同余定理
数论之同余问题
因为13903 13511 392,14589 13903 686,
由于13511,13903,14589要被同一个数除时,
余数相同，那么，它们两两之差必能被同一个数整 除.（392,686） 98，所以所求的最大整数是98.
（2003年南京市少年数学智力冬令营试题）22003与
定理，我们可以得到：这个数一定能整除这三个数
【解析】我们知道18,33的最小公倍数为[18,33]=198,
所以每198个数一次.
1〜198之间只有1,2,3，…，17,198（余0）
这18个数除以18及33所得的余数相同，
而999±198=5…•…9,所以共有5X18+9=99个
这样的数.
【巩固】（2008年仁华考题）一个三位数除以17和19都有余 数，并且除以17后所得的商与余数的和等于它除 以19后所得到的商与余数的和.那么这样的三位 数中最大数是多少，最小数是多少？
1998,2000,2003
2000,2003,2001,1995,1998,2000,2003,2001,1995.
［例4】（2005年全国小学数学奥林匹克试题）有一个整
数，用它去除70，110，160所得到的3个余数之
和是50,那么这个整数是.
【解析】（70 110 160） 50 290,50 316……2,除数应当是290的大于
【解析】设这个三位数为s'它除以17和19的商分别为a和b，余数分别为m和n,则s 17a m 19b n.
根据题意可知a m b n,所以s am s b n，即16a 18b,得8a 9..所以a是9的倍数，b是8的倍数.此时,
由于s为三位数，最小为100,最大为999，所以
初等数论第二章同余
和
N = cin_Yan_2…①仇=a2ci[a()-10°+a5a4a3-103H。
注:一般地，在考虑使N = an_{an_2-被加除的余数时,首先 是求岀正整数匕使得
10*三 一1或1(modm),
再将N=ci叶\5_2…写成
x + y+ 1 = 9或18,
3-y + x = 0或llo
这样得到四个方程组：
j\ + y + l = a
\3- y+x = b
其中。取值9或18, b取值0或11。在0<x,y<9的条件下解这四个 方程组，得到x=8, y = 0, z = 6o
习题一
1.证明定理1和定理2。
2.证明定理4。
3.证明定理5中的结论（i ）—（iv）o
(v)由
ac=be(mod m)
得到m |c(a-b),再由(c,加)=1和鉛一章翕三节定理4得到m \a- b,即
a = b(mod m)o
证毕。
例1设N = anall_［- --aQ是整数N的十进制表示，即
N=ani0,?+an-ilO,/_1+ …+ailO+ao ,
则
(i )3|Nq3|£⑷；
x = y(modm),⑷三切(modm),0 < / <n,
则பைடு நூலகம்
工4兀’三工(mod力7)。⑵
i=0i=0
证明留作习题。
定理5下面的结论成立：
(i)a = b(mod m),d \ m, d> 0 a = b(modd)；
余数性质及同余定理(B级)
余数性质及同余定理知识框架一、余除法的定及性1.定：一般地，若是 a 是整数， b 是整数（ b≠0） ,若有 a÷b=q⋯⋯ r ，也就是 a＝b×q＋ r ,0≤r＜ b；我称上面的除法算式一个余除法算式。
里：(1)当 r 0 ：我称 a 可以被 b 整除， q 称 a 除以 b 的商或完好商(2)当 r 0 ：我称 a 不可以被 b 整除， q 称 a 除以 b 的商或不完好商一个圆满的余除法解模型 : 如是一堆，共有 a 本，个 a 就可以理解被除数，在要求依照 b 本一捆打包，那么 b 就是除数的角色，打包后共打包了 c 捆，那么个 c 就是商，最后节余 d 本，个 d 就是余数。
