信息论与编码第5章分析
信息论及编码第5章
第五章 信源编码（第十讲）（2课时）主要内容：（1）编码的定义（2）无失真信源编码 重点：定长编码定理、变长编码定理、最佳变长编码。
难点：定长编码定理、哈夫曼编码方法。
作业：5。
2，5。
4，5。
6；说明：本堂课推导内容较多，枯燥平淡，不易激发学生兴趣，要注意多讨论用途。
另外，注意，解题方法。
多加一些内容丰富知识和理解。
通信的实质是信息的传输。
而高速度、高质量地传送信息是信息传输的基本问题。
将信源信息通过信道传送给信宿，怎样才能做到尽可能不失真而又快速呢？这就需要解决两个问题：第一，在不失真或允许一定失真的条件下，如何用尽可能少的符号来传送信源信息；第二，在信道受干扰的情况下，如何增加信号的抗干扰能力，同时又使得信息传输率最大。
为了解决这两个问题，就要引入信源编码和信道编码。
一般来说，提高抗干扰能力（降低失真或错误概率）往往是以降低信息传输率为代价的；反之，要提高信息传输率常常又会使抗干扰能力减弱。
二者是有矛盾的。
然而在信息论的编码定理中，已从理论上证明，至少存在某种最佳的编码或信息处理方法，能够解决上述矛盾，做到既可靠又有效地传输信息。
这些结论对各种通信系统的设计和估价具有重大的理论指导意义。
§3.1 编码的定义编码实质上是对信源的原始符号按一定的数学规则进行的一种变换。
讨论无失真信源编码，可以不考虑干扰问题，所以它的数学描述比较简单。
图 3.1是一个信源编码器，它的输入是信源符号},,,{21q s s s S ，同时存在另一符号},,,{21r x x x X ，一般来说，元素xj 是适合信道传输的，称为码符号（或者码元）。
编码器的功能就是将信源符号集中的符号s i （或者长为N 的信源符号序列）变换成由x j (j=1,2,3,…r)组成的长度为l i 的一一对应的序列。
输出的码符号序列称为码字，长度l i 称为码字长度或简称码长。
可见，编码就是从信源符号到码符号的一种映射。
若要实现无失真编码，则这种映射必须是一一对应的，并且是可逆的。
信息论与编码第五章部分PPT课件
符号概率
pi
0.100(1/2)
符号累积概率
Pr
0.000(0)
b 0.010(1/4) 0.100(1/2)
c 0.001(1/8) 0.110(3/4)
d 0.001(1/8) 0.111(7/8)
译码
C(abda)=0.010111<0.1[0,0.1] 第一个符号为a 放大至[0,1](×pa-1)：
可以纠正一位错码 dmin=3
可以纠正一位错码
可纠正一位错码同时 检出二位错码dmin=4
定理（1）能检出e个错码的条件是d0>=e+1;
（2）能纠正t个错码的条件是t=INT[(dmin-1)/2];
（3）能纠正t个错码，同时检出e个错码的条件是d0>=e+t+1。
刚才的发言，如 有不当之处请多指
正。谢谢大家！
2021/3/9
28
信源消息
符号ai
a1 a2 a3 a4 a5 a6 a7
符号概
率(ai)
0.20 0.19 0.18 0.17 0.15 0.10 0.01
累加概 -log p(ai)
率Pi
0 0.2 0.39 0.57 0.74 0.89 0.99
2.32 2.39 2.47 2.56 2.74 3.32 6.64
C ( ) 0, A( ) 1
C ( Sr
A
(
Sr
) )
C (S A(S
) )
pi
A(S
) Pr
L log 1 A(S )
C() 0, A() 1
C(Sr) A(Sr)
C(S) A(S)pi
A(S)Pr
信息论与编码第5章
信息论与编码第5章第五章信源编码（第⼗讲）（2课时）主要内容：（1）编码的定义（2）⽆失真信源编码重点：定长编码定理、变长编码定理、最佳变长编码。
难点：定长编码定理、哈夫曼编码⽅法。
作业：5。
2，5。
4，5。
6；说明：本堂课推导内容较多，枯燥平淡，不易激发学⽣兴趣，要注意多讨论⽤途。
另外，注意，解题⽅法。
多加⼀些内容丰富知识和理解。
通信的实质是信息的传输。
⽽⾼速度、⾼质量地传送信息是信息传输的基本问题。
将信源信息通过信道传送给信宿，怎样才能做到尽可能不失真⽽⼜快速呢？这就需要解决两个问题：第⼀，在不失真或允许⼀定失真的条件下，如何⽤尽可能少的符号来传送信源信息；第⼆，在信道受⼲扰的情况下，如何增加信号的抗⼲扰能⼒，同时⼜使得信息传输率最⼤。
