初中数学：几何图形中的动点与最值问题
初中数学常见几何动点问题专题分类归纳汇总
初中数学常见几何动点问题专题分类归纳汇总近几年有关“线段最值”的中考试题层出不穷，形式多样，往往综合了几何变换、函数等方面的知识，具有一定的难度，具有很强的探索性，通过研究发现，这些问题尽管形式多样、背景复杂、变化不断，但都可以通过几何变换转化为常见的基本问题.最值题目类型多:作图、计算;求和最小,差最大;求周长最小、求时间最短;求最值、已知最值求待定系数等;对称载体多，几乎涉及到初中全部的轴对称图形(角、线段、等腰三角形、等腰梯形、菱形、正方形、抛物线、圆、坐标轴)我们知道“对称、平移、旋转”是三种保形变换．通过这三种几何变换可以实现图形在保持形状、大小不变的前提下而使其位置发生变化，具有更紧凑的位置关系或组合成新的有利论证的基本图形.通过几何变换移动线段的位置是解决最值问题的有效手段，题目是千变万化的，但是运用几何变换把最值问题转化为基本问题却是不变的．数学问题是千变万化的，几何变换的应用也不是单一的，有些问题需要多种变换的组合才能解决，看看以下策略对解决问题能否奏效．(1)去伪存真．剔除不变的线段，看清楚究竟是几段和的最小值问题，必须仔细研究题目的背景，搞清楚哪些是动点、哪些是定点、哪些是定长．(2)科学选择．捕捉题目的信号，探索变换的基础，选择变换的手段．平移把不“连”的线段“接”起来，旋转把“碰头”的线段“展”开来重“接”，对称把在同侧的线段翻折过去重组，因此“不连─平移、碰头─旋转、同侧─对称”是一般的思路;对称变换的基础是轴对称图形，平移变换的基础是平行线，旋转变换的基础是等线段，所以选择哪种几何变换还要看题目中具备何种变换的基础信息．(3)怎么变换?对称变换一般以动点所在直线为对称轴，构建定点(直线)的对称点(直线)，如有多个动点就必须作多次变换;平移一般是移动没有公共端点的两条线段中的某一条，与另一条对“接”;旋转变换一般以定点为旋转中心旋转60°或90°．(4)怎么求值?几何变换成了“两折线”或“三折线”后，根据“两点之间线段最短”或“垂线段最短”把“折线”转“直”，找出最短位置，求出最小值．忠告:任何数学知识,都必须立足于基础，以教材为根本.本作品所涉及的内容灵活性较强,难度较大,若挑选一二拓宽视野，尚有营养，如忽视基础，以难题为主，则贻害无穷！请慎之！慎之！！再慎之！！！目录一．一条线段最值.1．单动点型 (3)1.1动点运动轨迹──直线型 (3)1.2动点运动轨迹──圆或圆弧型 (8)1.2.1定点定长 (8)1.2.2定弦定角 (11)1.3动点轨迹为其他曲线，构造三角形 (17)2．双动点型 (19)2.1利用等量代换实现转化 (19)2.2利用和差关系实现转化 (20)2.3利用勾股定理实现转 (20)2.4利用三角形边角关系实现转 (21)二．两条线段最值 (21)1．P A＋PB型 (21)1.1两定一动(将军饮马) (21)1.2两定两动 (28)过河造桥 (28)四边形周长最小 (29)一定两动 (31)两动点不随动 (31)1.4三动点 (33)2．PA＋kPB型 (34)2.1“胡不归”模型 (34)2.2阿氏圆 (42)三．“费马点”模型 (47)线段极值解题方略 (54)编后语 (55)一．一条线段最值1．单动点型所谓的单动点型指:所求线段两端点中只有一个动点的最值问题.通常解决这类问题的思考步骤为三步:(一)分析“源动点”的不变量．(二)分析“从动点”与“源动点”问关系．(三)分析“从动点”的不变量．1.1动点运动轨迹─直线型．动点轨迹为一条直线，利用“垂线段最短”．例1．如图1，在Rt △ABC 中，∠CAB ＝30°，BC ＝1，D 为AB 上一动点(不与点A 重合)，△AED 为等边三角形，过D 点作DE 的垂线，F 为垂线上任一点，G 为EF 的中点，则线段CG 长的最小值是．方法指导:1.当动点的运动轨迹是一条直线(射线、线段)时，可运用“垂线段最短”性质求线段最值.2.有时动点轨迹不容易确定，如例1，建议看到“中点”联想“三角形的中位线及直角三角形斜边上的中线”等性质．3.试着观察“动点运动到一些特殊位置时，该动点与其他定点连结的线段是否与已知边有一‘定角’产生”，若成立，则动点轨迹为直线”．如何在动态问题中找寻“不变量”特征是突破这类问题的关键．①当一个点的坐标以某个字母的代数式表示，若可化为一次函数，则点的轨迹是直线;1.在平面直角坐标系中，点P (0，2)，点M (m －1，－34m －94)(其中m 为实数)，当PM 的长最小时，m 的值为．2.如图，在平面直角坐标系中，A (1，4)，B (3，2)，C (m ，－4m ＋20)，若OC 恰好平分四边形．．．O ．ACB ．．．的面积，求点C 的坐标.②当某一动点到某条直线的距离不变时，该动点的轨迹为直线；1.如图，矩形ABCD中，AB＝6，AD＝8，点E在边AD上，且AE:ED＝1:3．动点P从点A出发，沿AB运动到点B停止．EF⊥PE交射线BC于F，设M是线段EF的中点，则在点P运动的整个过程中，点M运动路线的长为．（第1题图）（变式1图）（变式2图）【变式1】如图，矩形ABCD中，AB＝6，AD＝8，点E在BC边上，且BE:EC＝1:3．动点P从点B出发，沿BA运动到点A停止．EF⊥PE交AD边或CD边于点F，设M 是线段EF的中点，则在点P运动的整个过程中，点M运动路线的长为．【变式2】如图，在矩形ABCD中，点P在AD上，AB＝2，AP＝1，E是AB上的一个动点，连接PE，过点P作PE的垂线，交BC于点F，连接EF，设EF的中点为G，当点E从点B运动到点A时，点G移动的路径的长是．【变式3】在矩形ABCD中，AB＝4，AD＝6，P是AD边的中点，点E在AB边上，EP 的延长线交射线CD于F点，过点P作PQ⊥EF，与射线BC相交于点Q．(1)如图1，当点Q在点C时，试求AE的长；(2)如图2，点G为FQ的中点，连结PG．①当AE＝1时，求PG的长；②当点E从点A运动到点B时，试直接写出线段PG扫过的面积．（变式3图1）（变式3图2）（变式3备用图）AB＝1．点P是线段CD上一个动点，2．如图，C，D是线段AB上两点，且AC＝BD＝16在AB同侧分别作等边△PAE和等边△PBF，M为线段EF的中点，在点P从点C移动到点D时，点M运动的路径长度为．（第2题图）（变式1图）（变式2图）（变式3图）【变式1】已知AB＝10，点C，D在线段AB上且AC＝DB＝2；P是线段CD上的动点，分别以AP，PB为边在线段AB的同侧作正方形APEF和正方形PBGH，点Q1和Q2是这两个正方形的中心，连接Q1Q2，设Q1Q2的中点为Q；当点P从点C运动到点D时，则点Q移动路径的长是．【变式2】等边△ABC中，BC＝6，D，E是边BC上两点，且BD＝CE＝1，点P是线段DE 上的一个动点，过点P分别作AC，AB的平行线交AB，AC于点M，N，连接MN，AP交于点G，则点P由点D移动到点E的过程中，线段BG扫过的区域面积为．【变式3】如图，四边形ABHK是边长为6的正方形，点C，D在边AB上，且AC＝DB＝1，点P是线段CD上的动点，分别以AP，PB为边在线段AB的同侧作正方形AMNP和正方形BRQP，点E，F分别为MN，QR的中点，连接EF，设EF的中点为G，则当点P从点C运动到点D时，点G移动的路径长为．