初中数学帮你梳理《因式分解》
初中数学之因式分解知识点汇总
初中数学之因式分解知识点汇总因式分解1. 因式分解的概念：把一个多项式化成几个整式的积的形式，这样的式子变形叫做这个多项式的因式分解，也叫作把这个多项式分解因式。
2. 因式分解与整式乘法的关系因式分解与整式乘法都是整式变形，两者互为逆变形。
因式分解是将“和差”的形式化为“积”的形式，而整式乘法是将“积”化为“和差”的形式。
注：分解因式必须进行到每一个多项式的因式都不能再分解为止，即分解因式要彻底。
3. 公因式多项式的各项都含有的公共因式叫做这个多项式各项的公因式。
系数——取各项系数的最大公约数；字母——取各项都含有的字母；指数——取相同字母的最低次幂。
例如：多项式pa+pb+pc 中因式p 即为多项式各项的公因式。
因式分解九大方法：(一)运用公式法：我们知道整式乘法与因式分解互为逆变形。
如果把乘法公式反过来就是把多项式分解因式。
于是有：a2-b2=(a+b)(a-b)a2+2ab+b2=(a+b)2a2-2ab+b2=(a-b)2如果把乘法公式反过来，就可以用来把某些多项式分解因式。
这种分解因式的方法叫做运用公式法。
(二)平方差公式1.平方差公式(1)式子：a2-b2=(a+b)(a-b)(2)语言：两个数的平方差，等于这两个数的和与这两个数的差的积。
这个公式就是平方差公式。
(三)因式分解1.因式分解时，各项如果有公因式应先提公因式，再进一步分解。
2.因式分解，必须进行到每一个多项式因式不能再分解为止。
(四)完全平方公式(1)把乘法公式(a+b)2=a2+2ab+b2 和(a-b)2=a2-2ab+b2反过来，就可以得到：a2+2ab+b2 =(a+b)2a2-2ab+b2 =(a-b)2这就是说，两个数的平方和，加上(或者减去)这两个数的积的2倍，等于这两个数的和(或者差)的平方。
把a2+2ab+b2和a2-2ab+b2这样的式子叫完全平方式。
上面两个公式叫完全平方公式。
(2)完全平方式的形式和特点①项数：三项②有两项是两个数的的平方和，这两项的符号相同。
因式分解知识梳理
因式分解知识梳理一、 因式分解与分解质因数。
那么为什么要分解质因数呢？目前的需要就是进行分数的运算， 例如：403120912041205301241==+=+我们来分析计算过程，120是怎样来的呢？是求24和30 的最小公倍数。
短除法。
而化简就是求最大公约数。
分解质因数就是把一个整数写成几个质因数积的形式，分解因式和分解质因数在本质上是一回事，分解因式是把一个整式写成几个因式积的形式。
它将在以后的分式运算、根式运算、解方程得过程中起重要作用，在整个初中数学的内容中占有基础的重要地位。
需要注意的是：分解因式是把一个整式写成几个整式积的形式。
它和我们前面的整式乘法的逆变形，判断一种变形是不是因式分解首先要看最后是不是整式的积的形式。
例如：41)1(412++=++x x x x 不是分解因式，因为等号的右面不是积的形式。
而应该把它分解为：22)21(41+=++x x x我们可以采取乘法还原的方法对分解的结果进行检验。
二、 提公因式法 什么是提公因式？我们来看原来的简便运算：=⨯+⨯32117423130742分析：在这个运算式中，742是3130和3211的公因式，运算的过程中利用的乘法分配律实际上就是提公因式。
我们可以同样的把这个运算规律用在代数式的运算上。
例1：)43(242328622223-=⋅-⋅=-x x x x x x x ，分析：公因式22x 是怎样得到的呢？先来看系数，6和8的最大公约数是2，再看相同的字母，而3x 和2x 的较低的指数项是2x ，所以公因式是22x 。
三、平方差公式 ))((22b a b a b a -+=-我们称为平方差公式，我们来观察这个式子的特点：前面22b a -中是两个平方项，并且符号相反。
只要式子拥有这样一个特点就可以利用平方差公式。
