(或称第一类曲面积分)．记为()⎰⎰∑ds z y x f ,,．即()⎰⎰∑ds z y x f ,,=()∑=→∆ni iiiiS f 1,,lim ςηξλ．其中λ表示所有小曲面i ∆∑的最大直径, ()z y x f ,,称为被积函数, ∑称为积分曲面．对面积的曲面积分与对弧长的曲线积分具有相似的性质．如1) ()()()()()⎰⎰⎰⎰⎰⎰∑∑∑±=±ds z y x g ds z y x f ds z y x g z y x f ,,,,,,,,；2) ()()⎰⎰⎰⎰∑∑=ds z y x f k ds z y x kf ,,,,；3)()()()⎰⎰⎰⎰⎰⎰∑∑∑+∑+=2121,,,,,,ds z y x f ds z y x f ds z y x f ．二 对面积的曲面积分(第一类曲面积分)的计算设积分曲面由单值函数()y x z z ,=确定，曲面在坐标面xoy 上的投影为xy D ，函数()y x z z ,=在xy D 具有连续偏导数（即曲面∑是光滑曲面）．按照对面积的曲面积分的定义有()()iiiini S f dS z y x f ∆=∑⎰⎰=→∑ςηξλ,,lim ,,1． 设对曲面∑的第i 块i ∆∑在坐标面xoy 上的投影为()i σ∆，则i S ∆可以表示为下面的二重积分：()()()⎰⎰∆++=∆idxdy z y x f z y x f S y x i σ,,,,122有二重积分的中值定理有()()i i i i y i i i xi z z S σςηξςηξ∆++=∆,,,,122其中()i i i ςηξ,,是小曲面i S ∆上的任意一点，()i i ηξ,为()i σ∆内任意一点，所以()()i i i ni f dS z y x f ςηξλ,,lim ,,1∑⎰⎰=→∑=()()i i i i y i i i xz z σςηξςηξ∆++,,,,122 注意到()i i i z ηξς,=，从而得到二重积分的计算公式()()()()()⎰⎰⎰⎰++=∑xyD y xdxdy y x z y x z y x z y x f dS z y x f ,,1,,,,,22． 这个公式是很容易理解和记忆的，因为曲面∑的方程是()y x z z ,=，曲面的面积元素为dxdy z z dS y x 221++=，曲面在坐标面XOY 上的投影是xy D ，于是对面积的曲面积分就化为二重积分了．将这个过程简单归纳如下：1) 用y x ,的函数()y x z z ,=代替z ； 2) 用dxdy z z y x 221++换dS ；3) 将曲面投影到坐标面XOY 上得到投影xy D ．简单地说就是“一代二换三投影”．例13.16 计算曲面积分dSz ∑⎰⎰，其中曲面∑是由平面()a h h z <<=0截球面 2222a z y x =++的顶部．图13-16 解： 曲面∑的方程为222y x a z --=，它在坐标面xoy 上的投影为圆形的闭区域：2222h a y x -≤+．222221yx a a z z y x --=++，所以dS z ∑⎰⎰＝222xyD adxdy a x y --⎰⎰ 利用极坐标计算上面的积分，得到()2222222220022012ln 2ln2xya h D a h dS ardrd ardrd d z a r a r aa a r a hπθθθππ-∑-==--⎡⎤=--=⎢⎥⎣⎦⎰⎰⎰⎰⎰⎰例13.17 计算曲面积分()⎰⎰∑++21y x dS，其中曲面∑是由平面1=++z y x 以及三个坐标面所围成的四面体的表面．图13-17解：如上图，曲面∑由曲面4321,,,∑∑∑∑组成，其中4321,,,∑∑∑∑分别是平面1=++z y x ，0,0,0===z y x 上的部分．()()⎪⎭⎫ ⎝⎛-=++=++⎰⎰⎰⎰-∑212ln 31311021021xy x dydx y x dS；()()2ln 1111021022-=+=++⎰⎰⎰⎰-∑zy dydz y x dS；()()2ln 1111021023-=+=++⎰⎰⎰⎰-∑zx dxdz y x dS；()()212ln 11102124-=++=++⎰⎰⎰⎰-∑xy x dydx y x dS． 所以()()()()2ln 13233212ln 3212ln 2ln 12ln 112-+-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛-+-+-=++⎰⎰∑y x dS习题13.41. 计算()x y z dS ∑++⎰⎰. 其中∑为上半球面222z a x y =--. 2. 计算||I xyz dS ∑=⎰⎰. 其中∑为曲面22z x y =+介于二平面0,1z z ==之间的部分. 3. 计算22()x y dS ∑+⎰⎰. 其中∑是锥面22z x y =+及平面1z =所围成的区域的整个边界曲面. 4. 求抛物面壳221()2z x y =+(01)z ≤≤的质量, 此壳的面密度的大小为z ρ=.5. 求面密度为0ρ的均匀半球壳2222x y z a ++=(0)z ≥对于z 轴的转动惯量. 