运筹学重点及部分习题

运筹学重点一、选择题1、线性规划问题没有可行解，对偶问题也（一定没有可行解）。

2、运输问题中常用(最小元素法)确定初始方案。

3、线性规划单纯形法中所有检验数≤0，基变量中有人工变量，则该问题(无可行解)。

4、求解产小于销的运输问题时，需要虚购一个(产地)。

5、某资源的(影子价格)的数值就是在给定的条件下，该资源每增加一个单位时，目标函数的增加数量。

6、经过计算运输问题初始方案检验数 23=-6,从此点出发找出闭合回路，闭合回路各点的数值依次为（0, 12, 4, 6, 8，3），调整后各点的运输为（3, 9, 7, 3, 11, 0）。

7、极大化线性问题的标准模型中，人工变量的目标函数中的系数是（-M）。

8、最大流问题中，存在一条增广链，则增广链上的正向弧一定是(不饱和弧)。

9、某棵树有16个顶点，它的边数是(15)条。

10、在网路计划图中，总时差为(0)的工序构成的路线称为关键路线。

11、容量网络中，从发点到收点的最大流的流量等于网络(最小割)的容量12、一对对偶线性规划问题，若有一个最优解，则另一个也一定有最优解，并且这两个最优解对应的(目标函数值)相等。

13、若边e的两个端点相连，则称边e为(环)。

14、图中奇点的个数一定是(偶)数。

15、线性规划问题全部可行解的集合称为(凸集)。

16、图是欧拉回路的条件是图中的点都为(偶)点。

17,、PERT网络图中，工序在不影响下道工序最早开工时间条件下可以机动的时间称为(单时差)。

18、线性规划数学模型的标准形式规定目标函数是求(最大值)，约束条件都是线性等式，对每个变量都有非负要求。

19、存贮问题的数学模型中，不允许缺货时，缺货费用为(无穷大)。

20、中国邮路问题的最优方案每天编最多重复(一)次。

二、简答题1、PERT网络中关键工序的意义？2、试举两个可以应用最大流方法解决的实际问题？3、试举例可以应用最短路方法解决的实际问题？4、试举例可以应用最小数方法解决的实际问题？5、PERT网络优化的类型有哪些？6、动态规划的最优化原理的涵义？7,、线性规划数学模型通常可以解决那两类实际问题？8、简述对偶单纯形法的思想？三、计算题1、第九章存储问题(必考)例某公司生产产品每年需要甲材料40000公斤，材料单价100元，定购费用每次200元，年库存保管费用为25%，。

（1）、试计算最佳订购批量（2）、试计算最佳订购次数（3）、试计算最低年库存保管总费用（4）、试画出本例库存状态变化图2、第一章线性规划3、第二章（1）对偶模型（2）灵敏度分析4、第六章最短路问题（标号法）5、第六章最大流问题6、第七章EPRT网络图各参数的计算7、第八章动态规划（六个例题）（1）教科书习题八的第一题（2）某机械公司购置五台先进设备，需分给所属的甲，乙，丙三个工厂。

各工厂获得这些设备后，每年为公司提供的盈利（万元）见表：问如何分配这些设备才能使公司得到的盈利额最大。

解：将问题按工厂划分为三个阶段，三个工厂的编号分别记为1，2，3。

S K 表示分配给第K个工厂到第3个工厂的设备台数，X K表示分配给第K个工厂的设备台数：S1=5S K+1 = S K - X KV K (X K)表示X K台设备分配到第K 个工厂得到的盈利值。

F K (SK) 表示S K台设备分配到第K个工厂至第三个工厂所得的最大盈利。

因此有递推关系：F K (S K)=Max {V K (X K)+F K+1 (S K - X K)} (K=1,2,3)0≤X K≤S K (K=1,2,3)F4(S4) = 0现从最后一个阶段向前递推求解：阶段ⅢK= 3设把S3台设备（S3=0，1，2，3，4，5）全部分配给工厂3时，则最大盈利值为：F3 (S3)=Max [V3 (X3)] X3=0,1,2,3,4,5因为只有一个工厂，给不同台数的盈利就是每种情况下的最大盈利。

因此最优方案是把全部设备放到工厂3去。

数值计算及决策见表阶段ⅡK=2设把S2台（S2=0，1，2，3，4，5）设备全部分给工厂3、工厂2时，则最大盈利值为：F2 (S2)=Max [V2 (X2)+ F3 (S2- X2)] X2= 0,1,2,3,4,5 选择X2数值使F2 (S2)最大决策及计算结果如表6—7：阶段ⅠK=1设把S1台设备（S1=5）分配给1，2，3三个工厂，则最大盈利值为：F1 (S1)=Max {V1 (X1)+ F2 (S1 - X1)} X1=0,1,2,3,4,5现选取X1的值，使F1 (S1)最大，数值计算见表由表中可知：最优方案有二个：(1) X1=0 X2=2 X3=3 F1(S1)=21(2) X1=2 X2=2 X3=1 F1(S1)=21（3）例8-7．某个公司新购某种机床125台。