例如：例1：)2)(2()2(42222b a b a b a b a -+=-=-四、完全平方公式 222)(2b a b ab a +=++和222)(2b a b ab a -=+-我们称之为完全平方公式，这两个式子的特点我们可以简单的记忆为：“首（项）平方，尾（项）平方，首（项）尾（项）两倍中间放”。
初中数学关于因式分解知识点整理
初中数学关于因式分解知识点整理(1)因式分解：把一个多项式化为几个整式的积的形式，叫做把这个多项式因式分解，也叫做把这个多项式分解因式.(2)公因式：一个多项式每一项都含有的相同的因式叫做这个多项式的公因式.(3)确定公因式的方法：公因数的系数应取各项系数的最大公约数;字母取各项的相同字母，而且各字母的指数取次数最低的. (4)提公因式法：一般地，如果多项式的各项有公因式可以把这个公因式提到括号外面，将多项式写成因式乘积的形式，这种分解因式的方法叫做提公因式法.(5)提出多项式的公因式以后，另一个因式的确定方法是：用原来的多项式除以公因式所得的商就是另一个因式.(6)如果多项式的第一项的系数是负的，一般要提出〝-〞号，使括号内的第一项的系数是正的，在提出〝-〞号时，多项式的各项都要变号.(7)因式分解和整式乘法的关系：因式分解和整式乘法是整式恒等变形的正、逆过程，整式乘法的结果是整式，因式分解的结果是乘积式.(8)运用公式法：如果把乘法公式反过来，就可以用来把某些多项式分解因式，这种分解因式的方法叫做运用公式法.(9)平方差公式：两数平方差，等于这两数的和乘以这两数的差，字母表达式：a2-b2=(a+b)(a-b)(10)具备什么特征的两项式能用平方差公式分解因式①系数能平方，(指的系数是完全平方数)②字母指数要成双，(指的指数是偶数)③两项符号相反.(指的两项一正号一负号)(11)用平方差公式分解因式的关键：把每一项写成平方的形式，并能正确地判断出a，b分别等于什么.(l2)完全平方公式：两个数的平方和，加上(或者减去)这两个数的积的2倍，等于这两个数的和(或者差)的平方.字母表达式：a2±2ab+b2=(a±b)2(13)完全平方公式的特点：①它是一个三项式.②其中有两项是某两数的平方和.③第三项是这两数积的正二倍或负二倍.④具备以上三方面的特点以后，就等于这两数和(或者差)的平方.(14)立方和与立方差公式：两个数的立方和(或者差)等于这两个数的和(或者差)乘以它们的平方和与它们积的差(或者和). (15)利用立方和与立方差分解因式的关键：能把这两项写成某两数立方的形式.(16)具备什么条件的多项式可以用分组分解法来进行因式分解：如果一个多项式的项分组并提出公因式后，各组之间又能继续分解因式，那么这个多项式就可以用分组分解法来分解因式. (17)分组分解法的前提：熟练地掌握提公因式法和公式法，是学好分组分解法的前提.(18)分组分解法的原那么：分组后可以直接提出公因式，或者分组后可以直接运用公式.(19)在分组时要预先考虑到分组后能否继续进行因式分解，合理选择分组方法是关键.。
初中数学解方程的因式分解法
初中数学解方程的因式分解法解方程是数学中常见的问题，通过找到方程的解可以解决实际生活中的许多问题。
在解方程的过程中，因式分解是一种十分有效的方法。
因式分解法可以将给定的方程转化为更简单的形式，从而更容易找到解。
本文将详细介绍初中数学解方程的因式分解法。
一、一元一次方程的因式分解法一元一次方程是指含有一个未知数的一次方程。
例如：2x + 3 = 9。
为了解这个方程，可以使用因式分解法进行求解。
首先，将方程的所有项都移到等号的一侧，得到2x - 6 = 0。
然后，将方程进行因式分解，即将方程的左侧进行因式分解。
在本例中，2x - 6可以因式分解为2(x - 3)。
因此，得到方程2(x - 3) = 0。
最后，根据零乘积法则，得知方程的解为x = 3。
二、一元二次方程的因式分解法一元二次方程是指含有一个未知数的二次方程。
例如：x² - 5x + 6 = 0。