6. 计算21(1)dS x y ∑++⎰⎰. 其中∑为四面体1x y z ++≤, 0x ≥, 0y ≥及0z ≥的边界面.参考答案1. 3a π2.3.4.21)15π 5. 4043a πρ6.1)ln 2+. 第五节 对坐标的曲面积分一 对坐标的曲面积分的概念和性质为了讨论对坐标的曲面积分，首先要对曲面作一些说明． 1. 曲面的侧在曲面∑上的任意一点P 处作曲面的法线向量，有两个方向，取定其中的一个方向n ，当点P 在曲面上不越过边界连续运动时，法线向量n 也随着连续变动，这种连续变动又回到P 时，法线向量n 总是不改变方向，则称曲面∑是双侧的，否则，称曲面是单侧的．如著名的M o bius 带就是单侧曲面.今后我们只讨论曲面是双侧的. 例如曲面()y x z z ,=，如果z 轴的正方向是竖直向上的，则有上侧和下侧．又如空间中的闭曲面有内侧和外侧之分．我们可以通过曲面上的法向量的指定来确定曲面的侧．例如对于曲面()y x z z ,=，若取定的法向量n 是朝上的，那么实际上就是取定曲面为上侧；对于封闭曲面，若取定的法向量n 是由内指向外的，则取定的曲面是外侧．选定了曲面的侧的曲面称为有向曲面． 2. 流向曲面一侧的流量设稳定的不可压缩的液体以速度()()()k z y x R j z y x Q i z y x P v ,,,,,,++=流向有向曲面∑，求液体在单位时刻内流过曲面指定侧的流量．其中函数()()()z y x R z y x Q z y x P ,,,,,,,,都是曲面∑上的连续函数．如果流体流过平面上的一个面积为A 的闭区域，且流体在闭区域上各点处的流速为常向量v ，又设n 是该平面上的单位法向量，那么在单位时间内流过这个闭区域的流体组成一个底面积为A ，斜高为||v 的斜柱体，其体积即流量为n v A v A V ⋅==θcos这就是通过闭区域A 流向n 所指的一侧的流量．对于一般的曲面∑，我们可以将它划分为若干个小块i ∆∑，在∑是光滑的和v 是连续的前提下，只要i ∆∑的直径很小，我们就可以用i ∆∑上任意一点()i i i ςηξ,,处的流速()()()()k R j Q i P v v i i i i i i i i i i i i i ςηξςηξςηξςηξ,,,,,,,,++==近似替代i ∆∑上各点处的流速，以此点处的曲面∑的单位法向量k j i n i i i γβαcos cos cos ++=代替i ∆∑上各点处的单位向量，从而得到通过i ∆∑流向指定侧的流量的近似值为i i i S n v ∆⋅()n i ,...,2,1=，（i S ∆为i ∆∑的面积） 于是通过曲面∑指定侧的流量近似地为()()()ii i i i ni ii i i i i i i ini i i S R Q P S n v ∆++=∆⋅≈Φ∑∑==]cos ,,cos ,,cos ,,[11γςηξβςηξαςηξ注意到()yz i i i S S ∆=∆αcos ；()zx i i i S S ∆=∆βcos ；()xy i i i S S ∆=∆λcos ．因此上式可以写为()()()()()()],,,,,,[1xy i i i i ni xz i i i i yz i i i i S R S Q S P ∆+∆+∆=Φ∑=ςηξςηξςηξ当所有小块的直径的最大值0→λ时，上面和的极限就是流量Φ的精确值．在实际问题中还有很多的类似的极限，由此我们可以得到对坐标的曲面积分的定义． 3. 对坐标的曲面积分的定义定义13.4 设∑是逐片光滑的有向曲面，函数()z y x R ,,在曲面∑上有界，将∑划分为若干个小块i ∆∑，i ∆∑在坐标面xoy 上的投影为()xy i S ∆，取i ∆∑中的任意一点(,,)i i i ξηζ，若各个小块的直径的最大值0λ→时，极限()()∑=→∆ni xy i i i i S R 1,,lim ςηξλ存在，称此极限为函数()z y x R ,,在曲面∑上对坐标y x ,的曲面积分（或第二类曲面积分）．记为()⎰⎰∑dxdy z y x R ,,，即()⎰⎰∑dxdy z y x R ,,＝()()∑=→∆ni xyi iiiS R 1,,lim ςηξλ．类似地，可以定义函数()z y x P ,,在曲面∑上对坐标z y ,的曲面积分（或第二类曲面积分）()⎰⎰∑dydz z y x P ,,，以及函数()z y x Q ,,在曲面∑上对坐标z x ,的曲面积分（或第二类曲面积分）()⎰⎰∑dxdz z y x Q ,,如下：()⎰⎰∑dydz z y x P ,,＝()()∑=→∆ni yziiiiS P 10,,lim ςηξλ；()⎰⎰∑dxdz z y x Q ,,＝()()∑=→∆ni zxi iiiS Q 1,,lim ςηξλ．在应用中通常是上面三种积分的和，即()⎰⎰∑dydz z y x P ,,＋()⎰⎰∑dxdz z y x Q ,,＋()⎰⎰∑dxdy z y x R ,,，简记为()()()⎰⎰∑++dxdy z y x P dxdz z y x Q dydz z y x P ,,,,,,．