变形监测数据处理6-1

y = xβ + ε
，在最小二乘法下， x 在最小二乘法下， (
T
x)
第六章 变形分析与建模的 基本理论与方法
§6.1 §6.2 §6.3 §6.4 §6.5 §6.6
回归分析法 时间序列分析模型 灰色系统分析模型 Kalman滤波模型 Kalman滤波模型 人工神经网络模型 频谱分析及其应用
§6.2
§6.1
回归分析法
1. 多元线性回归模型
y = xβ + ε
T
其中，设有N个变形量： y = ( y 1 , y 2 , ⋯ , y N ) 其中，设有N个变形量： 有p个影响因子： 个影响因子：
1 x11 1 x 21 x= ⋮ ⋮ 1 x N 1
0
x12 x 22 ⋮ xN 2
x t − ϕ 1 x t −1 − ϕ 2 x t − 2 − ⋯ − ϕ p x t − p = a t − θ a t −1 − ⋯ − θ a t − q
' 1 ' q
称为自回归滑动平均过程 记为ARMA(p,q) 称为自回归滑动平均过程,记为ARMA(p,q) 自回归滑动平均过程,
§6.1
回归分析法
对于非线性关系，我们可以通过变量的变 对于非线性关系， 换转化为线性问题。例如，多项式关系 换转化为线性问题。例如，
y = a 0 + a1 x + a 2 x
应用变量变换
2
+ ⋯ + an x
n
z1 = x , z 2 = x , ⋯ ⋯ , z n = x
2
n
转化成线性关系
y = a 0 + a1 z 1 + a 2 z 2 + ⋯ + a n z n
ˆ y = bx
§6.1
回归分析法
2. 回归方程显著性检验 模型 y = x β + ε 要进行检验。 要进行检验。 建立原假设 H 0 : β 1 = 0 , β 2 = 0 , ⋯ , β p = 0 求统计量 进行F 进行F检验
F = S回 / p S 剩 /( N − p − 1)
中因变量 y 与自变量
Yt = a0 + a1t + ⋯ + ant
n
Yt = a + b ln t
Yt = at
b
§6.1
回归分析法
一、曲线拟合
Yt = f (t , θ ) + ε t
几类典型的趋势模型: 几类典型的趋势模型: 4 指数趋势模型 5 双曲线趋势模型 6 修正指数模型
Yt = ae
bt
Yt = a + b / t
x 1 , x 2 , ⋯ ⋯ , x p 之间是否存在线性关系，需 之间是否存在线性关系，
§6.1
回归分析法
3. 回归系数显著性检验 回归方程显著并不意味着每个自变量 x i 对因变 量 y 的影响都是重要的，这就需要对每个变量 的影响都是重要的， 进行考察。如果某个变量 x j 对 y 的作用不显 进行考察。 就应为零。 著，则相应的回归系数 β j 就应为零。 进行检验原假设 求统计量 进行F 进行F检验
§6.1
回归分析法
逐步回归计算过程： 逐步回归计算过程： 3.选第三个因子 根据已选入的二个因子， 3.选第三个因子。根据已选入的二个因子，依 选第三个因子。 次与未选入每一因子，用多元回归模型建立三 次与未选入每一因子， 多元回归模型建立三 元线性回归方程，进行检验来接纳因子。 元线性回归方程，进行检验来接纳因子。 在选入第三个因子后，应对原先已选入回归 在选入第三个因子后， 方程的因子重新进行显著性检验。 方程的因子重新进行显著性检验。 继续选因子。 4.继续选因子 4.继续选因子。
时间序列分析模型
观测数据之间呈现相关性, 对时间序列 观测数据之间呈现相关性, 对时间序列
{x (t )}
有数学模型
(t= …,1,2,3, …)
x(t ) = f ( xt −1 , xt −2 ,⋯) + at
§6.2
时间序列分析模型
对模型f取线性形式,且假定a 是白噪声序列 对模型 f 取线性形式, 且假定at 是白噪声 序列, 其 序列, 均值为零,当取有限项时, 均值为零,当取有限项时,模型成为
§6.1
回归分析法
二、多元线性回归分析
实际中， 变形值与变形因素之间的关系并 实际中， 非都是线性的， 常呈现曲线关系， 另外， 非都是线性的， 常呈现曲线关系， 另外，影响 变形值的因素是多方面的。 为此，需要解决一 变形值的因素是多方面的。 为此， 个变量与多个因子之间的相关关系，而且， 个变量与多个因子之间的相关关系，而且，许 多因子对变量的影响还是非线性关系。 多因子对变量的影响还是非线性关系。
xt = ϕ 1 xt −1 + ϕ 2 xt − 2 + ⋯ + ϕ p xt − p + at