3．如图，已知在四边形ABCD中，AD∥BC，AB⊥BC，AD＝1，AB＝2，BC＝3，P为AB边上的一动点，连接PD并延长到点E，使得PD:PE＝1:3，以PE，PC为边作□PEFC，连接PF，则PF的最小值为．（第3题图）（延伸题图）【延伸】在四边形ABCD中，AB∥CD，BC⊥CD，AB＝3，CD＝4，在BC上取点P(P不与B，C重合)，连接PA延长至E，使PE:PA＝x:1，连接PD并延长到F，使PF:PD＝y:1(x，y＞1)，以PE，PF为边作平行四边形，另一个顶点为G，求PG长度的最小值(用x，y表示)．【同型练】如图，已知□OABC的顶点A，C分别在直线x＝1和x＝4上，O是坐标原点，则对角线OB长的最小值为③当某一动点与定线段一个端点连接后成的角度不变，则该动点轨迹是直线．1．如图，△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，∠BAC＝∠DAE＝90°，AB＝AC＝2，点O为AC中点，若点D在直线BC上运动，连接OE，则在点D运动过程中，线段OE 的最小值是【变式1】如图，边长为2a的等边△ABC中，M是高CH所在直线上的一个动点，连接MB，将线段BM绕点B逆时针旋转60°得到BN，连接HN．则在点M运动过程中，线段BN长度的最小值是2．在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝4，M为AB的中点.D是射线BC上一个动点，连接AD，将线段AD绕点A逆时针旋转90°得线段AE，连接ED，N为ED的中点，连AN，MN.(1)如图1，当BD＝2时，AN＝____，NM与AB的位置关系是___(2)当4＜BD＜8时，①依题意补全图2;②判断(1)中NM与AB的位置关系是否发生变化，并证明你的结论;(3)连接ME，在点D运动的过程中，求ME的长的最小值?3.在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝2，线段BC上一动点P从C点开始运动到B点停止，以AP为边在AC的右侧做等边△APQ，则Q点运动的路径长为【秒杀训练】1.如图，点A的坐标为(－1，0)，点B在直线y＝x上运动，当线段AB最短时，点B的坐标为()2.如图，⊙O的半径为2，点O到直线l的距离为3，点P是直线l上的一个动点，PQ切⊙O于点Q，则PQ的最小值为()3．如图，等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AD＝AB＝CD＝2，∠C＝60°，M是BC的中点．(1)求证：△MDC是等边三角形；(2)将△MDC绕点M旋转，当MD(即MD′与AB交于一点E，MC(即MC′)同时与AD交于一点F时，点E，F和点A构成△AEF．试探究△AEF的周长是否存在最小值．如果不存在，请说明理由；如果存在，请计算出△AEF周长的最小值．1.2动点运动轨迹──圆或圆弧型动点轨迹为定圆，利用三点共线方法指导:1.当动点的轨迹是定圆时，可利用“一定点与圆上的动点距离最大值为定点到.圆心的距离与半径和，最小值为定点到圆心的距离与半径差”性质求解.2.试着观察“动点与其他定点连结的线段长是否为‘定值’或动点与两定点构成的角是否为直角”，这是常见判断动点轨迹是圆的条件。
初中数学最值问题解题技巧,初中几何最值问题方法归纳总结
几何最值问题大一统追本溯源化繁为简目有千万而纲为一，枝叶繁多而本为一。
纲举则目张，执本而末从。
如果只在细枝末节上下功夫，费了力气却讨不了好。
学习就是不断地归一，最终以一心一理贯通万事万物，则达自由无碍之化境矣（呵呵，这境界有点高，慢慢来）。
关于几何最值问题研究的老师很多，本人以前也有文章论述，本文在此基础上再次进行归纳总结，把各种知识、方法、思想、策略进行融合提炼、追本溯源、认祖归宗，以使解决此类问题时更加简单明晰。
一、基本图形所有问题的老祖宗只有两个：①[定点到定点]：两点之间，线段最短；②[定点到定线]：点线之间，垂线段最短。
由此派生：③[定点到定点]：三角形两边之和大于第三边；④[定线到定线]：平行线之间，垂线段最短；⑤[定点到定圆]：点圆之间，点心线截距最短（长）；⑥[定线到定圆]：线圆之间，心垂线截距最短；⑦[定圆到定圆]：圆圆之间，连心线截距最短（长）。
余不赘述，下面仅举一例证明：[定点到定圆]：点圆之间，点心线截距最短（长）。
已知⊙O半径为r，AO=d，P是⊙O上一点，求AP的最大值和最小值。
证明：由“两点之间，线段最短”得AP≤AO+PO，AO≤AP+PO，得d-r≤AP≤d+r，AP最小时点P在B处，最大时点P在C处。
即过圆心和定点的直线截得的线段AB、AC分别最小、最大值。
(可用“三角形两边之和大于第三边”，其实质也是由“两点之间，线段最短”推得）。
上面几种是解决相关问题的基本图形，所有的几何最值问题都是转化成上述基本图形解决的。
二、考试中出现的问题都是在基本图形的基础上进行变式，如圆与线这些图形不是直接给出，而是以符合一定条件的动点的形式确定的；再如过定点的直线与动点所在路径不相交而需要进行变换的。
类型分三种情况：（1）直接包含基本图形；（2）动点路径待确定；（3）动线（定点）位置需变换。
（一）直接包含基本图形。
AD一定，所以D是定点，C是直线的最短路径，求得当CD⊥AC时最短为是定点，B'是动点，但题中未明确告知B'点的运动路径，所以需先确定B'点运动路径是什么图形，一般有直线与圆两类。
中考数学几何最值问题题型梳理
中考数学几何最值问题题型梳理专题1 单线段最值之单动点型例题．如图，矩形ABCD 中，4AB =，6BC =，点P 是矩形ABCD 内一动点，且∆∆=PAB PCD S S ，则PC PD +的最小值为_____．【解析】ABCD 为矩形，AB DC ∴= 又=PAB PCD S S∴点P 到AB 的距离与到CD 的距离相等，即点P 线段AD 垂直平分线MN 上， 连接AC ，交MN 与点P ，此时PC PD +的值最小，且PC PD AC +=====巩固1．如图，等腰Rt △ABC 中，斜边AB 的长为2，O 为AB 的中点，P 为AC 边上的动点，OQ ⊥OP 交BC 于点Q ，M 为PQ 的中点，当点P 从点A 运动到点C 时，点M 所经过的路线长为（ ）ABC ．1D ．2【解析】连接OC ，作PE ⊥AB 于E ，MH ⊥AB 于H ，QF ⊥AB 于F ，如图，∵△ACB 为到等腰直角三角形，∴AC =BC=2AB，∠A =∠B =45°， ∵O 为AB 的中点，∴OC ⊥AB ，OC 平分∠ACB ，OC =OA =OB =1，∴∠OCB =45°， ∵∠POQ =90°，∠COA =90°，∴∠AOP =∠COQ ，在Rt △AOP 和△COQ 中，A OCQ AO COAOP COQ ∠=∠=∠=∠⎧⎪⎨⎪⎩，∴Rt △AOP ≌△COQ ，∴AP =CQ ， 易得△APE 和△BFQ 都为等腰直角三角形，∴PE=2AP=2CQ ，QF2BQ ， ∴PE +QF=2，CQ +BQ，=2BC=2∵M 点为PQ 的中点， ∴MH 为梯形PEFQ 的中位线，∴MH =12，PE +QF ，=12，即点M 到AB 的距离为12， 而CO =1，∴点M 的运动路线为△ABC 的中位线，∴当点P 从点A 运动到点C 时，点M 所经过的路线长=12AB =1，选C ， 巩固2．