为了解决这两个问题，就要引⼊信源编码和信道编码。
⼀般来说，提⾼抗⼲扰能⼒（降低失真或错误概率）往往是以降低信息传输率为代价的；反之，要提⾼信息传输率常常⼜会使抗⼲扰能⼒减弱。
⼆者是有⽭盾的。
然⽽在信息论的编码定理中，已从理论上证明，⾄少存在某种最佳的编码或信息处理⽅法，能够解决上述⽭盾，做到既可靠⼜有效地传输信息。
这些结论对各种通信系统的设计和估价具有重⼤的理论指导意义。
§3.1 编码的定义编码实质上是对信源的原始符号按⼀定的数学规则进⾏的⼀种变换。
讨论⽆失真信源编码，可以不考虑⼲扰问题，所以它的数学描述⽐较简单。
图 3.1是⼀个信源编码器，它的输⼊是信源符号},,, {21q s s s S =，同时存在另⼀符号},,,{21r x x x X =，⼀般来说，元素xj 是适合信道传输的，称为码符号（或者码元）。
编码器的功能就是将信源符号集中的符号s i （或者长为N 的信源符号序列）变换成由x j (j=1,2,3,…r)组成的长度为l i 的⼀⼀对应的序列。
输出的码符号序列称为码字，长度l i 称为码字长度或简称码长。
可见，编码就是从信源符号到码符号的⼀种映射。
《信息论与编码》第5章哈夫曼编码
什么是哈夫曼编码方法
1952年由美国计算机科学家戴维· 哈夫曼先生提出 是一种数据压缩技术 该方法依据字符出现的概率进行编码 ，其基本思想为： 出现概率高的字符使用较短的编码 出现概率低的则使用较长的编码 使编码之后的码字的平均长度最短
哈夫曼编码方法
哈夫曼编码方法包含两个过程
哈夫曼编码方法包含两个过程
编码过程和译码过程
编码过程 译码过程
构建哈夫曼树 CreatHT（W，&HT）
输入是字符频度表W
表中记录的是原码报文中出现的不同符号个数和频率
输出是哈夫曼树HT
进行哈夫曼译码 HuffmanDecod（HT，CC，W，&OC）
输入的是哈夫曼树HT、代码报文CC和字符频度表W 输出的是原码报文OC
OC
输出OC 到哈夫曼译码系统之外 返回开头
字母a的编码为110 字母n的编码为111
1
4 n
因此，在电文中出现频率 高的字母的编码相对短， 而出现频率低的字母的编 码相对长
111 字符编码表HC=((d,0),(i,10),(a,110),(n,111))
哈夫曼编码过程演示
编码 A1 A2 A3 0.23 0.21 0.18
1
0 1 0 1 0.10 0
编码过程和译码过程
编码过程
构建哈夫曼树 CreatHT（W，&HT）
输入是字符频度表W
表中记录的是原码报文中出现的不同符号个数和频率
输出是哈夫曼树HT
进行哈夫曼编码 HuffmanCoding（HT，&HC）
输入是哈夫曼树HT 输出是字符编码表HC
信息论与编码(第五章)
线性码
线性码是一类重要的纠错码，其生成矩阵和校验矩阵都是 线性矩阵。线性码具有较好的代数结构和高效的编码与解 码算法。
循环码
循环码是一类重要的纠错码，其生成多项式和校验多项式 都是循环的。循环码具有较低的编码复杂度和较好的检错 性能。
卷积码
卷积码是一种动态纠错码，适用于连续传输的信号。卷积 码通过对输入信号进行连续处理，能够提供更好的纠错性 能和更低的编码复杂度。
互信息的性质
互信息具有可加性、可 乘性和可数性，同时互 信息还具有非负性，即 对于任何两个随机变量 ，其互信息值都不小于 0。
条件互信息的概 念
条件互信息是在一个随 机变量给定的条件下， 两个随机变量之间的相 关性。
条件互信息的性 质
条件互信息具有可加性 、可乘性和可数性，同 时条件互信息还具有非 负性，即对于任何两个 随机变量和一个给定的 随机变量，其条件互信 息值都不小于0。
根据编码方式的不同，可以将纠错码分为卷积码和分组码。卷积码适 用于连续传输的信号，而分组码适用于离散的块状信号。
03
线性码
线性码的生成矩阵与校验矩阵
生成矩阵
线性码的生成矩阵是用于将信息比特 转化为码字的矩阵，其定义了码字的 生成方式。
校验矩阵
校验矩阵是用于计算码字校验位的矩 阵，通过校验矩阵可以确定码字的正 确性。
线性码的编码方法
线性编码
线性码的编码方法是将信息比特通过生成矩阵转换为码字的过程，生成的码字具有线性的性质。