这种设备5年后将被其它新设备代替，此机床如在高负荷状态下工作年损坏率为1/2，每台年收益为10万元；如在低负荷下工作年损坏率为1/5，每台年收益为6万元。

问应如何安排这些机床的生产负荷，才能使5年内所获收益最大？解：按年度划分为5个阶段，用K表示阶段序号。

状态变量S K为第K 年拥有完好设备的数量，决策变量X K为第K年中处于高负荷工作的设备数量，决策变量(S K—X K )为第K年中处于低负荷工作的设备数量状态转移函数即第K+1年年初完好的设备台数:S K+1 = S K—1/2 X K—1/5(S K—X K) = 4/5 S K—3/10 X K第K阶段允许决策集合为D K (S K)={ X K / 0≤X K≤S K }V K (S K, X K)为第K年度的收益则V K = V K (S K= X K)=10 X K +6(S K—X K)=6SK +4X K 因此基本方程为:F K (S K)=Max {6S K +4X K + F K+1 (S K+1)}0≤X K≤S K K=1,2,3,4,5F6 (S6 )=0下面求解问题：阶段ⅤK = 5 F6 (S6 )=0 有：F5 (S5 )= Max{4X5 +6S5 }0≤X5≤S5因为4X5 +6S5随X5单调递增，所以取X5 =S5此时X5 =S5F5 (S5 )= 10 S5阶段ⅣK= 4F4 (S4)=Max{4X4 +6S4+ F5 (S5 ))}0≤X4≤S4= Max {4X4 +6S4+ F5 (S5)}= Max {4X4 +6S4+8S4-3X4}= Max {X4 +14S4}0≤X4≤S4因为X4+14S4单凋递增。

所以取X4= S4此时X4=S4F4 (S4)=15 S4阶段ⅢK = 3F3 (S3) = Max {4X3 +6S3 + F4 (S4)}= Max {4X3 +6S3+15 S4}= Max {4X3 +6S3+ 15(0.8 S3 -0.3X3}= Max {18S3–(1/2)X3 }0≤X3≤S3由于18S3–(1/2)X3随X3单调递减所以取X3 =0此时：X3 = 0 F3 (S3) = 18S3阶段ⅡK = 2F2 (S2)= Max {4 X2+6 S2+ F3 (S3)}= Max {4 X2+6 S2+18S3}= Max {4 X2+6 S2 +18(0.8 S2-0.3 X2)}= Max{20.4 S2-1.4 X2}0≤X2≤S2同理取X2=0此时X2 =0 F2 (S2) = 20 .4S2阶段ⅠK=1 F1 (S1)= Max {4 X1 +6 S1+F2 (S2)}= Max {4 X1 +6 S1+20 .4S2 }= Max {4 X1 +6 S1 +20.4(0.8 S1-0.3 X1)} \ = Max {22.32 S1-2.12 X1}0≤X1≤S1同理取X1=0此时X1=0 F1 (S1) = 22.32 S1将S1 =125代入得: F1 (S1) = F1 (125) =22.32X125=2790(万元)即公司五年内可获得最大收益值为2790万元，最优生产计划方案为表6—9所示表6—9（4）例8-8 某造船股份有限责任公司根据合同，从现在起连续4年每年年未要向客户提供型号相同的大型远洋客船，每年的交货数及生产每条船的生产费用见表8—10所示。

该公司的生产能力设计为每年6条船。

每个计划年度造船公司固定费用为60万元。

若造出的船当年不交货，则每条船积压一年的损失为40万元。

假定开始时及第四年年未交货后均无积压船只，问公司应如何安排四年的生产计划，使所支付总费用最经济？解按年度划分阶段，四年分为4个阶段，k=1，2，3，4。

状态变量S K为第K阶段初存储的船只数量。

状态变量S K需要满足以下条件：⑴不能超过本年和以后各年交船数的总和0≤S K≤Σdi⑵为保证按时交船，每年年初的存船数加上本年度的最大可能生产量不得小于本年度的交船数S K +6≥d K⑶此外，还有S1 = S5 =0决策变量X K为第K阶段生产的船只数,且X K必须满足以下条件：⑴某年末所拥有的存船数，不应超过本年度及以后各年交船数的总和：X K+ S K≤Σdi⑵某年初所拥有的存船数加上当年生产船只数量，不应少于本年度的交船数X K + S K≥d K状态转移函数S K =S K +X K–d K=1,2,3,4即第K年初的存船数加上第K年船只的生产数，再减去第K年交付的船数，就等于第K+1年初的存船数。

第K阶段的指标函数VK就是第K年度生产费用与存贮费用两部分之和。

0.6+C K X K +0.4S K 当X K >0V K(S K,X K) k=1,2,3，40.4S K 当K=0动态规划的基本方程为：F K(S K)=Min{V K(S K, X K )+F k+1(S k+1)} ( K=1,2,3,4)0≤X K≤6F5 (S5 ) = 0阶段Ⅳ，K=4，d4=2S4∈{0,1,2} X4∈{2,1,0}0.6 + 6.5X4+ 0.4S 4当X 4 >0V4 =0.4S4当X4= 0计算结果见表所示阶段Ⅲ，K=3，D3=2，故: S3∈{0,1,2,3,4}0.6 + 6.3X3+ 0.4S3当X 3 >0 V 3 =0.4 S3当X3= 0 计算结果如下表阶段Ⅱ，K=2，D2=3，故S 2∈{0,1,2,3,4,5}0.6 + 6.5X2+ 0.4S2当X2 >0V2=0.4 S2当X2= 0 计算结果见表所示阶段Ⅰ，K=1，D1=1，故S1 =0, X1∈{1,2,3,4,5,6} V1=0.6+6.0X1计算结果见表由表知第1年应该生产1艘船，整个过程的最小费用为F1（0）=51.6百万元。

由递推关系可得问题的最佳策略，详见表即第1年船厂应该安排生产1艘船，第2年安排生产5艘船，第3年不安排生产，第4年安排生产2艘船，船厂按此策略安排生产计划才能既满足客户要求又能使支出总费用最小，总费用为5160万元（4）某公司有三种货物需要装飞机运输，各种货物的重量和可能获得的收益见表。