如图，在平面内，线段AB =6，P 为线段AB 上的动点，三角形纸片CDE 的边CD 所在的直线与线段AB 垂直相交于点P ，且满足PC =P A ．若点P 沿AB 方向从点A 运动到点B ，则点E 运动的路径长为______，【解析】如图，由题意可知点C运动的路径为线段AC′，点E运动的路径为EE′，由平移的性质可知AC′=EE′，在Rt，ABC′中，易知AB=BC′=6，∠ABC′=90°，，EE′=AC巩固3．如图，等边三角形ABC的边长为4，点D是直线AB上一点．将线段CD绕点D顺时针旋转60°得到线段DE，连结BE．（1）若点D在AB边上（不与A，B重合）请依题意补全图并证明AD=BE；（2）连接AE，当AE的长最小时，求CD的长．【解析】（1）补全图形如图1所示，AD=BE，理由如下：∵∵ABC是等边三角形，∵AB=BC=AC，∠A=∠B=60°，由旋转的性质得：∠ACB=∠DCE=60°，CD=CE，∵∠ACD=∠BCE，∵∵ACD≌∵BCE（S A S），∵AD=BE．（2）如图2，过点A作AF⊥EB交EB延长线于点F．∵∵ACD≌∵BCE，∵∠CBE=∠A=60°，∵点E的运动轨迹是直线BE，根据垂线段最短可知：当点E与F重合时，AE的值最小，此时CD=CE=CF，∵∠ACB=∠CBE=60°，∵AC∥EF，又∵AF⊥BE，∵AF⊥AC，在Rt∵ACF中，∵CF∵CD=CF=.例题．如图，点D 在半圆O 上，半径5OB =，4=AD ，点C 在弧BD 上移动，连接AC ，作DH AC ⊥，垂足为H ，连接BH ，点C 在移动的过程中，BH 的最小值是______．【解析】如图，设AD 的中点为点E ，则114222EA ED AD ===⨯= 由题意得，点H 的运动轨迹在以点E 为圆心，EA 为半径的圆上由点与圆的位置关系得：连接BE ，与圆E 交于点H ，此时BH 取得最小值，2EH = 连接BDAB 为半圆O 的直径，90ADB ∴∠=︒BD ∴===BE ∴===2BH BE EH ∴=-=巩固1．如图，长方形ABCD 中，AB =6，BC =4，在长方形的内部以CD 边为斜边任意作Rt ∵CDE ，连接AE ，则线段AE 长的最小值是_____．【解析】如图，点E '在以点F 为圆心，DF 为半径的圆上运动，当A ,E ,F 三点共线时，AE 值最小，DF =12×6=3，在长方形ABCD 中，AD =BC =4，由勾股定理得：AF ． ∵EF =12CD =12×6=3，∵AE =AF ﹣EF =5﹣3=2，即线段AE 长的最小值是2．巩固3．如图，Rt ABC △中，AB BC ⊥，6AB =，4BC =，P 是ABC △内部的一个动点，且满足90PAB PBA ︒∠+∠=，则线段CP 长的最小值为________.【解析】∵∠P AB +∠PBA =90°，∵∠APB =90°，∵点P 在以AB 为直径的弧上（P 在∵ABC 内），设以AB 为直径的圆心为点O ，如图，接OC ，交∵O 于点P ，此时的PC 最短∵AB =6，∵OB =3，∵BC =4，∵5OC ==，∵PC =5-3=2巩固4．如图，在Rt ABC ∆中，90︒∠=C ，4AC =，3BC =，点O 是AB 的三等分点，半圆O 与AC 相切，M ，N 分别是BC 与半圆弧上的动点，则MN 的最小值和最大值之和是（ ）A ．5B ．6C ．7D ．8【解析】如图，设∵O 与AC 相切于点D ，连接OD ，作OP BC ⊥垂足为P 交∵O 于F ， 此时垂线段OP 最短，PF 最小值为OP OF -，∵4AC =，3BC =，∵5AB =，∵90OPB ︒∠=，∵OP AC ∥∵点O 是AB 的三等分点，∵210533OB =⨯=，23OP OB AC AB ==，∵83OP =， ∵∵O 与AC 相切于点D ，∵OD AC ⊥，∵OD BC ∥，∵13OD OA BC AB ==，∵1OD =， ∵MN 最小值为85133OP OF -=-=， 如图，当N 在AB 边上时，M 与B 重合时，MN 经过圆心，经过圆心的弦最长， MN 最大值1013133=+=，513+=633,∵MN 长的最大值与最小值的和是6．选B ． 巩固5．如下图所示，在矩形纸片ABCD 中，2AB =，3AD =，点E 是AB 的中点，点F 是AD 边上的一个动点，将AEF 沿EF 所在直线翻折，得到'A EF △，则'A C 的长的最小值是( )A ．2B ．3C 1D 1【解析】以点E 为圆心，AE 长度为半径作圆，连接CE ，当点'A 在线段CE 上时，A'C 的长取最小值，如图所示，根据折叠可知：112A'E AE AB ===．在Rt BCE △中，112BE AB ==，3BC =，90B ∠=，CE ∴，A'C ∴的最小值1CE A'E =-=．选D ．技法1：借助直角三角形斜边上的中线例题1．如图，在∵ABC 中，∠C =90°，AC =4，BC =2，点A 、C 分别在x 轴、y 轴上，当点A在x 轴上运动时，点C 随之在y 轴上运动，在运动过程中，点B 到原点的最大距离是（ ）A ．6B ．C ．D ．【解析】如图，取CA 的中点D ，连接OD 、BD ，则OD =CD =AC =×4=2，由勾股定理得，BD ==2，当O 、D 、B 三点共线时点B 到原点的距离最大，所以，点B 到原点的最大距离是2+2．技法2：借助三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边例题2．如图，已知等边三角形ABC 边长为A 、B 分别在平面直角坐标系的x 轴负半轴、轴的正半轴上滑动，点C 在第四象限，连接OC ，则线段OC 长的最小值是（ ）A 1B ．3C ．3D 【解析】如图所示：过点C 作CE ⊥AB 于点E ，连接OE ，∵∵ABC 是等边三角形，∵CE =AC ×si n 60°=3=，AE =BE ，∵∠AOB =90°，∵EO 12=AB =∵EC -OE ≥OC ， ∵当点C ，O ，E 在一条直线上，此时OC 最短，故OC 的最小值为：OC ＝CE ﹣EO ＝3B ．巩固1．如图，∠MON =90°，矩形ABCD 的顶点A 、B 分别在边OM 、ON 上，当B 在边ON 上运动时，A 随之在OM 上运动，矩形ABCD 的形状保持不变，其中AB =4，BC =2.运动过程中点D 到点O 的最大距离是______．【解析】如图，取AB 的中点E ，连接OE 、DE 、OD ，∵OD ≤OE +DE ，∵当O 、D 、E 三点共线时，点D 到点O 的距离最大，此时，∵AB =4，BC =2，∵OE =AE =12AB =2，DE=∵OD 的最大值为，巩固2．如图，在Rt ABC ∆中，90ACB ∠=，将ABC ∆绕顶点C 逆时针旋转得到'',A B C M ∆是BC 的中点，N 是''A B 的中点，连接MN ，若4,60BC ABC =∠=︒，则线段MN 的最大值为（ ）A ．4B ．8C ．D ．