为了解这个方程，可以使用因式分解法进行求解。
首先，将方程的所有项都移到等号的一侧，得到x² - 5x + 6 = 0。
然后，观察方程的三个项，确定其是否可以进行因式分解。
在本例中，可以将x² - 5x + 6进行因式分解。
找出方程的两个因式，使其乘积等于6，而和等于-5。
在本例中，-2和-3是符合条件的因式。
因此，得到方程(x - 2)(x - 3) = 0。
最后，根据零乘积法则，得知方程的解为x = 2或x = 3。
三、方程组的因式分解法方程组是指同时包含多个方程的一组方程。
为了解这组方程，可以将其转化为一个整体的方程，再使用因式分解法进行求解。
例如，解方程组2x + y = 7x + 3y = 11首先，根据第一个方程，将y的表达式表示为y = 7 - 2x。
然后，将y的表达式代入第二个方程得到x + 3(7 - 2x) = 11。
接着，使用分配律和合并同类项得到x - 6x = -10，即-5x = -10。
最后，解得x = 2。
初中数学——因式分解
因式分解【知识梳理】● 因式分解的定义：把一个多项式化成几个整式乘积的形式，这种变形叫因式分解。
即：多项式→几个整式的积例：111()333ax bx x a b +=+ 因式分解是对多项式进行的一种恒等变形，是整式乘法的逆过程。
(1)整式乘法是把几个整式相乘，化为一个多项式； (2)因式分解是把一个多项式化为几个因式相乘； (3)因式分解的最后结果应当是“积”的形式。
【例题】判断下面哪项是因式分解：因式分解的方法 ● 提公因式法：定义：如果一个多项式的各项有公因式，可以把这个公因式提到括号外面，从而将多项式化成因式乘积的形式，这个变形就是提公因式法分解因式。
公因式：多项式的各项都含有的相同的因式。
公因式可以是一个数字或字母，也可以是一个单项式或多项式。
---------⎧⎪⎨⎪⎩系数取各项系数的最大公约数字母取各项都含有的字母指数取相同字母的最低次幂(指数) 【例题】333234221286a b c a b c a b c -+的公因式是．【解析】从多项式的系数和字母两部分来考虑，系数部分分别是12、－8、6，它们的最大公约数为2；字母部分33323422,,a b c a b c a b c 都含有因式32a b c ，故多项式的公因式是232a b c ．小结提公因式的步骤：第一步：找出公因式；第二步：提公因式并确定另一个因式，提公因式时，可用原多项式除以公因式，所得商即是提公因式后剩下的另一个因式。
注意：提取公因式后，对另一个因式要注意整理并化简，务必使因式最简。
多项式中第一项有负号的，要先提取符号。
【基础练习】1．ax 、ay 、－ax 的公因式是__________；6mn 2、－2m 2n 3、4mn 的公因式是__________． 2．下列各式变形中，是因式分解的是（） A ．a 2－2ab ＋b 2－1＝（a －b ）2－1 B ．)11(22222xx x x +=+C ．（x ＋2）（x －2）＝x 2－4D ．x 4－1＝（x 2＋1）（x ＋1）（x －1）3．将多项式－6x 3y 2＋3x 2y 2－12x 2y 3分解因式时，应提取的公因式是（） A ．－3xy B ．－3x 2yC ．－3x 2y 2D ．－3x 3y 34．多项式a n －a 3n ＋a n＋2分解因式的结果是（）A ．a n （1－a 3＋a 2）B ．a n （－a 2n ＋a 2）C ．a n （1－a 2n ＋a 2）D ．a n （－a 3＋a n ）5．把下列各式因式分解： 5x 2y ＋10xy 2－15xy 3x （m －n ）＋2（m －n ） 3（x －3）2－6（3－x ）y （x －y ）2－（y －x ）3 －2x 2n －4x n x （a －b ）2n ＋xy （b －a ）2n＋16．