如果∑是有向封闭曲面，通常记为()()()⎰⎰∑++dxdy z y x P dxdz z y x Q dydz z y x P ,,,,,,，并规定取曲面的外侧．4.性质1) 对坐标的曲面积分与对坐标的曲线积分具有类似的性质:()()()⎰⎰⎰⎰⎰⎰∑∑∑+∑+++++=++1221.,,,,,,Pdxdy Qdxdz Pdydz Pdxdy Qdxdz Pdydz dxdyz y x P dxdz z y x Q dydz z y x P2) 设∑时有向曲面,∑-表示与∑取相反侧的曲面,则有()()()()()()⎰⎰⎰⎰∑∑-++-=++dxdyz y x P dxdz z y x Q dydz z y x P dxdy z y x P dxdz z y x Q dydz z y x P ,,,,,,,,,,,,二 对坐标的曲面积分(第二类曲面积分)的计算方法 下面以计算曲面积分()⎰⎰∑dxdy z y x R ,,为例来说明如何计算对坐标的曲面积分.取曲面∑的上侧,且曲面由方程()y x z z ,=给出,那么曲面∑的法向量n 与z 轴的正方向的夹角为锐角，曲面∑的面积元素dS 在坐标面xoy 上的投影dxdy 为正值．若xy D 为曲面∑在坐标面xoy 上的投影区域．由对坐标的曲面积分的定义()()()xy i iiini S R dxdy z y x R ∆=∑⎰⎰=→∑ςηξλ,,lim ,,1可以得到()()()⎰⎰⎰⎰=∑xyD dxdy y x z y x R dxdy z y x R ,,,,,．如果积分曲面取∑的下侧，那么曲面∑的法向量n 与z 轴的正方向的夹角为钝角，所以曲面∑在坐标面xoy 上的投影dxdy 为负值，从而有()()()⎰⎰⎰⎰-=∑xyD dxdy y x z y x R dxdy z y x R ,,,,,．类似地，如曲面∑由方程()z y x x ,=给出，则有()()(),,,,,yzD P x y z dzdy P x y z y z dzdy ∑=±⎰⎰⎰⎰；等式右边的符号这样决定：如积分曲面∑时方程()z y x x ,=所给出的曲面的前侧，则取正号；如果是后侧，则取负号．如曲面∑由方程()z x y y ,=给出，则有()()()⎰⎰⎰⎰±=∑xzD dzdx z z x y x P dxdz z y x Q ,,,,,．等式右边的符号这样决定：如积分曲面∑时方程()z x y y ,=所给出的曲面的右侧，则取正号；如果是左侧，则取负号．对于曲面积分()⎰⎰∑dxdy z y x R ,,的计算，我们可以简单的归纳出如下的计算步骤：a) 用y x ,的函数()y x z z ,=来代替z ； b) 将曲面∑投影到坐标面xoy 上，得到xy D ；c) 对曲面∑定向从而确定符号，上侧取正号，下侧取负号． 简称为“一代二投三定向”，将曲面积分化为二重积分计算． 例13.18 计算曲面积分⎰⎰∑++zdxdyydzdx xdydz ，其中∑是半球面1222=++z y x ，0≥z 的上侧．解：球面上点()z y x ,,处的单位法线向量为},,{z y x n =，速度},,{z y x v =，所以()222{,,}{,,}2xdydz ydzdx zdxdy x y z x y z dSx y z dS π∑∑∑++=⋅=++=⎰⎰⎰⎰⎰⎰例13.19 计算曲面积分⎰⎰∑xyzdxdy ，其中∑是球面1222=++z y x外侧在0,0≥≥y x 的部分．解：将曲面∑分为21,∑∑两部分，1∑的方程为2211y x z ---=；2∑的方程为2221y x z --=．2xyD xyzdxdy ∑=⎰⎰⎰⎰(1xy xyD D xyzdxdy xy dxdy∑=-=⎰⎰⎰⎰⎰⎰所以15212sin 21cos sin 212102320222=-=-=--=⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰∑dr r r d rdrd r r r dxdy y x xy xyzdxdy xyxyD D πθθθθθ习题13.51. 计算2xz dydz ∑⎰⎰. 其中∑是上半球面z =. 2. 计算zdxdy xdydz ydzdx ∑++⎰⎰. 其中∑为柱面221x y +=被平面0z =及3z =所截部分的外侧. 3. 计算2(1)()z x y dxdy ∑++⎰⎰. 其中∑为半球面2221xy z ++=(0)y ≥朝y 轴正向的一侧.4. 求矢量场F xyi yz j xzk =++穿过在第一卦限中的球面2221x y z ++=外侧的通量.5. 计算22x y zdxdy ∑⎰⎰. 其中∑是球面2222x y z R ++=的下半部分的下侧.参考答案 1. 5215R π 2. 6π 3. 415π 4. 316π 5.72105R π 第六节 两类曲面积分之间的联系设有向曲面∑有方程()y x z z ,=给出，∑在坐标面xoy 上地投影区域为xy D ，函数()y x z z ,=在区域xy D 上具有连续的一阶偏导数，()z y x R ,,是曲面∑上的连续函数。