6【解析】连接CN ，∵将ABC ∆绕顶点C 逆时针旋转得到''A B C ∆，∵''=90A CB ACB ∠=∠︒，''460'B C BC A B C ABC ==∠=∠=︒，，∵'30A ∠=︒，''8A B =，∵N 是''A B 的中点，∵1''42CN A B ==， ∵在△CMN 中，MN ＜CM +CN ，当且仅当M ，C ，N 三点共线时，MN =CM +CN =6， ∵线段MN 的最大值为6．选D ．技法3：借助构建全等图形例题3．如图，在∵ABC 中，∠ACB ＝90°，∠A ＝30°，AB ＝5，点P 是AC 上的动点，连接BP ，以BP 为边作等边∵BPQ ，连接CQ ，则点P 在运动过程中，线段CQ 长度的最小值是______．【解析】如图，取AB 的中点E ，连接CE ，PE ．∵∠ACB =90°，∠A =30°，∵∠CBE =60°， ∵BE =AE ，∵CE =BE =AE ，∵∵BCE 是等边三角形，∵BC =BE ，∵∠PBQ =∠CBE =60°， ∵∠QBC =∠PBE ，∵QB =PB ，CB =EB ，∵∵QBC ≌∵PBE （S A S ），∵QC =PE ，∵当EP ⊥AC 时，QC 的值最小，在Rt ∵AEP 中，∵AE =52，∠A =30°，∵PE =12AE =54，∵CQ 的最小值为54．巩固4．如图，边长为12的等边三角形ABC 中，M 是高CH 所在直线上的一个动点，连结MB ，将线段BM 绕点B 逆时针旋转60°得到BN ，连结HN ．则在点M 运动过程中，线段HN 长度的最小值是（ ）A ．6B ．3C ．2D ．1．5【解析】如图，取BC 的中点G ，连接M G ，∵旋转角为60°，∵∠MBH +∠HBN =60°， 又∵∠MBH +∠MBC =∠ABC =60°，∵∠HBN =∠G BM ，∵CH 是等边∵ABC 的对称轴，∵HB =12AB ，∵HB =B G ，又∵MB 旋转到BN ，∵BM =BN ， 在∵MB G 和∵NBH 中，BG BH MBG NBH MB NB =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∵∵MB G ≌∵NBH （S A S ），∵M G=NH ，根据垂线段最短，当M G ⊥CH 时，M G 最短，即HN 最短，此时∠BCH =12×60°=30°，C G=12AB =12×12=6，∵M G=12C G=12×6=3，∵HN =3；选B ． 技法4：借助中位线例题4．如图，在等腰直角∆ABC 中，斜边AB 的长度为 8，以AC 为直径作圆，点P 为半圆上的动点，连接BP ，取BP 的中点M ，则CM 的最小值为（ ）A． B．CD．【解析】连接AP 、CP ，分别取AB 、BC 的中点E 、F ，连接EF 、EM 和FM ，，EM 、FM 和EF 分别是，ABP 、，CBP 和，ABC 的中位线，EM ∥AP ，FM ∥CP ，EF ∥AC ，EF =12AC ，，∠EFC =180°－∠ACB =90° ，AC 为直径，，∠APC =90°，即AP ⊥CP ，，EM ⊥MF ，即∠EMF =90°，点M 的运动轨迹为以EF 为直径的半圆上，取EF 的中点O ，连接OC ，点O即为半圆的圆心，当O 、M 、C 共线时，CM 最小，如图所示，CM 最小为CM 1的长，，等腰直角∆ABC 中，斜边 AB 的长度为 8，，AC =BC AB =，EF =12AC =FC =12BC =，OM 1=OF =12EF根据勾股定理可得OC =，CM 1=OC －OM 1即CM ，选C ．巩固5．如图，抛物线2119y x =-与x 轴交于A B ，两点，D 是以点()0,4C 为圆心，1为半径的圆上的动点，E 是线段AD 的中点，连接,OE BD ，则线段OE 的最小值是（ ）A ．2B ．2C ．52D ．3 【解析】∵2119y x =-，∵当0y =时，21019x =-，解得：=3x ±， ∵A 点与B 点坐标分别为：(3-，0)，(3，0)，即：AO =BO =3，∵O 点为AB 的中点，又∵圆心C 坐标为(0，4)，∵OC =4，∵BC 长度5=，∵O 点为AB 的中点，E 点为AD 的中点，∵OE 为∵ABD 的中位线，即：OE =12BD ， ∵D 点是圆上的动点，由图可知，BD 最小值即为BC 长减去圆的半径，∵BD 的最小值为4，∵OE =12BD =2，即OE 的最小值为2，选A . 专题2 单线段最值之双动点型技法1借助等量代换实现转化例题1．如图，ABC ∆中，90B ︒∠=，4AB =，3BC =，点D 是AC 上的任意一点，过点D 作DE AB ⊥于点E ，DF BC ⊥于点F ，连接EF ，则EF 的最小值是_________．【解析】连接BD ，90,B DE AB DF BC ︒∠=⊥⊥，∴四边形BEDF 是矩形。
中考数学压轴题专题07几何图形动点运动问题(学生版+解析版)
专题七几何图形动点运动问题【考题研究】几何动点运动问题，是以几何知识和具体的几何图形为背景，渗透运动变化的观点，通过点、线、形的运动，图形的平移、翻折、旋转等把图形的有关性质和图形之间的数量关系位置关系看作是在变化的、相互依存的状态之中，要求对运动变化过程伴随的数量关系的图形的位置关系等进行探究．对学生分析问题的能力，对图形的想象能力，动态思维能力的培养和提高有着积极的促进作用．动态问题，以运动中的几何图形为载体所构建成的综合题，它能把几何、三角、函数、方程等知识集于一身，题型新颖、灵活性强、有区分度，受到了人们的高度关注，同时也得到了命题者的青睐，动态几何问题，常常出现在各地的中考数学试卷中．【解题攻略】几何动点运动问题通常包括动点问题、动线问题、面动问题，在考查图形变换(含三角形的全等与相似)的同时常用到的不同几何图形的性质，以三角形四边形为主，主要运用方程、函数、数形结合、分类讨论等数学思想．【解题类型及其思路】动态几何特点----问题背景是特殊图形，考查问题也是特殊图形，所以要把握好一般与特殊的关系；分析过程中，特别要关注图形的特性（特殊角、特殊图形的性质、图形的特殊位置。
）动点问题一直是中考热点，近几年考查探究运动中的特殊性：等腰三角形、直角三角形、相似三角形、平行四边形、梯形、特殊角或其三角函数、线段或面积的最值。
利用动点（图形）位置进行分类，把运动问题分割成几个静态问题，然后运用转化的思想和方法将几何问题转化为函数和方程问题,利用函数与方程的思想和方法将所解决图形的性质（或所求图形面积）直接转化为函数或方程。
