2018年高考备考+均值不等式和柯西不等式+含历年高考真题

1

成立。

5、(2012 福建)已知函数 f(x)=m-| x-2|, m € R,且 f(x+2)》0解集为[-1,1].

1 丄 丄

(1)求 m 的值；

(2)若 a,b,c € R 且a + + 3c =m,求证:a + 2b +3c >9

1、（2008 江苏）设 a , b , c 为正实数，求证： 3 a 11 —

3 + abc 》2*； 3 . c

b 3 2、（2010辽宁理数） 已知a,b,

c 均为正数，证明:

b 2

丄I ）2 6.3，并确定a,b,c 为何值时，等号

b c

3、（2012江苏理数）

1

已知实数x , y 满足：|x y| -，|2x

3

y|

5

求证：|y| 18 -

4、（ 2013新课标n ） 设a,b,c 均为正数，且a b c

1,证明:

1

(i )ab bc ca 一

3

2

a (n )—

b

b 2

c 2 1.

c a

(n) a b c d 是

a b cd

的充要条件.

6、（2011浙江）设正数x, y, z 满足2x 2y z 1.

(i)若 ab cd ，贝U a b c d ；

⑴求3xy yz zx 的最大值;

（2）证明:

3 1 xy

1 1 1 yz 1 xz

125 26

7.（2017全国新课标II 卷）已知a 0,b 0,a b 2。证明:

(1) (a b)(a 5 b 5) 4 ；

(2) a b 2。

8.(2017 天津)若 a,b

R ， ab 0，则

a 4 4

b 4

1

-的最小值为

9. 【2015咼考新课标 ab

2,理24】设a, b, c, d 均为正数，且a

c d ，证明:

10.【2015高考福建，理21】选修4-5 :不等式选讲

已知a 0,b 0, c 0 ,函数f (x) =| x +a | +| x- b | +c 的最小值为4.

1 2 1 2 2

(i )求a+b + c的值；(n)求a + b +c 的最小值.

4 9

11.【2015高考陕西，理24】（本小题满分10分）选修4-5 :不等式选讲已知关于x的不等式|x a| b的解集为x 2 x 4 .

（I）求实数a, b的值；（II）求at 12 bt的最大值.

【均值不等式】

例题2：已知x,y,z均为正数.求证：

x y z 1 1 1

yz zx xy x y z

变式：设x, y, z为正数，证明：2 x 3 y 3 z

2 2 2

x y z y x z z x y

例题1 ：已知x, y均为正数，且x y，求证: 2x

c 2

2xy y

2y 3.

【柯西不等式】

变式1: 设a,b, c0, a b c1，求证：

a b

2 a 2 b

c

2 c

3

5

变式

2：已知正数x, y满足x y

1 1

z xyz，求————

2

、zx

的最大值

V xy y yz

例题1 ：若正数a,b,c满足a b c1，求

2a

1

2b 1

的最小值.

2c 1

变式：若x 2 1 ____________ _____ _______ _ 21

，证明..r~2x、厂x . ^mx 3 2 3'2

例题2：已知x,y,z是正数.

2

“ x

1,求——

2 x

2

-——的最小值;

2 y

2 2 2

求证：亠匕z_ 1.

2 x 2 y 2 z

【能力提升】

1、设a, b, c均为正实数，求证:

丄丄丄2a 2b 2c