个能学生清楚的理解余除法算式中 4 个量的关系。
并且可以看出余数必然要比除数小。
2.余数的性⑴ 被除数除数商余数；除数（被除数余数）商；商（被除数余数）除数；⑵ 余数小于除数．二、余数定理：1.余数的加法定理a 与b 的和除以c 的余数，等于a,b 分除以 c 的余数之和，或个和除以 c 的余数。
比方： 23，16 除以 5 的余数分是 3 和 1，所以 23+16＝ 39 除以 5 的余数等于4，即两个余数的和3+1.当余数的和比除数大，所求的余数等于余数之和再除以 c 的余数。
比方： 23，19 除以 5 的余数分是 3 和 4，所以 23+19＝ 42 除以 5 的余数等于3+4=7 除以 5 的余数22.余数的加法定理a 与b 的差除以c 的余数，等于a,b 分除以 c 的余数之差。
比方： 23， 16 除以 5 的余数分是 3 和 1，所以 23－ 16＝7 除以 5 的余数等于2，两个余数差3－ 1＝2.当余数的差不减，上除数再减。
比方： 23，14 除以 5 的余数分是 3 和 4， 23－ 14＝ 9 除以 5 的余数等于4，两个余数差3＋ 5－4＝ 43.余数的乘法定理a 与b 的乘除以c 的余数，等于a,b 分除以 c 的余数的，也许个除以 c 所得的余数。
同余
a 用a modm表示余数r，则 a [ ]m ( a m odm ) m
定理3 整数a, b模m 同余 a modm=b modm
ab (modm) m|a-b a modm=b modm
a=b+km
性质：
(1) ( 2) ( 3)
[(a modm ) (b modm )]modm (a b) modm [(a modm ) (b modm )]modm (a b) modm [(a modm ) (b modm )]modm (a b) modm
(r r ) a b (q q)m
m a b的充分必要条件是 m r r. 但因为 0 r r m ， 因此，
且 m r r 的充分必要条件是 r r 0 ，所以 m a b 的充分必 要条件是 r r 0. 这就是定理的结论.
2
2003
2
22 1 4 4(mod 7).
故第 22003 天是星期二。 定理5 若 x y(mod m),
ai bi (mod m),
0 i k, 则 0 i k.
a0 a1 x ak x k b0 b1 y bk yk (mod m).
故 3 n, 9 ｜ n.
k 定理7 设 n ak 1000 a11000 a0 , 0 ai 1000. 则7或11,或
13 n 7或11或 13 a0 a2 - a1 a3 .
例4 设 n 637693.
例5 设n 75312289.
定理10 设a b ( mod m) . 若d | m, 则a b ( mod d) .
同余定理-
同余定理同余定理是关于模运算的一个重要理论，它能解决很多与模运算相关的问题。
在数学和计算机科学中，同余定理经常被用于计算和密码学中。
同余定义和符号同余是一个抽象的数学概念，用来描述两个整数之间的关系。
当两个整数除以另一个整数得到的余数相同时，它们被称为同余的。
在数学符号上，同余用符号≡表示，如下所示：a ≡b (mod m)其中a、b、m是整数，称为同余方程，其中mod表示“模”。
实际上，同余定理是一个等式，它表示：对于给定的模数m，如果两个整数a和b满足模数m时的余数相同（即a mod m = b mod m），那么这两个整数就是同余的。
例如，我们可以把它简写成a = b (mod m)，这意味着a和b在模m下有相同的余数。
同余定理的三种形式同余定理有三种形式：基本形式、加法形式和乘法形式。
每种形式都有其独特的特点和用途。
1. 基本形式最常见的同余定理形式是基本形式，也被称为恒等式。
它表示：如果a和b在模m下有相同的余数，那么它们是同余的。