解题类型：几何动点运动问题常见有两种常见类型：(1)利用函数与方程的思想和方法将所解决图形的性质直接转化为函数或方程；(2)根据运动图形的位置分类，把动态问题分割成几个静态问题，再将几何问题转化为函数和方程问题【典例指引】类型一【探究动点运动过程中线段之间的数量关系】【典例指引1】在△ABC中，∠ACB＝45°，点D为射线BC上一动点（与点B、C不重合），连接AD，以AD为一边在AD右侧作正方形ADEF．（1）如果AB＝AC，如图1，且点D在线段BC上运动，判断∠BAD∠CAF（填“＝”或“≠”），并证明：CF⊥BD（2）如果AB≠AC，且点D在线段BC的延长线上运动，请在图2中画出相应的示意图，此时（1）中的结论是否成立？请说明理由；（3）设正方形ADEF的边DE所在直线与直线CF相交于点P，若AC＝42，CD＝2，求线段CP的长．【举一反三】如图1，点C在线段AB上，（点C不与A、B重合），分别以AC、BC为边在AB同侧作等边三角形ACD和等边三角形BCE，连接AE、BD交于点P（1）观察猜想：①线段AE与BD的数量关系为_________；②∠APC的度数为_______________（2）数学思考：如图2，当点C在线段AB外时，（1）中的结论①，②是否仍然成立？若成立，请给予证明；若不成立，请你写出正确结论再给予证明（3）拓展应用：如图3，分别以AC、BC为边在AB同侧作等腰直角三角形ACD和等腰直角三角形BCE，其中∠ACD=∠BCE=90°，CA=CD，CB=CE，连接AE=BD交于点P，则线段AE与BD的关系为________________类型二【确定动点运动过程中的运动时间】【典例指引2】已知：如图，在平面直角坐标系中，长方形OABC的项点B的坐标是(6,4).（1）直接写出A点坐标（______，______），C点坐标（______，______）；P m，且四边形OADP的面积是（2）如图，D为OC中点.连接BD，AD，如果在第二象限内有一点(),1∆面积的2倍，求满足条件的点P的坐标；ABC（3）如图，动点M从点C出发，以每钞1个单位的速度沿线段CB运动，同时动点N从点A出发.以每秒2t>，在M，个单位的連度沿线段AO运动，当N到达O点时，M，N同时停止运动，运动时间是t秒()0N运动过程中.当5MN=时，直接写出时间t的值.【举一反三】如图，▱ABCD 的对角线AC 、BD 相交于点O ，AB ⊥AC ，AB ＝3，BC ＝5，点P 从点A 出发，沿AD 以每秒1个单位的速度向终点D 运动．连结PO 并延长交BC 于点Q ．设点P 的运动时间为t 秒． （1）求BQ 的长，（用含t 的代数式表示）（2）当四边形ABQP 是平行四边形时，求t 的值（3）当点O 在线段AP 的垂直平分线上时，直接写出t 的值．类型三 【探究动点运动过程中图形的形状或图形之间的关系】【典例指引3】已知矩形ABCD 中，10cm AB =，20cm BC =，现有两只蚂蚁P 和Q 同时分别从A 、B 出发，沿AB BC CD DA =--方向前进，蚂蚁P 每秒走1cm ，蚂蚁Q 每秒走2cm ．问：（1）蚂蚁出发后△PBQ 第一次是等腰三角形需要爬行几秒?（2）P 、Q 两只蚂蚁最快爬行几秒后，直线PQ 与边AB 平行?如图，平面直角坐标系中，直线l分别交x轴、y轴于A、B两点（AO<AB）且AO、AB的长分别是一元二次方程x2-3x+2=0的两个根，点C在x轴负半轴上，且AB：AC=1:2.（1）求A、C两点的坐标；（2）若点M从C点出发，以每秒1个单位的速度沿射线CB运动，连接AM，设△ABM的面积为S，点M的运动时间为t，写出S关于t的函数关系式，并写出自变量的取值范围；（3）点P是y轴上的点，在坐标平面内是否存在点Q，使以A、B、P、Q为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出Q点的坐标；若不存在，请说明理由．类型四【探究动点运动过程中图形的最值问题】【典例指引4】如图，抛物线y＝ax2﹣34x+c与x轴相交于点A（﹣2，0）、B（4，0），与y轴相交于点C，连接AC，BC，以线段BC为直径作⊙M，过点C作直线CE∥AB，与抛物线和⊙M分别交于点D，E，点P 在BC下方的抛物线上运动．（1）求该抛物线的解析式；（2）当△PDE是以DE为底边的等腰三角形时，求点P的坐标；（3）当四边形ACPB的面积最大时，求点P的坐标并求出最大值．已知：如图.在△ABC中.AB=AC=5cm，BC=6cm.点P由B出发，沿BC方向匀速运动.速度为1cm/s.同时，点Q从点A出发，沿AC方向匀速运动.速度为1cm/s，过点P作PM⊥BC交AB于点M，过点Q作QN⊥BC，垂足为点N，连接MQ，若设运动时间为t(s)(0<t<3)，解答下列问题：（1）当t为何值时，点M是边AB中点?（2）设四边形PNQM的面积为y(cm2)，求出y与t之间的函数关系式；（3）是否存在某一时刻t，使S四边形PNQM:S△ABC=4:9?若存在，求出此时t的值；若不存在，说明理由；（4）是否存在某一时刻t，使四边形PNQM为正方形?若存在，求出此时t的值；若不存在，请说明理由.【新题训练】1．如图①，△ABC是等边三角形，点P是BC上一动点（点P与点B、C不重合），过点P作PM∥AC交AB于M，PN∥AB交AC于N，连接BN、CM．（1）求证：PM+PN＝BC；（2）在点P的位置变化过程中，BN＝CM是否成立？试证明你的结论；（3）如图②，作ND∥BC交AB于D，则图②成轴对称图形，类似地，请你在图③中添加一条或几条线段，使图③成轴对称图形（画出一种情形即可）．2．如图，在矩形ABCD中，AB=18，AD=12，点M是边AB的中点，连结DM，DM与AC交于点G，点E，F分别是CD与DG上的点，连结EF，(1)求证：CG=2AG.(2)若DE=6，当以E，F，D为顶点的三角形与△CDG相似时，求EF的长.(3)若点E从点D出发，以每秒2个单位的速度向点C运动，点F从点G出发，以每秒1个单位的速度向点D运动.当一个点到达，另一个随即停止运动.在整个运动过程中，求四边形CEFG的面积的最小值.3．知识链接：将两个含30°角的全等三角尺放在一起，让两个30°角合在一起成60°，经过拼凑、观察、思考，探究出结论“直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半”．如图，等边三角形ABC的边长为4cm，点D从点C出发沿CA向A运动，点E从B出发沿AB的延长线BF 向右运动，已知点D、E都以每秒0.5cm的速度同时开始运动，运动过程中DE与BC相交于点P，设运动时间为x秒．(1)请直接写出AD长．（用x的代数式表示）(2)当△ADE为直角三角形时，运动时间为几秒？(3)求证：在运动过程中，点P始终为线段DE的中点．4．如图所示，已知抛物线2(0)y ax a =≠与一次函数y kx b =+的图象相交于(1,1)A --，(2,4)-B 两点，点P 是抛物线上不与A ，B 重合的一个动点.（1）请求出a ，k ，b 的值；（2）当点P 在直线AB 上方时，过点P 作y 轴的平行线交直线AB 于点C ，设点P 的横坐标为m ，PC 的长度为L ，求出L 关于m 的解析式；（3）在（2）的基础上，设PAB ∆面积为S ，求出S 关于m 的解析式，并求出当m 取何值时，S 取最大值，最大值是多少？5．已知：如图，在矩形ABCD 中，AC 是对角线，AB ＝6cm ，BC ＝8cm ．点P 从点D 出发，沿DC 方向匀速运动，速度为1cm /s ，同时，点Q 从点C 出发，沿CB 方向匀速运动，速度为2cm /s ，过点Q 作QM ∥AB 交AC 于点M ，连接PM ，设运动时间为t （s ）（0＜t ＜4）．解答下列问题：（1）当t 为何值时，∠CPM ＝90°；（2）是否存在某一时刻t ，使S 四边形MQCP ＝ABCD 1532S 矩形？