应用简便方法计算：（1）2012－201（2）4.3×199.8＋7.6×199.8－1.9×199.8（3）说明3200－4×3199＋10×3198能被7整除．【提高练习】1．把下列各式因式分解：（1）－16a 2b －8ab ＝________________________；（2）x 3（x －y ）2－x 2（y －x ）2＝________________________． 2．在空白处填出适当的式子：（1）x （y －1）－（）＝（y －1）（x ＋1）； （2）=+c b ab 3294278（）（2a ＋3bc ）． 3．如果多项式x 2＋mx ＋n 可因式分解为（x ＋1）（x －2），则m 、n 的值为（）A ．m ＝1，n ＝2B ．m ＝－1，n ＝2C ．m ＝1，n ＝－2D ．m ＝－1，n ＝－24．（－2）10＋（－2）11等于（）A ．－210B ．－211C ．210D ．－25．已知x ，y 满足⎩⎨⎧=-=+,13,62y x y x 求7y （x －3y ）2－2（3y －x ）3的值．6．已知x ＋y ＝2，,21-=xy 求x （x ＋y ）2（1－y ）－x （y ＋x ）2的值7．因式分解：（1）ax ＋ay ＋bx ＋by ；（2）2ax ＋3am －10bx －15bm ．● 运用公式法定义：把乘法公式反过来用，就可以用来把某些多项式分解因式，这种分解因式的方法叫做运用公式法。
八年级数学上册：《因式分解》的4种基本方法,例解+练习高清图片,可保存
八年级数学上册：《因式分解》的4种基本方法，例解+练习高清图片，可保存因式分解是初中数学中一个非常重要的概念，了解和掌握因式分解的方法非常有必要。
因此，本文将详细介绍八年级数学上册中因式分解的4种基本方法和例解和练习的高清图片。
首先，介绍因式分解的定义：因式分解的意思就是将一个多项式拆分成多个因子，使其值等于原来的多项式的值，并且多项式中的次数不会发生变化，从而达到简单化或剖析多项式的表达式的目的。
其次，介绍八年级数学上册中因式分解的4种基本方法：1. 查表法。
查表法是把因式表中的每一项拿出来，然后用多项式中的每一项去比较，如果多项式的某一项是因式列表中某一项的整数倍，就将该因式提取出来，然后分解。
2. 平方差分解法。
找出一个最大的可以合成该多项式中所有次数和为偶数，最高次为偶数的平方差，然后把该多项式拆分成两个多项式，一个多项式中各项次和为x2，另一个多项式中各项次和为x，然后将两个多项式分别用此法求解得出各自因式。
3. 系数法。
如果可以找出多项式中最高次的系数，并将它简化为若干个合数的乘积的形式，然后再将各个因式拆分成单项式，最后将它们一一相乘，即可得到最终的结果。
4. 因式分解辗转相除法。
该方法是把多项式中的每一项的系数提取出来，然后拿系数中的每一项去比较，查找出最大的可以相除的因子，将其因子提取出来，放入前一项，然后再用辗转相减、相除法求出结果。
最后，例解+练习高清图片可直观地帮助学生理解因式分解的方法，加深印象，让学生在掌握并灵活运用这一方法时不会出现停滞，而是可以轻松应对考试中的试题。
综上所述，八年级数学上册中因式分解的4种基本方法都是可有效分解多项式的有效方法，通过举例教学+练习，可以有效帮助学生理解这一概念，加深对因式分解这一技能的掌握。
初中数学因式分解的概念及分解方法整理
初中数学因式分解的概念及分解方法整理什么是因式分解把一个多项式化为几个整式乘积的形式，这种变形叫做因式分解（也叫作分解因式），它是中学数学中最重要的恒等变形之一．因式分解没有普遍适用的方法，往往需要观察题目中多项式的形式、次数、系数特征，具体问题具体来分析．初中数学教材中主要介绍了提公因式法和公式法，考试也以这两种方法为主。