为自回归过程,记作AR(p)。现用线性推移算子Bk 自回归过程,记作AR(p) 现用线性推移算子B AR(p)。 表示, 表示,即 代入得
B xt = xt −2 , ⋯ B p xt = xt − p
§6.1
回归分析法
由于许多非线性问题转化线性问题来解决， 由于许多非线性问题转化线性问题来解决， 因此，我们所需解决的问题可看成是一个变量 因此， 与多个变量之间的线性相关问题，即多元线性 与多个变量之间的线性相关问题， 回归问题。 回归问题。 问题 多元线性回归的中心问题是： 多元线性回归的中心问题是： 确定对变量影响的因子及它们之间的关系 运用最小二乘法求回归方程中的回归系数
H0 :β
F=
j
= 0
2 j
b / C jj S 剩 /( N − p − 1)
§6.1
回归分析法
三、逐步回归计算 逐步回归计算
由于多元回归本身不能判断各个自变量对因 变量是否都是显著的， 变量是否都是显著的，由它所求得的回归方程 不是最佳的。 不是最佳的。 最佳回归方程： 最佳回归方程：满足选进回归方程的因子都 是显著的， 是显著的，而未选进回归方程的其它因子的影 响不显著。 响不显著。
§6.1
回归分析法
由于自变量之间的相关性， 由于自变量之间的相关性，使得多元线性回归模 自变量之间的相关性 型 矩阵回存在接近于零的特征根，从而使得 β 接近 矩阵回存在接近于零的特征根， 不可估，为此提出了一些新的估计方法，其特 不可估，为此提出了一些新的估计方法， 点是估值的有偏性，故称为回归的有偏估计。 回归的有偏估计 点是估值的有偏性，故称为回归的有偏估计。 例如，岭估计；Stein估计；主成分估计；特征 估计； 例如，岭估计；Stein估计 主成分估计； 根估计等。 根估计等。
第六章 变形分析与建模的 基本理论与方法
§6.1 §6.2 §6.3 §6.4 §6.5 §6.6
回归分析法 时间序列分析模型 灰色系统分析模型 Kalman滤波模型 Kalman滤波模型 人工神经网络模型 频谱分析及其应用
§6.1
回归分析法
一、曲线拟合
Yt = f (t , θ ) + ε t
几类典型的趋势模型: 几类典型的趋势模型: 1 多项式趋势模型 2 对数趋势模型 3 幂函数趋势模型
Yt = L − ae
bt
§6.1
回归分析法
一、曲线拟合
Yt = f (t , θ ) + ε t
L Yt = −bt 1 + µe
−θt
几类典型的趋势模型: 几类典型的趋势模型: Logistic模型 7 Logistic模型
8 Gompertz模型 Gompertz模型
Yt = L exp[− βe ]
' 1 ' 2 2 ' q q
顾及B 为线性推移算子, 顾及Bk为线性推移算子,则
xt = at − θ a
' 1 t −1
− ⋯ − θ at −q
' q
此式为滑动平均过程 记作MA(q) 此式为滑动平均过程,记作MA(q) 滑动平均过程,
§6.2
时间序列分析模型
实际中,要进行模拟,既包括自回归部分 实际中,要进行模拟,既包括自回归部分,也包 自回归部分, 滑动平均部分, 括滑动平均部分,这时数学模型为
2
⋯ x1 p ⋯ x2 p ⋱ ⋮ ⋯ x Np ,⋯ , βp回归系数为 β = ( β
, β1, β
)
T
§6.1
回归分析法
1. 多元线性回归模型 由最小二乘法可求得回归系数的估值b 由最小二乘法可求得回归系数的估值b：
b = ( x x) x y
T T
−1
由回归系数的估值可求得回归方程： 由回归系数的估值可求得回归方程：
2
(1 − ϕ1 B − ϕ 2 B − ⋯ − ϕ p B ) xt = at
2 p
§6.2
令
时间序列分析模型
(1 − ϕ1 B − ϕ 2 B − ⋯ − ϕ p B )
2
p −1
= 1−θ B −θ B −⋯ −θ B
' 1 ' 2 2 ' q
q
则
xt = (1 − θ B − θ B − ⋯ − θ B )at
§6.1
回归分析法
逐步回归计算过程： 逐步回归计算过程： 1.选第一个因子 由分析结果， 1.选第一个因子。由分析结果，对每一影响因 选第一个因子。 子x与因变量y建立一元线性回归方程。由显著 与因变量y建立一元线性回归方程。 性检验来接纳因子进入回归方程。 性检验来接纳因子进入回归方程。 2. 选第二个因子。对一元回归方程中已选入的 选第二个因子。 因子，加入另外一个因子， 因子，加入另外一个因子，建立二元线性回归 方程进行检验。 方程进行检验。