若存在，求出t 的值；若不存在，请说明理由； （3）当t 为何值时，点P 在∠CAD 的角平分线上．6．在等边三角形ABC中，点D是BC的中点，点E、F分别是边AB、AC（含线段AB、AC的端点）上的动点，且∠EDF＝120°，小明和小慧对这个图形展开如下研究：问题初探：（1）如图1，小明发现：当∠DEB＝90°时，BE+CF＝nAB，则n的值为；问题再探：（2）如图2，在点E、F的运动过程中，小慧发现两个有趣的结论：①DE始终等于DF；②BE与CF的和始终不变；请你选择其中一个结论加以证明．成果运用:（3）若边长AB＝8，在点E、F的运动过程中，记四边形DEAF的周长为L，L＝DE+EA+AF+FD，则周长L取最大值和最小值时E点的位置?7．如图，在矩形ABCD中，AB＝8cm，BC＝16cm，点P从点D出发向点A运动，运动到点A停止，同时，点Q从点B出发向点C运动，运动到点C即停止，点P、Q的速度都是1cm/s．连接PQ、AQ、CP．设点P、Q运动的时间为ts．(1)当t为何值时，四边形ABQP是矩形；(2)当t为何值时，四边形AQCP是菱形；(3)分别求出(2)中菱形AQCP的周长和面积．8．如图，O为菱形ABCD对角线的交点，M是射线CA上的一个动点（点M与点C、O、A都不重合），过点A、C分别向直线BM作垂线段，垂足分别为E、F，连接OE，OF．（1）①依据题意补全图形；②猜想OE与OF的数量关系为_________________.（2）小东通过观察、实验发现点M在射线CA上运动时，（1）中的猜想始终成立．小东把这个发现与同学们进行交流，通过讨论，形成了证明（1）中猜想的几种想法：想法1：由已知条件和菱形对角线互相平分，可以构造与△OAE全等的三角形，从而得到相等的线段，再依据直角三角形斜边中线的性质，即可证明猜想；想法2：由已知条件和菱形对角线互相垂直，能找到两组共斜边的直角三角形，例如其中的一组△OAB和△EAB，再依据直角三角形斜边中线的性质，菱形四边相等，可以构造一对以OE和OF为对应边的全等三角形，即可证明猜想．……请你参考上面的想法，帮助小东证明（1）中的猜想（一种方法即可）．（3）当∠ADC=120°时，请直接写出线段CF，AE，EF之间的数量关系是_________________．9．（1）（问题情境）小明遇到这样一个问题：如图①，已知ABC ∆是等边三角形，点D 为BC 边上中点，60ADE ∠=︒，DE 交等边三角形外角平分线CE 所在的直线于点E ，试探究AD 与DE 的数量关系．小明发现：过D 作//DF AC ，交AB 于F ，构造全等三角形，经推理论证问题得到解决．请直接写出AD 与DE 的数量关系，并说明理由． （2）（类比探究）如图②，当D 是线段BC 上（除,B C 外）任意一点时（其他条件不变）试猜想AD 与DE 的数量关系并证明你的结论． （3）（拓展应用）当D 是线段BC 上延长线上，且满足CD BC =（其他条件不变）时，请判断ADE ∆的形状，并说明理由．10．如图，直线y =﹣23x +4与x 轴交于点C ，与y 轴交于点B ，抛物线y =ax 2+103x +c 经过B 、C 两点． （1）求抛物线的解析式；（2）如图，点E 是直线BC 上方抛物线上的一动点，当△BEC 面积最大时，请求出点E 的坐标； （3）在（2）的结论下，过点E 作y 轴的平行线交直线BC 于点M ，连接AM ，点Q 是抛物线对称轴上的动点，在抛物线上是否存在点P ，使得以P 、Q 、A 、M 为顶点的四边形是平行四边形？如果存在，请直接写出点P 的坐标；如果不存在，请说明理由．11．如图，边长为4的正方形ABCD 中，点P 是边CD 上一动点，作直线BP ，过A 、C 、D 三点分别作直线BP 的垂线段，垂足分别是E 、F 、G ．（1）如图（a ）所示，当CP ＝3时，求线段EG 的长；（2）如图（b ）所示，当∠PBC ＝30°时，四边形ABCF 的面积；（3）如图（c ）所示，点P 在CD 上运动的过程中，四边形AECG 的面积S 是否存在最大值？如果存在，请求出∠PBC 为多少度时，S 有最大值，最大值是多少？如果不存在，请说明理由．12．已知：如图，在四边形ABCD 中，//AB CD ，90ACB ∠=︒，10cm AB =，8cm BC =，OD 垂直平分A C .点P 从点B 出发，沿BA 方向匀速运动，速度为1cm/s ；同时，点Q 从点D 出发，沿DC 方向匀速运动，速度为1cm/s ；当一个点停止运动，另一个点也停止运动.过点P 作PE AB ⊥，交BC 于点E ，过点O 作//QF AC ，分别交AD ，OD 于点F ，G .连接OP ，EG .设运动时间为()t s ()05t <<，解答下列问题：(1)当t 为何值时，点E 在BAC ∠的平分线上？ (2)设四边形PEGO 的面积为()2mS c ，求S 与t 的函数关系式.(3)连接OE ，OQ ，在运动过程中，是否存在某一时刻t ，使OE OQ ⊥？若存在，求出t 的值；若不存在，请说明理由.13．已知：如图1，矩形OABC 的两个顶点A ，C 分别在x 轴，y 轴上，点B 的坐标是（8，2），点P 是边BC 上的一个动点，连接AP ，以AP 为一边朝点B 方向作正方形P ADE ，连接OP 并延长与DE 交于点M ，设CP ＝a （a ＞0）．（1）请用含a 的代数式表示点P ，E 的坐标．（2）连接OE ，并把OE 绕点E 逆时针方向旋转90°得EF ．如图2，若点F 恰好落在x 轴的正半轴上，求a 与EMDM的值． （3）①如图1，当点M 为DE 的中点时，求a 的值．②在①的前提下，并且当a ＞4时，OP 的延长线上存在点Q ，使得EQ +22PQ 有最小值，请直接写出EQ +22PQ 的最小值．14．如图，边长为6的正方形ABCD 中，,E F 分别是,AD AB 上的点，AP BE ⊥，P 为垂足． （1）如图①， AF =BF ，AE =23，点T 是射线PF 上的一个动点，则当△ABT 为直角三角形时，求AT 的长；（2）如图②，若AE AF =，连接CP ，求证：CP FP ⊥．15．边长相等的两个正方形ABCO 、ADEF 如图摆放，正方形ABCO 的边OA 、OC 在坐标轴上，ED 交线段OC 于点G ，ED 的延长线交线段BC 于点P ，连AG ，已知OA 长为3. （1）求证：AOG ADG ∆≅∆;（2）若12∠=∠，AG =2，求点G 的坐标；（3）在（2）条件下，在直线PE 上找点M ，使以M 、A 、G 为顶点的三角形是等腰三角形，求出点M 的坐标.16．定义：有一组邻角相等的凸四边形叫做“梦想四边形”。
初中数学最值问题解题技巧,初中几何最值问题方法归纳总结
几何最值问题大一统追本溯源化繁为简目有千万而纲为一，枝叶繁多而本为一。
纲举则目张，执本而末从。
如果只在细枝末节上下功夫，费了力气却讨不了好。
学习就是不断地归一，最终以一心一理贯通万事万物，则达自由无碍之化境矣（呵呵，这境界有点高，慢慢来）。
关于几何最值问题研究的老师很多，本人以前也有文章论述，本文在此基础上再次进行归纳总结，把各种知识、方法、思想、策略进行融合提炼、追本溯源、认祖归宗，以使解决此类问题时更加简单明晰。