编码规则
线性码的编码规则是按照特定的算法，将信息比特转换为具有固定长度的码字，确保生成的码字满足线性关系。
线性码的解码方法
错误检测与纠正
线性码的解码方法包括错误检测和纠正，通过校验矩阵可以检测出码字中的错误，并采取相应的措施 纠正错误。
信息论与编码第五章课后习题答案
第五章课后习题【5.1】某信源按43)0(=P ，41)1(=P 的概率产生统计独立的二元序列。
（1）试求0N ，使当0N N >时有01.005.0)()(≤≥−S H N I P i α 式中，)(S H 是信源的熵。
（2）试求当0N N =时典型序列集N G ε中含有的信源序列个数。
解：（1）该信源的信源熵为811.0)(log )()(=−=∑i i s p s p S H 比特/符号自信息的方差为4715.0811.04log 4134log 43)()]([)]([22222=−+=−=S H s I E s I D i i 根据等长码编码定理，我们知道δεα−≤≥−1)()(S H N I P i 根据给定条件可知，05.0=ε，99.0=δ。
而[]2)(εδN s I D i =因此[]5.19099.0*05.04715.0)(220==≥δεi s I D N 取1910=N 。
（2）ε典型序列中信源序列个数取值范围为：])([])([22)1(εεεδ+−<<−S H N N S H N G代入上述数值得451.164351.1452201.0<<×N G ε【5.2】有一信源，它有六个可能的输出，其概率分布如下表所示，表中给出了对应的码A 、B 、C 、D 、E 和F 。
表5.2消息 )(i a P A B C D E F 1a 1/2 000 0 0 0 0 0 2a 1/4 001 01 10 10 10 100 3a 1/16 010 011 110 110 1100 101 4a 1/16 011 0111 1110 1110 1101 110 5a 1/16 100 01111 11110 1011 1110 111 6a1/1610101111111111011011111011（1） 求这些码中哪些是惟一可译码； （2） 求哪些码是非延长码（即时码）； （3） 求对所有惟一可译码求出其平均码长L 。
信息论与编码-曹雪虹-第五章-课后习题答案
信息论与编码-曹雪虹-第五章-课后习题答案第五章(2) 哪些码是⾮延长码？(3) 对所有唯⼀可译码求出其平均码长和编译效率。
解：⾸先，根据克劳夫特不等式，找出⾮唯⼀可译码31123456231244135236:62163:22222216463:164:22421:2521:2521C C C C C C --------------?<+++++=<<++?=+?>+?<5C ∴不是唯⼀可译码，⽽4C ：⼜根据码树构造码字的⽅法1C ，3C ，6C 的码字均处于终端节点∴他们是即时码(1) 因为A,B,C,D四个字母,每个字母⽤两个码,每个码为0.5ms, 所以每个字母⽤10ms当信源等概率分布时,信源熵为H(X)=log(4)=2平均信息传递速率为bit/ms=200bit/s(2) 信源熵为H(X)==0.198bit/ms=198bit/s5-541811613216411281128H(U)=1 2Log2() 14Log4() +18Log8() +116Log16 ()+132Log32 ()Log64()+1128Log128()+1128Log128()+ 1.984= (2) 每个信源使⽤3个⼆进制符号,出现0的次数为出现1的次数为P(0)=P(1)=(3)相应的费诺码（5）⾹农码和费诺码相同平均码长为编码效率为：5-11（1）信源熵（2）⾹农编码：平均码长：编码效率为（3）平均码长为：编码效率：4平均码长为：编码效率：5.16 已知⼆元信源{0，1}，其p0=1/4,p1=3/4,试⽤式（4.129）对序列11111100编算术码，并计算此序列的平均码长。