a≡b(mod m) ⇔ a mod m = b mod m2. 加法形式加法形式表示：如果a、b、c在模m下同余，那么a+b、b+c、a+c在模m下也同余。
如果 a ≡ b (mod m) 且 c ≡ d (mod m)，则a + c ≡b + d (mod m)证明：根据同余定义，我们有：a ≡b (mod m)那么，我们可以将a和b分别表示出来：a =b + km其中k是一个整数。
同样地，我们也有：c ≡d (mod m)c =d + lm将它们相加，得到：a + c =b + km + d + lm = b + d + (k + l)m 将其转化为同余符号，得到：a + c ≡b + d (mod m)这证明了加法形式的同余定理。
3. 乘法形式乘法形式表示：如果a、b、c在模m下同余，那么ab和bc在模m下也同余。
如果 a ≡ b (mod m) 且 c ≡ d (mod m)，则ac ≡ bd (mod m)证明：根据同余定义，我们有：a ≡b (mod m)那么，我们可以将a和b分别表示出来：a =b + km其中k是一个整数。
同余分解定理
同余分解定理同余分解定理是数论中一个非常重要的定理，它描述了整数的同余关系与整数的运算之间的联系。
同余分解定理是由欧拉在18世纪提出的，是数论中的基本方法之一。
本文将对同余分解定理进行详细的介绍和证明。
首先，我们来了解一下同余关系。
对于任意两个整数a和b，如果它们除以一个正整数m所得的余数相同，我们就说a和b在模m下同余，记作a≡b(mod m)。
其中，≡表示同余关系，mod表示模。
同余关系具有以下性质：1.自反性：对任意整数a和正整数m，有a≡a(mod m)。
2.对称性：对任意整数a、b和正整数m，若a≡b(mod m)，则b≡a(mod m)。
3.传递性：对任意整数a、b、c和正整数m，若a≡b(mod m)且b≡c(mod m)，则a≡c(mod m)。
接下来，我们来介绍同余分解定理。
同余分解定理的表述如下：对于任意整数a和正整数m，存在唯一的整数q和r（其中0≤r<m），使得a=qm+r。
下面，我们来证明同余分解定理。
证明过程如下：已知整数a和正整数m，我们需要找到整数q和r，使得a=qm+r，并证明该表示是唯一的。
首先，我们将a除以m，得到商q和余数r。
即a=qm+r。
其中，q是整数商，r是余数。
接下来，我们来证明这种表示是唯一的。
假设另外存在整数q'和r'，使得a=q'm+r'。
我们需要证明q=q'，r=r'。
根据q和r的定义，我们有以下关系：a=qm+ra=q'm+r'将上述两个等式相减，得到：a-a=qm+r-(q'm+r')0=qm+r-q'm-r'0=qm-q'm+r-r'由于qm和q'm都可以写成m(q-q')，上述等式可以进一步简化为：r-r'=0根据同余关系的性质，r和r'在模m下同余，即r≡r'(mod m)。
初中数学重点梳理：同余式
同余式知识定位数论是初中数学竞赛比较重要的一个知识点，在历年竞赛中占据非常发比例，其中同余理论是初等数论中的重要内容之一，其同余式概念及应用，剩余系概念要熟练掌握。
本文归纳总结了同余的若干性质，将通过例题来说明这些方法的运用。
知识梳理1、同余概念定义1：给定一个正整数m，如果用m去除a，b所得的余数相同，则称a与b对模m 同余，记作a≡b(modm)，并读作a同余b，模m。
（1）若a与b对模m同余，由定义1，有a=mq1＋r，b=mq2+r．所以a-b=m(q1-q2)，即m｜a-b。
反之，（2）若m｜a-b，设a=mq1＋r1，b=mq2＋r2，0≤r1，r2≤m-1，则有m｜r1-r2．因｜r1-r2｜≤m-1，故r1-r2=0，即r1＝r2。