一、基本图形所有问题的老祖宗只有两个：①[定点到定点]：两点之间，线段最短；②[定点到定线]：点线之间，垂线段最短。
由此派生：③[定点到定点]：三角形两边之和大于第三边；④[定线到定线]：平行线之间，垂线段最短；⑤[定点到定圆]：点圆之间，点心线截距最短（长）；⑥[定线到定圆]：线圆之间，心垂线截距最短；⑦[定圆到定圆]：圆圆之间，连心线截距最短（长）。
余不赘述，下面仅举一例证明：[定点到定圆]：点圆之间，点心线截距最短（长）。
已知⊙O半径为r，AO=d，P是⊙O上一点，求AP的最大值和最小值。
证明：由“两点之间，线段最短”得AP≤AO+PO，AO≤AP+PO，得d-r≤AP≤d+r，AP最小时点P在B处，最大时点P在C处。
即过圆心和定点的直线截得的线段AB、AC分别最小、最大值。
(可用“三角形两边之和大于第三边”，其实质也是由“两点之间，线段最短”推得）。
上面几种是解决相关问题的基本图形，所有的几何最值问题都是转化成上述基本图形解决的。
二、考试中出现的问题都是在基本图形的基础上进行变式，如圆与线这些图形不是直接给出，而是以符合一定条件的动点的形式确定的；再如过定点的直线与动点所在路径不相交而需要进行变换的。
类型分三种情况：（1）直接包含基本图形；（2）动点路径待确定；（3）动线（定点）位置需变换。
（一）直接包含基本图形。
AD一定，所以D是定点，C是直线的最短路径，求得当CD⊥AC时最短为是定点，B'是动点，但题中未明确告知B'点的运动路径，所以需先确定B'点运动路径是什么图形，一般有直线与圆两类。
中考数学动点最值问题归纳及解法
中考数学动点最值问题归纳及解法最值问题是初中数学的重要内容，也是一类综合性较强的问题，它贯穿初中数学的始终，是中考的热点问题，它主要考察学生对平时所学的内容综合运用，无论是代数问题还是几何问题都有最值问题，在中考压轴题中出现比较高的主要有利用重要的几何结论（如两点之间线段最短、三角形两边之和大于第三边、两边之差小于第三边、垂线段最短等）。
利用一次函数和二次函数的性质求最值。
动态几何特点----问题背景是特殊图形，考查问题也是特殊图形，所以要把握好一般与特殊的关系；分析过程中，特别要关注图形的特性（特殊角、特殊图形的性质、图形的特殊位置。
）动点问题一直是中考热点，近几年考查探究运动中的特殊性：等腰三角形、直角三角形、相似三角形、平行四边形、梯形、特殊角或其三角函数、线段或面积的最值。
“坐标几何题”（动点问题）分析动点个数两个一个两个问题背景特殊菱形两边上移动特殊直角梯形三边上移动抛物线中特殊直角梯形底边上移动考查难点探究相似三角形探究三角形面积函数关系式探究等腰三角形考点①菱形性质②特殊角三角函数③求直线、抛物线解析式④相似三角形⑤不等式①求直线解析式②四边形面积的表示③动三角形面积函数④矩形性质①求抛物线顶点坐标②探究平行四边形③探究动三角形面积是定值④探究等腰三角形存在性特点①菱形是含60°的特殊菱形；△AOB是底角为30°的等腰三角形。
②一个动点速度是参数字母。
③探究相似三角形时，按对应角不同分类讨论；先画图，再探究。
④通过相似三角形过度，转化相似比得出方程。
⑤利用a、t范围，运用不等式求出a、t的值。
①观察图形构造特征适当割补表示面积②动点按到拐点时间分段分类③画出矩形必备条件的图形探究其存在性①直角梯形是特殊的（一底角是45°）②点动带动线动③线动中的特殊性（两个交点D、E是定点；动线段PF长度是定值，PF=OA）④通过相似三角形过度，转化相似比得出方程。
⑤探究等腰三角形时，先画图，再探究（按边相等分类讨论）近几年共同点：①特殊四边形为背景；②点动带线动得出动三角形；③探究动三角形问题（相似、等腰三角形、面积函数关系式）；④求直线、抛物线解析式；⑤探究存在性问题时，先画出图形，再根据图形性质探究答案。
初中数学压轴题讲解：动点,面积与最值问题
典例精讲
● 如图，MN是半径为1的⊙O的直径，点A在⊙O上，∠AMN=30°，B为AN弧的 中点，P是直径MN上一动点，则PA+PB的最小值为______．
解题技巧：将军饮马的第一种情况
典例精讲
●如图所示,已知A( 1 ,y1),B(2,y2)为反比例函数 y 1 图象上的两点,动
点
P(x
,
1
2
x
典例精讲
● 如图为反比例函数
y1 x
在第一象限的图象,点A为此图象上的一动点,过点
A分别作AB⊥x轴和AC⊥y轴,垂足分别为B,C.则四边形OBAC周长的最小值为
()
典例精讲
● 如图,在平面直角坐标系中,已知点A(1,0),B(1−a,0),C(1+a,0)(a>0),点 P在以D(4,4)为圆心,1为半径的圆上运动,且始终满足∠BPC=90∘,则a的最 大值是()
典例精讲 （2）Q Rt△ABM ∽Rt△MCN ，
AB BM ， 4 x ， MC CN 4 x CN
CN x2 4x 4
压轴题研究1——面积最值（动点）
y
S梯形ABCN
1
2
x2 4x 4
4g4
（0<x<4）
1 x2 2x 8 1 (x 2)2 10
2
2
当 x 2 时， y 取最大值，最大值为 10．
动点与最值问题
将军饮马： 将军饮马三种情况，两定一动，两动一定，双定双动
另有PPT讲解
三边关系： 两边之和大于第三边，两边只差小于第三边
动点最值问题解析
三点共线
配方法： 纯代数的最值问题用配方，利用二次函数的性质
几何问题，一般以面积周长有关
2024年中考数学重难点《几何最值问题》题型及答案解析
重难点几何最值问题中考数学中《几何最值问题》部分主要考向分为五类：一、将军饮马类最值二、动点辅助圆类最值三、四点共圆类最值四、瓜豆原理类最值五、胡不归类最值几何最值问题虽然在中考数学中经常考察的是将军饮马类和辅助圆类，剩余几种虽然不经常考察，但是考到的时候难度都比较大，所以也需要理解并掌握不同类型的几何最值问题的处理办法，这样到考到的时候才能有捷径应对。
考向一：将军饮马类最值一动”“两定异侧普通一动”“两定同侧普通动”两定“一动”两定“两两动”“两定同侧两动”“两定异侧满分技巧将军饮马：。
1．（2023•绥化）如图，△ABC是边长为6的等边三角形，点E为高BD上的动点．连接CE，将CE绕点C 顺时针旋转60°得到CF．连接AF，EF，DF，则△CDF周长的最小值是3+3．【分析】分析已知，可证明△BCE≌△ACF，得∠CAF＝∠CBE＝30°，可知点F在△ABC外，使∠CAF ＝30°的射线AF上，根据将军饮马型，求得DF+CF的最小值便可求得本题结果．【解答】解：∵△ABC是等边三角形，∴AC＝BC＝6，∠ABC＝∠BCA＝60°，∵∠ECF＝60°，∴∠BCE＝60°﹣∠ECA＝∠ACF，∵CE＝CF，∴△BCE≌△ACF（SAS），∴∠CAF＝∠CBE，∵△ABC是等边三角形，BD是高，∴∠CBE＝∠ABC＝30°，CD＝AC＝3，过C点作CG⊥AF，交AF的延长线于点G，延长CG到H，使得GH＝CG，连接AH，DH，DH与AG 交于点I，连接CI，FH，则∠ACG＝60°，CG＝GH＝AC＝3，∴CH＝AC＝6，∴△ACH为等边三角形，∴DH＝CD•tan60°＝，AG垂直平分CH，∴CI＝HI，CF＝FH，∴CI+DI＝HI+DI＝DH＝3，CF+DF＝HF+DF≥DH，∴当F与I重合时，即D、F、H三点共线时，CF+DF的值最小为：CF+DF＝DH＝3，∴△CDF的周长的最小值为3+3．