解：根据算术编码的编码规则，可得：P(s=11111100) = P2(0)P6(1) = (3/4)6 (1/4)27)(1log =??=S P l根据（4.129）可得：F(S) = P(0) + P(10) + P(110) + P(1110) + P(11110) + P(111110) = 1–∑≥sy y P )(= 1 – P(11111111) – P(11111110) – P(11111101) – P(11111100)= 1– P(111111) = 1– (3/4)6 = 0.82202 = 0.110100100111⼜P(S) = A(S)= 0.0000001011011001，所以F(S) + P(S) = 0.1101010 即得C = 0.1101010 得S 的码字为1101010平均码长L 为 0.875。
信息论与编码技术第五章课后习题答案
信源符 符 号 概 第一次 第二次 第三次 第四次 第五次 第 六 次 第 七 次 二元码
号 xi 率 pi
分组 分组 分组 分组 分组 分组 分组
x1
1/2
0
0
x2
1/4
0
10
x3
1/8
0
110
x4
1/16
0
1110
x5
1/32
1
0
1
x6
1/64
1
0
1
x7
1/128
1
1
x8
1/128
（5）香农码和费诺码相同
(1/8)+0* (1/8)＝2/3
p0 ＝p(0| a0)*p(a0)+ p(0| a1)*p(a1)+ p(0| a2)*p(a2)+ p(0| a3)*p(a3)=1*(1/2)+ (1/2)* (1/4)+ (1/3)* (1/8)+0*
(1/8)＝2/3
p1 ＝p(1| a0)*p(a0)+ p(1| a1)*p(a1)+ p(1| a2)*p(a2)+ p(1| a3)*p(a3)=0*(1/2)+ (1/2)* (1/4)+ (2/3)* (1/8)+1*
8
∑ 解：（1） H ( X ) = − pi log pi = 1.984 （bit/信源符号） i
(2) 每个信源使用 3 个二进制符号，
出现 0 的次数为：
出现 1 的次数为：
所以：P(0)=
，P(1)=
(3) 因为 K = 3 ，所以 η = 0.661
(4) 相应的香农编码 信 源 符 号 符 号 概 率 累 加 概 率 -Logp(xi)
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5.1 编码的定义
如果信源输出符号序列长度L＝1，信源符号集 A(a1， a2，…，an) 信源概率空间为
X P
a1 p(a1)
a2 p(a2)
an p(an )
若将信源X通过二元信道传输，就必须把信源符号ai 变换成由0,1符号组成的码符号序列，这个过程就是
信源编码
5.1 编码的定义
(3) 唯 一 可 译 码 中 又 分 为 非 即 时 码 和 即 时 码 (Instantaneous Codes)： 如果接收端收到一个完整的码字后，不能立即译码， 还需等下一个码字开始接收后才能判断是否可以译 码，这样的码叫做非即时码
5.1 编码的定义
即时码：只要收到符号就表示该码字已完整，可以立即 译码
通常可用码树来表示各码字的构成
节点 notes
树根root 0树枝 orde Nhomakorabeas 10
1
0
1
01
01
01
01
0 1 0 10 10 1 0 10 10 1 0 1
二进制码树
终端节点 terminal nodes
5.1 编码的定义
0
1
2
0 1 2 01 2 01 2 01 2
01 2
三进制码树
5.1 编码的定义
唯一可译码存在的充分和必要条件是各码字的长 度Ki （码元个数）应符合克劳夫特不等式(Kraft Inequality)： n
m－Ki 1
i 1
其中m为进制数，n为信源符号数，Ki为各码字的长度 （码元个数） 必要性——体现在如果是唯一可译码，则一定满足该不等式 充分性——体现在如果满足该不等式，则这种码长的唯一可 译码一定存在，但并不表示所有满足Kraft不等式的码一定是 唯一可译码
第5章 信源编码
信源编码的主要任务：由于信源符号之间存在分布不均 匀和相关性，使得信源存在冗余度，信源编码的主要任 务就是减少冗余，提高编码效率 信源编码的基本途径： 使序列中的各个符号尽可能地互相独立，即解除相关性； 使编码中各个符号出现的概率尽可能地相等，即概率均 匀化