于是，我们得到同余的另一个等价定义：定义2：若a与b是两个整数，并且它们的差a-b能被一正整数m整除，那么，就称a与b对模m同余．2、同余定理定理1：（1）a≡a(modm)．（2）若a≡b(modm)，则b≡a(modm)．（3）若a≡b(modm)，b≡c(modm)，则a≡c(modm)．定理2：若a≡b(modm)，c≡d(modm)，则a±c≡b±d(modm)，ac≡bd(modm)．证：由假设得m｜a-b，m｜c-d，所以m｜(a±c)-(b±d)，m｜c(a-b)＋b(c-d)，即a±c≡b±d(modm)，ac≡bd(modm)．由此我们还可以得到：若a≡b(modm)，k是整数，n是自然数，则a±k≡b±k(modm)，ak≡bk(modm)，a n≡b n(modm)．定理3：若ac≡bc(modm)，且(c，m)=1，则a≡b(modm)．定理4： 若n ≥2，a ≡b(modm 1)，a ≡b(modm 2)，…………a ≡b(modm n )，且M=[m 1，m 2，…，m n ]表示m 1，m 2，…，m n 的最小公倍数，则a ≡b(modM)3、剩余类和完全剩余系全体整数集合可按模m 来划分：当且仅当()mod a b m ≡时，a 和b 属于同一类。
同余定理的趣味历史与演变
同余定理的趣味历史与演变数学作为一门古老而又饱含智慧的学科，其中有一条被誉为“同余定理”的重要规则。
同余定理是数论中的基础概念，它的历史起源可以追溯到古代。
本文将带领读者领略同余定理的趣味历史与其在数学发展过程中的演变。
一、同余定理的历史起源同余定理的理论基础最早可以追溯到公元前二世纪的中国汉朝。
在《九章算术》中，它首次得到了系统的阐述和运用。
当时，人们发现了一种数与另一个数之间能够保持某种特定关系的模型。
这种数学模型被称为“同余”。
尽管当时的表述方式与现代的数学语言不同，但同余定理的思想内容已经初步形成。
同余定理的发展并不止步于汉朝，随着时间的推移，它逐渐传入了其他的数学文明。
在印度、阿拉伯和欧洲等地，同余定理得到了更深入的研究和推广。
二、同余定理的基本概念同余定理是关于整数运算的一种特定规则，它描述了两个整数在模一个给定的非零整数下的关系。
若两个整数除以一个固定的整数所得的余数相等，我们就说这两个整数对于这个给定的整数是同余的。
以更具体的例子来说明，假设我们有两个整数a和b，它们对于一个非零整数m来说，如果a除以m的余数与b除以m的余数相等，即(a mod m) = (b mod m)，那么我们可以说a和b在模m下是同余的。
三、同余定理的运用与特性同余定理不仅在数学理论中具有重要的地位，而且在实际问题中也有广泛的应用。
在离散数学、密码学、计算机科学等领域，同余定理都发挥着重要的作用。
同余定理具有一些有趣的特性。
首先，同余关系可以构成一个等价关系，即自反性、对称性和传递性。
这一点在同余定理的证明中显得尤为重要。
其次，同余关系还可以运用于简化运算。
例如，在进行大数阶乘的计算中，可以使用同余定理来减少计算量。
这是因为同余关系可以保持模运算的性质。
四、同余定理的演变与现代数学随着数学的不断发展，同余定理也在不断演变和推广。
在现代数论中，同余定理已经成为一门独立的数学学科，并发展出了更深奥的理论和更广阔的应用。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
同余法解题
同余这个概念最初是由德国数学家高斯发明的。
同余的定义是这样的：
两个整数，a,b,如果他们同时除以一个自然数m，所得的余数相同，则称a,b对于模m同余。
记作a≡b（mod.m）。
读作：a同余于b模m。
同余的性质也比较多，主要有以下一些：
1.对于同一个除数，两个数之和（或差）与它们的余数之和（或差）同余。
2.对于同一个除数，两个数的乘积与它们余数的乘积同余。
3.对于同一个除数，如果有两个整数同余，那么它们的差就一定能被这个除数整除。
4.对于同一个除数，如果两个数同余，那么他们的乘方仍然同余。