故答案为：3+3．2．（2023•德州）如图，在四边形ABCD中，∠A＝90°，AD∥BC，AB＝3，BC＝4，点E在AB上，且AE＝1．F，G为边AD上的两个动点，且FG＝1．当四边形CGFE的周长最小时，CG的长为．【分析】先确定FG和EC的长为确定的值，得到四边形CGFE的周长最小时，即为CG+EF最小时，平移CG到C'F，作点E关于AD对称点E'，连接E'C'交AD于点G'，得到CG+EF最小时，点G与G'重合，再利用平行线分线段成比例求出C'G'长即可．【解答】解：∵∠A＝90°，AD∥BC，∴∠B＝90°，∵AB＝3，BC＝4，AE＝1，∴BE＝AB﹣AE＝3﹣1＝2，在Rt△EBC中，由勾股定理，得EC＝＝＝，∵FG＝1，∴四边形CGFE的周长＝CG+FG+EF+EC＝CG+EF+1+，∴四边形CGFE的周长最小时，只要CG+EF最小即可．过点F作FC'∥GC交BC于点C'，延长BA到E'，使AE'＝AE＝1，连接E'F，E'C'，E'C'交AD于点G'，可得AD垂直平分E'E，∴E'F＝EF，∵AD∥BC，∴C'F＝CG，CC'＝FG＝1，∴CG+EF＝C'F+E'F≥E'C'，即CG+EF最小时，CG＝C'G'，∵E'B＝AB+AE'＝3+1＝4，BC'＝BC﹣CC'＝4﹣1＝3，由勾股定理，得E'C'＝＝＝5，∵AG'∥BC'，∴＝，即＝，解得C'G'＝，即四边形CGFE的周长最小时，CG的长为．故答案为：．考向二：动点辅助圆类最值满分技巧动点运动轨迹为辅助圆的三种类型：一．定义法——若一动点到定点的距离恒等于固定长，则该点的运动轨迹为以定点为圆心，定长为半径的圆（或圆弧）二.定边对直角模型原理：直径所对的圆周角是直角思路构造：若一条定边所对的“动角”始终为直角，则直角顶点运动轨迹是以该定边为直径的圆（或圆弧）三．定边对定角模型原理：在同圆或等圆中，同弧所对的圆周角相等思路构造：若一条定边所对的“动角”始终为定角，则该定角顶点运动轨迹是以该定角为圆周角，该定边为弦的圆（或圆弧）1．（2023•徐州）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，CA＝CB＝3，点D在边BC上．将△ACD沿AD折叠，使点C落在点C′处，连接BC′，则BC′的最小值为．【分析】由折叠性质可知AC＝AC'＝3，然后根据三角形的三边不等关系可进行求解．【解答】解：∵∠C＝90°，CA＝CB＝3，∴，由折叠的性质可知AC＝AC'＝3，∵BC'≥AB﹣AC'，∴当A、C′、B三点在同一条直线时，BC'取最小值，最小值即为，故答案为．2．（2023•黑龙江）如图，在Rt△ACB中，∠BAC＝30°，CB＝2，点E是斜边AB的中点，把Rt△ABC绕点A顺时针旋转，得Rt△AFD，点C，点B旋转后的对应点分别是点D，点F，连接CF，EF，CE，在旋转的过程中，△CEF面积的最大值是4+．【分析】线段CE为定值，点F到CE距离最大时，△CEF的面积最大，画出图形，即可求出答案．【解答】解：∵线段CE为定值，∴点F到CE的距离最大时，△CEF的面积有最大值．在Rt△ACB中，∠BAC＝30°，E是AB的中点，∴AB＝2BC＝4，CE＝AE＝AB＝2，AC＝AB•cos30°＝2，∴∠ECA＝∠BAC＝30°，过点A作AG⊥CE交CE的延长线于点G，∴AG＝AC＝，∵点F在以A为圆心，AB长为半径的圆上，∴AF＝AB＝4，∴点F到CE的距离最大值为4+，∴，故答案为：．3．（2023•大庆模拟）如图，AB是⊙O的直径，AB＝4，C为的三等分点（更靠近A点），点P是⊙O上个动点，取弦AP的中点D，则线段CD的最大值为（）A．2B．C．D．【分析】如图，连接OD，OC，首先证明点D的运动轨迹为以AO为直径的⊙K，连接CK，当点D在CK的延长线上时，CD的值最大，利用勾股定理求出CK即可解决问题．【解答】解：如图，连接OD，OC，∵AD＝DP，∴OD⊥P A，∴∠ADO＝90°，∴点D的运动轨迹为以AO为直径的⊙K，连接CK，AC，当点D在CK的延长线上时，CD的值最大，∵C为的三等分点，∴∠AOC＝60°，∴△AOC是等边三角形，∴CK⊥OA，在Rt△OCK中，∵∠COA＝60°，OC＝2，OK＝1，∴CK＝＝，∵DK＝OA＝1，∴CD＝+1，∴CD的最大值为+1，故选：D．考向三：四点共圆类最值满分技巧对角互补的四边形必有四点共圆，即辅助圆产生模型原理：圆内接四边形对角互补∴FD＝，在四边形ACBF中，∠ACB＝∠AFB＝90°，∴A、C、B、F四点共圆，∴∠ACF＝∠ABF＝45°，∠CAB＝∠CFB，∵∠PCD＝45°∴∠ACP＝∠FCD，又∵△ABE∽△FBD，∴∠BAE＝∠BFD，∴∠CAP＝∠CFD，∴△CAP∽△CFD，∴，在四边形ACBF中，由对角互补模型得AC+CB＝，∴CF＝∴，∴AP＝1，∴PE＝2，故答案为：2考向四：瓜豆原理类最值满分技巧瓜豆原理的特征和结论：∴AB＝CD＝6，∠B＝∠BCD＝90°，∵∠BET＝∠FEG＝45°，∴∠BEF＝∠TEG，∵EB＝ET，EF＝EG，∴△EBF≌△ETG（SAS），∴∠B＝∠ETG＝90°，∴点G在射线TG上运动，∴当CG⊥TG时，CG的值最小，∵BC＝，BE＝，CD＝6，∴CE＝CD＝6，∴∠CED＝∠BET＝45°，∴∠TEJ＝90°＝∠ETG＝∠JGT＝90°，∴四边形ETGJ是矩形，∴DE∥GT，GJ＝TE＝BE＝，∴CJ⊥DE，∴JE＝JD，∴CJ＝DE＝3，∴CG＝CJ+GJ＝+3，∴CG的最小值为+3，故答案为：+3．2．（2023•宿城区二模）如图，矩形ABCD中，AD＝6，DC＝8，点E为对角线AC上一动点，BE⊥BF，，BG⊥EF于点G，连接CG，当CG最小时，CE的长为．【分析】过点B作BP⊥AC于点P，连接PG，则可得△ABE∽△PBG，进而可知∠BPG为定值，因此CG⊥PG时，CG最小，通过设元利用三角函数和相似比可表示出PG、CP，即可求出结果．【解答】解：如图，过点B作BP⊥AC于点P，连接PG，∵，∠ABC＝∠EBF，∴△ABC∽△EBF，∴∠CAB＝∠FEB，∵∠APB＝∠EGB＝90°，∴△ABP∽△EBG，∴＝，∠ABP＝∠EBG，∴∠ABE＝∠PBG，∴△ABE∽△PBG，∴∠BPG＝∠BAE，即在点E的运动过程中，∠BPG的大小不变且等于∠BAC，∴当CG⊥PG时，CG最小，设此时AE＝x，∵，∴PG＝，∵CG⊥PG，∴∠PCG＝∠BPG＝∠BAC，∴，代入PG＝，解得CP＝x，∵CP＝BC•sin∠CBP＝BC•sin∠BAC＝，∴x＝，∴AE＝∴CE＝，故答案为：．考向五：胡不归类最值满分技巧胡不归模型解决步骤：模型具体化：如图，已知两定点A、B，在定直线BC上找一点P，使从B走道P，再从P走到A的总时间最小解决步骤：由系数k·PB确定分割线为PBPA在分割线一侧，在分割线PB另一侧依定点B构α角，使sinα=k，α角另一边为BD过点P作PQ⊥BD，转化kPB=PQ过定点A作AH⊥BD，转化（PA+k·PB）min=AH，再依“勾股法”求AH的长即可。