当然除此之外，我们还有十字相乘法，分组分解法，拆项和添减项法，待定系数法，双十字相乘法，换元法等内容需要给大家介绍．因式分解的原则在学习方法之前我们先来介绍一下因式分解的原则：（1）结果一定是乘积的形式；（2）每一个因式都是整式；（3）相同因式的积要写成幂的形式；（4）每个因式中不能含有同类项，如果有需要合并的同类项，合并后要注意能否再分解；（5）没有大括号和中括号；（6）单项式因式写在多项式因式的前面；（7）多项式因式第一项系数一般不为负；（8）如无特别说明，因式分解的结果必须是每个因式在有理数范围内不能再分解为止．接下来我们按照优先级来逐一介绍因式分解的几种方法。
因式分解具体方法一、提公因式法如果多项式的各项有公因式，将公因式提到括号外面．确定公因式的方法：（1）系数——取多项式各项系数的最大公约数；（2）字母（或多项式因式）——取各项都含有的字母(或多项式因式)的最低次幂．易错点：提公因式后项数不变，易漏掉常数项．例题口诀：找准公因式，全家都搬走，提负要变号，变形看奇偶。
二、公式法如果把乘法公式反过来，就可以把某些多项式分解因式，这种方法叫公式法。
常用公式例题三、十字相乘法十字相乘法口诀：首尾分解，交叉相乘，求和凑中。
十字相乘一般是两种形式：形式一形式二相关练习四、分组分解法分组分解是解方程的一种简洁的方法，能分组分解的方程有四项或大于四项，一般的分组分解有两种形式：二二分法，三一分法．例题相关练习五、拆添项法拆项添项法：为了分组分解，常常采用拆项添项的方法，使得分成的每一组都有公因式可提或者可以应用公式．常用思路：在按某一字母降幂排列的三项式中，拆开中项是最常见的．六、换元法换元法作为一种因式分解的常用方法，其实质是整体思想，当看作整体的多项式比较复杂时，应用换元法能够起到简化计算的作用．例题七、主元法在对含有多个未知数的代数式进行因式分解时，可以选其中的某一个未知数为主元，把其他未知数看成是字母系数进行因式分解．例题八、双十字相乘法例题。
初中生因式分解
因式分解是将一个多项式表达为几个多项式的乘积的过程。
对于初中生来说，通常需要掌握以下几种基本的因式分解方法：
1. 提公因式法：如果多项式的各项中都有公共的因子，可以提取出来，使得原多项式变为公因子与剩余部分的乘积。
例如：ax + ay = a(x + y)
2. 分组分解法：将多项式的各项分成几组，每组提出公因子，再将提取公因子后的表达式进行合并。
例如：ax + ay + bx + by = a(x + y) + b(x + y) = (a + b)(x + y)
3. 完全平方公式法：利用完全平方公式(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2和(a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2进行因式分解。
例如：x^2 + 6x + 9 = (x + 3)^2
4. 差平方公式法：利用差平方公式a^2 - b^2 = (a + b)(a - b)进行因式分解。
例如：x^2 - 9 = (x + 3)(x - 3)
5. 十字相乘法：适用于形如ax^2 + bx + c的三项式的因式分解，其中a、b、c是常数。
例如：x^2 + 5x + 6 = (x + 2)(x + 3)
6. 配方法：通过添加和减去同一个数，将二次项和一次项的部分转换为完全平方的形式。
例如：x^2 + 4x = x^2 + 4x + 4 - 4 = (x + 2)^2 - 4
7. 其他特殊公式：如立方和公式、立方差公式等，用于特定形式的多项式因式分解。
因式分解是初中数学中的一个重要知识点，它不仅能够帮助简化多项式的表达，还是解决方程、不等式等问题的重要工具。
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因式分解教材解读
◆因式分解
1、 因式分解的概念：把一个多项式化成几个整式的积的形式，这种式子变形叫做把这个多项式因式分解，也叫这个多项式分解因式。
2、 因式分解的实质是一种恒等变形，是一种化和为积的变形：多项式→几个整式的积。
3、 因式分解与整式乘法的关系：
因式分解与整式乘法的关系是互逆的。