第5章 信源编码
信源编码的理论基础是信息论中的两个编码定理： 无失真编码定理 限失真编码定理
表5-2中的码1是奇异码，码2是非奇异码
表5-2 码的不同属性
信源符号ai 符号出现概率p(ai) 码1 码2 码3
a1
1/2
0
0
1
a2
1/4
11 10
10
a3
1/8
00 00 100
a4
1/8
11 01 1000
码4 1
01 001 0001
5.1 编码的定义
(2) 唯一可译码 (Uniquely Decodable Codes) 任意有限长的码元序列，只能被唯一地分割成一个个 的码字，便称为唯一可译码
码可分为两类：
1、固定长度的码，码中所有码字的长度（码元个数）都 相同，如表5-1中的码1就是定长码(Fixed Length
Codes)
2、可变长度码，码中的码字长短不一，如表中码2就是
变长码(Variable Length Codes)
表5-1 变长码与定长码
信源符号ai 信源符号出现概率p(ai)
第5章 信源编码
编码(Coding)分为信源编码(Source Coding)和信道编码 (Channel Coding)，其中信源编码又分为无失真信源编码 和限失真信源编码 一般称
无失真信源编码定理为Shannon第一极限定理； 信道编码定理（包括离散和连续信道）称为Shannon第 二极限定理； 限失真信源编码定理称为Shannon第三极限定理
5.1 编码的定义
X
Y
信源
编码器
信道
码符号(元)
X——信源符号(Source Symbol)序列 Y——码字(Codeword)序列
图5-1 信源编码器示意图
信源编码是指信源输出的信源符号经信源编码器编码后 转换成另外的压缩符号(码字Codeword) 无失真信源编码：可精确无失真地复制信源输出的消息
5.1 编码的定义
将信源消息分成若干组，即符号序列 xi， xi＝(xi1xi2…xil…xiL)， xilA={a1，a2，…，ai，…，an}
每个符号序列xi依照固定码表映射成一个码字yi， yi＝(yi1yi2…yil…yiL)， yilB={b1，b2，…，bi，…，bm}
这样的码称为分组码(Block Codes)，也叫块码 只有分组码才有对应的码表，而非分组码中则不存在码表
∆无失真编码只适用于离散信源 ∆对于连续信源，只能在失真受限制的情况下进行限失真 编码
第5章 信源编码
本章主意讨论离散信源编码 首先从无失真编码定理出发，重点讨论以香农(Shannon) 码、费诺(Fano)码和霍夫曼(Huffman)码为代表的几种无 失真信源码 然后介绍限失真编码定理 最后简单介绍了一些常用的信源编码方法
即时码又称为非延长码(Undelayed Codes)，任意一个码 字都不是其它码字的前缀部分，有时叫做异前缀码(Prefix Codes)
非分组码
码
奇异码 非唯一可译码
分组码 非奇异码 唯一可译码
非即时码
即时码(非延长码)
5.1 编码的定义
码 分组码 非奇异码 唯一可译码
即时码
紧致码（最佳码）
5.1 编码的定义
码表
码1
码2
a1
p(a1)
00
0
a2
p(a2)
01
01
a3
p(a3)
10
001
a4
p(a4)
11
111
5.1 编码的定义
码的属性及分类
(1) 奇 异 码 (Singular Codes) 和 非 奇 异 码 (Nonsingular Codes) 若信源符号和码字是一一对应的，则该码为非 奇异码, 反之为奇异码
5.1 编码的定义
0
a4=000
{1，01，001，000}
惟一可译码；
0
1
{1，01，101，010}
0
1 a1=1
不是惟一可译码；
均满足克劳夫特不等式
1
a2=01
a3=011
4
2Ki 21 22 23 23 1
i 1
克劳夫特不等式只是用来说明唯一可译码是否存在， 并不能作为唯一可译码的判据。
所以说，该不等式是唯一可译码存在的充要条件
5.1 编码的定义
例5.1 (p.88) 设二进制码中ai (a1, a2 ,a3 , a4)，K1＝1，
K2＝2，K3＝2，K4＝3，应用Kraft定理判断是否可能
是唯一可译码
解： 4 2Ki 21 22 22 23 9 1
i 1
8
因此不存在满足这种Ki的唯一可译码。