多项式可以通过因式分解化为因式的乘积；因式乘积可以通过运用整式乘法化为一个多项式。
因式分解在计算、约分等方面的应用。
◆提公因式法
一、 公因式的定义及确定公因式
1、 公因式：一个多项式各项都含有的公因式，叫这个多项式的公因式。
2、 确定公因式：系数，取各项整数系数的最大公约数；字母，取各项的相同字母；指
数，取各相同字母的最低指数。
二、 提公因式法的概念和步骤
1、概念：如果多项式的各项有公因式，可以把这个公因式提到括号外面，将多项式写成因式乘积的形式，这种分解因式的方法叫提取公因式法。
2、提取公因式的依据：乘法分配律。
3、提取公因式的步骤：
“一定”：确定公因式。
“二提”：将各项的公因式提出来并确定另一个因式，提取过程实际是用原多项式除以公因式的过程。
三、 用提公因式法分解因式时要注意的几点
1、 因式分解要彻底，要分解到不能再分解为止。
2、 当多项式第一项的系数是负数时，通常提出“－”号，使括号内第一项的系数变为
正数，在提出“－”号后，多项式都要变号。
3、 形如()2n m -与()2m n -可以写成同一个形式，面对于()2n m -与()3
m n -，在化成同一个形式时要注意符号的变化。
◆公式法
一、 运用平方差公式对多项式进行因式分解
1、 平方差公式：()()b a b a b a -+=-2
2 2、 公式特点：（1）二项式，（2）两项都是平方项，（3）两项符号相反；右边：两平方
项的底数和与底数积。
二、 运用完全平方公式对多项式进行因式分解
1、完全平方公式：()2
222b a b ab a ±=+± 2、公式特点：左边：（1）三项式，（2）首尾两项为两个数的平方和，中间项是两个底数的积的2倍，（3）两平方项符号必须相同，右边：两个底数的和或差的平方。
三、运用平方差公式和完全平方公式进行因式分解
1、根据多项式的项数选择公式，二项式考虑平方差公式，三项式考虑完全平方公式。
2、运用公式的关键是将多项式改写成符合公式特征的形式。
3、有的多项式需打乱顺序，有些较烦琐的多项式可以先整体考虑，运用公式，再逐步来考虑。
帮你梳理《因式分解》
因式分解的意义：
把一个多项式化成几个整式的积的形式，叫把这个多项式因式分解。
1、因式分解是一种恒等变形，其是否正确，可以用整式乘法检验，看乘得的结果是否等于原多项式。
2、因式分解强调的结果是整式的积的形式，是一种形式上的恒等变形。
3、因式分解的结果要求，是必须进行到每个因式都不能再分解为止，要注意要求在何种数集内进行因式分解的。
4、并不是所有多项式在任何数集内都能因式分解。
因式分解的基本方法：
1、提公因式法，形如ma mb mc m a b c ++=++()。
2、运用公式法：
平方差公式：a b a b a b 22
-=+-()()
完全平方公式：a ab b a b 2222±+=±()
十字相乘法 x p q x pq x p x q 2+++=++()()()
3、分组分解法：（1）分组后能直接提公因式。
（2）分组后能直接运用公式（包括上面三个公式）
典型例题评析：
例1.因式分解：46222ab a b ab -+
解： 原式=-+2231ab b a ()
评析：要树立优先提多项式公因式的意识。
找公因式的方法是：系数取各项系数的最大公约数，字母取相同字母的最低次幂，提取公因式后注意不要漏项。
例2.把下列各因式分解 a a 42816-+
解：原式=-=+-()()()a a a 2222422
评析：先用完全平方公式后再用平方差公式；注意要直到每个因式都不能再分解为止。
同时要注意区分平方差与完全平方公式。
例3分解因式：x y z yz 2222--+
解：原式=--+x y yz z 2222() =--=+--+x y z x y z x y z 22
()()()
评析：在运用分组分解法和十字相乘法时，必须具有尝试意识。
先可一、二三四项为一组分组后再运用平方差公式。